新人教A版选修2-31.3二项式定理 课件二

例2 解
1求1 2x 的展开式的第 4项的系数; 7 11 2x 的展开式的第4项是 3 3 3 3 3 7 3 C 2 x T31 C7 1 2x 7
对某个k k 0,1,2, n , 对应的项ank bk 是由n k 个a b 中选a, k个 a b 中选 b 得到的.由于 b 选定 后, a的选法也随之确定,因此, ank bk 出现的次数相 当于从n个a b 中取k个b的组合数C .这样, a b
类项之前, a b 的展开式共有 2 2 项, 而且每一项
2
式是什么吗? 2 在初中, 我们用多项式乘法法则得到了a b 的展开
都是a 2k bk k 0,1 ,2的形式.
下面我们再来分析一下 形如a2kbk的同类项的个数 . 当k 0 时, a2k bk a2 ,是由2 个 a b 中都不选 b, 得到的, 相当于从2 个a b 中取 0 个b (即都取a)的 2 组合数C0 , 因此 a 只有一个; 2 当k 1时, a 2k bk ab,是由1个 a b 中选 a,另一个 a b中选b得到的.由于b选取定后, a的选定也随之 确定,因此, ab出现的次数相当于从 2个a b 中取1个 b的组合数, 即ab共有C1 2个; 当k 2 时, a2k bk b2 ,是由2 个 a b 中都选 b, 得 到的, 相当于从2 个a b中取 2 个b 的组合数C2 2 ,因 此b2只有一个. 2 2 1 2 2 由上述分析可以得到 : a b C0 a C ab C 2 2 2b .
n k k fient ), 式中的Ck a b 叫做二项展开式的通项, 用Tk 1 n 表示,即通项为展开式的第 k 1项 :
nk k Tk 1 Ck a b. n
在二项式定理中 , 如果设a 1 ,b x,则得到公式:
1 x
n
C C x C x C x C x .
证明 由于a b 是n个a b 相乘, 每个a b 在相乘 时有两种选择, 选取a或b, 而且每个a b 中的a或b都选 定后, 才能得到展开式的一项 ,因此 ,由分步乘法计数原 理可知, 在合并同类项之前, a b 的展开式共有 2n 项,
n
其中每一项都是ank bk (k 0,1 , , n)的形式.
2 3 4 n
a b 的展开式? 你能由此猜想一下 a b 的展开
2
式 a b a ba b a a a b b a b b a2 2ab b2 . 2 从上述过程可则, 每个 a b 在相乘时有两种选择, 选 a或选b, 而且每个 a b 中的a 或 b选定后, 才能得到 展开式的一项.于是 ,由分步乘法计数原理, 在合并同
0 n 1 n 2 n 2 k k n n n n
1 例1 求 2 x 的展开式. x 分析 为了方便 ,可以先化简后展开
6
解 先将原式化简, 再展开, 得
1 2x 1 1 6 2 x 3 2x 1 x x x
a b , a b 探究 你能仿照上述过程 ,自己推导出 的展开式吗? 从上述对具体问题的分 析得到启发 , 对于任意正整数 n, 我们有如下猜想:
3 4
a b
n
n N .如何证明这个猜想呢?

n
0 n n1 1 k nk k n n Cn a C1 a b C a b C n n nb
1 6 5 4 3 1 2 3 3 2x C6 2x C6 2x C6 2x x 2 4 6 C6 2x C5 2 x C 6 6
6 6

1 3 64x 6 6 32x 5 15 16x 4 20 8x 3 x 15 4x 2 6 2x 1 60 12 1 3 2 64 x 192x 240 x 160 2 3. x x x
二项式定理
那么, a b 的展开式是什么呢 ? 我们 在计数原理这一章来学 习它, 说明它的 展开式与分类加法计数 原理、分步乘 法计数 原理以及排列、组合的 知识有 关.那么 , 如何把二项展开式与这 些知识 联系起来呢?
n
a b 的展开式. 二项式定理研究的是
n
探究 如何利用两个计数原理 得到a b , a b ,
k n n
的展开式中, ank bk共有Ck n个, 将它们合并同类项, 就 可以得到二项展开式 :
a b
n
0 n n1 1 k nk k n n Cn a C1 a b C a b C n n nb
0 n n1 1 k nk k n n a bn Cn a C1 a b C a b C n n nb 上述公式叫做二项式定理 binomial theorem . n 我们看到a b 的二项式共有 n 1项, 其中各项的系 数 Ck ( k 0 , 1 , 2 , , n ) 叫做 ( binomial coef 二项式系数 n