积分证明题
运用罗尔定理和积分中值定理的证明题
运用罗尔定理和积分中值定理的证明题1. 罗尔定理的表述罗尔定理是微积分中的一个重要定理，它表明如果一个函数在闭区间上连续，在开区间内可导，并且在两个端点处的函数值相等，那么在开区间内一定存在至少一个点，使得该点的导数为零。
2. 罗尔定理的证明罗尔定理的证明可以分为以下几个步骤：a. 我们假设函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，并且在a和b处的函数值相等，即f(a) = f(b)。
b. 接下来，我们写出函数f(x)在开区间(a, b)内的导数f'(x)。
c. 我们利用导数的定义，证明在开区间(a, b)内一定存在至少一个点c，使得f'(c) = 0。
d. 我们对步骤c中找到的点c进行证明，使得其导数为零。
3. 积分中值定理的表述积分中值定理是微积分中的另一个重要定理，它表明如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在闭区间内一定存在至少一个点，使得该点的导数等于函数在整个区间上的平均导数。
4. 积分中值定理的证明积分中值定理的证明可以分为以下几个步骤：a. 我们假设函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导。
b. 接下来，我们计算函数f(x)在闭区间[a, b]上的平均导数，即(f(b) -f(a)) / (b - a)。
c. 我们写出函数f(x)在开区间(a, b)内的导数f'(x)。
d. 我们利用导数的定义，证明在闭区间[a, b]内一定存在至少一个点c，使得f'(c)等于函数在整个区间上的平均导数。
5. 罗尔定理和积分中值定理的关系罗尔定理和积分中值定理都是微积分中的重要定理，它们都是关于函数在闭区间上连续，在开区间内可导的性质。
罗尔定理是关于函数在开区间内的导数为零的性质，而积分中值定理是关于函数在闭区间上的平均导数的性质。
它们都是关于函数导数的性质，因此在一定条件下可以相互转化。
6. 总结罗尔定理和积分中值定理都是微积分中重要的定理，它们对于理解函数的性质和求解实际问题中的应用都有重要意义。
二重积分证明题
二重积分证明题（原创实用版）目录一、二重积分的概念和性质二、二重积分的证明方法三、二重积分证明题的实例解析四、总结与展望正文一、二重积分的概念和性质二重积分是多元函数积分中的一种，它是指对一个函数在空间中某个区域上的值进行两次积分。
二重积分具有以下性质：线性性、连续性、可积性等。
二、二重积分的证明方法在解决二重积分证明题时，通常采用以下几种方法：1.直接积分法：适用于简单的二重积分，直接对被积函数进行积分。
2.重积分换元法：适用于较复杂的二重积分，通过换元将二重积分转化为单重积分。
3.重积分分部积分法：适用于具有一定规律的二重积分，通过分部积分将二重积分转化为求和或差。
4.重积分对称性法：适用于具有对称性的二重积分，通过利用对称性简化积分计算。
三、二重积分证明题的实例解析举例：设函数 f(x, y) = x^2 + y^2，证明∫∫f(x, y) dxdy = π。
解：采用重积分换元法。
令 x = rcosθ，y = rsinθ，则 dxdy = rdrd θ。
将被积函数代入得：∫∫f(x, y) dxdy = ∫∫(r^2cos^2θ + r^2sin^2θ) rdrdθ= ∫r^3cos^2θ dtdr + ∫r^3sin^2θ dtdr = ∫r^2(rcos^2θ + rsin^2θ) drdθ= ∫r^2 r drdθ= ∫r^3 dr= r^2 |_{0}^{1}= π因此，证明了∫∫f(x, y) dxdy = π。
四、总结与展望二重积分证明题是多元函数积分中的一个重要内容，掌握好二重积分的证明方法对于解决实际问题具有重要意义。
通过本篇文章的学习，读者对二重积分的概念、性质以及证明方法有了更加深入的了解。
数学分析9定积分总练习题
第九章 定积分总练习题1、证明：若φ在[0,a]上连续，f 二阶可导，且f ”(x)≥0，则有⎰a 0(t)) f(φa 1dt ≥f(⎰a(t) φa 1dt). 证：设T 为[0,a]的一个分割，其分点为n ka , k=0,1,…,n, 即x k =nka. 由f ”(x)≥0知f 凸，∴f(∑=n1k k )(x φn 1)≤∑=n1k k ))(x f(φn 1.即∑=n 1k k n a ))(x f(φa 1≥f(na)(x φa 1n 1k k ∑=). ∵f, φ在[0,a]上都可积，且f 连续， ∴令n →∞，有⎰a 0(t)) f(φa 1dt ≥f(⎰a(t) φa 1dt).2、证明下列命题.(1)若f 在[a,b]上连续增，F(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=∈⎰ a.x ，f(a)b].a,(x f(t)dt a -x 1xa ， 则F 在[a,b]上增.(2)若f 在[0,+∞)上连续，且f(x)>0，则φ(x)=⎰⎰x 0x0f(t)dttf(t)dt 在(0,+∞)上严格增.要使φ(x)在[0,+∞)上严格增，需要补充定义φ(0)=?证：(1)F ’(x)= ⎪⎩⎪⎨⎧=∈-⎰ a.x ，0b].a,(x a)-(x f(t)dt a -x f(x)2xa， 根据积分中值定理知，存在ξ∈(a,x)，⎰xa f(t)dt =f(ξ)(x-a). 又f 在[a,b]上增， ∴F ’(x)=a-x )f(ξ-f(x)>0, x ∈(a,b]，∴F ’(x)≥0, x ∈[a,b]，∴F 在[a,b]上增.(2)任给x>0，有φ’(x)=2x0xx)f(t)dt (tf(t)dtf(x )f(t)dt x f(x )⎰⎰⎰- =2x0x0)f(t)dt (t)f(t)dt -(x f(x )⎰⎰.∵f(x)>0，∴(x-t)f(x)>0，∴⎰x0t)f(t)dt -(x >0，∴φ’(x)>0, x ∈(0,+∞)，∴φ(x)=⎰⎰x 0x0f(t)dttf(t)dt 在(0,+∞)上严格增. 又+→0x lim φ(x)=⎰⎰+→x 0x00x f(t)dttf(t)dt lim=f(x )x f(x )lim 0x +→=+→0x lim x=0， ∴只要补充定义φ(0)=c ≤0，则φ(x)在[0,+∞)上严格增.3、设f 在[0,+∞)上连续，且+∞→x lim f(x)=A. 证明：⎰+∞→x0x f(t)dt x1lim=A. 证：∵+∞→x lim f(x)=A ，∴任给ε>0，存在M>0，使当x>M 时，有|f(x)-A|<2ε，又当T>M 时，|A f(x)dx T 1T 0-⎰|=T1|⎰⎰-T 0T0Adx f(x )dx | =T1|⎰T0A]dx -[f(x )|≤⎰T 0dx |A -f(x)|T 1=⎰M 0dx |A -f(x)|T 1+⎰T M dx|A -f(x)|T 1 ≤⎰M 0dx |A -f(x)|T 1+2ε(1-TM). ∴只要取T 1=max{⎰M 0dx |A -f(x)|ε2, 2M}，则 当T>T 1时，就有|A f(x)dx T 1T 0-⎰|<2ε+2ε=ε.∴⎰+∞→T 0T f(x)dx T 1lim =⎰+∞→x0x f(t)dt x 1lim =A.4、设f 是定义在R 上的一个连续周期函数，周期为p ，证明：⎰+∞→x0x f(t)dt x 1lim =⎰p 0f(t)dt p 1. 证：令x=p λ，y=λt，则⎰x0f(t)dt x1=⎰p λ0y) y)d(λ f(λp λ1=⎰p 0y)dy f(λp 1=⎰p 0 t)dt f(λp 1. 由f(t)=f(t+np), n 为任意正整数，又np)f(t lim n ++∞→= t)f(λlim λ+∞→，∴⎰+∞→x0x f(t)dt x 1lim =⎰+∞→p 0λ t)dt f(λp 1lim =⎰++∞→p 0n )dt np f(t p 1lim =⎰p 0f(t)dt p1.5、证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数.证：设连续的奇函数f ，连续的偶函数g ，则它们的原函数分别为： F(x)=⎰x0f(t)dt +C ，G(x)=⎰x0g(t)dt +C.∵F(-x)=⎰-x 0f(t)d(t)+C=⎰x 0f(-t)d(-t)+C=-)f(t)d(-t x 0⎰+C=⎰x0f(t)dt +C=F(x)， ∴连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数又G(-x)=⎰-x0g(t)dt +C=⎰x 0g(-x )d(-t)+C=⎰x 0g(x )d(-t)+C=-⎰x0g(x )dt +C ≠-G(x)， ∴仅当G(x)=⎰x 0g(t)dt 时，G(-x)=-⎰x0g(x )dt =-G(x)， 即连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数.6、证明许瓦尔兹不等式：若f 和g 在[a,b]上可积，则 (⎰ba f(x )g(x )dx )2≤⎰b a 2(x )dx f ·⎰ba 2(x )dx g .证：若f 和g 在[a,b]上可积，则f 2,g 2,fg 都可积. 且对于任何t, (f+tg)2也可积.∵(f+tg)2≥0，∴⎰+b a 2tg)(f =⎰ba 2(x )dx f +2t ⎰ba f(x )g(x )dx +t2⎰ba2(x )dx g ≥0.∴二元一次方程的判别式△=4(⎰ba f(x )g(x )dx )2-4⎰ba 2(x )dx f ·⎰ba 2(x )dx g ≤0.∴(⎰b a f(x )g(x )dx )2≤⎰b a 2(x )dx f ·⎰ba 2(x )dx g .7、利用许瓦尔兹不等式证明：(1)若f 在[a,b]上可积，则(dx f(x )ba ⎰)2≤(b-a)⎰ba 2(x )dx f ； (2)若f 在[a,b]上可积，且f(x)≥m>0，则⎰ba f(x )dx ·⎰baf(x )dx≥(b-a)2； (3)若f,g 都在[a,b]上可积，则有闵可夫斯基不等式：21ba 2dx g(x))(f(x)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰≤21ba 2(x)dx f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+21ba 2(x)dx g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰. 证：(1)记g(x)=1，∵f 和g 在[a,b]上可积，根据许瓦尔兹不等式，有 (dx f(x )ba ⎰)2 ≤⎰b a dx ·⎰b a 2(x )dx f =(b-a)⎰ba 2(x )dx f . (2)若f 在[a,b]上可积，且f(x)≥m>0，则f ,f1在[a,b]上也可积. 根据许瓦尔兹不等式，⎰b a f(x )dx ·⎰baf(x )dx ≥(⎰⋅b a dx f(x)1f(x))2=(b-a)2. (3)∵⎰+ba 2dx g(x ))(f(x )=⎰⎰⎰++ba 2ba ba 2(x )dxg f(x )g(x )dx 2(x )dx f≤⎰⎰⎰⎰+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+ba 221ba ba 22ba 2(x)dx g (x)dx g (x)dx f 2(x)dx f=221b a 221b a 2(x)dx g (x)dx f ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰. ∴21ba 2dx g(x))(f(x)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰≤21ba 2(x)dx f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+21ba 2(x)dx g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰.8、证明：若f 在[a,b]上连续，且f(x)>0，则 ln ⎪⎭⎫⎝⎛⎰b a f(x )dx a -b 1≥⎰b a lnf(x)dx a -b 1. 证：在[a,b]中插入n-1个等分点a=x 0<x 1<x 2<…<x n =b. 记f(x i )=y i >0，于是由平均值不等式na-b (y 1+y 2+…+y n )≥(b-a)n n 21y y y ⋯=(b-a)e )y ln y (ln n a-b a -b 1n 1⋯+⋅.两边取极限得：⎰ba f(x )dx =na-b limn +∞→(y 1+y 2+…+y n )≥(b-a)na -b lim n +∞→e)y ln y (ln na-b a -b 1n 1⋯+⋅=(b-a)e⎰balnf(x)dx a -b 1.∴⎰b a f(x)dx a -b 1≥e ⎰balnf(x)dx a -b 1，∴ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰b a f(x )dx a -b 1≥⎰b a lnf(x)dx a -b 1.9、设f 为R +上的连续减函数，f(x)>0；又设a n =∑=n1k f(k)-⎰n1f(x )dx .证明：{a n }为收敛数列. 证：∵f 为R +上的连续减函数，∴a n =∑=n1k f(k)-⎰n1f(x )dx =∑=n 1k f(k)-∑⎰=+1-n 1k 1k k f(x )dx ≥∑=n 1k f(k)-∑=+1-n 1k k)-1f(k)(k =f(n)>0，即数列{a n }有下界，又a n+1-a n =f(n+1)-⎰+1n nf(x )dx ≤f(n+1)-⎰++1n n1)dx f(n =0.∴{a n }为递减数列. 由单调有界定理知{a n }收敛.10、证明：若f 在[a,b]上可积，且处处有f(x)>0，则⎰ba f(x )dx>0. 证：∵在[a,b]上处处有f(x)>0，∴使f(x)≤0的点只有有限个， 对[a,b]上任一分割T ，添加这些点为分点，则 在每一个小区间(x i ,x i+1)上恒有f(x)>0， ∴⎰+1i ix x f(x)dx>0, (i=0,1,…,n) 其中x 0=a, x n+1=b.∴⎰baf(x )dx =∑⎰=+ni 1i if(x )dx >0.。
数值积分习题
1. 试确定求积系数A,B,C 使解:2对于求积公式 3 次代数精度。
2. 给定求积公式如下：试证此求积公式是插值型的求积公式证:设 ,则以这三点为插值节点的 Lagrange 插值基函数为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛≈⎰4322141231)(1f f f dx x f 43,21,41210===x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4321843412141/4321)(0x x x x x l ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=43411643214121/4341)(1x x x x x l ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2141821434143/2141)(2x x x x x l dx x x dx x x dx x l ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102101008345843218)(3223882318832145318=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-=插值型求积公式为由插值型求积公式的定义知，所给的求积公式是插值型求积公式。
3. 确定求积公式使其具有尽可能高的代数精度解：不妨设a=0, b=h, b-a=h, 设所求公式的代数精度为2,则当f(x)=1,x,x 2时公式变成等式,即 解之得：其中h=b-a, 令f(x)=x 3代入上式, 两端不等, 说明求积公式只有2次代数精度dx x x dx x x dx x l ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=10210101163)16(4341)16()(3136161636116163213116-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=）（）（dx x x dx x x dx x l ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102101028143821418)(32238812143318=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛≈⎰4322141231)(1f f f dx x f )()()()(321a f A b f A a f A dx x f ba'++≈⎰[])()(2)(46)(32,6,31232a f h b f a f hdx x f hA h A h A b a '++≈===⎰⎰=1d xeI x4. 用复化梯形公式计算定积分 . 问区间[0,1]应分多少等份才能使误差不超过 解:取 ,则,又区间长度b-a=1，对复化梯形公式有余项即 ,n ≥212.85，取n=213，即将区间[0,1]分为213等份时，用复化梯形公式计算误差不超过5.给定求积公式)()0()()(h cf bf h af dx x f hh++-≈⎰-试确定c b a ,,使它的代数精度尽可能高。
定积分证明题
x 0
F ( x ) f (t )dt xf ( x ) xf ( x ) f (t )dt
0 x x 0
x
x
F ( x )与( x )都是 f (t )dt的原函数
F ( x )=( x ) C F (0)=(0) 0 C 0 F ( x )=( x )
0
T
F ( a)
a T a
f ( x)dx
0
F (a ) f (a T ) f (a ) 0
F (a) C F (0) f ( x)dx
0 T
于是
a T a
f ( x)dx f ( x)dx
0
T
例5. 设 f C a, b , f x 0, x a, b ,
2 x
[ 12dt ][
a
a x
f ( x) dx] a
x
2
( x a) [ f (t )]2 dt
x
( x a) [ f ( x)]2dx,
a
a b
f ( x )dx [ f ( x )] dx ( x a )dx
2 2 a a a
M.
例 10 若 f (x) 在[a，b]上连续可导，且 f(a)=0, 2 b b 1 2 2 则 f ( x )dx (b a ) f ( x ) dx . a a 2 x , 证 显然 f ( x ) a 1 f (t )dt由柯西-施瓦兹不等式, 则
f ( x) [ 1 f (t )dt )]2
由广义积分中值定理
n 1
x 1 1 1 n 1 xdx 1 x dx 1 n 1 0 0
微积分基础阶段证明题及答案
第九章微积分证明题【基础篇】1•证明方程「十4云一3工一1 = 0有三个实根.2.证明:每一个正数有平方根.3•证明方程」丁I I 単5 = 0有一根介于1 £2之何•另有一根介于x— 1 x 2 x— 32号3之间.4•证明'若字+¥+•••+ s =0•则对于区间（0>1）内的某个心有心+ 5工1 2 〃一］+ …+ — 0.5.求证】方程e r = or' +&r +T的根不超过三个.6.设/（Q于有穷或无穷的区间34 内的任一点有有限的导函数/（工），且lim /（z） = lim /<x）.证明：存在一点E W （a』〉•使得=0.7•设/（才》满足：（1）在团区何1。
•斗］上冇定义何冇（刃1）阶连续的导臥数r"n （x）»<2）在区间（文。
・.）内布”阶导函数和卜面的尊式成立：/<^0> = /（,）=…=/（X.X XQ V/1 < … <工丿・证明在区间（比，二）内至少存在一点&使广°（W）= 0.&假设函数fS在［0.1］上连续•在（0<1）内二阶可导•过点A（0</（0）>与B（l./（1）>的立线与|11|线y = /3 相交于点C（c,/（c〉），其中0<c<l.证明：在（oj）内至少存在一点竹使r® - o.9•设/（Q在［0.2a］上连续•且/（0） = /（2G•证明在［0y］上至少存在一点 W•他 /（^） = /（^+«）.10.设/（工〉和g（jr）在債•幻匕连续，且/（“》>尺（“）・/（小V R（ZO・证羽：存在ee a』）・使/XG = g・11.设m在s』］匕连续•在（a.zo内可导・H./（G = /（〃〉= o•证明：对任一实数八存在一点c W仏"）•使f3 = k/M.12.设“ V几弘>0•函数/（x）在上连续•在（“”> 内可嗷•且/（“〉= /W = 0.证明：存在一点w w （a』〉，使琴 =Z<e>.13.设不怛为常数的函数/（X）闭区间［a“］上连续•在开区间（“』》内可导. 且/（a）= /W・证明在（“"）内至少存在一点&使得/（$）>0.14.设/（工）、尺（工）在a.bj卜.连续•在［匕・〃〕内导弄0•求证：3 c E （“』）•使/(u) /(6)g(a) J (a)g(a)/(a)b/(A)=/<e> H(权g-g = Af）（黃）肛小一g（“）7（i）15•设/（工）是处处可导的倚西数•证明：对任一5>0・总存在e W （—几小便/(c)=竽.16.设在La. 6］上连续•在（垃鼻〉内町导•证明：存在一点<a-6）<17.设珀。
积分练习题
积分练习题一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分是：A. 0.33B. 0.5C. 1D. 22. 如果∫(0到π)sin(x)dx=2，那么∫(π到2π)sin(x)dx的值是：A. -2B. 0C. -1D. 13. 函数F(x)=∫(1到x)t^2dt的原函数是：A. x^3/3+CB. x^3+CC. (x^3)/3+CD. x^3/34. ∫(0到1)e^(-x)dx的值在以下哪个区间内：A. (0,1)B. (1,2)C. (0.3,0.7)D. (0.7,1)5. 以下哪个函数是∫(0到1)x^2dx的反导数：A. x^3/3B. x^3C. 3x^2D. 3x二、计算题（每题10分，共30分）1. 计算定积分∫(0到1)(2x+3)dx。
2. 求函数F(x)=∫(0到x)t^2e^t dt的原函数。
3. 计算∫(0到π/2)cos^2(x)dx，并证明其结果。
三、证明题（每题15分，共30分）1. 使用分部积分法证明∫(0到1)xln(x)dx=-1/4-1/4ln(1)。
2. 证明定积分∫(0到π)xsin(x)dx=2-π。
四、应用题（每题20分，共20分）1. 一个物体的位移函数为s(t)=t^3-t，t∈[0,2]，求物体在时间t=0到t=2这段时间内的平均速度。
答案：一、1. C2. B3. C4. C5. A二、1. ∫(0到1)(2x+3)dx = [x^2+3x]_0^1 = (1+3) - (0+0) = 42. F(x) = ∫(0到x)t^2e^t dt = [t^3e^t/3]_0^x = x^3e^x/3 - 1/33. ∫(0到π/2)cos^2(x)dx = ∫(0到π/2)(1+cos(2x))/2 dx = [x/2 + sin(2x)/4]_0^π/2 = π/4 + 1/4三、1. 设u=ln(x), dv=x dx, 则du=1/x dx, v=x^2/2∫(0到1)xln(x)dx = uv|_0^1 - ∫(0到1)vdu = (1/2)ln(1) - [x^2ln(x)/2]_0^1 = -1/4 - 1/4ln(1)2. ∫(0到π)xsin(x)dx = ∫(0到π)d(-cos(x)) = -xcos(x)|_0^π = -πcos(π) + 0 = 2-π四、物体的平均速度为位移的定积分除以时间，即：∫(0到2)(t^3-t)dt / 2 = [t^4/4 - t^2/2]_0^2 = (16-4)/4 = 3 物体在时间t=0到t=2这段时间内的平均速度为3。
第五章 定积分(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】高等数学练习题 第五章 定积分系 专业 班 姓名学号第一节 定积分的概念与性质一、选择题： 1、1lim n n →∞+ ⎪⎝⎭=[ B ]（A ）⎰212ln xdx （B ）⎰21ln 2xdx （C ）⎰+212)1(ln dx x （D ）⎰+21)1ln(2dx x2、设函数)(x f 在[b a ,]上连续，则曲线)(x f y =与直线0,,===y b x a x 所围成的平面图形的面积等于 [ C ] （A ）⎰ba dx x f )( （B ）⎰badxx f )( （C ）dx x f ba⎰)( （D ）)())((b a a b f <<-'ξξ3、设定积分⎰+=141dxxx I ，则I的值[ A ]（A ）220≤≤I （B ）151≤≤I （C ）51102≤≤I （D ）1≥I4、设⎰=401πxdxI ，⎰=402πdxx I ，⎰=403sin πxdxI ，则[ D ]（A ）321I I I >> （B ）213I I I >> （C ）231I I I >> （D ）312I I I >>二、填空题：1、利用定积分的几何意义，填写下列定积分的结果： （1）⎰-224dx x = π（2）⎰-ππxdx sin = 0（3）⎰-22cos ππxdx = 2⎰20cos πxdx （4）⎰--02)1(dx x = 4-2、利用定积分的性质，填写下列各题： （1）6≤+≤⎰412)1(dx x 51 （2）9π≤≤⎰331arctan xdx x 23π 3、利用定积分的性质，比较下列各题两各积分的大小（填写 ≤ 或≥） （1）⎰102dx x≥ ⎰103dxx（2）⎰21ln xdx ≥⎰212)(ln dx x（3）⎰10dxex≥ ⎰+10)1(dx x （4）⎰+20321πdx x ≥⎰+2032sin 1πdx x三、计算题：1、用定积分表示极限)321(lim 2222222n n nn n n n n n n ++++++++∞→ 解：原式=1102021111141lim [arctan]()nn k dx k nx nπ→+∞====++∑⎰ 2、利用定积分定义计算有抛物线21y x =+，两直线,()x a x b a b ==<及x 轴所围成的图形的面积。
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二、积分证明题例1、设f （x ）在[0,π]上连续，⎰π0dx x f ＝）（，⎰π0cosxdx x f ＝）（，求证存在()()0f f 00212121=≠∈∈）（）＝（，使，，，，ξξξξπξπξ证：令F （x ）＝），（）（π≤≤⎰x 0dt t f x则F(0)＝0，F(π)＝0， 又0＝⎰πcosxdx x f ）（＝⎰ππ0cosx x x cosxd ）（）＝（F F ＋⎰πsinxdx x ）（F ＝⎰πsinxdx x ）（F如果F(x)sinx 在（0,π）内恒为正，恒为负 则⎰πsinxdx x ）（F 也为正或为负，与上面结果矛盾，故存在()πξ，0∈使()0sin ＝ξξF ，而sin 0≠ξ，所以F （ξ）＝0 于是在[][]πξξ，和，0区间上分别用罗尔定理，则存在()ξξ，01∈使()0f 11＝）＝（ξξF '，存在()()()222f ξξπξξF '∈＝，使，＝0，其中21ξξ≠例2、设）（x f 在[0,1]上有连续的一阶导数，且f （0）＝f （1）＝0，试证：10f x dx 4M≤⎰（），其中M ＝()x f max 1x 0'≤≤证：用拉格朗日中值定理f （x ）＝f （x ）－f （0）＝()x f 1ξ'，其中()x 01，∈ξf （x ）＝f （x ）－f （1）=()()1x f 2－ξ',其中()1x 2，∈ξ由 题设可知）（x f ()x x f 1M ≤'≤ξ; 又）（x f ()()()x 1x 1f 2－－M ≤'≤ξ 因此()⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤121121121210dx x 1dx x dx x f dx x f dx x f －＋）（＋）（＝）（M＝M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡8181＋＝4M例3．设f （x ），g （x ）在[]b a ，上连续，证明()()dx x g dx x f dx x g x f ba 2b a 22b a ⎰⎰⎰≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡）（）（证一：（引入参数法） 设t 为实参数， 则[]b 2af x tg x dx 0≥⎰（）＋（）2b a 2t dx x g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰）（＋2t dx x g x f b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰）（）（ ＋()0dx x f ba2≥⎰作为t 的一元二次不等式 A 2t ＋2Bt ＋C 0≥，则2B －AC ≤0即AC B ≤2,因此()()⎰⎰⎰≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡ba 2b a 22b a dx x g dx x f dx x g x f ）（）（证二：（引入变上限积分）令F （u ）＝()()222f x g x dx f x dx g x dx u u u a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰（）（）－于是()u F '＝2f （u ）g （u ）()()()2222()()f u g x dx g u f x dx uuaaf xg x dx -⎰⎰⎰ua（）－＝()()()u2222a2f u g u f x g x f u g x g u f x dx ⎡⎤⎣⎦⎰（）（）（）（）－（）－＝[]2f ug x g u f x 0uadx -≤⎰（）（）－（）（）()a u ≥ 则 F （u ）在[]b a ,上单调不增 故，）＝（时，0a )b (F F a b ≤≥ 即()()0dx x g dx x f dx x g x f ba 2b a 22b a ≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰－）（）（ 证三： （化为二重积分处理） 令 I ＝()dx x g dx x f bab a 22⎰⎰）（ ， 则I ＝()()()dxdy y g x f D⎰⎰⎰⎰=22b a ba22dy y g dx x f ）（，其中区域D ：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤b y a b x a ，同理 I ＝()()dxdy x g y f D22⎰⎰∴ 2I ＝()()()()[]d xdy x g y f y g x f D⎰⎰+2222ab b a 222≥+，故2I ()()()()[]dxdy x g y f y g x f D⎰⎰≥2因此，I ＝()dx x g dx x f bab a22⎰⎰）（()()()()()()2a⎥⎦⎤⎢⎣⎡=≥⎰⎰⎰ba bab dx x g x f dy y g y f dx x g x f例4．设f （x ）在[]b a ，上连续，证明()()()dx x f a b dx x f ba b ⎰⎰-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡22a证：在例3中，令g （x ）＝1，则()a b dx x g -=⎰ba2于是()2a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰b dx x f ＝()()()()()()dx x fa b dx x g dx x fdx x g x f bab a ba b a ⎰⎰⎰⎰-=≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡2222例5．设()x f 0在[]b a ，上连续，且()x f 0>0，证明()()()2001a b dx x f dx x f baba-≥⎰⎰证：在例3柯西不等式中，取f(x)为()x 0f ，g(x)为()x f 01则()()dx x f dx x f b aba⎰⎰=02 ，()()dx x f dx x g bab a⎰⎰=021，而()()()()()220021a b dx x f x f dx x g x f ba ba-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰ 因此()()()dx x f dx x f a b baba⎰⎰≤-0021例6、设()x f 0在[]b a ，上具有连续导数，且()a f 0＝()b f 0 ＝0，()120=⎰dx x f ba，求证：()()4120220≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎰⎰b a b a dx x f x dx x f 证：在例3柯西不等式中取f(x)为()x f '0，g （x ）为x ()x f 0于是()()()()20020220⎥⎦⎤⎢⎣⎡'≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎰⎰⎰b a b a b a dx x f x xf dx x f x dx x f =()22021⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰b a x xdf =()222001()22bb a a x f x f x dx ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰=41212=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-一、 有关变上（下）限积分 例1、设f （x ）=x t(2)0e a a t dt -⎰－ (a 常数)，求0()aI f x dx =⎰解：()()()20x ()1dx a a a x a a x aI f x xf x dx xe ---⎡⎤⎣⎦'-=-⎰⎰＝（－）＝22a()0a x xe dx -⎰＝－()22()22012a a x ed a x --⎰ ＝－()a x ae 02221-＝()1212-a e例2、设f （x ）在()∞，＋0内可导，f （1）＝25，对所有x ∈()∞，＋0，t ∈()∞，＋0，均有111()()()xtxtf u du t f u du x f u du =+⎰⎰⎰，求f （x ）解：把所给方程两边求x 求导，tf （xt ）＝tf （x ）＋()u f t ⎰1du 把x ＝1代入，得 tf （t ）＝15t ()2tf u du ⎰＋ 再两边对t 求导，得f （t ）＋t ()t f '＝）（＋t f 25 于是t t 125)(f ⋅='，则f （t ）=25lnt + C ,令t=1代入得C=f （1）＝25 ，所以f （x ）＝25（lnx+1） 例2设f （x ）为连续函数，且满足⎰x20dt t xf ）（＋2⎰0xdt t 2tf ）（＝()1x x 23－，求f （x ）在[0,2]上的最大值与最小值。
解：先从方程中求出f （x ），为此方程两边对x 求导'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰0x x 20dt t 2tf 2dt t xf ）（＋）（＝'⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰x x dt t tf dt t f 020)2(2)(x=220()2(2)2(2)()xxf t dt xf x xf x f t dt +-=⎰⎰而()[]'1x x 23－=23x 6x 8－因此23x20x 6x 8dt t f －＝）（⎰两边再对x 求导，得2f （2x ）＝242x －12x ＝6()()x 26x 22－f （x ）＝3x 3x 2－()x f '＝6x －3，令()x f '＝0 得驻点 x ＝21又在[0,2]上f （x ）没有不可导点，比较f （0）＝0，f （21）＝－43，f （2）＝6可知f （x ）在[0,2]上最大值为f （2）＝6，最小值为f （21）＝－43例3设f （x ）在[)∞，＋0上连续，且f （x ）>0,证明g （x ）＝()∞⎰⎰，＋在）（）（0dtt f dt t tf x 0x 0内单调增加证：当x>0时，因为()2x0xx 0dt t f dtt tf x f dt t f x xf x g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎰⎰⎰）（）（）（－）（）（＝()()()0200()xxf x x t f t dtf t dt -=>⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰∴ g （x ）在()∞，＋0内单调增加例5求函数()()2221x x t f x t e dt --⎰＝的单调区间与极值解：()()22222244233111x ,'222x x x t t t x x f e dt te dt f x x e dt x e x e ------=+-⎰⎰⎰＝x因此，()221'x x t f e dt -⎰＝2x ，令()'x f ＝0，得驻点，x=0, x=1, x=-1又()22421''x 4x t x f e dt x e --+⎰＝2，故()21''00t f e dt -<⎰＝2()()1''114f e --=＝f">0()()()2210111100122t tf t e dt e e ---∴=-=-=-⎰为极大值 f(1)=f(-1)=0为极小值。