2017-2018年四川省达州市开江县九年级上学期期末数学试卷和答案

本文为word版资料，可以任意编辑修改2017-2018学年四川省达州市开江县九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知▱ABCD，对角线AC，BD相较于点O，要使▱ABCD为矩形，需添加下列的一个条件是（）A．OA=OB B．∠BAC=∠DAC C．AC⊥BD D．AB=BC2．（3分）如果2是方程x2﹣3x+k=0的一个根，则常数k的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣23．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A．B．C．D．4．（3分）一个不透明的袋子中有黄色和若干个白色的两种小球，这些球除颜色外其他完全相同，已知黄球有9个，每次摸球前先将袋子中的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后，放回袋中，再摇匀，再摸，通过大量重复摸球后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，估计袋子中白球的个数是（）A．15B．18C．20D．215．（3分）小明将四根长度相同的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD（接口处所用木条和木条的宽度、厚度都忽略不计），根据四边形的不稳定性，可以改变四边形的形状，当∠B=90°时，如图1，测得四边形ABCD的面积是4；当∠B=60°时，如图2，此时，四边形ABCD的面积是（）A．2B．2C．2D．36．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC边上的点，且DE∥BC，BE相较于点O，连接AO并延长交DE于点G，交BC边于点F，则下列结论中一定正确的是（）A．=B．=C．=D．=7．（3分）反比例函数y=图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1 8．（3分）王红与李娟两家人计划在国庆期间从九寨沟、熊猫基地、峨眉山这三个地方，任选一个地方自驾游，他们两家各确定一个地方，则他们两家恰好确定同一地方的概率是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，已知反比例函数y=（k＞0）在第一象限的图象上有A、B两点，过点B作BC⊥y轴于点C，现有一动点P从点A出发，沿A→B→C匀速运动，终点为C，在点P的运动过程中，分别过点P作PM⊥x轴于点M，PN ⊥y轴于点N，设四边形OMPN的面积为S，P点运动的时间为t，则S关于t 的函数图象大致是（）A．B．C．D．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边△BPC，延长BP，CP分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF相较于点H，给出下列结论：①AE=CF；②ED2=EP•EB；③△PFD∽△PDB；④∠BPD=135°，其中正确的是（）A．①②③④B．②③C．①②④D．①③④二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分，把最后答案直接填在答题卡对应横线上）11．（3分）如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）12．（3分）如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高13米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了侧得电线杆的高度，数学兴趣小组的同学进行了如下测量．某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为3米，落在地面上的影子BF的长为8米，而电信杆落在围墙上的影子GH的长度为3.5米，落在地面上的银子DH的长为6米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度是米．13．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，则k的取值范围是．14．（3分）如图，菱形ABCD的周长为12，∠DAB=60°，对角线AC上有两点E 和F（点E在点F的左侧），且要使四边形DEBF与菱形ABCD相似，则AE的长为．15．（3分）如图，已知点A、C在反比例函数y=的图象上，点B，D在反比例函数y=的图象上，a＞b＞0，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB=，CD=，AB与CD间的距离为6，则a﹣b的值是．16．（3分）已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形，点B1在y 轴上且坐标是（0，2），点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3在x轴上，C1的坐标是（1，0），B1C1∥B2C2∥B3C3，以此继续下去，则点A2018到x轴距离是．三、简答题（共72分，解答时应写出不要的文字说明、证明过程或盐酸步骤）17．（6分）解方程：2（x+5）2=x（x+5）18．（6分）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE 上．（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．（2）如果小明的身高AB=1.6m，他的影子长AC=1.4m，且他到路灯的距离AD=2.1m，求灯泡的高．19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，其边长为2，点A，点C分别在x轴，y轴的正半轴上，函数y=2x的图象与CB交于点D，函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点D，与AB交于点E，与函数y=2x的图象在第三象限内交于点F，连接AF、EF．（1）求函数y=的表达式，并直接写出E、F两点的坐标；（2）求△AEF的面积．20．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的最大整数值；（2）在（1）的条件下，若方程的实数根为x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1•x2的值．21．（7分）甲、乙两同学用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成面积相等的4个扇形）做游戏，游戏规则：甲同学转动甲转盘，指针所致的数作为x；已同学转动乙转盘，指针所指的数作为y，若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘．（1）用列表法或画树状图法表示出（x，y）的所有可能出现的结果．（2）求甲、乙两同学各转转盘一次所确定的点（x，y）落在反比例函数y=的图象上的概率．22．（8分）如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，AD=1．将△BCD 沿射线BD方向平移到△B'C'D'的位置，使B'为BD中点，连接AB'，C'D，AD'，BC'，如图②．（1）求证：四边形AB'C'D是菱形；（2）四边形ABC'D′的周长为；（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．23．（8分）某经销商经销的学生用品，他以每件280元的价格购进某种型号的学习机，以每件360元的售价销售时，每月可售出60个，为了扩大销售，该经销商采取降价的方式促销，在销售中发现，如果每个学习机降价1元，那么每月就可以多售出5个．（1）降价前销售这种学习机每月的利润是多少元？（2）经销商销售这种学习机每月的利润要达到7200元，且尽可能让利于顾客，求每个学习机应降价多少元？（3）在（2）的销售中，销量可好，经销商又开始涨价，涨价后每月销售这种学习机的利润能达到10580元吗？若能，请求出涨多少元；若不能，请说明理由．24．（11分）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD 是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．25．（12分）已知：如图，直线y=x+b与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，线段OA的长是方程x2﹣7x﹣8=0的一个根，请解答下列问题：（1）求点B坐标；（2）双曲线y=（k≠0，x＞0）与直线AB交于点C，且AC=5，求k的值；（3）在（2）的条件下，点E在线段AB上，AE=，直线l⊥y轴，垂足为点P （0，7），点M在直线l上，坐标平面内是否存在点N，使以C、E、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2017-2018学年四川省达州市开江县九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知▱ABCD，对角线AC，BD相较于点O，要使▱ABCD为矩形，需添加下列的一个条件是（）A．OA=OB B．∠BAC=∠DAC C．AC⊥BD D．AB=BC【解答】解：若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是：OA=OB，（对角线相等的平行四边形是矩形）故选：A．2．（3分）如果2是方程x2﹣3x+k=0的一个根，则常数k的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【解答】解：∵2是一元二次方程x2﹣3x+k=0的一个根，∴22﹣3×2+k=0，解得，k=2．故选：B．3．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A．B．C．D．【解答】解：俯视图为不规则四边形，只有C符合．故选C．4．（3分）一个不透明的袋子中有黄色和若干个白色的两种小球，这些球除颜色外其他完全相同，已知黄球有9个，每次摸球前先将袋子中的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后，放回袋中，再摇匀，再摸，通过大量重复摸球后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，估计袋子中白球的个数是（）A．15B．18C．20D．21【解答】解：∵通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，∴根据题意任意摸出1个，摸到黄色乒乓球的概率是：30%，设袋中白色乒乓球的个数为a个，则30%=．解得：a=21，∴白色乒乓球的个数为：21个．故选：D．5．（3分）小明将四根长度相同的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD（接口处所用木条和木条的宽度、厚度都忽略不计），根据四边形的不稳定性，可以改变四边形的形状，当∠B=90°时，如图1，测得四边形ABCD的面积是4；当∠B=60°时，如图2，此时，四边形ABCD的面积是（）A．2B．2C．2D．3【解答】解：∵AB=BC=CD=AD ，∴四边形ABCD 是菱形，当∠B=90°，四边形ABCD 是正方形，因为为面积为4，∴AB=BC=CD=AD=2，当∠B=60°时，连接AC ，则△ABC ，△ADC 都是等边三角形，∴S 四边形ABCD =2•S △ABC =2××22=2，故选：A ．6．（3分）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，且DE ∥BC ，BE 相较于点O ，连接AO 并延长交DE 于点G ，交BC 边于点F ，则下列结论中一定正确的是（ ）A ．=B ．=C ．=D ．=【解答】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，△DEO ∽△CBO ． ∴=，=． ∴=． 故选：C ．7．（3分）反比例函数y=图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1【解答】解：∵反比例函数y=中，k=6＞0，∴此反比例函数图象的两个分支在一、三象限；∵x3＞0，∴点（x3，y3）在第一象限，y3＞0；∵x1＜x2＜0，∴点（x1，y1），（x2，y2）在第三象限，y随x的增大而减小，故y2＜y1，由于x1＜0＜x3，则（x3，y3）在第一象限，（x1，y1）在第三象限，所以y1＜0，y2＞0，y1＜y2，于是y2＜y1＜y3．故选：B．8．（3分）王红与李娟两家人计划在国庆期间从九寨沟、熊猫基地、峨眉山这三个地方，任选一个地方自驾游，他们两家各确定一个地方，则他们两家恰好确定同一地方的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：记九寨沟、熊猫基地、峨眉山这三个地方分别为A、B、C，画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能结果，其中他们两家恰好确定同一地方的有3种结果，所以他们两家恰好确定同一地方的概率为=．故选：C．9．（3分）如图，已知反比例函数y=（k＞0）在第一象限的图象上有A、B两点，过点B作BC⊥y轴于点C，现有一动点P从点A出发，沿A→B→C匀速运动，终点为C，在点P的运动过程中，分别过点P作PM⊥x轴于点M，PN ⊥y轴于点N，设四边形OMPN的面积为S，P点运动的时间为t，则S关于t 的函数图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积S=K，保持不变，故排除B、C、D；②点P在BC上运动时，设路线A→B→C的总路程为l，点P的速度为a，则S=OC×CP=OC×（l﹣at），因为l，OC，a均是常数，所以S与t成一次函数关系．故选：A．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边△BPC，延长BP，CP分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF相较于点H，给出下列结论：①AE=CF；②ED2=EP•EB；③△PFD∽△PDB；④∠BPD=135°，其中正确的是（）A．①②③④B．②③C．①②④D．①③④【解答】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，在正方形ABCD中，∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°∴∠ABE=∠DCF=30°，∴AE=BE=CF；故①正确；∵PC=CD，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°，∴∠FDP=15°，∵∠DBA=45°，∴∠PBD=15°，∴∠EDP=∠EBD，∵∠DEP=∠DEP，∴△DEP∽△BED，∴=，即ED2=EP•EB，故②正确；∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，∴∠PFD≠∠PDB，∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误；∵∠PBD=15°，∠PBD=30°，∴∠BPD=135°，故④正确；故选：C．二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分，把最后答案直接填在答题卡对应横线上）11．（3分）如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：DF∥AC，或∠BFD=∠A，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）【解答】解：DF∥AC，或∠BFD=∠A．理由：∵∠A=∠A，==，∴△ADE∽△ACB，∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，∴△BDF∽△EAD．②当∠BFD=∠A时，∵∠B=∠AED，∴△FBD∽△AED．故答案为DF∥AC，或∠BFD=∠A．12．（3分）如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高13米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了侧得电线杆的高度，数学兴趣小组的同学进行了如下测量．某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为3米，落在地面上的影子BF的长为8米，而电信杆落在围墙上的影子GH的长度为3.5米，落在地面上的银子DH的长为6米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度是11米．【解答】解：过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N．则MB=EF=2，ND=GH=3，ME=BF=10，NG=DH=5．所以AM=10﹣2=8，由平行投影可知，=，即=，解得CD=11，即电线杆的高度为11米．故答案为：11．13．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，则k的取值范围是k＜．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，∴，解得：k＜．故答案为：k＜．14．（3分）如图，菱形ABCD的周长为12，∠DAB=60°，对角线AC上有两点E 和F（点E在点F的左侧），且要使四边形DEBF与菱形ABCD相似，则AE的长为．【解答】解：如图连接BD交AC于O．∵四边形ABCD是菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=AD=3，BD⊥AC，∵∠DAB=60°，∴∠DAO=∠DAB=30°，∴OD=AD=，AO=OD=，∵四边形DEBF与菱形ABCD相似，∴∠EDF=∠DAB=60°，∴∠EDO=∠EDF=30°，∴OE=OD=，∴AE=OA﹣OE=﹣=，故答案为．15．（3分）如图，已知点A、C在反比例函数y=的图象上，点B，D在反比例函数y=的图象上，a＞b＞0，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB=，CD=，AB与CD间的距离为6，则a﹣b的值是3．【解答】解：设点A、B的纵坐标为y1，点C、D的纵坐标为y2，则点A（，y1），点B（，y1），点C（，y2），点D（，y2）．∵AB=，CD=，∴2×||=||，∴|y1|=2|y2|．∵|y1|+|y2|=6，∴y1=4，y2=﹣2．∴AB=﹣==，∴a﹣b=3．故答案为：3．16．（3分）已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形，点B1在y 轴上且坐标是（0，2），点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3在x轴上，C1的坐标是（1，0），B1C1∥B2C2∥B3C3，以此继续下去，则点A2018到x轴距离是．【解答】解：如图，∵点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，B1C1∥B2C2∥B3C3，∴△B1OC1∽△B2E2C2∽B3E4C3…，△B1OC1≌△C1E1D1，…，∴B2E2=1，B3E4=，B4E6=，B5E8=…，∴B2018E4034=，作A1E⊥x轴，延长A1D1交x轴于F，则△C1D1F∽△C1D1E1，∴，在Rt△OB1C1中，OB1=2，OC1=1，正方形A1B1C1D1的边长为为，∴D1F=，∴A1F=，∵A1E∥D1E1，∴，∴A1E=3，∴，∴点A2018到x轴的距离是，故答案为：．三、简答题（共72分，解答时应写出不要的文字说明、证明过程或盐酸步骤）17．（6分）解方程：2（x+5）2=x（x+5）【解答】解：2（x+5）2﹣x（x+5）=0，（x+5）（2x+10﹣x）=0，x+5=0或2x+10﹣x=0，所以x1=﹣5，x2=﹣10．18．（6分）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE 上．（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．（2）如果小明的身高AB=1.6m，他的影子长AC=1.4m，且他到路灯的距离AD=2.1m，求灯泡的高．【解答】（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子．（2）解：由已知可得，=，∴=，∴OD=4m．∴灯泡的高为4m．19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，其边长为2，点A，点C分别在x轴，y轴的正半轴上，函数y=2x的图象与CB交于点D，函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点D，与AB交于点E，与函数y=2x的图象在第三象限内交于点F，连接AF、EF．（1）求函数y=的表达式，并直接写出E、F两点的坐标；（2）求△AEF的面积．【解答】解：（1）∵正方形OABC的边长为2，∴点D的纵坐标为2，即y=2，将y=2代入y=2x，得x=1，∴点D的坐标为（1，2），∵函数y=的图象经过点D，∴2=，解得k=2，∴函数y=的表达式为y=，∴E（2，1），F（﹣1，﹣2）；（2）过点F作FG⊥AB，与BA的延长线交于点G，∵E（2，1），F（﹣1，﹣2），∴AE=1，FG=2﹣（﹣1）=3，∴△AEF的面积为：AE•FG=×1×3=．20．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的最大整数值；（2）在（1）的条件下，若方程的实数根为x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1•x2的值．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△=（2）2﹣4m＞0，解得m＜2，∴最大整数m=1；（2）当m=1时，方程为x2﹣2x+1=0，由根与系数关系，得x1+x2=2，x1x2=1，∴x+x﹣x1•x2=（x1+x2）2﹣3 x1x2=（2）2﹣3×1=5．21．（7分）甲、乙两同学用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成面积相等的4个扇形）做游戏，游戏规则：甲同学转动甲转盘，指针所致的数作为x；已同学转动乙转盘，指针所指的数作为y，若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘．（1）用列表法或画树状图法表示出（x，y）的所有可能出现的结果．（2）求甲、乙两同学各转转盘一次所确定的点（x，y）落在反比例函数y=的图象上的概率．【解答】解：（1）所有可能出现的结果如下：（2）由题可得，有16种等可能的情况，其中点（x，y）落在反比例函数y=的图象上的有3种：（1，4），（2，2），（4，1），∴点（x，y）落在反比例函数y=的图象上的概率为．22．（8分）如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，AD=1．将△BCD 沿射线BD方向平移到△B'C'D'的位置，使B'为BD中点，连接AB'，C'D，AD'，BC'，如图②．（1）求证：四边形AB'C'D是菱形；（2）四边形ABC'D′的周长为4；（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．【解答】解：（1）∵BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，∴∠ADB=60°，由平移可得，B'C'=BC=AD，∠D'B'C'=∠DBC=∠ADB=60°，∴AD∥B'C'∴四边形AB'C'D是平行四边形，∵B'为BD中点，∴Rt△ABD中，AB'=BD=DB'，又∵∠ADB=60°，∴△ADB'是等边三角形，∴AD=AB'，∴四边形AB'C'D是菱形；（2）由平移可得，AB=C'D'，∠ABD'=∠C'D'B=30°，∴AB∥C'D'，∴四边形ABC'D'是平行四边形，由（1）可得，AC'⊥B'D，∴四边形ABC'D'是菱形，∵AB=AD=，∴四边形ABC'D′的周长为4，故答案为：4；（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如下：∴矩形周长为6+或2+3．23．（8分）某经销商经销的学生用品，他以每件280元的价格购进某种型号的学习机，以每件360元的售价销售时，每月可售出60个，为了扩大销售，该经销商采取降价的方式促销，在销售中发现，如果每个学习机降价1元，那么每月就可以多售出5个．（1）降价前销售这种学习机每月的利润是多少元？（2）经销商销售这种学习机每月的利润要达到7200元，且尽可能让利于顾客，求每个学习机应降价多少元？（3）在（2）的销售中，销量可好，经销商又开始涨价，涨价后每月销售这种学习机的利润能达到10580元吗？若能，请求出涨多少元；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得：60×（360﹣280）=4800（元），则降价前商场每月销售学习机的利润是4800元；（2）设每个学习机应降价x元，由题意得：（360﹣x﹣280）（5x+60）=7200，解得：x=8或x=60，由题意尽可能让利于顾客，x=8舍去，即x=60，则每个学习机应降价60元；（3）设应涨y元每月销售这种学习机的利润能达到10580元，根据题意得：（360﹣60+y﹣280）[5（60﹣y）+60]=10580，方程整理得：y2﹣52y+676=0，解得：y1=y2=26，则应涨26元每月销售这种学习机的利润能达到10580元．24．（11分）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD 是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【解答】解：（1）如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．（2）①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC==66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．∴∠ACB=96°或114°．（3）由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴=，设BD=x，∴（）2=x（x+2），∵x＞0，∴x=﹣1，∵△BCD∽△BAC，∴==，∴CD=×2=﹣．25．（12分）已知：如图，直线y=x+b与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，线段OA的长是方程x2﹣7x﹣8=0的一个根，请解答下列问题：（1）求点B坐标；（2）双曲线y=（k≠0，x＞0）与直线AB交于点C，且AC=5，求k的值；（3）在（2）的条件下，点E在线段AB上，AE=，直线l⊥y轴，垂足为点P （0，7），点M在直线l上，坐标平面内是否存在点N，使以C、E、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解方程x2﹣7x﹣8=0得：x=8，或x=﹣1，∵线段OA的长是方程x2﹣7x﹣8=0的一个根，∴OA=8，∴A（﹣8，0），代入y=x+b得：﹣4+b=0，∴b=4∴B（0，4）；（2）在Rt△AOB中，OA=8，OB=4，∴AB===4，过点C作CH⊥x轴于H，如图1所示：则CH∥OB，∴△AOB∽△AHC，∴，即，解得：CH=5，AH=10，∴OH=10﹣8=2，∴C（2，5），∵双曲线y=（k≠0，x＞0）经过点C，∴k=2×5=10；（3）存在，理由如下：分两种情况：①当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的一边时，过E作EG⊥x轴于G，作EM⊥AC交直线l于M，如图2所示：则EG∥OB，∴△AGE∽△AOB，∴==，∴EG=OB=1，AG=AO=2，∴OG=8﹣2=6，∴E（﹣6，1），∵EM⊥AC，∴设直线EM的解析式为y=﹣2x+c，把点E（﹣6，1）代入得：12+c=1，解得：c=﹣11，∴直线EM的解析式为y=﹣2x﹣11，当y=7时，7=﹣2x﹣11，∴x=﹣9，∴M（﹣9，7），∵C（2，5），∴点N的坐标为（﹣1，11）；当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的一边时，同理得出满足条件的另一点N 的坐标为（﹣7，3）；②当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的对角线时，作EG⊥l于G，CH⊥l于H，如图3所示：则∠EGM=∠MHC=90°，EG=7﹣1=6，CH=7﹣5=2，∵四边形EMCN是矩形，∴∠EMC=90°，由角的互余关系得：∠GEM=∠HMC，∴△EGM∽△MHC，∴，∴GM•MH=CH•EG=2×6=12，又∵GM+MH=6+2=8，∴GM=2，MH=6，∴M的坐标为（﹣4，7），∵E（﹣6，1），C（2，5），∴N（0，﹣1）；当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的对角线时，同理得出满足条件的另一点N的坐标为（﹣4，1）；综上所述：存在以C、E、M、N为顶点的四边形是矩形，点N的坐标为（﹣1，11）或（﹣7，3）或（﹣4，﹣1）或（0，﹣1）．百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度。