数学建模 第一讲
数学建模讲义第一章
第一章引言众所周知，21世纪是知识经济的时代，所谓知识经济是以现代科学技术为核心，建立在知识和信息的生产、存储、使用和消费之上的经济；是以智力资源为第一生产力要素的经济；是以高科技产业为支柱产业的经济。
知识创新和技术创新是知识经济的基本要求和内在动力，培养高素质、复合型的创新人才是时代发展的需要。
创新人才主要是指具有较强的创新精神、创新意识和创新能力，并能够将创新能力转化为创造性成果的高素质人才。
培养创新人才，大学教育是关键，而大学的数学教育在整个大学教育，乃至在人才的培养中都起着重要的奠基作用。
正如著名的数学家王梓坤院士所说：“今天的数学兼有科学和技术两种品质，数学科学是授人以能力的技术。
”数学作为一门技术，现已经成为一门能够普遍实施的技术，也是未来所需要的高素质创新人才必须要具有的一门技术。
随着知识经济发展的需要，创新人才的供需矛盾日趋突现，这也是全社会急呼教学改革的根本所在。
因此，现代大学数学教育的思想核心就是在保证打捞学生基础的同时，力求培养学生的创新意识与创新能力、应用意识与应用能力。
也就是大学数学教育应是基于传授知识、培养能力、提高素质于一体的教育理念之下的教学体系。
数学建模活动是实现这一改革目标的有效途径，也正是数学建模活动为大学的数学教学改革打开了一个突破口，近几年的实践证明，这一改革方向是正确的，成效是显著的。
1.1 数学建模的作用和地位我们培养人才的目的主要是为了服务于社会、应用于社会，促进社会的进步和发展。
而社会实际中的问题是复杂多变的，量与量之间的关系并不明显，并不是套用某个数学公式或只用某个学科、某个领域的知识就可以圆满解决的，这就要求我们培养的人才应有较高的数学素质。
即能够从众多的事物和现象中找出共同的、本质的东西，善于抓住问题的主要矛盾，从大量的数据和定量分析中寻找并发现规律，用数学的理论和数学的思维方法以及相关的知识去解决，从而为社会服务。
基于此，我们认为定量分析和数学建模等数学素质是知识经济时代人才素质的一个重要方面，是培养创新能力的一个重要方法和途径。
第1讲 数学建模简介 PPT课件
一. 数学科学的重要性 * 科学技术是第一生产力； * 信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争； * “高技术”本质上是一种数学技术； * 数学科学是一种关键的、普遍的、能够实行 的技术； * 计算机的飞速发展促使数学得以广泛应用； * 在经济竞争中数学科学是必不可少的;
现代数学： 在理论上更抽象； 在方法上更加综合； 在应用上更为广泛。
帮助展开思路的方法：
提问题法 关键词联想法
常用的问题如下： （l） 这个问题和什么问题相类似？ （2）假如变动问题的某些条件将会怎样？ （3）将问题分解成若干部分再考虑会怎样？ （4）重新组合又会怎样？ 为进一步打开思路还可提以下问题：
（5）我们还可以做什么工作？
（6）有无需要进一步完善的内容？
（7）可否换一种数学工具来解决此问题？
数学建模的意义：
所谓数学模型， 从广义上理解，数学中的概念，如数、向量、 集合、点、线、面、群、环、域、线性空间等 都是现实原型的数学模型．但这些是前人已经 建立起来的、成熟的数学模型， 从狭义上理解，是对现实存在的具体问题， 建立新的数学模型，这后一种理解，对学习数学 建模者来说更有意义。
例1.生物医学专家有了药物浓度在人体内随 时间和空间变化的数学模型后，可以用来分析药 物的疗效，从而有效地指导临床用药.
模型假设 （1）该车的重心沿一个半径为r的园做 圆周运动（根据交通学原理，现有公路 的弯道通常是按圆弧段设计的,需要检 验）。 （2）汽车速度v是常数（因刹车失灵， 所以刹车不起作用）。 （3）设摩擦力f作用在汽车速度的法线上， 摩擦系数为常数k，汽车质量为m。
模型建立
根据牛顿运动学定律： f=kmg=mv2/r （1.1） 模型求解 由（1.1）式得 v= kgr （1.2） 关于园半径的估计:假设已知园的弦长为c,弓形高度为h, 由勾股定理得, 由表1.1得 c≈33.27m, h≈3.55m, r≈40.75m.
数学建模第一讲
作为研究 DNA 序列的结构的尝试，提出以下对序列集合进行分类的问题：有
40 个序列（见附件），请从中提取特征，构造分类方法进行分类，把结果用序列
标号（按从小到大的顺序）标明它们的类别：
A 类：
；
B 类：
；
非 A、B 类：
。
请详细描述你的方法，给出计算程序。如果你部分地使用了现成的分类方法
也要将方法名称准确注明。
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第 1 讲 第 3 页（共 12 页）
8．atggccgatcggcttaggctggaaggaacaaataggcggaattaaggaaggcgttctcgcttgtcga caaggaggcggaccataggaggcggattaggaacggttatgagg 9．atggctgaaaaaggaaatgtttggcatcggtgggctccggcaactggaggttcggccatggaggcga aaatcgtgggcggcggcagcgctggccggagtttgaggagcgcg 10．tggccgcggaggggcccgtcgggcgcggatttctacaagggcttcctgttaaggaggtggcatcca ggcgtcgcacgctcggcgcgcggcaggaggcacgcgggaaaaaacg 11．gttagatttaacgttttttatggaatttatggaattataaatttaaaaatttatatttttaggtaa gtaatccaacgtttttattactttttaaaattaaatatttatt 12．gtttaattactttatcatttaatttaggttttaattttaaatttaatttaggtaagatgaatttgg ttttttttaaggtagttatttaattatcgttaaggaaagttaaa 13．gtattacaggcagaccttatttaggttattattattatttggattttttttttttttttttttaag ttaaccgaattattttctttaaagacgttacttaatgtcaatgc 14．gttagtcttttttagattaaattattagattatgcagtttttttacataagaaaatttttttttcg gagttcatattctaatctgtcttattaaatcttagagatatta 15．gtattatatttttttatttttattattttagaatataatttgaggtatgtgtttaaaaaaaatttt tttttttttttttttttttttttttttaaaatttataaatttaa 16．gttattttaaatttaattttaattttaaaatacaaaatttttactttctaaaattggtctctggat cgataatgtaaacttattgaatctatagaattacattattgat 17．gtatgtctatttcacggaagaatgcaccactatatgatttgaaattatctatggctaaaaaccctc agtaaaatcaatccctaaacccttaaaaaacggcggcctatccc 18．gttaattatttattccttacgggcaattaattatttattacggttttatttacaattttttttttt tgtcctatagagaaattacttacaaaatggattttacatactt 19．gttacattatttattattatccgttatcgataattttttacctctcgctgagtttttattcttact ttttttcttctttatataggatctcatttaatatcttaa 20．gtatttaactctctttactttttttttcactctctacattttcatccttctaaaactgtttgattt aaacttttgtttctttaaggattttttttacttatcctctgttat 21．tttagctcagtccagctagctagtttacaatttagacaccagtttcgcacccatctaaatttcgat ccgtaccgtaatttagcttagatttggatttaaaggatttagatga 22．tttagtacagtagctcagtccaagaacgatgtttaccgtaacgtacgtaccgtacgctaccgttac
数学建模第一讲
一个大学生如果具有坚实的数学基础(素质),那么将来他(她)无论从事什么样的工作, 成功的机会都大.数学建模是用数学来解决各种实际问题的桥梁, 因此了解、掌握数学建模的思想和方法也是具有良好的数学基础(素质)的重要组成部分.“硬能力”很重要！“一位美国朋友谈及对未来中国人的看法: 20年后, 中国年轻人会丢了中国人现在的硬能力, 他们崇拜各种明星, 不愿献身科学, 不再以学术研究为荣, 聪明拔尖的学生都去学金融、法律等赚钱的专业; 而美国人因为认识到其硬能力(例如数学)不行, 进行教育改革, 20年后, 不但保持了其软实力即非专业能力的优势, 而且在硬能力上赶上中国人.”—“正在丢失的硬实力”, 鲁鸣, 《青年文摘》2011年第5期其实金融、法律等专业也需要许多数学!(全文见“参考文章”)什么是数学建模?数学模型(Mathematical Model)是用数学符号对一类实际问题或实际发生的现象的(近似的)描述.数学建模(Mathematical Modeling)则是获得该模型并对之求解、解释验证并得到结论的全过程.数学建模不仅是了解基本规律, 而且从应用的观点来看更重要的是预测和控制所建模的系统的行为的强有力的工具.↑→→→→→→→→↓↑↓↑↓↓↑↓←←←←←通不过↓↓通过定义：数学建模就是上述框图多次执行的过程简言之:合理假设、数学问题、解释验证.数学问题 = 建立数学模型 + 求解数学模型合理假设、建立数学模型、求解数学模型、解释验证.记住这些, 将会受益即使对于那些自己几乎不做建模的学生, 他们也将面对其他人的模型.(Even students who will do little modeling on their own will be confronted by the models of others.)数学上, 希格斯玻色子(的存在性)是描述称为希格斯场的一种力场的方程组的一个推论. ……物理学家Brian Greene说: “这是能对现实世界的各种事情作出预测的数学方法的伟大胜利.”“40多年来, 这个希格斯玻色子一直是我们的方程中假设的数学符号.”(Essay: Nature's secrets foretold Higgs discovery celebrates math's power to make predictions about the real world, By Tom Siegfried, Science News, July 4th, 2012.)植根于核科学的数学模型也在环境科学家的工具箱中找到了一席之地. 依赖于数值方法的最早的全球气候模型与核武器设计者研发的模型十分相似, 后者是为了分析核爆炸产生的冲击波必须求解的流体动力学方程.(Nuclear Weapons' Surprising Contribution to Climate Science, ScienceDaily (July 13, 2012))贷款问题 — 离散模型某人想贷款200,000, 20年用来买房. 如果按当时的年利率6.39%, 20年后一次还清的话, 银行 将按月利率0.5325%的复利计算, 要还240200000(10.005325)723,410+= 太多了, 怕还不起, 所以决定每个月还一点钱.假设: 月等额还款，20年还请.提示:贷款模型是按月利率，按月计算的.用符号表示，设一开始的贷款金额记为0(200,000)A =，贷款年数记为(240)N =月， 年利率记为R = 0.0639，月利率记为r = R/12 = 0.005325数学模型的建立：确定变量以及变量之间的关系, 即数学模型的建立：这个月(记为第n 个月)尚欠银行的款数记为n A , 上个月(记为第n - 1个月)结余欠款记为1n A -加上利息记为1(1)n A r -+，减去这个月的还款x , 还欠1(1)n A r x -+-.所以,这个月的欠款等于上个月欠款加上利息, 再减去这个月的(等额)还款; 一开始的借(欠)款已知; 20年必须还清. 用数学语言表示, 即:1(1) 1,2,3,..., ; 0-=+-=⎧⎨=⎩已知n n N N A A r x n N A A240240, 0N A ==表示20年 = 240个月还清贷款.求解这个数学模型只需要用到等比级数部分和的求和公式.数学模型的求解:[][]1021020(1)(1) (1)(1) (1)1(1)A A r x A A r xA r x r x A r x r =+-=+-=+-+-=+-++[]{}3220320(1) (1)1(1)(1) (1)1(1)(1)A A r xA r x r r xA r x r r =+-=+-+++-⎡⎤=+-++++⎣⎦容易观察出规律, 并用数学归纳法证明, 对于任何n 有210(1)1(1)(1)...(1)n n n A A r x r r r -⎡⎤=+-+++++++⎣⎦由等比级数部分和的求和公式(1r y +=)211(1)(1...), 1,1n n y y y y yn y --=-++++≥>于是有00(1)1(1)1(1)(1)(1)1n nn nn r r A A r x A r x r r +-+-=+-=+-+-由于0N A =, 所以0(1)(1)1N NA r r x r +=+-解释验证:利用数学软件, 例如, Mathematica ，Matlab ，可以用不同的数据代入此公式得到结果和银行的结果相比较相关问题 在公式0(1)(1)1N NA r r x r +=+-4个变量中任何一个都可以作为因变量，其他3个作为自变量，这样就又有了另外3个数学模型.0(1)[(1)1]kkk x A A r r r =+-+-0(1)(1)1n nA r r x r +=+-0ln[]ln(1)x x A r n r -=+或0log[]log(1)x x A rn r -=+0[(1)1](1)nn x r A r r +-=+练习请严格按照“合理假设、数学模型的建立、数学模型的求解、解释验证”的步骤来回答下列问题.某人想贷款买房, 他估计在10年里每月的还款能力x = 3000元没有问题, 已知贷款年利率R = 6%(月利率r = 0.5%), 贷款年数为N = 10年. 1. 建立他应该借多少钱的数学模型.2. 请从你所建立的数学模型估算一下他应该借(贷款)多少钱?(提示:120(1.005) 1.8194 ).作业花旗银行的一则低息现金贷款广告：借50,000元, 分36期(月) 还清, 每月还1,637元. 问：该银行的贷款月利率为多少？再论贷款问题 — 连续模型(微分方程)模型, 连续模型和离散模型的关系预习：设()s t 为随时间变化的距离函数，在时间间隔 ,t t t +∆[]上的平均速度为()()()s t t s t v t t+∆-=∆若当0,0t t ∆≠∆→时平均速度的极限0,0()()lim t t s t t s t t ∆≠∆→+∆-∆存在，则称其为t 时刻的瞬时速度，记为d ()()()d s t v t s t t'==，即0,0()()()()lim t t s t t s t v t s t t ∆≠∆→+∆-'==∆()v t 也称为函数()s t 的导数(或微商).函数乘积的求导法则: 设(),()f x g x 都可导, 即(),()f x g x ''存在, 则(()())()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅定积分, 微积分基本定理:()()()()bx b x aaf x dx f x f b f a =='==-⎰我们还是以贷款问题为例. 借期(单位时间)一期不一定非要一个月, 信用卡的计息就是按天算的. 所以考虑连续模型是有道理的.假设一开始0t =的贷款(或借款)本金总额记为0A , 单位时间(一期)的利率记为r%, 只不过这时假设时间是连续的, 也就是说, 要把 n 个单位时间后所欠金额记为n A 改为0t >时刻所欠金额()A t . 任何时刻都可以计算所欠银行的金额.我们来建立模型, 先不考虑等额还款. 在时间区间 [,]t t t +∆上, t t +∆时刻所欠金额为()A t t +∆, t 时刻所欠金额为()A t , 因此在区间 [,]t t t +∆里所欠金额的增加为 ()rA t t ∆, 应该有()()()A t t A t rA t t +∆-=∆或()()()A t t A t rA t t+∆-=∆如果[,]t t t +∆的长度t ∆越来越小, 并趋于零时, 即0t ∆→时, 就得到下列连续模型(微分方程模型)()() t>0(0)dA t rA t dtA A ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 它的解为0()rtA t A e =如果设单位时间的长度为1, t 等于k 个单位时间,即 t k =, 从而有000002()()()(1)!!rk r knnk k n n A k A e A e r r A A r n n ∞∞======++∑∑如果 r 比较小, 则可以认为有一次近似式0()(1)kA k A r =+或由带Lagrange 余项的泰勒(Taylor)公式,20000()()()()()()2!f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+-其中ξ在0x 和x 之间.若00, , rrde x x r e dr=→=,则有 212!rr ee r ξ=++如果 r 比较小, 则可以认为有一次近似式 0()(1)kA k A r =+现在再来考虑等额还款, 即单位时间里还固定的金额 x , 于是模型变成()()()A t t A t rA t t x t +∆-=∆-∆令 0t ∆→, 就得到()() 0(0)⎧=->⎪⎨⎪=⎩dA t rA t x t dtA A 由()()dA t rA t xdt-=- 两边乘 rte-,()()rt rt rtdA t e re A t xe dt----=- 即()(())()rtrtrt rtdA t d e A t ere A t xe dt dt-----==-从 0 到 t 积分就得到()(0)(1)rtrtx e A t A e r---=-000()(1)(1)()rtrt rtrtrt rt x A t A e e er x A e e rx xA e r r-=+-=+-=-+当 t k = 时, 再利用 rke的一次近似(1)rkke r ≈+就得到00()()(1) (1)((1)1)kk kx x A k A r r rx A r r r=-++=+-+-若, ()0t N A N ==，则连续模型中相应的公式分别为000(1)()r Nr Nr N x x x A ee A e r r r =+-=-+0 (1)r Nr NA re x e =-0log[]x x A rN r-=, 0 ()1r Nr Nx e A e =-为求()0A N =的r , 需要求解下面的代数方程式00r Nr NA rexex -+=若0200000,0.005325,240A r N ===,则离散模型算出的还款为1478.22x =; 而连续模型算出的还款为 1476.28c x x =<。
第1讲 数学建模简介 PPT课件
什么是数学建模 数学建模步骤及分类 建模竞赛及其意义 建模实例讲解
什么是数学建模
什么是数学模型 一般意义上的“模型”
为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提 炼出来的原型的替代物。
水箱中的舰艇； 风洞中的飞机等；
实物模型
符号模型
物理模型
什么是数学建模
数学模型（mathematical model)
引例
第二块钢板的故事，来自一位将军。 诺曼底登陆时，美军101空降师副师长唐·普拉特准将
乘坐的是滑翔机。起飞前，有人自作聪明，在副师长的座 位下，装上厚厚的钢板，用来防弹。由于滑翔机自身没有 动力，与牵引的运输机脱钩后，必须保持平衡滑翔降落， 沉重的钢板却让滑翔机头重脚轻，一头扎向地面，普拉特 准将成为美军在当天阵亡的唯一将领。
什么是数学建模
数学建模（mathematical modeling)
“新”名词 你是什么时候开始知道有这个名词的？
历史悠久 •《九章算术》— 最早的数学建模专著、 收集了246个应用题 • 以问题集形式出现： 一“问” —提出问题 二“答” —给出问题的数值答案 三“术” —讨论同类问题的普遍方法或算法 四“注” —说明“术”的理由，实质指证明或佐证
飞行员们一看就明白了，如果座舱中弹，飞行 员就完了；尾翼中弹，飞机失去平衡，就会坠落— ——这两处中弹，轰炸机多半回不来，难怪统计数 据是一片空白。
因此，结论很简单：只给这两个部位焊上钢板。
引例
• 第一块钢板是机智的飞行员用它挽救了自己 的生命。 • 第二块钢板则是教训，它是用宝贵的生命换 来的。 • 第三块钢板是升华，用科学的方法，从实战 经验中提炼出规律，这块讲科学的钢板，挽救 了众多飞行员的生命。
数学建模第一讲
目录
• 数学建模简介 • 数学建模基础知识 • 数学建模基本方法 • 数学建模案例分析 • 数学建模实践与挑战
01
数学建模简介
数学建模的定义
数学建模
使用数学语言、符号、公式等工 具，对现实世界的问题进行抽象 、简化、假设和推理，从而得出 数学模型的过程。
数学模型
根据实际问题建立起来的数学结 构，它可以用来描述和预测现象 的发展规律和趋势。
概率论建模方法的特点是能够描述随机性和不确定性，但计算过程可能较为复杂， 需要借助计算机软件进行模拟和计算。
04
数学建模案例分析
人口增长模型
总结词
描述人口随时间变化的规律
详细描述
人口增长模型通常采用指数增长或逻辑增长模型来描述人口随时间变化的规律。通过收集历史数据并拟合模型参 数，可以预测未来人口数量，为政策制定提供依据。
数学建模的重要性
解决实际问题
数学建模是解决实际问题的有效 手段，通过建立数学模型，可以 更好地理解和解决现实世界中的
问题。
促进跨学科合作
数学建模需要不同领域的专家合作， 可以促进跨学科的合作和交流，推 动科学技术的发展。
提高数学应用能力
数学建模可以提高数学的应用能力， 将理论知识与实践相结合，增强学 生的综合素质。
进行研究和解决。
02
数学建模基础知识
代数基础
代数方程与不等式
掌握代数方程的解法，理解不等式的 性质和求解方法。
函数与极限
理解函数的定义和性质，掌握极限的 概念和计算方法。
微积分基础
导数与微分
理解导数的概念和性质，掌握微分的计算方法。
积分
理解积分的概念和性质，掌握定积分的计算方法。
第一讲 1数学建模概述
课时小结：
本节课我们主要学习、了解了数学建模 的发展简史及其相关建模概念, 并通过引例 让大家对数学建模的解题步骤有了初步理 解和认识。希望能以此培养大家对建模的 兴趣爱好——生活中，问题几乎到处都存 在着，只要大家用心，可以发现很多问题 都可以通过数学建模来进行分析和解决！
数学建模过程
现实对象的 表述 信息 （归纳）
验 证 求 解 ） 解释 绎 （ 演
现实对象的 解
现实对象
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解
的
的
数学建模过程也可细分为下面七个步骤：
(1)建模准备；(2)化简假设；(3)建立数学模型；(4)模型 求解；(5)模型分析；(6)模型检验；(7)模型应用。 其中建立数学模型是关键。
所谓的数学模型，就是针对或参照某种事物系统的特 征或数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近 似地表达出来的一种数学结构。 提炼数学模型时，一般需要把研究对象看成一个系统， 抓住系统的主要因素，屏弃系统的次要因素，并根据有关 科学理论确定反映系统状态、特征和变化规律的基本量， 再分析研究数量关系以形成能够求解的数学问题。 数学模型必须具备以下条件： 1）既反映现实原型的本质特征，又要加以合理的简 化； 2）在数学模型上要能够对所研究的问题进行理论分 析，逻辑推导，得出确定的结论； 3）在数学模型上求得的结果要能回到具体研究对象 中去，解决实际问题。
C0 + L q= . P−C
课堂练习
1 某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午 5时到达山顶并留宿；次日早8时沿同一条路径下 山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中的 同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？
（相当于有两个人在同一时刻出发相遇的问题）
数学建模讲座(一)什么是数学建模？
第一讲 什么是数学模型
建立数学模型
什么是数学模型
玩具、照片… 我们常见 的模型 风洞中的飞机… 地图、电路图… ~ 实物模型 ~ 物理模型 ~ 符号模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行 模型 简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。 模型
怎样学习数学建模
数学建模与其说是一门技术， 数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术 技术大致有章可循 想象力 艺术无法归纳成普遍适用的准则 判断力 创新意识
洞察力
学习、分析、评价、改进别人作过的模型 学习、分析、评价、 亲自动手，认真作几个实际题目 亲自动手，
数学建模的重要意义
电子计算机的出现及飞速发展 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透
数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。 数学建模
如虎添翼
计算机技术
知识经济
建模示例 椅子能在不平的地面上放稳？
问题 椅子能在不平的地面上放稳吗？ 模 型 1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四 假 脚的连线呈正方形； 设 2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没 有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面； 3. 模 型 构 成 椅脚连线为正方形ABCD( t ~椅子 点O 度 )
x (t ) = x 0 e
r t
rt
dx = rx , x ( 0 ) = x 0 dt
x(t) = x0 (e ) ≈ x0(1+r)
t
随着时间增加人口按指数规律无限增长
指数增长模型的应用及局限性
与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降)
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标准 假设的合理性，建模的创造性，
结果的正确性，表述的清晰性。
宗旨
创新意识
团队精神
重在参与
公平竞争
数学建模竞赛CUMCM近年题目
年份 2003 2004 A题 SARS的传播 奥运会临时超 市网点设计 B题 C题 露天矿生产的 SARS的传 车辆安排 播 电力市场的输 饮酒驾车 电阻塞管理 D题 抢渡长江 公务员招聘
数学建模的全过程
现 实 世 界 现实对象的信息 验证 现实对象的解答 表述
(归纳)
数学模型 求解 (演绎)Biblioteka 数 学 世 界解释
数学模型的解答
表述 求解 解释 验证
根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问 题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答 将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象 用现实对象的信息检验得到的解答
2007 2008
CUMCM题目特点
•题目来源: 实际研究课题的简化、改编；有实际背 景问题的编撰；合适的社会热点（或兴趣）问题 •题目背景尽量通俗易懂，涉及的专业知识不深 •题目需要的数学知识一般不超过本科的三门主干 课（非数学专业）内容及统计、优化、计算等基本 方法；专科题目力求少用大学数学内容 •解题所用的数学方法尽量多元化、综合化 •可以查阅到一些参考材料，但是无法照搬现成文献 •兼顾数据的处理与数据的收集
我国大学生数学建模竞赛 （CUMCM）
• 1992年中国工业与应用数学学会(CSIAM)开始组织
• 1994年起教育部高教司和CSIAM共同举办(每年9月) • 1999年起竞赛分为甲组(本科)、乙组(高职高专组) • 2008年有31省(市、区）的1022所学校12836队参加 • 奖励：全国一等奖（约2%）、全国二等奖（约7%） 教育部高教司和CSIAM共同签章 • 优秀论文刊登于次年《工程数学学报》（ 2000年前为 《数学的实践与认识》） • 网址：
数学建模的一般步骤
模型准备 模型检验 模型应用 模型假设 模型分析 模型构成 模型求解
模 型 准 备
了解实际背景
搜集有关信息
明确建模目的
掌握对象特征
形成一个 比较清晰 的‘问题’
数学建模的一般步骤
模 型 假 设 针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设 在合理与简化之间作出折中 用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力 使用类比法
实践
理论
实践
数学模型的特点和分类
数学模型的特点
模型的逼真性和可行性 模型的渐进性 模型的非预制性 模型的条理性 模型的技艺性 模型的局限性
模型的强健性
模型的可转移性
数学模型的分类
应用领域 数学方法 人口、交通、经济、生态 … … 初等数学、微分方程、规划、统计 … …
表现特性
确定和随机
离散和连续
数学建模问题无处不在
欧氏几何、微积分、万有引力公式、虎克定 律、运动定律、库仑定律、开普勒三定律、 能量转换定律、广义相对论、化学元素周期 表、SARS、 AIDS、基因序列的分析、人口 的增长、可持续资源的开发、电网稳定性、 核试验的模拟、三峡大坝的安全、软件的开 发、交通管理、物价指数、股票 ……
2005
2006
长江水质的评 价和预测
出版社的资源 配置 中国人口增长 预测 数码相机定位
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数学建模进入大学是教学改革的需要
• 数学教育应该培养学生两种能力：“算数学” （计算、推导、证明…）和“用数学”（实际问 题建模及模型结果的分析、检验、应用）；
• 传统数学教学体系和内容偏重前者，忽略后者；
• 数学建模引入教学旨在培养“用数学”的能力
引起注意 激发兴趣 介绍方法 培养能力
• 数学建模引入教学是不打乱现有体系下的教改实验。
~ 实物模型 ~ 物理模型 ~ 符号模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行 简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。
原型与模型的区别
原型： 原型是指人们在现时世界里关心、研究或者 从事生产、管理的实际对象。 模型： 模型是指为了某个目的，将原型的某一部分信
竞赛培养创新精神和综合素质
数学建模竞赛是大学阶段除毕业设计外难得的一次 “真刀真枪”的训练，相当程度上模拟了学生毕业 后工作时的情况 丰富、活跃了广大同学的课外生活 为优秀学生脱颖而出创造了条件
数学建模竞赛的赛后效果
竞赛三阶段: 赛前培训、三天竞赛、赛后继续 • 2004年的“饮酒驾车”赛题是让学生分析、估计司 机饮用少量酒后多长时间驾车才符合交通规则 • 重庆某校师生与当地交警大队联系，由交警大队 安排司机做试验，由师生分析：根据司机肇事时的 血液酒精浓度推测他饮用了多少酒；根据司机肇事 若干时间后的血液酒精浓度推测他肇事时的浓度 • 该成果参加第九届“挑战杯”全国大学生课外学 术科技作品竞赛并获奖
枯木周四尺、高九尺；葛藤经 三周而达其顶；藤长几何也? 生命起源问题
数学建模
科学研究
数学建模的难度
数学建模所涉及的学科知识是非常广泛的。 如微分方程、线性代数、概率统计、图与网络、 回归分析、层次分析、量纲分析、机理分析、 规划论、排队论、对策论、决策论、插值方法、 差分方法、样条方法、变分方法等优化方法， 以及计算机的操作和编程。 数学建模所需要知识首先是“广”，其次是 “精”。 团队协作是必要的
数学建模讲座
Mathematical Modeling
第一讲 引言
数学是理解世界的方法，数学是万物的度量。 -----毕达哥拉斯 自然界的规律是用数学写成的。 ------伽利略
上帝亲手做过的事情，只有通过数学才能理解。 ------开普勒
什么是数学建模
数学建模—用数学公式来表述实际问题
玩具、照片… 常见模型 风洞中的飞机… 地图、电路图…
静态和动态
线性和非线性
建模目的
了解程度
描述、优化、预报、决策 … …
白箱 灰箱 黑箱
怎样学习数学建模
数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术
技术大致有章可循 想像力 艺术无法归纳成普遍适用的准则 洞察力 判断力
• 学习、分析、评价、改进别人作过的模型
• 亲自动手，认真作几个实际题目
数学建模示例1 张阿婆携一篓鸡蛋到集市上去出售，若 ９个一堆则余２个，若１２个一堆则余 ７个，问共有鸡蛋多少个？
数学建模
如虎添翼
计算机技术
知识经济
• 数学迅速进入一些诸如经济、生态、人口、交通 等领域，为数学建模开拓了许多新的处女地.
数学建模进入大学是社会发展的需要
“数学是一种关键的,普遍的,可应用的技术” 数学“由研究到工业领域的技术转化， 对加强经济竞争具有重要意义” “计算与建模成为中心课题，它们是数学科学 技术转化的主要途径”。 教育必须反映并满足社会发展的需求
模 型 构 成
尽量采用简单的数学工具
数学建模的一般步骤
模型 求解 模型 分析 模型 检验 各种数学方法、软件和计算机技术 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性
模型应用
建立数学模型的方法和步骤
第一、 模型准备 首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对 象的特征。 第二、 模型假设 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作 出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气 但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力 ，善于辨 别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 第三、 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构 造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地， 这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、 对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为 了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 第四、模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的 数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还 得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 第五、模型分析 对模型解答进行数学上的分析。"横看成岭侧成峰，远近高低各不同"，能否对模型 结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种 情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。
竞赛培养创新精神和综合素质
• 三天内自由地使用图书馆和互联网，培养同学在短 时间内获取与赛题有关知识的能力 • 完成一篇用数学建模方法解决实际问题的完整的科 技论文，培养同学的文字表达能力 • 分工合作、取长补短、求同存异、同舟共济，培养 同学的团队精神和组织协调能力 • 在三天开放型竞赛中自觉遵守纪律，培养诚信意识 和自律精神
为何要进行数学建模竞赛
建立数学模型来解决实际问题的过程，是
各行各业、各科技领域大量需要的，做这样
的事情远不只是运用数学知识来求解数学题
目的能力，而需要多方面的综合知识与能力。
因此高校应当努力培养和提高学生在这方面
的能力。
数学建模进入大学是社会发展的需要
• 计算机技术和数学软件的迅速发展，为数学建模 的应用提供了强有力的工具;
数学建模的开始
正是由于认识到培养应用型、研究型科技人才 的重要性，而传统的数学竞赛不能担当这个任务， 从1983年起，美国就有一些有识之士探讨组织一项 应用数学方面的竞赛的可能性。经过论证、争论、 争取资金等过程，1985年举行了美国第一届大学生 数学建模竞赛。