第一讲---数学建模基本要素
第1讲 数学建模简介 PPT课件
一. 数学科学的重要性 * 科学技术是第一生产力； * 信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争； * “高技术”本质上是一种数学技术； * 数学科学是一种关键的、普遍的、能够实行 的技术； * 计算机的飞速发展促使数学得以广泛应用； * 在经济竞争中数学科学是必不可少的;
现代数学： 在理论上更抽象； 在方法上更加综合； 在应用上更为广泛。
帮助展开思路的方法：
提问题法 关键词联想法
常用的问题如下： （l） 这个问题和什么问题相类似？ （2）假如变动问题的某些条件将会怎样？ （3）将问题分解成若干部分再考虑会怎样？ （4）重新组合又会怎样？ 为进一步打开思路还可提以下问题：
（5）我们还可以做什么工作？
（6）有无需要进一步完善的内容？
（7）可否换一种数学工具来解决此问题？
数学建模的意义：
所谓数学模型， 从广义上理解，数学中的概念，如数、向量、 集合、点、线、面、群、环、域、线性空间等 都是现实原型的数学模型．但这些是前人已经 建立起来的、成熟的数学模型， 从狭义上理解，是对现实存在的具体问题， 建立新的数学模型，这后一种理解，对学习数学 建模者来说更有意义。
例1.生物医学专家有了药物浓度在人体内随 时间和空间变化的数学模型后，可以用来分析药 物的疗效，从而有效地指导临床用药.
模型假设 （1）该车的重心沿一个半径为r的园做 圆周运动（根据交通学原理，现有公路 的弯道通常是按圆弧段设计的,需要检 验）。 （2）汽车速度v是常数（因刹车失灵， 所以刹车不起作用）。 （3）设摩擦力f作用在汽车速度的法线上， 摩擦系数为常数k，汽车质量为m。
模型建立
根据牛顿运动学定律： f=kmg=mv2/r （1.1） 模型求解 由（1.1）式得 v= kgr （1.2） 关于园半径的估计:假设已知园的弦长为c,弓形高度为h, 由勾股定理得, 由表1.1得 c≈33.27m, h≈3.55m, r≈40.75m.
数学建模专题复习讲义
数学建模专题复习讲义导言数学建模是应用数学的一种重要方法，通过数学模型对实际问题进行描述、分析和求解，旨在解决现实生活中的一系列问题。
为了帮助学生顺利复数学建模专题，本讲义提供了相关知识点的概述和复要点，帮助学生快速回顾和掌握数学建模的核心内容。
一、数学建模基础1. 模型的定义和特点：- 模型是对实际问题的简化和抽象，描述问题的关键要素和规律。
- 模型应具备准确性、简洁性、实用性和可验证性等特点。
2. 建模的步骤：- 问题的分析与理解- 模型的假设和建立- 模型的求解和分析- 模型的验证和评价二、数学建模方法1. 数理统计方法：- 样本的收集和统计分析- 参数的估计和假设检验- 相关性分析和回归分析2. 最优化方法：- 线性规划和整数规划- 非线性规划和动态规划- 多目标规划和随机规划3. 随机模型和概率模型：- 随机过程和马尔可夫链- 概率分布和随机变量- 随机模拟和蒙特卡罗方法三、数学建模实例1. 交通流量预测：- 数据的收集和处理- 建立交通流量模型- 预测未来的交通流量2. 股票价格预测：- 历史数据的分析和挖掘- 建立股票价格模型- 预测未来的股票价格3. 自然灾害预警：- 监测数据的采集和分析- 构建自然灾害模型- 预警和防灾措施的制定四、数学建模技巧1. 问题分析的深入：- 充分理解问题的背景和限制条件- 归纳和提炼问题的核心要素2. 模型建立的简化：- 简化模型中的复杂因素- 利用适当的假设和近似方法3. 模型求解的有效性：- 使用合适的数学方法和工具- 分析模型的解的意义和合理性结语数学建模是一门综合性强、应用广泛的学科，通过对数学建模的复习和学习，能够增强学生的问题分析和解决能力，培养科学思维和创新意识。
希望本讲义对学生复习数学建模专题有所帮助，祝愿大家学有所成！。
数学建模基础知识
数学建模基础知识引言：数学建模是一门以数学为工具、以实际问题为研究对象、以模型为核心的学科。
它通过将实际问题抽象为数学模型，并利用数学方法对模型进行分析和求解，从而得到问题的解决方案。
在数学建模中，有一些基础知识是必不可少的，本文将介绍数学建模的基础知识，包括概率与统计、线性代数、微积分和优化算法。
一、概率与统计概率与统计是数学建模的基础。
概率论用于描述随机现象的规律性，统计学则用于从观测数据中推断总体的特征。
在数学建模中，需要根据实际问题的特点选择合适的概率模型，并利用统计方法对模型进行参数估计。
1.1 概率模型概率模型是概率论的基础，在数学建模中常用的概率模型包括离散型随机变量模型和连续型随机变量模型。
离散型随机变量模型适用于描述离散型随机事件，如投硬币的结果、掷骰子的点数等；连续型随机变量模型适用于描述连续型随机事件，如身高、体重等。
在选择概率模型时，需要根据实际问题的特点进行合理选择。
1.2 统计方法统计方法用于从观测数据中推断总体的特征。
在数学建模中，经常需要根据样本数据对总体参数进行估计。
常用的统计方法包括点估计和区间估计。
点估计用于估计总体参数的具体值，如均值、方差等；区间估计则用于给出总体参数的估计范围。
另外，假设检验和方差分析也是数学建模中常用的统计方法。
二、线性代数线性代数是数学建模的重要工具之一。
它研究线性方程组的解法、向量空间与线性变换等概念。
在线性方程组的求解过程中，常用的方法包括高斯消元法、矩阵的逆和特征值分解等。
线性代数还广泛应用于图论、网络分析等领域。
2.1 线性方程组线性方程组是线性代数的基础，它可以用矩阵和向量的形式来表示。
求解线性方程组的常用方法有高斯消元法、矩阵的逆矩阵和克拉默法则等。
高斯消元法通过矩阵的初等行变换将线性方程组转化为简化行阶梯形式，从而求得方程组的解。
2.2 向量空间与线性变换向量空间是线性代数的核心概念，它由若干个向量组成，并满足一定的运算规则。
数学建模基本要素
河 小船(至多2人)
但是乘船渡河的方案由商人决定. 商人们怎样才能安全过河?
问题分析
多步决策过程
3名商人 3名随从
决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员
要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有 限步使全体人员过河.
模型构成
xk~第k次渡河前此岸的商人数 yk~第k次渡河前此岸的随从数 sk=(xk , yk)~过程的状态
演绎就是从已知和证实的运 行规律,通过合理的分析和推 导得出新的结论和规律.
• 数学上的定理和推论都是从 基本公理通过演绎得到的重 要结论
• 公理、定律只能证实不能 • 工学中, 从电子线路的基本
证明
原理(例如基尔霍夫定律)可以
归纳和演绎能力在科 演绎出许多重要结论.
?二者结合用机理分析建立模型结构用测试分析确定模型参数14数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的问题针对问题特点和建模目的作出合理的简化的假设在合理与简单之间作出折中简约简单但不粗糙精确但不复杂用数学的语言符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具数学有层级工具无出身能解决问题的就是最好的
数学研究是 天赋猎场 数学应用是 勤奋良田
建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）
数学 建模
3W 规则
What
实际问题的 数学描述
搞楚是什么 探讨如何做 多问为什么
Why
解释与检验
How
数学问题如 何求解
1.2 数学建模的意义
• 计算机计算能力的快速提高，数学计算软件的 通用化、便利化、网络化、交互化。
数学建模基础
数学建模基础
数学建模是指利用数学方法和技巧对实际问题进行抽象和
描述，并通过建立数学模型来研究问题的方法。
数学建模
基础主要包括以下几个方面：
1. 数学知识：数学建模需要掌握一定的数学知识，包括数
学分析、线性代数、概率论与数理统计、微分方程等。
这
些数学知识可以帮助建模者理清问题的结构和逻辑关系，
从而构建合理的数学模型。
2. 数据分析能力：数学建模过程中需要处理和分析大量的
实际数据，包括收集数据、整理数据、统计分析数据等。
因此，建模者需要具备一定的数据分析能力，如数据挖掘、统计分析等。
3. 系统思维能力：数学建模需要从整体上把握问题的本质
和复杂性，涉及到系统思维能力。
建模者需要能够将问题
拆解成多个子问题，并对它们进行分类、分析和优化，最
终求解整个问题。
4. 编程能力：在数学建模中，常常需要使用计算机编程来实现数学模型的求解。
因此，建模者需要具备一定的编程能力，如使用MATLAB、Python等编程语言进行算法实现和数据处理。
5. 创新能力：数学建模是解决实际问题的方法，需要建模者拥有一定的创新能力。
建模者需要能够运用已有的数学理论和方法，创造性地将其应用于实际问题，并提出新的解决方案。
综上所述，数学建模基础包括数学知识、数据分析能力、系统思维能力、编程能力和创新能力等方面。
这些基础能力是进行有效数学建模的必备条件。
数学建模第一讲
一个大学生如果具有坚实的数学基础(素质),那么将来他(她)无论从事什么样的工作, 成功的机会都大.数学建模是用数学来解决各种实际问题的桥梁, 因此了解、掌握数学建模的思想和方法也是具有良好的数学基础(素质)的重要组成部分.“硬能力”很重要！“一位美国朋友谈及对未来中国人的看法: 20年后, 中国年轻人会丢了中国人现在的硬能力, 他们崇拜各种明星, 不愿献身科学, 不再以学术研究为荣, 聪明拔尖的学生都去学金融、法律等赚钱的专业; 而美国人因为认识到其硬能力(例如数学)不行, 进行教育改革, 20年后, 不但保持了其软实力即非专业能力的优势, 而且在硬能力上赶上中国人.”—“正在丢失的硬实力”, 鲁鸣, 《青年文摘》2011年第5期其实金融、法律等专业也需要许多数学!(全文见“参考文章”)什么是数学建模?数学模型(Mathematical Model)是用数学符号对一类实际问题或实际发生的现象的(近似的)描述.数学建模(Mathematical Modeling)则是获得该模型并对之求解、解释验证并得到结论的全过程.数学建模不仅是了解基本规律, 而且从应用的观点来看更重要的是预测和控制所建模的系统的行为的强有力的工具.↑→→→→→→→→↓↑↓↑↓↓↑↓←←←←←通不过↓↓通过定义：数学建模就是上述框图多次执行的过程简言之:合理假设、数学问题、解释验证.数学问题 = 建立数学模型 + 求解数学模型合理假设、建立数学模型、求解数学模型、解释验证.记住这些, 将会受益即使对于那些自己几乎不做建模的学生, 他们也将面对其他人的模型.(Even students who will do little modeling on their own will be confronted by the models of others.)数学上, 希格斯玻色子(的存在性)是描述称为希格斯场的一种力场的方程组的一个推论. ……物理学家Brian Greene说: “这是能对现实世界的各种事情作出预测的数学方法的伟大胜利.”“40多年来, 这个希格斯玻色子一直是我们的方程中假设的数学符号.”(Essay: Nature's secrets foretold Higgs discovery celebrates math's power to make predictions about the real world, By Tom Siegfried, Science News, July 4th, 2012.)植根于核科学的数学模型也在环境科学家的工具箱中找到了一席之地. 依赖于数值方法的最早的全球气候模型与核武器设计者研发的模型十分相似, 后者是为了分析核爆炸产生的冲击波必须求解的流体动力学方程.(Nuclear Weapons' Surprising Contribution to Climate Science, ScienceDaily (July 13, 2012))贷款问题 — 离散模型某人想贷款200,000, 20年用来买房. 如果按当时的年利率6.39%, 20年后一次还清的话, 银行 将按月利率0.5325%的复利计算, 要还240200000(10.005325)723,410+= 太多了, 怕还不起, 所以决定每个月还一点钱.假设: 月等额还款，20年还请.提示:贷款模型是按月利率，按月计算的.用符号表示，设一开始的贷款金额记为0(200,000)A =，贷款年数记为(240)N =月， 年利率记为R = 0.0639，月利率记为r = R/12 = 0.005325数学模型的建立：确定变量以及变量之间的关系, 即数学模型的建立：这个月(记为第n 个月)尚欠银行的款数记为n A , 上个月(记为第n - 1个月)结余欠款记为1n A -加上利息记为1(1)n A r -+，减去这个月的还款x , 还欠1(1)n A r x -+-.所以,这个月的欠款等于上个月欠款加上利息, 再减去这个月的(等额)还款; 一开始的借(欠)款已知; 20年必须还清. 用数学语言表示, 即:1(1) 1,2,3,..., ; 0-=+-=⎧⎨=⎩已知n n N N A A r x n N A A240240, 0N A ==表示20年 = 240个月还清贷款.求解这个数学模型只需要用到等比级数部分和的求和公式.数学模型的求解:[][]1021020(1)(1) (1)(1) (1)1(1)A A r x A A r xA r x r x A r x r =+-=+-=+-+-=+-++[]{}3220320(1) (1)1(1)(1) (1)1(1)(1)A A r xA r x r r xA r x r r =+-=+-+++-⎡⎤=+-++++⎣⎦容易观察出规律, 并用数学归纳法证明, 对于任何n 有210(1)1(1)(1)...(1)n n n A A r x r r r -⎡⎤=+-+++++++⎣⎦由等比级数部分和的求和公式(1r y +=)211(1)(1...), 1,1n n y y y y yn y --=-++++≥>于是有00(1)1(1)1(1)(1)(1)1n nn nn r r A A r x A r x r r +-+-=+-=+-+-由于0N A =, 所以0(1)(1)1N NA r r x r +=+-解释验证:利用数学软件, 例如, Mathematica ，Matlab ，可以用不同的数据代入此公式得到结果和银行的结果相比较相关问题 在公式0(1)(1)1N NA r r x r +=+-4个变量中任何一个都可以作为因变量，其他3个作为自变量，这样就又有了另外3个数学模型.0(1)[(1)1]kkk x A A r r r =+-+-0(1)(1)1n nA r r x r +=+-0ln[]ln(1)x x A r n r -=+或0log[]log(1)x x A rn r -=+0[(1)1](1)nn x r A r r +-=+练习请严格按照“合理假设、数学模型的建立、数学模型的求解、解释验证”的步骤来回答下列问题.某人想贷款买房, 他估计在10年里每月的还款能力x = 3000元没有问题, 已知贷款年利率R = 6%(月利率r = 0.5%), 贷款年数为N = 10年. 1. 建立他应该借多少钱的数学模型.2. 请从你所建立的数学模型估算一下他应该借(贷款)多少钱?(提示:120(1.005) 1.8194 ).作业花旗银行的一则低息现金贷款广告：借50,000元, 分36期(月) 还清, 每月还1,637元. 问：该银行的贷款月利率为多少？再论贷款问题 — 连续模型(微分方程)模型, 连续模型和离散模型的关系预习：设()s t 为随时间变化的距离函数，在时间间隔 ,t t t +∆[]上的平均速度为()()()s t t s t v t t+∆-=∆若当0,0t t ∆≠∆→时平均速度的极限0,0()()lim t t s t t s t t ∆≠∆→+∆-∆存在，则称其为t 时刻的瞬时速度，记为d ()()()d s t v t s t t'==，即0,0()()()()lim t t s t t s t v t s t t ∆≠∆→+∆-'==∆()v t 也称为函数()s t 的导数(或微商).函数乘积的求导法则: 设(),()f x g x 都可导, 即(),()f x g x ''存在, 则(()())()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅定积分, 微积分基本定理:()()()()bx b x aaf x dx f x f b f a =='==-⎰我们还是以贷款问题为例. 借期(单位时间)一期不一定非要一个月, 信用卡的计息就是按天算的. 所以考虑连续模型是有道理的.假设一开始0t =的贷款(或借款)本金总额记为0A , 单位时间(一期)的利率记为r%, 只不过这时假设时间是连续的, 也就是说, 要把 n 个单位时间后所欠金额记为n A 改为0t >时刻所欠金额()A t . 任何时刻都可以计算所欠银行的金额.我们来建立模型, 先不考虑等额还款. 在时间区间 [,]t t t +∆上, t t +∆时刻所欠金额为()A t t +∆, t 时刻所欠金额为()A t , 因此在区间 [,]t t t +∆里所欠金额的增加为 ()rA t t ∆, 应该有()()()A t t A t rA t t +∆-=∆或()()()A t t A t rA t t+∆-=∆如果[,]t t t +∆的长度t ∆越来越小, 并趋于零时, 即0t ∆→时, 就得到下列连续模型(微分方程模型)()() t>0(0)dA t rA t dtA A ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 它的解为0()rtA t A e =如果设单位时间的长度为1, t 等于k 个单位时间,即 t k =, 从而有000002()()()(1)!!rk r knnk k n n A k A e A e r r A A r n n ∞∞======++∑∑如果 r 比较小, 则可以认为有一次近似式0()(1)kA k A r =+或由带Lagrange 余项的泰勒(Taylor)公式,20000()()()()()()2!f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+-其中ξ在0x 和x 之间.若00, , rrde x x r e dr=→=,则有 212!rr ee r ξ=++如果 r 比较小, 则可以认为有一次近似式 0()(1)kA k A r =+现在再来考虑等额还款, 即单位时间里还固定的金额 x , 于是模型变成()()()A t t A t rA t t x t +∆-=∆-∆令 0t ∆→, 就得到()() 0(0)⎧=->⎪⎨⎪=⎩dA t rA t x t dtA A 由()()dA t rA t xdt-=- 两边乘 rte-,()()rt rt rtdA t e re A t xe dt----=- 即()(())()rtrtrt rtdA t d e A t ere A t xe dt dt-----==-从 0 到 t 积分就得到()(0)(1)rtrtx e A t A e r---=-000()(1)(1)()rtrt rtrtrt rt x A t A e e er x A e e rx xA e r r-=+-=+-=-+当 t k = 时, 再利用 rke的一次近似(1)rkke r ≈+就得到00()()(1) (1)((1)1)kk kx x A k A r r rx A r r r=-++=+-+-若, ()0t N A N ==，则连续模型中相应的公式分别为000(1)()r Nr Nr N x x x A ee A e r r r =+-=-+0 (1)r Nr NA re x e =-0log[]x x A rN r-=, 0 ()1r Nr Nx e A e =-为求()0A N =的r , 需要求解下面的代数方程式00r Nr NA rexex -+=若0200000,0.005325,240A r N ===,则离散模型算出的还款为1478.22x =; 而连续模型算出的还款为 1476.28c x x =<。
数学建模入门基本知识
数学建模入门基本知识数学建模知识——之新手上路一、数学模型的定义现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。
不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。
”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其在联系的数学结构表达式。
一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。
例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典。
今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。
特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。
因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。
二、建立数学模型的方法和步骤1. 模型准备要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。
2. 模型假设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。
如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。
3. 模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。
这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。
不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。
数学建模第一讲
目录
• 数学建模简介 • 数学建模基础知识 • 数学建模基本方法 • 数学建模案例分析 • 数学建模实践与挑战
01
数学建模简介
数学建模的定义
数学建模
使用数学语言、符号、公式等工 具，对现实世界的问题进行抽象 、简化、假设和推理，从而得出 数学模型的过程。
数学模型
根据实际问题建立起来的数学结 构，它可以用来描述和预测现象 的发展规律和趋势。
概率论建模方法的特点是能够描述随机性和不确定性，但计算过程可能较为复杂， 需要借助计算机软件进行模拟和计算。
04
数学建模案例分析
人口增长模型
总结词
描述人口随时间变化的规律
详细描述
人口增长模型通常采用指数增长或逻辑增长模型来描述人口随时间变化的规律。通过收集历史数据并拟合模型参 数，可以预测未来人口数量，为政策制定提供依据。
数学建模的重要性
解决实际问题
数学建模是解决实际问题的有效 手段，通过建立数学模型，可以 更好地理解和解决现实世界中的
问题。
促进跨学科合作
数学建模需要不同领域的专家合作， 可以促进跨学科的合作和交流，推 动科学技术的发展。
提高数学应用能力
数学建模可以提高数学的应用能力， 将理论知识与实践相结合，增强学 生的综合素质。
进行研究和解决。
02
数学建模基础知识
代数基础
代数方程与不等式
掌握代数方程的解法，理解不等式的 性质和求解方法。
函数与极限
理解函数的定义和性质，掌握极限的 概念和计算方法。
微积分基础
导数与微分
理解导数的概念和性质，掌握微分的计算方法。
积分
理解积分的概念和性质，掌握定积分的计算方法。
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模型求解
• 穷举法 ~ 编程上机 • 图解法 状态s=(x,y) ~ 16个格点 允许状态 ~ 10个 点 允许决策 ~ 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3;
x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
解剖“麻雀”
航行问题建立数学模型的基本步骤:
• 简化假设（船速、水速为常数）；
• 符号表示（x, y表示船速和水速）；
• 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）； • 求解得到数学解答（x=20, y=5）； • 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
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• 椅子位置
利用正方形(椅脚连线)的对称性
B´ B A´
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 • 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 距离是 的函数 四个距离 两个距离 (四只脚) 正方形 对称性 A,C 两脚与地面距离之和f()
C
O C´
D´
A
x
D
B,D 两脚与地面距离之和 g()
正方形ABCD 绕O点旋转
且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
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模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
•二者结合 用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数 机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。
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数学建模的一般步骤
模型准备 模型检验 模型应用 模型假设 模型分析 模型构成 模型求解
模 型 准 备
了解实际背景
搜集有关信息
明确建模目的 形成一个 比较清晰 掌握对象特征 的‘问题’
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数学建模的一般步骤
模 型 假 设 针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设 在合理与简化之间作出折中 用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力 使用类比法
模 型 构 成
尽量采用简单的数学工具
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数学 建模
3W 规则
What
实际问题的 数学描述
搞楚是什么 探讨如何做 多问为什么
How
数学问题如 何求解
Why
解释与检验
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1.2
数学建模的意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。 • 工程技术领域, 数学建模无处不在； • 高新技术领域, 数学建模必不可少； • 数学是一种通用语言, 跨越语种沟通障碍.
数学建模的一般步骤
模型 求解 模型 分析 模型 检验 各种数学方法、软件和计算机技术 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性
模型应用
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数学建模的全过程
现 实 世 界 表述 求解 解释 验证
现实对象的信息 验证 现实对象的解答 表述
0 0 (0) (0) 1 0
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如果 如果
(0) 0 (0) 0
, 表明 0 , 由介值定理,存在 (0, / 2) 使得
( ) 0
因此, 总是存在一个旋转角度, 使得椅子的四 脚水平落在曲面上(即放平稳)
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C B´ B A´
a
O
A
D (a sin( 3 / 2), a cos( 3 / 2)) (a cos , a sin ) C ´
D´ D 雷达信号处理国防科技重点实验室
问题分析: 椅子四脚着地等价于四个脚都落 在曲面上,并且四个落点共面
数学模型: 设 f ( x, y) 是一个连续曲面, 则存在角度 使得曲面上的四个点
放稳 -四只脚着地
问题分析 通常 -三只脚着地 模 型 假 设
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形; • 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; • 地面相对平坦，使椅子在任意成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
模型是为一定目的，对客观事物进行简缩、抽 象、提炼出来的原型的替代物, 而不是原型本身. 模型集中反映了原型中需要的那一部分特征.
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1.1
从现实对象到数学模型
从实物到模型
行政部门： Cartoon模型
交通部门： 网状图模 型
航空部门： 赋值图(Graph) 模型 雷达信号处理国防科技重点实验室
甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
( x y ) 30 750 ( x y ) 50 750 求解
答：船速每小时20千米/小时.
x =20 y =5
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解决问题的另一个数学模型
基本假定: 1. 地面描述为连续曲面 f ( x, y); 2. 椅子围绕坐标原点水平旋转; 3. 转角规定为椅子对角连线与X轴的夹角, 记为; 4. 椅子四个脚在x-y平面上的坐标分别为
A(a sin , a cos ) B (a sin( / 2), a cos( / 2)) (a cos , a sin ) C (a sin( ), a cos( )) (a sin , a cos )
要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有 限步使全体人员过河.
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模型构成
xk~第k次渡河前此岸的商人数 yk~第k次渡河前此岸的随从数 sk=(xk , yk)~过程的状态 xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, S ~ 允许状态集合
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
1.3.2 商人们安全过河问题?
问题(智力游戏)
随从们密约, 在河的任一 岸, 一旦随从的人数比商 人多, 就杀人越货. 但是乘船渡河的方案由商人决定. 商人们怎样才能安全过河?
河
小船(至多2人)
3名商人
3名随从
问题分析
多步决策过程
决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员
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数学建模的具体应用
•
分析与设计 控制与优化
•
预报与决策 规划与管理
•
•
数学建模
如虎添翼
计算机技术
知识经济
数学建模不是万能的，但对于从事理工科研 究的人，不会数学建模是“万万不能的”！ 雷达信号处理国防科技重点实验室
1.3
1.3.1
数学建模示例
椅子能在不平的地面上放平稳吗 ?
[a sin , a cos , f (a sin , a cos )] [a cos , a sin , f (a cos , a sin )] [a sin , a cos , f ( a sin , a cos )] [a cos , a sin , f ( a cos , a sin )]
(归纳)
数学模型 求解 (演绎)
解释
数学模型的解答
数 学 世 界
根据建模目的和信息将实际问题‚翻译‛成数学问题
选择适当的数学方法求得数学模型的解答
将数学语言表述的解答‚翻译‛回实际对象
用现实对象的信息检验得到的解答
实践
理论
实践
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归纳和演绎---在数学建模中的作用
归纳就是从现象发现事 物本质运行规律的过程 观察到的现象: • 数据记录 • 常识与结论 • ……. 演绎就是从已知和证实 的运行规律,通过合理的 分析和推导得出新的结 论和规律. • 数学上的定理和推论 都是从基本公理通过演 绎得到的重要结论 • 工学中,同样从电子线 路的基本原理(定律)可 以演绎出许多重要结论.
uk~第k次渡船上的商人数
vk~第k次渡船上的随从数 sk+1=sk +(-1)k dk
uk, vk=0,1,2;
k=1,2, ~状态转移律
dk=(uk , vk)~决策 D={(u , v) u+v=1, 2} ~允许决策集合
多步决策 问题
求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按转 移律由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0).
y 3
s1
d1
2
d1, ，d11给出安全渡河方案
1
评注和思考
规格化方法,易于推广
d11 0
sn+1
1
2
3
x
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1.4
数学建模的方法和步骤
数学建模的基本方法
•机理分析 根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律
•测试分析 将对象看作‚黑箱‛,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型
1.1
从现实对象到数学模型