华南理工大学2004线性代数考试试题
华南理工大学 线性代数与解析几何 习题答案 (6)
《线性代数与解析几何》勘误表第1章：行列式p.13, 例题 4.1: 解的第二个等号后，应加一个负号。
p.15,第三行（等号后）：去掉;p.17, 第7-8行: (t=1,2,…, j-1,j+1,…,n)p.19,倒数第4-5行：假设对于n-1阶范德蒙行列式V_{n-1}结论成立，… p ．20，第2行: D_{n-1}改为V_{n-1}p.20, 第6行,定理5.2中: 去掉“若”字p.21, 倒数第3行： …展开代入而得,p.24,倒数第1行: (-1)的指数应为“1+2+…+k +1+2+…+k ”习题1：第1题（2）答案有误：应为sin2x-cosx^2.第6题（3）答案有误：（3） n(3n-1)/2, 当n=4k 或者n=4k+3时为偶数,当n=4k+1或4k+2时为奇数.第10题（4）（5）答案有误：（4）（-1）^{（n-2）(n-1)/2}；（5）(-1)^{n-1}a_n 第11题（6）答案有误：….,当a\neq 0时，D=(-1)^{n(n-1)/2}a^{n-2}[a^2-(n-1)x^2]p.26, 第12题（2）：改为： (33333)3222222111111=+++++++++y x x z z y y x x z z y y x x z z y （3）： …= ;)1](2)2)(1([1--+-+n a n n a (4): …=.0∑=-n i i n i b ap.27, 第14题（4）：(此题较难，可以去掉！) 答案有误,应为：n x n )2)(1(n +=,当yz x 42=。
第15题答案有误：为60(11-2)p ．27, 第16题：去掉条件“若x_1+x_2+x_3+x_4=1,则”第二章：矩阵p.32, 第7行： 称其为n 阶对角矩阵，…..p.35, 第5-6行： b_21和b_12互换位置（两处）p.36, 第7行： 去掉“设 A ，B ，C 分别为….矩阵,”在第10行后增加： 当然，这里假定了矩阵运算是有意义的.p.39, 第4行： 就得到一个2*2的分块矩阵。
华南理工大学线行代数部分习题答案
10 用行列式的定义计算下列行列式： a00b
（3）0 a b 0 0ba0 b00a
解：原式 (1) (1234) a11a22a33a44 (1) (1324) a11a23a32a44 (1) (4231) a14a22a33a41 (1) (4321) a14a23a32a41 (1)0 a4 (1)1a2b2 (1)5b2a2 (1)6 b4 (a2 b2)2
（4）43 13 23 33 33 43 13 23 23 33 43 13
13 +23 +33 +43 23 33 43 解：原式 13 +23 +33 +43 13 23 33
13 +23 +33 +43 43 13 23 13 +23 +33 +43 33 43 13
1 23 33 43 （13 +23 +33 +43）1 13 23 33
0 2 20 -174
0 1 10 -87
1 23 33 43
1 23 33 43
r 27 r 4
0 0 51 572 r2r4
0 1 10 87
200
200
0 0 -178 -352
0 0 -178 -352
0 1 10 Biblioteka 870 0 51 5721 23 33 43
5. 如果排列i1i2 L in的逆序数为m,求排列inin1L i2i1 的逆序数。
解：若(i1i2 L in )=m,
排列i1i2 L in中任何两个数ip ,iq按排列中的次序
(完整word版)线性代数经典试题4套及答案
线性代数经典试题4套及答案试卷1一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
华工2006-2007线性代数试题及解答
华南理工大学期末考试《 2006线性代数 》试卷A一、填空题（每小题4分，共20分）。
0．已知正交矩阵P 使得100010002T P AP ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则2006()T P A E A P +=1．设A 为n 阶方阵，12,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则det( 2A )=2．设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有无数多个解的充分必要条件是：rank(A)=rank(A,B)<n 3．4．若向量组α=（0，4，2），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3）的秩为2，则t=-85．231511523()5495827x D x xx -=-，则0)(=x D 的全部根为：1、2、-3二、 选择题（每小题4分，共20分）1．行列式001010100⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅的值为（ c ）。
DA ， 1，B ，-1C ，(1)2(1)n n -- D ，(1)2(1)n n +-2．对矩阵n m A ⨯施行一次行变换相当于（ A ）。
A ， 左乘一个m 阶初等矩阵，B ，右乘一个m 阶初等矩阵C ， 左乘一个n 阶初等矩阵，D ，右乘一个n 阶初等矩阵3．若A 为m ×n 矩阵，()r A r n =<，{|0,}nM X AX X R ==∈。
则（ C ）。
DA ，M 是m 维向量空间，B ， M 是n 维向量空间C ，M 是m-r 维向量空间，D ，M 是n-r 维向量空间4．若n 阶方阵A 满足，2A =0，则以下命题哪一个成立（ A ）。
DA ， ()0r A =，B ， ()2n r A =C ， ()2n r A ≥，D ，()2n r A ≤5．若A 是n 阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ D ）。
A ，矩阵A T 为正交矩阵，B ，矩阵1A -为正交矩阵C ，矩阵A 的行列式是±1，D ，矩阵A 的特征根是±1三、解下列各题（每小题6分，共30分） 1．若A 为3阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 求det (*A )2．计算行列式111111111111a a a a。
04级线性代数试题及答案
04级线性代数试题一、选择题1．设|A |是四阶行列式，且|A |=-2，则||A |A |=( )．(A) 4； (B)8； (C)25； (D) -25 ． 2．设A,B,C 为同阶方阵，且ABC =E .则下列各式中不成立的是( )．(A) CAB =E ； (B)111B A C E ---=； (C) BCA =E ； (D)111C A B E ---=． 3．11223344(1,0,0,),(1,2,0,),(1,2,3,),(2,1,5,),T T T T αλαλαλαλ===-=-设1234,,,,().λλλλ其中是任意实数则有(A) 123,,ααα总线性相关； (B) 1234,,,αααα总线性相关； (C) 123,,ααα总线性无关； (D) 1234,,,αααα总线性无关． 4．设12,,,s ααα 和12,,,t βββ 为两个n 维向量组， 且1212(,,,)(,,,)s t r r r αααβββ== ，则( )． (A) 两向量组等价；(B) 1212(,,,,,,,)s t r r αααβββ= ；(C)当12,,,s ααα 能由12,,,t βββ 线性表示时，两向量组等价； (D) 当s t =时，两向量组等价．5．下列说法中向量组12,,,s ααα 必定线性相关的是( )． (A) 121,,,s βββ- 可由12,,,s ααα 线性表示； (B) 12121121(,,,,,,,)(,,,)s s s r r αααββββββ--= ； (C) 1212(,,,)(,,,,)s s r r ααααααβ= ；(D) 12121212,,,,,,,s s s s βββαααγγγγγγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中线性相关.6．11(),1(1,2,,)().n ij ij j in j A a n n a x a i n -==-==∑ 设为阶可逆方阵则元线性方程组(A)有唯一解； (B)无解；(C)有无穷多解； (D)以上三种结果都可能发生．7．已知二阶实对称矩阵A 的一个特征向量为31-⎛⎫⎪⎝⎭，且|A |<0，则下面必为A 的特征向量的是( )．(A) 31k -⎛⎫⎪⎝⎭； (B)13⎛⎫ ⎪⎝⎭； (C) 121231,0013k k k k -⎛⎫⎛⎫+≠≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且； (D) 121231,,13k k k k -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不同时为零.8．若矩阵A 与B 相似，则( )．(A)E A E B λλ-=-； (B) |A | = |B |；(C)A,B 有相同的特征向量； (D) A 与B 均与一个对角矩阵相似． 9．当A 是( )时，A 必合同与单位阵．(A) 对角矩阵； (B) 对称矩阵； (C) 正定矩阵； (D) 正交矩阵． 10．n 阶实对称矩阵A 正定的充要条件是( )． (A)A 的所有特征值非负； (B)r (A )=n ； (C)所有k 阶子式为正(1≤k ≤n )； (D)1A -为正定矩阵． 二、填空题1．多项式10223()71043171x x xf x x-=--中，常数项为 ． 2．设A 为二阶方阵，B 为三阶方阵，且|A |=|B |=2，则*020A B=- ．3． ,,αβγ为三维列向量，已知三阶行列式|4,2,2|40γαβγα--=， 则行列式|,,|αβγ ．4．设A ,B 均为四阶方阵，r (A )=3, r (B )=4，则r (A *B *)= ．5．设1121A ⎛=⎪⎭，已知A 6=E ，则A 17= ．6．设A 为对称矩阵，B 为与A 同阶的正交矩阵，则111()()T T B B A B A E B ---++= ．7．设为四阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的秩为 ．8．设A,B 均为n 阶方阵，且|AB |=1，则方程组AX=0与BX=0的非零解的个数的和为 ．9．若A 相似于diag (1, -1,2)，则13||A -= ． 10．当t 满足条件 时，二次型f 是正定的，其中2221231231223(,,)222f x x x x x x x x tx x =++++三、计算题1．*1*102010,2,,001A A XA A X E A A -⎛⎫ ⎪==+ ⎪ ⎪⎝⎭设且其中是的伴随矩阵.X 求矩阵2．λ取何值时，方程组1231231232125541x x x x x x x x x λλ--=-⎧⎪-+=⎨⎪--=⎩ 无解、有唯一解或有无穷多解？在有无穷多解时求其通解。
华南理工大学_824信号与系统2004--2017年_考研真题
三、求解下列各题（共 30 分）
1. 2. 3. 求信号 x t e 的奇、偶分量。 （6 分）
jt
求连续时间信号 x t e
a t
a 0 的傅立叶变换 X j 。(6 分)
n
设一离散时间 LTI 系统的冲激响应 h[n] 为：h[n] u[n] ，试判断该系统的 因果、稳定性。 （6 分）
B. ∞
D. (n+1)U(n)
4. 若 x(t ) 是己录制声音的磁带,则下列表述错误的是： A. x(t ) 表示将此磁带倒转播放产生的信号 B. x(2t ) 表示将此磁带放音速度降低一半播放 C. x(t t 0 ) 表示将此磁带延迟 t 0 时间播放 D. 2 x(t ) 表示将磁带的音量放大一倍播放 5.周期序列 2cos(3πn/4+π/6)+sinπn/4 的周期 N 等于： A.8 B.8/3 C.4 D. π/4 第 2 页
4.
已知 X ( s)
2s 4 ，求不同收敛域情况下 X ( s) 的反拉普拉斯变换 s 4s 3
2
x(t ) 。(6 分)
5. 已知 x n u n
1 3
n
1 u n 1 ，求 x n 的 z 变换 X z 。(6 分) 2
10分xt0t0t1t八若某线性时不变系统的脉冲响应为hn系统函数为hz且已知1hn是实序列2hn是右边序列3第3页4hz在原点z0有一个二阶零点5hz有2个极点其中1个位于圆周上的某个非实数位置6当系统的激励为nnx1??时系统稳态响应等于nssny12???试确定该系统的系统函数并用几何确定法大致画出它的傅立叶变换的模特性并判断系统稳定性
华南理工大学网络教育学院：《工程数学》作业之01(答案)
工程数学作业之一解答作业一：线性代数一．问答题1．叙述三阶行列式的定义。
答：定义1：用23个数组成的记号111213212223313233a a a a a a a a a 表示数值： 222321232122111213323331333132a a a a a a a a a a a a a a a -+称为三阶行列式，即：111213212223313233a a a a a a a a a ＝222321232122111213323331333132aa a a a a a a a a a a a a a -+定义2：用2n 个数组成的记号D ＝1111n n nn a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭表示数值： 2223232333111123(1)n n n n nn a a a a a a a a a a +-＋2123231333121213(1)n n n n nna a a a a a a a a a +-＋＋21222,131323,11112,1(1)n n n nn n n n a a a a a a a a a a --+--称为n 阶行列式。
2．叙述n 阶行列式的余子式和代数余子式的定义，并写出二者之间的关系。
答：定义：在n 阶行列式D 中划去ij a 所在的第i 行和第j 列的元素后，剩下的元素按原来相对位置所组成的（n －1）阶行列式，称为ij a 的余子式，记为ij M ，即ij M ＝111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1j j n i i j i j i n i i j i j i n n n j n j nna a a a a a a a a a a a a a a a -+----+-++-+++-+(1)i j ij M +-⨯称为ij a 的代数余子式，记为ij A ，即ij A ＝(1)i j ij M +-⨯3．叙述矩阵的秩的定义。
华南理工大学 线性代数与解析几何 习题 (3)
1 , 2 , , r，1 , 2 , , t 线性表示；
因此，向量组1 1 , 2 2 , , n n 可由向量组1 , 2 , , r，1 , 2 , , t 线性表示, 则rank(1 1 , 2 2 , , n n ) rank(1 , 2 , , r，1 , 2 , , t ) r t 即：rank(A B) r t rank ( A) rank ( B )
三、 (第3章第6题) 证明：若方程组 a11 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 系数矩阵的秩等于矩阵 an1 a x a x a x b nn n n n1 1 n 2 2 b1 的秩，则这个方程组有解。 a12 b2 a1n ann bn a1n b1 bn 0
九、（第四章第14题）证明V {( x1 , x2 , x3 ) | 2 x1 x2 3 x3 0}是R 3的 一个子空间，并求V 的一组基。 证： 设任意向量 =(a1 , a2 , a3 )T , (b1 , b2 , b3 )T V , 任意k , t R, 则 2a1 a2 3a3 0, 2b1 b2 3b3 0 k t (ka1 tb1 , ka2 tb2 , ka3 tb3 )T 由于 2(ka1 tb1 ) (ka2 tb2 ) 3(ka3 tb3 ) =k (2a1 a2 3a3 ) t (2b1 b2 3b3 ) 0 所以，k t V . 则V 是子空间。 x1 c1 x1 1 0 解方程组： 2 x1 x2 3 x3 0 x2 2c1 3c2 x2 c1 2 c2 3 x c x 0 1 2 3 3 则 (1,2,0)T ,(0,3,1)T 是子空间V的一组基。
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2004线性代数考试试题院系_____________________；学号______________________；姓名___________________一、单项选择题（每小题2分，共40分）。
1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6 35 24 1C ,6 5 43 2 1B ,4 32 1A ，则下列矩阵运算无意义的是 【 】A . ABC B. BAC C . BCA D. CAB2.设n 阶方阵A 满足A 2–E =0，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有【 】A.A=EB.A=-EC.A=A -1D.det(A)=1 3.设A 为3阶方阵，且行列式det(A)=21,则det(-2A)= 【 】 A.-4 B.4 C.-1 D.14.设A 为3阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A 的行向量组中【 】A.必存在一个行向量为零向量B.必存在两个行向量，其对应分量成比例C.任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合D.存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合5．设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是【 】A ．133221,,a a a a a a --- B. 3121,,a a a a + C. 212132,,a a a a - D. 32322,2,a a a a +6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m 线性无关的充分必要条件是【 】A.(1)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B.(1)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出C.(1)中任意两个向量线性无关D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k 使7．设a 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是 【 】A ．A 的行向量组线性相关B . A 的行向量组线性无关 C. A 的列向量组线性相关 D. A 的列向量组线性无关 8.设i a 、i b 均为零常数（i =1，2，3），且齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++00332211332211x b x b x b x a x a x a的基础解系含2个解向量，则必有 【 】A.03221= b b a a B.02121≠ b b a a C. 02131= b b a a D. 332211b a b ab a ==9.方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++ax x x x x x x x x 32132132123 3 12 12 有解的充分必要的条件是【 】A. a=2B. a=-2C. a=3D. a=-3 10.n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个A.互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量 11.下列矩阵中为正交矩阵的是 【 】A. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1- 1 01 1 00 0 1B. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2 2 12- 1 212- 231C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1- 22 151 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1 01- 1 12.若2阶方阵A 相似于矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡3- 20 2B ,E 为2阶单位矩阵,则方阵E –A 必相似于矩阵【 】 A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 10 1 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 1 0 1- C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 2-0 1- D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 2-01-13.二次型32212132122),,(x x x x x x x x f ++=的秩等于【 】A ．0 B.1 C.2 D.314.若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8020001 a a A 正定,则实数a 的取值范围是【 】 A ．a ∠8 B. a ＞4 C ．a ＜-4 D ．-4 ＜a ＜4第二部分 非选择题（共72分）一、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
错填或不填均无分。
15．设矩阵,100 2,1 0 23 1- 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B A 记T A 为A 的转置，则B A T = 。
16．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5 32 1A 则行列式det(TAA )的值为 . 17．行列式6 7 2 15 9 83 4 的值为 . 18．若向量组 ), , ( ), a , t, ( ), a , , (a 10064321321===线性相关，则常数t = . 19.向量组（1，2），（3，4）， （4，6）的秩为 .20.齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-=++0320321321x x x x x x 的其础解系所含解向量的个数为21.已知T , , x )201(1=、T , , x )54(32=是3元非齐次线性方程组b Ax =的两个解向量，则对应齐次线性方程0=Ax 有一个非零解ξ= .22.矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡6- 0 05 4 03 2 1A 的全部特征值为 。
23．设λ1和λ2是3阶实对称矩阵A 的两个不同的特征值，T 1) 3 1, 1, (ξ=、T 2) 5, 4, (ξa =依次是A的属于特征值λ1、λ2的特征向量，则实常数a= . 24.31222121321422),,(x x x x x x x x x f ++-=的矩阵A= 二、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25．算行列式27 2- 6 2- 2 2 0 01 4 3-54 3 0 的值。
26．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4 6 1-3- 5- 1 3- 4- 1 A 求A -1。
27．求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++022420763 02 432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系与通解。
28．a 取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=++=+a x x x x x x x 3232121 107432 有解？在有解时求出方程组的通解。
29．已知2阶方阵A 的特征值为λ1、=1及λ2 =-31 ，方阵B=A 2，求B 的特征值 及其行列式的值。
30．已知二次型22545),(y xy x y x f ++=经正交变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x P y x 化成了标准形22'3'7y x f +=求所用 的正交矩阵P.31.矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4 8 4-3- 6- 3 3- 6- 3 A 能否相似于对角矩阵?若能寻角化,求一个可逆矩阵P 及对角矩阵D,使得 P -1AP=032.设向量组321,,a a a 线性无关。
试证明：向量组332123211,,a a a a a a =-=++=βββ线性无关。
33．设B 是)2(≥n n 阶方阵，且B 的元素全都是1，E 是n 阶单位位矩阵。
证明：.11)(1B n E B E --=--二000年上半年高等教育自学考试全统一命题考试线性代数试题参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分） 1.B 2.C 3.A 4.D 5.B 6.A 7.C 8.D 9.A 10.C 11.B 12.C 13.D 14.C 二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）15.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1 6 0 2-2 2 16. 1 17. 14 18. 8 19. 2 20. 1 21.(2,4,3)T(或它的非零倍数) 22. 1、4、-623. -3 24.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0 0 20 2 1-2 1- 1三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25. 296 02220 01435430--=D …………1分 2 9 62- 2 254 33=…………3分.96=…………6分26.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=1 0 0 4 6 1 0 1 0 3 5 1 0 0 13- 4- 1 )|(E A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→1 0 1 1 2 00 1 1- 0 1- 00 0 13- 4- 1…………2分⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→1 2 1- 1 0 00 1 1- 0 1- 0 0 4- 5 3- 0 1…………4分⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→1 2 1- 1 0 00 1- 1 0 1 0 3 2 2 0 0 1…………5分⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∴-1 2 1-0 1- 1 3 2 2 1A ，…………6分或det （A ）=-1，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1 2 1-0 1 1-3- 2- 2-*A …………5分⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∴1 2 1-0 1- 1 3 2 2 A 1-…………6分27. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1 2 1-0 1 1-3- 2- 2-*A …………2分 一个基础解系:ξ=(-2, 1, 0, 0)T,ξ=(2, 0, -1, 1)T…………5分通解为2211ξξk k x += （1k 、2k 是任意常数）…………6分28． ,200021103021⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→ a- - - A 故当且仅当a=2时，有解。
当2=a 时，得x x x x x ( 2232321⎩⎨⎧+-=-=是任意），所以)( 112203是任意常数k k x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=…………6分或⎩⎨⎧+=--=),( 22133231任意x x x x x即).( 112021是任意常数k k x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=…………6分 29．B 的特征值为,1121==μ…………2分…………9分.91)det(21==μμB …………6分30．f 的矩阵为.2 22 5⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A …………1分 A 的特征值为λ1=7，λ2=3，…………2分对应的特征向量依次可取为,) 1 ,1 ( ,) 1 ,1 ( 21T T -==ξξ …………5分故所求正交矩阵可取为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1- 11121P …………6分31．特征多项式4- 8- 43 6 3-3 6 3|λ|λλλ+-=-A E …………1分)1(2-=λλA 的特征值是λ1=λ2=0，λ3=1…………2分 属于λ1=λ2=0，的线性无关特征向量可取为ξ1（=（2，1，0）T，ξ2=（1，0，1）…………4分 属于λ3=1的特征向量可为ξ3=（3，3，-4）T，…………5分故A 可相似于对角阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100D所求可逆矩阵P 可取为,4- 1 03 0 13 12][321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==ξξξP91)31(22==μ它使得P -1AP=D …………6分四、证明题（本大题共2题，每小题5分，共10分） 32.证一：设有数321,,x x x 使,0332211=++βββx x x …………1分即0)()()(331221121=++-++a x x a x x a x x 由321,,a a a 线性无关，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=+0 0312121x x x x x x …………1分 该方程组只有零解0321===x x x 故321,,βββ线性无关。