浅谈微分中值定理在证明中的应用
(整理)微分中值定理的证明与应用
微分中值定理的证明与应用B09030124 孙吉斌一 中值定理及证明：1. 极值的概念和可微极值点的必要条件:定理 ( Fermat ) 设函数f 在点0x 的某邻域内有定义，且在点0x 可导，若点0x 为f 的极值点，则必有 0)(0='x f 罗尔中值定理：若函数f 满足如下条件：（i ）f 在闭区间[a ，b]上连续；（ii ）f 在开区间（a ，b ）内可导；（iii ）)()(b f a f =，则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得f '（ξ）=0。
证明：因为f 在［a,b ］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M 与m 表示，现分两种情况讨论：(i)若M = m , 则 f 在［a,b ］上必为常数，从而结论显然成立。
(ii)若m ＜ M ，则因 f (a)=f (b)，使得最大值M 与最小值m 至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点，由条件(ii) f 在点ξ处可导，故由费马定理推知)(ξf '=0.注1：罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。
注2：习惯上把结论中的ξ称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立。
例如： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-<=2x 1,11x 2,01|x |,x F(x)x易见，F 在x=-1不连续，在x=±1不可导，F(-2)≠F （2）, 即罗尔定理的三个条件均不成立，但是在（-2，2）内存在点 ξ, 满足 0)(='ξF注3：罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个，例如：⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0x 0,0x ,sin x f(x)x 142在 [-1，1] 上满足罗尔定理的条件，显然⎪⎩⎪⎨⎧=-='0x 0,cos sin 2x sin 4x (x)f x 1x 1x 1232在（-1，1）内存在无限多个 n c =)(21z n n ∈π使得)(n c f '=0。
微分中的中值定理及其应用
微分中的中值定理及其应用微分中的中值定理是微积分中的基本定理之一，它在数学和物理学中具有重要的应用。
本文将介绍微分中的中值定理及其应用，并展示其在实际问题中的解决方法。
一、中值定理的概念与原理中值定理是微分学中的重要理论，它涉及到函数在某个区间上的平均变化率与瞬时变化率之间的联系。
其中最常见的三种形式为：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 罗尔定理罗尔定理是中值定理的基础，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a) = f(b)，则在开区间(a, b)上至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
罗尔定理可通过对函数在该区间的最大值和最小值进行讨论得出，它主要用于证明函数在某一区间上恒为常数的情况。
2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理的一种推广，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
拉格朗日中值定理的证明可以通过构造辅助函数g(x) = f(x) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]x来完成，它可以将任意两点间的斜率与函数在某一点的导数联系起来。
3. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的进一步推广，它的表述为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则至少存在一点c，使得[f(b) - f(a)]/g(b) - g(a) = f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理可以用来研究函数间的关系，它提供了一种描述两个函数在某一区间上的变化率相等的条件。
二、中值定理的应用中值定理不仅仅是一种理论工具，还具有广泛的应用。
下面将介绍中值定理在实际问题中的应用案例。
1. 最速下降线问题最速下降线问题是求解两个给定点之间的最短路径问题。
最新-微分中值定理的证明、推广以及应用 精品
微分中值定理的证明、推广以及应用篇一：微分中值定理的证明及应用微分中值定理的证明及应用摘要：文章首先介绍了微分中值定理证明时的一种规律性简明方法，即通过构造辅助函数来达到罗尔定理的条件以便利用罗尔定理来证明其他微分中值定理，并且就用这种方法证明了拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
然后分类列举微分中值定理在证明等式、不等式、求极限以及在讨论方程根的存在性方面的应用，而且微分中值定理即罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理在不同的解题应用方面是各有优劣的，又是相互互补渗透的，因此我们在解题时也要学会综合运用它们。
关键词：罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理辅助函数我们知道微分中值定理是整个微分学的理论基础，并且它在数学分析中也占有重要地位作用，它也是连接函数与导数的纽带与桥梁，而我们知道函数在某一点的导数是一种局部性质。
在实际研究中我们有时需要从函数的整体出发考虑其全局性质，因而正式微分中值定理可以解决这种由局部到全局或者有全局到局部的问题。
笔者在学习中借鉴和总结了微分中值定理证明时的一种规律性简明方法，并且简单地讨论了微分中值定理的各种应用。
1微分中值定理的证明11对中值定理[1]的简单证明分析：拉格朗日中值定理的证明要用到罗尔定理，但是定理所给出的已知条件不能够满足罗尔定理条件中的()?()故此我们需要构造一个新的函数，不妨记为()使它满足罗尔定理的全部条件，为此设?()?()?则()?()?(?)即()??()?（1）由（1）可构造新函数()?()?,有题设可知()在[,]上连续，在（,）内可导，且()?(),因此()满足罗尔定理的全部条件。
所以函数()?()?,即我们要构造的函数。
证明：构造辅助函数()?()?,其中?()?()?根据已知条件和连续函数的性质，我们可以知道()在闭区间[,]上是连续的，在开区间（,）内是可导的，并且还有()?(),所以我们可以根据罗尔定理就可以得到函数()在(,)内至少存在一点?,使得?(?)??(?)??0即?(?)?()?()?,故证得()?()??(?)(?)12对中值定理[1]的简单证明分析：若用定理证明这个定理，需要构造一个辅助函数并且使它满足定理的条件，不妨设?()?()()?(),可变形为()?()?()?()（2）由（2）可构造辅助函数()?()?(),有题设可知()在[,]上连续，(,)内可导且()?(),因而()满足定理的条件，即()?()?()为所要构造的函数。
微分中值定理的证明及其应用
微分中值定理的证明及其应用[摘要] 微分中值定理是微分学的基本理论,也是微分学的理论基础。
数学分析中,介绍了罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理三个中值定理。
本文主要探讨微分中值定理的几何意义及证明过程中辅助函数的构造,结合教学过程中出现的问题,通过具体实例探讨微分中值定理在函数性态各方面的应用。
[关键词] 中值定理辅助函数根的存在性待定系数法数学分析中,一般在证明罗尔定理的基础上,通过构造辅助函数,然后验证辅助函数满足罗尔定理的假设条件,最后利用罗尔定理的结论得出拉格朗日定理的证明。
其关键是如何构造辅助函数,一旦辅助函数构造出来,余下的问题便容易解决了。
首先介绍微分中值定理的几何意义和辅助函数的构造及定理的证明。
一、微分中值定理证明中辅助函数的探讨若函数在闭区间上连续,其图形是一段连续的曲线弧。
当在区间两个端点的函数值相等(即)时,线段ab平行于轴,其斜率为零。
若函数在内每一点都可导,对应曲线弧上每一点都有切线,此时,从图可以看出,在曲线弧上,至少可以找到一点m,弧在此点的切线与线段ab平行,即切线的斜率为零。
若记m,则切线mt的斜率为,且。
上述的几何直观进行归纳,得到如下定理:定理1:(罗尔定理)若函数满足下列三个条件:(1)在闭区间上连续;(2)在开区间内可导;(3)。
则至少存在一点,使。
(如图)以上只是从几何直观得出罗尔定理,但要注意,图形的直观并不是严格意义的数学证明(数学分析教材中已给出定理的详细证明)。
罗尔定理中的三个假设条件,缺一不可,否则定理结论不一定成立。
例如:(1)在处不连续,缺少第一条假设。
(2)在处不可导,缺少第二条假设。
(3) 因为,缺少第三条假设。
这三个函数都不能在各自的定义域内找到,使得。
若将图形绕a点旋转,将旋转后的图形所对应的函数仍记作,函数的定义域区间仍记作,由于旋转后所得曲线两个端点不相等,即,由于罗尔定理中条件(1)和(2)保持不变,而弦ab的斜率为 .由图形可以看出, 在曲线弧上,至少可以找到一点m,过此点的切线与线段ab 平行。
微分中值定理和洛必达法则证明及应用浅析
微分中值定理和洛必达法则证明及应用浅析一、微分中值定理的证明和应用1.拉格朗日中值定理的证明：拉格朗日中值定理表述如下：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
拉格朗日中值定理是根据泰勒展开式推导而来。
设函数f(x)在区间[a,b]上满足条件，则对于任意的x∈(a,b)，都可以将f(x)展开成泰勒级数，即：f(x)=f(a)+f'(c)(x-a)其中c∈(a,b)。
因此，当x在(a,b)范围内变化时，根据泰勒展开式可知，存在至少一个c使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
2.拉格朗日中值定理的应用：拉格朗日中值定理常用于证明函数的性质以及求解函数的近似值，如用于证明介值定理、判定函数单调性、证明零点存在等。
它也可以用于求解极值问题，通过求解函数的导数等于零的方程，找到函数的极值点。
此外，拉格朗日中值定理还可以用于证明柯西中值定理。
3.柯西中值定理的证明：柯西中值定理是微分中值定理的推广，它表述如下：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，并且g'(x)≠0，则存在至少一点c∈(a,b)使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理的证明可以通过构造辅助函数来实现。
设辅助函数h(x)=[f(b)-f(a)][g(x)-g(a)]-[g(b)-g(a)][f(x)-f(a)]，然后根据辅助函数的性质，利用拉格朗日中值定理证明存在一些c，使得h'(c)=0。
进而，可以得到[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)。
4.柯西中值定理的应用：柯西中值定理常用于证明函数之间的关系以及求解函数的极值问题。
例如，可以用柯西中值定理来证明洛必达法则，即如果两个函数f(x)和g(x)在x->a时都趋于零，且g'(x)≠0，则f'(x)/g'(x)在x->a时也趋于零。
微分中值定理及其应用
微分中值定理及其应用一、本文概述《微分中值定理及其应用》是一篇深入探讨微分学中值定理及其在实际应用中的作用的学术性文章。
微分中值定理是数学分析领域中的一个核心概念，它建立了函数在特定区间内的变化与其导数之间的紧密联系。
本文旨在通过对微分中值定理的深入剖析，揭示其在理论研究和实际应用中的广泛价值。
文章首先介绍了微分中值定理的基本概念，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等。
这些定理不仅在数学分析中占有重要地位，而且在实际应用中发挥着重要作用。
接着，文章通过一系列实例展示了微分中值定理在几何、物理、工程等领域的应用，如曲线形状的判定、物体运动的分析、工程设计的优化等。
本文还关注微分中值定理在经济学、生物学等社会科学领域的应用。
通过引入这些领域的实际案例，文章进一步强调了微分中值定理在解决实际问题中的重要作用。
文章对微分中值定理的应用前景进行了展望，探讨了其在未来科学研究和技术发展中的潜在影响。
《微分中值定理及其应用》是一篇系统介绍微分中值定理及其在各个领域应用的综合性文章。
通过本文的阅读，读者可以全面了解微分中值定理的基本知识和应用技巧，为深入研究和实际应用打下坚实基础。
二、微分中值定理概述微分中值定理是微积分理论中的核心内容之一，它揭示了函数在某区间内与导数之间的紧密联系。
这些定理不仅为函数的研究提供了重要的工具，还在解决实际问题中发挥了重要作用。
微分中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理。
罗尔定理是微分中值定理的基础，它指出如果一个函数在某闭区间上连续，在开区间内可导，并且区间两端点的函数值相等，那么在这个开区间内至少存在一点，使得该点的导数值为零。
拉格朗日定理是罗尔定理的推广，它进一步指出，如果存在满足上述条件的点，那么该点的导数值等于函数在区间两端点值的差与区间长度的商。
柯西定理则是拉格朗日定理的推广，它涉及到两个函数在相同区间上的性质。
这些定理在实际应用中具有广泛的价值。
微分中值定理的应用
一、 用微分中值定理证明函数恒等式1. 欲证：当x I ∈时，有恒等式()f x a =解题程序：⑴验证()0f x '=，由此推出()f x C =;⑵取区间I 内的一个特殊值确定常数：若0x I ∈,则有()0f x a =，即C a =。
2. 欲证两个函数恒等：当x I ∈时，有()()f x g x =若令()()()F x f x g x =-，这时化为1中0a =的情形。
3. 用拉格朗日中值定理证明函数恒等式 如证明arcsin arccos , 1.2x x x π+=≤ 二、 直接用微分中值定理证明中值等式所谓中值等式或中值不等式，就是证明等式或不等式仅在区间内的一点或至少一点成立。
证明中值等式须用微分中值定理，泰勒公式或积分中值定理。
下述情况的中值等式，一般需用微分中值定理证明 ⑴若题设函数()f x 或()f x 与()g x 在区间[],a b 上连续，在区间(),a b 内可导（或隐含），欲证：至少存在一点(),a b ξ∈或存在(),a b ξ∈，使一个等式成立，且等式中含有()(),f f ξξ'''或()(),f g ξξ''等。
若欲证：存在惟一一点(),a b ξ∈使等式成立，除证明存在(),a b ξ∈之外，一般尚需用反证法或函数的单调性证明惟一性。
直接用微分中值定理证明等式的解题思路：⑴ 若欲证等式本身就是或可改写成中值定理的形式，则可直接选用相应的微分中值定理：若存在(),a b ξ∈，使()0f ξ'=成立的形式，则()f x 用洛尔定理；若形如()()()()()()()()()()()()(),,;,01;,01fb f a f b aa b f b f a f a b a b a f x h f x f x h ξξθθθθ'-=-∈'-=+--<<'+-=+<< 的等式，则()f x 用拉格朗日中值定理。
微分中值定理的应用
微分中值定理的应用微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它通过与导数相关的理论和概念，揭示了函数在某些特定条件下的性质和变化规律。
本文将讨论微分中值定理在实际问题中的应用。
一、速度与加速度微分中值定理可以应用于描述物体的速度和加速度问题。
假设一个物体沿直线运动，由于速度是位移对时间的导数，所以可以利用微分中值定理计算某一时刻的速度。
同样地，加速度是速度对时间的导数，也可以通过微分中值定理计算某一时刻的加速度。
例如，某车沿直线行驶，已知车辆的位移函数为s(t)，其中t表示时间。
根据微分中值定理，存在某个时刻t=a，使得车辆在该时刻的瞬时速度等于平均速度。
根据函数关系式，瞬时速度可以通过求导数得到，平均速度可以通过位移差除以时间差得到。
因此可以利用微分中值定理求解该时刻的速度。
二、斜率与切线微分中值定理还可以应用于描述函数图像的斜率和切线问题。
函数的导数表示了函数在某一点处的切线斜率。
根据微分中值定理，存在某一点c，使得函数曲线在c点的切线斜率等于曲线上任意两点间的平均斜率。
以函数y=f(x)为例，其中f(x)在区间[a,b]上连续且可导。
根据微分中值定理，存在某一点c∈(a,b)，使得曲线上任意两点(x1, f(x1))和(x2,f(x2))的斜率等于函数在c点处的切线斜率。
这意味着，在求解函数曲线上某点的切线斜率时，可以寻找合适的区间进行计算，从而简化问题的求解。
三、最值与极值微分中值定理还可以应用于求解函数的最值和极值问题。
首先，函数的最大值和最小值出现在函数的驻点和端点处。
其次，驻点是函数导数等于零的点，也是函数极值点的候选点。
利用微分中值定理，可以将函数极值的求解转化为导数的求解。
假设函数f(x)在[a,b]上连续且可导，根据微分中值定理，存在某点c∈(a,b)，使得函数在c点的导数等于函数在[a,b]上的平均变化率。
因此，可以通过求解导数等于零的方程，得到函数在该区间上的驻点。
进一步通过计算二阶导数和边界条件，可以判断这些驻点是极大值还是极小值。
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浅谈微分中值定理在证明中的应用
作者：李娜
来源：《科教导刊》2018年第04期
摘要本文结合几道有关中值定理方面的典型例题，针对学生在学习中的难点进行详细的分析，从三个方面进行总结和归纳。
关键词微分中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理构造法
中图分类号：O172.1 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdks.2018.02.025
Application of Differential Mean Value Theorem in Proof
LI Na
（Zhengzhou Technology and Business University， Zhengzhou， Henan 451400）
Abstract In this paper， some typical examples of the mean value theorem are discussed， and the difficulties in learning are analyzed in detail and summarized from three aspects.
Keywords differential mean value theorem； rolle's theorem； lagrange's mean value theorem；cauchy mean value theorem； construction method
在“高等数学”这门课中，微分中值定理是微分学部分应用的基础，是用微分法研究函数性态的重要工具，是从研究函数的局部性质到研究函数的整体性质的桥梁，因此能恰当地应用微分中值定理就显得尤为重要。
微分中值定理是罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理等的统称，利用微分中值定理可以证明方程根的存在性，证明等式或不等式的成立。
由于它的应用难度较大，很多学生在学习这部分的内容时一头雾水，下面从几个方面对微积分定理在证明中的应用进行详细的分析。
1 利用中值定理证明方程根的唯一性
例证明方程有且只有一个小于1的正根。
析“有”表示方程的根存在，需用到零点定理，“只有一个”表示方程的根是唯一的，需用到罗尔定理来做。
证（1）存在性令，则在[0，1]上连续，且，由零点定理可知，（0，1），使得。
即是方程的小于1的正根。
（2）唯一性（反证法）设方程另有一根（0，1），且使得。
不妨设，由于在上满足罗尔定理的条件，至少存在一个，使得。
这与矛盾。
故方程有且只有一个小于1的正根。
2 利用中值定理证明等式的成立
例证明恒等式，。
析要想证明该等式成立，需分两步来证：首先需证等式左边的函数是一个常值函数，然后证明这个常数就是等式右边的数值。
证设，则。
由拉格朗日中值定理的推论可知，。
又因当时，，故，。
例设在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且，证必有一点，使得。
析要使成立，即需成立。
变形得，即。
因此需要构造辅助函数，利用罗尔定理来进行证明。
证设，则在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且（0）=（1）=0，由罗尔定理可知（0，1），使得。
又因，得，也即成立。
例设在上连续，在内可导，求证存在一点，使得。
析所证结论可看作
，也即。
故需利用拉格朗日中值定理进行证明。
证设，在[a，b]上连续，在（a，b）内可导。
由拉格朗日中值定理可知，使得。
又因，得，得证。
例设，在上连续，在内可导，求证存在一点，使得
析要证，即证。
因此需设，利用柯西中值定理进行证明。
证设，则均在上连续，在内可导，且。
由柯西中值定理可知，，使得。
代入整理即得，即，证毕。
3 利用中值定理证明不等式的成立
例证明不等式成立。
析对于此类的不等式，一般都是从中间项入手，结合拉格朗日中值定理进行证明。
之所以可以用拉格朗日中值定理进行证明不等式的成立，主要是因为拉格朗日中值定理的结论中含有不确定的。
证设则在[0， ]上连续，在（0，）内可导。
由拉格朗日中值定理可知，，使得。
又因。
即。
又，成立。
例设在（a，b）内，试证：对于（a，b）内的任意2个不同点，有。
析一般来说，题设条件中具有二阶或二阶以上的导数时，往往需要应用泰勒公式（介于和之间）来证。
证将在处展开，得
，其中介于和之间。
上式中分别取及，得
上面两式相加，得
由于，故。
即成立。
注若题中条件改为，而其余条件不变，则结论改为。
微分中值定理的应用是重点，也是难点，因此在学习的过程中，需要学生去多多观察。
用心体会，化难为易，便会收获满满。
参考文献
[1] 同济大学数学系.高等数学.第七版[M].高等教育出版社，2015.
[2] 荆天.柯西中值定理及其应用[J].科技信息（学术研究），2008（27）.
[3] 舒苏.微分中值定理的解题分析[J].江苏教育学院学报（自然科学版），2012（6）.
[4] 向长福.微分中值定理的教学研究[J].曲靖师范学院学报，2014（3）.
[5] 党艳霞.浅谈微分中值定理及其应用[J].廊坊师范学院学报（自然科学版），2010（1）.。