湖南省衡阳八中2014-2015学年高二上学期期中考试 数学(理)(418班)
【精】湖南省衡阳八中高二上学期期中数学试卷和解析(理科)
2018-2019学年湖南省衡阳八中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分.）1．（5分）下列四个函数中，函数值的最小值为2的是（）A．y=x+B．y=sinx+C．y=3x+3﹣x D．y=lgx+2．（5分）若命题p：∃x0∈R，使x02+（a﹣1）x0+1＜0，则该命题的否定￢p为（）A．∃x0∉R，使x02+（a﹣1）x0+1＜0 B．∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1＜0C．∃x0∈R，使x02+（a﹣1）x0+1≥0 D．∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1≥03．（5分）已知△ABC的周长为20，且顶点B（﹣4，0），C（4，0），则顶点A的轨迹方程是（）A．=1（y≠0）B．=1（y≠0）C．=1（y≠0）D．=1（y≠0）4．（5分）若双曲线=1上一点P到它的左焦点的距离为18，则点P到右焦点的距离为（）A．2 B．34 C．6 D．2或345．（5分）下列双曲线中，以y=±x为渐近线的是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=16．（5分）抛物线y=8x2的准线方程是（）A．y=﹣2 B．x=﹣1 C．x=﹣D．y=﹣7．（5分）与直线2x﹣y+4=0的平行的抛物线y=x2的切线方程是（）A．2x﹣y+3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．2x﹣y+1=0 D．2x﹣y﹣1=08．（5分）如图，在四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、BC的中点，则向量与、的关系是（）A．B．C．D．9．（5分）已知，则与向量共线的单位向量是（）A．B．C．D．10．（5分）直线y=x+3与曲线的交点个数为（）A．4个 B．1个 C．2个 D．3个11．（5分）已知双曲线，若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2） B．C．[2，+∞）D．12．（5分）已知M是椭圆上一点，两焦点为F1，F2，点P是△MF1F2的内心，连接MP并延长交F1F2于N，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分.）13．（5分）若函数f（x）=x+（x＞5）在x=a处取得最小值，则a=．14．（5分）已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=．15．（5分）若向量，，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围为．16．（5分）已知抛物线C1：y2=2px和圆，其中p＞0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则的值为．三、解答题（共6小题，满分70分.）17．（10分）已知命题p：不等式|x﹣1|＞m﹣1的解集为R，命题q：f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．18．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）若P为抛物线C上的动点，求线段FP的中点M的轨迹方程．19．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，E、F 分别为C1C、BC的中点．（1）求证：B1F⊥平面AEF；（2）求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．20．（12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．用向量方法证明与解答：（1）求证：AM∥平面BDE；（2）试判断在线段AC上是否存在一点P，使得直线PF与AD所成角为60°，并说明理由．21．（12分）已知双曲线的离心率，过A（a，0），B（0，﹣b）的直线到原点的距离是．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线y=kx+5（k≠0）交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k 的值．22．（12分）如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求△APB面积取最大值时直线l的方程．2018-2019学年湖南省衡阳八中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分.）1．（5分）下列四个函数中，函数值的最小值为2的是（）A．y=x+B．y=sinx+C．y=3x+3﹣x D．y=lgx+【解答】解：选项A，x正负不定，不能得最小值为2，错误；选项B，由0＜x＜可得0＜sinx＜1，故取不到等号，错误；选项C，由基本不等式可得y=3x+3﹣x≥2=2，当且仅当x=0时取等号，正确；选项D，由1＜x＜10可得0＜lgx＜1，取不到等号，错误．故选：C．2．（5分）若命题p：∃x0∈R，使x02+（a﹣1）x0+1＜0，则该命题的否定￢p为（）A．∃x0∉R，使x02+（a﹣1）x0+1＜0 B．∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1＜0C．∃x0∈R，使x02+（a﹣1）x0+1≥0 D．∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1≥0【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x0∈R，使x02+（a﹣1）x0+1＜0，则该命题的否定￢p为：∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1≥0．故选：D．3．（5分）已知△ABC的周长为20，且顶点B（﹣4，0），C（4，0），则顶点A的轨迹方程是（）A．=1（y≠0）B．=1（y≠0）C．=1（y≠0）D．=1（y≠0）【解答】解：根据题意，△ABC中，|CB|=8，△ABC的周长为20，∴|AB|+|AC|=12，且|AB|+|AC|＞|BC|，∴顶点A的轨迹是以C、B为焦点的椭圆，去掉与x轴的交点．∴2a=12，2c=8；∴a=6，c=4，∴b2=a2﹣c2=62﹣42=20，∴顶点A的轨迹方程为+=1（其中y≠0），故选：A．4．（5分）若双曲线=1上一点P到它的左焦点的距离为18，则点P到右焦点的距离为（）A．2 B．34 C．6 D．2或34【解答】解：设点P到双曲线的右焦点的距离是x，∵双曲线=1上一点P到它的左焦点的距离为18，∴|x﹣18|=2×8，∴x=2或34．故选：D．5．（5分）下列双曲线中，以y=±x为渐近线的是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1【解答】解：由y=±x得±=0，因此以±=0为渐近线的双曲线为﹣=m（m≠0）当m=4时，方程为﹣=1，故选：A．6．（5分）抛物线y=8x2的准线方程是（）A．y=﹣2 B．x=﹣1 C．x=﹣D．y=﹣【解答】解：因为抛物线y=8x2，可化为：x2=y，∴2p=，则线的准线方程为y=﹣．故选：D．7．（5分）与直线2x﹣y+4=0的平行的抛物线y=x2的切线方程是（）A．2x﹣y+3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．2x﹣y+1=0 D．2x﹣y﹣1=0【解答】解：由题意可设切线方程为2x﹣y+m=0联立方程组得x2﹣2x﹣m=0△=4+4m=0解得m=﹣1，∴切线方程为2x﹣y﹣1=0，故选：D．8．（5分）如图，在四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、BC的中点，则向量与、的关系是（）A．B．C．D．【解答】解：连接AF，=﹣=（+）﹣=﹣（﹣）=﹣，故选：C．9．（5分）已知，则与向量共线的单位向量是（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴与向量共线的单位向量是±=±（1，﹣1，1）=±（，﹣，）．故选：D．10．（5分）直线y=x+3与曲线的交点个数为（）A．4个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：当x＞0时，曲线方程化为，把直线y=x+3代入得，5x=24，所以当x＞0时，直线y=x+3与曲线的交点个数为1个．当x≤0，曲线方程化为，把直线y=x+3代入得，13x2+24x=0，所以当x≤0时，直线y=x+3与曲线的交点个数为2个．所以，直线y=x+3与曲线的交点个数共3个．故选：D．11．（5分）已知双曲线，若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2） B．C．[2，+∞）D．【解答】解：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜tan30°=，即b＜a∵b=∴＜a，整理得c＜a∴e=＜∵双曲线中e＞1故e的范围是（1，）故选：B．12．（5分）已知M是椭圆上一点，两焦点为F1，F2，点P是△MF1F2的内心，连接MP并延长交F1F2于N，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，连接PF1，PF2．在△MF1P中，F1P是∠MF1N的角平分线，根据三角形内角平分线性质定理，，同理可得，固有，根据等比定理．故选：A．二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分.）13．（5分）若函数f（x）=x+（x＞5）在x=a处取得最小值，则a=6．【解答】解：∵x＞5，∴x﹣5＞0，∴f（x）=x+=x﹣5++5≥2+5=7，当且仅当x﹣5=即x=6时取等号．故答案为：6．14．（5分）已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=3．【解答】解：∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．∴|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，∴（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2，∴36=4（a2﹣c2）=4b2，∴b=3．故答案为3．15．（5分）若向量，，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围为．【解答】解：∵向量，，与的夹角为钝角，∴=＜0，且=≠﹣1，解得t＜，且t≠﹣3．∴实数t的取值范围为．16．（5分）已知抛物线C1：y2=2px和圆，其中p＞0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则的值为．【解答】解：法一：当直线l垂直于x轴时，|AB|=|CD|=p﹣=，=法二：设抛物线的焦点为F，则|AB|=|AF|﹣|BF=x1+﹣=x1，同理|CD|=x2，又=|AB||CD|=x1x2=．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分70分.）17．（10分）已知命题p：不等式|x﹣1|＞m﹣1的解集为R，命题q：f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：不等式|x﹣1|＞m﹣1的解集为R，须m﹣1＜0，即p是真命题，m＜1f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，须5﹣2m＞1即q是真命题，m＜2，由于p或q为真命题，p且q为假命题，故p、q中一个真，另一个为假命题因此，1≤m＜2．18．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）若P为抛物线C上的动点，求线段FP的中点M的轨迹方程．【解答】解：（1）抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为：x=﹣∵抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5，∴根据抛物线的定义可知，3+=5，∴p=4∴抛物线C的方程是y2=8x；（2）由（1）知F（2，0），设P（x0，y0），M（x，y），则，即，而点P（x0，y0）在抛物线C上，，∴（2y）2=8（2x﹣2），即y2=4（x﹣1），此即所求点M的轨迹方程．19．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，E、F 分别为C1C、BC的中点．（1）求证：B1F⊥平面AEF；（2）求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．【解答】（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，F为BC的中点，∴AF⊥BC，AF⊥BB1，∴AF⊥面B1FE，∵B1F⊂面B1FE，∴B1F⊥AF，设AB=1，∵AB=AA1，∴AB=AA=AC=BB=1，BF=CF=，∴=，EF==，=，∴=，∴B1F⊥EF，所以B1F⊥平面AEF．（2）以AB为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，则A（0，0，0），B1（1，0，1），F（，，0），E（0，1，），∴=（1，0，1），=（），=（0，1，），设平面AB1E的法向量为=（x1，y1，z1），则=0，=0，∴，∴=（1，，﹣1）．设平面AEF的法向量为=（x2，y2，z2），则，=0，∴，∴=（1，﹣1，2），设二面角B1﹣AE﹣F的平面角为θ，则cosθ=|cos＜＞|=||=．∴二面角B1﹣AE﹣F的余弦值为．20．（12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．用向量方法证明与解答：（1）求证：AM∥平面BDE；（2）试判断在线段AC上是否存在一点P，使得直线PF与AD所成角为60°，并说明理由．【解答】（1）证明：∵正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．∴以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AC∩BD=N，连接NE，则点N、E的坐标分别是（，，0）、（0，0，1），∴=（﹣，﹣，1），A、M坐标分别是（）、（），∴=（﹣，﹣，1）．∴=，且NE与AM不共线，∴NE∥AM．又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDF．（2）解：在线段AC上是否存在一点P，使得直线PF与AD所成角为60°．理由如下：设P（t，t，0），（0≤t≤），得=（），∴=（0，，0），又∵PF和AD所成的角是60°．∴cos60°=，解得t=，或t=（舍去），即点P是AC的中点．21．（12分）已知双曲线的离心率，过A（a，0），B（0，﹣b）的直线到原点的距离是．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线y=kx+5（k≠0）交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k 的值．【解答】解：∵（1）①，原点到直线AB：的距离==②，联立①②及c2=a2+b2可求得b=1，a=，故所求双曲线方程为．（2）把y=kx+5代入x2﹣3y2=3中消去y，整理得（1﹣3k2）x2﹣30kx﹣78=0．设C（x1，y1），D（x2，y2），C、D的中点是E（x0，y0），则，=，y0=kx0+5=，k BE==﹣，∴x0+ky0+k=0，即，解得k=，故所求k=±．22．（12分）如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求△APB面积取最大值时直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意，解得：．∴所求椭圆C的方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=0，与不过原点的条件不符，故设AB的方程为y=kx+m（m ≠0）由，消元可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0①∴，∴线段AB的中点M∵M在直线OP上，∴∴k=﹣故①变为3x2﹣3mx+m2﹣3=0，又直线与椭圆相交，∴△＞0，x1+x2=m，∴|AB|=P到直线AB的距离d=∴△APB面积S=（m∈（﹣2，0）令u（m）=（12﹣m2）（m﹣4）2，则∴m=1﹣，u（m）取到最大值∴m=1﹣时，S取到最大值综上，所求直线的方程为：赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
湖南省衡阳市第八中学高二数学上学期期中试题理(扫描版)
湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题理（扫描版）衡阳市八中2015年下学期期中考试试题高 二 数学（理）参考答案一、选择题13.6 14.3 15. 5(,3)(3,)3-∞-⋃- 16. 24p -三、解答题 17.【参考答案】不等式|x －1|<m －1的解集为R ，须m －1<0， 即p 是真命题，m<1f(x)=－(5－2m) x是减函数，须5－2m>1 即q 是真命题，m<2由于p 或q 为真命题，p 且q 为假命题故p 、q 中一个真，另一个为假命题 因此，1≤m<218.【参考答案】 （1）28y x =；（2）由（1）知F （2，0），设P(00,y x )，M(,y x )，则00222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即00222x x y y =-⎧⎨=⎩， 而点P(00,y x )在抛物线C 上，2008y x =，∴228(22)y x =-（），即24(1)yx =-此即所求点M 的轨迹方程。
19.【参考答案】如图建立空间直角坐标系O xyz -，令AB ＝AA 1＝4，则A (0, 0, 0), E (0, 4, 2), F (2, 2, 0), B (4, 0, 0), B 1(4, 0, 4) （1）1(2,2,4),(2,2,2),B F EF =--=--(2,2,0)AF =1(2)22(2)(4)(2)0.B F EF ⋅=-⨯+⨯-+-⨯-=11..B F EF B F EF ∴⊥∴⊥ 1(2)222(4)00.B F AF ⋅=-⨯+⨯+-⨯= 11..B F AF B F AF ∴⊥∴⊥1,.AF FE F B F AEF =∴⊥平面（2）平面AEF 的法向量为1(2,2,4)B F =--，设平面B 1AE 的法向量为{10,20,(,,),0.0.n AE y z n x y z x z n B A ⎧⋅=+==∴⎨+=⋅=⎩即令2,x =则2,1,(2,1,2).z y n =-=∴=-111cos ,||||9nB F n B F n B F ⋅∴<>==⋅⨯ ∴二面角B 1－AE －F20.【参考答案】（1）建立如图所示的空间直角坐标系.设N BD AC = ，连接NE ， 则点N 、E 的坐标分别是（)0,22,22、(0,0,1),∴NE =()1,22,22--, A 、M 坐标分别是（022，，）、（)1,22,22，∴AM =（)1,22,22-- ∴NE =AM 且NE 与AM 不共线，∴NE ∥AM .又∵⊂NE 平面BDE ，⊄AM 平面BDE，∴AM ∥平面BDF .（2）设(,,0)P t t(0t ≤≤，得(2,1)PF t t =，∴DA =， 又∵PF 和AD 所成的角是60︒. 21)2()2(2)2(60cos 22⋅+-+-⋅-=︒∴t t t ，解得22=t 或223=t （舍去），即点P 是AC 的中点.21.【参考答案】（1）因为c a =，原点到直线AB ：1x y a b -=的距离abdc===所以1,b a==故所求的双曲线的方程为2213xy-=。
湖南省衡阳市第八中学高二数学上学期期中试题理
衡阳市八中2016年下期期中考试试题高二数学（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．命题“()0,10x x x ∀>->”的否定是（ ）A ．()0,10x x x ∀>-≤B ．()0,10x x x ∀<-≤C ．()0,10x x x ∃>-≤D ．()0,10x x x ∃<-≤2．设x R ∈，则“12x >”是“(1)(21)0x x +->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知椭圆的标准方程22110x y +=，则椭圆的焦点坐标为（ ）A ．( B.(0, C ．(0,3)±， D ．(3,0)±4.已知C B A ,,不共线，对空间任意一点O ，若OC OB OA OP 414121++=，则C B A P ,,,四点（ ）A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断5．已知动点P 到点()2,0M 和到直线2x =-的距离相等，则动点P 的轨迹是（ ）A ．抛物线B ．双曲线左支C ．一条直线D ．圆6．双曲线E 的中心在原点，离心率等于2，若它的一个顶点恰好是抛物线28y x =的焦点，则双曲线E 的虚轴长等于（ ）A ．4B ．．7．焦点是()02±，，且与双曲线22133x y -=有相同的渐近线的双曲线的方程是（ ） A ．2213y x -= B ．2213x y -= C ．222x y -= D ．222y x -= 8.在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，N M ,分别为111BB B A ，的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．25B ．52-C ．45D ．54-9．若圆22((1)3x y +-=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．2D 10．在22y x =上有一点P ，它到(1,3)A 的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是（ ）A ．（－2，1）B ．（1，2）C ．(2，1)D ．（－1，2）11．在极坐标系中，已知圆C 的方程为)4cos(2πθρ+=，则圆心C 的极坐标为( ) A. )41(π-， B. )431(π， C. )42(π-， D. )432(π， 12．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，12||F F 为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A ，B 两点，若12||3||F B F A =，则该双曲线的其中一条渐近线的斜率是（ ） A.54 B.25 C.32 D.552二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）。
湖南省衡阳市第八中学1415学年度高二10月月考——数学(理)数学(理)
湖南省衡阳市第八中学2014—2015学年度上学期10月月考高二数学理试题总分：100分考试时间：120分钟一、选择题：以下各题只有唯一的正确答案！（每题3分，共30分）1、命题p: 2+2=5; 命题q: 32，则下列各项中，正确的是：（）A、p或q为真命题，q为假命题；B、p且q为假命题，┐q为真命题；C、p且q为假命题，┐q为假命题；D、p且q为假命题，p或q为假命题2、命题“若，则”的逆否命题是：（）A、若，则B、若，则C、若，则D、若，则3、方程[(x－1)2+(y+2)2](x2－y2)=0表示的图形是：（）A、两条相交直线B、两条直线与点（1，－2）C、两条平行线D、四条直线4、已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离是3，则P点到另一个焦点的距离为：（）A、2B、3C、5D、75、若命题“曲线M上的点的坐标满足方程f(x, y)=0”是正确的，则下列命题中正确的是：（）A、f(x, y)=0所表示的曲线是MB、满足f(x, y)=0的点均在曲线上C、曲线C是f(x, y)=0的轨迹D、f(x, y)=0所表示的曲线不一定是M6、若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m= （）A．B．C．D．7、设椭圆=1的长轴两端点为M、N，点P在椭圆上，则PM与PN的斜率之积为：（）A、B、C、D、8、椭圆x2+4y2=36的弦被（4，2）平分，则此弦所在直线方程为：（）A、x－2y=0B、x+2y－4=0C、2x+3y－14=0D、x+2y－8=09、点P是椭圆=1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则线段PM中点的轨迹方程为：（）A、B、C、D、=110、以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值为：（）A 、B 、C 、2D 、14、已知p ：，q ：)0(01222>≤-+-m m x x ，若的充分不必要条件，则实数m 的取值范围： 。
15、命题p ：22,cos sin 27;x R x x m m ∀∈+≥--命题q ：的解集非空。
湖南省衡阳市第八中学学年高二数学上学期第二次月考试题理
2015-2016学年度衡阳市八中月考卷高二理科数学试卷考试时间：120分钟，总分150分第Ⅰ卷（选择题）一、选择题1.命题“000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是（ ） A ．000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞≠- B ．000(0,),ln 1x x x ∃∉+∞=- C ．(0,),ln 1x x x ∀∉+∞=- D ．(0,),ln 1x x x ∀∈+∞≠-2.一物体的运动方程是23s t =+，则在一小段时间[]2,2.1内的平均速度为（ ）A ．0.41B ．4.1C ．0.3D ．33.关于函数的极值，下列说法正确的是（ ） A ．导数为零的点一定是函数的极值点 B ．函数的极小值一定小于它的极大值C ．()f x 在定义域内最多只能有一个极大值一个极小值D ．若()f x 在(,)a b 内有极值，那么()f x 在(,)a b 内不是单调函数 4.设()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如图，则()f x 的图象只可能是A ．B ．C ．D ．5.若()y f x =与()y g x =是[],a b 上的两条光滑曲线，则这两条曲线及,x a x b ==所围成的平面图形的面积为（ ）A ．(()())b a f f x g x dx -B ．(()())b a f g x f x dx -C ．()()b a f f x g x dx -D ．(()())ba f f x g x dx -6.设两不同直线,a b 的方向向量分别是12,e e，平面α的法向量是n ，则下列推理①121//////e e b a e n ⎫⎪⇒⎬⎪⎭ ；②12//////e n a b e n ⎫⎪⇒⎬⎪⎭ ；③112////e n b a b a e e ⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊥⎭；④121////e e b a e n ⎫⎪⇒⊥⎬⎪⎭ 其中正确的命题序号是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④7.已知(2,5,1),(2,4,2),(1,4,1)A B C ---，则AB 与AC 的夹角为（ ） A ．30° B ．60°C ．45°D ．90°8.椭圆22142x y k+=+的离心率为12，则k 的值为（ ） A ．103-B ．103C ．103或1D ．103-或19.如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是1D D 的中点，N 是11A B 上的动点，则直线NO 、AM 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直10.过双曲线228x y -=的左焦点1F 有一条弦PQ 交左支于P 、Q 点，若7PQ =，2F 是双曲线的右焦点，则2PF Q ∆的周长是（ ） A ．28 B．14-．14+．11.面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为(1,2,3,4)i a i =，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为(1,2,3,4)i h i =，若31241234a a a a k ====，则12342234Sh h h h k+++=．类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为(1,2,3,4)i H i =，若31241234S S S S K ====，则1234234H H H H +++等于（ ） A ．2V K B ．3V K C ．2V K D ．3V K12.若曲线(,)0f x y =上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线(,)0f x y =的“自公切线”．下列方程：①221x y -=；②2y x x =-；③3sin 4cos y x x =+；④1x += ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题 13.函数3411()34f x x x =-在区间[]3,3-上的极值点为________． 14.已知函数()(1)(2)(3)f x x x x =---，且在点(,())i f i 处的切线的斜率为(1,2,3)i k i =．则123111k k k ++=________． 15.在直三棱柱111A B C ABC -中，底面ABC 为直角三角形，1,12BAC AB AC AA π∠====．已知G 与E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的最小值为________．16.如图，椭圆222:1(2)4x y C a a +=>，圆222:4O x y a +=+，椭圆C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过椭圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于M ，N 两点，若126PF PF = ，则P M P N 的值为________．三、解答题17.已知函数32()39f x x x x a =-+++， （1）求()f x 的单调递减区间；（2）若()f x 在区间[]2,2-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．18.一个几何体是由圆柱11ADD A 和三棱锥E ABC -组合而成，点A 、B 、C 在圆柱上底面圆O 的圆周上，EA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，AB AC =，其正视图、侧视图如图所示． （1）求证：AC BD ⊥；（2）求锐二面角A BD C --的大小．19.设函数()(0)kx f x xe k =≠ （1）函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围．20.如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2，短半轴长为1，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．（1）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （2）求面积S 的最大值．21.已知动圆过定点(2,0)P ，且在y 轴上截得弦长为4． （1）求动圆圆心的轨迹Q 的方程；（2）已知点(,0)E m 为一个定点，过E 作斜率分别为1k 、2k 的两条直线交轨迹Q 于点A 、B 、C 、D 四点，且M 、N 分别是线段AB 、CD 的中点，若121k k +=，求证：直线MN 过定点．22.已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点x e =（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为3． （1）求实数a 的值 ；参考答案 一、选择题1-10：DBDDC BBCCC 11-12：BC 二、填空题16. 6三、解答题17. 解：（I ） f ’(x )＝－3x 2＋6x ＋9．令f ‘(x )<0，解得x <－1或x >3， 所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II ）因为f (－2)＝8＋12－18＋a =2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，所以f (2)>f (－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x )>0，所以f (x )在上单调递增，又由于f (x )在上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间上的最大值和最小值，于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函数f (x )在区间上的最小值为－7．18. 方法1：（1）证明：因为EA ABC ⊥平面，C A ABC ⊂平面，所以EA AC ⊥，即ED AC ⊥．又因为AC AB ⊥，AB ED A = ，所以AC ⊥平面EBD ．因为BD EBD ⊂平面，所以AC BD ⊥．………………………………………5分 （2）解： 4BC =，AB AC ==． 过点C 作CH BD ⊥于点H ，连接AH ，由（1）知，AC BD ⊥，AC CH C = ，所以BD ⊥平面ACH ． 因为AH ⊂平面ACH ，所以BD AH ⊥． 所以AHC ∠为二面角A BD C --的平面角． 由（1）知，AC ⊥平面ABD ，AH ⊂平面ABD ， 所以AC AH ⊥，即△CAH 为直角三角形． 在Rt △BAD中，AB =2AD =，则BD ==由AB AD BD AH ⨯=⨯，解得3AH =．因为tan ACAHC AH∠== 所以AHC ∠60= ．所以二面角A BD C --的平面角大小为60 ．方法2：（2）解：设(),,x y z =n 是平面BCD 的法向量，因为()0,4,0BC =-，所以0,0.BC DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即40,2220.y x y z -=⎧⎨++=⎩ 取1z =-，则()1,0,1=-n 是平面BCD 的一个法向量．由（1）知，AC BD ⊥，又A C A B ⊥，AB BD B = ，所以AC ⊥平面ABD ．所以()2,2,0AC =-是平面ABD 的一个法向量．因为1cos ,2AC AC AC ⋅===⋅n n n ， 所以,60AC =n ．而,ACn 等于二面角A BD C --的平面角，所以二面角A BD C --的平面角大小为60．……………………………………12分19.【解析】（Ⅰ）由()()'10kx fx kx e =+=，得()10x k k =-≠，若0k >，则当1,x k ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减， 当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增， 若0k <，则当1,x k ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增， 当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减， （Ⅱ）由（Ⅰ）知，若0k >，则当且仅当11k-≤-，即1k ≤时，函数()f x 在()1,1-内单调递增；若0k <，则当且仅当11k-≥，即1k ≥-时，函数()f x 在()1,1-内单调递增，综上可知，函数()f x 在区间()1,1-内单调递增时，k 的取值范围是[)(]1,00,1- .20. 解：（I ）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O xy -（如图），则点C 的横坐标为x ．点C 的纵坐标y 满足方程221(0)4y x y +=≥，解得1)y x =<<1(22)2S x =+2(1)x =+ 其定义域为{}01x x <<．（II ）记22()4(1)(1)01f x x x x =+-<<，， 则2()8(1)(12)f x x x '=+-． 令()0f x '=，得12x =． 因为当102x <<时，()0f x '>；当112x <<时，()0f x '<，所以12f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值．因此，当12x =时，S=． 即梯形面积S21. 解：(1)设动圆圆心为O 1(x ，y )，动圆与y 轴交于R ，S 两点，由题意，得|O 1P|＝|O 1S |， 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥RS 交RS 于H ，则H 是RS 的中点， ∴|O 1S|又|O 1P|∴化简得y 2＝4x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2＝4x ， ∴动圆圆心的轨迹Q 的方程为y 2＝4x . (2)由12()4y k x m y x=-⎧⎨=⎩，得211440k y y k m --=，121214,4y y y y m k +==- AB 中点1212(,)22x x y y M ++，∴21122(,)M m k k +，同理，点22222(,)N m k k +……8分 ∴121212M N MN M N y y k kk k k x x k k -===-+ ……10分∴MN ：1221122[()]y k k x m k k -=-+，即12()2y k k x m =-+ ∴直线MN 恒过定点(,2)m ． ……12分22. （1）解：因为()ln f x ax x x =+，所以()ln 1f x a x '=++．因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点e x =处的切线斜率为3， 所以()e 3f '=，即ln e 13a ++=．所以1a =．（2）解：由（1）知，()ln f x x x x =+，所以()1f x k x <-对任意1x >恒成立，即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立．令()ln 1x x xg x x +=-，则()()2ln 21x x g x x --'=-，令()ln 2h x x x =--()1x >， 则()1110x h x x x-'=-=>， 所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增． 因为()()31ln30,422ln 20h h =-<=->，所以函数()ln 1x x xg x x +=-在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．所以()()()()()000000min 001ln 123,411x x x x g x g x x x x ++-====∈⎡⎤⎣⎦--．所以()()0min 3,4k g x x <=∈⎡⎤⎣⎦．故整数k 的最大值是3． （3）证明1：由（2）知，()ln 1x x xg x x +=-是[)4,+∞上的增函数，所以当4n m >≥时，ln ln 11n n n m m mn m ++>--．即()()()()11ln 11ln n m n m n m -+>-+．整理，得()ln ln ln ln mn n m m mn m n n n m +>++-．因为n m>， 所以ln ln ln ln mn n m m mn m n n+>+．即ln ln ln ln mnmmnnn m m n+>+．即()()ln ln mn m mn n n m m n >． 所以()()mnn m mnnm >．证明2：构造函数()ln ln ln ln f x mx x m m mx m x x =+--，则()()1ln 1ln f x m x m m m '=-+--． 因为4x m >≥，所以()()1ln 1ln 1ln 0f x m m m m m m m '>-+--=-->．所以函数()f x 在[),m +∞上单调递增．因为n m>， 所以()()f n f m >．所以- 11 - ln ln ln ln mn n m m mn m n n +-->22ln ln ln ln 0m m m m m m m m +--=． 即ln ln ln ln mn n m m mn m n n +>+． 即ln ln ln ln mn m mn n n m m n +>+． 即()()ln ln mn m mn n n m m n >． 所以()()m nn m mn nm >．。
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湖南省衡阳八中高二上学期期中考试（数学）考生注意：本卷共21题，满分100分，考试时间1一、选择题： (每小题3分，共30分)1、在△ABC 中，已知b ＝4 ，c ＝2 ，∠A＝1则a 等于( )A ．2B ．6C ．2 或6D ．272、设数列的通项公式为72-=n a n ，则=+++1521a a a （ ）A 、153B 、210C 、135D 、1、 已知正数,x y 满足1x y +=，则12x y+的最小值（ ） A．B．3+C ．2D ．44、若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ）A 、4005B 、4006C 、4007D 、40085、设n S 是等差数列}{n a 的前n 项之和，且98776,S S S S S >=<，则下列结论中错误的是（ ） A 、0<d B 、08=a C 、610S S > D 、87,S S 均为n S 的最大项6、已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =（ ）A 、0B 、3-C 、3D 、23 7、a,b,c 成等比数列，那么关于x 的方程 02=++c bx ax （ ） A 、一定有两个不相等的实数根 B 、一定有两个相等的实数根 C 、一定没有实数根 D 、以上三种情况均可出现8、已知4,,,121a a 成等差数列，4,,,,1321b b b 成等比数列，则212a ab -等于（ ） A 、14 B 、12- C 、12 D 、12或12-9、不等式x +3y －2≥0表示直线x +3y －2=0（ ）A ．上方的平面区域B ．下方的平面区域C ．上方的平面区域(包括直线本身)D ．下方的平面(包括直线本身)区域10、已知点（3，1）和（－4，6）在直线3x －2y +a =0的两侧，则a 的取值范围是（ ）A ．a <－7或a >24B ．a =7或a =24C ．－7<a <24D ．－24<a <7 二、填空题：（每小题3分，共15分）(11) 已知数列{}n a 前n 项和21n S n n =+-，那么它的通项公式_____n a =(12) 设实数x 、y 满足5)2()1(22=++-y x ，则x －2y 的最大值是__________(13) 若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立,则a 的取值范围是______________．(14) 不等式21131x x ->+的解集是 (15)定义一种新的运算“*”对任意正整数n 满足下列两个条件：(1)111=*),1(21)1)(2(*+=*+n n 则*1=__________三、解答题：16.（8分）（1）求数列n+++++++ 3211,,3211,211,1的通项公式n a （2）求数列}{n a 的前n 项和17（12分）.已知关于x 的二次方程)(0112*+∈=+-N n x a x a n n 的两根βα,满足3626=+-βαβα，且11=a（1）试用n a 表示1+n a （2）求证：}32{-n a 是等比数列（3）求数列的通项公式n a （4）求数列}{n a 的前n 项和n S18.（9分）深圳某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调查，得出下表：19（8分）.建造一个容量为38m ，深度为m 2的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方分别为180元和80元，求水池的最低总造价。
湖南省衡阳市八中高二数学上学期期中考试 理【会员独享】.doc
衡阳市八中下学期期中考试试题高二数学（理科）本试题卷共三大题21小题，全卷满分100分，考试用时1.请将答案写在答卷上.一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. “2>x ”是“42>x ”成立的（ ）A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.充要条件；D.既非充分又非必要条件； 2.下列命题中，真命题是（ ）A. 0)2(,2*>-∈∀x N x ； B. 0lg ,>∈∀x R x ； C. 12,>∈∃xR x ； D. 01,2≤+-∈∃x x R x ； 3.“若12=x ，则1=x 或1-=x ”的否命题是（ ）A. 若12≠x ，则1=x 或1-=x ； B. 若12=x ，则1≠x 且1-≠x ； C. 若12≠x ，则1≠x 或1-≠x ； D. 若12≠x ，则1≠x 且1-≠x ； 4.不等式1|1|->-x x 的解集是（ ）A.（∞-，1）；B.（∞-，∞+）；C.（1，∞+）；D.（∞-，1）⋃（1，∞+）； 5.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A.21； B. 2； C. 22； D. 23；6.设点P 是双曲线127922=-y x 上的点，两焦点分别为21,F F ，若7||1=PF ，则=||2PF （ ） A.1； B.13； C.5或13； D.1或13；7.双曲线19422=-y x 的渐近线的方程是（ ） A.x y 94±=； B.x y 49±=； C.x y 23±=； D.x y 32±=； 8.若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为（ ） A.2- B.2 C.4- D.49.若点P 在曲线022=-y x 上移动，则点A （0，1-）与点P 连线中点M 的轨迹方程是（ ） A. 22x y =； B. 28x y =； C. 1822-=x y ； D. 1822+=x y ；10.过抛物线x y 42=上的焦点作斜率为1的直线，交抛物线于A 、B 两点，则|AB|的值为（）A.2B.3C.4D.8二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11.命题“01,2>++∈∀x x R x ”的否定是： ；12.已知椭圆1522=+my x 的离心率510=e ，则m 的值为： ；13.设双曲线19422=-y x 的右焦点为F ，则点F 到该双曲线的渐近线的距离为： ； 14.从抛物线x y 42=上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且=||PM 5，设抛物线的焦点为F ，则MPF ∆的面积为: ；15. 设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两焦点分别为21,F F ，若在椭圆上存在一点P ，使1PF ⊥2PF ，则该椭圆的离心率e 的取值范围是： ；三、解答题：本大题共6小题，共55分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分8分） 已知6=c ，经过点P （5-，2），焦点在x 轴上，求该双曲线的方程；17.（本小题满分8分）过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使该弦被点M 平分，求这条弦所在直线l 的方程；18.（本小题满分8分）命题p ：关于x 的不等式0422>++ax x 对于一切R x ∈恒成立，命题q ：指数函数x a x f )23()(-=是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围；19.（本小题满分9分）已知椭圆19422=+y x 及直线m x y l +=23:， （1）当直线l 与椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；（2）求直线l 被椭圆截得的弦长的最大值；本小题满分10分）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为332=e ，直线l 过点A （a ，0）和B （0，b -），原点O 到直线l 的距离为23， （1）求此双曲线的方程；（2）已知直线)0(5:≠+=k kx y l 交双曲线于不同的点C ，D ，且BC=BD ，求k 的值；21.（本小题满分12分）抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在y 轴的负半轴上，过点M （0，2-）作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且满足4(-=+,)12-，（1）求直线l 和抛物线C 的方程；（2）当抛物线C 上一动点P 从点A 向点B 运动时，求ABP ∆的面积的最大值； （3）在抛物线C 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？请说明理由；衡阳市八中下学期高二数学（理科）期中考试试题命题：仇武君 审题：宋仕利本试题卷共三大题21小题，全卷满分100分，考试用时1.请将答案写在答卷上.一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. “2>x ”是“42>x ”成立的（ A ）A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.充要条件；D.既非充分又非必要条件； 2.下列命题中，真命题是（ C ）A. 0)2(,2*>-∈∀x N x ； B. 0lg ,>∈∀x R x ； C. 12,>∈∃xR x ； D. 01,2≤+-∈∃x x R x ； 3.“若12=x ，则1=x 或1-=x ”的否命题是（ D ）A. 若12≠x ，则1=x 或1-=x ； B. 若12=x ，则1≠x 且1-≠x ； C. 若12≠x ，则1≠x 或1-≠x ； D. 若12≠x ，则1≠x 且1-≠x ； 4.不等式1|1|->-x x 的解集是（ A ）A.（∞-，1）；B.（∞-，∞+）；C.（1，∞+）；D.（∞-，1）⋃（1，∞+）； 5.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ C ）A.21； B. 2； C. 22； D. 23；6.设点P 是双曲线127922=-y x 上的点，若7||1=PF ，则=||2PF （ D ） A.1； B.13； C.5或13； D.1或13；7.双曲线19422=-y x 的渐近线的方程是（ C ） A.x y 94±=； B.x y 49±=； C.x y 23±=； D.x y 32±=； 8.若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为（D ） A.2- B.2 C.4- D.49.若点P 在曲线022=-y x 上移动，则点A （0，1-）与点P 连线中点M 的轨迹方程是（C ） A. 22x y =； B. 28x y =； C. 1822-=x y ； D. 1822+=x y ；10.过抛物线x y 42=上的焦点作斜率为1的直线，交抛物线于A 、B 两点，则|AB|的值为（D ） A.2 B.3 C.4 D.8二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11.命题“01,2>++∈∀x x R x ”的否定是：01,2≤++∈∃x x R x ；12.已知椭圆1522=+m y x 的离心率510=e ，则m 的值为：3或325；13.设双曲线19422=-y x 的右焦点为F ，则点F 到该双曲线的渐近线的距离为：3； 14.从抛物线x y 42=上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且=||PM 5，设抛物线的焦点为F ，则MPF ∆的面积为:10；15. 设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点分别为21,F F ，若在椭圆上存在一点P ，使1PF ⊥2PF ，则该椭圆的离心率e 的取值范围是：)1,22[； 三、解答题：本大题共6小题，共55分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分8分） 已知6=c ，经过点P （5-，2），焦点在x 轴上，求该双曲线的方程；【解】由题意，可设所求双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，依题设有⎪⎩⎪⎨⎧=-=+142562222b a b a ，解得⎩⎨⎧==1522b a ，故所求双曲线的方程为1522=-y x ；17.（本小题满分8分）命题p ：关于x 的不等式0422>++ax x 对于一切R x ∈恒成立，命题q ：指数函数x a x f )23()(-=是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围；【解】设42)(2++=ax x x g ，由于关于x 的不等式0422>++ax x 对于一切R x ∈恒成立，所以函数)(x g 的图象开口向上且与x 轴没有交点，故01642<-=∆a ，∴22<<-a . 函数x a x f )23()(-=是增函数，则有123>-a ，即1<a . 由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 、q 一真一假.①若p 真q 假，则⎩⎨⎧≥<<-122a a ∴21<≤a ；②若p 假q 真，则⎩⎨⎧<-≤12a a 2≥a 或 ∴2-≤a ；综上可知，所求实数a 的取值范围是｛21|<≤a a 或2-≤a ｝18.（本小题满分8分）过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使该弦被点M 平分，求这条弦所在直线l 的方程；【解】设直线l 与椭圆的交点为A ),(11y x ，B ),(22y x ，因为M 为AB 的中点，所以421=+x x ，221=+y y ，又A ，B 两点在椭圆上，则有1642121=+y x ，1642222=+y x 两式相减，得)(21x x +)(21x x -+4（21y y +）0)(21=-y y 所以)(421212121y y x x x x y y ++-=--，即21-=AB k ，此时直线l 的方程为042=-+y x ，代入椭圆的方程，0>∆， 故所求直线l 的方程为042=-+y x .19.（本小题满分9分）已知椭圆19422=+y x 及直线m x y l +=23:， （1）当直线l 与椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； （2）求直线l 被椭圆截得的弦长的最大值；【解】（1）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1942322y x m x y 消去y ，整理得：0826922=-++m mx x ………①)8(36)82(3636222--=--=∆m m m ，∵直线l 与椭圆有公共点，∴0≥∆，解得2222≤≤-m ， 故所求实数m 的取值范围为]22,22[-（2）设直线l 与椭圆的交点为A ),(11y x ，B ),(22y x ，由①得：9621mx x -=+，982221-=m x x 故8313)23(19824)96(14)(||2222221221+-=+-⨯--=+-+=m m m k x x x x AB 当0=m 时，直线l 被椭圆截得的弦长的最大值为3262；本小题满分10分）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为332=e ，直线l 过点A （a ，0）和B （0，b -），原点O 到直线l 的距离为23， （1）求此双曲线的方程；（2）已知直线)0(5:≠+=k kx y l 交双曲线于不同的点C ，D ，且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值；【解】（1）由已知直线l 的方程为0=--ab ay bx ， ∵原点O 到直线l 的距离为23，∴23||22=+-ab ab ，即：23=c ab ；又332=e ，∴1,3==b a ， 故所求双曲线的方程为：1322=-y x （2）把5+=kx y 代入1322=-y x 中消去y ，整理得07830)31(22=---kx x k …①， 设C ),(11y x ，D ),(22y x ，CD 的中点是M ),(00y x ，则20021103155,31152k kx y k k y x x -=+=-=+=， k x y k BM 1100-=+=，∴000=++k ky x ，即)0(0315311522≠=+-+-k k k kk k ， ∴72=k ，即7±=k ，代入①式，0>∆，符合题意.故所求k 的值为7±.21.（本小题满分12分）抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在y 轴的负半轴上，过点M （0，2-）作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且满足4(-=+,)12-，（1）求直线l 和抛物线C 的方程；（2）当抛物线C 上一动点P 从点A 向点B 运动时，求ABP ∆的面积的最大值；（3）在抛物线C 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，请说明理由；【解】（1）由题意可设所求直线l 的方程为2-=kx y ，所求抛物线的方程为)0(22>-=p py x ，由⎩⎨⎧-=-=pyx kx y 222，消去y 得：0422=-+p pkx x设点A ),(11y x ，B ),(22y x ，则pk x x 221-=+，=+21y y 424)(221--=-+pk x x k ，∴,(21x x OB OA +=+)21y y +=（pk 2-，422--pk ） ∵)12,4(--=+，∴⎩⎨⎧-=---=-1242422pk pk ，解得⎩⎨⎧==21k p ， 故直线l 的方程为22-=x y ，抛物线的方程为y x 22-=（2）据题意，当抛物线过点P 的切线m 与直线l 平行时，ABP ∆的面积最大， 此时切线m 的方程为b x y +=2，由⎩⎨⎧-=+=yx b x y 222消去y ，整理得：0242=++b x x ， ∵0816=-=∆b ，∴2=b ，m 的方程为22+=x y ，即22+=x y此时点P 到直线l 的距离为5545|)2(2|=--=d ， 由⎩⎨⎧-=+=yx x y 2222消去y 得：0442=++x x 故10421)4(4)4(14)(||22221221=+-⨯--=+-+=k x x x x AB ，所以ABP ∆的最大面积为⨯⨯=⋅⋅10421||21d AB 554=28；（3）在抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点.假设在抛物线C 存在相异两点A ),(11y x ，B ),(22y x 关于直线l 对称，则直线AB 的方程为m x y +-=21，由⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=yx m x y 2212，消去y 得：022=+-m x x ， 121=+x x ，m y y 22121+-=+，于是可得AB 的中点M 的坐标为（21，m +-41），又点M 在直线l 上，所以m +-41=2221-⨯，即43-=m ，AB 的方程为4321--=x y ，而此时07>=∆，即直线AB 与抛物线C 有两个相异公共点.综上所述，在抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点.。
高二数学月考试题及答案-衡阳八中2014-2015学年高二下学期第一次九科联赛
衡阳市八中2015年高二第一次九科联赛数 学 试 题命题人：刘 喜审题人：谷中田（请注意：时量120分钟 满分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合{}1,2,3M =，{}2,3,4N =，则( C )A ． MN ⊆ B . N M ⊆ C . {}2,3M N =I D . {}1,4M N =2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ D ）A ． ①②B . ①③C . ①④D . ②④ 3．sin 7cos37sin83cos53-的值为（ A ）A ． 21-B . 21C . 23 D. 2-4．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是a 等于( D )A ． 10.5B . 5.15C . 5.2D . 5.255．若圆0146622=++-+y x y x 关于直线l ：064=-+y ax对称，则直线l 的斜率是（A ）A ． 6B .32 C . 32- D . 23- 6． C ） A ． 1 B . 2 C . 3 D . 97．阅读下图所示的程序框图，若输入的,,a b c 分别为21，32，75，则 输出的,,a b c 分别是（A ）A ．75，21，32B . 21，32，75C . 32，21，75D . 75，32，218．若偶函数满足，则不等式的解集是( D )A ．B .C .D . 9．在四边形ABCD 中，(2,4)AC =u u u r ，(6,3)BD =-u u u r,则该四边形的面积为（ D ）.A ． B. C . 5 D . 1510．变量,x y 满足约束条件12314y x y x y ≥-⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，若使z ax y =+取得最大值的最优解有无数个，则实数a 的取值集合是（ B ）A ．{3,0}-B .{3,1}-C . {0,1}D . {3,0,1}- 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为BC 、C 1C 的中点， 那么异面直线MN 与AC 所成的角等于12．在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，若64n a =，则n 的值为 ．7 13．将二进制数101 101(2)化为八进制数，结果为__________．855（） 14．已知函数在上为奇函数，则_________,-115．已知函数()()1,32log 231∞-+-=在ax x y 上为增函数，则实数a 的取值范围是 . [1，2]三、解答题(本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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湖南省衡阳八中2014-2015学年高二上学期期中考试 数学（理）（418
班）
时量 120分钟 满分 100分
一、 选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、下列表述正确的是（ D ）. ①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A ．①②③； B ．②③④； C ．②④⑤； D ．①③⑤.
2、2231111dx x x
x ⎛⎫
++= ⎪⎝⎭⎰（ A ）
A ．7ln 28
+
B ．7
ln 22
-
C ．5
ln 28
-
D ．17ln 28
-
3、用反证法证明命题“若整系数一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ B ）
A ．假设,,a b c 不都是偶数
B ．假设,,a b c 都不是偶数
C ．假设,,a b c 至多有一个是偶数
D ．假设,,a b c 至多有两个是偶数 4、已知*
N n ∈，则)100()21)(20(n n n --- 等于( C )
A ．80100n A -
B ．n n A --20100
C ．81
100n A -
D ．81
20n A -
5、若R b a ∈,，则复数i b b a a )62()54(22-+-++-表示的点在（ D ）
A ．在第一象限
B ．在第二象限
C ．在第三象限
D ．在第四象限 6、用数学归纳法证明)"1,(1
21
31211"*>∈<-+++
n N n n n 时,由)1(>=k k n 不等式成立,推证1+=k n 时,左边应增加的项数是（ C ）
A ．1
2
-k B ．12-k
C ．k 2
D ．12+k
7、方程)(04)4(2R a ai x i x ∈=++++有实根b ，且bi a z +=，则=z （ A ）
A ．i 22-
B ．i
22+ C ．i 22+- D ．i 22--
8、已知直线kx y =是x y ln =的切线，则k 的值为（ A ）
A ．
e 1 B ．e 1- C ．e
2
D ．e
2-
9、高二年级三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去哪个工
厂可以自由选择,则不同的分配方案有（ C ）
A ．16种
B ．18种
C ．37种
D ．48种
10、设有复数ππωω5
2sin 52cos ,232121i i +=+-
=，令21ωωω=，则复数=+++201132ωωωω （ A ）
A ．ω
B ．2ω
C ．1ω
D ．2ω
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
11、定义一种运算如下：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝ad －bc ，则复数⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1＋i －1 2 3i 的共轭复数是 _i 31--_____．
12、两个物体在相距为423m 的同一直线上从s 0开始同时相向运动,物体A 的运动速度v 与时间t 之间
的关系为12+=t v （v 的单位是s m /，t 的单位是s ），物体B 的运动速度v 与时间t 之间的关系为t v 81+=，。
则它们相遇时，A 物体的运动路程为______m 90________ 13、观察下列等式
1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49
…… 照此规律，第n 个等式为 。
2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-
14、给出定义：若函数)(x f 在D 上可导，即)(x f '存在，且导函数)(x f '在D 上也可导，则称)(x f 在
D 上存在二阶导函数，记))(()(''=''x f x f .若0)(<''x f 在D 上恒成立,则称)(x f 在D 上为凸函
数.以下四个函数在)2
,
0(π
上是凸函数的是 ①②③ (填写所有正确的序号)
①x x x f cos sin )(+= ②x x x f 2ln )(-= ③12)(3-+-=x x x f ④x xe x f =)(
15、有66⨯的方阵，3辆完全相同的红车，3辆完全相同的黑车，它们均不在同一行且不在同一列，则所有的排列方法种数为__14400_．
三、解答题（共6小题，共50分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16、学校餐厅供应学生就餐，每位学生可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现
在餐厅准备了五种不同的荤菜，若要保证每位学生有200种以上不同选择，则餐厅至少还需准备多少不同的素菜品种？（要求写出必要的解答过程）
7种
17、已知||1z =，求2|4|z z ++的最小值.
4
15
3
18、设x x a x f ln 6)5()(2
+-=，其中R a ∈，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与y 轴相交于点
)6,0(.
(1)确定a 的值.(一本53页) 2
1=a (2)求函数)(x f 的单调区间与极值.
在),3(),2,0(+∞上单调递增,在)3,2(上单调递减
3ln 62)3()(+==f x f 极小,2ln 62
9
)2()(+=
=f x f 极大
19、用数字5,4,3,2,1,0组成没有重复数字的数，问： (1)可组成多少个无重复数字的五位数？ 600
(2)可组成多少个无重复数字的五位奇数？ 288
(3)可组成多少个无重复数字的能被3整除的五位奇数？ 108
20、已知数列
,)12()12(8,,7524,5316,3182
2222222+⋅-⋅⋅⋅⋅n n n
，n S 为该数列的前n 项和， (1)计算得4321,,,S S S S ,并归纳出)(*N n S n ∈，S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝80
81
(2)用数学归纳法证明你的结论．
21、已知.3)(,ln )(2
-+-==ax x x g x x x f
(1)求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值;
(2)对一切的),0(+∞∈x ,)()(2x g x f ≥恒成立,求实数a 的取值范围; (3)证明: 对一切的),0(+∞∈x ,都有.21ln ex e
x x
->
(一本63页) (1) ⎪⎩
⎪⎨
⎧≥
<<-=e t t t e t e x f 1
ln 101
)(min (2)4≤a (3)转化为证明: e e
x x x x 2
ln ->
分别求左边的最小值和右边的最大值即可证之.。