上海市青浦高级中学2020-2021学年高一上学期10月质量检测数学试题
2020-2021学年上海市复旦附中青浦分校高一(上)月考数学试卷(10月份)(附答案详解)
2020-2021学年上海市复旦附中青浦分校高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 设不等式√f(x)>g(x)的解集为M ，不等式组{g(x)≥0f(x)>g 2(x)的解集为N ，则M 、N 之间的关系为( )A. M =NB. M ⊇NC. M ⊆ND. M 、N 互不包含2. 已知a 1，a 2，b 1，b 2均为非零实数，集合A ={x|a 1x +b 1>0}，B ={x|a 2x +b 2>0}，则“a 1a 2=b1b 2”是“A =B ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 著名的孪生素数猜想指出：“存在无穷多个素数p ，使得p +2是素数”，用反证法研究该猜想，对于应假设的内容，下列说法正确的是( )A. 只有有限多个素数p ，使得p +2是合数B. .存在无穷多个素数p ，使得p +2是合数C. 对任意正数n ，存在素数p >n ，使得p +2是合数D. 存在正数n ，对任意素数p >n ，p +2是合数4. 设a ∈R ，若不等式|x 2+1x |+|x 2−1x |+ax ≥4x −8恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. [−2,12]B. [−2,10]C. [−4,4]D. [−4,12]二、单空题（本大题共12小题，共60.0分）5. 若集合A ={y|y =x 2−1}，B ={y|y =−x 2−2x}，则A ∩B =______．6. 设集合A ={x|x ∈N|65−x ∈N}，则集合A 的子集的个数是 ． 7. 若a ，b ∈R ，则“(a −b)a 2>0”是“a >b ”的______条件．8. 设a ，b ，c ∈R ，已知不等式ax 2+bx +c <0解集为(2,3)，则不等式cx 2−bx −a >0的解集为______．9. 不等式(2x +1)(x +3)(5−x)>0的解集为______． 10. 不等式(x+7)2x−2≥0的解集为______．11.不等式|2x2−x |≥2xx−2的解集为______．12.不等式(x−1)√x2−x−2≤0的解集为______．13.若不等式x2+mx>x+m对任意m∈(−3,1)恒成立，则实数x的取值范围是______．14.已知集合M={x|ax−5x2−a<0}，若3∈M，5∉M，则实数a的取值范围是______．15.已知−1<a<b<2，则2b−a2的范围是______．16.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数).若不等式f(x)≥2ax+b的解集为R，则b2a2+c2的最大值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.设集合A={x|x2−3x+2=0}，B={x|x2+2(a+1)x+(a2−5)=0}(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围；(3)若U=R，A∩(∁U B)=A，求实数a的取值范围．18.设f(x)=(m+1)x2−mx+m−1，m∈R．(1)若方程f(x)=0有实根，求实数m的取值范围；(2)若不等式f(x)>0的解集为⌀，求实数m的取值范围；(3)若不等式f(x)>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．19.某品牌饮料原来每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．(1)据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将相应减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润=月销售总收入−月总成本)，该饮料每瓶售价最多为多少元？(2)为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价x(x≥16)元，并投入334(x−16)万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少0.45(x−15)2万瓶，则当每瓶售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．20.已知关于x的不等式(kx−k2−5)(x−4)>0，(k∈R)设Z为整数集．(1)求不等式的解集A；(2)对于上述集合A，设B=A∩Z，探究B能否为有限集？若能，求出使B元素个数最少时的k的所有取值，及此时的集合B，若不能，请说明理由．21.已知U⊆R为一个数集，集合A={s2+3t2|s,t∈U}．(1)设U={1,3,5}，求集合A的元素个数；(2)设U=Z，证明：若x∈A，则7x∈A；(3)设U=R，x，y∈A，且x=m2+3n2，y=p2+3q2，若mp−3nq=√3，求x+y+mq+np的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：不等式组{g(x)≥0f(x)>g 2(x)等价于{g(x)≥0√f(x)>g(x)，因为不等式√f(x)>g(x)的解集为M ，不等式组{g(x)≥0f(x)>g 2(x)的解集为N ，所以M ⊇N ． 故选：B ．将不等式组等价转化为{g(x)≥0√f(x)>g(x)，结合子集的定义，判断即可．本题考查了不等式的解法，解题的关键是将不等式组进行等价转化，考查了逻辑推理能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵a 1a 2=b1b 2∴取a 1=1，a 2=−1，b 1=−1，b 2=1，A ≠B而A =B ⇒a 1a 2=b1b 2∴“a 1a 2=b1b 2”是“A =B ”的必要不充分条件故选B先根据a 1a 2=b1b 2，进行赋值说明此时A ≠B ，然后根据“M ⇒N ，M 是N 的充分不必要条件，N 是M 的必要不充分条件”，进行判定即可．本题主要考查了以不等式为载体考查两集合相等的充要条件，以及赋值法的运用，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵存在无穷多个素数p ，使得p +2是素数的否定为存在正数n ，对任意素数p >n ，p +2是合数，∴应假设存在正数n ，对任意素数p >n ，p +2是合数． 故选：D ．根据已知条件，结合反证法的定义，即可求解．本题主要考查反证法的应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：|x2+1x |+|x2−1x|+ax≥4x−8恒成立，即为|x2+1x |+|x2−1x|+8≥(4−a)x恒成立，当x>0时，可得4−a≤|x+1x2|+|x−1x2|+8x的最小值，由|x+1x2|+|x−1x2|+8x≥|x+1x2+x−1x2|+8x=2x+8x≥2√2x⋅8x=8，当且仅当x=2取得最小值8，即有4−a≤8，则a≥−4；当x<0时，可得4−a≥−[|x+1x2|+|x−1x2|−8x]的最大值，由|−x+1x2|+|−x−1x2|−8x≥−2x−8x≥2√2x⋅8x=8，当且仅当x=−2取得最大值−8，即有4−a≥−8，则a≤12，综上可得−4≤a≤12．故选：D．由题意可得|x2+1x |+|x2−1x|+8≥(4−a)x恒成立，讨论x>0，x<0，运用基本不等式，可得最值，进而得到所求范围．本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和分类讨论思想，以及基本不等式，考查转化思想和运算能力，属于难题．5.【答案】[−1,1]【解析】解：集合A={y|y=x2−1}={y|y≥−1}，B={y|y=−x2−2x}={y|y=−(x+1)2+1}={y|y≤1}，则A∩B=[−1,1]，故答案为：[−1,1]．求函数的值域得出集合A、B，再根据交集的定义求A∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．6.【答案】8【解析】【分析】由题意，可求集合A中有2，3，4三个元素．进而可得正确答案．本题考查集合的子集个数问题，对于集合的子集问题：一般来说，若集合中有n个元素，则集合的子集共有2n个．【解答】∈N，则5−x必为6的正约数，解：由于65−x∴5−x=1，2，3，6，∴x=4，3，2，−1；又x∈N，∴x=4，3，2．故集合A={2,3,4}，所以集合A子集个数为8个．故答案为：8．7.【答案】充分不必要【解析】解：∵(a−b)a2>0，又∵a2>0，∴a−b>0，即a>b，故(a−b)a2>0能推出a>b，令a=0，b=−1，满足a>b，但(a−b)a2=0，故a>b不能推出(a−b)a2>0，综上所述，“(a−b)a2>0”是“a>b”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．根据已知条件，结合不等式的性质，即可求解．本题主要考查充分性和必要性，以及不等式的性质，属于基础题．,+∞)8.【答案】(−∞,−1)∪(16【解析】解：∵不等式ax2+bx+c<0解集为(2,3)，∴a>0，且{−ba=5 ca=6，∴b=−5a，c=6a，∴不等式cx2−bx−a>0可化为6ax2+5ax−a>0，又∵a>0，∴6x2+5x−1>0，解得x<−1或x>16，即不等式cx2−bx−a>0的解集为(−∞,−1)∪(16,+∞)．故答案为：(−∞,−1)∪(16,+∞)．根据题意结合韦达定理可知a>0，且b=−5a，c=6a，代入所求不等式，解出x的取值范围即可．本题主要考查了解一元二次不等式，考查了韦达定理的应用，是基础题．9.【答案】(−∞,−3)∪(−12,5)【解析】解：由简单的高次不等式的解法——穿根法可知，不等式(2x+1)(x+3)(5−x)>0的解集为(−∞,−3)∪(−12,5)．故答案为：(−∞,−3)∪(−12,5)．直接利用简单的高次不等式的解法——穿根法，求解即可．本题考查了简单的高次不等式的解法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．10.【答案】{x|x=−7或x>2}【解析】解：不等式(x+7)2x−2≥0等价于{(x+7)2(x−2)≥0x−2≠0，解得x=−7或x>2，所以不等式的解集为{x|x=−7或x>2}．故答案为：{x|x=−7或x>2}．先将分式不等式进行等价转化，然后由简单的高次不等式的解法求解即可．本题考查了分式不等式以及简单的高次不等式的解法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．11.【答案】(−∞,2)∪(2,+∞)【解析】解：由|2x2−x |≥2xx−2，得|2xx−2|≥2xx−2， ∴2xx−2∈R ，即x ≠2．∴不等式|2x2−x |≥2xx−2的解集为(−∞,2)∪(2,+∞)． 故答案为：(−∞,2)∪(2,+∞)．由题意可知2x x−2∈R ，再由分母不为0得答案．本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想方法，是基础题．12.【答案】(−∞,−1]【解析】解：不等式(x −1)√x 2−x −2≤0等价于{x 2−x −2≥0x −1≤0，解得x ≤−1，所以不等式的解集为(−∞,−1]． 故答案为：(−∞,−1]．将不等式进行等价转化，得到{x 2−x −2≥0x −1≤0，求解即可．本题考查了不等式的解法，解题的关键是将不等式进行等价转化，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．13.【答案】(−∞,−1]∪[3,+∞)【解析】解：由不等式x 2+mx >x +m 对任意m ∈(−3,1)恒成立， 得(x −1)m +x 2−x >0对任意m ∈(−3,1)恒成立，令g(m)=(x −1)m +x 2−x ，得{g(−3)=−3(x −1)+x 2−x ≥0g(1)=x −1+x 2−x ≥0，即{x 2−4x +3≥0x 2−1≥0，解得x ≤−1或x ≥3． ∴实数x 的取值范围是(−∞,−1]∪[3,+∞)． 故答案为：(−∞,−1]∪[3,+∞)．把已知不等式变形，可得(x −1)m +x 2−x >0对任意m ∈(−3,1)恒成立，令g(m)=(x −1)m +x 2−x ，得{g(−3)≥0g(1)≥0，得到关于x 的不等式组求解．本题考查函数恒成立问题，考查化归与转化思想，更换主元是关键，是中档题．14.【答案】[1,53)∪(9,25]【解析】解：∵集合M ={x|ax−5x 2−a <0}， 得(ax −5)(x 2−a)<0， 当a =0时，显然不成立， 当a >0时，原不等式可化为 (x −5a )(x −√a)(x +√a)<0，若√a <5a 时，只需满足 {√a <3<5a a ≥1， 解得1≤a <53； 若√a >5a ，只需满足 {5a <3<√a √a ≤5， 解得 9<a ≤25，当a <0时，不符合条件， 综上，故答案为[1,53)∪(9,25]．根据分式不等式的解法，对实数a 进行分类讨论，然后结合条件3∈M ，5∉M 进行求解． 本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．15.【答案】(−3,4)【解析】解：在平面直角坐标系中画出−1<a <b <2的可行域，如图，令z =2b −a 2，可得b =12a 2+12z ，它表示开口向上的二次函数，对称轴为b 轴，二次函数经过A ，B时，取得最值，A(0,2)，B(−1,−1)，所以2b −a 2的最大值为：4，最小值为：−3，因为A 、B 不在可行域内，所以2b −a 2的范围是：(−3,4)．故答案为：(−3,4)．画出−1<a <b <2不表示的可行域，然后利用2b −a 2的几何意义求解范围即可． 本题考查线性规划的实际应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16.【答案】2√2−2【解析】解：ax 2+(b −2a)x +c −b ≥0(a >0)，△=(b −2a)2−4a(c −b)≤0，即b 2+4a 2−4ac ≤0，b 2≤4ac −4a 2，∴b 2a 2+c 2≤4ac−4a 2a 2+c 24ac −4a 2≤b 2，∴c ≥a ，求最大值、不妨令c =ka(k >1)∴4ac−4a 2a 2+c 2=4ka 2−4a 2k 2a 2+a 2=4k−1k 2+1(k >1)令k −1=t ，4ac−4a 2a 2+c 2=4t(t+1)2+1=41t+2t +2≤42√2+2=2√2−2即b 2a 2+c 2≤2√2−2，故答案为：2√2−2．根据不等式恒大于等于0，求出c ≥a ，令c =ka(k >1)，再根据基本不等式的性质求出代数式的最大值即可．本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质以及转化思想，是一道中档题．17.【答案】解：(1)∵A ∩B ={2}，∴2∈B ，代入B 中方程得a 2+4a +3=0，所以a =−1或a =−3(2分)当a=−1时，B={−2,2}，满足条件；当a=−3时，B={2}，也满足条件综上得a的值为−1或−3；(4分)(2)∵A∪B=A，∴B⊆A(5分)①当△=4(a+1)2−4(a2−5)=8(a+3)<0，即a<−3时，B=⌀满足条件②当△=0即a=−3时，B={2}，满足要求(6分)③当△>0，即a>−3时，B=A={1,2}才能满足要求，不可能故a的取值范围是a≤−3.(9分)(3)∵A∩(C U B)=A，∴A⊆(C U B)，∴A∩B=⌀(10分)①当△<0，即a<−3时，B=⌀，满足条件②当△=0即a=−3时，B={2}，A∩B={2}不适合条件③当△>0，即a>−3时，此时只需1∉B且2∉B将2代入B的方程得a=−1或a=−3将1代入B的方程得a=−1±√3∴a≠−1,a≠−3,a≠−1±√3(12分)综上，a的取值范围是a<−3或−3<a<−1−√3或−1−√3<a<−1或或−1< a<−1+√3或a>−1+√3(14分)【解析】(1)由题目中条件：“A∩B={2}”，知2是方程的一个根，由此可得实数a的值；(2)由题目中条件：“A∪B=A，”，知B⊆A，由此可得实数a的取值范围；(3)由题目中条件：“A∩(C U B)=A，”，知A∩B=⌀，由此可得实数a的取值范围．本题主要综合考查集合的交、并、补以及集合间的包含关系，属于中档题，解题时要善于进行转化．18.【答案】解：(1)若方程f(x)=0有实根，当m+1=0，即m=−1时，f(x)=x−2，f(x)=0有解；当m+1≠0，即m≠−1时，Δ=m2−4(m+1)(m−1)≥0，解得−2√33≤m≤2√33，且m≠−1．综上可得，m的取值范围是[−2√33,2√33]；(2)若m +1=0，即m =−1时，f(x)=x −2，f(x)>0的解为x >2，不符题意；若不等式f(x)>0的解集为⌀，只需m +1<0，且Δ=m 2−4(m +1)(m −1)≤0，解得m ≤−2√33，即m 的取值范围是(−∞,−2√33]； (3)若m +1=0，即m =−1时，f(x)=x −2，f(x)>0的解为x >2，不符题意；若不等式f(x)>0对一切实数x 恒成立，只需m +1>0，且Δ=m 2−4(m +1)(m −1)<0，解得m >2√33．即m 的取值范围是(2√33,+∞)．【解析】(1)考虑二次项系数是否为0，以及二次方程有实根的条件，解不等式可得所求范围；(2)考虑二次项系数是否为0，结合二次函数的图像和判别式的符号，解不等式可得所求范围；(3)考虑二次项系数是否为0，结合二次函数的图像和判别式的符号，解不等式可得所求范围．本题考查二次函数的图像和性质，以及不等式恒成立问题和方程有解问题，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)设每瓶定价为t 元，依题意，有[8−(t −15)×0.2](t −10)≥5×8，整理得t 2−65t +750≤0，解得15≤t ≤50．因此要使销售的总收入不低于原收入，每瓶定价最多为50元．(2)设每瓶定价为x(x ≥16)元，月总利润为f(x)，则f(x)=(x −10)[8−(x −15)0.45(x−15)2]−334(x −16) =(x −10)[8−0.45(x−15)]−334x +132 =−14(x −15+15)−0.45(x−15+15)x−15+ 4.5x−15+52 =−[14(x −15)+2.25x−15]+47.8≤−2√14(x−15)2.25x−15+47.8=46.3当且仅当，当且仅当14(x−15)= 2.25x−15，即(x−15)2=9，∴x−15=3或x−15=−3(舍去)，所以x=18，因此当每瓶售价18元时，下月的月总利润最大，最大总利润为46.3万元．【解析】(1)设每瓶定价为t元，依题意列出[8−(t−15)×0.2](t−10)≥5×8，求解即可．(2)设每瓶定价为x(x≥16)元，月总利润为f(x)，得到函数的解析式，化简利用基本不等式求解最值即可．本题考查函数问题的实际应用，函数的解析式的求法以及基本不等式求解最值的方法的应用，是中档题．20.【答案】解：(1)当k=0时，A=(−∞,4]，当k>0，A=(−∞,4)∪(k+5k,+∞)，当k<0时，A=(k+5k,4)，(2)由(1)知，当k≥0时，集合B中的元素个数无限，当k<0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集k<0时，k+5k≤−2√5，当且仅当k=−√5时取等号，又k∈Z，得k+5k∈[−4,4)，B={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3}．【解析】(1)对k的讨论是本题解题的关键，考虑到方程类型，最高次项系数的正负及根的大小等因素，(2)由(1)的讨论为基础，继续分析B中元素的个数并比较元素最少的情况．本题考查的分类讨论的思想，这也是高中数学中经常考查的思想内容，属于容易题．21.【答案】解：(1)解：∵U ⊆R 为一个数集，集合A ={s 2+3t 2|s,t ∈U}． U ={1,3,5}，∴当s =t =1时，s 2+3t 2=1+3=4，当s =1，t =3时，s 2+3t 2=1+27=28，当s =3，t =1时，s 2+3t 2=9+3=12，当s =1，t =5时，s 2+3t 2=1+75=76，当s =5，t =1时，s 2+3t 2=25+3=28，当s =3，t =5时，s 2+3t 2=9+75=84，当s =5，t =3时，s 2+3t 2=25+27=52，当s =t =3时，s 2+3t 2=9+27=36，当s =t =5时，s 2+3t 2=25+75=100，∴A ={4,12,28,36,52,76,84,100}，8个．(2)证明：∵U =Z ，x ∈A ，∴x =s 2+3t 2，∴7x =7(s 2+3t 2)=7s 2+21t 2=(2s +3t)2+3(s −2t)2∈A ．∴7x ∈A ．(3)解：xy =(m 2+3n 2)(p 2+3q 2)=3(mq +np)2+(mp −3nq)2=3(mq +np)2+3， 设mq +np =6，∴y =3b 2+3x ，x +y +mq +np =x +3b 2+3x +b ≥2√3b 2+3+b ，设2√3b 2+3+b =t ，整理得11b 2+2bt +12−t 2=0，判别式法，△=4b 2−44(12−t 2)≥0，得t ≥√11，即(x +y +mq +np)min =√11．∴x +y +mq +np 的最小值为√11．【解析】(1)分别求出s =t =1、s =1，t =3、s =3，t =1、s =1，t =5、s =5，t =1、s =3，t =5、s =5，t =3、s =t =3、s =t =5时，s 2+3t 2的值，由此能求出集合A ．(2)由U =Z ，x ∈A ，求出x =s 2+3t 2，从而推导出7x =7(s 2+3t 2)=(2s +3t)2+3(s −2t)2，由此能证明7x ∈A ．(3)求出xy =(m 2+3n 2)(p 2+3q 2)=3(mq +np)2+3，设mq +np =6，推导出x +y +mq +np =x +3b 2+3x +b ≥2√3b 2+3+b ，设2√3b 2+3+b =t ，得11b 2+2bt +12−t 2=0，利用判别式法，能求出x +y +mq +np 的最小值．本题考查集合的求法，考查元素是集合中的元素的证明，考查代数式的最小值的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
2020-2021学年上海市青浦高级中学高一上学期10月质量检测数学试题(解析版)
2020-2021学年上海市青浦高级中学高一上学期10月质量检测数学试题一、单选题1．下列表示图形中的阴影部分的是（）A ．()()A CBC B ．()()A B A C C ．()()A B B CD ．()A B C【答案】A【解析】由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足“是A 的元素且是B 的元素，或是C 的元素”，由韦恩图与集合之间的关系易得答案.【详解】解：由已知中阴影部分所表示的集合元素满足“是A 的元素且是B 的元素，或是C 的元素”，故阴影部分所表示的集合是()()()C A B A C B C = 故选：A 【点睛】本题考查利用韦恩图求集合、考查韦恩图在解决集合间的关系时是重要的工具．2．一元二次方程20ax bx c ++=有解是一元二次不等式20ax bx c ++>有解的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】D【解析】根据充要条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：对于方程20ax bx c ++=，当240b ac a ⎧∆=-=⎨<⎩，方程有解，此时20ax bx c ++>的解集为空集，故充分性不成立；若对于20ax bx c ++>当2400b ac a ⎧∆=-<⎨>⎩时不等式的解集为R ，此时方程20ax bx c ++=无解，故必要性也不成立，故一元二次方程20ax bx c ++=有解是一元二次不等式20ax bx c ++>有解的既非充分又非必要条件故选：D 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，属于基础题.3．已知*N k ∈，,,R x y z +∈，若222()5()k xy yz zx x y z ++>++，则对此不等式描述正确的是（）A ．若5k =，则至少存在．．．．一个以,,x y z 为边长的等边三角形B ．若6k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形C ．若7k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形D ．若8k =，则对满足不等式的,,x y z 不存在．．．以,,x y z 为边长的直角三角形【答案】B【解析】本题可用排除法，由222222222222x y y z z x x y z xy yz zx +++++=++≥++，对于A ，若5k =，可得222xy yz zx x y z ++>++，故不存在这样的,,,x y z A 错误，排除A ；对于,1,1,2C x y z ===时，()()22275xy yz zx x y z++>++成立，而以,,x y z为边的三角形不存在，C 错误，排除C ；对于,D 1,1,x y z ===时，()()22285xy yz zx x y z ++>++成立，存在以,,x y z 为边的三角形为直角三角形，故D 错误，排除,D 故选B.【方法点睛】本题主要考查不等式的性质、排除法解选择题，属于难题.用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法.若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.二、填空题4．设全集U =R ，集合{1,2,3,4}A =，{23}B xx =≤<∣，则A B = ___________【答案】{1,3,4}【解析】根据集合交补含义可得.【详解】因为{23}B xx =≤<∣，()[),23,B =-∞+∞ ，{}134A B = ，，.故答案为:{1,3,4}【点睛】此题为基础题，考查集合的运算.5．被4除余2的所有自然数组成的集合B =___________【答案】{}42,xx k k Z =+∈∣【解析】用集合描述法表示.【详解】被4除余2的所有自然数组成的集合{}42,B x x k k Z ==+∈故答案为:{}42,xx k k Z =+∈∣【点睛】此题为基础题，考查集合表示方法及整数与整除的相关知识.6．满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊆Ü的集合M 有___________个【答案】7【解析】依题意1M ∈且2M ∈且3,4,5至少有一个属于集合M ，再一一列举出来即可；【详解】解：因为{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠，所以1M ∈且2M ∈且3,4,5至少有一个属于集合M ，可能有{}1,2,3，{}1,4,2，{}1,2,5，{}1,2,4,3，{}1,2,5,3，{}1,2,5,4，{}1,2,3,4,5共7个，故答案为：7【点睛】本题考查集合的包含关系，求集合的子集，属于基础题.7．集合6{|,}52M a Z a N a=∈∈-用列举法表示为_________.【答案】{1,2,3,4}【解析】因为652Z a∈-，所以52a -可取6,3,2,1,1,2,3,6----，分别列方程解出a 的值，结合a N ∈，可得 1,2,3,4的值为，即M ={}1,2,3,4，故答案为{}1,2,3,4.8．已知集合{}221A y y x x ==--+∣，{}21B y y x x ==++∣，则A B = _________【答案】3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由于集合A ，B 表示二次函数的值域，所以先利用配方法求出集合A ，B ，再求交集【详解】解：因为2221(1)2y x x x =--+=-++，所以2y ≤，所以{}{}2212A yy x x y y ==--+=≤∣，因为22131()24y x x x =++=++，所以34y ≥，所以{}2314B yy x x y y ⎧⎫==++=≥⎨⎬⎩⎭∣，所以A B = 3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】此题考查集合的交集运算，考查二次函数值域的求法，属于基础题9．已知一元二次方程20x px p ++=的两个实根分别为α，β，且223αβ+=，则实数p =_________【答案】1-【解析】利用根的判定式求出参数的取值范围，再利用韦达定理计算可得；【详解】解：因为一元二次方程20x px p ++=的两个实根分别为α，β，所以240p p ∆=-≥，解得4p ≥或0p ≤所以p pαβαβ+=-⎧⎨=⎩又因为223αβ+=，所以()22223αβαβαβ+=+-=，即()223p p --=，解得1p =-或3p =（舍去）故答案为：1-【点睛】本题考查根与系数的关系的应用，属于基础题.10．若关于x 的不等式20ax x b ++>的解集为()0,1，则a b +=_________【答案】1-【解析】依题意可得0与1是方程20ax x b ++=的两根，利用韦达定理计算可得；【详解】解：因为关于x 的不等式20ax x b ++>的解集为()0,1，所以0与1是方程20ax x b ++=的两根，所以10101a b a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得10a b =-⎧⎨=⎩所以1a b +=-故答案为：1-【点睛】本题考查一元二次不等式的解集与一元二次方程的关系，属于基础题.11．已知等式()()212430x m x n x ++-+-=对x ∈R 恒成立，则m n +=_________【答案】3-【解析】化简方程为(23)240m n x m n --+++=，根据恒成立即可求解.【详解】因为()()212430x m x n x ++-+-=对x ∈R 恒成立，所以(23)240m n x m n --+++=对x ∈R 恒成立，所以230240m n m n --=⎧⎨++=⎩，解得1,2m n =-=-，所以3m n +=-，故答案为：3-【点睛】本题主要考查了方程的恒成立问题，考查了运算能力，属于中档题.12．若实数,x y 满足，且1xy =，则222x y +的最小值为______.【答案】【解析】利用基本不等式可得，222x y +≥=，再验证等号成立的条件即可.【详解】∵1xy=，222x y +=≥，当且仅当22,21x y xy ==时等号成立.故答案为【点睛】本题考查基本不等式的应用，运用基本不等式求最值时要注意验证等号成立的条件，属基础题.13．设*n N ∈，一元二次方程240x x n -+=有整数根的充要条件是n =__________【答案】3或4【解析】由一元二次方程有实数根⇔△0得4n ；又n ∈+N ，则分别讨论n 为1，2，3，4时的情况即可．【详解】解：一元二次方程240x x n -+=有实数根2(4)404n n ⇔--⇔；又n ∈+N ，则4n =时，方程2440x x -+=，有整数根2；3n =时，方程2430x x -+=，有整数根1，3；2n =时，方程2420x x -+=，无整数根；1n =时，方程2410x x -+=，无整数根．所以3n =或4n =．故答案为：3或4．【点睛】本题考查一元二次方程有实根的充要条件及分类讨论的策略，属于基础题．14．定义,,xA B zz xy x A y B y ⎧⎫∇==+∈∈⎨⎬⎩⎭∣，设集合{0,2}A =，{1,2}B =，{1}C =，则集合()A B C ∇∇=__________【答案】{}0,8,10【解析】根据新定义依次求集合元素即可.【详解】{}{}{}()0,4,510,8,10A B C ∇∇=∇=故答案为:{}0,8,10【点睛】新定义题关键在于审题，是高考常见题型.15．若x A ∈，则2x A -∈，则称A 是“对偶关系”集合，若集合{},4,2,0,2,4,6,7a --的所有非空子集中是“对偶关系”的集合一共15个，则实数a 的取值集合为__________【答案】{}1,5-【解析】根据定义，列举集合{a ，4-，2-，0，2，4，6，7}的所有的“对偶关系”的集合，再去考查实数a 的取值即可．【详解】解：集合{a ，4-，2-，0，2，4，6，7}的所有的“对偶关系”有4-与6，2-与4，2与0，则a 与7，这些组合的“对偶关系”有4对，集合有42115-=个．那么27a -=，可得5a =-．当1a =时，则21a -=，也满足“对偶关系”．可得实数a 的取值集合为{}1,5-．故答案为：{}1,5-．【点睛】本类问题通常以选择和填空出现，考查集合和元素之间的关系，有时也出现在以其他知识为背景的综合题中，渗透集合的思想，体现基础性与应用性．属于基础题三、解答题16．设k ∈R ，求关于x 与y 的二元一次方程组123y kx y kx =+⎧⎨=+⎩的解集．【答案】分类讨论，答案见解析．【解析】消元得123kx kx +=+，再对参数k 分类讨论，计算可得；【详解】解：由123y kx y kx =+⎧⎨=+⎩得123kx kx +=+，即2kx =-（），当0k =时，无解，解集为∅，当0k ≠时，2x k =-，211y k k ⎛⎫=⋅-+=- ⎪⎝⎭，解集为2,1k⎧⎫⎛⎫--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭．【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，考查分类讨论思想，属于基础题.17．已知命题:p 方程244(2)10x m x --+=有两个不相等的负根；命题:q 方程2340x mx ++=无实根若命题p 与q 一真一假，求实数m 的取值范围．【答案】44,1,33⎛⎤⎡⎫-∞- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】先由已知条件求出p 为真时，有1m <，q 为真时，有4433m -<<，再由命题p 与q 一真一假，分情况求解即可【详解】解：若p 为真，则()216216020m m ⎧∆=-->⎪⎨-<⎪⎩，解得1m <，若q 为真，则29160m ∆=-<，解得4433m -<<，而命题p 与q 一真一假，共有两种情况，①p 真q 假，则143m m <⎧⎪⎨≤-⎪⎩或143m m <⎧⎪⎨≥⎪⎩，所以43m ≤-；②p 假q 真，则14433m m ≥⎧⎪⎨-<<⎪⎩，所以413m ≤<；综上，实数m 的取值范围是44,1,33⎛⎤⎡⎫-∞- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．【点睛】此题考查由命题的真假求参数范围，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题18．距码头O 南偏东60︒的400千米A 处有一个台风中心．已知台风以每小时40千米的速度向正北方向移动，距台风中心350千米以内都受台风影响．问：从现在起多少时间后，码头将受台风影响？码头受台风影响的时间有多长？【答案】154小时后，码头将受台风影响，影响时间为52小时．【解析】首先设台风到达B 处时，码头开始受台风影响，离开C 处时，码头不再受台风影响，再利用余弦定理即可得到答案.【详解】设台风到达B 处时，码头开始受台风影响，离开C 处时，码头不再受台风影响，如图所示：所以400OA =，350OB OC ==，60OAB ∠= ，设AB x =，根据余弦定理得：2223504002400cos 60x x =+-⋅⋅⋅ 解得150x =或250x =（舍去），所以150AB =，250AC =.因为15015404=，2501505402-=，所以从现在起154个小时后，码头将受台风影响，码头受台风影响的时间为52小时.【点睛】本题主要考查余弦定理得实际应用，考查学生分析问题的能力，属于中档题.19．（1）已知a b >，用比较法证明33a b >；（2）已知332p q +=，用反证法证明：2p q +≤．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）利用作差法比较大小即可；（2）假设2p q +>，则2p q >-，结合（1）中的结论，得到矛盾，即可得证；【详解】解：（1）()3322()a b a b a ab b-=-++，因为222213024a ab b a b b ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，取等号的条件为0a b ==而a b >，故等号无法取得，即222213024a b b a ab b ⎛⎫=++> ⎪⎝+⎭+又a b >，所以()3322()0a b a b a ab b -=-++>，所以33a b >；（2）假设2p q +>，则2p q >-，所以由（1）得()332p q >-，所以3328126p q q q +>-+，又332p q +=，所以228126q q >-+，即()2221010q q q -+<⇒-<矛盾，所以假设错误，所以2p q +≤．【点睛】本题考查作差法比较大小以及反证法证明，属于基础题.20．设n 为正整数，集合12{|(,,,),{0,1}}n k A t t t t αα==⋅⋅⋅∈（1,2,,k n =⋅⋅⋅），对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=⋅⋅⋅和12(,,,)n y y y β=⋅⋅⋅，记111122221(,)||)(||)(||)]2n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ=+--++--+⋅⋅⋅++--.（1）当3n =时，若(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值；（2）当4n =时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素α、β，当α、β相同时，(,)M αβ是奇数，当α、β不同时，(,)M αβ是偶数，求集合B 中元素个数11的最大值.【答案】（1）(,)2M αα=，(,)1M αβ=；（2）4.【解析】（1）利用(,)M αβ的定义，求得(,)M αα和(,)M αβ的值.（2）当4n =时，根据α、β相同时，(,)M αβ是奇数，求得此时集合B 中元素所有可能取值，然后验证α、β不同时，(,)M αβ是偶数，由此确定集合B 中元素个数的最大值.【详解】（1）依题意(,)M αα()()()111011000022=+-++-++-=⎡⎤⎣⎦；(,)M αβ()()()110111001112=+-++-++-=⎡⎤⎣⎦.（2）当4n =时，依题意当α、β相同时，(,)M αβ()()()()1122334412x x x x x x x x =+++++++⎡⎤⎣⎦1234x x x x =+++为奇数，则1234,,,x x x x 中有“3个1和1个0”或者“1个1和3个0”.当α、β不同时：①当1234,,,x x x x 中有“3个1和1个0”时，元素为()()()()1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1，经验证可知(,)M αβ是偶数，符合题意，集合B 最多有4个元素()()()()1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1.②当1234,,,x x x x 中有“1个1和3个0”时，元素为()()()()1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1，经验证可知(,)M αβ是偶数，符合题意，集合B 最多有4个元素()()()()1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1.综上所述，不管是①还是②，集合B 中元素个数的最大值为4.【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.。
2020-2021学年上海市青浦区高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年上海市青浦区高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1. 若0<a <1,b <−1，则函数f(x)=a x +b 的图象不经过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 下列函数中，定义域为R 的偶函数是( )A. y =2xB. y =x|x|C. y =|x 2−1|D. y =log 2|x|3. 下列不等式中，恒成立的是( )A. x +4x ≥4B. |x −y|+1x−y ≥2 C. |x −y|≥|x −z|+|y −z|D. x 2+1x 2≥x +1x4. 已知集合A =[0,12)，B =[12,1]，f(x)={x +12,x ∈A2(1−x),x ∈B，若x 0∈A ，且f(f(x 0))∈A ，则x 0的取值范围是( )A. (0,14]B. (14,12)C. (14,12]D. [0,38]二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 已知全集U ={−1,0，2}，集合A ={−1,0}，则A −= ______ ． 6. 不等式1x <12的解集是______．7. 已知log 32=a ，则用a 表示log 827= ______ ．8. 若a ，b ∈R ，且|a|≤1，|b|≤5，则|a +b|的最大值是______ ． 9. 已知幂函数y =(a 2−a +1)x a+2为奇函数，则实数a 的值为______ ．10. 已知条件α：0<x <4和条件β：0<x <a ，若α是β的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______ ． 11. 函数y =2x −12x +1的值域为______ ． 12. 已知正实数x ，y 满足1x +2y =3，则yx 的最大值为______ ． 13. 已知函数y ={2x −x 2,x >0x 2−2x,x <0，则该函数的零点是______ ．14. 在创全国文明城区的活动中，督查组对城区的评选设计了x 1，x 2，x 3，x 4四项多元评价指标，并通过经验公式S =x 1x 2+x3x 4来计算各城区的综合得分，S 的值越高则评价效果越好.若某城区在自查过程中各项指标显示为0<x 3<x 4<x 2<x 1，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为______ .(填入x 1，x 2，x 3，x 4中的一个)15.已知函数y=f(x)，其中f(x)=x3+x，关于x的不等式f(mx2+2)+f(−x)<0在区间[1,5]上有解，则实数m的取值范围是______ ．>1，则不等式f(2x−16.已知函数f(x)的定义域为R，f(1)=3，对任意两个不等的实数a，b都有f(a)−f(b)a−b1)<2x+1的解集为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）17.已知不等式|1−2x|<7的解集是A，函数y=√x2+2x−8的定义域是B，求A∩B．18.已知函数y=f(x)，其中f(x)=x+1．x(1)判断函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若g(x)=f(x)⋅x+ax，且y=g(x)在区间(0,2]上是严格减函数，求实数a的取值范围．19.设f(x)=(m+1)x2−mx+m−1(m∈R)．(1)若不等式f(x)>0解集为⌀，求实数m的取值范围；(2)若不等式f(x)>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．20.研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示．当x∈[0,16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16,40]时，曲线是函数y=log0.8(x+a)+80图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”．(1)求函数y=f(x)的解析式；(2)在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(精确到1分钟)21.定义：如果函数y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在实数x0(a<x0<b)，满足f(x0)=f(b)−f(a)，b−a 那么称函数y=f(x)是区间[a,b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．(1)判断函数f(x)=x4是否是区间[−1,1]上的“平均值函数”，并说明理由；(2)若函数g(x)=−4x+m⋅2x是区间[0,1]上的“平均值函数”，求实数m的取值范围；(3)设函数ℎ(x)=kx2+x−4(k>0,k∈N)是区间[−2,t](t>0，t∈N)上的“平均值函数”，1是函数ℎ(x)的一个均值点，求所有满足条件的数对(k,t)．答案和解析1.【答案】A【解析】解：函数f(x)=a x (0<a <1)的是减函数，图象过定点(0,1)，在x 轴上方，过一、二象限， 函数f(x)=a x +b 的图象由函数f(x)=a x 的图象向下平移|b|个单位得到， ∵b <−1，∴|b|>1，∴函数f(x)=a x +b 的图象与y 轴交于负半轴， 如图，函数f(x)=a x +b 的图象过二、三、四象限． 故选A ．根据函数f(x)=a x (0<a <1)的单调性和平移方向，可知图象不过第一象限．本题考查指数函数的图象和性质，利用图象的平移得到新的图象，其单调性、形状不发生变化，结合图形，一目了然．2.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y =2x ，是指数函数，不是偶函数，不符合题意， 对于B ，y =x|x|={x 2,x ≥0−x 2,x <0，不是偶函数，不符合题意，对于C ，y =|x 2−1|，定义域为R ，有f(−x)=|x 2−1|=f(x)，是定义域为R 的偶函数，符合题意， 对于D ，y ==log 2|x|，定义域不是R ，不符合题意， 故选：C ．根据题意，依次分析选项中函数的定义域和奇偶性，综合即可得答案． 本题考查函数的奇偶性的判断，涉及函数的定义域，属于基础题．【解析】解：当x =−1时，x +4x =−5<4，故选项A 错误； 又当x =1，y =2时，|x −y|+1x−y =0<2，故选项B 错误；由绝对值不等式的性质可得：|x −z|+|y −z|≥|(x −z)−(y −z)|=|x −y|，故选项C 错误； 对于选项D ：当x <0时，显然有x 2+1x 2≥x +1x ；当x >0时，令f(t)=t +1t ，t >0，则f(t)在(0,1]上单调递减，在[1,+∞)上单调递增， 又当x >1时，x 2>x >1，则有：f(x 2)>f(x)，即x 2+1x 2>x +1x ， 当x =1时，x 2=x ，则有f(x 2)=f(x)，即x 2+1x 2=x +1x ，当0<x <1时，0<x 2<x <1，则有f(x 2)>f(x)，即x 2+1x 2>x +1x ， 综上，x 2+1x 2≥x +1x ，故选项D 正确， 故选：D ．利用函数及绝对值不等式的性质逐个选项验证其正误即可．本题主要考查特值法、绝对值不等式的性质及函数性质的应用，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：根据题意，f(x)={x +12,x ∈A2(1−x),x ∈B，若x 0∈A ，即0≤x 0<12，f(x 0)=x 0+12，有12≤f(x 0)<1，则f(f(x 0))=2[1−f(x 0)]=1−2x 0， 若f(f(x 0))∈A ，则0≤1−2x 0<12，解可得：14<x 0<12，即x 0的取值范围是(14,12)， 故选：B ．根据题意，由函数的解析式可得f(f(x 0))=2[1−f(x 0)]=1−2x 0，则有0≤1−2x 0<12，解可得x 0的取值范围，即可得答案．本题考查分段函数的求值，涉及函数的值域分析，属于基础题．【解析】解：全集U={−1,0，2}，集合A={−1,0}，由补集的定义A−={x|x∈U且x∉A}，可得A−={2}．故答案为：{2}．运用集合的补集定义：A−={x|x∈U且x∉A}，即可得到所求．本题考查集合的运算，主要是补集的求法，注意运用定义法，考查运算能力，属于基础题6.【答案】(−∞,0)∪(2,+∞)【解析】解：当x>0时，去分母得：x>2，所以原不等式的解集为：(2,+∞)；当x<0时，去分母得：x<2，所以原不等式的解集为：(−∞,0)，综上，原不等式的解集为：(−∞,0)∪(2,+∞)．故答案为：(−∞,0)∪(2,+∞)根据x大于0和x小于0分两种情况考虑，当x大于0时，去分母得到不等式的解集，与x大于0求出交集即为原不等式的解集；当x小于0时，去分母得到不等式的解集，与x小于0求出交集即为原不等式的解集，综上，得到所有满足题意的x的范围即为原不等式的解集．此题考查了其他不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，是一道基础题．学生做题时注意在不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号要改变．7.【答案】1a【解析】解：因为log32=a，所以log827=log2333=log23=1log32=1a．故答案为：1a．利用对数的运算性质进行分析求解即可．本题考查了对数的运算，涉及了对数的运算性质的应用，同时考查了log a b⋅log b a=1的应用．【解析】解：∵|a|≤1，|b|≤5，根据绝对值不等式的性质，得||a|−|b||≤|a +b|≤|a|+|b|，∴|a +b|的最大值是6，当a =1，b =5或a =−1，b =−5时，|a +b|取得最大值6． 故答案为：6．由已知结合绝对值不等式的性质即可求得|a +b|的最大值．本题考查绝对值不等式的性质的应用，理解并牢记公式是解题的关键，是基础题．9.【答案】1【解析】解：由题意得：a 2−a +1=1，解得：a =0或a =1， 故a =0时，y =x 2，是偶函数，不合题意， a =1时，y =x 3，是奇函数，符合题意， 故答案为：1．根据幂函数的定义求出a 的值，根据函数的奇偶性确定a 的值即可． 本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，是一道基础题．10.【答案】(4,+∞)【解析】解：∵α是β的充分不必要条件， ∴α⫋β， ∴a >4，故答案为：(4,+∞)．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．11.【答案】(−1,1)【解析】解：函数y =2x −12x +1=1−22x +1，因为x ∈R ，所以2x +1>1，所以−22x +1∈(−2,0)，则1−22x +1∈(−1,1)，故函数的值域为(−1,1)．先通过分离常数法化简函数解析式，再通过指数函数的值域以及反比例函数的值域即可求解．本题考查了求函数的值域问题，涉及到分离常数法以及指数函数和反比例函数值域的应用，属于基础题．12.【答案】98【解析】解：∵正实数x ，y 满足1x +2y =3， ∴0<y <32，则yx =y(3−2y)=−2(y −34)2+98， ∴当y =34时，yx 的最大值为98， 故答案为：98．根据条件求出y 的取值范围，再结合二次函数的性质即可求解结论． 本题主要考查二次函数的性质，属于基础题目．13.【答案】x =2【解析】解：因为函数y ={2x −x 2,x >0x 2−2x,x <0，当x >0时，令2x −x 2=0，解得x =2或x =0(舍)； 当x <0时，令x 2−2x =0，解得x =2或x =0(舍)； 综上可得，该函数的零点是x =2． 故答案为：x =2．根据函数零点的定义，将问题转化为求方程的根即可得到答案．本题考查了函数的零点的定义，解题的关键是把球函数的零点转化为求对应方程的根．14.【答案】x 3【解析】解：∵S =x 1x 2+x3x 4，∴要使S 增加，则应该增加分子x 1或x 3，减小分母x 2或x 4，又0<x 3<x 4<x 2<x 1，且在分子都增加1的前提下，分母越小时，S 的值增加越多， ∴要使S 的值增加最多，则应该增加x 3．故答案为：x 3．从分式的性质中，寻找S 值的变化规律．本题考查函数的实际应用，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．15.【答案】(−∞,18)【解析】解：f(−x)=−x 3−x =−f(x)，∴f(x)是奇函数， 又f′(x)=3x 2+1>0， ∴f(x)在R 上是增函数，∵f(mx 2+2)+f(−x)<0在[1,5]上有解， ∴f(mx 2+2)<−f(−x)=f(x)在[1,5]上有解 ∴mx 2+2<x 在[1,5]上有解， 即m <x−2x 在[1,5]上有解．令g(x)=x−2x 2，x ∈[1,5]，则只需m <g max (x)即可． ∵g′(x)=4−x x 3，∴当1≤x <4时，g′(x)>0，当4<x ≤5时，g′(x)<0， ∴g max (x)=g(4)=18，∴m <18，故答案为(−∞,18).判断f(x)的单调性和奇偶性，从而得出mx 2+2<x 在[1,5]上有解，再分离参数得m <x−2x 2，求出g(x)=x−2x 2最大值即可得出m 的范围．本题考查了函数单调性与奇偶性的应用，存在性问题与函数最值的计算，属于中档题．16.【答案】(−∞,1)【解析】解：不妨令a >b ，则f(a)−f(b)a−b>1等价于f(a)−a >f(b)−b ，构造函数ℎ(x)=f(x)−x ，则ℎ(x)是R 上的增函数， 因为f(1)=3，所以f(2x −1)<2x +1等价于f(2x −1)−(2x −1)<f(1)−1，即2x −1<1，解得x <1．故答案为：(−∞,1)．构造函数ℎ(x)=f(x)−x ，由已知结合单调性定义可得ℎ(x)是R 上的增函数，结合单调性可求不等式的解集．本题主要考查了利用函数的单调性的定义求解不等式，解题的关键是函数的构造．17.【答案】解：∵A ={x||1−2x|<7}={x|−3<x <4}，B ={x|x 2+2x −8≥0}={x|x ≤−4或x ≥2}， ∴A ∩B =[2,4)．【解析】根据题意即可求出A ，B ，然后进行交集的运算即可．本题考查了绝对值不等式和一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题． 18.【答案】解：(1)f(x)=x +1x ，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且f(−x)=−x +1−x =−(x +1x )=−f(x)，所以函数y =f(x)为奇函数．(2)g(x)=f(x)⋅x +ax =x 2+ax +1，因为y =g(x)在区间(0,2]上是严格减函数，所以−a 2≥2，解得a ≤−4，即实数a 的取值范围为(−∞,−4]．【解析】(1)由函数的奇偶性的定义即可判断；(2)求出g(x)，由二次函数的性质即可求得a 的取值范围．本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，属于基础题． 19.【答案】解：(1)由不等式f(x)>0解集为⌀，可得{m +1<0△=m 2−4(m +1)(m −1)≤0，即为{m <−1m ≥2√33或m ≤−2√33， 可得m ≤−2√33， 即m 的取值范围是(−∞,−2√33]； (2)由不等式f(x)>0对一切实数x 恒成立，当m +1=0，即m =−1时，f(x)=x −2，则f(x)>0不恒成立；当m +1<0时，f(x)的图象为开口向下的抛物线，f(x)>0不恒成立；当m +1>0，且△<0，f(x)>0恒成立，由{m +1>0△=m 2−4(m +1)(m −1)<0，即为{m >−1m >2√33或m <−2√33， 解得m >2√33， 即m 的取值范围是(2√33,+∞)．【解析】(1)由题意可得m +1<0，且△≤0，解不等式可得所求范围；(2)讨论m +1≤0，f(x)>0不恒成立；m +1>0，△<0，解不等式可得所求范围．本题考查二次函数的图象与性质和二次不等式的解法，以及不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)当x ∈[0,16]时，设f(x)=b(x −12)2+84，(b <0)，所以f(16)=b(16−12)2+84=80，解得b =−14，所以f(x)=−14(x −12)2+84，当x ∈[16,40]时，f(x)=log 0.8(x +a)+80，由f(16)=log 0.8(16+a)+80=80，解得a =−15， 所以f(x)=log 0.8(x −15)+80，综上可得，f(x)={−14(x −12)2+84,x ∈[0,16]log 0.8(x −15)+80,x ∈(16,40]； (2)当x ∈[0,16]时，令f(x)=−14(x −12)2+84<68，解得x ∈[0,4]，当x ∈[16,40]时，令f(x)=log 0.8(x −15)+80<68，解得x ∈[30,40]，故在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有4+10=14分钟．【解析】(1)利用待定系数法设出对应的函数解析式，再利用图象上的特殊点，即可求得答案；(2)根据(1)中的解析式，分两种情况分别列出不等式，求解不等式即可得到答案．本题考查了函数解析式的求解及常用方法，涉及了分段函数解析式的求解，要掌握求解析式的常用方法：待定系数法、换元法、方程组法、配凑法等．21.【答案】解：(1)是；理由：根据新定义，可得f(1)−f(−1)1−(−1)=x 4在区间[−1,1]上有解，可得x =0，所以(1)是“平均值函数”；(2)函数g(x)=−4x +m ⋅2x 是区间[0,1]上的“平均值函数”，可得m−31−0=−4x +m ⋅2x 在区间[0,1]上有解，可得4x −m ⋅2x +m −3=0在区间[0,1]上有解，令2x =t ，t ∈[1,2]，则t 2−mt +m −3=0在区间[1,2]上有解，令g(t)=t 2−mt +m −3∴{△≥0g(1)≥0g(2)≥01<m 2<2或g(1)⋅g(2)≤0， 即{ m 2−4(m −3)≥0−2≥01−m ≥01<m 2<2此时不等式组无解； 或−2⋅(1−m)≤0；解得m ≤1．故实数m 的取值范围(−∞,1]；(3)函数ℎ(x)=kx 2+x −4(k >0,k ∈N)是区间[−2,t](t >0，t ∈N)上的“平均值函数”，1是函数ℎ(x)的一个均值点，即kt 2+t−4−4k+6t+2=k −3，可得k(3−t)=4，∴k =43−t∵k ∈N ，k >0，t >0，t ∈N ，则43−t ≥1解得3>t ≥−1，当t =1，k 不是整数，当t =2时，可得k =4，故所有满足条件的数对(4,2)．【解析】(1)根据新定义及即可判断；(2)根据新定义及转化为二次函数在区间[0,1]上有解问题，即可求解实数m 的取值范围；(3)根据1是函数ℎ(x)的一个均值点，求解k与t的关系，即可求解满足条件的数对(k,t)即可；本题考查新定义函数与方程的应用，考查分析问题解决问题的能力，题目比较新颖．属于中档题．。
上海市青浦高中2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题(学生版)
2020-20201学年青浦高级中学高二上数学10月月考卷一．填空题（本大题共12题，1-6每题3分，7-12每题4分，共42分）1. 方程组：3232410x y x y -=-⎧⎨++=⎩的增广矩阵是_______2. 已知(5,4)a =，(3,2)b =，则23a b -的同向单位向量为____________________.3. 三阶行列式42354112k--的第2行第1列元素的代数余子式的值为10-，则k =_________4. 已知(3,1)a =-，(1,3)b =-，则向量a 在b 方向上的投影为_________5. 点P 分有向线段12PP 成定比λ，若1122PP PP =，则λ=_________ 6. 已知直角坐标平面内的两个向量()()1,2,1,3a b m m ==-+，使平面内的任意一个向量c 都可以唯一分解成c a b λμ=+，则m 的取值范围是___________7. ∆ABC 的AB 边中点为D ，AC =1，BC =2，则AB CD ⋅的值为_______________.8. 非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状为____________．9. 如图，在梯形ABCD 中，AB //DC ，AD AB ⊥，122AD DC AB ===，点N 是CD 边上一动点，则AN AB ⋅的最大值为 ．10. 已知点O 是三角形 ABC 的外接圆圆心，且3,4AB AC ==．若存在非零实数 ,x y ，使得AO x AB y AC =+，且 21x y +=，则cos BAC ∠= .11. 设 a b c ，，是平面内互不平行的三个向量，x ∈R ，有下列命题：①方程20ax bx c ++=不可能有两个不同的实数解；②方程20ax bx c ++=有实数解的充要条件是240b a c -⋅≥；③方程22220a x a bx b +⋅+=有唯一的实数解bx a=-；④方程22220a x a bx b +⋅+=没有实数解，其中真命题有_______________.(写出所有真命题的序号) 12. 非零向量,m n 的夹角为3π，且满足()0n m λλ=>，向量组123,,x x x 由一个m 和两个n 排列而成，向量组123,,y y y 由两个m 和一个n 排列而成，若112233x y x y x y ⋅+⋅+⋅所有可能值中的最小值为24m ，则λ=__________．二．选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13. 有矩阵32A ⨯、23B ⨯、33C ⨯，下列运算可行的是（ ） A. ACB. BACC. ABCD. AB -AC14. 下列三阶行列式可展开为a b b c a c deefdf+-的是（ ）A .111ab c de f - B. 111ab c de f- C. 111a b c de f- D. 111a b c def 15. 若()1,2,3,,i A i n =⋯是AOB 所在平面内的点，且i OA OB OA OB ⋅=⋅，给出下列说法：（1）123||||||||n OA OA OA OA ===⋯=；（2）||i OA 的最小值一定是||OB ；（3）点A 和点i A 一定共线；（4）向量OA 及i OA 在向量OB 方向上的投影必定相等；其中正确的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个16. 已知向量a 、b ，||1a =，||2b =，若对任意单位向量e ，均有||||6a e b e ⋅+⋅≤，则a b ⋅的最大值为（ ） A.12B.22C. 1D. 2三．解答题（本大题共5题，共8+8+8+8+10=42分）17. 上海市旅游节刚落下帷幕，在旅游节期间，甲、乙、丙三位市民顾客分别获得一些景区门票的折扣消费券，数量如表1，已知这些景区原价和折扣价如表2（单位：元）.表1：数量 景区1 景区2 景区3 甲 0 2 2 乙 3 0 1 丙 41表2：门票 景区1 景区2 景区3 原价 60 90 120 折扣后价406080（1）按照上述表格的行列次序分别写出这三位市民获得的折扣消费券数量矩阵A 和三个景区的门票折扣后价格矩阵B；（2）利用你所学的矩阵知识，计算三位市民各获得多少元折扣？ 18. 利用行列式解关于,x y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩.19. 已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =. （1）若25c =，且//c a ，求c 的坐标；（2）若()1,1b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.20. 在ABC ∆中，2AC =，6BC =，60ACB ∠=︒，点O 为ABC ∆所在平面上一点，满足OC mOA nOB =+（,m n ∈R 且1m n +≠）． （1）证明：11m nCO CA CB m n m n =++-+-；（2）若点O 为ABC ∆的重心，求m 、n 的值； （3）若点O 为ABC ∆的外心，求m 、n 的值．21. 设x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别是,i j ，坐标平面上点列()n n A B n N *∈、分别满足下列两个条件：①1OA j =且1n n A A i j +=+；②14OB i =且114(1)n n B B i n n +=⨯+；（1）写出2OA 及3OA 的坐标，并求出n OA 的坐标 （2）若1n n OA B +∆的面积是n a ，求()n a n N *∈的表达式（3）对于（2）中的n a ，是否存在最大的自然数M ，对一切n *∈N 都有n a M ≥成立？若存在，求出M ，若不存在，说明理由。
2020-2021学年高一数学10月阶段性检测试题
2020-2021学年高一数学10月阶段性检测试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页，满分为120分，考试用时90分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔。
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．如果A=}1|{->x x ，那么 （ ）A ．A ⊆0B ．A ∈}0{C ．A ∈∅D ．A ⊆}0{2．已知全集{}5,4,3,2,1=U ,集合}3,2,1{=A ,}4,2{=B ,则B A C U )(为（ ） A.}4{ B.}5,4,2{ C.}4,3,2,1{ D.}5,4,2,1{ 3．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．2y x =与y x = B ．0y x =与1y =C ．0x xy =与x y x= D ．y x =与()2y x =4．下列图象中表示函数图象的是（ ）5．函数12-+=x x y 的定义域为( ) A ．}1,2|{≠->x x x 且 Ｂ．1,2≠-≥x x 且 C ．),1()1,2[+∞-Ｄ．),1()1,2(+∞-6．已知21)21(x x f =-，那么12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=( )A ．4 B ．41 C ．16 D ．1617．若函数2()1f x ax bx =++是定义在[1,2]a a --上的偶函数，则该函数的最大值为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．28．设偶函数)(x f 的定义域为R ，当[0,)x ∈+∞时，)(x f 是增函数，则(2),(),(3)f f f π--的大小关系是（ ）A.()f π＞(3)f -＞(2)f -B.()f π＞(2)f -＞(3)f -C.()f π＜(3)f -＜(2)f -D.()f π＜(2)f -＜(3)f - 9．函数()x x x f 31+-=的单调递增区间是（ ）A ．[]∞+，1B ．[]1,∞-C ．[)∞+，0D ．()+∞∞-, 10．当[1,2]x ∈时，函数2()4(1)3f x ax a x =++-在2x =时取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-，21 B ．[)∞+，0 C ．[)∞+，1 D ．2[,)3+∞第Ⅱ卷（共80分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.11．已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=0,0,12x xx x x f ，则()[]=-1f f ．12．已知()x f 是一次函数，满足3(1)64f x x +=+,则=)(x f ________. 13．已知集合{|},{|12}A x x a B x x =<=<<，且()R A C B R =，则实数a 的取值范围是 .14. 函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上递减，则实数a 的取值范围是 . 15. 对于函数()y f x =，定义域为]2,2[-=D ，以下命题正确的是（只要求写出命题的序号） .①若(1)(1),(2)(2)f f f f -=-=，则()y f x =是D 上的偶函数；②若对于]2,2[-∈x ，都有0)()(=+-x f x f ，则()y f x =是D 上的奇函数； ③若函数)(x f y =在D 上具有单调性且)1()0(f f >则()y f x =是D 上的递减函数； ④若(1)(0)(1)(2)f f f f -<<<，则()y f x =是D 上的递增函数.三．解答题：（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 16．（本小题满分10分）已知函数xx x f ---=713)(的定义域为集合A ，{}102<<∈=x Z x B ，{}1+><∈=a x a x R x C 或（1） 求A ，()B A C R ；（2）若R C A = ，求实数a 的取值范围.17．（本小题满分10分）已知二次函数()0,)(2≠+=a b a bx ax x f 为常数，且，其图象的对称轴为直线1=x ，且方程()x x f =有两个相等的实数根. （1）求函数)(x f 的解析式； （2）当[]2,1∈x 时，求)(x f 的值域．18.（本小题满分12分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，已知当0x ≤时，2()43f x x x =++.（1）求函数()f x 的解析式；（2）画出函数()f x 的图象，并写出函数()f x 的单调递增区间；（3）求()f x 在区间]2,1[-上的值域.19.（本题满分14分）已知函数()21x b ax x f ++=是定义域为)(1,1-上的奇函数，且103)31(=f （1）求()f x 的解析式;（2）用定义证明：)(x f 在)(1,1-上是增函数;（3）若实数t 满足0)1()12(<-+-t f t f ，求实数t 的范围.20.（本题满分14分）已知函数()()11,0f x x a x=-> （1）判断函数()x f 的单调性并写出单调区间； （2）若)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，求a 的值;（3）已知函数()x ϕ是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，当0x >时，函数()x ϕ()f x x =+，求函数()x ϕ的解析式.绝密 ★ 启用前 试卷类型A山东师大附中xx 级高一上学期阶段性检测数学试卷答案（xx.10）一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DBCCCCAADA二、填空题：11、2 12、322-x 13、[)∞+，2 14、(]3,-∞- 15、②③ 三、解答题： 16．（本题满分10分）解：（1）要使函数有意义，需满足：⎩⎨⎧>-≥-0703x x ………………………………2分∴{}73<≤=x x A ………………………………3分 ∵{}{}10,9,8,7,6,5,4,3102|=<<∈=x Z x B ………………………………4分 ∴B A C R ⋂)(={}9,8,7 ………………………………6分 （2）∵{}73<≤=x x A ，{}1+><∈=a x a x R x C 或RC A =∴⎩⎨⎧<+≥713a a ………………………………8分∴63<≤a ………………………………9分 ∴实数a 的取值范围是{}63|<≤a a ………………………………10分 17、（本题满分10分）解：（1）∵二次函数bx ax x f +=2)(的对称轴为直线1=x ∴12=-ab① ………………………………1分 ∵方程()x x f =有两个相等的实数根∴一元二次方程()012=-+x b ax 有两个相等的实数根∴()012=-=∆b ………………………………2分∴1=b ………………………………3分 将1=b 代入①式得21-=a ………………………………4分 ∴()x x x f +-=221 ………………………………6分 （2）∵()()211212122+--=+-=x x x x f ………………………………7分∴函数()x f 的对称轴为直线1=x∴由函数图象可知，函数()x f 在[]2,1上单调递减………………………8分 ∴()()211max ==f x f ，()()02min ==f x f ∴函数()x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡210， ………………………………10分18. （本小题满分12分）解（1）∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数∴对任意的x R ∈都有()()f x f x -=成立 ………………………………2分 ∴当0x >时，0x -<即22()()()4()343f x f x x x x x =-=-+-+=-+∴22430()430x x x f x x x x ⎧-+ >⎪= ⎨++ ≤⎪⎩ ………………………………5分（2）图形如右图所示，函数()f x 的单调递增区间为[2,0]-和[2,)+∞.（写成开区间也可以）……10分(3)值域为[]3,1-.………………………………12分 19. （本小题满分14分） （1） 函数()21xbax x f ++=是定义域为)(1,1-上的奇函数∴0)0(=f0=b ； ………………………………2分又103)31(=f 1=a ； ………………………………3分∴21)(x xx f +=………………………………4分 (2)证明:设12x x ，是)(1,1-上任意两个实数，且,012>-=∆x x x ，()()()()212221122112221211111)()(x x x x x x x x x x x f x f y ++--=+-+=-=∆∴ (),1,1,21-∈x x 且,012>-=∆x x x0>∆∴y21()(),()f x f x f x ∴>∴在()+∞,0上是单调递增的.…………………………8分(3)0)1()12(<-+-t f t f()1)12(--<-t f t f ； ………………………………9分又由已知21)(xxx f +=是)(1,1-上的奇函数 )()(t f t f -=-∴∴)12(-t f <)1(t f - ………………………………10分∴⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-t t t t 1121121111 ………………………………12分 综上得：320<<t ………………………………14分20. （本小题满分14分）解：（1）函数()x f 单调递增，递增区间为()∞+，0 ……………3分（2）()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递增，2)2(,21)21(==∴f f ，易得52=a . ………………………7分(3) ∵函数()x ϕ是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数∴对任意的()()+∞∞-∈,00, x 都有()()x x ϕϕ-=-成立 ………………………9分 ∴当0x >时，0x -<即∴()x xa x -+=-11ϕ ………………………10分 ∴()()x xa x x +--=--=11ϕϕ ………………………12分∴()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-->+-=0,110,11x x xa x x xa x ϕ ………………………………14分【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。
2020-2021学年上海市青浦区高一(上)期末数学试卷(附解析)
2020-2021学年上海市青浦区高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 若0<a <1,b <−1，则函数f(x)=a x +b 的图象不经过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 下列函数中，定义域为R 的偶函数是( )A. y =2xB. y =x|x|C. y =|x 2−1|D. y =log 2|x|3. 下列不等式中，恒成立的是( )A. x +4x ≥4B. |x −y|+1x−y ≥2 C. |x −y|≥|x −z|+|y −z|D. x 2+1x ≥x +1x4. 已知集合A =[0,12)，B =[12,1]，f(x)={x +12,x ∈A2(1−x),x ∈B，若x 0∈A ，且f(f(x 0))∈A ，则x 0的取值范围是( )A. (0,14]B. (14,12)C. (14,12]D. [0,38]二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 已知全集U ={−1,0，2}，集合A ={−1,0}，则A −= ______ ． 6. 不等式1x <12的解集是______．7. 已知log 32=a ，则用a 表示log 827= ______ ．8. 若a ，b ∈R ，且|a|≤1，|b|≤5，则|a +b|的最大值是______ ． 9. 已知幂函数y =(a 2−a +1)x a+2为奇函数，则实数a 的值为______ ．10. 已知条件α：0<x <4和条件β：0<x <a ，若α是β的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______ ． 11. 函数y =2x −12x +1的值域为______ ．12. 已知正实数x ，y 满足1x +2y =3，则yx 的最大值为______ ． 13. 已知函数y ={2x −x 2,x >0x 2−2x,x <0，则该函数的零点是______ ．14. 在创全国文明城区的活动中，督查组对城区的评选设计了x 1，x 2，x 3，x 4四项多元评价指标，并通过经验公式S =x 1x 2+x 3x 4来计算各城区的综合得分，S 的值越高则评价效果越好.若某城区在自查过程中各项指标显示为0<x 3<x 4<x 2<x 1，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为______ .(填入x1，x2，x3，x4中的一个)15.已知函数y=f(x)，其中f(x)=x3+x，关于x的不等式f(mx2+2)+f(−x)<0在区间[1,5]上有解，则实数m的取值范围是______ ．>1，16.已知函数f(x)的定义域为R，f(1)=3，对任意两个不等的实数a，b都有f(a)−f(b)a−b 则不等式f(2x−1)<2x+1的解集为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）17.已知不等式|1−2x|<7的解集是A，函数y=√x2+2x−8的定义域是B，求A∩B．18.已知函数y=f(x)，其中f(x)=x+1．x(1)判断函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若g(x)=f(x)⋅x+ax，且y=g(x)在区间(0,2]上是严格减函数，求实数a的取值范围．19.设f(x)=(m+1)x2−mx+m−1(m∈R)．(1)若不等式f(x)>0解集为⌀，求实数m的取值范围；(2)若不等式f(x)>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．20.研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示．当x∈[0,16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16,40]时，曲线是函数y=log0.8(x+a)+80图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”．(1)求函数y=f(x)的解析式；(2)在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(精确到1分钟)21.定义：如果函数y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在实数x0(a<x0<b)，满，那么称函数y=f(x)是区间[a,b]上的“平均值函数”，x0是足f(x0)=f(b)−f(a)b−a它的一个均值点．(1)判断函数f(x)=x4是否是区间[−1,1]上的“平均值函数”，并说明理由；(2)若函数g(x)=−4x+m⋅2x是区间[0,1]上的“平均值函数”，求实数m的取值范围；(3)设函数ℎ(x)=kx2+x−4(k>0,k∈N)是区间[−2,t](t>0，t∈N)上的“平均值函数”，1是函数ℎ(x)的一个均值点，求所有满足条件的数对(k,t)．答案和解析1.【答案】A【解析】解：函数f(x)=a x (0<a <1)的是减函数，图象过定点(0,1)，在x 轴上方，过一、二象限， 函数f(x)=a x +b 的图象由函数f(x)=a x 的图象向下平移|b|个单位得到， ∵b <−1，∴|b|>1，∴函数f(x)=a x +b 的图象与y 轴交于负半轴， 如图，函数f(x)=a x +b 的图象过二、三、四象限． 故选A ．根据函数f(x)=a x (0<a <1)的单调性和平移方向，可知图象不过第一象限． 本题考查指数函数的图象和性质，利用图象的平移得到新的图象，其单调性、形状不发生变化，结合图形，一目了然．2.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y =2x ，是指数函数，不是偶函数，不符合题意， 对于B ，y =x|x|={x 2,x ≥0−x 2,x <0，不是偶函数，不符合题意，对于C ，y =|x 2−1|，定义域为R ，有f(−x)=|x 2−1|=f(x)，是定义域为R 的偶函数，符合题意，对于D ，y ==log 2|x|，定义域不是R ，不符合题意， 故选：C ．根据题意，依次分析选项中函数的定义域和奇偶性，综合即可得答案． 本题考查函数的奇偶性的判断，涉及函数的定义域，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：当x =−1时，x +4x =−5<4，故选项A 错误； 又当x =1，y =2时，|x −y|+1x−y =0<2，故选项B 错误；由绝对值不等式的性质可得：|x −z|+|y −z|≥|(x −z)−(y −z)|=|x −y|，故选项C 错误；对于选项D ：当x <0时，显然有x 2+1x 2≥x +1x ；当x >0时，令f(t)=t +1t ，t >0，则f(t)在(0,1]上单调递减，在[1,+∞)上单调递增， 又当x >1时，x 2>x >1，则有：f(x 2)>f(x)，即x 2+1x 2>x +1x ， 当x =1时，x 2=x ，则有f(x 2)=f(x)，即x 2+1x 2=x +1x ，当0<x <1时，0<x 2<x <1，则有f(x 2)>f(x)，即x 2+1x 2>x +1x ， 综上，x 2+1x 2≥x +1x ，故选项D 正确， 故选：D ．利用函数及绝对值不等式的性质逐个选项验证其正误即可．本题主要考查特值法、绝对值不等式的性质及函数性质的应用，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：根据题意，f(x)={x +12,x ∈A 2(1−x),x ∈B，若x 0∈A ，即0≤x 0<12，f(x 0)=x 0+12，有12≤f(x 0)<1，则f(f(x 0))=2[1−f(x 0)]=1−2x 0，若f(f(x 0))∈A ，则0≤1−2x 0<12，解可得：14<x 0<12，即x 0的取值范围是(14,12)， 故选：B ．根据题意，由函数的解析式可得f(f(x 0))=2[1−f(x 0)]=1−2x 0，则有0≤1−2x 0<12，解可得x 0的取值范围，即可得答案．本题考查分段函数的求值，涉及函数的值域分析，属于基础题．5.【答案】{2}【解析】解：全集U={−1,0，2}，集合A={−1,0}，由补集的定义A−={x|x∈U且x∉A}，可得A−={2}．故答案为：{2}．运用集合的补集定义：A−={x|x∈U且x∉A}，即可得到所求．本题考查集合的运算，主要是补集的求法，注意运用定义法，考查运算能力，属于基础题6.【答案】(−∞,0)∪(2,+∞)【解析】解：当x>0时，去分母得：x>2，所以原不等式的解集为：(2,+∞)；当x<0时，去分母得：x<2，所以原不等式的解集为：(−∞,0)，综上，原不等式的解集为：(−∞,0)∪(2,+∞)．故答案为：(−∞,0)∪(2,+∞)根据x大于0和x小于0分两种情况考虑，当x大于0时，去分母得到不等式的解集，与x大于0求出交集即为原不等式的解集；当x小于0时，去分母得到不等式的解集，与x小于0求出交集即为原不等式的解集，综上，得到所有满足题意的x的范围即为原不等式的解集．此题考查了其他不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，是一道基础题．学生做题时注意在不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号要改变．7.【答案】1a【解析】解：因为log32=a，所以log827=log2333=log23=1log32=1a．故答案为：1a．利用对数的运算性质进行分析求解即可．本题考查了对数的运算，涉及了对数的运算性质的应用，同时考查了log a b⋅log b a=1的应用．8.【答案】6【解析】解：∵|a|≤1，|b|≤5，根据绝对值不等式的性质，得||a|−|b||≤|a +b|≤|a|+|b|，∴|a +b|的最大值是6，当a =1，b =5或a =−1，b =−5时，|a +b|取得最大值6． 故答案为：6．由已知结合绝对值不等式的性质即可求得|a +b|的最大值．本题考查绝对值不等式的性质的应用，理解并牢记公式是解题的关键，是基础题．9.【答案】1【解析】解：由题意得：a 2−a +1=1，解得：a =0或a =1， 故a =0时，y =x 2，是偶函数，不合题意， a =1时，y =x 3，是奇函数，符合题意， 故答案为：1．根据幂函数的定义求出a 的值，根据函数的奇偶性确定a 的值即可． 本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，是一道基础题．10.【答案】(4,+∞)【解析】解：∵α是β的充分不必要条件， ∴α⫋β， ∴a >4，故答案为：(4,+∞)．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．11.【答案】(−1,1)【解析】解：函数y =2x −12+1=1−22+1， 因为x ∈R ，所以2x +1>1，所以−22x +1∈(−2,0)，则1−22x +1∈(−1,1)， 故函数的值域为(−1,1)．先通过分离常数法化简函数解析式，再通过指数函数的值域以及反比例函数的值域即可求解．本题考查了求函数的值域问题，涉及到分离常数法以及指数函数和反比例函数值域的应用，属于基础题．12.【答案】98【解析】解：∵正实数x ，y 满足1x +2y =3， ∴0<y <32，则yx =y(3−2y)=−2(y −34)2+98， ∴当y =34时，yx 的最大值为98， 故答案为：98．根据条件求出y 的取值范围，再结合二次函数的性质即可求解结论． 本题主要考查二次函数的性质，属于基础题目．13.【答案】x =2【解析】解：因为函数y ={2x −x 2,x >0x 2−2x,x <0，当x >0时，令2x −x 2=0，解得x =2或x =0(舍)； 当x <0时，令x 2−2x =0，解得x =2或x =0(舍)； 综上可得，该函数的零点是x =2． 故答案为：x =2．根据函数零点的定义，将问题转化为求方程的根即可得到答案．本题考查了函数的零点的定义，解题的关键是把球函数的零点转化为求对应方程的根．14.【答案】x 3【解析】解：∵S =x 1x 2+x3x 4，∴要使S 增加，则应该增加分子x 1或x 3，减小分母x 2或x 4，又0<x 3<x 4<x 2<x 1，且在分子都增加1的前提下，分母越小时，S 的值增加越多， ∴要使S 的值增加最多，则应该增加x 3． 故答案为：x 3．从分式的性质中，寻找S 值的变化规律．本题考查函数的实际应用，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．15.【答案】(−∞,18)【解析】解：f(−x)=−x 3−x =−f(x)，∴f(x)是奇函数， 又f′(x)=3x 2+1>0， ∴f(x)在R 上是增函数，∵f(mx 2+2)+f(−x)<0在[1,5]上有解， ∴f(mx 2+2)<−f(−x)=f(x)在[1,5]上有解 ∴mx 2+2<x 在[1,5]上有解， 即m <x−2x 2在[1,5]上有解．令g(x)=x−2x ，x ∈[1,5]，则只需m <g max (x)即可． ∵g′(x)=4−x x 3，∴当1≤x <4时，g′(x)>0，当4<x ≤5时，g′(x)<0， ∴g max (x)=g(4)=18， ∴m <18， 故答案为(−∞,18).判断f(x)的单调性和奇偶性，从而得出mx 2+2<x 在[1,5]上有解，再分离参数得m <x−2x 2，求出g(x)=x−2x 2最大值即可得出m 的范围．本题考查了函数单调性与奇偶性的应用，存在性问题与函数最值的计算，属于中档题．16.【答案】(−∞,1)【解析】解：不妨令a >b ，则f(a)−f(b)a−b>1等价于f(a)−a >f(b)−b ，构造函数ℎ(x)=f(x)−x ，则ℎ(x)是R 上的增函数， 因为f(1)=3，所以f(2x −1)<2x +1等价于f(2x −1)−(2x −1)<f(1)−1， 即2x −1<1，解得x <1． 故答案为：(−∞,1)．构造函数ℎ(x)=f(x)−x ，由已知结合单调性定义可得ℎ(x)是R 上的增函数，结合单调性可求不等式的解集．本题主要考查了利用函数的单调性的定义求解不等式，解题的关键是函数的构造．17.【答案】解：∵A ={x||1−2x|<7}={x|−3<x <4}，B ={x|x 2+2x −8≥0}={x|x ≤−4或x ≥2}，∴A ∩B =[2,4)．【解析】根据题意即可求出A ，B ，然后进行交集的运算即可．本题考查了绝对值不等式和一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)f(x)=x +1x ，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且f(−x)=−x +1−x =−(x +1x )=−f(x)，所以函数y =f(x)为奇函数．(2)g(x)=f(x)⋅x +ax =x 2+ax +1，因为y =g(x)在区间(0,2]上是严格减函数，所以−a 2≥2，解得a ≤−4，即实数a 的取值范围为(−∞,−4]．【解析】(1)由函数的奇偶性的定义即可判断；(2)求出g(x)，由二次函数的性质即可求得a 的取值范围．本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，属于基础题． 19.【答案】解：(1)由不等式f(x)>0解集为⌀，可得{m +1<0△=m 2−4(m +1)(m −1)≤0，即为{m <−1m ≥2√33或m ≤−2√33， 可得m ≤−2√33， 即m 的取值范围是(−∞,−2√33]； (2)由不等式f(x)>0对一切实数x 恒成立，当m +1=0，即m =−1时，f(x)=x −2，则f(x)>0不恒成立；当m +1<0时，f(x)的图象为开口向下的抛物线，f(x)>0不恒成立；当m +1>0，且△<0，f(x)>0恒成立，由{m +1>0△=m 2−4(m +1)(m −1)<0，即为{m >−1m >2√33或m <−2√33， 解得m >2√33，即m的取值范围是(2√33,+∞)．【解析】(1)由题意可得m+1<0，且△≤0，解不等式可得所求范围；(2)讨论m+1≤0，f(x)>0不恒成立；m+1>0，△<0，解不等式可得所求范围．本题考查二次函数的图象与性质和二次不等式的解法，以及不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)当x∈[0,16]时，设f(x)=b(x−12)2+84，(b<0)，所以f(16)=b(16−12)2+84=80，解得b=−14，所以f(x)=−14(x−12)2+84，当x∈[16,40]时，f(x)=log0.8(x+a)+80，由f(16)=log0.8(16+a)+80=80，解得a=−15，所以f(x)=log0.8(x−15)+80，综上可得，f(x)={−14(x−12)2+84,x∈[0,16]log0.8(x−15)+80,x∈(16,40]；(2)当x∈[0,16]时，令f(x)=−14(x−12)2+84<68，解得x∈[0,4]，当x∈[16,40]时，令f(x)=log0.8(x−15)+80<68，解得x∈[30,40]，故在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有4+10=14分钟．【解析】(1)利用待定系数法设出对应的函数解析式，再利用图象上的特殊点，即可求得答案；(2)根据(1)中的解析式，分两种情况分别列出不等式，求解不等式即可得到答案．本题考查了函数解析式的求解及常用方法，涉及了分段函数解析式的求解，要掌握求解析式的常用方法：待定系数法、换元法、方程组法、配凑法等．21.【答案】解：(1)是；理由：根据新定义，可得f(1)−f(−1)1−(−1)=x4在区间[−1,1]上有解，可得x=0，所以(1)是“平均值函数”；(2)函数g(x)=−4x+m⋅2x是区间[0,1]上的“平均值函数”，可得m−31−0=−4x+m⋅2x在区间[0,1]上有解，可得4x−m⋅2x+m−3=0在区间[0,1]上有解，令2x=t，t∈[1,2]，则t 2−mt +m −3=0在区间[1,2]上有解，令g(t)=t 2−mt +m −3∴{△≥0g(1)≥0g(2)≥01<m 2<2或g(1)⋅g(2)≤0， 即{m 2−4(m −3)≥0−2≥01−m ≥01<m 2<2此时不等式组无解； 或−2⋅(1−m)≤0；解得m ≤1．故实数m 的取值范围(−∞,1]；(3)函数ℎ(x)=kx 2+x −4(k >0,k ∈N)是区间[−2,t](t >0，t ∈N)上的“平均值函数”，1是函数ℎ(x)的一个均值点，即kt 2+t−4−4k+6t+2=k −3，可得k(3−t)=4，∴k =43−t∵k ∈N ，k >0，t >0，t ∈N ，则43−t ≥1解得3>t ≥−1，当t =1，k 不是整数，当t =2时，可得k =4，故所有满足条件的数对(4,2)．【解析】(1)根据新定义及即可判断；(2)根据新定义及转化为二次函数在区间[0,1]上有解问题，即可求解实数m 的取值范围；(3)根据1是函数ℎ(x)的一个均值点，求解k 与t 的关系，即可求解满足条件的数对(k,t)即可；本题考查新定义函数与方程的应用，考查分析问题解决问题的能力，题目比较新颖．属于中档题．。
上海市青浦区第一学期高一年级期末数学试卷及答案
青浦区第一学期高一年级期终学业质量调研测试数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．若集合A={x|x=2n，n∈Z}，B={x|2＜x≤6，x∈R}，则A∩B= ．2．“若A∩B=B，则A⊊B”是（真或假）命题．3．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）= ．4．若函数f（x）=，则f（）= ．5．已知log163=m，则用m表示log916= ．6．已知函数f（x）=的图象关于点P中心对称，则点P的坐标是．7．方程：22x+1﹣2x﹣3=0的解为．8．已知f（x）是定义在D={x|x≠0}上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣x，则当x＜0时，f（x）= ．9．函数y=的定义域为A，值域为B，则A∩B= ．10．函数f（x）=的零点个数是．11．对于任意集合X与Y，定义：①X﹣Y={x|x∈X且x∉Y}，②X△Y=（X﹣Y）∪（Y﹣X），（X△Y称为X与Y的对称差）．已知A={y|y=2x﹣1，x∈R}，B={x|x2﹣9≤0}，则A△B= ．12．已知Rt△ABC的周长为定值l，则它的面积最大值为．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．命题“若a＞b，则ac＞bc”（a，b，c都是实数）与它的逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．014．下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y= B．y=2|x|C．y=ln D．y=x215．设x∈R，“x＞1“的一个充分条件是（）A．x＞﹣1 B．x≥0 C．x≥1 D．x＞216．已知函数f（x）=lg（a x﹣b x），（a，b为常数，a＞1＞b＞0），若x∈（2，+∞）时，f（x）＞0恒成立，则（）A．a2﹣b2＞1 B．a2﹣b2≥1 C．a2﹣b2＜1 D．a2﹣b2≤1三、解答题（共5小题，满分52分）17．（10分）已知A={x|x2+x＞0}，B={x|x2+ax+b≤0}，且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B=R，求a、b的值．18．（8分）试写出函数f（x）=x的性质，并作出它的大致图象．19．（10分）已知f（x）=x（+），（1）试判断f（x）的奇偶性，（2）求证f（x）＞0．20．（12分）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：y=（υ＞0）．（1）在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？21．（12分）已知A、B是函数y=f（x），x∈图象的两个端点，M（x，y）是f（x）上任意一点，过M（x，y）作MN⊥x轴交直线AB于N，若不等式|MN|≤k恒成立，则称函数f（x）在上“k阶线性近似”．（1）若f（x）=x+，x∈，证明：f（x）在上“阶线性近似”；（2）若f（x）=x2在上“k阶线性近似”，求实数k的最小值．。
上海市青浦高级中学2019-2020学年高一上学期十月质量检测数学试题 Word版含解析
上海市青浦高级中学2019学年第一学期10月质量检测高一数学试卷一、填空题(第1-6题每题4分，第7-12题每题5分) 1.已知集合{86|A x N x=∈-且}x N ∈，则用列举法表示集合A =__________． 【答案】{}2,4,5 【解析】 【分析】 当6x >时，806x <-，必不是自然数，依次代入0,1,2,3,4,5x =，可验证86x-是否是自然数，从而得到结果.【详解】当0x =时，84603N =∉-；当1x =时，88615N =∉-； 当2x =时，8262N =∈-；当3x =时，88633N =∉-； 当4x =时，8464N =∈-；当5x =时，8865N =∈- 当6x >且x ∈N 时，806x <- 86N x∴∉- {}2,4,5A ∴=故答案为：{}2,4,5【点睛】本题考查列举法表示集合，关键是明确常用数集的含义，属于基础题. 2.已知集合{}|60A x x a =+>,若1A ∈，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】()6,-+∞ 【解析】 【分析】将1x =代入不等式即可求得a 的范围.【详解】1A ∈Q 60a ∴+>，解得：6a >- a ∴的取值范围为()6,-+∞ 故答案为：()6,-+∞【点睛】本题考查根据元素与集合关系求解参数范围问题，属于基础题. 3.已知0,0,0a b c d e >><<<，则e a c -__________eb d-．【答案】> 【解析】 【分析】根据不等式的性质可求得0a c b d ->->，进而得到11a c b d<--，不等式左右两端同时乘以一个负数，不等号方向改变，从而得到结果.【详解】0c d <<Q 0c d ∴->->，又0a b >> 0a c b d ∴->->11a c b d∴<-- 0e <Q e e a c b d∴>-- 故答案为：> 【点睛】本题考查利用不等式的性质比较大小的问题，属于基础题. 4.已知集合{|1}A x y x ==-，集合{}22B y y x ==+，则A B =U __________．【答案】[)1,+∞ 【解析】 【分析】根据函数定义域和值域的求解方法可求得集合A 和集合B ，由并集定义得到结果. 【详解】{}[)101,A x x =-≥=+∞，{}[)22,B y y =≥=+∞[)1,A B ∴=+∞U故答案为：[)1,+∞【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，关键是能够通过函数定义域和值域的知识求得两个集合，属于基础题.5.命题“已知,x y R ∈，如果2x y +≠，那么0x ≠或2y ≠.”是__________命题.（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】先写出原命题的逆否命题，并判断其真假 ,进而根据互为逆否的两个命题真假性一致,得到结论.【详解】命题“已知,x y R ∈，如果2x y +≠，那么0x ≠或2y ≠” 的逆否命题为 “已知,x y R ∈，如果0x =且2y =，那么2x y +=” 为真命題，故命题“已知,x y R ∈，如果2x y +≠，那么0x ≠或2y ≠” 是真命题，故答案为真. 【点睛】本题考査的知识点是命题的真假判断与应用，其中当原命题的真假判断比较麻烦或无法证明时，常去判断其逆否命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题真假性一致，得到结论.6.如果全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}2A B ⋂=，{}1U UA B ⋂=痧，(){4,6}U C A B =I ，()U A B ⋂=ð______．【答案】{3,5} 【解析】 【分析】此题考查了集合的交、并、补的运算,结合韦恩图逐步填空可得解. 【详解】解：{}2A B =Q I ,2,2A B ∴∈∈{}1U UA B =Q I痧,1,1A B ∴∉∉(){4,6}U C A B =Q I ,{4,6},{4,6}A B ∴⊄⊂依题意填充韦恩图如图所示:{2,3,5}A ∴={2,4,6}B =(){2,3,5}{1,3,5}{3,5}U A B ==I I ð 故答案为：{3,5}【点睛】本题考查了此题考查了集合的交、并、补的运算,熟练掌握各自的定义是解题的关键,借助韦恩图解题更简单.7.写出1x >的一个必要非充分条件__________ 【答案】0x > 【解析】 【分析】将必要非充分条件转化为集合之间的关系，即可求解.【详解】令{}|1A x x =>，根据题意将问题转化为写出一个集合,B 使A B ≠⊂，所以可以写集合{}|0B x x =>.故答案为：0x >（不唯一）【点睛】本题主要考查充分、必要条件与集合之间的关系，属于基础题.8.已知集合2560{|}A x x x =-+=，{}10|B x mx =+=，且A B B =I ，则实数m 组成的集合为__________．【答案】110,,23⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ 【解析】 【分析】解方程求得集合A ；分别在0m =和0m ≠两种情况下，根据交集结果构造方程，从而求得结果.【详解】()(){}{}2302,3A x x x =--== 当0m =时，B =∅，满足A B B =I 当0m ≠时，1B m ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭A B B =Q I 12m ∴-=或13m-=，解得：12m =-或13-∴实数m 组成的集合为110,,23⎧⎫--⎨⎬⎩⎭故答案为：110,,23⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查根据交集运算结果求解参数值的问题，易错点是忽略集合B 为空集的情况，造成求解错误.9.已知集合()()21|,}0{x x x x a x R --+=∈中的所有元素之和为1，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】{}1,04⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U 【解析】 【分析】首先确定集合中包含元素1；分别在20x x a -+=无实根、有两个相等实根和有两个不等实根三种情况下，讨论元素之和是否为1，综合可求得结果. 【详解】令10x -=，解得：1x =①若20x x a -+=无实根，即140a ∆=-<，解得：14a > 此时集合只有一个元素1，满足题意②若20x x a -+=有两个相等实根，即140a ∆=-=，解得：14a =2104x x ∴-+=，解得：12x = ∴集合为11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭，不满足元素之和为1 ③若20x x a -+=有两个不等实根，即140a ∆=->，解得：14a < 设此时方程20x x a -+=的两根为12,x x ，则121x x =+ 若11x ≠，21x ≠，此时集合为{}121,,x x ，不满足元素之和为1若11x =，则20x =，此时集合为{}1,0，满足元素之和为1 120a x x ∴==综上所述：{}1,04a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭U故答案为：{}1,04⎛⎫+∞⎪⎝⎭U 【点睛】本题考查根据集合中元素的个数求解参数范围的问题，易错点是忽略集合中元素的互异性，在20x x a -+=有两个不等实根的情况下，忽略其中一个根为1的情况，造成求解错误.10.规定⊕与⊗是两个运算符号，其运算法则如下，对任意实数a b 、有: a b ab ⊗=,22()1a b b a b ⊕=++.若22a b -<<<且,,a b Z ∈)22|(A x x a b b a b ⊕⎧⎫+=⊗⎨⎩=⎬⎭,则用列举法表示集合A =__________．【答案】1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】根据所定义运算可知22122a b x ab ++=+，根据,a b 取值范围可分别在1a =-和0a =两种情况下确定b 的取值，进而求得x 的不同取值，得到所求集合.【详解】由题意得：2212,02a b A x x ab b ⎧⎫++==+≠⎨⎬⎩⎭22a b -<<<Q 且,a b Z ∈∴当1a =-时，1b =，此时x =12-；当0a =时，1b =，此时1x = ∴集合1,12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭故答案为：1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查列举法表示集合、集合中的新定义运算问题，关键是能够充分理解所定义运算所表示的含义，通过分类讨论求得集合中的元素.11.已知2,{|},M x x a a Z b Z ==+∈∈，则下列结论中正确的序号是__________．322M -；Z M ⊆②；③若12,x x M ∈，则12 x x M +∈；④若12,x x M ∈且20x ≠，则12x M x ∈；⑤若*,x M n N ∈∈，则n x M ∈. 【答案】①②③⑤【分析】①中分母有理化后即可判断出①正确； ②中令0b =即可得到Z M ⊆，②正确；③中()(1212122x x a a b b +=+++12x x M +∈，③正确； ④中通过反例12x =，22x =，即可验证出④错误；⑤根据展开式通项，可判断出2n x c =+，,c d Z ∈，可得⑤正确()()22322322322322M ==+--+，①正确； ②当0b =时，{},M x x a a Z ==∈，可知Z M ⊆，②正确； ③令112x a b =+222x a b =+1212,,,a a b b Z ∈ 则()(1212122x x a a b b +=+++12a a Z +∈Q ，12b b Z +∈ 12x x M ∴+∈，③正确；④令12x =，22x =，满足12,x x M ∈，则1222x M x =，④错误； ⑤(2nnx a b =+，展开式通项为：(22rrrn rr n rrnnC aC ab--=当r 为偶数时，2rZ ∈；当r 为奇数时，11222222r rr --== 又rn rrn C ab Z -∈ (22na c ∴+=+,c d Z ∈，即nx M ∈，⑤正确故答案为：①②③⑤【点睛】本题考查元素与集合关系、集合之间的包含关系等知识，属于集合部分知识的综合应用，属于中档题.12.关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|x x β<或}x γ>(0)βγ<<，则不等式()()2112a x b x c ax ++-+>的解集为__________．【答案】()(),11,βγ-∞+++∞U 【解析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系可得0a >，b a βγ+=-且c aβγ=，由此可将所求不等式化为()()2112x x x βγβγ+-+-+>，解不等式即可得到结果. 【详解】20ax bx c ++>Q 的解集为{x x β<或}x γ>,βγ∴为方程20ax bx c ++=的两根且0a > b a βγ∴+=-，caβγ=()b a βγ∴=-+，c a βγ=则不等式可化为：()()()2112a x a x a ax βγβγ+-+-+>0a >Q ()()2112x x x βγβγ∴+-+-+>即()()2210x x βγβγβγ-++++++> ()()110x x βγ∴---->解得：1x β<+或1x γ>+ ∴不等式解集为：()(),11,βγ-∞+++∞U 故答案为：()(),11,βγ-∞+++∞U【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，涉及到一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系、韦达定理的运用等知识，关键是能够通过解集确定方程的两根及二次函数开口方向. 二、选择题(每题5分)13.如果a b >，那么下列不等式中正确的是( ) ． A.11a b < B. 22a b >C. a c b c >D.2211a bc c >++ 【答案】D 【解析】 【分析】通过反例1a =，1b =-，0c =可排除,,A B C ；利用不等式的性质可证得D 正确. 【详解】若1a =，1b =-，则1111a b=>=-，221a b ==，则A ，B 错误； 若a b >，0c =，则0a c b c ==，则C 错误；211c +≥Q 21011c ∴<≤+，又a b > 2211a bc c ∴>++，则D 正确.【点睛】本题考查根据不等式的性质比较大小的问题，对于此类问题通常采用排除法来进行排除，属于基础题.14.下列命题中为真命题的是( ) ． A. “若1x =，则220x x +-=”的否命题 B. “若x y >，则x y >”的逆命题. C. “若1x >，则21x >”的否命题 D. “若1x >，则1x >”的逆否命题【答案】B 【解析】 【分析】A 选项：由其逆命题为假，可知否命题为假；B 选项：写出原命题的逆命题，分类讨论后可判断真假；C 选项：写出原命题的否命题，可通过反例得到否命题为假；D 选项：通过判断原命题假，可知其逆否命题为假.【详解】A 中，“若1x =，则220x x +-=”的逆命题为“若220x x +-=，则1x =” 当220x x +-=时，2x =-或1x =，可知逆命题为假Q 逆命题与否命题互为逆否命题，同真假 ∴原命题的否命题为假，A 错误；B 中，原命题的逆命题为“若x y >，则x y >”当0y ≥时，y y =，则x y >，命题成立；当0y <时，0y >，又x y > 0x ∴> 0x y ∴>>，命题成立∴原命题的逆命题为真，B 正确；C 中，原命题的否命题为“若1x ≤，则21x ≤”当2x =-时，241x => ∴原命题的否命题为假，C 错误；D 中，若1x >，则1x >或1x <-，可知原命题为假Q 原命题与其逆否命题同真假 ∴原命题的逆否命题为假，D 错误.故选：B【点睛】本题考查四种命题之间的关系及真假性的判断，需明确原命题与其逆否命题同真假；逆命题与否命题同真假，从而在判断真假性时灵活转化.15.设全集U =R ，集合(){}|0P x f x ==,(){}0Q x g x ==,(){}|0H x h x ==，则方程()()()220f x g x h x +=的解集是( ) ． A. U P Q C H ⋂⋂ B. P Q ⋂ C. P Q H ⋂⋂D.P Q H ⋂⋃【答案】A 【解析】 【分析】由方程有意义可知分母不等于零，得到解集为U C H ；由分子等于零可得()0f x =且()0g x =，解集为P Q I ；上述条件需同时成立，取交集即可得到结果.【详解】Q 方程有意义 ()0h x ∴≠，解集为U C H()()220,0f x g x ≥≥Q ()()220f x g x ∴+=需()20f x =且()20g x =即()0f x =且()0g x =，解集为P Q I综上所述：方程()()()220f x g x h x +=的解集为：U P Q C H I I 故选：A【点睛】本题考查方程组解集的求解、集合的基本运算，关键是明确本题中方程成立的基本要求，即分母不为零且分子为零，从而利用交集运算求得结果. 16.已知121212,,,,,a a b b c c 均为非零实数，则“111222a b c a b c ==”是“关于x 的不等式21110a x b x c ++>与22220a x b x c ++>解集相同”的( ) ．A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】【分析】通过1112221a b c a b c ===-可知所得两个不等式不等价，充分性不成立；通过反例210x x ++>与210x x -+>解集均为R ，可知必要性不成立，从而得到最终结论.【详解】若1112221a b c a b c ===-，则221112220a x b x c a x b x c ++=--->，即22220a x b x c ++<与22220a x b x c ++>的解集不同，故充分性不成立若2211110a x b x c x x ++=++>，2222210a x b x c x x ++=-+>不等式解集均为R ，此时111222a cb ac b =≠，故必要性不成立 综上所述：“111222a b c a b c ==”是“关于x 的不等式21110a x b x c ++>与22220a x b x c ++>解集相同”的既不充分也不必要条件故选：D【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，证明充分性或必要性不成立时，常采用特殊值的方式，找到反例来进行说明.三、解答题17.设集合{}23,1,A a a =-+，{}2 21,3,1B a a a =--+，若{}3A B ⋂=-,试求a 与A B U .【答案】1a =-，{}3,0,1,2,4A B ⋃=--【解析】【分析】根据交集结果可令B 中元素21a -、3a -分别等于3-，求得a 后，计算出集合,A B ，舍掉交集结果不符的情况，得到a ；再根据并集运算求得A B U .【详解】①若213a -=-，则1a =-此时{}3,0,1A =-，{}3,4,2B =-- {}3A B ∴=-I ，满足题意{}3,0,1,2,4A B ∴=--U②若33a -=-，则0a =此时{}3,1,0A =-，{}1,3,1B =-- {}3,1A B ∴=-I ，不满足题意综上所述：1a =-，{}3,0,1,2,4A B =--U【点睛】本题考查集合运算中的根据交集运算结果求解参数值、并集运算等知识；此类型题易错点是忽略集合中元素的互异性、交集运算结果的一致性，导致求解错误.18.已知命题p :关于x 方程2410x x m ++-=有两个不等的负根，命题q :关于x 的方程24420x x m ++-=无实根.若命题p q 、中有且仅有一个真命题，求实数m 的取值范围.【答案】(][)1,35,+∞U【解析】【分析】根据一元二次方程根的分布得到不等关系，求解出命题,p q 分别为真时m 的取值范围；令p 真q 假、p 假q 真分别求得结果，取并集得到最终结果.【详解】若命题p 为真，则()1641010m m ⎧∆=-->⎨->⎩，解得：15m <<若命题q 为真，则()161620m ∆=--<，解得：3m >若p 真q 假，则13m <≤；若p 假q 真，则5m ≥m ∴的取值范围为：(][)1,35,+∞U【点睛】本题考查根据命题的真假性求解参数范围的问题，涉及到根据一元二次方程根的情况求解参数范围的问题，属于常考题型.19.关于x 的不等式组()()22210432130x ax a a x a x ⎧++≥⎪⎨-+---<⎪⎩的解集为R ，求实数a 的取值范围.【答案】[]1,2【解析】【分析】将不等式组解集为R 转化为两个不等式均恒成立的问题；可通过∆和开口方向得到不等式，解不等式求得结果.【详解】Q 不等式组解集为R 210x ax ∴++≥和()()22432130a a x a x -+---<恒成立 若210x ax ++≥恒成立，则240a ∆=-≤，解得：22a -≤≤若()()22432130a a x a x -+---<恒成立 当1a =时，()()224321330a a x a x -+---=-<恒成立，满足题意 当3a =时，()()2243213430a a x a x x -+---=--<不恒成立，不合题意 当1a ≠且3a ≠时，()()2224304112430a a a a a ⎧-+<⎪⎨∆=-+-+<⎪⎩，解得：512a << ∴若()()22432130a a x a x -+---<恒成立，51,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ∴若不等式组解集为R ，[]1,2a ∈【点睛】本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够明确一元二次不等式恒成立实际是与开口方向和判别式有关；易错点是忽略对二次项系数是否为零的讨论. 20.不等式220x x -->的解集为A ，关于x 的不等式()225250x a x a +++<的解集为B . (1)求集合A 、集合B ;(2)若集合A B Z ⋂⋂中有2019个元素，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()(),12,A =-∞-⋃+∞；55,,225,255,,22a a B a a a ⎧⎛⎫--> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=∅=⎨⎪⎪⎛⎫--< ⎪⎪⎝⎭⎩； （2）[)(]2021,20202021,2022-U【解析】分析】（1）利用一元二次不等式的解法可求得集合A ；分别在52a >、52a <和52a =三种情况下，根据一元二次不等式解法求得集合B ；（2）将问题转化为则A B I 中包含2019个整数；分别在52a >、512a ≤<、21a -≤<和2a <-四种情况下，确定A B I 中整数个数，由此得到a 的范围.【详解】（1）()()22210x x x x --=-+>，解得：1x <-或2x > ()(),12,A ∴=-∞-+∞U()()()22525250x a x a x x a +++=++<当52a -<-，即52a >时，52a x -<<-；当52a =时，不等式解集为∅； 当52a ->-，即52a <时，52x a -<<- 55,,225,255,,22a a B a a a ⎧⎛⎫--> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪∴=∅=⎨⎪⎪⎛⎫--< ⎪⎪⎝⎭⎩（2）若A B Z ⋂⋂有2019个元素，则A B I 中包含2019个整数①当52a >时，512a -<-<-，(),1A B a =--I [)2022,2021a ∴-∈--，即(]2021,2022a ∈②当512a ≤<时，512a -<-≤-，5,2A B a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭I 则A B I 中不包含2019个整数，不合题意③当21a -≤<，即12a -<-≤时，5,12A B ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭I 则A B I 中不包含2019个整数，不合题意 ④当2a <-，即2a ->时，()5,12,2A B a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭I U 5,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭Q 包含1个整数 ()2,a ∴-需包含2018个整数 (]2020,2021a ∴-∈，即[)2021,2020a ∈--综上所述：[)(]2021,20202021,2022a ∈-U【点睛】本题考查一元二次不等式的求解、根据集合中元素个数求解参数范围、集合运算中的交集运算以及常用数集等知识，属于中档题.21.已知由自然数组成的1n -元集合{}()1,2,3,4,,11A n n =⋅⋅⋅->，非空集合B A ⊆,且对任意的a B ∈，都有n a B -∈.(1)当5n =时，求所有满足条件的集合B ;(2)当9n =时，求所有满足条件的集合B 的元素总和;(3)定义一个集合的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该集合的元素，然后从最大数开始交替地减、加后继的数.例如集合{}1,2,4,6,9的交替和是964216-+-+=，集合{}5的交替和为5.当21n =时，求所有满足条件的集合B 的“交替和”的总和.【答案】（1）{}1,4，{}2,3，{}1,2,3,4；（2）288；（3）9192⨯【解析】【分析】（1）确定{}1,2,3,4A =后可知B 有偶数个元素，分别讨论两个元素和四个元素的情况即可得到结果；（2）确定{}1,2,3,4,5,6,7,8A =可知B 有偶数个元素，分别在两个、四个、六个和八个元素的情况下求解元素之和，加和得到结果；（3）由3n =、5n =和7n =时交替和总和的规律可得到当21n k =+时，交替和总和为()1212k k --⨯，代入10k =即可求得结果.【详解】（1）当5n =时，{}1,2,3,4A =B Q 是A 的非空子集，且a B ∈时，5a B -∈ ∴B 中有偶数个元素B ∴中有两个元素时，{}1,4B =或{}2,3；B 中有四个元素时，{}1,2,3,4B =∴所有满足条件的集合B 有：{}1,4，{}2,3，{}1,2,3,4（2）当9n =时，{}1,2,3,4,5,6,7,8A =B Q 是A 的非空子集，且a B ∈时，9a B -∈ ∴B 中有偶数个元素当B 中有两个元素时，元素之和为：()()()()1827364536+++++++=当B 中有四个元素时，元素之和为：629129108⨯⨯=⨯=当B 中有六个元素时，元素之和为：439129108⨯⨯=⨯=当B 中有八个元素时，元素之和为：3694=⨯∴所有满足条件的集合B 的元素总和为：3636108108288+++=（3）当3n =时，{}1,2B =，交替和的总和为：()332211322--==-⨯ 当5n =时，由（1）知，交替和的总和为：()5323126522-++==-⨯当7n =时，{}1,6B =或{}2,5或{}3,4或{}1,2,5,6或{}1,3,4,6或{}2,3,4,5或{}1,2,3,4,5,6，交替和的总和为：()732531242320722-++++++==-⨯ ……以此类推，当21n k =+时，交替和的总和为：()()21312212212k k k k +---⨯=-⨯当21n =时，10k = ∴所求交替和的总和为：9192⨯ 【点睛】本题考查集合运算中的新定义运算的问题，关键是能够根据新定义确定集合B 中元素的特点，从而得到规律；考查了学生归纳与总结的能力，属于较难题.。
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【详解】
被4除余2的所有自然数组成的集合
故答案为:
【点睛】
此题为基础题，考查集合表示方法及整数与整除的相关知识.
3．7
【分析】
依题意 且 且 至少有一个属于集合 ，再一一列举出来即可；
【详解】
解：因为 ，所以 且 且 至少有一个属于集合 ，可能有 ， ， ， ， ， ， 共 个，
故答案为：7
上海市青浦高级中学2020-2021学年高一上学期10月质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．设全集 ，集合 ， ，则 ___________
2．被4除余2的所有自然数组成的集合 ___________
故答案为：
【点睛】
此题考查集合的交集运算，考查二次函数值域的求法，属于基础题
6．
【分析】
利用根的判定式求出参数的取值范围，再利用韦达定理计算可得；
【详解】
解：因为一元二次方程 的两个实根分别为 ， ，
所以 ，解得 或
所以
又因为 ，所以 ，即 ，解得 或 （舍去）
故答案为：
【点睛】
本题考查根与系数的关系的应用，属于基础题.
14．A
【分析】
由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足“是 的元素且是 的元素，或是 的元素”，由韦恩图与集合之间的关系易得答案.
这些组合的“对偶关系”有4对，集合有 个．
那么 ，可得 ．
当 时，则 ，也满足“对偶关系”．
可得实数 的取值集合为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本类问题通常以选择和填空出现，考查集合和元素之间的关系，有时也出现在以其他知识为背景的综合题中，渗透集合的思想，体现基础性与应用性．属于基础题
13．C
【详解】
若a<b<0,则a2>b2，A不成立；若 B不成立；若a=1，b=2，则 ,所以D不成立,故选C.
（1）当 时，若 ， ，求 和 的值；
（2）当 时，设 是 的子集，且满足：对于 中的任意元素 、 ，当 、 相同时， 是奇数，当 、 不同时， 是偶数，求集合 中元素个数的最大值.
参考答案
1．
【分析】
根据集合交补含义可得.
【详解】
因为 ， ，
.
故答案为:
【点睛】
此题为基础题，考查集合的运算.
2．
【分析】
9．若实数 满足，且 ，则 的最小值为______.
10．设 ，一元二次方程 有整数根的充要条件是 __________
11．定义 ，设集合 ， ， ，则集合 __________
12．若 ，则 ，则称 是“对偶关系”集合，若集合 的所有非空子集中是“对偶关系”的集合一共15个，则实数 的取值集合为__________
11．
【分析】
根据新定义依次求集合元素即可.
【详解】
故答案为:
【点睛】
新定义题关键在于审题，是高考常见题型.
12．
【分析】
根据定义，列举集合 ， ， ，0，2，4，6， 的所有的“对偶关系”的集合，再去考查实数 的取值即可．
【详解】
解：集合 ， ， ，0，2，4，6， 的所有的“对偶关系”
有 与6， 与4，2与0，则 与7，
10． 或4
【分析】
由一元二次方程有实数根 △ 得 ；又 ，则分别讨论 为1，2，3，4时的情况即可．
【详解】
解：一元二次方程 有实数根 ；
又 ，则 时，方程 ，有整数根2；
时，方程 ，有整数根1，3；
时，方程 ，无整数根；
时，方程 ，无整数根．
所以 或 ．
故答案为：3或4．
【点睛】
本题考查一元二次方程有实根的充要条件及分类讨论的策略，属于基础题．
确的是（ ）
A．若 ，则至少存在一个以 为边长的等边三角形
B．若 ，则对任意满足不等式的 都存在以 为边长的三角形
C．若 ，则对任意满足不等式的 都存在以 为边长的三角形
D．若 ，则对满足不等式的 不存在以 为边长的直角三角形
三、解答题
17．设 ，求关于 与 的二元一次方程组 的解集．
18．已知命题 方程 有两个不相等的负根；命题 方程 无实根若命题 与 一真一假，求实数 的取值范围．
7．
【分析】
依题意可得 与 是方程 的两根，利用韦达定理计算可得；
【详解】
解：因为关于 的不等式 的解集为 ，所以 与 是方程 的两根，所以 ，解得
所以
故答案为：
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解集与一元二次方程的关系，属于基础题.
8．
【分析】
化简方程为 ，根据恒成立即可求解.
【详解】
因为 对 恒成立，
3．满足 的集合 有___________个
4．集合 用列举法表示为_________.
5．已知集合 ， ，则 _________
6．已知一元二次方程 的两个实根分别为 ， ，且 ，则实数 _________
7．若关于 的不等式 的解集为 ，则 _________
8．已知等式 对 恒成立，则 _________
所以 对 恒成立，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了方程的恒成立问题，考查了运算能力，属于中档题.
9．
【分析】
利用基本不等式可得， ，再验证等号成立的条件即可.
【详解】
∵ ， ，当且仅当 时等号成立.
故答案为 .
【求最值时要注意验证等号成立的条件，属基础题.
【点睛】
本题考查集合的包含关系，求集合的子集，属于基础题.
4．
【解析】
因为 ，所以 可取 ，分别列方程解出 的值，结合 ，可得 ，即 ，故答案为 .
5．
【分析】
由于集合A，B表示二次函数的值域，所以先利用配方法求出集合A，B，再求交集
【详解】
解：因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
二、单选题
13．已知 为非零实数，且 ，则下列命题成立的是
A． B． C． D．
14．下列表示图形中的阴影部分的是（）
A． B．
C． D．
15．一元二次方程 有解是一元二次不等式 有解的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
16．已知 ， ，若 ，则对此不等式描述正
19．距码头 南偏东 的400千米 处有一个台风中心．已知台风以每小时40千米的速度向正北方向移动，距台风中心350千米以内都受台风影响．问：从现在起多少时间后，码头将受台风影响？码头受台风影响的时间有多长？
20．（1）已知 ，用比较法证明 ；
（2）已知 ，用反证法证明： ．
21．设 为正整数，集合 （ ），对于集合 中的任意元素 和 ，记 .