建模辅导

数学建模学习辅导第一章数学建模方法论本章重点：数学模型、数学建模、数学模型的作用和特点、建模基本过程、问题分析、合理假设常用建模方法、机理分析法、类比建模法、图示法、微元法、平衡原理、数据分析法、人口增长模型结论、分支定界法、均衡价格结论、存储模型（确定型）结论、货币的时间价值—终值与现值公式、年金的终值与现值公式复习要求：1．了解数学模型与数学建模，理解数学模型的作用与特点．∙对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据对象特有的内在规律，在做出问题分析和一些必要、合理的简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构就称为该特定对象的数学模型.∙依据下述的几个基本步骤建立数学模型，这个全过程便称为数学建模.第一步：根据现实对象的背景和要求进行问题分析；第二步：根据问题的要求和建模目的作出合理的简化假设；第三步：根据问题分析与假设，利用相应的物理的或其它有关规律建立起现实对象的数学表达式——建立数学模型；第四步：使用相应的数学方法求解数学模型以给出现实对象的数学解决——模型求解；第五步：对模型的解给予检验和解释—模型分析（包括检验、修改、应用和评价等）；注意：（1）若所得的解不符合实际，则所建数学模型有错误，应推倒重建.这是数学建模完全可能出现的情况，其产生原因往往是问题分析错误或假设不合理所至.（2）这五步构成了数学建模的一个个流程，其目的是指导我们更好地进行建模实践，其应用是可以有弹性的，切勿生搬硬套. 也就是说，不是每个建模问题都要一个不差地经过这五个步骤，其顺序也不是一成不变的.一个具体建模问题要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关.∙数学模型的作用和特点：（1）数学建模不一定有唯一正确的答案.（2）数学建模没有统一的方法.（3）模型的逼真性与可行性.（4）模型的渐进性.（5）模型的可转移性.2．掌握建模基本过程，会对实际问题进行问题分析，善于合理假设．∙问题分析也常称为模型准备或问题重述．由于数学模型是建立数学与实际现象之间的桥梁，因此，首要的工作是要设法用数学的语言表述实际现象．所谓问题重述是指把实际现象尽量地使用贴近数学的语言进行重新描述．为此，要充分了解问题的实际背景，明确建模的目的，尽可能弄清对象的特征，并为此搜集必需的各种信息或数据．要善于捕捉对象特征中隐含的数学因素，并将其一一列出．至此，我们便有了一个很好的开端，而有了这个良好的开端，不仅可以决定建模方向，初步确定用哪一类模型，而且对下面的各个步骤都将产生影响．∙模型假设（即合理假设）是与问题分析紧密衔接的又一个重要步骤．根据对象的特征和建模目的，在问题分析基础上对问题进行必要的、合理的取舍简化，并使用精确的语言作出假设，这是建模至关重要的一步. 这是因为，一个实际问题往往是复杂多变的，如不经过合理的简化假设，将很难于转化成数学模型，即便转化成功，也可能是一个复杂的难于求解的模型从而使建模归于失败.当然，假设作得不合理或过份简单也同样会因为与实际相去甚远而使建模归于失败.一般地，作出假设时要充分利用与问题相关的有关学科知识，充分发挥想象力和观察判断力，分清问题的主次，抓住主要因素，舍弃次要因素．3．熟练掌握建模常用方法，会使用类比方法、平衡原理与微元法以及数据分析法对比较简单的实际问题进行建模与分析．建模常用的方法：(1) 机理分析法是立足于事物内在规律的一种常见建模方法，主要是依对现实对象的特性有较为清楚的了解与认识，通过分析其因果关系，找出反映其内部机理的规律性而建立其模型的一种方法.(2) 类比法是建立数学模型的一个常见而有力的方法.作法是把问题归结或转化为我们熟知的模型上去给以类似的解决. 实际上，许多来自不同领域的问题在数学模型上看确实具有相类似的甚至相同的结构.(3) 所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配. 注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.就象中学的数学应用题中等量关系的发现是建立方程的关键一样.(4) 微元法是指在组建对象随着时间或空间连续变化的动态模型时，经常考虑它在时间或空间的微小单元变化情况，这是因为在这些微元上的平衡关系比较简单，而且容易使用微分学的手段进行处理．这类模型基本上是以微分方程的形式给出的．(5) 图示法是利用几何图示建模. 有不少实际问题的解决只要从几何上给予解释和说明就足以了，这时，我们只需建立其图模型即可. 这种方法既简单又直观，且其应用面很宽.(6 ) 数据分析法(基于测试数据的经验模型)的基本流程如下：①给出实际调查数据.调查的数据一定要具有充分的代表性，可以通过系统抽样、分层抽样等抽样方法获得样本数据. 另外，样本容量也不要太小，否则所得结果不具有代表性.②将样本数据绘制成数据散布图. 这是对数据进行分析最有效的第一步.为此，务必使用坐标纸绘制以求图象准确，为进一步的分析打好基础.当然能利用计算机绘制更好.③对散布图进行分析.这一步往往可获得对所表达变量关系的一定认识，形成初步看法，确定整体数据结构是否脱离实际.若所反映实际现象与散布图出现太大差距，则这批数据应当废弃.④根据散布图分析结果选择相类似函数关系，采用适当方法建立经验公式.这里也同样有一个简单化原则：即在满足问题精度要求的前提下，尽量选择形式简单的数学表达式.⑤模型分析、检验与修改.由于经验模型本身具有不确定性，并且这类模型的作用也常常是为了对所关心系统做出某种预测、控制. 因此，检验其结果的合理性，误差分析和修改模型等是必要的.4．掌握人口增长模型、分支定界法、均衡价格、确定型存储模型、货币的时间价值等问题的结论，会用它门解决相关问题．(1)人口增长模型结论x，那么人口增长模型的初值问题为假设开始时的人口数为0)0(,d d x x rx tx == 模型的解为：t r x t x e )(0=模型修改后的阻滞增长模型或罗捷斯蒂克模型（Logistic ）：⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(d d x x x x x r t x m 其中m x 为自然资源和环境条件等因素所能容纳的最大人口数量.该模型的解为：tr m mx x x t x --+=e )1(1)(0(2) 分支定界法的基本思路是：① 先求问题的解，若恰为整数解则停，否则转下一步；② 以上述解为出发点，将原问题分解为两个支问题——所谓“分支”，且每一支问题各增加一个新条件——所谓“定界”.③ 求解支问题，并对新的非整数解问题再分支、定界，直到求得整数解.(3) 均衡价格结论设p 是商品价格，Q 表示商品需求量且仅与价格p 有关，即Q =Q (p )，但)(t p p =. 一般设)(p Q 为p 的线性函数（线性化）b t ap t Q +-=)()(式中b a ,均为正常数，b ——该商品的社会最大需求量. 同理，设)(p G G =表示供给函数，)(t p p =并且d t cp t G --=)1()(式中d c ,均为正数，c d /为厂方可能接受的最低价格.)(t p 写成)1(-t p 是因为商品的生产需一定的时间(一个生产周期)，价格对商品的供给量的影响有一定的滞后作用.则均衡价格为：ad b t p a c t p ++--=)1()( 设)0(0p p =是该商品的初始价格，通过递推过程得到⎪⎩⎪⎨⎧=+++≠++++-++-=时时0,0,))(()(00c a t a d b p c a c a d b a c c a d b p t p t ① 当初始价格0p 恰好为ca db ++时，由上式知，对任意t 有 ca db t p ++≡)( 称ca db ++为静态均衡价格.可见，若初始价格为静态价格，则价格始终不变，整个供给过程变为静态.② 当初始价格不是均衡价格时，)(t p 随时间的推移而变化，供给过程变成一个动态过程.若c a >，由于tac )(-越来越小，价格会越来越接近于均衡价格；若c a <，由于t ac )(-无限增大，价格会逐渐远离静态均衡价格； 若c a =，由于t t a c )1()(-=-不确定而使价格在均衡价格上下波动. (4) 存储模型（确定型）结论设商品每天销售量为常数R ，商品的进货时间间隔为常数T ，且进货量为常数Q ，进货一次手续费也是常数b c ，单位商品存储费s c 元/天. 又设开始时的库存量为Q ，到第T 天时库存量降为零.且销售是连续均匀的，故在周期内平均存量为Q /2.于是平均每天的支出为Tc c Q T c b s +=2)( 因为Q=RT ，于是 Tc RT c T c b s +=2)( 模型的解（最优进货量）为： Rc c T c R c Q Q s b s b 2,2**=== 上式为存储论中著名的经济订购批量公式，简称EOQ(Economic Ordering Quantity)公式.(5) 货币的时间价值——终值与现值公式货币用于存银行，会随着时间的推移产生效益，从而使货币增值，这就是货币的时间价值.衡量货币时间价值的两个常用概念是货币的终值与现值.在复利计息情形，若本金为P ，利率为R ，期数为n ，则到n 期末，本利和为n R P S )1(+=其中的S 即为货币P 的终值.反之，现在手中的多少钱存银行n 期就可以变成S 元呢? 显然有nR S Q )1(+= 这里的Q 称为货币S 的现值，亦即n 期末的S 元相当于现在的Q 元.(6 )年金的终值与现值公式当投资行为是周期性的(如零存整取储蓄)，即把投资期限分为时间相同的若干期，在每期的开始或结束时投入数量相同的本金，这类投资问题在金融行业称之为年金问题，每期投入的本金称为年金.年金的终值设每期发生在期初的年金数为A ，每期利率为R ，n S 表示n 期的本利和，那么第一期投入A 到n 期末成为n R A )1(+. 第二期年金仍为A ，但只存了n -1期，到n 期末成为1)1(-+n R A ，依此类推，到第n 期的年金A 便只存一期，到期末本利和为)1(R A +. 上述各期本利和的总和即为发生在期初的年金A 的终值，利用等比数列前n 项和公式即得为]1)1)[(1(-++=n ns R RR A S 同理可推导发生在期末的年金的终值(每一期年金都比发生在期初的少存一期)应为RR A S n ne 1)1(-+= 年金的现值设发生在期初的年金数为A ，则第一期的现值就是A ，第二期的现值为 ,1RA +，最后一期的现值为1)1(-+n R A ，于是年金A 的现值总和 ))1(11)(1(nR R R A Q +-+= 同理有发生在期末的年金A 的现值总和))1(11('n R R A Q +-=。