2013年高考理科数学全国新课标(Ⅱ)试题及答案

2013年普通高等学校招生数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合},4)1(|{2R x x x M ∈<-=，}3,2,1,0,1{-=N ，则N M ⋂＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3}2．设复数z 满足i z i 2)1(=- ，则z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知12310a a S +=，95=a ，则=1a ( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．已知m ，n 为异面直线，⊥m 平面α，⊥n 平面β.直线l 满足m l ⊥，n l ⊥，α⊄l ，β⊄l ，则( )． A ．α∥β且l ∥α B ．βα⊥且β⊥lC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5，则=a ( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．执行下面的程序框图，如果输入的10=N ，那么输出的=S ( )．A ．10131211++++B ．!101!31!211++++C ．11131211++++D ．!111!31!211++++7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是)1,0,1(，)0,1,1(，)1,1,0(，)0,0,0(，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则( )．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>9．已知0>a ，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若y x z +=2的最小值为1，则=a ( )．A ．14B ．12 C ．1 D ．210．已知函数c bx ax x x f +++=23)(，下列结论中错误的是( )．A ．R x ∈∃0，0)(0=x f ；B ．函数)(x f y =的图像是中心对称图形；C ．若0x 是)(x f 的极小值点，则)(x f 在区间),(0x -∞单调递减；D ．若0x 是)(x f 的极值点，则0)(0='x f .11．设抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点为F ，点M 在C 上，5||=MF ，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )．A ．x y 42=或x y 82=B ．x y 22=或x y 82=C ．x y 42=或x y 162=D ．x y 22=或x y 162=12．已知点)0,1(-A ，)0,1(B ，)1,0(C ，直线)0(>+=a b ax y 将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )．A ．(0,1) B．112⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C．113⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅＝__________.14．从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则 =n _________.15．设θ为第二象限角，若π1tan 42θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则=+θθcos sin __________.16．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知010=S ，2515=S ，则n nS 的最小值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分) ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 B c C b a sin cos +=. (1)求B ；(2)若2=b ，求ABC ∆面积的最大值．18． (本小题满分12分)如图，直三棱柱111C B A ABC -，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点，AB CB AC AA221===. (1)证明：1BC ∥平面CD A 1；(2)求二面角E C A D --1的正弦值．19． (本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出t 1该产品获利润500元，未售出的产品，每t 1亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了t 130该农产品．以X (单位：t ，500100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． (1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量)110,100[∈X ，则取105=X ，且105=X 的概率等于需求量落入)110,100[的频率)，求T 的数学期望．20． (本小题满分12分)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：12222=+by a x )0(>>b a 右焦点的直线0x y +=交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2) C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线AB CD ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值．21． (本小题满分12分)已知函数)ln()(m x e x f x+-=． (1)设0=x 是)(x f 的极值点，求m ，并讨论)(x f 的单调性； (2)当2≤m 时，证明0)(>x f .请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． 22． (本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且AF DC AE BC ⋅=⋅，B ，E ，F ，C 四点共圆． (1)证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；(2)若EA BE DB ==，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值．23． (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)上，对应参数分别为α=t 与)20(2παα<<=t ，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．24． (本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 设a ，b ，a 均为正数，且1=++c b a ，证明： (1) 31≤++ac bc ab ； (2)2221a b c b c a++≥.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类（全国新课标卷II)第Ⅰ卷(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：A解析：解不等式4)1(2<-x ，得31<<-x ，即}31|{<<-=x x M ．而}3,2,1,0,1{-=N ， 所以)2,1,0(=⋂N M ，故选A. 2． 答案：A 解析：2i 2i 1i =1i 1i 1i z (+)=-(-)(+)＝22i 2-+＝－1＋i.3．答案：C解析：设数列}{n a 的公比为q ，若q ＝1，则由95=a ，得a 1＝9，此时S 3＝27，而a 2＋10a 1＝99，不满足题意，因此q≠1.∵q≠1时，S 3＝31(1)1a q q--＝a 1·q ＋10a 1，∴311q q--＝q ＋10，整理得q 2＝9. ∵a 5＝a 1·q 4＝9，即81a 1＝9，∴a 1＝19.4． 答案：D解析：因为α⊥m ，m l ⊥，α⊄l ，所以l ∥α.同理可得l ∥β.又因为m ，n 为异面直线，所以α与β相交，且l 平行于它们的交线．故选D. 5． 答案：D解析：因为5)1(x +的二项展开式的通项为),50(5Z r r x C rr ∈≤≤，则含2x 的项为215225)510(x a x axC x C +=+,，所以5510=+a ，1-=a .6． 答案：B解析：由程序框图知，当k ＝1，S ＝0，T ＝1时，T ＝1，S ＝1；当k ＝2时，12T =，1=1+2S ； 当k ＝3时，123T =⨯，111+223S =+⨯；当k ＝4时，1234T =⨯⨯，1111+223234S =++⨯⨯⨯；…；当k ＝10时，123410T =⨯⨯⨯⨯，1111+2!3!10!S =+++，k 增加1变为11，满足k ＞N ，输出S ，所以B 正确．7． 答案：A解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O －xyz 的图像为下图：则它在平面zOx 上的投影即正视图为，故选A.8． 答案：D解析：根据公式变形，lg 6lg 21lg3lg3a ==+，lg10lg 21lg5lg5b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7c ==+，因为3lg 5lg 7lg >>，所以lg 2lg 2lg 2lg 7lg5lg3<<，即c b a >>.故选D. 9． 答案：B解析：由题意作出1,3x x y ≥⎧⎨+≤⎩所表示的区域如图阴影部分所示，作直线12=+y x ，因为直线12=+y x 与直线1=x 的交点坐标为(1，－1)，结合题意知直线)3(-=x a y 过点(1，－1)，代入得12a =，所以12a =.10．答案：C解析：∵0x 是)(x f 的极小值点，则)(x f y =的图像大致如下图所示，则在),(0x -∞上不单调，故C 不正确．11． 答案：C解析：设点M 的坐标为),(00y x ，由抛物线的定义，得52||0=+=px MF ，则20p x -=,又点F 的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以以MF 为直径的圆的方程为0)()2)((00=-+--y y y p x x x ,将0=x ，0=y 代入得04800=-+y px ，即0842020=+-y y ， 所以40=y .由0202px y =，得16252p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解之得2=p ，或8=p .所以C 的方程为x y 42=或x y 82=，故选C .12． 答案：B第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：2 解析：以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为(0,0)，点B 的坐标为(2,0)，点D 的坐标为(0,2)，点E 的坐标为(1,2)，则AE ＝(1,2)，BD ＝(－2,2)，所以2AE BD ⋅=.14．答案：8解析：从1,2，…，n 中任取两个不同的数共有2C n 种取法，两数之和为5的有(1,4)，(2,3)两种，所以221C 14n=，即24111142n n n n ==(-)(-)，解得8=n .15．答案： 解析：由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，得31tan -=θ，即θθcos 31sin -=.将其代入1cos sin 22=+θθ，得210cos 19θ=.因为θ为第二象限角，所以10103cos -=θ，1010sin =θ，510cos sin -=+θθ.16．答案：－49解析：设数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ，则045102910101110=+=⨯+=d a d a S ，① 01051521415151115=+=⨯+=d a d a S , ② 联立①②，得31-=a ，23d =，所以S n ＝2(1)211032333n n n n n --+⨯=-. 令n nS n f =)(，则32110()33f n n n =-，220'()3f n n n =-. 令0)(='n f ，得n ＝0或203n =.当203n >时，0)(>'n f ,200<<3n 时，0)(<'n f ，所以当203n =时，)(n f 取最小值，而n ∈N ＋，则48)6(-=f ，49)7(-=f ，所以当n ＝7时，)(n f 取最小值－49.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：(1)由已知及正弦定理得：B C C B A sin sin cos sin sin +=，① 又)(B A A +-=π，故C B C B C B A sin cos cos sin )sin(sin +=+=，②由①，②和),0(π∈C 得B B cos sin =，又),0(π∈B ，所以π4B =. (2) ABC ∆的面积1sin 24S ac B ac ==. 由已知及余弦定理得4cos 2422πac c a -+=，又ac c a 222≥+，故ac ≤，当且仅当c a =时，等号成立．因此ABC ∆.18．解：(1)连结1AC 交C A 1于点F ，则F 为1AC 中点． 又D 是AB 中点，连结DF ，则1BC ∥DF ，因为⊂DF 平面CD A 1，⊄1BC 平面CD A 1，所以1BC ∥平面CD A 1.(2)由AB CB AC 22==得，CB AC ⊥. 以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz C -，设2=CA ，则)0.1.1(D ，)1.2.0(E ，)2.0.2(1A ，CD ＝(1,1,0)，CE ＝(0,2,1)，1CA ＝(2,0,2)． 设),,(111z y x n =是平面CD A 1的法向量，则10,0,CD CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即11110,220.x y x z +=⎧⎨+=⎩ 可取)1,1,1(--=n ．同理，设m 是平面CE A 1的法向量，则10,0,CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 可取)2.1.2(-=． 从而33,cos >=<，故36,sin >=<，即二面角E C A D --119．解：(1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X)＝800X －39 000， 当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000. 所以80039000,100130,65000,130150.X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T所以ET ＝45 000×0.1＋20．(1)求M 的方程；(2) C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线AB CD ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值．解：(1)设),(11y x A ，),(22y x B ，),(00y x P ，则221122=1x y a b +，222222=1x y a b +，2121=1y y x x ---， 由此可得2212122121=1b x x y y a y y x x (+)-=-(+)-.因为0112x x x =+，0112y y y =+，0012y x =，所以222b a =， 又由题意知，M 的右焦点为)0,3( ，故322=-b a ，因此62=a ，32=b .所以M 的方程为22=163x y +. (2)由220,1,63x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或0,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，因此364||=AB . 由题意可设直线CD 的方程为y＝x n n ⎛+<< ⎝，设),(33y x C ，),(44y x D ． 由22,163y x n x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得0624322=-++n nx x ，是x 3,4. 因为直线CD 的斜率为1，所以234934||2||n x x CD -=-=. 由已知，四边形ACBD的面积1||||2S CD AB =⋅=.当0=n 时，S取得最大值，最大值为3,所以四边形ACBD面积的最大值为3.21．解：(1) mx e x f x+-='1)(. 由0=x 是)(x f 的极值点得0)0(='f ，所以1=m ；于是)ln()(m x e x f x +-=，定义域为),1(+∞-，11)(+-='x e x f x. 函数11)(+-='x e x f x在),1(+∞-单调递增，且0)0(='f ， 因此当)0,1(-∈x 时，0)(<'x f ；当 ),0(+∞∈x 时，0)(>'x f . 所以)(x f 在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)当2≤m ，),(+∞-∈m x )时，)2ln()ln(+≤+x m x ，故只需证明当2=m 时，0)(>x f .当2=m 时，函数21)(+-='x e x f x在),2(+∞-单调递增．又0)1(<-'f ，0)0(>'f ，故0)(='x f 在),2(+∞-有唯一实根0x ，且)2,1(0∈x ． 当),2(0x x -∈时，0)(<'x f ；当),(0+∞∈x x 时，0)(>'x f ，从而当0x x =时，)(x f 取得最小值．由0)(0='x f 得2100+=x e x，00)2ln(x x -=+， 故02)1(21)()(020000>++=++=≥x x x x x f x f ，综上，当2≤m 时，0)(>x f .请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． 22．解：(1)因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC DCFA EA=， 故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EFA.因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EFA ＝∠CFE ＝90°. 所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)连结CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC2＝DB·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.23．解：(1)依题意有)sin 2,cos 2(ααP ，)2sin 2,2cos 2(ααQ ， 因此)2sin sin ,2cos (cos αααα++M ．M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，)20(πα<<．(2)M 点到坐标原点的距离d ==＜α＜2π)．当=时，0=d ，故M 的轨迹过坐标原点．24．解：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca.由题设得(a ＋b ＋c)2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca)≤1，即ab ＋bc ＋ca≤13. (2)因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，故222()a b c a b c b c a +++++≥2(a ＋b ＋c)， 即222a b c b c a ++≥a ＋b ＋c ，所以222a b c b c a++≥1.。