2014第七章第5讲

栏目 导引
第七章
立体几何
证明：(1)因为AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，
所以PH⊥AB. 因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD. 因为PH⊄平面ABCD，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD， 所以PH⊥平面ABCD.
栏目 导引
第七章
立体几何
(2)取 PA 中点 M，连接 MD， ME. 因为 E 是 PB 的中点，所以 ME 又因为 DF 1 AB，所以 ME 2 1 AB. 2 DF，所以四边形 MEFD 是平
栏目 导引
第七章
立体几何
判定线面垂直的四种方法 方法一：利用线面垂直的判定定理． 方法二：利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也 与这个平面垂直”． 方法三：利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与 另一个也垂直”．
方法四：利用面面垂直的性质定理．
栏目 导引
第七章
立体几何
1． (2012· 高考广东卷节选 )如图所示，在四棱锥 PABCD 中， AB⊥平面 PAD， AB∥ CD， PD＝ AD， E 是 PB 的中点， F 是 1 DC 上的点且 DF＝ AB， PH 为△PAD 中 AD 边上的高． 2 (1)证明： PH⊥平面 ABCD； (2)证明： EF⊥平面 PAB.
栏目 导引
第七章
立体几何
面面垂直的证明方法
面面垂直的证明问题，主要思路有两条：其一，用面面垂直
的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条 垂线；其二，用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二 面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角 为直角的问题．
栏目 导引
第七章
立体几何
2．如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB ＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点． 求证：(1)直线EF∥平面PCD； (2)平面BEF⊥平面PAD.
栏目 导引
第七章
立体几何
3．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到 空间四面体 ABCD( 如图 2) ，则在空间四面体 ABCD 中， AD与 BC的位置关系是( C ) A．相交且垂直 B．相交但不垂直 C．异面且垂直 D．异面但不垂直
解析：在图 1 中的等腰直角三角形 ABC 中，斜边上的中线 AD 就是斜边上的高，则 AD⊥ BC，翻折后如图 2， AD与 BC变成 异面直线，而原线段BC变成两条线段 BD、CD，这两条线段 与AD垂直，即 AD⊥ BD， AD⊥ CD.又BD∩CD＝ D，故AD⊥ 平面BCD，所以AD⊥BC.
栏目 导引
第七章
立体几何
解析： (1)取 AB 的中点 E， 则 PA∥EF.设 PD＝DC＝a， 5 1 2 1 3 易求得 DE＝ a，FE＝ PA＝ a，DF＝ PB＝ a. 2 2 2 2 2 由于 DE2＝EF2＋DF2，故 DF⊥EF， 又 EF∥PA，∴DF⊥PA.
栏目 导引
第七章
图形语言
符号语言
a 、b⊂α __________ a ∩b＝O _________
______ l⊥ b l⊥ a
⇒l⊥α
a⊥α _______ b⊥α ______
⇒ a∥ b
平行
栏目 导引
第七章
立体几何
2.直线与平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 _____，
∠ PAO 就是斜线 叫做这条直线和这个平面所成的角．如图， ______
AP 与平面 α 所成的角． π (2)线面角 θ 的范围： θ∈ 0，2 .
栏目 导引
第七章
立体几何
二、特殊点在平面上的射影 1．△ABC所在平面外一点P在平面ABC内射影为O， (1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC外心 (2)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC内心或旁心 (3)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心 2．∠ACB所在平面外一点P在平面ACB内射影为O (1)若∠PCA＝∠PCB，则O在∠BCA的平分线上 (2)若P到∠BCA两边距离相等，则O在∠BCA的平分线上
栏目 导引
第七章
立体几何
1．已知直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的位置关系是( B ) A．平行 B．垂直
C．异面
D．以上都有可能
栏目 导引
第七章
立体几何
2. 如图， O 为正方体 ABCD － A1B1C1D1 的底面 ABCD 的中心， 则下列直线中与B1O垂直的是( D )
A．A1D B．AA1 C．A1D1 D．A1C1 解 析 ： 易 知 A1C1 ⊥ 平 面 BB1D1D. 又 B1O ⊂ 平 面 BB1D1D ， ∴A1C1⊥B1O.
所以BE∥平面PAD.
栏目 导引
第七章
立体几何
(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形， 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD， 所以PA⊥CD. 所以CD⊥平面PAD. 所以CD⊥PD. 因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PD∥EF.所以CD⊥EF. 又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E， 所以CD⊥平面BEF. 所以平面BEF⊥平面PCD.
栏目 导引
第七章
立体几何
证明：(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点， 所以EF∥PD. 又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD， 所以直线EF∥平面PCD. (2)如图，连接BD. 因为AB＝AD，∠BAD＝60°， 所以△ADB为正三角形． 因为F是AD的中点， 所以BF⊥AD. 因为平面 PAD ⊥平面 ABCD ，平面 PAD∩平面 ABCD ＝ AD ， BF⊂平面ABCD， 所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF， 所以平面BEF⊥平面PAD.
栏目 导引
第七章
立体几何
练习2 已知长方体AC1中，棱AB＝BC＝1， 棱BB 1＝2 ，连结B1 C，过B点作 B 1C 的垂线交 CC1于E，交B1C于F. (1)求证A1C⊥平面EBD； (2)求点A到平面A1B1C的距离．
栏目 导引
第七章
立体几何
解析：(1)连结AC，则AC⊥BD， ∵AC是A1C在平面ABCD内的射影，∴A1C⊥BD； 又A1B1⊥面B1C1CB，且A1C在平面B1C1CB内的射影B1C⊥BE， ∴A1C⊥BE. 又∵BD∩BE＝B，∴A1C⊥面EBD. (2)易证：AB∥ 平面A1B1 C，所以点B到平面A1 B1 C的距离等于 点A到平面A1B1C的距离，又BF⊥平面A1B1C.
符号语言
l___ ⊂β ⇒ α⊥ β l____ ⊥α α ⊥β ___ l⊂β ______ ⇒ l⊥ α α ∩ β ＝ a ___________ l ⊥a _____
交线 垂直于 ____的直线
垂直于另一个平面

栏目 导引
第七章
立体几何
平面与平面垂直的判定与性质 (2013· 高 考 北 京 卷 ) 如 图 ， 在 四 棱 锥 PABCD 中 ， AB ∥ CD ， AB ⊥ AD ， CD ＝ 2AB ，平面 PAD ⊥底面 ABCD ， PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD.
立体几何
(2)在线段AD上存在点G，使GF⊥平面PBC，且G点是AD的 中点． 取AD的中点G，连结PG、BG，则PG＝BG.又F为PB的中点 ，故GF⊥PB. ∵F为PB中点， ∴F点在底面ABCD上的射影为正方形ABCD的中心O， ∴GO为GF在平面ABCD上的射影， ∵GO⊥BC，∴GF⊥BC， ∵BC、PB是平面PBC内的两条相交直线， ∴GF⊥平面PBC.
垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的 半平面内分别作__________ 角叫做二面角的平面角．
栏目 导引
第七章
立体几何
4．平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言
判 定 定 理 性 质 定 理 一个平面过另一个 平面的一条_____ 垂线 ， 则这两个平面互相 垂直 两个平面互相垂 直，则一个平面内
行四边形，所以 EF∥ MD. 因为 PD＝ AD，所以 MD⊥ PA. 因为 AB⊥平面 PAD，所以 MD⊥ AB. 因为 PA∩ AB＝ A，所以 MD⊥平面 PAB， 所以 EF⊥平面 PAB.
栏目 导引
第七章
立体几何
[例2] (文)如图，在四棱锥P－ABCD中， PD ⊥底面 ABCD ，底面 ABCD 为正方形 ，PD＝DC，F是PB的中点．求证： (1)DF⊥AP. (2) 在线段 AD 上是否存在点 G ，使 GF ⊥平 面 PBC ？若存在，说明 G 点的位置，并 证明你的结论；若不存在，说明理由．
(2013· 高考课标全国卷Ⅰ)
如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，CA＝ CB，AB＝ AA1，∠ BAA1 ＝ 60° . (1)证明： AB⊥ A1C； (2)若 AB＝ CB＝ 2，A1C＝ 6，求三棱柱 ABCA1B1C1 的体积．
栏目 导引
第七章
立体几何
[解 ] (1)证明： 取 AB 的中点 O，连接 OC， OA1， A1B. 因为 CA＝ CB，所以 OC⊥ AB. 由于 AB＝ AA1，∠ BAA1＝ 60° ， 故△ AA1B 为等边三角形，所以 OA1⊥ AB. 因为 OC∩ OA1＝ O，所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C⊂ 平面 OA1C，故 AB⊥ A1C. (2)由题设知△ ABC 与△ AA1B 都是边长为 2 的等边三角形， 所 以 OC＝ OA1＝ 3. 又 A1C＝ 6，则 A1C2＝ OC2＋ OA2 1，故 OA1⊥ OC. 因为 OC∩ AB＝ O ，所以 OA1 ⊥平面 ABC， OA1 为三棱柱 ABCA1B1C1 的高． 又△ ABC 的面积 S△ ABC＝ 3， 故三棱柱 ABCA1B1C1 的体积 V ＝ S△ ABC· OA1＝ 3.