定积分的证明题
利用定积分证明不等式
热点追踪Җ㊀广东㊀李文东㊀㊀不等式的证明是高考的重要内容,证明的方法多㊁难度大,特别是一些数列和型的不等式．这类不等式常见于高中数学竞赛题和高考压轴题中,由于证明难度较大,往往令人望而生畏．其中有些不等式若利用定积分的几何意义证明,则可达到以简驭繁㊁以形助数的解题效果．１㊀利用定积分证明数列和型不等式数列和型不等式的一般模式为ðni ＝１a i ＜g (n )(或ðni ＝１a i ＞g (n )),g (n )可以为常数．不失一般性,设数列a n ＝f (n )＞０,此类问题可以考虑如下的定积分证明模式．(１)若f (x )单调递减．因为f (i )＜ʏii －１f (x )d x ,从而ðni ＝１a i ＝ðn i ＝１f (i )＜ðni ＝１ʏii－１f (x )d x ＝ʏn０f (x )d x ．㊀㊀又因为ʏi i －１f (x )d x ＜f (i －１),从而ʏn ＋１１f (x )d x ＝ðn ＋１i ＝２ʏi i－１f (x )d x ＜ðn ＋１i ＝２f (i －１)＝ðni ＝１a i．㊀㊀(２)若f (x )单调递增．因为f (i )＞ʏi i －１f (x )d x ,从而ðni ＝１a i＝ðni ＝１f (i )＞ðni ＝１ʏii－１f (x )d x ＝ʏn０f (x )d x ．㊀㊀又因为ʏii －１f (x )d x ＞f (i －１),从而ʏn ＋１１f (x )d x ＝ðn ＋１i ＝２ʏii－１f (x )d x ＞ðn ＋１i ＝２f (i －１)＝ðni ＝１a i ．例１㊀(２０１３年广东卷理１９,节选)证明:１＋１２２＋１３２＋ ＋１n２＜７４(n ɪN ∗)．分析㊀本题证法大多采用裂项放缩来证明,为了得到更一般的结论,我们这里采用定积分来证明．证明㊀因为函数y ＝１xα(α＞０且αʂ１)在(０,＋ɕ)上单调递减,故ʏii －１１x αd x ＞１iα(i ȡ３),从而当αʂ１时,ðni ＝１１i α＜１＋１２α＋ðni ＝３ʏii －１１x αd x ＝１＋１２α＋ʏn２１x αd x ＝１＋１２α－１(α－１)x α－１n ２＝１＋１２α＋１(α－１)２α－１－１(α－１)nα－１．㊀㊀利用这个不等式可以得到一些常见的不等式．若α＝１２,则ðn i ＝１１i＜１－３２＋２n ＝２n －１＋(２－３２)＜２n －１．㊀㊀当α＞１时,ðni ＝１１iα＜１＋１２α＋１(α－１)２α－１＝１＋α＋１α－１ １２α．特别地,若α＝２,则ðni ＝１１i ２＜１＋２＋１２－１ １２２＝７４;若α＝３,则ðni ＝１１i３＜１＋３＋１３－１ １２３＝５４;若α＝３２,则ðni ＝１１ii＜１＋３２＋１３２－１ １２３２＝１＋５２４＜３;若α＝１,则１n＜ʏnn －１１x d x ＝l n x nn －１＝l n n －l n (n －１),从而可以得到１２＋１３＋ ＋１n ＋１＜ʏn ＋１１１xd x ＝l n (n ＋１),１n ＋１＋１n ＋２＋ ＋１２n＜ʏ２nn１xd x ＝l n２．㊀㊀另一方面,１n －１＞ʏnn －１１xd x ＝l n x n n －１＝l n n －l n (n －１),则１＋１２＋１３＋ ＋１n －１＞ʏn１１x d x ＝l n n ．㊀㊀当α＝１时,借助定积分的几何意义上述不等式４２热点追踪还可以进一步加强．图１是函数y ＝１x的部分图象,显然S 曲边梯形A B C F ＜S 梯形A B C F ,于是ʏn ＋１n１x d x ＜１２(１n ＋１n ＋１),得l n (１＋１n )＜１２(１n ＋１n ＋１),令n ＝１,２, ,n ,并采用累加法可得１＋１２＋１３＋ ＋１n＞l n (n ＋１)＋n２(n＋１)(n ȡ１)．图１例２㊀证明:l n ４２n ＋１＜ðni ＝１i４i ２－１(n ɪN ∗)．分析㊀由于i ４i ２－１＝１４(１２i －１＋１２i ＋１),l n ４２n ＋１＝１４l n (２n ＋１),故证明l n (２n ＋１)＜ðni ＝１(１２i －１＋１２i ＋１)．构造函数f (x )＝１２x ＋１,显然f (x )单调递减,考虑到ðni ＝１(１２i －１＋１２i ＋１)的结构,对函数f (x )采用类似图１中的梯形面积放缩．证明㊀由分析得ʏii －１１２x ＋１d x ＜１２(１２i －１＋１２i ＋１),故１２l n (２n ＋１)＝ʏn０１２x ＋１d x ＝ðni ＝１ʏii －１１２x ＋１d x ＜１２ðni ＝１(１２i －１＋１２i ＋１),不等式两边除以１２即为所证．例３㊀证明１３＋１５＋１７＋ ＋１２n ＋１＜１２l n (n ＋１)(n ɪN ∗)．分析㊀若考虑函数y ＝１２x ＋１,则有１２i ＋１＜ʏii －１１２x ＋１d x ,则ðni ＝１１２i ＋１＜ðni ＝１ʏii －１１２x ＋１d x ＝ʏn０１２x ＋１d x ＝１２l n (２x ＋１)n０＝１２l n (２n ＋１),达不到所证的精度,必须改变定积分放缩的精度．证明㊀结合不等式的右边,考虑函数f (x )＝１x．如图２所示,在区间[i ,i ＋１]上,取区间的中点i ＋１２,并以１i ＋１２为高作矩形A E F B ,则S 矩形A E F B ＜ʏi ＋１i １x d x ．于是有２２i ＋１＝１i ＋１２＜ʏi ＋１i１xd x ,则ðni ＝１２２i ＋１＜ðni ＝１ʏi ＋１i１xd x ＝ʏn ＋１１１xd x ＝l n (n ＋１),即ðn i ＝１１２i ＋１＜１２ln (n ＋１)．图２例４㊀设n 是正整数,r 为正有理数．(１)求函数f (x )＝(１＋x )r ＋１－(r ＋１)x －１(x ＞－１)的最小值;(２)证明:n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１＜n r＜(n ＋１)r ＋１－nr ＋１r ＋１;(３)设x ɪR ,记[x ]为不小于x 的最小整数,例如[２]＝２,[π]＝４,[－３２]＝－１．令S ＝３８１＋３８２＋３８３＋ ＋３１２５,求[S ]的值．(参考数据:８０４３ʈ３４４ ７,８１４３ʈ３５０ ５,１２５４３ʈ６２５ ０,１２６４３ʈ６３１ ７．)分析㊀出题者的本意是利用第(１)问中的伯努利不等式来证明后两问,但这里我们利用积分来证明．证明㊀(１)f m i n (x )＝０(求解过程略)．(２)因为r 为正有理数,函数y ＝x r 在(０,＋ɕ)上单调递增,故ʏnn －１x r d x ＜nr,而５２热点追踪ʏnn －１x rd x ＝x r ＋１r ＋１n n －１＝n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１,故n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１＜n r．同理可得n r＜ʏn ＋１n x rd x ＝x r ＋１r ＋１n ＋１n ＝(n ＋１)r ＋１－n r ＋１r ＋１,从而n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１＜n r＜(n ＋１)r ＋１－n r ＋１r ＋１．(３)由于i １３＜ʏi ＋１i x １３d x ＜(i ＋１)１３,故S ＝ð１２５i ＝８１i１３＜ð１２５i ＝８１ʏi ＋１ix １３dx ＝ʏ１２６８１x １３dx ＝３４x ４３１２６８１＝３４(１２６４３－８１４３),３４(１２５４３－８０４３)＝３４x ４３１２５８０＝ʏ１２５８０x １３d x ＝ð１２４i ＝８０ʏi ＋１ix １３d x ＜ð１２４i ＝８０(i ＋１)１３＝S ．３４(１２５４３－８０４３)＜S ＜３４(１２６４３－８０４３)．代入数据,可得３４(１２５４３－８０４３)ʈ２１０．２,３４(１２６４３－８１４３)ʈ２１０．９．由[S ]的定义,得[S ]＝２１１．２㊀利用积分证明函数不等式我们知道ʏx ２x １fᶄ(x )d x ＝f (x ２)－f (x １),因此,对于与f (x ２)－f (x １)有关的问题,可以从定积分的角度去思考．若f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )上单㊀图３调递减且f ᶄ(x )为凹函数,如图３所示．设A C 的中点为B ,过点B 作B G ʅx 轴与f (x )交于点G ,过点G 作f (x )的切线与直线AH 和C D 分别交于点F 和I ．设A (x １,０),C (x ２,０),则f (x ２)－f (x １)＝ʏx ２x １fᶄ(x )d x ＝S 曲边梯形A C J H ,S 矩形A C D E ＝f ᶄ(x ２＋x １２)(x ２－x １)．因为S 曲边三角形E G H ＞S әE F G ＝S әD I G ＞S 曲边三角形J D G ,S 曲边梯形A C J H －S 矩形A C D E ＝S 曲边三角形E G H －S 曲边三角形J D G ＞０,于是有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＞f ᶄ(x ２＋x １２)．借助上述几何意义,一般地我们有如下结论．(１)若函数f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )上为凹函数,则对于任意的a ＜x １＜x ２＜b ,有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＞f ᶄ(x ２＋x １２);(２)若函数f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )上为凸函数,则对于任意的a ＜x １＜x ２＜b ,有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＜f ᶄ(x ２＋x１２)．例５㊀(１)函数f (x )＝l n x ,因为f ᶄ(x )＝１x在(０,＋ɕ)上为凹函数,则对任意０＜x １＜x ２,有l n x ２－l n x １x ２－x １＞１x ２＋x １２,即x ２－x １l n x ２－l n x １＜x １＋x ２２,此为对数均值不等式．(２)函数f (x )＝x l n x ,因为f ᶄ(x )＝１＋l n x 在(０,＋ɕ)上为凸函数,则对任意０＜x １＜x ２,有x ２l n x ２－x １l n x １x ２－x １＜１＋l n x ２＋x １２．许多考题都是以此为背景命题,比如,如下高三模拟考试的压轴题．例６㊀已知函数f (x )＝l n x －a x ２２＋(a －１)x －３２a(a ＞０),在函数f (x )的图象上是否存在不同两点A (x １,y １),B (x ２,y ２),线段A B 中点的横坐标为x ０,直线A B 的斜率为k ,使得k ＞f ᶄ(x ０)．简证㊀由于f ᶄ(x )＝１x－a x ＋a －１(a ＞０)在(０,＋ɕ)上为凹函数,可见结论成立!例７㊀设函数f (x )＝xex ,若x １ʂx ２,且f (x １)＝f (x ２),证明:x １＋x ２＞２．分析㊀本题的本质是极值点偏移问题,常见证法是利用对称性构造函数,这里采用定积分来证明．证明㊀不妨设x １＜x ２,由f ᶄ(x )＝１－x ex ,可知f (x )在(－ɕ,１]上单调递增,在[１,＋ɕ)上单调递减,且f (０)＝０．当x ＞０时,f (x )＞０,可知０＜x １＜１＜x ２．设x １e x １＝x ２e x ２＝t ,则x １＋x ２＝t (e x １＋e x ２),x ２－x １＝t (e x ２－e x １),考虑函数y ＝e x ,则根据定积分的梯形面积放缩有e x ２－e x １＝ʏx ２x １e xd x ＜(e x １＋e x２)(x ２－x １)２,则x ２－x １t ＜１２ x ２＋x １t(x ２－x １),故x １＋x ２＞２．(作者单位:广东省中山市中山纪念中学)６２。
定积分练习题
第九章 定 积 分练 习 题§1定积分概念习 题1．按定积分定义证明：⎰-=ba ab k kdx ).(2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集{}i ξ，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：（1）⎰∑=+=1012233)1(41:;ni n n i dx x 提示 （2）⎰10;dx e x （3）⎰ba x dx e ; （4）2(0).(:bi adxa b xξ<<=⎰提示取§2 牛顿一菜布尼茨公式1．计算下列定积分：（1）⎰+10)32(dx x ； （2）⎰+-102211dx x x ； （3）⎰2ln e e x x dx ；（4）⎰--102dx e e xx ； （5）⎰302tan πxdx （6）⎰+94;)1(dx xx（7）⎰+40;1x dx（8）⎰eedx x x12)(ln 1 2．利用定积分求极限： （1）);21(1334lim n nn +++∞→ （2）;)(1)2(1)1(1222lim⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→n n n n n n （3）);21)2(111(222lim nn n n n +++++∞→ （4）)1sin 2sin (sin 1lim nn n n n n -+++∞→ ππ3．证明：若f 在[a,b]上可积，F 在[a,b]上连续，且除有限个点外有F ＇（x ）=f (x),则有()()().ba f x dx Fb F a =-⎰§3 可积条件1．证明：若T ˊ是T 增加若干个分点后所得的分割，则∑∑∆≤∆'.''T Ti i i i χωχω2．证明：若f 在[a,b]上可积，[][][]上也可积在则ββ,,,,a f b a a ⊂.3.设f ﹑g 均为定义在[a,b]上的有界函数。
证明：若仅在[a,b]中有限个点处()(),χχg f ≠则当f 在[a,b]上可积时，g 在[a,b]上也可积，且()().χχχχd g a bd f a b ⎰⎰=3．设f 在[a,b]上有界，{}[],,b a a n ⊂.lim c ann =∞→证明：在[a,b]上只有() ,2,1=n a n 为其间断点，则f 在[a,b]上可积。
数学分析9定积分总练习题
第九章 定积分总练习题1、证明：若φ在[0,a]上连续，f 二阶可导，且f ”(x)≥0，则有⎰a 0(t)) f(φa 1dt ≥f(⎰a(t) φa 1dt). 证：设T 为[0,a]的一个分割，其分点为n ka , k=0,1,…,n, 即x k =nka. 由f ”(x)≥0知f 凸，∴f(∑=n1k k )(x φn 1)≤∑=n1k k ))(x f(φn 1.即∑=n 1k k n a ))(x f(φa 1≥f(na)(x φa 1n 1k k ∑=). ∵f, φ在[0,a]上都可积，且f 连续， ∴令n →∞，有⎰a 0(t)) f(φa 1dt ≥f(⎰a(t) φa 1dt).2、证明下列命题.(1)若f 在[a,b]上连续增，F(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=∈⎰ a.x ，f(a)b].a,(x f(t)dt a -x 1xa ， 则F 在[a,b]上增.(2)若f 在[0,+∞)上连续，且f(x)>0，则φ(x)=⎰⎰x 0x0f(t)dttf(t)dt 在(0,+∞)上严格增.要使φ(x)在[0,+∞)上严格增，需要补充定义φ(0)=?证：(1)F ’(x)= ⎪⎩⎪⎨⎧=∈-⎰ a.x ，0b].a,(x a)-(x f(t)dt a -x f(x)2xa， 根据积分中值定理知，存在ξ∈(a,x)，⎰xa f(t)dt =f(ξ)(x-a). 又f 在[a,b]上增， ∴F ’(x)=a-x )f(ξ-f(x)>0, x ∈(a,b]，∴F ’(x)≥0, x ∈[a,b]，∴F 在[a,b]上增.(2)任给x>0，有φ’(x)=2x0xx)f(t)dt (tf(t)dtf(x )f(t)dt x f(x )⎰⎰⎰- =2x0x0)f(t)dt (t)f(t)dt -(x f(x )⎰⎰.∵f(x)>0，∴(x-t)f(x)>0，∴⎰x0t)f(t)dt -(x >0，∴φ’(x)>0, x ∈(0,+∞)，∴φ(x)=⎰⎰x 0x0f(t)dttf(t)dt 在(0,+∞)上严格增. 又+→0x lim φ(x)=⎰⎰+→x 0x00x f(t)dttf(t)dt lim=f(x )x f(x )lim 0x +→=+→0x lim x=0， ∴只要补充定义φ(0)=c ≤0，则φ(x)在[0,+∞)上严格增.3、设f 在[0,+∞)上连续，且+∞→x lim f(x)=A. 证明：⎰+∞→x0x f(t)dt x1lim=A. 证：∵+∞→x lim f(x)=A ，∴任给ε>0，存在M>0，使当x>M 时，有|f(x)-A|<2ε，又当T>M 时，|A f(x)dx T 1T 0-⎰|=T1|⎰⎰-T 0T0Adx f(x )dx | =T1|⎰T0A]dx -[f(x )|≤⎰T 0dx |A -f(x)|T 1=⎰M 0dx |A -f(x)|T 1+⎰T M dx|A -f(x)|T 1 ≤⎰M 0dx |A -f(x)|T 1+2ε(1-TM). ∴只要取T 1=max{⎰M 0dx |A -f(x)|ε2, 2M}，则 当T>T 1时，就有|A f(x)dx T 1T 0-⎰|<2ε+2ε=ε.∴⎰+∞→T 0T f(x)dx T 1lim =⎰+∞→x0x f(t)dt x 1lim =A.4、设f 是定义在R 上的一个连续周期函数，周期为p ，证明：⎰+∞→x0x f(t)dt x 1lim =⎰p 0f(t)dt p 1. 证：令x=p λ，y=λt，则⎰x0f(t)dt x1=⎰p λ0y) y)d(λ f(λp λ1=⎰p 0y)dy f(λp 1=⎰p 0 t)dt f(λp 1. 由f(t)=f(t+np), n 为任意正整数，又np)f(t lim n ++∞→= t)f(λlim λ+∞→，∴⎰+∞→x0x f(t)dt x 1lim =⎰+∞→p 0λ t)dt f(λp 1lim =⎰++∞→p 0n )dt np f(t p 1lim =⎰p 0f(t)dt p1.5、证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数.证：设连续的奇函数f ，连续的偶函数g ，则它们的原函数分别为： F(x)=⎰x0f(t)dt +C ，G(x)=⎰x0g(t)dt +C.∵F(-x)=⎰-x 0f(t)d(t)+C=⎰x 0f(-t)d(-t)+C=-)f(t)d(-t x 0⎰+C=⎰x0f(t)dt +C=F(x)， ∴连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数又G(-x)=⎰-x0g(t)dt +C=⎰x 0g(-x )d(-t)+C=⎰x 0g(x )d(-t)+C=-⎰x0g(x )dt +C ≠-G(x)， ∴仅当G(x)=⎰x 0g(t)dt 时，G(-x)=-⎰x0g(x )dt =-G(x)， 即连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数.6、证明许瓦尔兹不等式：若f 和g 在[a,b]上可积，则 (⎰ba f(x )g(x )dx )2≤⎰b a 2(x )dx f ·⎰ba 2(x )dx g .证：若f 和g 在[a,b]上可积，则f 2,g 2,fg 都可积. 且对于任何t, (f+tg)2也可积.∵(f+tg)2≥0，∴⎰+b a 2tg)(f =⎰ba 2(x )dx f +2t ⎰ba f(x )g(x )dx +t2⎰ba2(x )dx g ≥0.∴二元一次方程的判别式△=4(⎰ba f(x )g(x )dx )2-4⎰ba 2(x )dx f ·⎰ba 2(x )dx g ≤0.∴(⎰b a f(x )g(x )dx )2≤⎰b a 2(x )dx f ·⎰ba 2(x )dx g .7、利用许瓦尔兹不等式证明：(1)若f 在[a,b]上可积，则(dx f(x )ba ⎰)2≤(b-a)⎰ba 2(x )dx f ； (2)若f 在[a,b]上可积，且f(x)≥m>0，则⎰ba f(x )dx ·⎰baf(x )dx≥(b-a)2； (3)若f,g 都在[a,b]上可积，则有闵可夫斯基不等式：21ba 2dx g(x))(f(x)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰≤21ba 2(x)dx f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+21ba 2(x)dx g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰. 证：(1)记g(x)=1，∵f 和g 在[a,b]上可积，根据许瓦尔兹不等式，有 (dx f(x )ba ⎰)2 ≤⎰b a dx ·⎰b a 2(x )dx f =(b-a)⎰ba 2(x )dx f . (2)若f 在[a,b]上可积，且f(x)≥m>0，则f ,f1在[a,b]上也可积. 根据许瓦尔兹不等式，⎰b a f(x )dx ·⎰baf(x )dx ≥(⎰⋅b a dx f(x)1f(x))2=(b-a)2. (3)∵⎰+ba 2dx g(x ))(f(x )=⎰⎰⎰++ba 2ba ba 2(x )dxg f(x )g(x )dx 2(x )dx f≤⎰⎰⎰⎰+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+ba 221ba ba 22ba 2(x)dx g (x)dx g (x)dx f 2(x)dx f=221b a 221b a 2(x)dx g (x)dx f ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰. ∴21ba 2dx g(x))(f(x)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰≤21ba 2(x)dx f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+21ba 2(x)dx g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰.8、证明：若f 在[a,b]上连续，且f(x)>0，则 ln ⎪⎭⎫⎝⎛⎰b a f(x )dx a -b 1≥⎰b a lnf(x)dx a -b 1. 证：在[a,b]中插入n-1个等分点a=x 0<x 1<x 2<…<x n =b. 记f(x i )=y i >0，于是由平均值不等式na-b (y 1+y 2+…+y n )≥(b-a)n n 21y y y ⋯=(b-a)e )y ln y (ln n a-b a -b 1n 1⋯+⋅.两边取极限得：⎰ba f(x )dx =na-b limn +∞→(y 1+y 2+…+y n )≥(b-a)na -b lim n +∞→e)y ln y (ln na-b a -b 1n 1⋯+⋅=(b-a)e⎰balnf(x)dx a -b 1.∴⎰b a f(x)dx a -b 1≥e ⎰balnf(x)dx a -b 1，∴ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰b a f(x )dx a -b 1≥⎰b a lnf(x)dx a -b 1.9、设f 为R +上的连续减函数，f(x)>0；又设a n =∑=n1k f(k)-⎰n1f(x )dx .证明：{a n }为收敛数列. 证：∵f 为R +上的连续减函数，∴a n =∑=n1k f(k)-⎰n1f(x )dx =∑=n 1k f(k)-∑⎰=+1-n 1k 1k k f(x )dx ≥∑=n 1k f(k)-∑=+1-n 1k k)-1f(k)(k =f(n)>0，即数列{a n }有下界，又a n+1-a n =f(n+1)-⎰+1n nf(x )dx ≤f(n+1)-⎰++1n n1)dx f(n =0.∴{a n }为递减数列. 由单调有界定理知{a n }收敛.10、证明：若f 在[a,b]上可积，且处处有f(x)>0，则⎰ba f(x )dx>0. 证：∵在[a,b]上处处有f(x)>0，∴使f(x)≤0的点只有有限个， 对[a,b]上任一分割T ，添加这些点为分点，则 在每一个小区间(x i ,x i+1)上恒有f(x)>0， ∴⎰+1i ix x f(x)dx>0, (i=0,1,…,n) 其中x 0=a, x n+1=b.∴⎰baf(x )dx =∑⎰=+ni 1i if(x )dx >0.。
定积分证明题方法总结六
定积分证明题方法总结六篇定积分是历年数学的考查重点，其中定积分的证明是考查难点，同学们经常会感觉无从下手，小编特意为大家总结了定积分的计算方法，希望对同学们有帮助。
篇一：定积分计算方法总结一、不定积分计算方法1. 凑微分法2. 裂项法3. 变量代换法1) 三角代换2) 根幂代换3) 倒代换4. 配方后积分5. 有理化6. 和差化积法7. 分部积分法（反、对、幂、指、三）8. 降幂法二、定积分的计算方法1. 利用函数奇偶性2. 利用函数周期性3. 参考不定积分计算方法三、定积分与极限1. 积和式极限2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限3. 洛必达法则4. 等价无穷小四、定积分的估值及其不等式的应用1. 不计算积分，比较积分值的大小1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有f(x)>=g(x),则 >= ()dx2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)b) 当0 2. 估计具体函数定积分的值积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则M(b-a) 3. 具体函数的定积分不等式证法1) 积分估值定理2) 放缩法3) 柯西积分不等式≤ %4. 抽象函数的定积分不等式的证法1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性2) 积分中值定理3) 常数变易法4) 利用泰勒公式展开法五、变限积分的导数方法篇二：定积分知识点总结 1、经验总结(1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限(2)定积分几何意义：①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积 ab②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相a反数(3)定积分的基本性质：①kf(x)dx=kf(x)dx aabb②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx aaa③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac(4)求定积分的方法：baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义’③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x) ba篇三：定积分计算方法总结 1、原函数存在定理●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。
定积分证明题
x 0
F ( x ) f (t )dt xf ( x ) xf ( x ) f (t )dt
0 x x 0
x
x
F ( x )与( x )都是 f (t )dt的原函数
F ( x )=( x ) C F (0)=(0) 0 C 0 F ( x )=( x )
0
T
F ( a)
a T a
f ( x)dx
0
F (a ) f (a T ) f (a ) 0
F (a) C F (0) f ( x)dx
0 T
于是
a T a
f ( x)dx f ( x)dx
0
T
例5. 设 f C a, b , f x 0, x a, b ,
2 x
[ 12dt ][
a
a x
f ( x) dx] a
x
2
( x a) [ f (t )]2 dt
x
( x a) [ f ( x)]2dx,
a
a b
f ( x )dx [ f ( x )] dx ( x a )dx
2 2 a a a
M.
例 10 若 f (x) 在[a，b]上连续可导，且 f(a)=0, 2 b b 1 2 2 则 f ( x )dx (b a ) f ( x ) dx . a a 2 x , 证 显然 f ( x ) a 1 f (t )dt由柯西-施瓦兹不等式, 则
f ( x) [ 1 f (t )dt )]2
由广义积分中值定理
n 1
x 1 1 1 n 1 xdx 1 x dx 1 n 1 0 0
江苏专转本高等数学 定积分 例题加习题
- 106 -第四章 定积分本章主要知识点● 定积分计算● 特殊类函数的定积分计算 ● 变限积分● 定积分有关的证明题 ● 广义积分敛散性 ● 定积分应用（1）面积 （2）旋转体体积一、定积分计算定积分计算主要依据牛顿—莱伯尼兹公式：设⎰+=C x F dx x f )()(，则()()()()bb a af x dx F b F a F x =-=⎰。
其主要计算方法与不定积分的计算方法是类似的，也有三个主要方法，但需要指出的是对于第Ⅱ类直接交换法，注意积分限的变化：()111()()()()()(())x t bb aa t x f x dx f t t dt ϕϕϕϕϕϕ---=='=⎰⎰。
例4.1．111)edx x ⎰解：原式=e11)ln d x ⎰=32125((ln )ln )|33ex x +=例4.2．30dx ⎰ 解：原式t x t x =+-==11222 1121t tdt t -+⎰=32 121t t dt t -+⎰=322125()|33t t -= 例4.3．⎰22sin πxdx x- 107 -解：原式=⎰-22cos 21πx xd =⎰+-2022cos 21|2cos 21ππxdx x x =20|2sin 414ππx +=4π 二、特殊类函数的定积分计算1．含绝对值函数利用函数的可拆分性质，插入使绝对值为0的点，去掉绝对值，直接积分即可。
例4.4．⎰--21|1|dx x解：原式=121 1(1)(1)x dx x dx --+-⎰⎰=212|)2(2x x -+=)121(02--+=25例4.5．⎰--++22|)1||1(|dx x x解：原式=112211(|1||1|)(|1||1|)(|1||1|)x x dx x x dx x x dx ---++-+++-+++-⎰⎰⎰=112211(11)(11)(11)x x dx x x dx x x dx ------++++-+++-⎰⎰⎰=112211222xdx dx xdx ----++⎰⎰⎰=212122|4|x x ++---=)14(4)41(-++--=102．分段函数积分例4.6．⎩⎨⎧≤+>=0,10,)(2x x x x x f ，求⎰-11)(dx x f解：原式=⎰⎰-+0110)()(dx x f dx x f =⎰⎰-++01102)1(dx x dx x =103012|31|)2(x x x ++- =31)121(+--=65- 108 -例4.7．⎩⎨⎧≤>+=1,1,12)(x x x x x f ，求⎰-+12)1(dx x f解：原式11221(1)()u x f x dx f u du =+--=+==⎰⎰1211()()f u du f u du -+⎰⎰1222111(21)0()udu u du u u -=++=++⎰⎰624=-=3．奇函数积分如果 ()f x 为定义在[],a a -的奇函数，则()0aaf x dx -≡⎰，这是一个很重要考点。
定积分的证明题
又x3 > 0,∴ 4 − x2 − x3 > 4 − x2
∴1 <
1
<1
2 4 − x2 + x3 4 − x2
∫1 1dx = 1
02 2
∫1 dx = π
0 4 − x2 6
∫ ∴ 1 < 1
dx
< π。
2 0 4 − x2 + x3 6
∫ ∫ ∫ 6. 设函数f (x)和g(x)在[a,b]上连续,证明: [ b f (x)g(x)dx]2 ≤ b f 2(x)dx ⋅ b g2(x)dx 。
dx a = − f (a) + f (x) = f (x) − f (a)。
∫ 2. 设函数f (x)在[a,b]内可导，且f (a) = 0， b f (x)dx = 0, 证明：在[a, b]内至少存在一点ξ , a
使f ′(ξ ) = 0。
证明：
由积分中值定理，在(a, b)存在一点ξ
，使
1
∫ 1. 证明 d x (x − t) f ′(t)dt = f (x) − f (a) 。
dx a 证明：
∫ x (x − t) f ′(t)dt a x
= ∫a (x − t)df (t)
xx
= (x − t) f (t) a + ∫a f (t)dt
x
= (a − x) f (a) + ∫a f (t)dt ∫ ∴ d x (x − t) f ′(t)dt
即f (a) − (x − a) ≤ f (x) ≤ f (a) + (x − a) 由定积分的不等性质, 有
b
b
b
∫a [ f (a) − (x − a)]dx ≤ ∫a f (x)dx ≤ ∫a [ f (a) + (x − a)]dx
定积分证明题方法总结六篇
定积分证明题方法总结六篇定积分证明题方法总结六篇篇一：定积分计算方法总结一、不定积分计算方法1.凑微分法2.裂项法3.变量代换法1)三角代换2)根幂代换3)倒代换4.配方后积分5.有理化6.和差化积法7.分部积分法（反、对、幂、指、三）8.降幂法二、定积分的计算方法1.利用函数奇偶性2.利用函数周期性3.参考不定积分计算方法三、定积分与极限1.积和式极限2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限3.洛必达法则4.等价无穷小四、定积分的估值及其不等式的应用1.不计算积分，比较积分值的大小1)比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有f(x)>=g(x),则>=()dx2)利用被积函数所满足的不等式比较之a)b)当0<x<兀2时，2兀<<12.估计具体函数定积分的值积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m 则M(b-a)<=<=M(b-a)3.具体函数的定积分不等式证法1)积分估值定理2)放缩法3)柯西积分不等式≤%4.抽象函数的定积分不等式的证法1)拉格朗日中值定理和导数的有界性2)积分中值定理3)常数变易法4)利用泰勒公式展开法五、变限积分的导数方法篇二：定积分知识点总结1、经验总结(1)定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限(2)定积分几何意义：①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积ab②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相a反数(3)定积分的基本性质：①kf(x)dx=kf(x)dx aabb②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx aaa③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac(4)求定积分的方法：baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义’③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x)ba篇三：定积分计算方法总结1、原函数存在定理●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。
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题目1证明题 容易d X证明 (x -t) f (t)dt = f (x) - f (a) dx J a解答_Xa (x-t)f (t)dtX= [(X —t)df(t)X X=(X一t)f(t)a + [f(t)dtX= (^-X) f (a) + [ f (t)dtd X^X a(X -t)f(t)dt--f(a) f(x)f (x) - f (a)。
题目2证明题容易由积分中值定理，在[0,…]上存在点',使4 Iim 4 Sin n XdX= Iim Sin n (0) G 三[0,] n》：：0n匚44Iim Sin n 4 J 0Q 0 . sin ：： 1 .Iim Sin n=0n _Oπ.Iim 4 Sin n XdX= 0。
—0 0题目3证明题 一般b 设函数 f (x)在［a,b ］内可导，且 f(a)=0, f(x)dx = 0 -a证明：在［a,b ］内至少存在一点•使f 「)=0。
解答_ 由积分中值定理，在(a,b)存在一点'1，使b ［f (x)dx = f (： 1)(b -a) = 0f ( 1) =0在区间［a ， 1］上,应用罗尔定理，可知存 在一点 二(a ， ' 1)(a,b)使f ( J=0b题目4证明题 一般设 f (x) = f (x +a)，naa证明：当n 为正整数时 0 f (x)dx = n .°f(x)dx解答利用积分中值定理证明 解答π:Ijm 4Sin nXdX 二 0 n 0 02naa2ana证明：f(x)dx= f(x)dx f(x)dxf(x)dx =0=0^a=( n丄)af(x) = f (x a)2 aa aaa f(x)dxx =y a 0 f(y a)dy = 0 f(y)dy = O f(x)dx 3aaa2a f (x)dxx = y 2a O f (y 2a)dy = 0 f(y a)dya a=.0f(y)dy = 0f(x)dxnaa(n 仆 f (x)dx x =y (n - 1)a O f (y (n — 1)a)dya=0f(y)dya0f(x)dxna a.0 f(x)dx= n 0f(x)dx°题目5证明题一般1 1证明：X m (I-X)n dx X n (I-X)m dx o解答_证:令X =1 -t 贝 UdX = -d 且X =0 时,t =1 X =1 时,t =01•x m (1-x)n dx=.1(1-t)m t(dt)1= 0t n(1 - t)m dt1=J 0χn (1-x)m dx题目6证明题 一般设f (x)在［a,b ］上有定义，且对［a,b ］上任意两点x, y,有 f (x) - f (y) _ X - y.则f (x)在［a,b ］上可积,且1解答b1af(x)dx -(b-a)f(a)兰；(b-a)< X -a(x _ a)即 f (a) -(x -a) Ef(X)Ef (a) (x -a) 由定积分的不等性质，有b［［f (a) —(x —a)］dxb af(x)dxba ［f(a) (X -a)］dx -ba f (x)dx -(b - a) f (a)”:(b-a)2 _ 2b几［f (x)dx -(b -a) f (a)题目7证明题一般设f (x)在［a,b ］上的连续，在(a,b)内可导，且f(a) = f (b) = 0. 、b2证明：4 I L f (x)dx 兰 M (b —a),其中 M=SUP f "(x)I a_ L-1(a,x)2(x,b)= 1,2I f 2∣f(x)dx≤M I a 2(x —a)dx =M (b —a)b bM 2a b f (x)dx 乞 M a b (b-x)dx (b-a)228两式相加,有f ∣f(x)dx 兰 M(b —a)2。
a 4题目8证明题 一般设f (x)在［a,b ］上正值，连续，则在 (a,b)内至少存在一点 匚 b 1 b使 a f(x)dx = f(x)dx f(x)dx证明：∖∕x E (a,b)因为 ∆y =| f (x +&) - f (x) ≤ A *.Iim L y =O.f (x)在［a, b ］上连续，于是f (X)在［a, b ］上可积. 又由题设知If(X) — f (a)(b-a)2 2-1(b -a)2。
2a : ∙x :b 解答_证明：由假设并利用微分中值 定理,有f (X) = f (X) -f (a) =(x -a)f (1f (x) = f (x) - f (b) = (x -b) f ( 2) 又由 M=SUPf (X)故 f ( i ) EM. i a :X Ib 取绝对值，有f (X) _(x -a)M f (x) _(b -x)Ma -ba -b解答X b证：令F(X)= f(t)dt - f(t)dtU a J X由于X ［a,b］时，f(x) 0b-F(a) —a f(t)dt ：：：0bF(b) f(t)dt 0V a由根的存在性定理，存在一点-(a,b)使F( )=0已 b即［f(t)dt = %f(t)dtb E b又Q a f(t)dt = a f(x)dx . f (x)dx巴 bf(x)dx . f (x)dxa ■>=2 f (x)dxa从而原式成立。
题目9证明题一般πJI证明：0 < 02 Sin n*xdx c J2sin n XdX。
解答_证明：已知函数Sin 连续•非负，且X0 [0二],使2 2πSin n41x°>0，由性质，有0 Sin nd1xdxn0又已知函数Sin n X-Sin n* X = Sin n x(1 -Sin x)在［0,工］连续非负,2且X0 ［0, 2 ］，使Sin n X0 -sin n 1 x。
= Sin n x°(1 -Sin x°) 0,由性质，有解答π『(Sin n X-Sin n*π二0 £ I L2 Sin n* XdX Cj0题目10证明题一般1 1dx 求证:-：：：一2 04πx)dx = 02sin n XdX -π2sin n XdXπ2Sin n舟XdXAπ。
-χ2X3 6X (0,1)时，x 2 x 3 ...4 -χ2 -χ3 ：： . 4 = 2 又χ3 0 .4 -X 2 -X 3 . 4- X1 1 12. 4 -χ2 χ3. 4-X11 1 dχ = 02 2 1dχ _ 二 厂4> =6 1 1dχ 二 。
2Lx 2 +χ36题目11证明题 一般设f(x)在区间(a,b)上连续，且在(a,b)内任一闭 区间上积分为零，证明f(x)在(a,b)内恒等于零。
解答_证明：设 x 0 ∙ (a,b)，-X ∙ (a,b)。
令XG(X) = x f(t)dt x0 则由题设：•：」(x) =0 从而G (X)=O而"(X) = f (x).f(x)≡0°题目12证明题 一般 若函数f (X)在［0,1］上连续,a 32 1 a 2证明：0X f(x )dxXf (x)dx (a 0)。
解答_2 1证:令X =t ，则XdX dt ,且x=0时，t = 02X= a 时，t = a 2a30X f (X )dxa 2 1=0t f(t) -dt1a 2= 2 -0 tf(t)dt _ 12 题目13证明题 一般设函数f (x)和g(x)在［a,b ］上连续,b2 b 2b 2证明:［a f(x)g(x)dx ］ < a f (X)dx a g (x)dx 。
解答a 2OXf(X)dx 。
考虑以t为参数的定积分b2f[f(X) —tg(x)] dx显然[f(x) -tg(x)]2 _0.并由题设知它在[a,b]上连续,故有[& f (x) -tg(x)]2dx _ 02 b 2 b b 2即t a g(X)dx—2t[ f(x)g(x)dx + [ f (x)dxK0不等式左端是关于t的二次三项式,且对任意t, 此二次式均非负.所以其判别式.■: < 0b b b即[[f(χ)g(χ)dχ]2—[[ f2(x)dx][ [g2(χ)dχ]≤0b 2 b 2 b 2-[a f(x)g(x)dx] <[ a f (x)dx][ a g (x)dx]o题目14证明题一般设f (x)在[0,1]上连续，ππ证明：02 f(sin2)cos:d = 04 f(sin2 )(cos「亠Sin :)d : 解答_π左式=『f (sin 2®)cos® d®ππ=Q4 f (Si n2)cos :d「亠∣2∙f(si n2 )cos:d :4在第二个积分中，令t,则2即房-2t, d即=-dt2π_2 f (Sin 2 ) cos ：d :40二f (si n(二-2t))cos( t)d(-t)4 2π=∫04 f (sin2t)sintdtπ=∫04 f(sin2c P)sin c P d c Pππ.左式=o4 f (Sin2 Jcos V 亠14 f (sin2 Jsin :d :π二O4 f (sin2 J(CoS i Sin )d :=右式。
题目15证明题一般设 f (x)在[ a, b]上可导,且 f (x) EM, f(a) =0,b MC证明:a f (x)dx ≤M(b—a)2o解答证明：由假设可知广X (a,b)f(x)在[a,x]上满足微分中值定理，则f (X) = f(x) 一f (a)f ( )(x-a) (a,x)又.f (x)二M, -χ= (a,b).f(x)^M(x-a)由定积分的比较定理，有f f(x)dxι≡f M(x_a)dx=M(b_a)2。
题目16证明题一般设f (x)在[Q2a],(a 0)上连续,2a a证明：f(x)dx= j[f(x) f(2a-x)]dx。
解答_2a a 2a由于O f (x)dx = O f(X)dx a f (x)dx令X = 2a 7,贝U dx = -dt2a a aO f(x)dx = j0 f (x)dx 0f (2a -t)dta二0[f (X) f(2a -x)]dx。
题目17证明题一般设k为正整数，证明：.π 2(1) CoS kxdx = ■:;- 2(2) S in kxdx =二。
--JI解答_.π 2(1) cos kxdx二1 cos2kx Idx-二 2=[1 X + 1Sin2kx] π2 4k -TI ππ七0)r°)(2) Sin 2kxdx二 1 -cos2kx Idx-二 21 1 兀=[一X-—Sin 2kx]2 4k 一兀JI j[七-0)-(0)2 2=二。