2019世纪金榜理科数学(广东版)4.4-PPT文档
2019世纪金榜理科数学 共66页
3
3
其中正确的是( )
A.①③
B.④
C.②⑤
D.④⑤
【解析】选B.①错误.sin2θ＋cos2φ＝1中的角不是同角.
②错误.在 tan ＝中sin k∈ Z＋. k，
cos
2
③错误.对于正、余弦的诱导公式角α可以为任意角，而对于
正切的诱导公式 ＋kk∈，Z.
2
④正确.诱导公式的符号看象限中的符号是把任意角α都看成
【规范解答】(1)选C.当k＝2n (n∈Z)时，
原式＝ sin2ncos［ 2n1］ sin［ 2n1］ cos(2n)
＝ s in ( )c o s ( )＝ s in ( c o s )＝ － 1 ； s in ( )c o s s in c o s
【变式训练】1.(2019·珠海模拟)sin 480°的值为( )
A .1 B .3 C . 1
D .3
2
2
2
2
【解析】选B.sin 480°=sin(360°+120°)=sin 120°= 3 .
2
2.sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)· sin(－1 050°)＋tan 945°＝_______.
当k＝2n＋1(n∈Z)时， 原式＝ sin ［ (2 n 1 ) ］ c o s［ (2 n 1 1 ) ］
sin ［ (2 n 1 1 ) ］ c o s［ 2 n 1 ］ ＝ s siin n ( c o s() c o s )＝ sin sin c c o o ss ＝ － 1 .
2 65
32
= sin ( )＋ 0 － c o s( )＋ sin3
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(3)用向量方法解决平面几何问题的步骤. 平面几何问题 设向量 向量问题 运算 解决向量问题 还原 解决
几何问题
2.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解 与合成和向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决. (2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积,即 W=_F_·__s_=_|_F_|_|_s_|_c_o_s__θ__(θ 为F与s的夹角).
( F 1 F 2 ) 2 4 1 6 2 2 4 c o s 6 0 2 7 .
答案：2 7
考点1 向量在平面几何中的应用
【典例1】(1)(2019·福建高考)在四边形ABCD中，AC1,2，
BD－ 4,2, 则该四边形的面积为( )
A. 5
B. 2 5
故m+n=0.
m 4,n 4,
5
5
2.若等边△ABC的边长为 2 3 ， 平面内一点M满足 CM1CB2CA，
63
则 MAMB＝_______. 【解析】方法一:以BC的中点为原点， BC所在直线为x轴建立如图所示的平面 直角坐标系，根据题设条件可知 A(0，3)，B(－3， 0),C( 3,0). 设M(x,y)，则 C M (x3 ,y )，
第四节 平面向量应用举例
广东五年1考 高考指数:★☆☆☆☆
考纲 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 考情 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实
际问题
五年 考题
2009 T6
考情 播报
1.以向量的线性运算、向量共线和垂直的条件、平 面向量的数量积为联系工具解决三角函数、解析几 何等问题是近几年高考命题的热点之一 2.三种题型都有可能出现,属中低档题
2019世纪金榜理科数学43
〈AB,AC〉=60°，
A B A C A B A C c o s 6 0 2 ，
所以 B Q C P ［ ( 1 ) A C A B ］ A B A C 3 ， 2
即 A B 2 ( 2 1 ) A B A C 1 A C 2 3 ，
5.已知|a|=2,向量a与b的夹角是 3 ， 则a在b上的投影是
4
_________.
【解析】a在b上的投影是 |a|cos32( 2)2.
4
2
答案： 2
6.已知等边三角形ABC的边长为1，设 A B a ,B C b ,C A c , 则a·b+b·c+c·a=________.
=b,则_∠__A_O_B_ 就是向量a与b 的夹角
设θ 是向量a 与b的夹角, 则0°≤θ ≤ 180°
若θ =0°, 则a与b_同__向__;
若θ =180°, 则a与b_反__向__;
若θ =90°, 则a与b_垂__直___
2.平面向量的数量积
设两个非零向量a,b的夹角为θ ,则数量 定义 _|_a_|_|_b_|_c_o_s_θ__叫做a与b的数量积,记作a·b
数x等于( )
A.9
B.4
C.0
D.-4
【解析】选A.a－b＝(1－x,4)．
由a⊥(a－b)，得1－x＋8＝0.
所以x＝9.
4.已知单位向量a，b的夹角是120°，则|a+b|=( )
A .1 B .1 C .2 D .3 2
【解析】选B.由题意，得|a|=|b|=1,
所以|a+b|= (a b )2a 22 ab b 2 = 1 2 1 1 c o s1 2 0 1 1 .
2019年高考真题理科数学(广东卷)及答案(word精校版)
图1正视图 俯视图侧视图221 1 1i n≤是图2输出s结束否 输入n开始1,1i s ==1i i =+ (1)s s i =+-2019年高考真题理科数学（广东卷）及答案（word 精校版）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合2{|20,}M x x x x =+=∈R ，2{|20,}N x x x x =-=∈R ，则MN =A ．{0}B ．{0,2}C ．{2,0}-D ．{2,0,2}-2. 定义域为R 的四个函数3y x =，2xy =，21y x =+，2sin y x =中，奇函数的个数是A ．4B ．3C ．2D ．13. 若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是A ．(2,4)B ．(2,4)-C ．(4,2)-D ．(4,2)4. 已知离散型随机变量X 的分布列为X 123P35310110则X 的数学期望()E X = A ．32B ．2C ．52D ．35. 某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是A ．4B ．143C ．163D ．66. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面， 下列命题中正确的是A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β7. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率 等于32，则C 的方程是A ．22145xy-= B ．22145xy-= C ．22125xy-=D ．22125xy-=8. 设整数4n ≥，集合{1,2,3,,}X n =. 令集合{(,,)|,,,S x y z x y z X =∈且三条件x y z <<，y z x <<，z x y <<恰有一个成立}.若(,,)x y z 和(,,)z w x 都在S 中，则下列选项正确的是A ．(,,)y z w ∈S ，(,,)x y w ∉S B ．(,,)y z w ∈S ，(,,)x y w ∈S C ．(,,)y z w ∉S ，(,,)x y w ∈S D ．(,,)y z w ∉S ，(,,)x y w ∉S二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．必做题（9 ~ 13题）图3 DAB CO E图41 7 92 0 1 53 09. 不等式220x x +-<的解集为 .10. 若曲线ln y k x x =+在点(1,)k 处的切线平行于x 轴，则k = . 11. 执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值 为 .12. 在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则573a a += .13. 给定区域D ：4440x y x y x+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥. 令点集0000{(,)|,T x y D x y =∈∈Z ，00(,)x y 是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定 条不同的直线.选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程为2c o s 2s in x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩ （t 为参数），C 在点（1,1）处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 .15.（几何证明选讲选做题）如图3，A B 是圆O 的直径，点C 在圆O 上， 延长B C 到D 使B C C D =，过C 作圆O 的切线交A D 于E . 若6A B =，2E D =，则B C = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）已知函数()2c o s ()12f x x π=-，x ∈R .（1）求()6f π-的值； （2）若3c o s 5θ=，3(,2)2πθπ∈，求(2)3f πθ+.17.（本小题满分12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数.（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率.18.（本小题满分14分）如图5，在等腰直角三角形A B C 中，90A ∠=，6B C =，D ，E 分别是A C ，A B 上的点，2C D B E ==，O 为B C 的中点. 将△A D E 沿D E 折起，得到如图6所示的四棱椎A B C D E '-，图6A 'ABC ED图5 O∙OCDEB其中3A O '=.（1）证明：A O '⊥平面B C D E ； （2）求二面角A C D B '--的平面角的余弦值.19.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2121233n n S a n n n+=---，*n ∈N .（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有1211174na a a +++<.20.（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0,)F c (0)c >到直线:20l x y --=的距离为322，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，P B ，其中A ，B 为切点.（1）求抛物线C 的方程；（2）当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时，求直线A B 的方程； （3）当点P 在直线l 上移动时，求||||A F B F ⋅的最小值.21.（本小题满分14分）设函数2()(1)xf x x e k x =--()k ∈R . （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1(,1]2k ∈时，求函数()f x 在[0,]k 上的最大值M .图41 7 92 0 1 53 02018年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCCABDBB二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 必做题（9 ~ 13题）9. (2,1)- 10. 1- 11. 7 12. 20 13.5 选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题） 14.c o s sin 20ρθρθ+-=（填s in ()24πρθ+=或c o s ()24πρθ-=也得满分） 15.23三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数()2c o s ()12f x x π=-，x ∈R .（1）求()6f π-的值； （2）若3c o s 5θ=，3(,2)2πθπ∈，求(2)3f πθ+.16. 解：（1）2()2c o s ()2c o s ()21661242f ππππ-=--=-=⨯=（2）因为3c o s 5θ=，3(,2)2πθπ∈所以24sin 1c o s 5θθ=--=-所以4324s in 22s in c o s 2()5525θθθ==⨯-⨯=-2222347c o s 2c o s s in ()()5525θθθ=-=--=-所以(2)2c o s (2)2c o s (2)c o s 2s in 233124f ππππθθθθθ+=+-=+=-72417()252525=---=17.（本小题满分12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数.（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？图6A 'AB C E D 图5 O ∙OC DEBA 'OCDEBFA ' OCDEBHxyz（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率. 17. 解：（1）样本均值为171920212530226+++++=（2）抽取的6名工人中有2名为优秀工人，所以12名工人中有4名优秀工人 （3）设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A ，所以118421216()33C C P A C ==，即恰有1名优秀工人的概率为163318.（本小题满分14分）如图5，在等腰直角三角形A B C 中，90A ∠=，6B C =，D ，E 分别是A C ，A B 上的点，2C D B E ==，O 为B C 的中点. 将△A D E 沿D E 折起，得到如图6所示的四棱椎A B C D E '-，其中3A O '=.（1）证明：A O '⊥平面B C D E ； （2）求二面角A C D B '--的平面角的余弦值.18. 解：（1）连结O D ，O E因为在等腰直角三角形A B C 中，45B C ∠=∠=，2C D B E ==，3C O B O ==所以在△C O D 中，222co s 455O D C O C D C O C D =+-⋅=，同理得5O E =因为22A D A D A E A E ''====，3A O '=所以222A O O D A D ''+=，222A O O E A E ''+=所以90A O D A O E ''∠=∠=所以A O O D '⊥，A O O E '⊥，O D O E O = 所以A O '⊥平面B C D E（2）方法一：过点O 作O F C D ⊥的延长线于F ，连接A F ' 因为A O '⊥平面B C D E根据三垂线定理，有A F C D '⊥所以A F O '∠为二面角A C D B '--的平面角 在R t △C O F 中，32c o s 452O F C O ==在R t △A O F '中，22302A F A O O F '=+=所以15c o s 5O F A F O A F'∠=='所以二面角A C D B '--的平面角的余弦值为155方法二： 取D E 中点H ，则O H O B ⊥以O 为坐标原点，O H 、O B 、O A '分别为x 、y 、 z 轴建立空间直角坐标系则(0,0,0),(0,0,3),(0,3,0),(1,2,0)O A C D '-- (0,0,3)O A '=是平面B C D E 的一个法向量设平面A C D '的法向量为(,,)x y z =n(0,3,3)C A '=，(1,1,0)C D =所以330C A y z CD x y ⎧'⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n ，令1x =，则1y =-，3z =所以(1,1,3)=-n 是平面A C D '的一个法向量设二面角A C D B '--的平面角为θ，且(0,)2πθ∈所以315c o s 535O A O A θ'⋅===⨯'⋅n n所以二面角A C D B '--的平面角的余弦值为15519.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2121233n n S a n n n+=---，*n ∈N .（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有1211174na a a +++<.19. 解：（1）当1n =时，11221221133S a a ==---，解得24a =（2）32112233n n S n a n n n +=---① 当2n ≥时，321122(1)(1)(1)(1)33n n S n a n n n -=------- ②①-②得212(1)n n n a n a n a n n +=----整理得1(1)(1)n n n a n a n n +=+++，即111n n a a n n +=++，111n n a a n n +-=+当1n =时，2121121a a -=-=所以数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列 所以n a n n=，即2n a n =所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =，*n ∈N（3）因为211111(1)1na nn nn n=<=---（2n ≥）所以222212111111*********()()()123423341na a a nn n+++=++++<++-+-++--11171714244nn=++-=-<20.（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0,)F c (0)c >到直线:20l x y --=的距离为322，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，P B ，其中A ，B 为切点. （1）求抛物线C 的方程；（2）当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时，求直线A B 的方程；（3）当点P 在直线l 上移动时，求||||A F B F ⋅的最小值. 20. 解：（1）焦点(0,)F c (0)c >到直线:20l x y --=的距离2232222c cd --+===，解得1c =所以抛物线C 的方程为24x y =（2）设2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x 由（1）得抛物线C 的方程为214y x =，12y x '=，所以切线P A ，P B 的斜率分别为112x ，212x所以P A :211111()42y x x x x -=- ①P B :222211()42y x x x x -=- ②联立①②可得点P 的坐标为1212(,)24x x x x +，即1202x x x +=，1204x x y =又因为切线P A 的斜率为2011011142y x x x x -=-，整理得201011124y x x x =-直线A B 的斜率221201212114442x x x x x k x x -+===-所以直线A B 的方程为210111()42y x x x x -=-整理得2010*******y x x x x x =-+，即0012y x x y =-因为点00(,)P x y 为直线:20l x y --=上的点，所以0020x y --=，即002y x =- 所以直线A B 的方程为00122y x x x =-+（3）根据抛物线的定义，有21114A F x =+，22114B F x =+所以2222221212121111||||(1)(1)()144164A FB F x x x x x x ⋅=++=+++22212121211[()2]1164x x x x x x =++-+由（2）得1202x x x +=，1204x x y =，002x y =+ 所以2222220000000001||||(48)121(2)214A FB F y x y x y y y y y ⋅=+-+=+-+=++-+22000192252()22y y y =++=++所以当012y =-时，||||A F B F ⋅的最小值为9221.（本小题满分14分）设函数2()(1)xf x x e k x =--()k ∈R . （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1(,1]2k ∈时，求函数()f x 在[0,]k 上的最大值M .21. 解：（1）当1k =时，2()(1)x f x x e x =--()(1)2(2)xxxf x e x e x x e '=+--=-令()0f x '=，解得10x =，2ln 20x => 所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：x(,0)-∞ 0 (0,ln 2)ln 2(ln 2,)+∞()f x ' +0 -0 +()f x↗ 极大值↘ 极小值↗所以函数()f x 的单调增区间为(,0)-∞和(ln 2,)+∞，单调减区间为(0,ln 2) （2）2()(1)xf x x e k x =--，[0,]x k ∈，1(,1]2k ∈()2(2)xx f x x e k x x e k '=-=-()0f x '=，解得10x =，2ln (2)x k =令()ln (2)k k k ϕ=-，1(,1]2k ∈11()10k k kkϕ-'=-=≤所以()k ϕ在1(,1]2上是增函数所以11()()022k ϕϕ>=>，即0ln (2)k k <<所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：x(0,ln (2))k ln (2)k (ln (2),)k k()f x ' -0 +()f x↘极小值↗(0)1f =-，3()(1)kf k k e k =--()(0)f k f -=332(1)1(1)(1)(1)(1)(1)k kkk e k k e k k e k kk --+=---=---++2(1)[(1)]kk e kk =--++因为1(,1]2k ∈，所以10k -≤对任意的1(,1]2k ∈，xy e =的图象恒在21y k k =++下方，所以2(1)0k e k k -++≤所以()(0)0f k f -≥，即()(0)f k f ≥所以函数()f x 在[0,]k 上的最大值3()(1)kM f k k e k ==--。
2019年高中数学必修四世纪金榜课件1.1.2弧度制2.探究导学课型1.1.2
6
6
α2=
25 4 ，
6
6
故α2是第一象限角.
(2)β1=
3 5
3 5
×180°=108°,
β2= ( 1 ) ×180°=-60°,
33
令-720°≤108°+k·360°<0°得
k∈Z,故k=-2或k=-1,
23 k＜ 3 ,
10
10
因此在-720°～0°范围内与β1终边相同的角有 108°-2×360°=-612°,108°-360°=-252°, 同理,在-720°～0°范围内与β2终边相同的角有 -420°.
18
A.一
B.二
C.三
D.四
【解析】选A.因为α = 5 5 ×180°=50°,所以 5
18 18
18
是第一象限角.
3.把30°化为弧度为 ( )
A. B.
C.
D.
3
6
4
5
【解析】选B.因为1°= ,所以30°=30× =
180
180
.
6
4.若扇形的圆心角为60°,半径为1,则扇形的弧长
3.在给定半径的圆中,弧长一定时,圆心角确定吗? 提示:确定,圆心角|α |= l .
r
结论:弧度制的相关概念 1.弧度制: (1)1弧度的角:_长__度__等__于__半__径__长__的__弧__所__对__的__圆__心__角__; (2)记作:_1_r_a_d_或_1_弧__度__;(3)定义:_用__弧__度__作__为__单__位__来__ _度__量__角__的__单__位__制__.
【预习自测】
1.下列说法中,错误的是 ( )
2019年高中数学必修四世纪金榜课件1.2.1任意角的三角函数(一)1.精讲优练课型1.2.1(一)
【课标要求】 新课程标准: 借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义
教学目标: 1.理解三角函数的定义(重点) 2.会用诱导公式一求三角函数(式)的值(难点) 3.培养数学运算的核心素养
【思维脉图】
【自主预习】 1.任意角的三角函数的定义 在单位圆中,α 是任意一个角,它的终边与单位圆交于 点P(x,y),如图所示:
【思维辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如图所示,sin α =y. ( )
(2)第三象限角的正弦、余弦、正切都是负值. ( ) (3)终边相同的角不一定相等,其三角函数值一定相等.
()
【提示】(1)×.本题中的圆不是单位圆,sin α≠y. (2)×.由三角函数的定义,第三象限角正弦、余弦是负 值,正切是正值. (3)√.由诱导公式一知正确.
(3)作用:把求任意角的三角函数值转化为求0～2π (或 0°～360°)角的三角函数值.体现了“大化小”“负 化正”的数学思想.
【自主检测】
1.若角α 的终边上有一点(0,-1),则tan α 的值是
()
A.-1
B.0
C.1
D.不存在
【解析】选D.因为角α 的终边上有一点(0,-1),所以角
的终边落在y轴的负半轴上,其正切值不存在.
则有sin
α
=_y_;cos
α
=_x_;tan
α
y
=__x _.
2.三角函数值在各个象限的符号 如图所示:
正弦_一__、__二__正,_三__、__四__负;余弦_一__、__四__正,_二__、__三__负; 正切_一__、__三__正,_二__、__四__负.
世纪金榜理科数学(广东版)热点专题突破系列
2b
k2
8k b x1 1x2
1
0
即k=-b,
故直线l的方程为y=k(x-1),直线l过定点(1,0).
【规律方法】圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变 化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点， 再证明该定点与变量无关.
1)，FB
(x2,
x
2 2
4
1)，x1x 2
4，
所以FA
FB
x1x 2
(
x12 4
1)(
x
2 2
4
1)
2
x12
x
2 2
4
.
因为P( x1 x2 , 1)，所以FP ( x1 x2 , 2),
2
2
所以 FP 2 x1 x2 2 4 x12 x22 2，
4
4
2
所以FA FB FP 0.
【解析】(1)设
A(x1,
x12 4
),
B(x
2
,
x
2 2
4
) x1
x2 .
由x2=4y，得:y
x 2
，所以k
PA
x1 2
, kPB
x2 2
.
因为 PA PB所 0以，PA⊥PB，所以x1x2=-4.
直线PA的方程是：y
x12 4
x1 2
x x1 ,即y
x1x 2
x12 .① 4
同理，直线PB的方程是:
2k 1
所以点 N( 4k 2 ,0).
2k 1
4k 0
所以MN的斜率为m
2019世纪金榜理科数学选修4-41
5 = －1 007
3
，3
故点(1 007,－1 007 3 )在第四象限.
答案：四
3.在极坐标系中,曲线ρ=4cosθ围成的图形面积为
.
【解析】方法一:由于圆心在点(r,0),且过极点的圆的极坐标方
程为ρ=2rcosθ,由方程ρ=4cosθ,得r=2,面积S=4π.
方法二:由曲线的极坐标方程ρ=4cosθ,得ρ2=4ρcosθ,所以圆
(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ∈ ［0,2π)的值. 提醒:极点O的极坐标为(0，θ)，θ为任意值，但一般取θ=0， 即极点的极坐标为(0，0).
【变式训练】(1)将点的极坐标(π, )化为直角坐标为_____.
【互动探究】若本例条件不变，则曲线C上的点到曲线中心距
离的最大值为________. 【解析】由本例解析可知，曲线 x 2 y上2 的1 点到曲线中心距离
25 16
的最大值为5.
答案：5
【规律方法】伸缩变换公式的题型与解法 (1)已知变换前(后)点的坐标以及伸缩变换公式,求变换后(前)的 点的坐标,直接运用伸缩变换公式计算即可. (2)已知变换前(后)方程的曲线以及伸缩变换公式,求变换后(前) 的曲线的方程,要分清变换前后的曲线上的点的坐标表示,不能 混淆.
(r,0)
ρ=_2_r_c_o_s_θ__ ( ＜ ) 22
圆心的 极坐标
圆的极坐标方程
(r， ) 2
(r,π) ( r ，3 )
2
ρ=_2_r_s_i_n_θ__(0≤θ<π)
ρ=_-_2_r_c_o_s_θ__
( 2
＜3) 2
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2 2 1 3 故S△ABC=1 | A B | | A C | s i n A 5 4 5 3 . 2 2 2
4．已知平面向量a=(1，cos θ ),b=(1,3sin θ ),若a与b共 线，则tan 2θ 的值为(
【解题视点】(1)观察向量 A 坐标的特点，由此通过计 C 与 B D
算判断AC与BD的位置关系，再利用面积公式求解.
＞ 0，可得角 B为锐角，但三角 B AB C
④正确，由物理学的知识知④正确.
2.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5，2)， C(-1，-4)，则这个三角形是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 )
B.直角三角形 D.等腰直角三角形
【解析】选B.由题意，得 A B 2 ， 2 ， A C 4 ， 8 ， B C ( 6 ， -6)，显然 | =-8+16=8>0, A B | | A C | | B C | , A B A C 所以角A是锐 角，B =(-6 (-2，2)=12-12=0，所以角B是直角， CB A ，-6)· 故△ABC是直角三角形.
1 A . 3 2 B . 3 3 C . 4
)
D . 1
【解析】选C.因为a与b共线，所以3sin θ -cos θ =0, 即tan θ = 1 所以 tan 2θ = ,
3
2tan 3 . 2 1 1 tan 1 4 9
2 3
5. 在△ABC中，∠C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足 B M ＝ 2 M A ， 则 C M C B 等于( A.2 B.3 ) C.4 D.6
【考点自测】 1.(思考)给出下列结论： ①若 A B 与 C D 共线，则A，B，C，D四点在一条直线上；
2 2 ②若A(x1,y1),B(x2,y2),则 | A B | xx yy 2 1 2 1；
③在△ABC中，若 A BB C ＜0，则△ABC为钝角三角形； ④物理中的力、速度、位移都是既有大小，又有方向的量， 可用向量表示.
3
1 【解析】选B.由题意可知，C M C B ＝＋ ( C A A B )C B
1 ＝C AC B ＋A BC B
1 ＝0 ＋ 32 3 c o s4 5 ＝ 3 . 3
3
6.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位：牛顿)的作用而
处于平衡状态，已知F1,F2成60°角，且F1,F2的大小分别为2
3.在△ABC中，| 则△ABC的面积 A B | 5 ， | A C |4 ， A B A C 1 0 ， 是( A.5 ) B.10 C. 5 3 D.20
【解析】选C.由 A B A C | A B | | A C | c o s A 5 4 c o s A 1 0 ,
【典例1】(1)(2019·福建高考)在四边形ABCD中，A C 1 ,2 ，
B D － 4 ,2, 则该四边形的面积为(
) D.10
A. 5
B. 2 5
C.5
(2)(2019·天津高考)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD= 60°,E为CD的中点.若 A C B E 1 , 则AB的长为________.
和4，则F3的大小为_______.
2 2 【解析】由题意得F3+F1+F2=0，所以|F3|= F ［ ( F F ) ］ 3 1 2
2 ( F F ) 4 1 6 2 2 4 c o s 6 0 2 7 . 1 2
答案：2 7
考点1
向量在平面几何中的应用
广东 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 考情 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实 际问题
五年 考题
2009
T6
1.以向量的线性运算、向量共线和垂直的条件、平 考情 面向量的数量积为联系工具解决三角函数、解析几 播报 何等问题是近几年高考命题的热点之一 2.三种题型都有可能出现,属中低档题
线平行、点共 线等问题
共线向量 定理
垂直问题
数量积的运 算性质
问题类型 夹角问题
所用知识
数量积的 定义 数量积的 定义
公式表示
a b cosθ = (θ 为向量a,b | a || b |
的夹角)
2 2 2 x y a |a|=_____=_______,
长度问题
其中a=(x,y)
(3)用向量方法解决平面几何问题的步骤. 平面几何问题 几何问题
其中正确的是(
A.①②
)
C.②④ D.①④
B.①③
【解析】选C.①错误，线段AB，CD所在的直线也有可能平行；
2 2 ②正确，因为 A B =(x2-x1，y2-y1),所以 A B x x y y 2 1 2 1；
③错误，由 A ＜ 0得 BB C 形的形状不能判定；
设向量
向量问题
运算
解决向量问题
还原
解决
2.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解 与合成和向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决. (2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积,即 F·s |F||s|cos θ θ 为F与s的夹角). W=_____=_____________(
【知识梳理】 1.向量在平面几何中的应用 (1)平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及 数量积解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题.
(2)用向量解决常见平面几何问题的技巧. 问题类型 所用知识 公式表示 a = λ b( b ≠ 0 ) a∥b⇔____________ x1y2-x2y1=0 ⇔__________ 其中a=(x1,y1), b=(x2,y2) a · b= 0 a⊥b⇔_______ x1x2+y1y2=0 ⇔__________ a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 a,b为非零向量