数字滤波器的结构讲义.

（ 1 1i z 1 2i z 2） H ( z ) A 1 2 ( 1 z z ) i 1 1i 2i
M
(4)滤波器的基本二阶节
所以，滤波器就可以用若干个二阶网络级联起来构成。这每 一个二阶网络也称滤波器的基本二阶节（即滤波器的二阶 节）。一个基本二阶节的系统函数的形式为：
(2)直接II型的结构流图过程1-对调
x(n) b0 Z-1 b1 Z-1 Z-1 Z-1 b2 b M+1 bM a1 a2 a N-1 aN y(n) Z-1 Z-1 Z-1 Z-1 对调 x(n) a1 a2 a N-1 aN Z-1 Z-1 Z-1 b0 Z-1 b1 Z-1 b2 Z-1 b M+1 bM y(n)
六、本章介绍主要的内容
1.分别介绍FIR、IIR滤波器实现的基本结构。 2.介绍一种特殊的滤波器结构实现形式：格型 滤波器结构.
第二节 IIR DF的基本结构
一、IIR DF特点
1.单位冲激响应h(n)是无限长的n→∞
2.系统函数H(z)在有限长Z平面（0<|Z|<∞)有 极点存在。 3.结构上存在输出到输入的反馈，也即结构 上是递归型的。 4.因果稳定的IIR滤波器其全部极点一定在单 位园内。
H ( z) A
1 1 2 ( 1 p z ) ( 1 z z ) i 1i 2i i 1 i 1 i 1 N1 i 1 N2
(3)基本二阶节的级联结构
H ( z) A
1 1 2 ( 1 g z ) ( 1 z z ) i 1i 2i 1 1 2 ( 1 p z ) ( 1 z z ) i 1i 2i i 1
x(n) b0
a1 Z-1
y(n)
x(n)
b0
a1 Z-1 Z-1
y(n)
a2
Z-1
a2
看出：可通过流图或方框图看出系统的运算步骤和运算结构。
以后我们用流图来分析数字滤波器结构。DF网络结构或DF运 算结构二个术语有微小的差别，但大抵一样，可以混用。
四、数字滤波器的分类
• • • • 滤波器的种类很多，分类方法也不同。 1.从功能上分；低、带、高、带阻。 2.从实现方法上分:FIR、IIR 3.从设计方法上来分：Chebyshev(切比雪 夫）,Butterworth（巴特沃斯） • 4.从处理信号分：经典滤波器、现代滤波器 • 等等。
第 6章
数字滤波器的结构 DF （Digital Filter)
第一节 引言
一、什么是数字滤波器
• 顾名思义：其作用是对输入信号起到滤波 的作用；即DF是由差分方程描述的一类特 殊的离散时间系统。 • 它的功能：把输入序列通过一定的运算变 换成输出序列。不同的运算处理方法决定 了滤波器的实现结构的不同。
M1 i 1
M1 i 1 N1
M2
i 1 N2 i 1
若把单实因子 (1 g i z 1 ) 及 (1 pi z 1 )看作二阶因子的特例。 即为二次项系数( 2i , 2i) 0的二阶因子。
i 1 M1
那么，整个H ( z )就可以完全分解成实系数二阶因子形式：
(4)极点对系数的变化过于灵敏，从而使系统频率响应 对系统变化过于灵敏，也就是对有限精度（有限字长） 运算过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。
3、直接II型（正准型/典范型） （1)直接II型原理
• 从上面直接型结构的两部分看成两个独立 的网络（即两个子系统）。 • 原理：一个线性时不变系统，若交换其级 联子系统的次序，系统函数不变。把此原 理应用于直接I型结构。即： • （1）交换两个级联网络的次序 • （2）合并两个具有相同输入的延时支路。 • 得到另一种结构即直接II型。
c
…….

LPDF
H (e )
jw

2
3
…….
HPDF
H (e )
jw

2
…….

BPDF

2
BSDF
五、研究DF实现结构意义
1.滤波器的基本特性（如有限长冲激响应FIR与无 限长冲激响应IIR）决定了结构上有不同的特点。
2.不同结构所需的存储单元及乘法次数不同，前 者影响复杂性，后者影响运算速度。 3.有限精度（有限字长）实现情况下，不同运算 结构的误差及稳定性不同。 4.好的滤波器结构应该易于控制滤波器性能，适 合于模块化实现，便于时分复用。
m
1 jw jw h ( n m ) x ( m ) F [ X ( e ) H ( e )]

三、数字滤波器表示方法
• 有两 种表示方法：方框图表示法；流图 表示法. • 数字滤波器中,信号只有延时，乘以常数 和相加三种运算。 • 所以DF结构中有三个基本运算单元：加 法器，单位延时，乘常数的乘法器。
y(n)
a2Z-1
-1 Z Z-1
a N-1 Z-1 b M+1
-1 Z aN
bM
合并
这就是直接II型的结构流图。
(4)直接II型特点
直接II型结构特点：
(1)两个网络级联。
第一个有反馈的N节延时网络实现极点；
第二个横向结构M节延时网络实现零点。
(2)实现N阶滤波器（一般N>=M)只需N级延时 单元，所需延时单元最少。故称典范型。 (3)同直接I型一样，具有直接型实现的一般缺 点。
4.模拟滤波器的理想幅频特性
H ( j )
LPAF
c
H ( j )
c

HPAF
c c
H ( j ) c

BPAF
H ( j )
c

BSAF
c 2 c1 c1 c 2

5.数字滤波器的理想幅频特性
H (e jw )
…….
H (e )
jw

2
例子
8 z 3 4 z 2 11z 2 8 z 3 4 z 2 11z 2 H（ z ) 1 1 5 2 3 1 2 3 ( z )( z z ) z z z 4 2 4 4 8
解：为了得到直接I、II型结构，必须将H(z)代为Z-1的有理式； x(n) 8 y(n) x(n) 8 y(n) Z-1 5/4 -4 注意 Z-1 -4 5/4 Z-1 反馈 Z-1 -3/4 11 部分 Z-1 11 -3/4 Z-1 系数 -1 Z 2 1/8 Z-1 2 符号 1/8 Z-1
二、数字滤波器的工作原理
设x(n)是系统的输入，X (e )是其付氏变换。 y (n)是系统的输出，Y (e jw )是其付氏变换。 则：
x(n) h(n) y(n)
jw
则LTI系统的输出为：
y ( n)
看出：输入序列的频谱X (e jw )经过滤波器 (其系统性能用H (e jw )表示）后变成X (e jw ) H (e jw ) jw jw jw 选取H (e ), 使滤波器输出X (e ) H (e )符合我们的要求， 这就是数字滤波器的工作原理。
已知IIR DF系统函数，画出直接I型、直接II型的结构流图。
4、级联型结构 (1)系统函数因式分解
一个N阶系统函数可用它的零、极点来表示即系统函数的分子、 分母进行因式分解：
i b Z i M 1 ( 1 C z ) i M
H ( z)
1 ai Z
i 1
i 0 N
A
1 1 * 1 ( 1 g z ) ( 1 h z )( 1 h i i i z ) 1 1 * 1 ( 1 p z ) ( 1 q z )( 1 q i i i z ) i 1 i 1 i 1 N1 i 1 N2
M1
M2
式中：g i , pi 为实根；hi , qi 为复根。 其中 : N 1 2 N 2 N；M 1 2 M 2 M 若将每一对共轭因子合并起来构成一个实系数的二阶因子， 则: M1 M2 1 1 2 ( 1 g z ) ( 1 z z ) i 1i ,i
-1 Z Z-1
第一部分 对调
第二部分
(3)直接II型的结构流图过程2--合并
由于对调后前后两路都有一条内容完全相同的延时 链，可以合并为一条即可。
x(n)
a1 a2 a N-1 aN Z-1 Z-1 Z-1
b0
Z-1 b1 Z-1 b2 Z-1 b M+1 bM
y(n)
x(n)
a1 Z
-1
b0
b1 b2
1、方框图、流图表示法
方框图表示法： 单位延时
Z-1
信号流图表示法：
Z-1
系数乘
a
a
相加
把上述三个基本单元互联，可构成不同数字网络或运 算结构，也有方框图表示法和流图表示法。
2.例子
例：二阶数字滤波器：
y (n) a1 y (n 1) a 2 y (n 2) b0 x(n)
其方框图及流图结构如下：
二、IIR DF基本结构
IIR DF类型有：直接型、级联型、并联型。 直接型结构：直接I型、直接II型（正准型、 典范型）。
1、 IIR DF系统函数及差分方程
一个N阶IIR DF有理的系统函数可能表示为：
i b Z i M
H（z )
1
i 0 N
i a Z i i 1
Y ( z) X ( z)
A
i
(1 d z
i i 1
i 1 N
1
)
H ( z )的系数ai , bi 都是实数， 零、极点ci 和d i 只有两种情况： (a )或者是实根 (b)或者是共轭复根 可以展开为：