高中选修第三册数学第六章《本章综合与测试》习题课 二项式定理获奖说课课件
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人教版数学选择性必修三6.3.1二项式定理课件
2
5
8
10
(－3)2x2，10
(－3)5，10
(－3)8x－2.
10−2
3
典例精析
题
型
三
求
二
项
式
系
数
与
项
的
系
数
例3
在
2 2
1
−3
8
的展开式中，求：
(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；
(2)倒数第3项．
利用通项公式求解
例3
在
2 2
1
−3
8
的展开
(1)
1 4
4
2
8－4
T5＝8 ·(2x ) ·− 3
提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.
问题2：上述两个等式的右侧有何特点？
提示：(a＋b)3的展开式有4项，每项的次数是3；
(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数为4.
问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？
3
为有理数
k能被2整除，且20－k能被3整除
0≤k≤20
k＝2,8,14,20
例2
(2)设二项式
1
−3
5
的展开式中常
数项为A，则A＝_______.
－10
+1 =
5
令
2
5
5
−
6
5−
1
−3
＝0，得k＝3，
所以A＝－53 ＝－10.
=
5
−1
5 5
−
5
8
10
(－3)2x2，10
(－3)5，10
(－3)8x－2.
10−2
3
典例精析
题
型
三
求
二
项
式
系
数
与
项
的
系
数
例3
在
2 2
1
−3
8
的展开式中，求：
(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；
(2)倒数第3项．
利用通项公式求解
例3
在
2 2
1
−3
8
的展开
(1)
1 4
4
2
8－4
T5＝8 ·(2x ) ·− 3
提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.
问题2：上述两个等式的右侧有何特点？
提示：(a＋b)3的展开式有4项，每项的次数是3；
(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数为4.
问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？
3
为有理数
k能被2整除，且20－k能被3整除
0≤k≤20
k＝2,8,14,20
例2
(2)设二项式
1
−3
5
的展开式中常
数项为A，则A＝_______.
－10
+1 =
5
令
2
5
5
−
6
5−
1
−3
＝0，得k＝3，
所以A＝－53 ＝－10.
=
5
−1
5 5
−
数学人教A版(2019)选择性必修第三册6.3二项式定理(共45张ppt)
n (0
n 1
n
C
k n)
k nk k
C
b
k 1
na
(2)各项的统一表达式为____________,这是展开式的第_____项.
a降幂(n→0),b升幂(0→n)
(3)a的幂、b的幂的变化规律：___________n的展开式
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C
2
n 1
n
ab
n 1
(1)展开式共n+1项，各项次数为n.
(2)各项规律：a降幂(n→0)；b升幂(0→n)
(3)展开式的通项or第k+1项：Tk 1 Cnk a n k b k (k 0,1,2, , n)
[例2]化简下列各式.
n
3
(1)1 2C 4C 2 C ____
1
n
2
n
n
n
n
a=1,b=3
0
0
1
2
2
n
n
析 : 原式 Cn 2 Cn 2 Cn 2 Cn 2 (1 2) n 3n
1
(2)2 n Cn1 2 n 1 (1) k Cnk 2 n k (1) n Cnn ____
( x ) C6 x C6 x C6 x C6 C6 x C6 x C6 x
x
6
4
2
2
4
6
x 6 x 15x 20 15x 6 x x
n
0
n 1
n
C
k n)
k nk k
C
b
k 1
na
(2)各项的统一表达式为____________,这是展开式的第_____项.
a降幂(n→0),b升幂(0→n)
(3)a的幂、b的幂的变化规律：___________n的展开式
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C
2
n 1
n
ab
n 1
(1)展开式共n+1项，各项次数为n.
(2)各项规律：a降幂(n→0)；b升幂(0→n)
(3)展开式的通项or第k+1项：Tk 1 Cnk a n k b k (k 0,1,2, , n)
[例2]化简下列各式.
n
3
(1)1 2C 4C 2 C ____
1
n
2
n
n
n
n
a=1,b=3
0
0
1
2
2
n
n
析 : 原式 Cn 2 Cn 2 Cn 2 Cn 2 (1 2) n 3n
1
(2)2 n Cn1 2 n 1 (1) k Cnk 2 n k (1) n Cnn ____
( x ) C6 x C6 x C6 x C6 C6 x C6 x C6 x
x
6
4
2
2
4
6
x 6 x 15x 20 15x 6 x x
n
0
人教版高中数学选修三6.3.1 二项式定理 课件
，令
= ( ∈ ), 则10-2r=3k.
所以，k可取2，0，-2，r取2,5,8，所以第3，6，9项为有理项，分别为
(− )
, (− )
,
−
(− )
,即
,−
,
.
链接高考
5. （2008 江西高考真题（理））( + ) ( + ) 展开式中的
例题讲解
解：(2) ( −
(
) 的展开式的通项是
)− (−
) = (−) − −
根据题意，得
−=
=
因此，x2的系数是
(−) = −
课堂练习
1. 求( +
) 的展开式
)
2、a按照降幂排列，b按照升幂排列，每一项中a、b的指数和为n；
3、第k+1项的二项式系数为 .
新知讲解
特殊地：
（1）当把b替换为-b时，
(a-b)n= − − +. . . +(−) − +. . . +(−)
（2）当a=1,b=x时，
例2 （1）求( + ) 的展开式的第4项的系数；
（2）求( −
) 的展开式中x2的系数.
解：(1) ( + ) 的展开式的第4项是
+ = × − × () = ×
= × × =
因此，展开式第4项的系数是280.
= ( ∈ ), 则10-2r=3k.
所以，k可取2，0，-2，r取2,5,8，所以第3，6，9项为有理项，分别为
(− )
, (− )
,
−
(− )
,即
,−
,
.
链接高考
5. （2008 江西高考真题（理））( + ) ( + ) 展开式中的
例题讲解
解：(2) ( −
(
) 的展开式的通项是
)− (−
) = (−) − −
根据题意，得
−=
=
因此，x2的系数是
(−) = −
课堂练习
1. 求( +
) 的展开式
)
2、a按照降幂排列，b按照升幂排列，每一项中a、b的指数和为n；
3、第k+1项的二项式系数为 .
新知讲解
特殊地：
（1）当把b替换为-b时，
(a-b)n= − − +. . . +(−) − +. . . +(−)
（2）当a=1,b=x时，
例2 （1）求( + ) 的展开式的第4项的系数；
（2）求( −
) 的展开式中x2的系数.
解：(1) ( + ) 的展开式的第4项是
+ = × − × () = ×
= × × =
因此，展开式第4项的系数是280.
6.3.1 二项式定理 课件PPT 人教高中数学选修第三册
巩固训练
巩固训练
巩固训练
练2.二项式
x6x1x来自5的展开式中为常数项的是（
C
）
A．第3项
B．第4项
C．第5项
D．第6项
【详解】依题意， x6
1 5的展开式的通项为 Tr1
x x
C5r ( x6 )5r (
1 )r xx
(1)
r
C5r
x
3015 2
r
，
r N, r 5 ，
令
30
15 2
r
0，得
（2）本节课我们用到了哪些思想方法？
作用
通
内容
二项式定理
项
求 任 一 项
求 指 定 项
求 指 项定 特 征
二项式 系数
课堂小结
注意 与系数的区别
课后作业：1.完成分层作业 2.预习《6.3.2二项式系数的性质》
布置作业
4.二项式定理对任意的数a, b都成立，若设a＝1, b＝x，则有
(1
x)n
C
0 n
Cn1 x
Cn2 x 2
C
k n
xk
Cnn xn .
典例分析
解 ( x 1 )6 ( x x1 )6
：
x
C60 x6 C61 x5 x1 C62 x4 x2 C63 x3 x3 C64 x2 x4 C65 xx5 C66 x6
r 4
，即是二项式
x6
x
1 x
5
的展开式的常数项，
所以展开式中的常数项是第5项.
巩固训练
思考：(x2 2 y 2)5的展开式中 x4 y2项的系数为 ____B______
A.-240
二项式定理说课 课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
TEXT HERE
TEXT HERE
TEXT HERE
TEXT HERE
多项式，培养学生的逻辑推理与数学抽象的核心素养。
七、说教学过程
（二）探究归纳，发现规律
思考3：不计算，能否运用摸球试验解释( + )3 ？并写出展开式？
TEXT HERE
TEXT HERE
TEXT HERE
TEXT HERE
学学习的热情，培养核心素养。通过这两个计算，学生体会学习是一
个日积月累的过程。
七、说教学过程
（四）知识迁移，初步应用
反思：1.探究展开式某一项时，常用什么方法？
2.二项式系数与项系数是同一个概念吗如果不是，二者的区别
TEXT HERE
TEXT HERE
TEXT HERE
TEXT HERE
TEXT HERE
是带领学生初步体验二项式定理在解决问题时的
TEXT HERE
TEXT HERE
TEXT HERE
方法：赋值或是赋表达式。
TEXT HERE
TEXT HERE
TEXT HERE
TEXT HERE
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七、说教学过程
（四）知识迁移，初步应用
1. 求 （1 + 2）5 的展开式。
2. 求 （2 + ）6 的展开式的第三项。
情境，
初步
TEXT HERE
HERE
发现 TEXT形成
TEXT HERE
HERE
体验
规律 TEXT定理
TEXT HERE
TEXT HERE
TEXT HERE
TEXT HERE
知识
回顾
布置
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TEXT HERE
TEXT HERE
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多项式，培养学生的逻辑推理与数学抽象的核心素养。
七、说教学过程
（二）探究归纳，发现规律
思考3：不计算，能否运用摸球试验解释( + )3 ？并写出展开式？
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学学习的热情，培养核心素养。通过这两个计算，学生体会学习是一
个日积月累的过程。
七、说教学过程
（四）知识迁移，初步应用
反思：1.探究展开式某一项时，常用什么方法？
2.二项式系数与项系数是同一个概念吗如果不是，二者的区别
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是带领学生初步体验二项式定理在解决问题时的
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方法：赋值或是赋表达式。
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七、说教学过程
（四）知识迁移，初步应用
1. 求 （1 + 2）5 的展开式。
2. 求 （2 + ）6 的展开式的第三项。
情境，
初步
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发现 TEXT形成
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体验
规律 TEXT定理
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知识
回顾
布置
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高中数学选择性必修三 新教材高中数学6 3二项式定理课件
考点三 二项展开式中的系数最值问题(综合型)
复习指导
求解此类题的关键：一是方程引入，利用已知二项式系数的最大值，求出参
数的值；二是公式应用，即利用二项展开式的通项公式，即可求出指定项或指定项的系
数．
(y－x22)6 的展开式中二项式系数最大的项为第______项，系数最大的项为______． 【解析】 因为(y－x22)6 的展开式中二项式系数的最大值为 C36，所以二项式系数最大的 项为第 4 项．因为(y－x22)6的展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr6·y6－r(－x22)r＝Cr6·(－2)rx－2ry6－r， 所以展开式中系数最大的项为奇数项． 法一：设第 r＋1 项的系数最大，则CCr6r6··((－－22))rr≥≥CC66rr＋ －22· ·((－ －22))rr＋ －22， ， 因为 r∈Z，0≤r≤6，且 r 为偶数，所以 r＝4， 则 T5＝C46·(－2)4x－8y2＝240x－8y2，所以展开式中系数最大的项为 240x－8y2，
2．(a＋x)(1＋x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a＝______． 解析：设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令 x＝1， 得 16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，① 令 x＝－1，得 0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.② ①－②，得 16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)， 即展开式中 x 的奇数次幂的系数之和为 a1＋a3＋a5＝8(a＋1)， 所以 8(a＋1)＝32，解得 a＝3. 答案：3
2．二项式系数的性质
常用结论 1．两个常用公式 (1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n. (2)C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1. 2．二项展开式的三个重要特征 (1)字母 a 的指数按降幂排列由 n 到 0. (2)字母 b 的指数按升幂排列由 0 到 n. (3)每一项字母 a 的指数与字母 b 的指数的和等于 n.
6.3.1二项式定理课件(人教版)(1)
字母a按降幂排序，
2
C
2 1.
字母b按升幂排序.
共4项
（a 或 b）相乘.
取出一个字母
系数
a 3、a 2b、ab 2、b3；
C30 1，C13 3，
字母a按降幂排序， 2
3
C
3,
C
3
3 1.
字母b按升幂排序.
从3个括号中各
取出一个字母
字母组成
4
3
2 2
3
4
环节三 提出猜想，归纳定理
(a b) 2 (a b)( a b) aa ab ba bb a 2 2ab b 2
3
(a b) (a b)(a b)(a b)
aaa aba baa bba aab abb bab bbb
3
2
2
3
a 3a b 3ab b
问题3-2：类比以上分析，你能运用计数原理推导 + 4 的展开式吗？
分析：（1）类比上述展开式的推理过程，可以得：
(a b) (a b)(a b)(a b)(a b) ...... _ _ a _ _ a b _ _ a b _ _ ab _ _ b
用计数原理分析，得到展开式中的一项需要三步：
第一步从第一个括号中选 或 ，有C21 种选法；
第二步从第二个括号中选 或 ，有C21 种选法；
第三步从第三个括号中选 或 ，有C21 种选法；
由分步乘法计数原理，合并前共有 C21 × C21 × C21 =23 种选法．
进一步分析 + 3 = + + + = 3 + 32 + 3 2 + 3 的生成过程:
2
C
2 1.
字母b按升幂排序.
共4项
（a 或 b）相乘.
取出一个字母
系数
a 3、a 2b、ab 2、b3；
C30 1，C13 3，
字母a按降幂排序， 2
3
C
3,
C
3
3 1.
字母b按升幂排序.
从3个括号中各
取出一个字母
字母组成
4
3
2 2
3
4
环节三 提出猜想，归纳定理
(a b) 2 (a b)( a b) aa ab ba bb a 2 2ab b 2
3
(a b) (a b)(a b)(a b)
aaa aba baa bba aab abb bab bbb
3
2
2
3
a 3a b 3ab b
问题3-2：类比以上分析，你能运用计数原理推导 + 4 的展开式吗？
分析：（1）类比上述展开式的推理过程，可以得：
(a b) (a b)(a b)(a b)(a b) ...... _ _ a _ _ a b _ _ a b _ _ ab _ _ b
用计数原理分析，得到展开式中的一项需要三步：
第一步从第一个括号中选 或 ，有C21 种选法；
第二步从第二个括号中选 或 ，有C21 种选法；
第三步从第三个括号中选 或 ，有C21 种选法；
由分步乘法计数原理，合并前共有 C21 × C21 × C21 =23 种选法．
进一步分析 + 3 = + + + = 3 + 32 + 3 2 + 3 的生成过程:
人教版高中数学选修三6.3.2 二项式系数的性质 课件
答案:C
2.已知C0 +2C1 +22C2 +…+2nC =729,则C1 + C3 + C5 的值等于(
A.64
B.32
C.63
解析:由已知(1+2)n=3n=729,解得 n=6.
则C1 + C3 + C5 = C61 + C63 + C65 =32.
答案:B
D.31
)
3.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为(
0 , 1 , 2 , … , , … , 0 .
我们还可以从函数的角度分析它们。 可看
成是以为自变量的函数() ，
其定义域是 0,1,2, … ,
我们还可以画出它的图像。
例如，当 = 6时，
函数 = ( 0,1,2, … , )的图像是7个
.
2
奇数项系数之和为 a0+a2+a4+…=
偶数项系数之和为
跟踪训练
跟踪训练1. 在(2x-3y)9的展开式中,求:
(1)二项式系数之和;
(2)各项系数之和;
(3)所有奇数项系数之和.
解:设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.
(1)二项式系数之和为C90 + C91 + C92 +…+C99=29=512.
7 ×
C14
1 7 7
×2 =3
2
432.
课堂小结
的展开式的各二项式系数之和为2n
3.各二项式系数的和
n0 + n1 + n2 +…+nn =2n.
2.已知C0 +2C1 +22C2 +…+2nC =729,则C1 + C3 + C5 的值等于(
A.64
B.32
C.63
解析:由已知(1+2)n=3n=729,解得 n=6.
则C1 + C3 + C5 = C61 + C63 + C65 =32.
答案:B
D.31
)
3.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为(
0 , 1 , 2 , … , , … , 0 .
我们还可以从函数的角度分析它们。 可看
成是以为自变量的函数() ，
其定义域是 0,1,2, … ,
我们还可以画出它的图像。
例如，当 = 6时，
函数 = ( 0,1,2, … , )的图像是7个
.
2
奇数项系数之和为 a0+a2+a4+…=
偶数项系数之和为
跟踪训练
跟踪训练1. 在(2x-3y)9的展开式中,求:
(1)二项式系数之和;
(2)各项系数之和;
(3)所有奇数项系数之和.
解:设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.
(1)二项式系数之和为C90 + C91 + C92 +…+C99=29=512.
7 ×
C14
1 7 7
×2 =3
2
432.
课堂小结
的展开式的各二项式系数之和为2n
3.各二项式系数的和
n0 + n1 + n2 +…+nn =2n.
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习题课 二项式定理
学习目标
1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念. 2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
1.二项式定理及其相关概念 公式(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn，
二项式定理 称为二项式定理.
解析答案
规律与方法
1.两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题 (1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点. (2)找到构成展开式中特定项的组成部分. (3)分别求解再相乘，求和即得. 2.三项或三项以上的展开问题 应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题 解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时 要注意合理性和简捷性.
令－8＋2r＝0即r＝4，即 T5＝(－1)4C45＝5. 对 2x12－15 的通项为，T′r＋1＝2Cr5x125－r·(－1)r.
令5－r＝0即r＝5.T′6＝－2. ∴(x2＋2)x12－15 的展开式的常数项为 5－2＝3.
解析答案
角度2 三项展开式问题
例2
2x＋1x＋
25 的展开式中的常数项是________.
解 令x＝0，则展开式为a0＝2100.
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；
解 令x＝1，可得 a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－ 3)100，
①
所以 a1＋a2＋…＋a100＝(2－ 3)100－2100. (3)a1＋a3＋a5＋…＋a99； 解 令x＝－1，可得 a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋ 3)100. ②
方法二 (90＋1)92＝C0929092＋C1929091＋…＋C9902902＋C991290＋C9922， 前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得
余数为81.
解析答案
1234
4.若(2x＋ 3 )4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的 值为__1__. 解析 对二项展开式中的x赋值. 当x＝1，x＝－1时， 可分别得到(2＋ 3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，( 3－2)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4， 相乘即可得到(a0＋a2＋a4＋a1＋a3)·(a0＋a2＋a4－a1－a3) ＝(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2 ＝(2＋ 3)4·(2－ 3)4＝1.
2－ 3100－2＋ 3100
与①式联立相减得 a1＋a3＋…＋a99＝
2
.
解析答案
(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；
解
由①②可得，a0＋a2＋…＋a100＝2－
3100＋2＋ 2
3100 ，
∴(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－…＋a100)＝(2－ 3)100·(2＋ 3)100＝1.
令6－2r＝0解得：r＝3.
故展开式中的常数项为－C36＝－20.
解析答案
3.9192被100除所得的余数为__8_1__.
1234
解析 利用9192＝(100－9)92的展开式，或利用(90＋1)92的展开式.
方法一 (100－9)92＝C09210092－C91210091×9＋C292·10090×92－…－C9912100×991＋C9922992.
解析答案
角度3 整除和余数问题 例3 (1)233除以9的余数是__8__. 解析 233＝(23)11＝811＝(9－1)11＝C011911×(－1)0＋C111910×(－1)1＋…＋ C111091×(－1)10＋C111190×(－1)11. 分析易得：其展开式中 C011911×(－1)0＋C111910×(－1)1＋…＋C111091× (－1)10 能被 9 整除， 而最后一项为－1，则233除以9的余数是8.
(2)性质：Ckn＋1＝ Ckn－1＋ Ckn ； n
(3)二项式系数的最大值：_当__n_是__偶__数__时__，_中__间__的__一__项__取__得__最__大__值__，__即___C_n2__
n1
n1
最__大__；_当__n_是__奇__数__时__，_中__间__的__两__项__相__等__，_且__同__时__取__得__最__大__值_，__即__C__n2____C_n_2_最__大_ ；
跟踪训练3 设a∈Z，且0≤a<13，若512 015＋a能被13整除，则a＝___1__. 解析 ∵512 015＋a＝(52－1)2 015＋a＝C02 015522 015－C12 015522 014＋ C22 015522 013－…＋C22 001145521－1＋a， 能被13整除，0≤a<13. 故－1＋a能被13整除，故a＝1.
解析答案
类型二 二项式系数性质的应用
例4
已知
2x－
1
n
x
展开式中二项式系数之和比(2x＋xlg x)2n展开式中奇数项的
二项式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1 120，求x.
解 依题意得2n－22n－1＝－112，
整理得(2n－16)(2n＋14)＝0.解得n＝4，
所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第五项.
∴x2 的系数为 C25＋aC15，则10＋5a＝5，解得：a＝－1.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练 1 (x2＋2)x12－15 的展开式的常数项是___3__. 解析 (x2＋2)x12－15＝x2x12－15＋2x12－15， 对于 x2x12－15 的通项为，Tr＋1＝x2C5rx125－r·(－1)r＝(－1)rCr5x－8＋2r.
展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数.
由 992＝(10－1)92＝C0921092－…＋C9902102－C991210＋1. 前91项均能被100整除，后两项和为－919，因原式为正，可从前面的数中分离
出1 000，结果为1 000－919＝81，
∴9192被100除可得余数为81.
二项式系数
_C_kn_(_k＝__0_,_1_，__…__，__n_)_
通项 二项式定理
的特例
Tk＋1＝ Cknan－kbk (k＝0,1，…n) (1＋x)n＝C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cknxk＋…＋Cnnxn
答案
2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)
(1)对称性： Cmn ＝Cnn－m ；
解析答案
(2)求证2n＋2·3n＋5n－4能被25整除(n∈N*). 证明 原式＝4(5＋1)n＋5n－4＝4(C0n·5n＋C1n·5n－1＋C2n·5n－2＋…＋Cnn)＋ 5n－4＝4(C0n·5n＋C1n·5n－1＋…＋Cnn－2·52)＋25n， 以上各项均为25的整数倍，故得证.
反与感悟 解析答案
(4)二项式系数之和 C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnr＋…＋Cnn＝2n，所用方法是 赋值法.
答案
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题型探究
重点难点 个个击破
类型一 二项式定理的灵活应用 角度1 两个二项式积的问题 例1 (1)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0) ＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝__12_0__. 解析 f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3) ＝C36C04＋C26C14＋C16C24＋C06C34＝120. (2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝_－__1_. 解析 (1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5.
A.210
B.120
C.80
D.60
解析 在(1＋x)6(2＋y)4 的展开式中，含 x4y3 的项为 C46x4C342·y3＝120x4y3.
故含x4y3项的系数为120.
解析答案
2.x2＋x12－23 的展开式中常数项为( C )
A.－8
B.－12
1234
C.－20
D.20
解析 x2＋x12－23＝x－1x6 展开式的通项公式为 Tr＋1＝C6r(－1)rx6－2r.
(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.
解 |a0|＋|a1|＋…＋|a100|，即(2＋ 3x)100 的展开式中各项系数的和，
在(2＋ 3x)100 的展开式中， 令 x＝1，可得各项系数的和为(2＋ 3)100.
解析答案
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达标检测
1234
1.在(1＋x)6(2＋y)4的展开式中，含x4y3项的系数为( B )
反思与感悟 解析答案
跟踪训练2 (x2－x－2)3的展开式中x3的系数为__1_1__. 解析 (x2－x－2)3＝[(x＋1)(x－2)]3＝(x＋1)3(x－2)3 ∴(x2－x－2)3 的展开式中 x3 的系数为 C03C33(－2)3＋C13C23(－2)2＋C23C13(－2)1＋C33C03(－2)0＝11.
依题意得 C48(2x)4(xlg x)4＝1 120， 化简得x4(1＋lg x)＝1，所以x＝1，或4(1＋lg x)＝0， 故所求 x 的值为 1 或110.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练4 设(2－ 3x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100·x100，求下列各式的值.
(1)求a0；
3.用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的 数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面) 一、二项就可以了. 4.求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入. 5.确定二项展开式中的最大或最小项：利用二项式系数的性质.
学习目标
1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念. 2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
1.二项式定理及其相关概念 公式(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn，
二项式定理 称为二项式定理.
解析答案
规律与方法
1.两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题 (1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点. (2)找到构成展开式中特定项的组成部分. (3)分别求解再相乘，求和即得. 2.三项或三项以上的展开问题 应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题 解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时 要注意合理性和简捷性.
令－8＋2r＝0即r＝4，即 T5＝(－1)4C45＝5. 对 2x12－15 的通项为，T′r＋1＝2Cr5x125－r·(－1)r.
令5－r＝0即r＝5.T′6＝－2. ∴(x2＋2)x12－15 的展开式的常数项为 5－2＝3.
解析答案
角度2 三项展开式问题
例2
2x＋1x＋
25 的展开式中的常数项是________.
解 令x＝0，则展开式为a0＝2100.
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；
解 令x＝1，可得 a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－ 3)100，
①
所以 a1＋a2＋…＋a100＝(2－ 3)100－2100. (3)a1＋a3＋a5＋…＋a99； 解 令x＝－1，可得 a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋ 3)100. ②
方法二 (90＋1)92＝C0929092＋C1929091＋…＋C9902902＋C991290＋C9922， 前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得
余数为81.
解析答案
1234
4.若(2x＋ 3 )4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的 值为__1__. 解析 对二项展开式中的x赋值. 当x＝1，x＝－1时， 可分别得到(2＋ 3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，( 3－2)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4， 相乘即可得到(a0＋a2＋a4＋a1＋a3)·(a0＋a2＋a4－a1－a3) ＝(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2 ＝(2＋ 3)4·(2－ 3)4＝1.
2－ 3100－2＋ 3100
与①式联立相减得 a1＋a3＋…＋a99＝
2
.
解析答案
(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；
解
由①②可得，a0＋a2＋…＋a100＝2－
3100＋2＋ 2
3100 ，
∴(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－…＋a100)＝(2－ 3)100·(2＋ 3)100＝1.
令6－2r＝0解得：r＝3.
故展开式中的常数项为－C36＝－20.
解析答案
3.9192被100除所得的余数为__8_1__.
1234
解析 利用9192＝(100－9)92的展开式，或利用(90＋1)92的展开式.
方法一 (100－9)92＝C09210092－C91210091×9＋C292·10090×92－…－C9912100×991＋C9922992.
解析答案
角度3 整除和余数问题 例3 (1)233除以9的余数是__8__. 解析 233＝(23)11＝811＝(9－1)11＝C011911×(－1)0＋C111910×(－1)1＋…＋ C111091×(－1)10＋C111190×(－1)11. 分析易得：其展开式中 C011911×(－1)0＋C111910×(－1)1＋…＋C111091× (－1)10 能被 9 整除， 而最后一项为－1，则233除以9的余数是8.
(2)性质：Ckn＋1＝ Ckn－1＋ Ckn ； n
(3)二项式系数的最大值：_当__n_是__偶__数__时__，_中__间__的__一__项__取__得__最__大__值__，__即___C_n2__
n1
n1
最__大__；_当__n_是__奇__数__时__，_中__间__的__两__项__相__等__，_且__同__时__取__得__最__大__值_，__即__C__n2____C_n_2_最__大_ ；
跟踪训练3 设a∈Z，且0≤a<13，若512 015＋a能被13整除，则a＝___1__. 解析 ∵512 015＋a＝(52－1)2 015＋a＝C02 015522 015－C12 015522 014＋ C22 015522 013－…＋C22 001145521－1＋a， 能被13整除，0≤a<13. 故－1＋a能被13整除，故a＝1.
解析答案
类型二 二项式系数性质的应用
例4
已知
2x－
1
n
x
展开式中二项式系数之和比(2x＋xlg x)2n展开式中奇数项的
二项式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1 120，求x.
解 依题意得2n－22n－1＝－112，
整理得(2n－16)(2n＋14)＝0.解得n＝4，
所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第五项.
∴x2 的系数为 C25＋aC15，则10＋5a＝5，解得：a＝－1.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练 1 (x2＋2)x12－15 的展开式的常数项是___3__. 解析 (x2＋2)x12－15＝x2x12－15＋2x12－15， 对于 x2x12－15 的通项为，Tr＋1＝x2C5rx125－r·(－1)r＝(－1)rCr5x－8＋2r.
展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数.
由 992＝(10－1)92＝C0921092－…＋C9902102－C991210＋1. 前91项均能被100整除，后两项和为－919，因原式为正，可从前面的数中分离
出1 000，结果为1 000－919＝81，
∴9192被100除可得余数为81.
二项式系数
_C_kn_(_k＝__0_,_1_，__…__，__n_)_
通项 二项式定理
的特例
Tk＋1＝ Cknan－kbk (k＝0,1，…n) (1＋x)n＝C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cknxk＋…＋Cnnxn
答案
2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)
(1)对称性： Cmn ＝Cnn－m ；
解析答案
(2)求证2n＋2·3n＋5n－4能被25整除(n∈N*). 证明 原式＝4(5＋1)n＋5n－4＝4(C0n·5n＋C1n·5n－1＋C2n·5n－2＋…＋Cnn)＋ 5n－4＝4(C0n·5n＋C1n·5n－1＋…＋Cnn－2·52)＋25n， 以上各项均为25的整数倍，故得证.
反与感悟 解析答案
(4)二项式系数之和 C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnr＋…＋Cnn＝2n，所用方法是 赋值法.
答案
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重点难点 个个击破
类型一 二项式定理的灵活应用 角度1 两个二项式积的问题 例1 (1)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0) ＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝__12_0__. 解析 f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3) ＝C36C04＋C26C14＋C16C24＋C06C34＝120. (2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝_－__1_. 解析 (1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5.
A.210
B.120
C.80
D.60
解析 在(1＋x)6(2＋y)4 的展开式中，含 x4y3 的项为 C46x4C342·y3＝120x4y3.
故含x4y3项的系数为120.
解析答案
2.x2＋x12－23 的展开式中常数项为( C )
A.－8
B.－12
1234
C.－20
D.20
解析 x2＋x12－23＝x－1x6 展开式的通项公式为 Tr＋1＝C6r(－1)rx6－2r.
(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.
解 |a0|＋|a1|＋…＋|a100|，即(2＋ 3x)100 的展开式中各项系数的和，
在(2＋ 3x)100 的展开式中， 令 x＝1，可得各项系数的和为(2＋ 3)100.
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1.在(1＋x)6(2＋y)4的展开式中，含x4y3项的系数为( B )
反思与感悟 解析答案
跟踪训练2 (x2－x－2)3的展开式中x3的系数为__1_1__. 解析 (x2－x－2)3＝[(x＋1)(x－2)]3＝(x＋1)3(x－2)3 ∴(x2－x－2)3 的展开式中 x3 的系数为 C03C33(－2)3＋C13C23(－2)2＋C23C13(－2)1＋C33C03(－2)0＝11.
依题意得 C48(2x)4(xlg x)4＝1 120， 化简得x4(1＋lg x)＝1，所以x＝1，或4(1＋lg x)＝0， 故所求 x 的值为 1 或110.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练4 设(2－ 3x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100·x100，求下列各式的值.
(1)求a0；
3.用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的 数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面) 一、二项就可以了. 4.求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入. 5.确定二项展开式中的最大或最小项：利用二项式系数的性质.