一类有理差分方程的全局渐近稳定性

合集下载

一类线性差分方程组解的稳定性分析

理学硕士学位论文一类线性差分方程组解的稳定性分析郭亮哈尔滨工业大学2004年7月图书分类号：O241.84U.D.C.: 517.962.2理学硕士学位论文一类线性差分方程组解的稳定性分析硕士研究生：郭亮导师：薛小平教授申请学位级别：理学硕士学科、专业：基础数学所在单位：理学院数学系答辩日期：2004年7月授予学位单位：哈尔滨工业大学Classified Index：O241.84U.D.C.: 517.962.2A Dissertation for the Degree of Master of ScienceSTABILITY OF LINEAR DIFFERENCEEQUATIONSCandidate：Guo LiangSupervisor：Prof. Xue XiaopingAcademic Degree Applied for：Master of Science Speciality：Pure Mathematics Affiliation：Department of Mathematics Date of Defence：July, 2004Degree-Conferring-Institution：Harbin Institute of Technology哈尔滨工业大学理学硕士学位论文摘要差分方程是和微分方程相平行的一个数学理论，它不但在数学各分支内应用甚广，而且由于电子计算机的迅速发展和广泛使用，它已成为现代控制理论、通讯理论等科技领域内的一个基本数学工具。

用差分方程描述动力系统稳定性的研究是李雅普诺夫稳定性理论的近代内容。

Lyapunov函数法、LaSalle不变原理、比较原理虽然是研究离散系统稳定性的一般方法，但应用这些方法构造V函数技巧性强，因此无一般规律可言。

如果能够根据系统本身的参数，得出一系列简单实用的离散系统稳定性代数判据，这就会使一些离散系统稳定性问题得到简化，更加简洁实用。

差分方程的相容性收敛性和稳定性ppt课件

u

t

2u x2
n j

1 2
2u t 2
t

1 6
3u t 3
t 2
(t3)

(x
2
)
n
j

当 t, x 0时，上等式右侧所有项都趋近0，差分方程趋近
于原微分方程，即FTCS差分方程和原方程是相容的。
关于差分方程相容性需要作以下说明：
程就不满足相容性条件，差分方程也就不逼近于微分方程。
③ 相容性条件不仅要求差分方程截断误差Rnj 趋近于0，而且要求差分方程定解条件截断误差rjn 也同时趋近于0。
④ 差分格式有两种不同形式的相容性，即无条件相容和有条件相容。
6
2.4.2 收敛性（Convergence ）
差分方程收敛性是讨论当 t, x 0 时，差分方程的解和微分方程的解是否一致性的问题，也就是讨论差分方程的解和微分方程的解的逼近程度。
在这一节中我们首先对差分方程有效性的一些基本概念（如相容性、收敛性、稳定性）作简单介绍，为本章以后各节的分析讨论奠定基础。
2
2.4.1 相容性（Consistency ）
差分方程相容性是讨论当 t, x 0 时，差分方程逼近于微分
方程的程度，因此，相容性是讨论差分方程和微分方程的关系。
max j
enj
max j
en1 j
O(x, t)
…
max j
e1j
max j
e0j
O(x, t)
10
由此可得到：
max j
en1 j
max j
e0j
O(x, t)

一类二阶差分方程渐近稳定性质的证明

的证明方法．
每一个￡０存在＞０＞，，当ｚ１ｚ，０∈ （，ｏ）０＋ｏ
且Ｊ。｝Ｊ一一＜时，一＋ｆ５０５０有
ｌ一０ｌ５＜，Ｖ ≥一１．定义３平衡解称作局部渐近稳定的，如
果它是局部稳定的且存在ｙ０一，。（，＞，当０ ∈ ０５
１预备知识
考虑差分方程
５ｗｂｌ：Ｃ
＋ｏ）ｌ。ＩＩ一一Ｉｙ有０且一＋＜时，ｚｚ
Hale Waihona Puke 定、局渐近稳定、体吸引子，给出了与文献［］ＫｌｏｉＭ，ａａ．ＤｎｍｉｆＳｃｎｒｅ全整并１（ｕｅｖｃＲＳＬｄｓＧｙａｃｏｅｏｄＯｄｒｎｓ
ＲｔｎｌｉｅｅｃｑａｉｓａｉａＤｆｒｎｅＥｕｔｎ．ＷａｈｎｔｎＣａｎ＆Ｈａ，００９～０．不同的证明方法．ｏｆｏｓｉｇｏ：ｈｐＭａｌ２０：３１１）ｌ
定义１ａ称为方程（）的平衡解，果ａ满Ｔ１如Ｔ
足＝．
ｑｚ十ｚ
Ｔｎ１Ｘ－
渐近稳定性质方
定义２平衡解称作局部稳定的，果对如
面的定理，文针对其中３个定理给出与其不同本
Ａｂｔａｔｓｒｃ：Ａｃｏｄｎｈｉｅｅｔｃｎｉｉｎ，ｔｅｄｆｅｅｔｈｏｅｆｓｃｎｒｅｉｆｒｎｅｅｕｔｎａｅｃｒｉｇｔｅｄｆｒｎｏｄｔｓｈｉｆｒｎｅｒｍｓｏｅｏｄｏｄｒｄｆｅｅｃｑａｉｓｃｎｂｆｏｔｏａｑｉｅ．Ｗｅｄｓｕｓｔｅｅｕｌｒｕｐｉｔｉｅｈｒｌｃｌｓｍｐｏｉｓａｌｒｇｏａｓｍｐｏｉｔｂｅｏｃｕｒｄｉｃｓｈｑｉｂｉｍｏｎｓｗｈｔｅａｌａｙｉｏｙｔｔｔｂｅｏｌｂｌｙｔｔｃｓａｌｒｃａ

一阶差分方程零解的全局渐近稳定性

一阶差分方程零解的全局渐近稳定性
亓正申;李雪臣
【期刊名称】《信息工程大学学报》
【年(卷),期】2004(005)001
【摘要】文章考虑一阶非自治非线性时滞差分方程,获得了关于零解全局渐近稳定的充分条件.
【总页数】3页(P57-59)
【作者】亓正申;李雪臣
【作者单位】许昌职业技术学院,河南,许昌,461000;许昌职业技术学院,河南,许昌,461000
【正文语种】中文
【中图分类】O175.14
【相关文献】
1.非自治时滞差分方程零解的全局渐近稳定性的充分条件及其应用 [J], 李雪臣;马国锋
2.非线性中立型积分微分方程零解的全局渐近稳定性 [J], 黄明辉;刘君
3.非线性Volterra方程零解的全局渐近稳定性 [J], 黄明辉;赵国瑞;刘君
4.非线性时滞微分方程零解的全局渐近稳定性 [J], 黄明辉; 刘君
5.非线性中立型积分微分方程零解的全局渐近稳定性 [J], 黄明辉; 刘君
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

一类有理型时滞差分方程的稳定性

重根；c>β 时，没有实根。
≠ ≠ c）k≡2（mod5），0< β4
<A
，-b
β4 A
，准1
<C< A-β4 ，或者-A< A
（b）c<0 时，方程（2.2）有一个正根和一个负根，分别记为 μ（3 c）和 μ（4 c），它们分别属于（1，+∞）和（-∞，0），μ（3 c）单调减少，μ（4 c）单
单调减少。特别地，0<c<β 时，方程（2.2）分别在（0，α）和（α，1）上各
作者简介：张一敏（1982-），女，黑龙江海伦人，讲师，硕士，研究方向为泛函有一个正根 μ（6 c）和 μ（7 c），且 μ（6 c）单调增加，μ（7 c）单调减少；c=β
≠ ≠ b）k≡1（mod5），0< β4
<A
，-b
β4 A
，准0
<C< A-β4 ，或者-A< A
≠ ≠ β4 <0，-b
β4 A
，准0
<（-1）
k+1
C<
A+β4 A
，其中
准 0 是方程（1.2）在
ห้องสมุดไป่ตู้
≠ ≠ 4π ，（4k+21）π 5 5（k+5）
上的根。
姨 ≠ ≠≠ ≠ 5
α=
k k+5
A
A
≠ ≠ 当 k 是偶数时，-AC-β4
<A
且 -C
<b
β4 ，准 A
准是方程
sin（k+5）θ = β4
sinkθ
A
（1.2）
其中
ab≠0。令

一类高阶有理差分方程的全局渐近稳定性

Ｇｏａａｙｔｔａｉｔｆａｓｆｉｈｏｄｒｒｔｎｌｉｅｅｃｕｔｎｌｂｌｓｍｐｏｉｓｂｌｙｏｃｓｏｇ－ｒｅａｉａｄｆｒｎｅｑａｉｃｔｉａｌｈｏｆｅｏ
ＨＵｏｉｅｇ，ＭＩＨａ－ｎｆＡＯ－ｎ，ＺＨＡＮＧａｇＬｉｍｉｇＬｉｎ
— —
其他相关结果见文献［～５．３］
１相关定义及引理
定义ｌ式（）任一正解｛）为关于三２的ｏ称；ｏ最终平凡的，如果｛）最终等于；；否则被称为非
平凡的．
ｘ＿－ｋ，，
—
ｑａ－
（）１
Ｚｌ… ，Ｏ０∞ ）ａ０∞）Ｓｉ｛一ｍ，－ｋ．ｓ，Ｘ ∈（，，Ｅ［，，＋￣ｍｎ１ｌ｝
关键词：有理差分方程；解的符号；局渐近稳定性全
中图分类号：７０１５文献标识码：Ａ
的局近定，：ｋＺ五全渐稳性中，＋，武ｍＥ，
令
Ａ一｛）－ｏｌ — ｏ ’ ｉ１２… ，一，，ｍ
显然，每一个Ａ是式（）２的解序列｛）ｏ一的模ｍ：ｏ同余类，：故
｛）ｌ．｛，，，）ｏ一一ＡｌＡ２… Ａ：ｏ
基金项目：甘肃省自然科学基金（Ｚ０２Ｂ５１）甘肃省教３Ｓ４－２－３，０育厅基金（４６－８Ｏ１ＢＯ）
ｚ＂，ｒ — ，－ｚｌ－
令一则由１得而，式（）
Ｘｎ一

一类二阶差分方程的全局渐近稳定性

一类二阶差分方程的全局渐近稳定性贾秀梅;李永军;薛子臣【摘要】讨论二阶非线性有理差分方程xn+1 =x2-1/(a+xn)2+β,n∈N 的素二周期解、不变区间及全局渐近稳定性,其中参数α∈(1,+∞),β∈(0,1),初始条件x-1,x0∈(0,+∞).利用线性化方法和收敛定理得到了该方程的平衡点/x0=0是全局渐近稳定的;结合两个实例,通过Matlab数值模拟直观验证了结论的正确性.【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(050)001【总页数】5页(P11-14,19)【关键词】素二周期解;不变区间;局部渐近稳定性;全局渐近稳定性;Matlab数值模拟【作者】贾秀梅;李永军;薛子臣【作者单位】河西学院数学与统计学院,甘肃张掖734000;兰州城市学院数学学院,甘肃兰州 730070;河西学院数学与统计学院,甘肃张掖734000【正文语种】中文【中图分类】O175近年来，Ladas等对二阶和高阶的非线性有理差分方程进行了广泛研究.2002年，Kulenovic等［1］提出了众多公开问题和猜想，使差分方程的研究得到了进一步发展.文献［2］中，Jia对文献［1］中的公开问题10.5.6进行研究，得到了方程正平衡点的全局渐近稳定性.文献［3］得到了方程n∈N的正平衡点是一个全局吸引子.文献［4-6］对几类非线性有理差分方程进行研究，得到了一些好的结果.受上述研究启发，本文讨论二阶非线性有理差分方程平衡点的全局渐近稳定性，其中参数α∈（1，＋∞），β∈（0，1）.利用线性化方法和收敛定理得到了在初始条件x－1，x0∈（0，＋∞）下该方程的所有正解是全局渐近稳定的.针对两个实例，通过Matlab数值模拟，直观验证了结论的正确性.考虑二阶差分方程其中f：I×I→I是连续可微的函数，n∈N，I是某一实数区间，函数f（u，v）关于每一个变量都有连续的偏导数.¯x称为差分方程（2）的一个平衡点，如果¯x＝f（¯x，¯x）.或者说，当n≥－1时，xn＝¯x是差分方程（2）的解.定义1［1］（稳定性）设¯x是方程（2）的一个平衡点.则（i）方程（2）的平衡点x¯是局部稳定的，如果对任意的ε＞0，存在δ＞0，使得对所有满足x－1－x¯＋x0－x¯＜δ的x－1，x0∈I，当n≥－1时，有xn－x¯＜ε.（ii）方程（2）的平衡点x¯是局部渐近稳定的，如果它是局部稳定的，并且存在γ＞0，使得对所有满足xn－x¯＜γ的x－1，x0∈I有（iii）方程（2）的平衡点x¯是全局吸引子，如果对每一个x－1，x0∈I，有（iv）方程（2）的平衡点x¯是全局渐近稳定的，如果它是局部稳定的，并且是一个全局吸引子.令则方程（2）关于¯x的线性化方程为xn＋1＝pxn＋qxn－1，n＝0，1，2…，其特征方程为定义2［1］实数区间I称为方程（1）的不变区间，如果它满足条件：x－1，x0∈I⇒xn∈I，∀n＞0；也就是说，方程（1）的初始条件取自区间I的每一个解仍在I中.定义3［1］称方程（1）的解序列｛xn｝∞n＝－k是周期的，如果存在正整数p，使得xn＋p＝xn恒成立.这样的｛xn｝称为方程（1）的p周期解.满足此条件的最小正整数p称为最小正周期，此时的周期解也称素p周期解.引理1［1］（线性稳定性）（a）如果方程（3）的两个根都位于单位圆λ＜1之内，则方程（2）的平衡点x¯是局部渐近稳定的.（b）如果方程（3）的两个根中至少有一个根的模大于1，则方程（2）的平衡点x¯是不稳定的.（c）方程（3）的两个根都位于单位圆λ＜1之内的充分必要条件是p＜1－q＜2.此时x¯是一个汇点或吸引平衡点.（d）方程（3）的一个根的模大于1而另一个根的模小于1的充分必要条件是p2＋4q＞0且p ＞1－q.此时x¯是一个鞍点.（e）方程（3）的两个根的模都大于1的充分必要条件是q＞1且p ＜1－q.此时x¯是一个源点或排斥平衡点.引理2［1］设［a，b］⊂R，连续函数f：［a，b］×［a，b］→［a，b］满足下列性质：（a）f（x，y）对每一个固定的y，关于x单调不增，对每一个固定的x，关于y单调不减；（b）方程（2）在区间上没有素二周期解.那么方程（2）有唯一的平衡点x¯∈［a，b］，且方程的每一个解收敛到x¯.设¯x为差分方程（1）的平衡点，则有¯x＝解得记设，则方程（1）的线性化方程为解得于是记¯x1，¯x2，¯x0对应的p，q分别为p1，q1、p2，q2、p0，q0，则可求得定理1 方程（1）的平衡点¯x1，¯x2为鞍点.证明（i）先证¯x1为鞍点.由前面结论可知：所以有故由引理1（d）可知，方程（1）的平衡点¯x1不是局部渐近稳定的，且¯x1为鞍点. （ii）下证¯x2为鞍点.同理于是所以由引理1（d）可知，方程（1）的平衡点x¯2不是局部渐近稳定的，x¯2为鞍点. 综上所述，方程（1）的平衡点x¯1，x¯2为鞍点. 】定理2 方程（1）的平衡点x¯0为汇点，是局部渐近稳定的.证明要证方程（1）的平衡点x¯0为汇点，由引理1（c）可知，只需证明不等式p0＜1－q0＜2成立，即只需证明不等式p0＜1－q0和－q0＜1同时成立.先证明第一个不等式.因为故又因为由引理1（a），（c）可知，方程（1）的平衡点¯x0是汇点且局部渐近稳定. 】定理3 方程（1）没有正素二周期解.证明假设…，φ，ψ，φ，ψ，…为方程（1）的正素二周期解，即φ，ψ＞0，且φ≠ψ，则有由α＞1，0＜β＜1及φ≠ψ可知，该方程组等价于即（α＋ψ）2＝（α＋φ）2.等式两边展开并整理可得（φ－ψ）（φ＋ψ＋2α）＝0，从而，φ＝ψ或φ＋ψ＋2α＝0，这与φ≠ψ且φ＋ψ＋2α＞0矛盾.故方程（1）无正素二周期解. 】定理4 方程（1）关于平衡点¯x0存在不变区间I＝［0，1］.证明¯x0＝0∈［0，1］，由不变区间定义，设xN－1，xN∈［0，1］，则有故由不变区间的定义及归纳法知，I＝［0，1］为方程（1）的不变区间. 】定理5 设为定义在不变区间I×I→I上的连续函数，则f（u，v）关于u单调不增，关于v单调不减，这里I＝［0，1］.证明因为故f（u，v）关于u单调不增，关于v单调不减. 】定理6 方程（1）的所有正解最终进入不变区间I＝［0，1］.证明由定理4知，只要说明当初始条件不在不变区间I内时，存在解序列｛xn｝最终进入区间I即可.现假设方程（1）的初值x－1，x0∈（1，＋∞）的正解序列｛xn｝最终不进入区间I，即｛xn｝中从某项以后的项都进入（1，＋∞），即存在N∈N＋，当n＞N时，有xn＞1.现取方程（1）的两个子非平凡解序列｛x2k＋1｝与｛x2k｝，k∈N＋.下证两个子序列分别单调递减.因为故x2k－1＞x2k＋1.即｛x2k＋1｝单调递减且存在N∈N＋，当n＞N时，有x2n ＋1＞1.由单调有界原理得存在r≥1，使得同理，｛x2k｝单调递减且存在N∈N＋，当n＞N时，有x2n＞1.由单调有界原理可知，存在s≥1，使得下证r＝s.对两边取极限，有所以（α＋s）2＋β＝1.同理，对两边取极限，可知（α＋r）2＋β＝1.即有（α＋s）2＋β＝（α＋r）2＋β.由于s，r≥1，故得r＝s.所以这与方程（1）只有唯一非负平衡点¯x0矛盾，故假设不成立.即当初值x－1，x0∈（1，＋∞）时，｛xn｝最终进入区间不变I. 】定理7 方程（1）的平衡点¯x0为全局吸引子，且是全局渐近稳定的.证明由定理3～6及引理2可得，¯x0为方程（1）的一个全局吸引子.再根据定理2得出，¯x0是全局渐近稳定的. 】下面列举两个此类差分方程的例子.通过Matlab数值模拟，从图形可以直观地看出这类方程的所有正解是全局渐近稳定的，即所有正解最终趋于平衡点¯x0＝0.例1 图1是差分方程的Matlab绘图，这里x－1＝0.1，x0＝0.2.例2 图2是差分方程xn＋1＝的Matlab绘图，这里x－1＝ 0.2，x0＝0.1.［2］ JIA Xiu-mei，HU Lin-xia，LI Wan-tong.Dynamics of a rational difference equation［J］.Advances in Difference Equations，2010，Article ID 970720，14 pages.［3］ JIA Xiu-mei，LI Wan-tong.Boundedness and global attractivity of a higher-order nonlinear difference equation［J］.Discrete Dynamics in Nature and Society，2010，Article ID 610467，17pages.［4］ JIA Xiu-mei，HU Lin-xia.Global attractivity of a higher-order nonlinear difference equation［J］.Applied Mathematics and Computation，2010，216（3）：857-861.［5］ JIA Xiu-mei，TANG Guo-mei.Global attractivity of a higher-order nonlinear difference equation［J］.International Journal of Difference Equations，2010，5（1）：95-101.［6］贾秀梅，晏兴学，董文瑾.关于一类二阶非线性差分方程的无界解［J］.兰州理工大学学报，2010，36（6）：137-139.。

一类高阶有理型差分方程的全局渐近稳定性

ｑａｉｓｗｔＯｅｒｂｍｓｎｏｊｃｒｓＣａｍａｎａ１ＣＣ，０２］ｕｔｎ，ｉｐｎＰｏｌｄＣｎｅｔｅ，ｈｐｎａｄＨｌＲ２０．中的公ｏｈｅａｕ／开问题７５２并证明了这类方程无周期解；．．，然后推广这个结果到更一般的情形．
Ｋｅｒｓａｉａｄｆｒｃｑａｏ；ｏａａｙｐｏｃｓｉｔ；ｅｉｄｃ；ｐｎｙｗｏｄ：ｒｔｎｌｉｅｎｅｅｕｔｎｇｂｌｓｍｔｔｔｌｙｐｒｉｔｏｅｏｅｉｌｉａｉｂｏｉｙ
ｐｂｅｏｒｌｍ
０引言
有理型差分方程是一类典型的非线性差分方程，定性分析一直是近年来研究的热点，其因为许
多高于一阶的非线性差分方程定性结果的原型来源于有理型差分方程的结果．于这方面的研究，关可参见专著［ — ］论文［１］１２、３— Ｏ及其引用的参
考文献，其是Ｍ．Ｒ．Ｋｌｎｖ尤．Ｓｕｅｏｉｃ和Ｇａａ．Ｌｄｓ
收稿日期：０７— ３—０２００１作者简介：吕定洋（９８一）男，１６，湖南邵阳人，湖南第一师范学院高级讲师，湖南师范大学硕士研究生．主要研究方向：方程稳定性理论．
Ｃｈｎｓａ，ｎｎ４１８１，ｉａ；ＤｅａｔｎｆＭａｈｍａｉｓａｄＰｈｓｃ，ａｇｈＨｕａ００Ｃｈｎ２．ｐｒｍｅｔｏｔｅｔｃｎｙｉｓ
ＴｅＦｒｏａＣｌｇ，ｈｎｓａＨｎｎ４１０，ｈｎ）ｈｉｔｒｌｏｅｅＣａｇｈ，ｕａ２０１ＣｉａｓＮｍｌ

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

｛，＋ａｈ ≥ｉ＋ｌｉｏｇｉ ≥２ｅ
一
（） ± ：墨墨二 ± ： ±
ｔｆ＋ａｈ ≥ ｈａｇｉ＋ｌ≥ ２ｈ
所以
口ｅ＋（／＋ｇｉ＞ｅｈ）ｆｇ＋ｈ＋ｉ．
若ｈ＜１ｉ＜ｌ或ｇ＞ｌ时，知或易口ｅ＋（，＋ｇｉ＞ｅｈ）ｆｇ＋ｈ＋．
Ａｂｓｒｔｎｔｉａｒｓｕｙｎｈｒｐｒｉｓｏｈｏｉｖｏｕｔｎｆｒａｃａｓｏａｔａｃ：Ｉｈｓｐｐｅ，ｔｄｉｇｔｅｐｏｅｔｅｆｔｅｐｓｔｅｓｌｉｏｌｓｆｒ — ｉｏｔｎｌｄｆｅｅｃｑａｉｎ，ａｒｖｈｎｑｕｓｔｅｅｕｌｂｉｍｏｎｆｔｅｒｔｎｉａｉｆｒｎｅｅｕｔｏｏｗｅｃｎｐｏｅｔｅｕｉｅｐｏｉｉｑｉｉｒｕｐｉｔｏｈａｉ — ｖｏａｉｅｅｃｑａｉｎｒｌｂｌｙａｙｔｔａｌｔｂｅｆｒｈｒｌｄｆｒｎｅｅｕｔｓａｅｇｏａｌｓｍｐｏｉｌｙｓａｌｕｔｅ．ｆｏｃ
ｏｔｏａｆｅｅｃｕｔｏｓｆＲａｉｎｌＤｉｒｎｅＥｑａｉｎ
ＬＩＡＯａ・ｉＺＨＡＯｎ－ｅＭｏｘｎ，Ｙｉｆｎｇ
（ｃｏｌｆａｈｍａｃｎｈｓｓＵｉｒｉｆｏｔｈｎ，ｅｇａｇＨｎｎ４１０，ｈｎ）ＳｈｏｏｔｅｔｓａｄＰｙｉ，ｎｅｓｙｏｕｈＣｉａＨｎｙｎ，ｕａ２０１ＣｉａＭｉｃｖｔＳ
（）４
（）ｅ１ ≥ ｌｇ≤ １则我们有如下不ｂ若 ≥ 且，等式
Ｋｅｒｓｒｔｎｌｄｆｒｎｅｅｕｔｎ；ｏｉｖｑｉｂｉｍｏｎ；ｌｂｌａｙｔｔｙｗｏｄ：ａｉａｉｅｅｃｑａｉｓｐｓｔｅｅｕｌｒｏｆｏｉｉｕｐｉｔｇｏａｓｍｐｏｉｃ
分方程的唯一正平衡解是全局渐近稳定的．
关键词：理差分方程；平衡解；有正全局渐近稳定性
中图分类号：１５１０７．４文献标识码：Ａ
ＴｈｏａｙｐｏｉｔｂｌｙｏａｓｅＧｌｂｌＡｓｍｔｔｃＳａｉｔｆａＣｌｓｉ
一
＋
一
１＋ｎ
２ｎ一３
，
ｎ＋１
＝
ｎｈ一１＋
一
ｒ０１２・ｔ：，，，一的
＋＇ＸｎＸｎ＇
－
方程：
２＋ｎ３
～
∑
Ⅱ ＋１＝
ＸｎＩ－Ｘｎｉ＋Ｘａｊ
－－
ｐ
Ｘ＇ｎ
ｑ－ｇ
＋Ｂ
，
－
＋一
，，．
第２４卷第３期２１００年９月
南华大学学报（自然科学版）
ＪｕａｏｎｖｒｉｆＳｕｈＣｉａＳｉｎｅａｄＴｃｎｌｏｒｌｆＵｉｓｔｏｏｔｈｎ（ｃｅｃｎｅｈｏｎｅｙ
Ｖ１２Ｏ３０．４Ｎ．Ｓｏ２１ｅ．００
ｎ
ｎｎ１＋一ｎ
ｎ＋１
２＋口，＝０，２，ｎ１， …
一
２
ｎｎ１＋ｎ一
ＫｕｅＮｓｍｎｒｓ和ｅｅａｎ在文献［］２讨论了著名的
Ｐｔａｕｎｍ差分方程：
ｎ
的全局渐近稳定性． Nhomakorabea受上述结果启发，文考虑如下形式的差分本
文章编号：６３— ０２２１）３一Ｏ６— ３１７０６（０００Ｏ６０
一
类有理差分方程的全局渐近稳定性
廖茂新，赵银凤
（南华大学数理学院，湖南衡阳４１０）２０１
摘
要：通过研究一类有理差分方程的唯一的正平衡解的性态，一步证明了此类差进
由以上讨论知ａｅ＋（，＋ｇｉ＞ｅ＋ｈ＋ｉｈ）ｆｇ．（）３
由式（）式（）知２，３
Ｍ＜ａ．
１定理１的证明
（）口２（）易知口＋ａｄ≥ Ｏｃ，Ｃ＋ｄ＞Ｃ＋ｄ．
所以
口０＋６＋ｃ）＞ａ（ｄｂ＋ｃ＋ｄ．
ｓａｉｉｔｂｌｙｔ
最近，ａａ在文献［］出了如下的差分方Ｌｄｓ１提
＋ｎ
一
全局渐近稳定性．
李先义研究了如下的有理差分方程
＋ｎ１ｎ２＋０一
一
ｎ＋１
：
ｎ
１ｎ一２
，
一
ｎ＝０，２… ．１，
，
ｎ＝０，２… ，１，
∑Ｅ
＋一（，．，ｔｈ）３，Ｉｒｒ，ｒ
— Ｘｓ一Ｘｒ一＾＋ｎＲ＋ｎｎ＾Ｂ＋＿－肌一ｘｘ
（）１
收稿日期：１０２０～７—１０７基金项目：湖南省教育厅基金资助项目（７６９０Ｃ３）
作者简介：廖茂新（９９一）男，１６，湖南衡南人，南华大学数理学院副教授，博士．主要研究方向：微分差分方程
第２４卷第３期
廖茂新等：一类有理差分方程的全局渐近稳定性
６７
（）ｈ＞１ｉｂ若，＞１ｇ≤ ｌ，且时则我们如下
不等式ｆ．ｆ≥ ｅ ≥ ２ａｅ＋ａ＋ｅｚｇｆ≥ ｅｆ