高三年级第一次月考数学试卷
高三第一次月考(数学)试卷含答案
高三第一次月考（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．若{}{}2|22,|log (1)M x x N x y x =-≤≤==-，则M N =（ ）A.{}|20x x -≤<B. ﹛x| -1<x<0﹜C.{}2,0-D.{}21|≤<x x 2.（5分）2.复数imi212+-=A+B i (m 、A 、B ∈R)，且A+B=0，则m 的值是 （ ） A. 32- B. 32 C.2 D.23.（5分）3．下列命题中，真命题是 ( )A ．,00≤∈∃x e R x B ．22,x R x x >∈∀C ．0=+b a 的充要条件是1-=baD ．1,1>>b a 是1>ab 的充分条件 4.（5分）4.函数212log 4f xx 的单调递增区间是（ ）A.（0，+∞）B. （-∞，0）C. （2，+∞）D. （-∞，-2）5.（5分）5.函数f(x)=-1x+log 2x 的一个零点落在下列哪个区间( ) A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)6.（5分）6.如果函数f(x)=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f(2+t)=f(2-t),那么( )A.f(2)＜f(1)＜f(4)B.f(1)＜f(2)＜f(4)C.f(2)＜f(4)＜f(1)D.f(4)＜f(2)＜f(1) 7.（5分）7．函数()3cos 2xxf x x⋅=的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8.（5分）8．曲线y ＝e x ＋1在x ＝1处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.12e B ．e 2 C ．2e 2D ．94e 2 9.（5分）9.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f(x ＋2)＝f(x)．当0≤x≤1时，2()f x x =.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f(x)的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是 （ ） A ．0 B ．0或－14 C ．－14或－12 D.0或－1210.（5分）10.若函数x x f xx2sin 3)(1212++=+-在区间[-k,k](k>0)上的值域为[m,n],则m+n 等于( )A.0B.2C.4D.611.（5分）11.已知函数f(x)在R 上满足f(x)=2f(2-x)-x 2+8x-8，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是 （ ）A.y=-2x+3B.y=xC. y=2x-1D.y=3x-212.（5分）12．设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0)x x f x x x x ⎧=⎨-≤⎩ 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为（ ）A ．3B ．7C ．5D ．6二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13．函数24ln(1)x y x -=+的定义域为_______________14.（5分）14.函数y ＝log a (2x －3)＋8的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数f(x)的图象上，则f （3）＝________.15.（5分）15.若函数1,0()1(),03x x xf x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为________16.（5分）16.已知定义域为R 的函数f (x )满足f (4)＝－3，且对任意x ∈R 总有)('x f <3，则不等式 f (x)<3x －15的解集为________．三、 解答题 （本题共计7小题，总分80分） 17.（12分）17．（本大题满分12分）设p ：函数y ＝log a (x ＋1)(a ＞0且a≠1)在(0，＋∞)上单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点.如果p∧q 为假，p∨q 为真，求实数a 的取值范围.18.（12分）18．（本大题满分12分）已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2.(1)求f (x )在区间[12，3]上的最大值和最小值；(2)若g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上是单调函数，求m 的取值范围．19.（12分）19.（本大题满分12分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据： 编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y7580777081(1)已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；(2)当产品中的微量元素x ，y 满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列.20.（12分）20. （本大题满分12分）设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-．（1）求a ，b ，c 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值．21.（12分）21. （本大题满分12分）已知函数f(x)＝ax －ln x ，a ∈R.(1)求函数f(x)的单调区间； (2)当x ∈(0，e]时，求g (x )＝e 2x －ln x 的最小值； (3)当x ∈(0，e]时，证明：e 2x －ln x －x x ln >52.22.（10分）22.（本大题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 213235 (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ． (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA|·|MB|的值．23.（10分）23. （本大题满分10分） 选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式|ax －1|＋|ax －a |≥1(a ＞0)． (1)当a ＝1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围答案一、单选题（本题共计12小题，总分60分）1.（5分）D2.（5分）A3.（5分）D4.（5分）D5.（5分）B6.（5分）A7.（5分）D8.（5分）A9.（5分）B10.（5分）D11.（5分）C12.（5分）B二、填空题（本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13.（-1,0）∪（0,2］14.（5分） 14. 2715.（5分） 15.［-3，1］16.（5分） 16.（4，+∞）三、解答题（本题共计7小题，总分80分）17.（12分）17.1/2≤a＜1或a＞5/218.（12分）18.（1）f(x)最大值为5，最小值为1；（2）m的取值范围为（-∞，2]∪[6，+∞)19.（12分）19.（1）35件；（2）35×2/5=14件；（3）由题意，ξ的取值有0,1,2，P(ξ=0)=3/10,P(ξ=1)=3/5,P(ξ=2)=1/10,分布列为(2)f(x)的最大值为18，最小值为-8221.（12分）21.（1）综上，a≤0时，f（x）的单调递减区间是（0，+∞），无单调增区间；a＞0时，f（x）的单调递减区间是（0,1/a），单调增区间是（1/a，+∞）;(2)g（x）最小值为3;(3)略22.（10分）22.（1）x2+y2=2x;(2)｜MA｜·｜MB｜=1823.（10分）23.(1)(-∞,1/2]∪[5/2.+∞); (2)[4,+∞)。
高三第一次月考试卷数学
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4$，则$f(1)$的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 若$a > 0$，$b > 0$，则下列不等式中恒成立的是（）A. $a^2 + b^2 \geq 2ab$B. $a^3 + b^3 \geq 2ab(a + b)$C. $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$D. $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca$3. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5 = 50$，$S_8 = 80$，则$a_6 + a_7$的值为（）A. 15B. 20C. 25D. 304. 函数$y = \log_2(x + 1)$的图像与直线$y = x - 1$的交点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 35. 在直角坐标系中，点$A(1, 2)$关于直线$x + y = 1$的对称点$B$的坐标是（）A. $(-2, -1)$B. $(-1, -2)$C. $(2, -1)$D. $(1, -2)$6. 已知复数$z = 3 + 4i$，则$|z|$的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 127. 若等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公比为$q$，且$a_1 + a_2 + a_3 = 21$，$a_2 \cdot a_3 = 27$，则$q$的值为（）A. 3B. $\frac{3}{2}$C. $\frac{2}{3}$D. 18. 在$\triangle ABC$中，$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$，则$\sin A$的值为（）A. $\frac{3}{5}$B. $\frac{4}{5}$C. $\frac{5}{3}$D.$\frac{5}{4}$9. 已知函数$f(x) = x^2 - 2x + 1$，则$f(x)$的对称轴方程是（）A. $x = 1$B. $x = -1$C. $y = 1$D. $y = -1$10. 若平面直角坐标系中，点$P(2, 3)$在直线$l$上，且直线$l$的方程为$y = kx + b$，则$k$的值为（）A. 2B. 3C. -2D. -3二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
2024-2025学年河南省周口市太康第一高级中学高三(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年河南省周口市太康第一高级中学高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|x x−1≤0}，则∁R A =( )A. (−∞,0)∪(1,+∞)B. (−∞,0]∪[1,+∞)C. (−∞,0)∪[1，+∞)D. [0,1)2.设x ∈R ，则“ x +1≤2”是“|x−1|<2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( )A. 若a >b ，则a|c|>b|c|B. 若a >b ，则1a 2<1b 2C. 若a c 2>b c 2，则a >bD. 若a 2>b 2，则a >b 4.已知a ，b ∈R ，且2a−b−2=0，则9a +13b 的最小值为( )A. 2B. 4C. 6D. 85.已知函数f(x)的定义域为R ，f(x +2)为偶函数，f(2x +1)为奇函数，则( )A. f(−12)=0B. f(−1)=0C. f(2)=0D. f(4)=06.已知函数f(x)的定义域为R ，满足f(x +1)=f(1−x)，当x 1，x 2∈(1,+∞)，且x 1≠x 2时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0恒成立，设a =f(−1)，b =f(0)，c =f(e)(其中e =2.71828…)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. c >a >bB. c >b >aC. b >a >cD. b >c >a7.已知函数f(x)={−x 2+ax,x ≤1ax−1,x >1，若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f(x 1)=f(x 2)成立，则实数a 的取值范围是( )A. a <2B. a >2C. −2<a <2D. a >2或a <−28.如果函数f(x)=12(m−2)x 2+(n−8)x +1(m ≥0,n ≥0)在区间[12,2]上单调递减，那么mn 的最大值为( )A. 16B. 18C. 25D. 812二、多选题：本题共3小题，共18分。
云南省会泽县第一中学2024届高三下期第一次月考数学试题试卷
云南省会泽县第一中学2024届高三下期第一次月考数学试题试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题: ①1EF B C ⊥;② 直线FG 与直线1A D 所成角为60︒;③ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; ④ 三棱锥B EFG -的体积为56. 其中，正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．设全集U =R ，集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则()UA B =（ ）A ．()0,3B ．[)2,3C ．()0,2D ．()0,∞+3．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于A ，B 两点，若2PA AF =，则AB 为( )A ．409B ．40C ．16D ．1634．已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<的图象有一个横坐标为3π的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是( )A ．2935,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．2935,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2935,2424⎛⎫⎪⎝⎭ D ．2935,2424⎛⎤⎥⎝⎦5．已知函数()5sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要得到函数()cos g x x =的图象，只需将()y f x =的图象( ) A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 6．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．7．为得到的图象，只需要将的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位8．正方体1111ABCD A B C D -，()1,2,,12i P i =是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11A C B 平行的直线有几条（ ）A ．36B ．21C ．12D ．69．等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，则数列{}n a 的前n 项和n S *()n N ∈中最小的是（ ）A ．7S 或8SB ．12SC ．13SD ．14S10．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．163B ．6C ．203D ．22311．若复数211iz i=++（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的模为（ ） A 5 B ．4C ．2D 512．设F 为抛物线24x y =的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则|||||FA FB FC ++=（ ）. A ．9B ．6C ．38D ．316二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省绵阳第一中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试卷(含答案)
四川省绵阳市绵阳一中2022-2023学年高三第一次月考数学试卷一、选择题1. 已知集合A ={x ∈N|2x 2−5x ≤7}，B ={y|y ≤2}，则A ∩B =（ ） A.⌀ B.{−1,0} C.{0,1,2} D.{−1,0,1,2}2. 已知向量a →=(2, 3)，b →=(1, 4)，c →=(k, 3)，(a →+b →)⊥c →，则实数k =( ) A.−7 B.−2 C.2 D.73. 设α是第二象限角，P(x, 4)为其终边上的一点，且cosα=x5，则tan2α=( ) A.−247B.127C.−127D.2474. 若a >b >0, c ∈R ，则（ ） A.1a >1b B.ac 2>bc 2C.(13)a<(13)bD.a|c +1|>b|c +1|5. 已知命题p ：若x >1，则2x >1；命题q:∀x >0,lgx >0．那么下列命题为真命题的是（ ） A.p ∧q B.p ∧(¬q ) C.(−p )∧q D.(¬p )∧(¬q )6. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d <0，若S 7=7，a 2⋅a 6=−15，则a 11=( ) A.−13 B.−14 C.−15 D.−167. 已知函数f (x )={−3x +3,x <0−x 2+3,x ≥0，则不等式f (a )>f (3a −4)的解集为（ ）A.(−12,+∞)B.(2,+∞)C.(−∞,2)D.(−∞,−12)8. 已知函数f (x )=sin2x +2cos 2x ，下列四个结论正确的是（ ） A.函数f (x )在区间[−3π8,π8]上是减函数B.点(3π8,0)是函数f (x )图象的一个对称中心C.若x ∈[−π8,π4]，满足f (x )+m =0有两个零点，则m 的取值范围为(−1−√2,−2] D.函数f (x )的图象可以由函数y =√2sin2x 的图象向左平移π4个单位长度得到9. 已知函数f (x )=13x 3+bx 2+(b +2)x +3在R 上单调递增，则实数b 的取值范围是（ ） A.(−1,2)B.[−1,2]C.(−∞,−1)∪(2,+∞)D.(−∞,−2]∪[2,+∞)10. 已知x >1，y >1，且lgx,14，lgy 成等比数列，则xy 有（ ） A.最小值10 B.最小值√10 C.最大值10 D.最大值√1011. “φ=−π4”是“函数f(x)=cos(3x −φ)的图象关于直线x =π4对称”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12. 若x =2是函数f (x )=x 2+2(a −2)x −4alnx 的极大值点，则实数a 的取值范围是（ ） A.(−∞,−2) B.(−2,+∞) C.(2,+∞) D.(−2,2)二、填空题)13. 已知sinα=−5cosα，则tan2α=_________.14. 若直线y =x +b 是曲线y =xlnx 的一条切线，则实数b =________．15. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且周期为4，当x ∈(0,2]时， f (x )=x +m ，若f (7)=1，则m =_______.16. 已知函数f (x )={2x 2,x ≤0e x ,x >0，若方程[f (x )]2=a 恰有两个不同的实数根m ，n ，则m +n 的最大值是________. 三、解答题)17. 在等差数列{a n }，已知2a 6−a 3=10且S 5=20. (1)求{a n }的通项公式：(2)设b n =2a n ⋅a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n .18. 已知函数f (x )=√3sin xcos x −cos 2 x +12． (1)求f (π4)的值；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)当x ∈[π4,5π12]时，求f(x)的值域．19. 如图，在△ABC 中，点P 在BC 边上，∠PAC =60∘，PC =2，AP +AC =4.(1)求边AC 的长；(2)若△APB 的面积是 2√3 ，求sin∠BAP 的值.20. 已知函数f(x)=x 3+3x 2−9x +1． （1）求f(x)的极大值；（2）若f(x)在[k, 2]上的最大值为28，求k 的取值范围．21. 已知函数f(x)＝ae x −x(a ∈R)，其中e 为自然对数的底数，e ＝2.71828… (1)判断函数f(x)的单调性，并说明理由(2)若x ∈[1, 2]，不等式f(x)≥e −x 恒成立，求a 的取值范围．22. 已知曲线C 的参数方程为{x =3+cosαy =4+sinα（α为参数）．以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ=π4.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)射线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|的值．23. 设函数f (x )=|x −3|+|x +1| (1)求不等式f (x )≥6的解集；(2)对任意的实数x ∈R ，不等式m 2−m −2≤f (x )恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案与试题解析四川省绵阳市绵阳一中2022-2023学年高三第一次月考数学试卷 一、选择题 1. 【答案】 C【考点】 交集及其运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】【详解】由题意知， A ={x ∈N|−1≤x ≤72}={0,1,2,3}所以A ∩B ={0,1,2}故选：C 2. 【答案】 A【考点】平面向量数量积的运算 【解析】先求出向量a →+b →，由(a →+b →)⊥c →得(a →+b →)⋅c →=0；代入坐标求出k 的值． 【解答】解：∵ 向量a →=(2, 3)，b →=(1, 4)，c →=(k, 3)， ∴ a →+b →=(2+1, 3+4)=(3, 7)； 又∵ (a →+b →)⊥c →， ∴ (a →+b →)⋅c →=0； 即3k +7×3=0， 解得k =−7； 故选：A ． 3. 【答案】 D【考点】二倍角的正切公式 【解析】根据题意，利用同角三角函数的基本关系算出sinα，可得tanα，再由二倍角的正切公式加以计算，可得tan2α的值．【解答】解：∵ α是第二象限角，P(x, 4)为其终边上的一点，∴ x <0，又∵ cosα=x 5=√x 2+16，∴ x =−3，∴tanα=y x=−43，∴ tan2α=2tanα1−tan 2α=247.故答案为：247．4.【答案】 C【考点】不等式比较两数大小 【解析】 此题暂无解析 【解答】【详解】∵ a >b >0，1ab>0，∴ 1a<1b，故A 错误；当c =0时， ac 2=bc 2，故B 错误；由a >b >0，可得(13)a<(13)b，故C 正确； 当c =−1时， a|c +1|=b|c +1|，故D 错误． 故选：C ． 5. 【答案】 B【考点】逻辑联结词“或”“且”“非” 复合命题及其真假判断 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：命题p ：若x >1，则2x >1；故命题p 为真命题； 命题q:∀x >0,lgx >0，命题q 为假命题：故： p ∧q 为假命题， p ∧(¬q )为真命题， (¬p )∧q 为假命题， (¬p )∧(¬q )为假命题； 故选：B ． 6. 【答案】 A【考点】等差数列的前n 项和 等差数列的通项公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：∵S 7=7(a 1+a 7)2=72×2a 4=7a 4=7，∴a4=1.又a2⋅a6=(a4−2d)⋅(a4+2d)=a42−4d2=−15，d<0，∴d=−2，∴a11=a4+7d=−13.故选A.7.【答案】B【考点】分段函数的应用函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】【详解】根据题目所给的函数解析式，可知函数f(x)在(−∞,+∞)上是减函数，所以a<3a−4，解得a>2故选：B8.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的图象正弦函数的对称性【解析】此题暂无解析【解答】【详解】f(x)=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=√2sin(2x+π4)+1，当x∈[−3π8,π8]时，2x+π4∈[−π2,π2]，f(x)单增，故A错；当x=3π8时，2x+π4=π，f(3π8)=√2sinπ+1=1，函数对称中心为(3π8,1)，故B错；当x∈[−π8,π4]，2x+π4∈[0,3π4]，√2sin(2x+π4)∈[0,√2],f(x)∈[1,√2+1],f(π4)=2，由图象性质可知，f(x)+m=0有两个零点，则−m=f(x)，−m∈[2,√2+1)，m∈(−√2−1,−2]，故C正确；f(x)=√2sin(2x+π4)+1=√2sin2(x+π8)+1，则f(x)的图象可以由函数y=√2sin2x的图象向左平移π8个长度单位，再向上平移1个单位得到，故D错．故选：C9.【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】【详解】由题意得f′(x)=x2+2bx+b+2，∵f(x)在R上单调递增，∴x2+2bx+b+2≥0在R上恒成立，∴Δ≤0，即b2−b−2≤0，解得−1≤b≤2故选：B10.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用等比数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】【详解】因为lgx,14、lgy成等比数列，所以(14)2=(lgx)(lgy)因为x>1,y>1所以lgx>0,lgy>0,lgx+lgy≥2√(lgx)(lgy)=12即lgxy≥12，xy≥√10，当且仅当x=y时取“=”号，故选B．11.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，若函数f(x)=cos(3x−φ)的图象关于直线x=π4对称，则当x=π4时，函数f(x)=cos(3x−φ)取得最值，所以cos(34π−φ)=±1，34π−φ=kπ,k∈Z，解得φ=(34−k)π.当k=1时，φ=−π4，当k=±1时，φ≠−π4，所以条件“函数f(x)=cos(3x−φ)的图象关于直线x=π4对称”推不出条件$``\varphi = - \frac{\pi}{4}"$，而条件$``\varphi = - \frac{\pi}{4}"$可推出条件“函数f(x)=cos(3x−φ)的图象关于直线x=π4对称”，所以$``\varphi = - \frac{\pi}{4}"$是“函数f(x)=cos(3x−φ)的图象关于直线x=π4对称”的充分不必要条件.故选A.12.【答案】A【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】【详解】f′(x)=2x+2(a−2)−4ax =2x2+2(a−2)x−4ax=2(x−2)(x+a)x,(x>0)若a≥0时，当x>2时，f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0则f(x)在(0,2)上单调递减；在(2,+∞)上单调递增．所以当x=2时，f(x)取得极小值，与条件不符合，故满足题意．当a<−2时，由f′(x)>0可得0<x<2或x>−a；由f′(x)<0可得2<x<−a所以在(0,2)上单调递增；在(2,−a)上单调递减，在(−a,+∞)上单调递增．所以当x=2时，f(x)取得极大值，满足条件．当−2<a<0时，由f′(x)>0可得0<x<−a或x>2；由f′(x)<0可得−a<x<2所以在(0,−a)上单调递增；在(−a,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增．所以当x=2时，f(x)取得极小值，不满足条件．当a=−2时，f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，即f(x)在(0,+∞)上单调递增．此时f(x)无极值．综上所述：a<−2满足条件故选：A二、填空题13.【答案】512【考点】两角和与差的正切公式【解析】此题暂无解析【解答】【详解】因为sinα=−5cosα，所以tanα=−5，则tan2α=2tanα1−tan2α=2×(−5)1−25=512故答案为：51214.【答案】−1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】设切点为(x0, x0lnx0)，对y=xlnx求导数得y′=lnx+1，从而得到切线的斜率k=lnx0+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为y=(lnx0+1)x−x0，对照已知直线列出关于x0、b的方程组，解之即可得到实数b的值．【解答】【详解】试题分析：设切点为P(t,tlnt)，因y′=1+lnx，故切线的斜率k=1+lnt=1，则lnt=0，即t= 1．所以切点P(1,0)代入y=x+b可得b=−1，故应填答案−1.15.【答案】−2【考点】函数的周期性函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】【详解】因为f(x)是定义在R上周期为4的函数，所以f(7)=f(7−8)=f(−1)又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(−1)=−f(1)=1，即f(1)=−1又因为当x∈(0,2]时，f(x)=x+m所以f(1)=1+m=−1，解得m=−2故答案为：−216.【答案】3ln2−2【考点】分段函数的应用利用导数研究函数的最值 函数的零点与方程根的关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】【详解】作出函数f (x )={2x 2,x ≤0e x ,x >0的图象，如图所示，由[f (x )]2=a 可得f (x )=√a ，所以√a >1，即a >1 不妨设m <n ，则2m 2=e n =√a 令√a =t (t >1)，则m =−√t2,n =lnt所以m +n =lnt −√t2，令g (t )=lnt −√t2，则g ′(t )=4−√2t 4t所以当1<t <8时， g ′(t )>0；当t >8时， g ′(t )<0 当t =8时， g (t )取得最大值g (t )=ln8−2=3ln2−2 故答案为： 3ln2−2 三、解答题 17. 【答案】（1）由题意，设等差数列{a n }的公差为d由2a 6−a 3=10得2(a 1+5d )−(a 1+2d )=10 即a 1+8d =10，① 由S 5=5a 1+5×42d =20，即a 1+2d =4，②由①②得a 1=2,d =1∴ a n =a 1+(n −1)d =2+(n −1)×1=n +1 （2）∵ b n =2an ⋅a n+1=2(n+1)(n+2)=2(1n+1−1n+2)∴ T n =2[(12−13)+(13−14)+(14−15)+⋯+(1n+1−1n+2)]=2(12−1n+2)=nn+2 【考点】等差数列的通项公式 数列的求和【解析】 此题暂无解析 【解答】（1）由题意，设等差数列{a n }的公差为d由2a 6−a 3=10得2(a 1+5d )−(a 1+2d )=10 即a 1+8d =10，① 由S 5=5a 1+5×42d =20，即a 1+2d =4，②由①②得a 1=2,d =1∴ a n =a 1+(n −1)d =2+(n −1)×1=n +1 （2）∵ b n =2an ⋅a n+1=2(n+1)(n+2)=2(1n+1−1n+2)∴ T n =2[(12−13)+(13−14)+(14−15)+⋯+(1n+1−1n+2)]=2(12−1n+2)=nn+2 18. 【答案】解析：（1）∵ f (x )=√3sinxcosx −cos 2x +12， ∴ f (π4)=√3sin π4cos π4−cos 2π4+12=√32−12+12=√32（2）由f (x )=√3sinxcosx −cos 2x +12 =√32sin2x −12(cos2x +1)+12=sin (2x −π6)当2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，k ∈z 时，函数单调递增，解得函数的单调增区间为[kπ−π6,kπ+π3](k ∈z ) （3）∵ x ∈[π4,5π12]，∴ π3≤2x −π6≤2π3，∴ √32≤sin (2x −π6)≤1 故函数的值域为[√32,1]【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 正弦函数的单调性正弦函数的定义域和值域 【解析】 此题暂无解析 【解答】解析：（1）∵f(x)=√3sinxcosx−cos2x+12，∴f(π4)=√3sinπ4cosπ4−cos2π4+12=√32−12+12=√32（2）由f(x)=√3sinxcosx−cos2x+12=√32sin2x−12(cos2x+1)+12=sin(2x−π6 )当2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，k∈z时，函数单调递增，解得函数的单调增区间为[kπ−π6,kπ+π3](k∈z)（3）∵x∈[π4,5π12]，∴π3≤2x−π6≤2π3，∴√32≤sin(2x−π6)≤1故函数的值域为[√32,1]19.【答案】解：(1)在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60∘，PC=2，AP+AC=4，则：设AC=x，利用余弦定理得：PC2=AP2+AC2−2AP⋅AC⋅cos∠PAC，则：4=x2+(4−x)2−2x(4−x)⋅12，整理得：3x2−12x+12=0，解得：x=2.故：AC=2.(2)由于AC=2,AP+AC=4，所以：AP=2，所以△APC为等边三角形.由于△APB的面积是2√3，则12⋅AP⋅BPsin∠BPA=2√3 ,解得BP=4.在△APB中，利用余弦定理：AB2=BP2+AP2−2⋅BP⋅AP⋅cos∠BPA，解得：AB=2√7，在△APB中，利用正弦定理得：BP sin∠BAP =ABsin∠BPA，所以：4sin∠BAP =√7√32，解得：sin∠BAP=√217.【考点】三角形的面积公式余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60∘，PC=2，AP+AC=4，则：设AC=x，利用余弦定理得：PC2=AP2+AC2−2AP⋅AC⋅cos∠PAC，则：4=x2+(4−x)2−2x(4−x)⋅12，整理得：3x2−12x+12=0，解得：x=2.故：AC=2.(2)由于AC=2,AP+AC=4，所以：AP=2，所以△APC为等边三角形.由于△APB的面积是2√3，则12⋅AP⋅BPsin∠BPA=2√3 ,解得BP=4.在△APB中，利用余弦定理：AB2=BP2+AP2−2⋅BP⋅AP⋅cos∠BPA，解得：AB=2√7，在△APB中，利用正弦定理得：BPsin∠BAP=ABsin∠BPA，所以：4sin∠BAP=√7√32解得：sin∠BAP=√217.20.【答案】解：（1）∵f(x)=x3+3x2−9x+1，∴f(x)的定义域为R，f′(x)=3x2+6x−9，令f′(x)=3x2+6x−9>0，得x>1或x<−3，列表讨论：x(−∞, −3)−3(−3, 1)1(1, +∞)f’(x)+ 0- 0+f(x)单调递增↗28单调递减↘−4单调递增↗∴当x=−3时，f(x)有极大值f(−3)=28．（2）由（1）知f(x)在[1, 2]为增函数，在[−3, 1]为减函数，(−∞, −3)为增函数，且f(2)=3，f(−3)=28，∵f(x)在[k, 2]上的最大值为28，∴所求k的取值范围为k≤−3，即k∈(−∞, −3]．【考点】导数求函数的最值利用导数研究函数的极值【解析】（1）由已知条件知f(x)的定义域为R，f′(x)=3x2+6x−9，令f′(x)=3x2+6x−9>0，得x>1或x<−3，列表讨论能求出f(x)的极大值．（2）由（1）知f(x)在[1, 2]为增函数，在[−3, 1]为减函数，(−∞, −3)为增函数，由此能求出k的取值范围．【解答】解：（1）∵f(x)=x3+3x2−9x+1，∴f(x)的定义域为R，f′(x)=3x2+6x−9，令f′(x)=3x2+6x−9>0，得x>1或x<−3，列表讨论：∴当x=−3时，f(x)有极大值f(−3)=28．（2）由（1）知f(x)在[1, 2]为增函数，在[−3, 1]为减函数，(−∞, −3)为增函数，且f(2)=3，f(−3)=28，∵f(x)在[k, 2]上的最大值为28，∴所求k的取值范围为k≤−3，即k∈(−∞, −3]．21.【答案】解：（1）由f(x)＝ae x−x，得f′(x)＝ae x−1，当a≤0时，f′(x)<0，f(x)＝ae x−x为R上的减函数；当a>0时，令ae x−1＝0，得x＝lna，若x∈(−∞, −lna)，则f′(x)<0，此时f(x)为的单调减函数；若x∈(−lna, +∞)，则f′(x)>0，此时f(x)为的单调增函数．综上所述，当a≤0时，f(x)＝ae x−x为R上的减函数；当a>0时，若x∈(−∞, −lna)，f(x)为的单调减函数；若x∈(−lna, +∞)，f(x)为的单调增函数．（2）由题意，x∈[1, 2]，不等式f(x)≥e−x恒成立，等价于ae x−x≥e−x恒成立，即x∈[1, 2]，a≥1+xe xe2x恒成立．令g(x)=1+xe xe2x，则问题等价于a不小于函数g(x)在[1, 2]上的最大值．由g(x)=1+xe xe2x =1e2x+xe x，函数y=1e2x在[1, 2]上单调递减，令ℎ(x)=xe x ，x∈[1, 2]，ℎ′(x)=ex−xe xe2x=1−xe x≤0．∴ℎ(x)=xe x 在x∈[1, 2]上也是减函数，∴g(x)在x∈[1, 2]上也是减函数，∴g(x)在[1, 2]上的最大值为g(1)=1e2+1e．故x∈[1, 2]，不等式f(x)≥e−x恒成立的实数a的取值范围是[1e2+1e, +∞)．【考点】函数单调性的判断与证明函数恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）由f(x)＝ae x−x，得f′(x)＝ae x−1，当a≤0时，f′(x)<0，f(x)＝ae x−x为R上的减函数；当a>0时，令ae x−1＝0，得x＝lna，若x∈(−∞, −lna)，则f′(x)<0，此时f(x)为的单调减函数；若x∈(−lna, +∞)，则f′(x)>0，此时f(x)为的单调增函数．综上所述，当a≤0时，f(x)＝ae x−x为R上的减函数；当a>0时，若x∈(−∞, −lna)，f(x)为的单调减函数；若x∈(−lna, +∞)，f(x)为的单调增函数．（2）由题意，x∈[1, 2]，不等式f(x)≥e−x恒成立，等价于ae x−x≥e−x恒成立，即x∈[1, 2]，a≥1+xexe2x恒成立．令g(x)=1+xexe2x，则问题等价于a不小于函数g(x)在[1, 2]上的最大值．由g(x)=1+xexe2x=1e2x+xe x，函数y=1e2x在[1, 2]上单调递减，令ℎ(x)=xe x，x∈[1, 2]，ℎ′(x)=ex−xe xe2x=1−xe x≤0．∴ℎ(x)=xe x在x∈[1, 2]上也是减函数，∴g(x)在x∈[1, 2]上也是减函数，∴g(x)在[1, 2]上的最大值为g(1)=1e2+1e．故x∈[1, 2]，不等式f(x)≥e−x恒成立的实数a的取值范围是[1e2+1e, +∞)．22.【答案】（1）将方程{x=3+cosαy=4+sinα，消去参数α得(x−3)2+(y−4)2=1∵x=ρcosθ, y=ρsinθ∴曲线C的极坐标方程为ρ2−(6cosα+8sinα)ρ+24=0（2）设A，B两点的极坐标方程分别为(ρ1,π4),(ρ2,π4)将θ=π4代入ρ2−(6cosα+8sinα)ρ+24=0，得ρ2−7√2ρ+24=0其中Δ>0，可得ρ1,ρ2是方程ρ2−7√2ρ+24=0的两根，由韦达定理知ρ1+ρ2=7√2,ρ1ρ2=24 ∴ |AB|=|ρ1−ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2=√2 【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化 参数方程与普通方程的互化 【解析】 此题暂无解析 【解答】（1）将方程{x =3+cosαy =4+sinα，消去参数α得(x −3)2+(y −4)2=1∵ x =ρcosθ, y =ρsinθ∴ 曲线C 的极坐标方程为ρ2−(6cosα+8sinα)ρ+24=0 （2）设A ，B 两点的极坐标方程分别为(ρ1,π4),(ρ2,π4)将θ=π4代入ρ2−(6cosα+8sinα)ρ+24=0，得ρ2−7√2ρ+24=0其中Δ>0，可得ρ1,ρ2是方程ρ2−7√2ρ+24=0的两根，由韦达定理知ρ1+ρ2=7√2,ρ1ρ2=24 ∴ |AB|=|ρ1−ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2=√2 23. 【答案】（1）x ≥3时， f (x )=x −3+x +1≥6，x ≥4，−1≤x <3时， f (x )=3−x +x +1=4，f (x )≥6无解； x <−1时， f (x )=3−x −x −1≥6,x ≤−2 综上， x ≤−2或x ≥4（2）由（1）知 f (x )={2x −2,x ≥34,−1≤x <32−2x,x <−1,f (x )min =4不等式m 2−m −2≤f (x )恒成立，则m 2−m −2≤4,−2≤m ≤3 【考点】绝对值不等式的解法与证明 绝对值不等式 【解析】 此题暂无解析 【解答】（1）x ≥3时， f (x )=x −3+x +1≥6，x ≥4，−1≤x <3时， f (x )=3−x +x +1=4，f (x )≥6无解； x <−1时， f (x )=3−x −x −1≥6,x ≤−2 综上， x ≤−2或x ≥4（2）由（1）知 f (x )={2x −2,x ≥34,−1≤x <32−2x,x <−1,f (x )min =4不等式m 2−m −2≤f (x )恒成立，则m 2−m −2≤4,−2≤m ≤3。
2023高三数学第一次月考试题
学校__________________班级__________________姓名__________________座位号__________________第 1 页 共 4 页第 2 页 共 4 页XX 中学2022-2023学年度第一学期高三数学月考试题考试范围：集合与常用逻辑用语；时间：120分钟；命题人：说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写答题卡上；2.回答选择题时，选出给每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效；3.考试结束后，将本试卷和带卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若集合A={x ∈N|x ≤√2 023},a=π,则下列结论正确的是( )A.{a}⊆AB.a ⊆AC.{a}∈AD.a ∉A2.某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”,这句话的等价命题是( ) A.不拥有的人们会幸福 B.幸福的人们不都拥有 C.拥有的人们不幸福 D.不拥有的人们不幸福3.已知集合A={1,2,3},B={x|-1<x+1≤3,且x ∈Z},则A ∪B 等于( ) A.{1,2,3} B.{0,1,2,3} C.{-1,0,1,2,3} D.{-1,0,1,2}4.已知A={(x,y)|4x-y=0},B={(x,y)|y=x 2+4},则A ∩B 等于( ) A.{(8,2)} B.{(2,4)} C.{(2,8)} D.{(4,2)}5.已知集合A={x ∈N|x 2≤1},集合B={x ∈Z|-1≤x ≤3},则图中阴影部分表示的集合是( )A.[1,3]B.(1,3]C.{-1,2,3}D.{-1,0,2,3}6.命题“∀x ∈R,x 2-x+2 023>0”的否定是( )A.∃x 0∈R,x 02-x 0+2 023<0B.∃x 0∈R,x 02-x 0+2 023≤0C.∀x ∈R,x 2-x+2 023<0D.∀x ∈R,x 2-x+2 023≤07.已知集合A={1,2,3},B={-1,0,1,2},若M ⊆A,且M ⊆B,则M 的个数为( ) A.1 B.3 C.4 D.68.已知命题p:函数f(x)=2x -2-x 在R 上单调递增,命题q:函数g(x)= sin[2(x+π4)]为奇函数,则下列命题中真命题为( )A.p ∧qB.p ∧﹁qC.﹁p ∧﹁qD.﹁p ∨q 9.下列结论错误的是( )A.“x=1”是“x 2-x=0”的充分不必要条件B.已知命题p:∀x ∈R,x 2+1>0,则﹁p:∃x 0∈R,x 02+1≤0 C.若复合命题p ∧q 是假命题,则p,q 都是假命题D.命题“若x 2-x=0,则x=1”的逆否命题为“若x ≠1,则x 2-x ≠0”10.设全集U={1,2,3,4,5,6},且U 的子集可表示由0,1组成的6位字符串,如:{2,4}表示的是自左向右的第2个字符为1,第4个字符为1,其余字符均为0的6位字符串010100,并规定,空集表示的字符串为000000;对于任意两集合A,B,我们定义集合运算A-B={x|x ∈A,且x ∉B},A*B=(A-B)∪(B-A).若A={2,3,4,5},B={3,5,6},则A*B 表示的6位字符串是( ) A.101010 B.011001 C.010101 D.00011111.设m,n 为非零向量,则“m ·n>0”是“存在整数λ,使得m=λ n ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件12.记不等式组{x +y ≥6,2x -y ≥0表示的平面区域为D,命题p:∃(x,y)∈D,2x+y ≥9;命题q:∀(x,y)∈D,2x+y ≤12.给出了四个命题:①p ∨q;②﹁p ∨q;③p ∧﹁q;④﹁p ∧﹁q,这四个命题中,所有真命题的编号是( )A.①③B.①②C.②③D.③④第Ⅱ卷(非选择题共90分)二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若“∃x 0∈[-1,2],x 02-m>1”为假命题,则实数m 的最小值为 . 14.若集合A={x|8≤2-x2+2x+a≤12}中恰有唯一的元素,则实数a 的值为 .15.已知函数f(x)=ln(x 2+1),g(x)=(12)x -m,若对∀x 1∈[0,3],∃x 2∈[1,2],使得f(x 1)≥g(x 2),则实数m 的取值范围是 .16.下列命题真命题的序号是 . ①∃x 0∈R,sin x 0+cos x 0=√3; ②若p:xx -1<0,则﹁p:xx -1≥0; ③lg x>lg y 是√x >√y 的充要条件;④在△ABC 中,边a>b 是sin A>sin B 的充要条件;⑤“a=2”是“函数f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函数”的充要条件.三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)设全集U=R,集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}.(1)求B及∁U(A∩B);(2)若集合C={x|2x+a>0},满足B∪C=C,求实数a的取值集合.18.(本小题满分12分)设非空集合S具有如下性质:①元素都是正整数;②若x∈S,则10- x∈S.(1)请你写出符合条件,且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个;(2)是否存在恰有6个元素的集合S?若存在,写出所有的集合S;若不存在,请说明理由;(3)由(1)(2)的解答过程启发我们,可以得出哪些关于集合S的一般性结论?(要求至少写出两个结论)19.(本小题满分12分)设p:2≤x<4,q:实数x满足x2-2ax-3a2<0(a>0).(1)若a=1,且p,q都为真命题,求x的取值范围;(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.20.(本小题满分12分) 已知a≥12,y=-a2x2+ax+c,其中a,c均为实数.证明:对于任意的x∈{x|0≤x≤1},均有y≤1成立的充要条件是c≤34.21.(本小题满分12分)设t∈R,已知命题p:函数f(x)=x2-2tx+1有零点;命题q:∀x∈[1,+∞),1x-x≤4t2-1.(1)当t=1时,判断命题q的真假;(2)若p∨q为假命题,求t的取值范围.22.(本小题满分12分)已知不等式5x-3≥-1的解集为A,集合B={x|2ax2+(2-ab)x-b<0}.(1)求集合A;(2)当a>0,b=1时,求集合B;(3)是否存在实数a,b使得x∈A是x∈B的充分条件,若存在,求出实数a,b满足的条件;若不存在,请说明理由.第3 页共4 页第 4 页共4 页。
湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题及答案
大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （）A.{}32xx −≤≤∣ B.{32}x x −≤<∣C.{12}x x <≤∣ D.{12}x x <<∣2.若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（）A.B.54C.D.3.已知平面向量()()5,0,2,1a b ==−，则向量a b +在向量b上投影向量为（）A.()6,3− B.()4,2− C.()2,1− D.()5,04.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ）A.21B.19C.12D.425.某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人B. 272人C. 328人D.820人6.已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ）A.π6 B.π4C.π3D.2π37.已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C.(D.(8.已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（）A.()0,1 B.()(),00,1−∞∪ C.[)1,+∞ D.()()0,11,+∞ 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A.E F M P ，，，四点共面B.平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C.//EF 平面PMND.平面MEF ⊥平面PMN10.已知函数()5π24f x x=+，则（）A.()f x 的一个对称中心为3π,08B.()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C.()f x 在区间5π7π,88上单调递增D.若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈11.已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（）A.()f x 的图象关于点()2,1对称B.()f x 是以8为周期的周期函数C.()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．13.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ，求CD 的长．16.已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围．17.已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值； （2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19.龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 12345678910销售量千张1.9 1.982.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 04经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n ∗∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．..参考公式：()()()1122211ˆˆ,n ni ii ii i n n i i i i x x y y x y nx yay bx x xx nx====−−−==−−−∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （）A.{}32xx −≤≤∣ B.{32}x x −≤<∣C.{12}x x <≤∣ D.{12}x x <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集． 【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =−≤≤=−<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ∩=<<∣， 故选：D ．2.若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =−+，再由模长公式即可得出结果. 【详解】依题意()1i 3i z +=−+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z −+−−+−+====−+++−，所以z =. 故选：C3.已知平面向量()()5,0,2,1a b ==−，则向量a b +在向量b上的投影向量为（ ）A.()6,3− B.()4,2− C.()2,1− D.()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=−+⋅==所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b bb +⋅==− .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ）A.21 B.19C.12D.42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a ==故公差76162,53d a a a a d =−=∴=−=−，()767732212S ×∴=×−+×=， 故选：A5.某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A.136人B.272人C.328人D.820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22µσ=×==，()()(),0.750.547p k P k X k p µσµσ=−≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤()0.750.547p ≈，()()900.510.5470.2265P X ≥×−，∴该校及格人数为0.22651200272×≈（人），故选：B ． 6.已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ）A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 64αβαβ⋅+⋅=，解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⋅=⋅=，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅−⋅=−，π,0,2αβ∈，()0,παβ∴+∈，2π,3αβ∴+=，故选：D ．7.已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C.(D.(【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay −=交于,A B 两点， 则2F 到渐近线0bx ay −=的距离d b，所以AB =， 因为123AB F F >，所以32c ×>，可得2222299a b c a b −>=+，即22224555a b c a >=−，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是 .故选：B8.已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（）A.()0,1 B.()(),00,1−∞∪ C.[)1,+∞ D.()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可．【详解】令()u f x =，则()0f u =．①当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；②当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x==，可得2x =， 因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞−]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥；若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故选：C ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A.E F M P ，，，四点共面B.平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C.//EF 平面PMND.平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ， 由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF 平面QGMN W =， 所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=°， 90EMG ∴∠=°，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．故选：BD ．10.已知函数()5π24f x x=+，则（）A.()f x 的一个对称中心为3π,08B.()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C.()f x 在区间5π7π,88上单调递增D.若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x+求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f =+×=≠，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得：3π3π5ππ228842y f x x x x=−−++，为奇函数，故B 正确； 对于C ，当5π7π,88x∈时，则5π5π2,3π42x +∈ ，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88 上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x+ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ，()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个交点的横坐标为13π4，5π13π24m ∴<≤，故D 正确. 故选：BD11.已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A.()f x 的图象关于点()2,1对称B.()f x 是以8为周期的周期函数C.()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++−=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =−=∑，可得D 错误. 【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x −=−=−，且()()()00,21g f x g x =++−=，即()()21f x g x +−=①，用x −替换()()21f x g x ++−=中的x ，得()()21f x g x −+=②，由①+②得()()222f x f x ++−=所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++−=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++−=+=−−=−，所以()()()()82422f x f x f x f x +=−+=−−= ，所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确；由①知()()21g x f x =+−，则()()()()882121g x f x f x g x +=++−=+−=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数，所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++−=，所以()()42f x f x ++=，令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…，令8090x =，则有()()809080942f f +=，所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =−=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．【答案】180− 【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅−，化简即可得到结果． 【详解】在6(31)x y +−的展开式中， 由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅−=−，得2x y 的系数为180−. 故答案为：180−．13.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,−∪+∞【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ′′−=，因此可得()()2f x f x ′>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论.【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x −=−，两边同时求导可得()()f x f x ′′−−=−，即()()f x f x ′′−=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x ′−>，所以()()2f x f x ′>.构造函数()()2xf x h x =e，则()()()22x f x f x h x ′−′=e ，所以当0x >时，()()0,h x h x ′>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞−−上小于零，在()1,0−上大于零，综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,−∪+∞.故答案为：()()1,01,−∪+∞14.已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.【答案】 【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λµ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可. 【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ ，其中π,0,3BOC θθ∠=∈ ，由(),R OC OA OB λµλµ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλµ =+，整理得1cos sin 2λµθθ+=，解得cos λµθ=，则ππcos cos ,0,33λµθθθθθ+=++=+∈，ππ2ππ,,sin 3333θθ+∈+∈所以λµ +∈ . 方法二：设k λµ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λµ=+=； 当点C 运动到AB的中点时，k λµ=+，所以λµ +∈故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．【答案】（1）2π3C =（2）3CD =【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解．【小问1详解】 由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=，因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠，因此1cos 2C =−，所以2π3C =． 【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB=所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==，因此sin 3sin BADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =， 又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+−，即222293a a a =++，解得4a =，所以12b =．又ABCACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅， 即4816CD =，所以3CD =． 16.已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围．【答案】（1）1a = （2）(]()10,−∞−+∞ ,【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值； （2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围． 【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα−−==′+⋅+，由1111ln 10e e e a f a −=+=′，得1a =， 当1a =时，()ln 1f x x =′+，函数()f x 在10,e上单调递减，在1,e∞ +上单调递增，所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点，所以1a =． 【小问2详解】由（1）知min 11()e ef x f ==−．函数()g x 的导函数()()1e xg x k x −=−′①若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=−，使得()()12111e 1e k g x g f x k=−=−<−<−≤，即()()120f x g x −≥，符合题意． ②若()0,0kg x =，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x −<，不符合题意．③若0k <，当1x <时，()()0,g x g x ′<在(),1∞−上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x ′>在(+∞)上单调递增，所以()min ()1ekg x g ==，若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，只需min min ()()g x f x ≤， 即1e ek ≤−，解得1k ≤−．综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞−−∪+．17.已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析（2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证；（2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以PE BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ， 所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ∩=⊂平面PEC ， 所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥． 【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E −，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<， 所以()(),,11,2,1x y z λ−=−，所以,2,1x y z λλλ===−，即(),2,1F λλλ−．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==−=−，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⋅=⋅=，，即2020a b a b c += +−= ，，取()1,2,3m =−− ，设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅===整理得2620λλ−=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点.【小问1详解】 由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b =所以112242p b ==×=，所以抛物线1C 的方程是2y x =. 设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥−=−=≥，所以当232ι=时，线段PQ .【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则：直线()222:b a MN y a x a b a −−=−−，即()21y a x a a b −=−+，即()0x a b y ab −++=.直线()21:111a DM y x a −−=−−，即()10x a y a −++=.由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r −+−+−=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r −+−+−=.所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解，22224224,11r r a b ab r r −−∴+==−−代入方程()0x a b y ab −++=得()()222440x y r x y +++−−−=，220,440,x y x y ++= ∴ ++= 解得0,1.x y = =− ∴直线MN 恒过定点()0,1−.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x −=−,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19.龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 259 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑. （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n ∗∈. ①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛． 参考公式：()()()1122211ˆˆ,n ni ii i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====−−−==−−−∑∑∑∑. 【答案】（1）673220710001200y t +（2）433774n n P =+⋅− （3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析【解析】【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,a b 的值，进而得到y 关于t 的回归方程； （2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．【小问1详解】 解：剔除第10天的数据，可得2.2100.4 2.49y ×−==新，12345678959t ++++++++=新，则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t = =−×==−= ∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t == − −×× ==−× − ∑∑新新新新新，可得6732207ˆ 2.4560001200a =−×=，所以6732207ˆ60001200y t +. 【小问2详解】 解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12111313,444416P P ==×+=， 所以11233,(3)44n n n n P P P P n −−−+=+≥，又由2131331141644P P ++×， 所以134n n P P − +是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n −+=≥ 所以1434(),(2)747n n P P n −−=−−≥，又因为1414974728P −=−=−，所以数列47n P − 是首项为928−，公比为34−的等比数列，故1493()7284n n P −−=−−，所以1934433()()2847774n n n P −=−−+=+−.【小问3详解】 解：①当n 为偶数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=+⋅>单调递减，最大值为21316P =； 当n 为奇数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=−⋅<单调递增，最小值为114P =， 综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14. ②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数，当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε−=⋅−=⋅<⋅=， 所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。
2024-2025学年海南省北京师大万宁附中高三(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年海南省北京师大万宁附中高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M ={x|x 2+x−2≤0}，Q ={x ∈N||x|≤2}，则M ∩Q =( )A. {0,1}B. {−2,−1,0,1}C. [−2,1]D. [0,1]2.设{a n }是首项大于零的等比数列，则“a 1<a 2”是“数列{a n }是递增数列”的( )A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件3.设a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列不等式正确的是( )A. 1a <1bB. ac 2<bc 2C. b a >a bD. a 2>ab >b 24.已知函数f(x)=e x (2x−1)x−1，则f(x)的大致图象为( )A. B.C. D.5.若正实数x ，y 满足xy +3x =3，则12x +y 的最小值为( )A. 7B. 8C. 9D. 106.设函数f(x)=log 2|x|−x −2，则不等式f(x−2)≥f(2x +2)的解集为( )A. [−4,0]B. [−4,0)C. [−4,−1)∪(−1,0]D. [−4,−1)∪(−1,0)7.已知函数f(x)={x 2−ax +5,(x ≤1)a x ,(x >1)满足对任意实数x 1≠x 2，都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1<0成立，则a 的取值范围是( )A. 0<a ≤3B. a ≥2C. a >0D. 2≤a ≤38.如图，圆锥的高SO = 3，底面直径AB =2，C 是圆O 上一点，且AC =1，若SA 与BC 所成角为θ，则sin 2θ2−cos 2θ2=( )A. 134B. −34C. 58D. − 134二、多选题：本题共3小题，共18分。
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高三年级第一次月考数学试卷一． 选择题(每小题5分，共60分)1．如图：从集合A 到集合B 的映射为)(x f ，则 )]}0([{111---f f f 的值为 （A ）0 (B)1 (C)2 (D)32. 设全集U=R ，集合M={x ⎜22>x }，N={x ⎜log x 7>log 37},那么M ∩(C U N)是 （ ）A ．{x ⎜x<-2}B ．{x ⎜x<-2或x ≥3}C ．{x ⎜x ≥3}D ．{x ⎜-2≤x<3}3．已知x ∈R ，y ∈R ＋，集合A ＝｛x 2＋x ＋1，－x ，－x －1｝，集合B ＝｛－y ，-2y ，y ＋1｝，若A ＝B ，则x 2＋y 2 的值是（ ）．（A ）5 （B ）4 （C ）25 （D ）104．关于x 的二次方程x 2＋（a 2－1）x ＋a －2＝0的一个根比1大，另一个根比1小的充要条件是（ ）．（A ）－1＜a ＜1 （B ）a ＜－1或a ＞1（C ）－2＜a ＜1 （D ）a ＜－2或a ＞1 5．若log a 2 ＜log b 2 ＜0，则（ ）．（A ）0＜a ＜b ＜1 （B ）0＜b ＜a ＜1 （C ）a ＞b ＞1 （D ）b ＞a ＞16. 已知函数32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，则)(x f 在区间)2,5(--上是（ ）A. 增函数B. 偶函数C. 部分为增函数，部分为减函数D. 无法确定增减性7．设)1](,1[>=b b A ，)(1)1(21)(2A x x x f ∈+-=，若)(x f 的值域也是A ，则b的值是 （ ）A. 23=bB. 2C. 3D. 278．将函数a x y +=3的图象C 向左平移一个单位后，得到y=f(x)的图象1C ，若曲线1C 关于原点对称，那么实数a 的值为（ ）（A ）1 （B ）-1 （C ）0 （D ）-3 9．商店某种货物进价下降8%，但销售价没变，于是这种货物的销售利润率［销售利润率=（销售价－进价）÷进价×100%］由原来的r %增加到(r +10)%,那么r 的值为A ．12B ．15C ．25D ．50BAf10．函数y ＝2e e xx --的反函数为)(1x f -(72.2≈e ) 则)(1x f- ( )A .是奇函数，它在（0，＋∞）上是减函数B.是偶函数，它在（0，＋∞）上是减函数C. 是奇函数，它在（0，＋∞）上是增函数D. 是偶函数，它在（0，＋∞）上是增函数11．已知函数1)21()(+=x x f ，则)(1x f --的图象可能是12.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示某信息经过该段网线所需的时间(单位：毫秒).信息由结点A 传递到结点B 所需的最短时间为( )A.5毫秒B.4.9毫秒C.4.8毫秒D.4.7毫秒二．填空题(每小题4分，共16分)13．集合A={2,4,a 3-2a 2-a+7},B={1,a+1,a 2-2a+2,-0.5(a 2-3a-8),a 3+3a+7},且A ∩B={2,5}，则实数a=__________。
.14．设函数)(x f v =是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB ，则在区间[1，2]上，)(x f = 。
15．(理科)若a ＞0,b ＞0，且a +2b =3,则ba 11+的最小值为____________。
16．读下列命题，请把正确命题的序号都填在横线上 .①若函数)(x f 对定义域中的x 总有)(),1()1(x f x f x f 则-=+是偶函数； ②函数)2()2(x f y x f y -=+=和的图象关于直线x =2对称； ③函数)(log 22x y y x -==-与的图象关于直线x y -=对称； ④函数xxx f +-=121)(的反函数的图象关于点（－2，－1）中心对称.高三年级第一次月考数学试卷一、选择题 (每小题3分，共36分)二、填空题(每小题4分，共16分)13________________ 14_______________________15________________ 16_______________________三、解答题17．已知集合A={x|x2-3x-10≤0}，B={x|m+1≤x≤2m-1},若A∪B=A 求实数m 的取值范围。
18．设a R a且1，解关于x的不等式，)]∈>>+-x2-xa(1[2loglog)1(aa19．（本小题12分）某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工业的年利润分别为P 和Q （万元），养殖业年利润与投入的资金a （万元）的关系是3aP =，养殖加工业的年利润与投入的资金a （万元）的关系是310aQ =。
该集团今年计划对这两项生产投入资金共60万元，为获得最大利润，对养殖业与养殖加工业生产每项投入多少万元？最大利润可获多少万元？20．定义在区间（－1,1）上的函数f(x)满足：①对任意x 、y ∈（－1,1）都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy );②当x ∈（－1,0）时，f(x)>0.（Ⅰ）求证：f(x)为奇函数；（Ⅱ）试解不等式f(x)+f(x-1)>f(12 ).21．（本题满分13分）已知f （x ）＝log a xx-+11（a ＞0，a ≠1）．（1）求f （x ）的定义域；（2）判断f （x ）的单调性，并予以证明； （3）求使f （x ）＞0的x 取值范围．22．（本小题满分12分）设是f (x )定义域在[-1，1]的奇函数，,]3,2[),2()(时而当∈-=x x g x fc x x x g ++-=4)(2（c 为常数）①求g (2)的值及常数C ；②求f (x )的表达式；③任意的.||2|)()(:|,],1,0[,12212121x x x f x f x x x x -<-≠∈求证且高三年级第一次月考数学试卷参考答案时量：120分钟 总分：150分 命题人：张杨柳 二．选择题(每小题5分，共60分)D B A C B A C B B C D C 三．填空题(每小题4分共16分)13．a=2 14. x 15. 3223+ 16. 答： ③④ 四．解答题17． 答：m ∈(-∞，3)18． 解：原不等式等价于不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--->>⇒⎪⎩⎪⎨⎧-+>->-+>-)3(0)2)(()2(12)1(1)2(1)1(0)2(1012x a x a x x x a x x a x 当12321221<<<>+>∴>-a x a x a a a a时，由得或，(), 且211212->-<<>a ax a x ，故或。
当a x x a ax x a ><>-<<>232212时，由得或，故或()。
当a x x R x =->∴∈≠232022时，变为，且()()，故此时不等式组的解为x x >≠322且。
19． 答：当对养殖业投入25万元，对养殖加工业投资35万元时，可获最大利润约为11.67万元。
20．解：（Ⅰ）令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),∴f(0)=0. 又令x ∈（－1,1），则-x ∈（－1,1），而f(x)+f(-x)=f(x-x1-x 2)=f(0)=0 ∴f(-x)=-f(x),即f(x)在（－1,1）上是奇函数. （Ⅱ）令－1<x 1<x 2<1,则x 1-x 2<0,1-x 1x 2>0,于是f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)+f(-x 2)=f(x 1-x 21-x 1x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2),所以f(x)在定义域上为减函数.从而f(x)+f(x-1)>f(12)等价与不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-<-<-<<-)21()112(111112f xx x f x x.213503*********111210222-<<⇔⎩⎨⎧+-<<⇔⎩⎨⎧+-<-<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-+-<<⇔x x x x x x x x x x x x 21．【略解】（1）∵xx-+11＞0，∴ f （x ）定义域为（－1，1）． （2）设－1＜x 1＜x 2＜1，则f （x 1）－f （x 2）＝log a1111x x -+－log a 2211x x -+＝log a )1)(1()1)(1(2121x x x x +--+ ＝log a)()1()()1(12211221x x x x x x x x -+----∵ －1＜x 1＜x 2＜1，∴ x 2－x 1＞0，∴ （1－x 1x 2）＋（x 2－x 1）＞（1－x 1x 2）－（x 2－x 1） 即)()1()()1(12211221x x x x x x x x -+----＜1．∴ 当a ＞1 时，f （x 1）＜f （x 2），在（－1，1）上是增函数． 当0＜a ＜1时，f （x 1）＞f （x 2），在（－1，1）上是减函数．（3）当a ＞0时，欲f （x ）＞0，则有x x-+11＞1，解得0＜x ＜1． 当0＜a ＜1时，欲f （x ）＞0，则有0＜xx-+11＜1，解得－1＜x ＜0．22．解：①4,0242)2(,0)0()2(2-=∴=+⨯+-===c c g f g 又②由①]3,2[,44)(2∈-+-=x x x x g⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈-=∴=--=∴-∈-∈-=--+--=-=∴∈--∈]1,0[]0,1[)()()(,)(]0,1[,]1,0[4)2(4)2()2()(]3,2[2,]0,1[22222x xx xx f x x f x f x f x x x x x x g x f x x 为奇函数且时时当③2121]1,0[,x x x x ≠∈且||2|||||||)()(|212121222121x x x x x x x x x f x f -<-+=-=-∴。