河南省洛阳市第一高级中学_学年高二数学上学期10月月考试题【含答案】
河南省洛阳市高二上学期数学第一次月考试卷
河南省洛阳市高二上学期数学第一次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·运城模拟) 已知集合A={x|x2﹣5x+6＞0}，B={x||x﹣3|＜1}，则A∪B=（）A . （3，4）B . RC . （﹣∞，2）∪（2，+∞）D . （3，4）∪{2}2. （2分）如果角的终边经过点，则A .B .C .D .3. （2分） (2017高一下·彭州期中) △ABC的三个内角A，B，C对应的边分别a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，则角B等于（）A . 30°B . 60°C . 90°D . 120°4. （2分） (2017高二下·牡丹江期末) 已知 , , ,则的最小值为（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高二下·上海月考) 已知为两条不同的直线, 为两个不同的平面,下列四个命题中正确的是（）A . 若且则B . 若在上,且则C . 若且在上,则D . 若且在外,则6. （2分） (2018高二上·慈溪期中) 点P 在圆的内部，则的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）方程x2+y2+2ax﹣2ay=0（a≠0）表示的圆（）A . 关于x轴对称B . 关于y轴对称C . 关于直线x﹣y=0对称D . 关于直线x+y=0对称8. （2分）直线与圆相交所得的弦的长为（）A .B .C .D .9. （2分）阅读如图所示的程序框图，如果输入的n的值为6，那么运行相应程序，输出的n的值为（）A . 3B . 5C . 10D . 1610. （2分）若直线与圆有公共点，则实数取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）设a，b是方程x2+（cotθ）x﹣cosθ=0的两个不等实根，那么过点A（a，a2）和B（b，b2）的直线与圆x2+y2=1的位置关系是（）A . 相离B . 相切C . 相交D . 随θ的值而变化12. （2分） (2018高二上·嘉兴月考) 若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2 ，则实数a的值为（）A . －1或B . 1或3C . －2或6D . 0或4二、填空题 (共5题；共5分)13. （1分） (2019高一上·嘉善月考) 若函数定义域为 ,则函数定义域为________,函数定义域为________.14. （1分）已知圆（x﹣2）2+（y+1）2=3，圆心坐标为________．15. （1分）执行右侧的程序框图，若输入，则输出 ________.16. （1分）(2017·江西模拟) 设向量，满足| + |=3，| ﹣ |=2，则的取值范围为________．17. （1分）半径为4，与圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0相切，且和直线y=0相切的圆的方程为________三、解答题 (共5题；共45分)18. （5分）小强要参加班里组织的郊游活动，为了做好参加这次郊游活动的准备工作，他测算了如下数据：整理床铺、收拾携带物品8分钟，去洗手间2分钟，洗脸、刷牙7分钟、准备早点15分钟（只需在煤气灶上热一下），煮牛奶8分钟（有双眼煤气灶可以利用），吃早点10分钟，查公交线路图5分钟，给出差在外的父亲发短信2分钟，走到公共汽车站10分钟，小强粗略地算了一下，总共需要67分钟．为了赶上7：50的公共汽车，小强决定6：30起床，可是小强一下子睡到7：00了！按原来的安排，小强还能参加这次郊游活动吗？如果不能，请你帮小强重新安排一下时间，画出一份郊游出行流程图来，以使得小强还能来得及参加此次郊游活动．19. （10分）(2017·南通模拟) 如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ=λBB1（λ≠0）．（1）若，求AP与AQ所成角的余弦值；（2）若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．20. （10分） (2016高一上·重庆期中) 已知函数f（x）=ln（x+ ），（1）判断并证明函数y=f（x）的奇偶性；（2）判断并证明函数y=f（x）在R上的单调性；（3）当x∈[1，2]时，不等式f（a•4x）+f（2x+1）＞0恒成立，求实数a的取值范围．21. （10分）(2018·齐齐哈尔模拟) 在中分别为角所对的边，已知(I)求角的大小；(Ⅱ)若 ,求的面积.22. （10分） (2019高一下·余姚月考) 已知数列的前项和为，，若数列是公比为4的等比数列.（1）求，并求数列的通项公式；（2）设，，若数列是递增数列，求实数的范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共5题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共45分)18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、。
河南省洛阳市2023-2024学年高一上学期10月月考试题 数学含解析
洛阳强基联盟高一10月联考数学（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{|2}|31M x N x x =<=≥，，则M N ⋂=（）A .{|0x x ≤<B.1{|3x x ≤<C.4|}13{x x ≤< D.{|34}x x ≤<2.命题“0∀∈-=R a ax 有实数解”的否定是（）A.0∀∈-=R a ax 无实数解B.0∃∈-≠R a ax 有实数解C .0∀∈-≠R a ax 有实数解D.0∃∈-=R a ax 无实数解3.下列表示错误的是()A.{}{,}a ab ∈ B.{,}{,}a b b a ⊆ C.{1,1}{1,0,1}-⊆- D.{1,1}∅⊆-4.“1a >”是“0a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.不等式()()2120--≥x x 的解集为（）A.12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B.122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭C.{|0.5x x ≤或}2x ≥ D.12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭6.已知集合A ={x ∈N|0≤x <m }有8个子集，则实数m 的取值范围为（）A.{m |2<m ≤3}B.{m |2≤m <3}C.{m |2≤m ≤3}D.{m |2<m <3}7.若12x >，则函数2()21=+-f x x x 的最小值为（）A. B.1+ C.4D.2.58.定义集合运算：2(,),2x A B x y A B y ⎧⎫⊕=∈∈⎨⎬⎩⎭．若集合{}14A B x x ==∈<<N ，15(,)63C x y y x ⎧⎫==-+⎨⎬⎩⎭，则()A B C ⊕⋂=（）A.∅B.(){}4,1C.31,2⎧⎫⎛⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭D.()24,1,6,3⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分.9.已知a <b <0，则下列不等式成立的是（）A .|a |>|b |B.11a b <C.ab <b 2D.b a a b<10.（多选）如图所示，U 是全集，A 、B 是U 的两个子集，则阴影部分表示的集合是（）A.()UAB ð B.()U B B⋂ð C.()U A B ⋂ð D.()U A A B ⋂⋂ð11.“23R,208x kx kx ∀∈+-<”的一个充分不必要条件可能是（）A.0k =B.30k -<<C.31k -<<- D.30k -<≤12.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则（）A.a 2＋b 2≥12B.ab ≤14C.11a b+≤4 D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知A B ⊆，则“x A ∈”是“x B ∈”的________条件．14.若2312a b <<<<，，则2a b -的取值范围是____．15.深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动．已知高一（1）班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，15名同学同时参加了数学、物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是__________________．16.已知命题:{11}p m mm ∃∈-≤≤∣，2532a a m -+<+，若p 是假命题，则实数a 的取值范围是________________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{26},{39}A x x B x x =≤<=<<，（1）分别求(),()R R A B B A⋂⋃痧（2）已知{1}C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值范围18.（1）比较22x x -与22x x +-的大小；（2）已知0c a b >>>，求证：a bc a c b>--.19.已知集合{}12A x x =-≤≤，()(){}10B x x a x a =---<，a ∈R.（1）若1B ∈，求实数a 的取值范围；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.20.设集合{}22190A x x ax a =-+-=，{}2560B x x x =-+=，{}2230C x x x =--=.（1）若A B A B = ，求实数a 的值；（2）若∅()A B 且A C ⋂=∅，求实数a 的值.21.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD ，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且2GH EF =），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为236000cm .为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm （宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm ），设cm EF x =.（1）当60x =时，求海报纸（矩形ABCD ）的周长；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD 的面积最小）？22.已知集合(){}121212=,+=2,>0,>0D x x x x x x .（1）求2212x x +的最小值；（2）对任意(),a b D ∈，证明112223+≥++a b a b ．洛阳强基联盟高一10月联考数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{|2}|31M x N x x =<=≥，，则M N ⋂=（）A.{|0x x ≤<B.1{|3x x ≤<C.4|}13{x x ≤< D.{|34}x x ≤<【答案】C【分析】先解不等式，再利用集合的交集运算即可求解.【详解】因为{}1{|2}{|04}|31|3M x x x N x x x x ⎧⎫=<=≤<=≥=≥⎨⎬⎩⎭，，所以1{|4}.3M N x x ⋂=≤<故选:C.2.命题“0∀∈-=R a ax 有实数解”的否定是（）A.0∀∈-=R a ax 无实数解B.0∃∈-≠R a ax 有实数解C.0∀∈-≠R a ax 有实数解D.0∃∈-=R a ax 无实数解【答案】D 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解.【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“0∀∈-=R a ax 有实数解”的否定是“0∃∈-=R a ax 无实数解”．故选:D ．3.下列表示错误的是()A.{}{,}a a b ∈B.{,}{,}a b b a ⊆ C.{1,1}{1,0,1}-⊆- D.{1,1}∅⊆-【答案】A 【解析】【分析】根据集合间的关系逐项判断即可﹒【详解】A ：集合之间应该是包含或被包含的关系，∈是元素与集合的关系，故A 错误；B ：集合里面的元素具有无序性，一个集合是它本身的子集，故B 正确；C ：{1,1}-里面的元素都在{1,0,1}-里面，故{1,1}{1,0,1}-⊆-，故C 正确；D ：空集是任何集合的子集，故D 正确﹒故选：A ﹒4.“1a >”是“0a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】利用充分条件，必要条件的定义即得.【详解】因为11a a >⇔<-或1a >，又1a <-时，不能得出0a >；0a >时，不能得出1a <-；所以“1a >”是“0a >”的既不充分也不必要条件.故选:D.5.不等式()()2120--≥x x 的解集为（）A.12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B.122xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭C.{|0.5x x ≤或}2x ≥ D.12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭【答案】B 【解析】【分析】直接解一元二次不等式可得答案.【详解】原不等式即为()()2210x x --≤，解得122x ≤≤，故原不等式的解集为122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.故选：B.6.已知集合A ={x ∈N|0≤x <m }有8个子集，则实数m 的取值范围为（）A.{m |2<m ≤3}B.{m |2≤m <3}C.{m |2≤m ≤3}D.{m |2<m <3}【答案】A 【解析】【分析】根据题意，集合元素的个数与子集的关系确定集合A 的元素个数，再求m 的取值范围.【详解】因为A 有8个子集，所以集合A 中含有3个元素，则2<m ≤3.故选:A.7.若12x >，则函数2()21=+-f x x x 的最小值为（）A. B.1+ C.4D.2.5【答案】D 【解析】【分析】由12x >，则210x ->，又()121()212212f x x x =-++-，从而利用均值不等式即可求解.【详解】解：因为12x >，所以210x ->，所以()212115()2121221222f x x x x x =+=-++≥=--，当且仅当()1221221x x -=-，即32x =时等号成立，所以函数2()21=+-f x x x 的最小值为2.5，故选：D.8.定义集合运算：2(,),2x A B x y A B y ⎧⎫⊕=∈∈⎨⎬⎩⎭．若集合{}14A B x x ==∈<<N ，15(,)63C x y y x ⎧⎫==-+⎨⎬⎩⎭，则()A B C ⊕⋂=（）A.∅B.(){}4,1C.31,2⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭D.()24,1,6,3⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】求解集合,A B ，令22x=或3，22y =或3，计算,x y 的值，求解A B ⊕，即可计算结果.【详解】∵{}14A B x x ==∈<<N ，∴{2,3}A B ==，令22x=或3，22y =或3，则4x =或6,1y =或32，则22(4,1),4,,(6,1),6,33A B ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⊕=⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，因为15(,)63C x y y x ⎧⎫==-+⎨⎩⎭，故2()(4,1),6,3A B C ⎧⎫⎛⎫⊕⋂=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭．故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分.9.已知a <b <0，则下列不等式成立的是（）A.|a |>|b |B.11a b <C.ab <b 2 D.b a a b<【答案】AD 【解析】【分析】根据给定条件，结合不等式的性质逐项分析判断作答.【详解】因0a b <<，则0a b ->->，即||||a b >，A 正确；因0a b <<，即有0ab >，则a bab ab<，即11a b >，B 不正确；因0a b <<，则20ab b >>，C 不正确；由选项A 知，||||0a b >>，则22b a <，又0ab >，于是得22b a ab ab<，即b a a b <，D 正确.故选：AD10.（多选）如图所示，U 是全集，A 、B 是U 的两个子集，则阴影部分表示的集合是（）A.()UAB ð B.()U B B⋂ð C.()U A B ⋂ð D.()U A A B ⋂⋂ð【答案】AD 【解析】【分析】在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素x ，分析元素x 与集合A 、B 、A B ⋂的关系，可得出结果.【详解】在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素x ，则x A ∈且x B ∉，或x A ∈且()x A B ∉故阴影部分区域所表示的集合为()U A B ð或()U A A B ⋂⋂ð.故选：AD.11.“23R,208x kx kx ∀∈+-<”的一个充分不必要条件可能是（）A.0k =B.30k -<<C.31k -<<-D.30k -<≤【答案】ABC 【解析】【分析】求出不等式恒成立时k 的取值范围，再利用充分不必要条件的意义判断得解.【详解】由23R,208x kx kx ∀∈+-<知，当0k =时，308-<恒成立，则0k =，当0k ≠时，2Δ30k k k <⎧⎨=+<⎩，解得30k -<<，则30k -<<，因此30k -<≤，显然{0}{|30}k k -<≤，{|30}k k -<<{|30}k k -<≤，{|31}k k -<<-{|30}k k -<≤，ABC正确；而{|30}{|30}k k k k -<≤=-<≤，D 错误.故选：ABC12.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则（）A.a 2＋b 2≥12B.ab ≤14C.11a b+≤4 D.【答案】ABD 【解析】【分析】利用基本不等式，结合已知条件，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：因为()()22221a b a b +≥+=，故可得2212a b +≥，当且仅当12a b ==时取得最小值，故A 正确；对B ：因为()21144ab a b ≤+=，当且仅当12a b ==时，取得最大值，故B 正确；对C ：0,0a b >>，又()1111224a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取得最小值，故C 错误；对D ：0,0a b >>，又22222⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，+≤，当且仅当12a b ==时取得最大值，故D 正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知A B ⊆，则“x A ∈”是“x B ∈”的________条件．【答案】充分【解析】【分析】利用充分条件的定义和子集的定义求解.【详解】解：因为A B ⊆，所以当x A ∈时，则x B ∈，所以“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件．故答案为：充分14.若2312a b <<<<，，则2a b -的取值范围是____．【答案】()25，【解析】【分析】直接利用不等式的性质计算即可.【详解】23a << ，426a ∴<<①，又12b << ，21b ∴-<-<-②，①+②可得225a b <-<即2a b -的取值范围是()25，故答案为：()25，15.深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动．已知高一（1）班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，15名同学同时参加了数学、物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是__________________．【答案】9【解析】【分析】以集合A 、B 分别表示该班参加数学、物理活动的同学组成的集合，U 表示这个班所有的同学构成的集合，利用韦恩图法可求得结果.【详解】以集合A 、B 分别表示该班参加数学、物理活动的同学组成的集合，U 表示这个班所有的同学构成的集合，如下图所示：由图可知，这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数为()501515119-++=.故答案为：9.16.已知命题:{11}p m mm ∃∈-≤≤∣，2532a a m -+<+，若p 是假命题，则实数a 的取值范围是________________.【答案】{|0a a ≤或5}a ≥【解析】【分析】根据命题p 为假命题，转化为{11}m mm ∀∈-≤≤∣，2532a a m -+≥+恒成立，即可求解.【详解】因为命题“:{11}p m mm ∃∈-≤≤∣，2532a a m -+<+”且命题p 是假命题，可得命题“:{|11}p m m m ⌝∀∈-≤≤，2532a a m -+≥+”为真命题，即{11}m mm ∀∈-≤≤∣，2532a a m -+≥+恒成立，可得2533a a -+≥，即250a a -≥，解得0a ≤或5a ≥，即实数a 的取值范围是{|0a a ≤或5}a ≥.故答案为：{|0a a ≤或5}a ≥.【点睛】本题主要考查了利用命题的真假求解参数的取值范围，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，以及恒成立问题的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{26},{39}A x x B x x =≤<=<<，（1）分别求(),()R R A B B A⋂⋃痧（2）已知{1}C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值范围【答案】（1）(){R 3A B x x ⋂=≤ð或}6x ≥，{()6R B A x ⋃=<ð或}9x ≥；（2）[3,8]a ∈.【解析】【分析】（1）根据集合交并补集的概念即可求出结果；（2）根据集合的包含关系得到319a a ≥⎧⎨+≤⎩，解不等式组即可求出结果.【详解】解：（1）因为{36}A B x x ⋂=<<，所以(){R 3A B x x ⋂=≤ð或}6x ≥，因为{R 3B x x =≤ð或}9x ≥，，所以{()6R B A x ⋃=<ð或}9x ≥.（2）因为C B ⊆，所以319a a ≥⎧⎨+≤⎩，解之得38a ≤≤，所以[3,8]a ∈．18.（1）比较22x x -与22x x +-的大小；（2）已知0c a b >>>，求证：a b c a c b >--.【答案】（1）2222x x x x ->+-；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）通过做差来比较大小即可；（2）通过做差来证明即可.【详解】（1）()()22222221021x x x x x x x --=-+--+=+>,2222x x x x ∴+-->；（2）()()()()()()()a cb bc a c a b a b c a c b c a c b c a c b -----==------，0c a b >>> ，0,0,0c a c b a b ∴->->->，0a b c a c b ∴->--，即a b c a c b>--，证毕.19.已知集合{}12A x x =-≤≤，()(){}10B x x a x a =---<，a ∈R.（1）若1B ∈，求实数a 的取值范围；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()0,1（2）[]1,1-【解析】【分析】（1）将元素1代入集合B 中的不等式中，解不等式求解即可．（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可.【小问1详解】若1B ∈，则()10a a --<，解得01a <<，即实数a 的取值范围()0,1【小问2详解】由题知，{}12A x x =-≤≤，()(){}{}101B x x a x a x a x a =---<=<<+，因为“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，所以集合B 是集合A 的真子集，即112a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得11a -≤≤.即实数a 的取值范围是[]1,1-.20.设集合{}22190A x x ax a =-+-=，{}2560B x x x =-+=，{}2230C x x x =--=.（1）若A B A B = ，求实数a 的值；（2）若∅()A B 且A C ⋂=∅，求实数a 的值.【答案】（1）5（2）3-【解析】【分析】（1）首先求出集合B ，依题意可得A B =，从而得到2，3是方程22190x ax a -+-=的两个根，利用韦达定理计算可得；（2）首先求出集合C ，依题意可得A B ⋂≠∅，又A C ⋂=∅，所以2A ∈，即可求出a 的值，再检验即可.【小问1详解】由题可得{}{}25602,3B x x x =-+==，由A B A B = ，得A B =.从而2，3是方程22190x ax a -+-=的两个根，即2232319a a +=⎧⎨⨯=-⎩，解得5a =.【小问2详解】因为{}2,3B =，{}{}22301,3C x x x =--==-.因为∅()A B ，所以A B ⋂≠∅，又A C ⋂=∅，所以2A ∈，即242190a a -+-=，22150a a --=，解得5a =或3a =-.当5a =时，{}2,3A =，则A C ⋂≠∅，不符合题意；当3a =-时，{}5,2A =-，则∅{}2A B ⋂=且A C ⋂=∅，故3a =-符合题意，综上，实数a 的值为3-.21.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD ，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且2GH EF =），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为236000cm .为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm （宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm ），设cm EF x =.（1）当60x =时，求海报纸（矩形ABCD ）的周长；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD 的面积最小）？【答案】（1）900cm（2）选择长、宽分别为350cm ，140cm 的海报纸，可使用纸量最少【解析】【分析】（1）根据宣传栏的面积以及60x =可计算出直角三角形的高，再根据留空宽度即可求得矩形ABCD 的周长；（2）根据阴影部分面积为定值，表示出矩形面积的表达式利用基本不等式即可求得面积的最小值，验证等号成立的条件即可得出对应的长和宽.【小问1详解】设阴影部分直角三角形的高为y cm ，所以阴影部分的面积163360002S xy xy =⨯==，所以12000xy =，又60x =，故200y =，由图可知20220AD y =+=cm ，350230AB x =+=cm.海报纸的周长为()2220230900⨯+=cm.故海报纸的周长为900cm.【小问2详解】由（1）知12000xy =，0x >，0y >，()()350203605010003100049000ABCD S x y xy x y xy =++=+++≥++=，当且仅当65x y =，即100x =cm ，120y =cm 时等号成立，此时，350AB =cm ，140AD =cm.故选择矩形的长、宽分别为350cm ，140cm 的海报纸，可使用纸量最少.22.已知集合(){}121212=,+=2,>0,>0D x x x x x x .（1）求2212x x +的最小值；（2）对任意(),a b D ∈，证明112223+≥++a b a b ．【答案】（1）2（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用基本不等式可求得2212x x +的最小值；（2）分析可知()()12216a b a b +++=⎡⎤⎣⎦，将代数式1122a b a b +++与()()1226a b a b +++⎡⎤⎣⎦相乘，展开后利用基本不等式可证得原不等式成立.【小问1详解】解：因为10x >，20x >且122x x +=，所以，()22221212121224222x x x x x x x x +⎛⎫+=+-≥-⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当121x x ==时，等号成立，故2212x x +的最小值为2.【小问2详解】解：由题意可知0a >，0b >且2a b +=，所以，()()12216a b a b +++=⎡⎤⎣⎦，故()()111112222622a b a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭122122262263a b a b a b a b ⎛++⎛⎫=++≥+= ⎪ ++⎝⎭⎝，当且仅当==1a b 时，等号成立，故原不等式得证.。
河南省洛阳市第一高级中学2024-2025学年高二上学期开学摸底考试数学试卷(含答案)
河南省洛阳市第一高级中学2024-2025学年高二上学期开学摸底考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知定义在R 上的函数满足，，且当时，，则不等式的解集为( )A.或B.或C.D.2．已知函数满足：，，则下列说法正确的有( )A.是周期函数B.C.D.图象的一个对称中心为3．已知函数，，的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为( )A. B. C. D.4．若一枚质地均匀的骰子连续抛两次，则点数之和不小于8的概率是( )5．已知()6．在某城市正东方向200km 处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h ，距离台风中心150km.以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋( )A.2B.4.5C.9.5D.107．若函数在内恰好存在8个则的取值范围为( )A. B. C. D.()f x ()()()2f x y f x f y +=++()12f =0x >()2f x >-()()2128f x x f x ++->{2xx <-∣}1x >{1x x <-∣}2x >{}12x x -<<∣{}21xx -<<∣()f x ()()()()221f x f x f x f x ++++=()10f -=()f x ()20240f =()()22f x f x +=-()f x ()0,1()2x f x x =+2()log g x x x =+3()h x x x =+a b c>>b c a>>c a b>>b a c>>ABC △==1.4)≈()()πsin cos 06f x x x ωωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭()0,πx ω197,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭197,62⎛⎤⎥⎝⎦725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦8．若某圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球表面积为，则该圆锥的体积为( )A. B. C. D.二、多项选择题9．已知，集合，若存在，使得集合恰有五个元素，则的可能取值为( )10．如图，直线与半径为1的圆C 相切于D 点，射线绕着D 点逆时针方向旋转到，在旋转过程中射线交圆C 于E 点，设，，且恒满足，射线扫过圆C 内部（阴影部分）的面积为，则下列正确的是( )A.的单调递增区间为C.点为的对称中心D.在11．已知函数，则( )A.在为偶函数C.为奇函数D.在上单调递减三、填空题12．若函数，存在使得，则实数a 的值为________.13．2023年11月，国家自然资源部公布了四川省9座名山的高度数据，其中最高的是贡嘎山，它的高度数据为7508.9米，三角高程测量法是测量山体高度的方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，A 、B 、C 三点在同一水平面上的投影、、，满4π2π3π4π6π())sin cos (0)f x x x ωωω=+>5π0,4A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ω()()(){,4,,}B x y f x f y x y A =⋅=∈∣ωAB DB DA DB BDE x ∠=[]0,πx ∈2DCE BDE ∠∠=DB ()S f x =ππ44f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭ππ,22⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()f x x π()sin sin ,3f x x x x ⎛⎫=⋅+∈ ⎪⎝⎭R ()f x π0,2⎡⎢⎣π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦()cos f x x a =+12,x x ∈R ()()121f x f x ⋅=-1A 1B 1C足、，.由C 点测得B 点的仰角为，由B 点测得A 点的仰角为，则的高度为________.14．已知三个复数，，，所对应的向量，满足四、解答题15．已知函数.（1）当时，求在上的最值；（2）设函数，若存在最小值，求实数a 的值.16．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.1CC =11100A C =11145A C B ∠=︒11130B C A ∠=︒15︒60︒1AA 1z 2z z 12z 1OZ2OZ 12OZ OZ ⋅=1z --()42x xf x a =-⋅2a =()f x []1,1-()()()g x f x f x =+-()g x 11-()p c ()q c（1）当漏诊率时，求临界值c 和误诊率；（2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值.17．在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.（1）求角B 的大小；（2）点D 是上的一点，，且，求周长的最小值.18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点E ，F 分别为棱PD ，BC 的中点，点G 在线段AF 上.（1）证明：平面；（2）求点F 到平面的距离；（3）设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，求的最大值.19．设函数.（1）设，在处取得最大值，求；（2）关于x 的方程上恰有12个不同的实数解，求实数k 的取值范围.()0.5p c =%()q c ()()()f c p c q c =+[]95,105c ∈()f c ()f c []95,105ABC △sin2sin cos cos cB AC A a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭AC ABD CBD ∠=∠1BD =ABC △P ABCD -ABCD PAD ⊥ABCD PA CD ⊥60ABC ∠=︒1PA =PA ⊥ABCD PCD EG ABCD PAD PAF 1θ2θ3θ123sin sin sin θθθ++()sin 2cos f x x x =-()00,2x π∈()f x 0x x =0cos2x ()f x k =]0,6π参考答案1．答案：B解析：因为，，令，则，令，则，令，，且，则，整理得，因为，则，可得，所以，即，可知在定义域在R 上单调递增，又因为，即，可得，即，结合在定义域在R 上单调递增，可得，解得或，所以不等式的解集为或.故选：B.2．答案：A解析：对于A ，由于，故.从而，这就得到，所以，即.所以是周期函数，故A 正确；对于B ，C ，D ，取，则满足条件，但，，同时由于，，从而关于的对称点并不在函数图象上，故B ，C ，D 错误；()()()2f x y f x f y +=++()12f =1x y ==()()()21126f f f =++=2,1x y ==()()()321210=++=f f f 2x x =12y x x =-12x x >()()()12122=+-+f x f x f x x ()()()12122-=-+f x f x f x x 12x x >120x x ->()122f x x ->-()()()121220f x f x f x x -=-+>()()12f x f x >()f x ()()2128f x x f x ++->()()212210++-+>f x x f x ()()2123++->f x x x f ()()213f x x f -+>()f x 213x x -+>1x <-2x >()()2128f x x f x ++->{1xx <-∣}2x >()()()()()()()()121122112f x f x f x f x f x f x +++=+++++=+=()()()()1212f x f x +++=()()()()21412f x f x ++++=()()()()()()()()21411210f x f x f x f x ++++=+++≠()()411f x f x ++=+()()4f x f x +=()f x (){}{}{}0,411,411,21x k k f x x k k x k k ⎧∈-∈⎪⎪=∈+∈⎨-∉-∈Z Z Z ()f x ()20241f =()()()()21110321f f f f -==≠==+()10f -=()11f =()1,0-()0,1()1,23．答案：B解析：由得，，由得，由得.在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，由图象知，，.故选：B4．答案：C解析：一枚质地均匀的骰子连续抛两次，两次点数共有36种情况，其中点数之和为8的情况如下：，，，，，点数之和为9的情况如下：，，，，点数之和为10的情况如下：，，，点数之和为11的情况如下：，，点数之和为12的情况如下：，故点数之和不小于8的情况共有种，故选：C 5．答案：B解析：在，整理得，而，解得，所以故选：B3()0h x x x =+=0x =0c ∴=()0f x =2x x =-()0g x =2log x x =-2x y =2log y x =y x =-0a <0b >a c b ∴<<()2,6()3,5()4,4()5,3()6,2()3,6()4,5()5,4()6,3()4,6()5,5()6,4()5,6()6,5()6,65432115++++==ABC △cos sin cos cos sin C B A B A B -=2sin cos sin cos cos sin sin()sin C B A B A B A B C =+=+=sin 0C >cos B =πB <<B =解析：如图，当台风中心向西北方向移动到达点C 时，的距离恰好150km ，此时该城市所在地开始受到影响，设t 小时后该城市所在地开始受到影响，台风中心移动速度的大小为20km/h ，所以km ，由题意知，km ，又台风中心向西北方向移动，所以，由余弦定理可得，解得或（舍），则开始受到影响在之后.故选：B.7．答案：D解析：由题意可得：，因为，，则，AC 20BC t =200AB =45ABC ∠=︒()22222220020150cos cos 452220020t AB BC ACABC AB BCt+-+-∠===︒=⋅⨯⨯4.5h t =≈9.5h t =≈4.5h ()π1sin cos cos cos 62f x x x x x xωωωωω⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭3πcos 23x x x ωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭)0x =0π3x ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭()0,πx ∈0ω>πππ,π333x ωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭ππ3ω<-≤ω≤所以的取值范围为.故选：D.8．答案：B 解析：如图，由题意知内切圆和外接圆同圆心，即的内心与外心重合，则为正三角形，因为内切球表面积为，设内切圆的半径为r ，则，所以内切圆的半径为1，所以的边长为，故圆锥体积，故选：B.9．答案：AB解析：函数，ω725,26⎛⎤⎥⎝⎦ABC △ABC △ABC △4π24π4πr =ABC △1222tan tan 30OD BD OBD =⨯=⨯=∠33OD =⨯=21π33π3V =⨯⨯⨯=)()π()sin cos 2sin 04f x x x x ωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭则，所以，，或，，因为，所以，因为使得集合恰有五个元素，则故选：AB 10．答案：ACD解析：A ：，，B ：因为，故的单增区间为，因此本选项错误；C ：因为，所以点为的对称中心，因此本选项正确；D ：因为，故在故选：ACD.11．答案：BD解析：对于A ，，所以，所以，则在上的()()ππ4sin sin 444f x f y x y ωω⎛⎫⎛⎫⋅=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 14x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 14y ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 14x ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πsin 14y ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭5π,0,4x y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ω+πππ5π,4444y ω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦()()(){},4,,B x y f x f y x y A =⋅=∈∣ππ44x y ωω+=+=ππ44x y ω+=+=ππ44x y ω+=+=π4x ω+=π4y +=π4x +=π4y +=π5π44ω≤+<ω≤<()22111121sin2sin2222S f x x x x x ==⨯⨯-⨯⨯=- []0,πx ∈ππ44f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1cos20f x x ='-≥()f x []0,π()()()11πsin 2πsin 2π2π22f x f x x x x x +-=-+---=ππ,22⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()π22f f x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭''()f x x 2π11()sin sin sin (sin )sin cos 322f x x x x x x x x x⎛⎫=⋅+== ⎪⎝⎭1cos 2111π22cos 2sin(244426x x x x x -==-+=-π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦π1sin(2,162x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦值域为对于B ，设，则，所以为偶函数，故B 正确；对于C ，设，则，所以不是奇函数，故C 错误；对于D ，，，令，设，则时，单调递减，所以原函数在上单调递减，故D 正确；故选：BD 12．答案：解析：由余弦函数的性质，可得，所以的值域为，当时，，，显然不成立；同理，当时，不成立；所以，存在使得，先满足，即，当时，，，，所以集合与集合的交集不为空集，，亦即，所以，所以实数a 的值为0.故答案为：0.13．答案：解析：因为30,4⎡⎢⎣1π111s πin 2cos 2264)4π2(66F x x f x x ⎡⎤-+=-⎢⎥⎝⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎣⎦()1111cos 2cos 2()4)22(4x F x F x x --=--==π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭1π111sin 2sin 22641)4ππ(1222g x x f x x ⎡⎤-+=+⎢⎥⎛⎛⎫⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎦⎝⎣()1111sin 2=sin 2()()4242g x g x x x -+---=≠π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6ππ5,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦,π2π65π362x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦-5π3ππ3π,,6222π26t x ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎢⎥-∈⎣⎦=⎣⎦11()sin 24h t t =+5π3π,62t ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦()h t ()f x π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦1cos 1x -≤≤()cos f x x a =+[1,1]a a -+10a -≥()[]11,1f x a a ∈-+()[]21,1f x a a ∈-+()()121f x f x ⋅=-10a +≤()()121f x f x ⋅=-12,x x ∈R ()()121f x f x ⋅=-101a a -<<+11a -<<()()120f x f x ⋅≠()[]11,1f x a a ∈-+()[]21,1f x a a ∈-+11,,11a a --⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢+-⎝⎦⎣⎭[]1,1a a -+11,,11a a --⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢+-⎝⎦⎣⎭a ≥-1a +20a ≤0a =()tan 45tan 30tan15tan 453021tan 45tan 30︒-︒︒=︒-︒==+︒⋅︒()sin105sin 4560sin 45cos 60cos 45sin 60︒=︒+︒=︒︒+︒︒=分别过B ，C 做，，垂足分别为E ，D ，在中，则，可得，在，，，则，在中，，则所以故答案为：14．答案：解析：设复数，，在复平面内对应的点分别为A，B ，C ，且，所对应的向量，满足，即，不妨令，，则，，，即则，1BE AA⊥1CD BB ⊥111A B C △111105B A C =∠︒11111sinA BB C A==∠1111111111sin sin A C A C B A B A B C ∠=⋅∠=1111111111sin 50sin A C B A C C A B C ⋅∠==+∠Rt BCD △1150CD B C ==15BCD ∠=︒tan 50BD CD BCD =⋅∠=Rt ABE △1160BE A B ABE ==∠=︒tan AE BE ABE =∠=11AA CC BD AE =++=1z 2z 3z 1z 2z 1OZ 2OZ 120OZ OZ ⋅=12OZ OZ ⊥ ()2,0A ()0,2B 12z =22i z =)θθ()θ∈R )3i z θθ=+)))312i 22i 22i z z z θθθθ--=+--=-+-所以当故答案为：15．答案：（1）最小值为，最大值为0；（2）6解析：（1）当时，，设，则，开口向上，对称轴，所以函数在单调递减，单调递增，所以所以在上的最小值为，最大值为0.（2），设，当且仅当，即时取得等号，所以，，对称轴，即时，，在单调递增，则，解得，即时，在单调递减，单调递增，所以，解得或（舍去），综上，实数a 的值为6.16．答案：（1），；12z z --====πsin 4θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭1z --12max z z --==1-2a =()()2422222x x x x f x ==-⋅-⋅12,22xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦()22h t t t =-1t =()h t 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦(]1,2()()()()min max 11,20,h t h h t h ==-==()f x []1,1-1-()()()()42424422x x x x xx x x g a x f x f x a a -----=+-=+-⋅=⋅+-⋅+()()222222x x x x a ---⋅++-=222x x λ-=+≥=22-=x x 0x =()22d a λλλ=--[)2,λ∈+∞λ2≤4a ≤()22d a λλλ=--[)2,+∞()()min 22211d d a λ==-=-a =2>4a >()22d a λλλ=--2,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()2min21124a a d d λ⎛⎫==--=- ⎪⎝⎭6a =6a =-97.5c =() 3.5%q c =（2），最小值为0.02.解析：（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以，所以，解得：，.（2）当时，；当时，，故，所以在区间的最小值为0.02.17．答案：（1）（2）解析：（1）由二倍角公式得，故由正弦定理得，，而，，故则（2）设，，设，则，在0.0080.82,95100()0.010.98,100105c c f c c c-+≤≤⎧=⎨-<≤⎩50.0020.5%⨯>95100c <<()950.0020.5%c -⨯=97.5c =()()0.0110097.550.0020.035 3.5%q c =⨯-+⨯==[95,100]c ∈()()()(95)0.002(100)0.0150.0020.0080.820.02f c p c q c c c c =+=-⨯+-⨯+⨯=-+≥(100,105]c ∈()()()50.002(100)0.012(105)0.0020.010.980.02f c p c q c c c c =+=⨯+-⨯+-⨯=->0.0080.82,95100()0.010.98,100105c c f c c c -+≤≤⎧=⎨-<≤⎩()f c []95,105B =2sin cos sin cosC cos cB B A A a⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2cos cos cos b B a C c A =+2sin cos sin cos sin cos sin B B A C C A B =+=()0,πB ∈sin 0B ∴≠cos B =B =1AD t =2CD t =ADB θ∠=π5π,66θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π6ABD CBD ∠=∠=△sin c θ==1==在周长令，则，，即周长最小值为18．答案：（1）证明见解析；解析：（1）连接，取的中点O ，连接，因为底面为菱形，且，所以、为等边三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面；（2）因为平面，平面，所以，，又，，，所以所以△()sin πa θ==-2==()122sin 1l t t a c θ=+++=+=1sin ,12t θ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦l ===)⎡==+∞⎣1t =min l =AC AD OC ABCD 60ABC ∠=︒ABC △ADC △OC AD ⊥PAD ⊥ABCD PAD ABCD AD =OC ⊂ABCD OC ⊥PAD PA ⊂PAD PA OC ⊥PA CD ⊥CD OC C = ,CD OC ⊂ABCD PA ⊥ABCD PA ⊥ABCD ,AC AD ⊂ABCD PA AC ⊥PA AD ⊥2CD =1CF =1PA =121sin1202CFD S =⨯⨯⨯︒=△113P FCD V -=⨯=又，设点F 到平面的距离为d ，则解得（3）连接，，则且又平面，所以平面，则为直线与平面所成的角，即，所以取的中点M ，连接，则且，又F 为中点，所以，又，所以，由平面，平面，所以，，又，平面，所以平面，则平面，又，平面，所以平面，连接，，则为直线与平面所成的角，即，所以为直线与平面所成的角，即，所以所以又，，所以所以令，则，PC PD ===1222PCD=⨯=△PCD 13P FCD F PCD PCD V V S d --==⋅=△2d =d =OE OG //OE PA 12OE PA ==PA ⊥ABCD OE ⊥ABCD EGO ∠EG ABCD 1EGO θ∠=1sin EO EG θ==PA ME //ME AD 112EM AD ==BC AF BC ⊥//AD BC AD AF ⊥PA ⊥ABCD ,AF AD ⊂ABCD PA AF ⊥PA AD ⊥AF AP A = ,AF AP ⊂PAF AD ⊥PAF EM ⊥PAF AD AP A = ,AD AP ⊂PAD AF ⊥PAD MG AE EGM ∠EG PAF 3EGM θ∠=3sin ME EG θ==AEG ∠EG PAD 2AEG θ∠=2sin θ=123112sin sin sin AG EG EG EG θθθ++=++=12AE PD ==AG x =(0x ≤≤EG ==12332sin sin sin AG EG θθθ+++==32t x =+33,22t ⎡∈+⎢⎣，因为，所以（2）解析：（1）因为，所以函数关于直线对称，因为当时，，其中所以存在，使得为函数在区间上的最大值，由对称性可知也为在区间上的最大值，所以所以由对称性可知还存在，使得为函数在区间上的最大值，所以综上，（2）因为，所以函数为周期函数，周期为，====33,22t ⎡∈⎢⎣23⎤⎥⎦()123max sin sin sin θθθ++⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝ ()()()()2πsin 2π2cos 2πsin 2cos f x x x x x f x -=---=-=()f x πx =π()0,x ∈()()sin 2cos f x x x x ϕ=-=+sin ϕ=ϕ=0(0,π)x ∈0()f x ()f x (0,π)0()f x ()f x (0,2π)0x ϕ+=0πsin sin cos 2x ϕϕ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭0πcos sin 2x ϕϕ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭200cos212sin x x =-=0(π,2π)x ∈0()f x ()f x (0,2π)0sin x =200212sin x x =-=0cos 2x =()()()()2πsin 2π2cos 2πsin 2cos f x x x x x f x +=+-+=-=()f x 2π所以原问题等价于关于x 的方程上恰有4个不同的实数解，又由对称性可知关于x 的方程上恰有2个不同的实数解，当时，，，，所以因为，所以，因为，解得，所以k的取值范围为.()f x k =2π]()f xk =π)[0,π]x ∈()()sin 2cosf x x x x ϕ=-=+(0)2f =-()π2f =12k k<+<12k k+>1k ≠1k k +<210+<k ∈⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝。
2020-2021学年河南省洛阳市第一中学高二上学期10月月考数学试题(解析版)
2020-2021学年河南省洛阳市第一中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（ ） A ．c a c b ->- B ．11a b>C ．1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ln ln a b >【答案】D【解析】根据不等式的性质判断A ； 根据幂函数的性质判断B ； 根据指数函数的性质判断C ； 根据对数函数的单调性判断D ． 【详解】 解：0a b >>a b ∴-<-c a c b ∴-<-故A 错误；由于1y x -=在()0,∞+上单调递减，故11a b<即B 错误； 由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即C 错误；由于ln y x =在()0,∞+上单调递增，故lna lnb >即D 正确， 故选：D ． 【点睛】本题考查不等式的性质，考查对数函数的单调性，属于基础题．2．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，()()a b c a c b 3ac +++-=，则角B (= ) A ．2π3B ．π3C ．5π6D ．π6【答案】B【解析】由()()3a b c a c b ac +++-=，可得222a c b ac +-=，结合余弦定理即可得到B 的大小.【详解】由()()3a b c a c b ac +++-=，可得222a c b ac +-=，根据余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，∵()0,πB ∈，∴π3B =．故应选B ． 【点睛】对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住30， 45︒， 60︒等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.3．已知集合{}{}23log ,1,230A y y x x B x x x ==>=--<，则A ∩B = （ ） A ．{}03y y << B ．{}01y y <<C ．{}1y y >D ．{}3y y >【答案】A【解析】由对数函数的性质及一元二次不等式可得{}0A y y =>，{}13B x x =-<<，再由集合的交集运算即可得解. 【详解】因为{}{}3log ,10A y y x x y y ==>=>，{}{}223013B x x x x x =--<=-<<， 所以{}03A B y y ⋂=<<. 故选：A. 【点睛】本题考查了对数函数性质的应用及一元二次不等式的求解，考查了集合的交集运算，属于基础题.4．在ABC ∆中,若sin 2sin 2A B =,则ABC ∆一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】D【解析】根据正弦函数关系得,A B 关系，即得三角形形状. 【详解】∵sin 2sin 2,2,2(0,2)A B A B π=∈，∴222A B A B ππ+=⇒+=，或22A B A B =.故选：D 【点睛】本题考查正弦函数性质以及三角形形状判断，考查基本分析化简能力，属基础题. 5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若10301,7S S ==，则40S =（ ） A ．5 B ．10 C ．15D ．20-【答案】C【解析】由等比数列的性质可得102030101010S S q S q S =++，进而可得10q ，再由30403010S S q S =+即可得解.【详解】设等比数列{a n }的公比为,1q q ≠，因为10301,7S S ==，且102030101010S S q S q S =++，所以201017qq ++=，解得102q =（负值舍去），所以304030107815S S q S =+=+=.故选：C. 【点睛】本题考查了等比数列性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.6．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若23b c a A π===，，则△ABC 的面积为（ ）A ．1B ．3C ．D【答案】D【解析】利用余弦定理可得b 、c 的值，再由三角形面积公式即可得解. 【详解】由余弦定理可得22222212cos 42232a b c bc A c c c c c =+-=+-⨯⨯⨯=，所以236c =，所以c =2b c ==所以ABC 的面积为113sin 2223222ABC S bc A ==⨯⨯⨯=△. 故选：D. 【点睛】本题考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.7．已知奇函数()f x 是R 上的减函数，若,m n 满足不等式组()(2)0(1)0()0f m f n f m n f m +-≥⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩，则2m n -的最小值为（ ） A ．-4 B ．-2C ．0D ．4【答案】B【解析】根据函数的奇偶性和单调性得到可行域，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】奇函数()f x 是R 上的减函数，则()00f =，且2100m n m n m ≤-⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，画出可行域和目标函数，2z m n =-，即2n m z =-，z 表示直线与y 轴截距的相反数，根据平移得到：当直线过点()0,2，即0.2m n ==时，2z m n =-有最小值为2-. 故选：B .【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，线性规划问题，意在考查学生的综合应用能力，画出图像是解题的关键. 8．实数,x y 满足条件10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩.当目标函数(),0z ax by a b =+>在该约束条件下取到最小值4时，12a b+的最小值为（ ） A ．6 B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】先将目标函数化为a zy x b b=-+，由题中约束条件作出可行域，结合图像，由题意得到24a b +=，再由1211214(2)2244⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b a a b a b a b a b ，结合基本不等式，即可求出结果. 【详解】由z ax by =+得a z y x b b=-+， 因为,0a b >，所以直线的斜率为0ab-<， 作出不等式10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩对应的平面区域如下：由图像可得：当直线a z y x b b =-+经过点A 时，直线a zy x b b=-+在y 轴截距最小，此时z 最小．由10230x y x y --=⎧⎨--=⎩解得21x y =⎧⎨=⎩，即(2,1)A ，此时目标函数(),0z ax by a b =+>的最小值为4， 即24a b +=，所以(12112141(2)224242444⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b a a b a b a b a b .当且仅当4b aa b =，即12a b =⎧⎨=⎩时，等号成立. 故选D 【点睛】本题主要考查简单线性规划与基本不等式的综合，熟记基本不等式，会求解简单的线性规划问题即可，属于常考题型.9．若数列{x n }满足lg x n +l =1+lg x n (n ∈N )，且x l +x 2+…+x 100=100，则lg(x l01+x 102+…+x 200)的值等于（ ） A ．200 B ．120 C ．110 D ．102【答案】D【解析】由对数运算性质可得数列{}n x 是公比为10的等比数列，再由等比数列的性质即可得解. 【详解】因为1lg 1lg n n x x +=+，所以11lg lg lg 1n n n n x x x x ++=-=，所以110n nx x +=， 所以数列{}n x 是等比数列，公比为10，所以()()10010110220012100100lg()lg 10lg 10010102x x x x x x ⎡⎤+⋯+=+⋯+⋅=⨯=⎣⎦. 故选：D. 【点睛】本题考查了对数运算法则的应用及等比数列性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.10．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若sin 5sin 2A cB b=，sin B =，ABC S =△b =（ ） A．B．CD【答案】D【解析】利用正弦定理化简sin 5sin 2A cB b=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c ，由sin B =，求得cos B ，最后利用余弦定理即可得到答案． 【详解】 由于sin 5sin 2A c B b=，有正弦定理可得： 52a b c b =，即52a c =由于在ABC中，sin B =，ABC S =△1si n 2ABCS ac B ==，联立521sin 2sin a c ac B B ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得：5a =，2c = 由于B为锐角，且sin B =，所以3cos 4B ==所以在ABC 中，由余弦定理可得：2222cos 14b a c ac B =+-=，故b =数舍去） 故答案选D 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题． 11．已知数列{}n a 前n 项和为115913172(1)(43)n n S n -=-+-+-++--，则152231S S S +-的值（ ）A ．13B ．-76C ．46D ．76【答案】B【解析】由已知得S 15＝﹣4×7+4×15﹣3＝29，S 22＝﹣4×11＝﹣44，S 31＝﹣4×15+4×31﹣3＝61，由此能求出S 15+S 22﹣S 31的值． 【详解】∵S n ＝1﹣5+9﹣13+17﹣21+…+（﹣1）n +1（4n ﹣3）， ∴S 15＝﹣4×7+4×15﹣3＝29， S 22＝﹣4×11＝﹣44， S 31＝﹣4×15+4×31﹣3＝61， ∴S 15+S 22﹣S 31＝29﹣44﹣61＝﹣76．故选B ． 【点睛】本题考查数列的前n 项和的求法，解题时要认真审题，注意数列的前n 项和公式的合理运用．12．在数列{}n a 中，122,2a a ==，且11(1)(*),nn n a a n N +-=+-∈则100S =（ ）A ．5100B ．2600C ．2800D ．3100【答案】A【解析】转化条件为22n n a a +-=，进而可得21k a -，2k a ，由分组求和法结合等差数列的前n 项和公式即可得解. 【详解】因为11(1)(*)n n n a a n N +-=+-∈，所以1211(1)n n n a a +++-=+-，所以()()122121n n n n a a ++-=+--+=，又因为122,2a a ==，所以()211212k a a k k -=+-=，()22212k k a k a =+-=，*k N ∈， 所以()()100123499100139924100S a a a a a a a a a a a a =++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()2100241002410025051002+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n 项和公式的应用，考查了分组求和法的应用及转化化归思想，属于中档题.二、填空题13．设ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积为24sin bB，且()2cos cos 3A CB --=，则cos B =______. 【答案】16【解析】根据面积公式和正弦定理得到1sin sin 2A C =，利用和差公式计算得到1cos cos 3A C =，再根据()cos cosB AC =-+展开得到答案.【详解】21sin 24sin b S ac B B ==，故222sin b ac B =，即1sin sin 2A C =. ()()()2cos cos cos cos 2cos cos 3A CB AC A C A C --=-++==，故1cos cos 3A C =.故()1cos cos sin sin cos cos 6B AC A C A C =-+=-=. 故答案为：16. 【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.14．已知变量x ，y 满足约束条件14{22x y x y ≤+≤-≤-≤，若目标函数z ax y =+（0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围是 . 【答案】(1,)∞ 【解析】【详解】【分析】试题分析：已知变量x ，y 满足约束条件1≤x+y≤4，-2≤x -y≤2．在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD ，其中A （3，1），k AD =1，k AB =-1，目标函数z=ax+y （其中a ＞0）中的z 表示斜率为-a 的直线系中的截距的大小，若仅在点（3，1）处取得最大值，则斜率应小于k AB =-1，即-a ＜-1，所以a 的取值范围为（1，+∞）．【考点】线性规划的有关知识点评：用图解法解决线性规划问题时，若目标函数z=ax+y 只在点A 处取得最优解，则过点A 线z=ax+y 与可行域只有一个交点，由此不难给出直线斜率a 的范围，进一步给出a 的范围，但在解题时要注意，区分目标函数是取最大值，还是最小值，这也是这种题型最容易出错的地方．15．正数,a b 满足192a b+=，若不等式23620a b x x m +≥-+-+对任意实数(1,2]x ∈恒成立，则实数m 的取值范围_____．【答案】15m ≥【解析】由已知先求出11919()10822b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得283620x x m ≥-+-+对任意实数(1,2]x ∈恒成立，又由在(1,2]x ∈时，212361215x x ≤-++<，可得实数m 的取值范围.【详解】 因为190,0,2a b a b>>+=，所以(119191()10108222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以283620x x m ≥-+-+对任意实数(1,2]x ∈恒成立，即23612m x x ≥-++对任意实数(1,2]x ∈恒成立，又因为2236123(1)15x x x -++=--+在(1,2]x ∈时，212361215x x ≤-++<， 所以15m ≥， 故填：15m ≥. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，关键在于对m 运用参变分离，与相应的函数的最值建立不等关系，属于中档题.16．在数列{}n a 中，如果对任意*n ∈N 都有211n n n na a k a a +++-=- （k 为常数），则称{}n a 为等差比数列，k 称为公差比．现给出下列命题： ①等差比数列的公差比一定不为0； ②等差数列一定是等差比数列；③若32nn a =-+，则数列{}n a 是等差比数列；④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比．其中正确的命题的序号为__________． 【答案】(1)(3)(4)【解析】分析：（1）举例说明：公差比为0，a n+2﹣a n+1=0，数列{a n }为常数列，所以211n n n na a k a a +++-=- 的分母为0，无意义；（2）等差数列为常数列时，不是等差比数列；（3）由a n =﹣3n+2211n n n n a a a a +++--=2n+1n+13+2+3-23-3+232n n +-=+-是公差比为3的等差比数列；（4）a n =a 1•q n ﹣1，代入可知命题正确，综合可得答案．详解：（1）若公差比为0，则a n+2﹣a n+1=0，故{a n }为常数列，从而211n n n na a k a a +++-=- 的分母为0，无意义，所以公差比一定不为零； （2）当等差数列为常数列时，不能满足题意；（3）a n =﹣3n+2211n n n n a a a a +++--=2n+1n+13+2+3-23-3+232n n +-=+-是公差比为3的等差比数列；（4）a n =a 1•q n ﹣1，代入211n n n na a a a +++--=q 命题正确，所以，正确命题为①③④．故答案为：①③④点睛：本题主要考查新定义，解题时应正确理解新定义，同时注意利用列举法判断命题真假.三、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=.（1）求ca的值； （2）若1cos 4B =，2b =，求ABC 的面积S .【答案】(1)2c a =;(2)4【解析】(1)根据正弦定理边角互化,再利用正弦的和差角公式化简即可.(2)利用余弦定理代入(1)中的2c a =化简可得,a c ,再根据同角三角函数的公式求解sin B ,再根据面积公式求解S 即可.【详解】 (1)由正弦定理,cos 2cos 2sin sin cos sin A C C AB B--=sin cos 2sin cos 2cos sin cos sin B A B C B C B A -=- sin cos cos sin 2cos sin 2sin cos B A B A B C B C +=+()()sin 2sin A B B C +=+,根据内角和有()()sin 2sin sin 2sin C A C A ππ-=-⇒=.根据正弦定理有2c a =,即2ca=. (2)由余弦定理有2222cos b a c ac B =+-,由(1) 2c a =,代入1cos 4B =,2b = 即222144414a a a a =+-⨯⇒=.故2c =.又因为()0,B π∈,sin B ==.故115sin 24Sac B . 【点睛】本题主要考查了正余弦定理与三角形面积公式在解三角形中的运用,同时也考查了三角恒等变换的方法与技巧,属于中档题.18．设函数()()2442f x x a x a =+-+-，（1）解关于x 的不等式()0f x >；（2）若对任意的[]1,1x ∈-，不等式()0f x >恒成立，求a 的取值范围； 【答案】（1）见解析 （2）1a <【解析】试题分析：（1）利用分类讨论思想分 00a a >=，和0a <三种情况，并结合二次函数的图像进行求解，即可求得0a >时，解集为{2x x >或}2x a <-，0a =时，解集为{}2x x ≠0a <时，解集为{2x x a >-或}2x <；（2）由题意得：()()222a x x ->--恒成立⇒ 2a x <-+恒成立⇒ ()min 21x -+= ⇒ 1.a < 试题解析：（1） 0a >时，不等式的解集为{2x x >或}2x a<-0a =时，不等式的解集为{}2x x ≠0a <时，不等式的解集为{2x x a >-或}2x <（2）由题意得：()()222a x x ->--恒成立，[]1,1x ∈- []23,1x ∴-∈--2a x ∴<-+恒成立.易知 ()min 21x -+=，∴ a 的取值范围为： 1.a <19．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos a c b C -=. （1）求sin 2A C B +⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）若b =c a -的取值范围.【答案】（1（2）(. 【解析】（1）利用余弦定理将已知22cos a c b C -=化简整理得1cos 2B =，可得角B , A C +，代入所求可得答案.（2）利用正弦定理和两角和差公式以及辅助角公式化简()2sin 60C c a =--︒，根据0120C ︒<<︒求解可得结果.【详解】（1）因为22222cos 22a b c a c b C b ab+--==⨯，整理可得，222a c b ac +-=，由余弦定理可得1cos 2B =，故60B =︒，120A C +=︒，所以sin sin1202A C B +⎛⎫+== ⎪⎝⎭︒（2）由正弦定理可得，sin sin a c A C ==，所以2sin a A =，2sin c C =，所以()2sin 2sin 2sin 2sin 112sin 2sin 2220C C C c a C A C C -=-=-︒-⎛⎫-+ ⎝=⎪⎪⎭()sin 2sin 60C C =C =-︒，因为0120C ︒<<︒，所以606060C -︒<-︒<︒，所以()sin 6022C -<-︒<，故c a <-<所以取值范围为(. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查两角和差公式以及辅助角公式的应用，考查计算能力，属于基础题.20．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =，数列{}n b 满足：2124b b ==，当3n ≥，n *∈N 时，()1122...222n n n a b a b a b n b +++=-+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令*nn na c n Nb =∈，，证明：12...2n c c c +++<. 【答案】（1）n a n =;2nn b =;(2)证明见解析.【解析】（1）用1a 和d 将已知22a =，36S a =表示出来即可求出首项公差,从而可求通项公式；由()1122...222n n n a b a b a b n b +++=-+可得()1122111...242n n n a b a b a b n b ---+++=-+，两式相减进行整理可求出{}n b 的通项公式.（2）用错位相减法求出{}n c 的前n 项和212 (222)n n nT =+++，即可证明不等式. 【详解】解：（1）数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =设数列的首项为1a ，公差为d ，则：1112335a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得：111a d =⎧⎨=⎩，所以()11n a n n =+-=.因为()1122...222n n n a b a b a b n b +++=-+① 所以当2,n n N *≥∈ 时，()1122111...242n n n a b a b a b n b ---+++=-+.②①﹣②得：()()12224n n n n a b n b n b -=---，由于n a n =，整理得12nn b b -=（常数）. 所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列.所以1222n n n b -=⨯=.证明：（2）由（1）得2n n n n a nc b ==.所以212 (222)n n n T =+++①，故231112 (2222)n n nT +=+++②①﹣②得： 23111111111122 (112222222212)n n n n n n n n n T ++⎛⎫- ⎪⎝⎭=++++-==---.所以112222n n nn T -=--<.即12...2n c c c +++<. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式，考查了由递推数列求通项公式，考查了错位相减法.对于等差数列求通项公式时，常用的方法为基本量法，即用首项和公差表示出已知条件，从而求出首项和公差.本题的易错在于错位相减时的计算上，常算错数，或者最后忘记系数化1.21．已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足242n n n S a a =+.（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）记()211n n b a =+，设数列{b n }的前n 项和为T n .求证：14n T <. 【答案】（Ⅰ）2n a n =；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）由数列n a 与n S 的关系化简可得()()1120n n n n a a a a --+--=，进而可得数列{a n }是首项为2，公差2d =的等差数列，再由等差数列的通项公式即可得解； （Ⅱ）放缩得211114441n b n n n n ⎛⎫<=- ⎪++⎝⎭，再由裂项相消法即可得证.【详解】（Ⅰ）由题意，242n n n S a a =+，211142,2n n n S a a n ---=+≥，两式相减得()2211142,22n n n n n n S S a a a a n -----+-≥=，所以2211422n n n n n a a a a a ---=+-即2211220n n n n a a a a ----=-，所以()()1120n n n n a a a a --+--=，又数列{a n }为正项数列，所以10n n a a ->+，120n n a a ---=即12,2n n a n a -=+≥，当1n =时，211142S a a =+即112142a a a =+，解得12a =或10a =（舍去），所以数列{a n }是首项为2，公差2d =的等差数列，所以()112n a a n d n =+-=； （Ⅱ）证明：因为()()222211111114414441121n n b n n n n n n a n ⎛⎫===<=- ⎪++++⎝⎭++，所以1231111111114223341n n T b b b b n n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅+<-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭1111414n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭. 【点睛】本题考查了数列n a 与n S 的关系的应用及等差数列通项公式的求解，考查了裂项相消法的应用，属于中档题.22．某企业2016年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不进行技术改造，预测从今年（2017年）起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预计在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为1500(1)2n+万元（n 为正整数）． （1）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为n A 万元，进行技术改造后的累计纯利润为n B 万元（须扣除技术改造资金），求n A ，n B 的表达式； （2）以上述预测，从今年起该企业至少经过多少年后，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？ 【答案】（1）249010n A n n =-， 5005001002n nB n =--；（2）4年 【解析】（1）根据等差数列前n 项和公式可得n A 的表达式，利用分组求和与等比数列前n 项和相结合可得n B 的表达式；（2）作差，利用函数的单调性，即可得到结论． 【详解】（1）依题设，()()()250020500405002049010n A n n n =-+-+⋯+-=-；21150050011600500100212221n n n B n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++⋯++-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫+ ⎝⎭⎝⎣⎪⎝⎭⎭⎦．（2）()2500500100490102n n n B A n n n ⎛⎫-=---- ⎪⎝⎭()25005010101001011022n n n n n n ⎡⎤=+--=+--⎢⎥⎣⎦， 因为函数()501102xy x x =+--在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数， 当13n ≤≤时，()50501101210028n n n +--≤--<； 当4n ≥时，()505011020100216n n n +--≥-->， ∴仅当4n ≥时，n n B A >。
河南省洛阳市第一高级中学2020学年高二数学上学期10月月考试题(无答案)
洛阳一高高二十月份月考试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1、已知数列2,5,22,11,14,L ，则217是它的第（ ）项．A ． 21B ．22C ．23D ． 242、“22a b >”是“22log log a b >”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 既不充分也不必要条件C ． 充要条件D ． 必要不充分条件3．下面说法正确的是（ ）A ． 命题“∃x ∈R ，使得210x x ++≥”的否定是“∀x ∈R ，使得210x x ++≥”B ． 实数x ＞y 是22x y >成立的充要条件C ． 设p ，q 为简单命题，若“p ∨q ”为假命题，则“(￢p)∧（￢q ）”也为假命题D ． 命题“若cos 1,α≠，则0α≠”的逆否命题为真命题 4、△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知∆ABC 的面积2224a b c s +-= ，则∠C 的大小是（ ）A ．45° B.30° C .90°D ． 135° 5、在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c 、，已知,222b c a =-且sin cos 3cos sin A C A C =则b = ( )A.3B.2C.4D. 66．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（ ）A ．①和②B ． ②和③C ． ③和④D ． ②和④7．已知实数x 、y 满足 则z=的取值范围是（ ）A ．B ． D ． [﹣1，+∞）8．数列{n a }满足21=a ，1111+-=++n n n a a a ，其前n 项积为n T ，则2014T =（ ） A ． 61B ． 61- C ． 6 D ． ﹣6 9．公差不为0的等差数列{n a }中，2201020122014330a a a -+=，数列{n b }是等比数列，且20122012a b =，则20132011b b ＝( )A ．4B ．8C ．16D ．3610．已知等比数列{n a }满足n a >0，n ＝1,2，…，且n n a a 25252=-(n≥3)，则当n≥1时，1223212log log log -+++n a a a K 等于( )，A ．n(2n －1)B ．2)1(+n C ．2n D ．2)1(-n 11．若变量x ，y 满足，则点P （2x ﹣y ，x+y ）表示区域的面积为（ ）A ．B ．C ．D ． 112.数列{n a }的前n 项和21;(1)(*)n n n n s n n b a n N =++=-∈,则数列{n b }的前50项和为（ ）A. 49 B ． 50 C ． 99 D ． 100二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知0,q ≠ 则211n q q q -++++=L14.设,a b 均为正数，且4a b +=，则36ab ab+的最小值为 15. 关于x 的方程0532=+-a x x 的两个根为21,x x ，且满足31,0221<<<<-x x ，则实数a 的取值范围是 .16.在∆ABC 中，B=︒60，3=AC ，则BC AB 2+的最大值为 三、解答题（共70分）17.（10分）已知{n a }为等差数列，且366,0.a a =-=（1）求{n a }的通项公式;（2）若等比数列{n b }满足1b =8，2123b a a a =++，求{n b }的前n 项和公式n s．18.（12分）若,a R Î解不等式：2(21)20ax a x -++?19，（12分）（1）已知0,0x y >>，且2,x y xy +=求29x y +的最小值;(2)已知22224,9x y m n +=+=， 求mx ny +的最大值。
洛阳市第一高级中学2021届高三上学期10月月考数学(理)试题含答案
洛阳一高2020-2021学年第一学期高三年级10月月考理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{|||2,}M x x x Z =≤∈，2{|230}N x xx =--<，则MN =.(1,2]A -.[1,2]B - .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列命题中错误的是.A 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题.B 命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-” .C 若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题.D 00,x ∃>使“00x x a b >”是“0a b >>”的必要不充分条件3。
函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:'()0p f x =;0:q x x =是()f x 的极值点,则.A p 是q 的充分必要条件.B p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件.C p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件.D p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件4. 若α，β为锐角，且2cos()sin()63ππαβ-=+，则A 。
3παβ+=B .6παβ+=C .3παβ-=D .6παβ-=5。
若O 为ABC ∆内一点，且20OA OB OC ++=，AD t AC =,若D O B ,,三点共线，则t 的值为.A 41.B 31 .C 21 .D 32 6.由2,1,===x xy x y 及x 轴所围成的平面图形的面积是.A 12ln +.B 2ln 2-.C 212ln -.D 212ln +7.已知非零实数,a b 满足||||a a b b >，则下列不等式一定成立的是3322112211. . . .log ||log ||A a b B a b C D a b a b >><<8。
河南省洛阳市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题
{}{}23log ,1,230A y y x x B x x x ==>=--<洛阳市第一高级中学高二10月月考试卷——数学学科考试分值：150分 考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1. 如果0>>b a ，那么下列不等式一定成立的是（ ）A. c a c b ->-B. 11a b>C. 1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.ln ln a b >2. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，ac b c a c b a 3))((=-+++，则角B =（ ） A.2π3B.π3C.5π6D.π63. 已知集合 ，则A ∩B = ( ) A. {}03y y <<B. {}01y y <<C. {}1y y >D. {}3y y >4. 在△ABC 中,若B A 2sin 2sin =, 则△ABC 一定是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形5. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若7,13010==S S ，则=40S （ ）(),0z ax by a b =+>A. 5 B. 10 C. 15 D. -206. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若362π===A a c b ，，，则△ABC的面积为（ ） A. 1B. 3C.7. 已知奇函数f (x )是R 上的减函数，若m ,n 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥--≥-+0)(0)1(0)2()(m f n m f n f m f ，则2m n-的最小值为（ ） A. －4B. －2C. 0D. 48. 实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧≥--≤--03201y x y x 。
河南省洛阳第一高级中学高二数学上学期10月月考 理(无答案)
河南省洛阳第一高级中学2014-2015学年高二数学上学期10月月考理（无答案）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知数列{}n a 为等差数列，首项11a =，公差3d =，当298n a =时，序号n =.96.99.100.101A B C D2.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 若()()a b c a b c ab +-++=，则角C =32....4334A B C D ππππ3.在相距2千米的,A B 两点处测量目标C ，若o o 75,60CAB CBA ∠=∠=，则,A C 两点之间的距离是 千米.2B C 4.等比数列{}n a 的各项均为正数且475618a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=3.12.10.8.2log 5A B C D +5.在ABC ∆中, 角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若o 1,30a b B ===，则A ∠=o o o o o o .30 .60 .60120 .30150A B C D 或或6.在等差数列{}n a 中，35710,2a a a +==，则1a =.5.8.10.14A B C D7.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若:1:2,:2:3A B a b ∠∠==则cos 2A 的值为2111. . . .3238A B C D8.在等比数列{}n a 中，48,a a 是一元二次方程2430x x -+=的两根，则6a 的值为...3B C D ±9.已知非零向量AB uu u r 与AC uuu r 满足()0||||AB AC BC AB AC +⋅=uu u r uuu r uu u r uuu r uuu u r 且12||||AB AC AB AC ⋅=uu u r uuu r uuu r uuu u r , 则ABC ∆为.A 等边三角形 .B 直角三角形 .C 等腰非等边三角形 .D 三边均不相等的三角形10.在ABC ∆中, 角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且2cos ,22A c b c+=则ABC ∆的形状是 .A 等腰三角形 .B 等腰直角三角形 .C 直角三角形 .D 等边三角形11.ABC ∆的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若o ,2,45a x b B ===，且此三角形有两解，则x 的取值范围是.(2,) ) .(2,A B C D ∞∞12.已知数列{}n a 满足134(1)n n a a n ++=≥，且19,a =其前n 项和为n S ，则满足不等式1|6|90n S n --<的最小正整数n 是 .3 .4 .5 .6A B C D二、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{}n a ，若点*(,)()n n a n N ∈在经过点(8,4)的定直线l 上，则数列{}n a 的前15项和为__________.14.在ABC ∆中, 角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1,,,a b A B C ==成等差数列，则ABC ∆的面积为______________.15.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知12b c a -=，2sin B = 3sin C ，则cos A 的值为_________.16. 在ABC ∆中，o 60,B AC ==2AB BC +的最大值为 ______.三、解答题:本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且已知132,,S S S 成等差数列.(1)求{}n a 的公比q ；(2)若133a a -=，求n S .18.(本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且a c >.已知12,cos 3BA BC B ⋅==，3b =. (1)求a 和c 的值；(2)求cos C 的值.19. (本小题满分12分)已知数列{}n a 为等差数列，且11251,,,a a a a =成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若{}n a 为递增数列，设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和 n T .20. (本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，设S 为ABC ∆的面积，且222).S a b c =+-(1)求角C 的大小；(2)当cos cos A B +取得最大值时，判断ABC ∆的形状.21. (本小题满分12分)已知数列{}n a 满111,21n n a a a +==+.(1)证明{1}n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和.22.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c .已知(,cos )m a B =，(,cos )n b A =，且 //,m n m n ≠.(1)若sin sin A B +=，求A 的值；(2)若ABC ∆的外接圆半径为1，且abs a b =+，求s 的取值范围.。
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洛阳一高高二十月份月考试卷
一、选择题（每小题5分，共60分）
1，则是它的第（ ）项． A ． 21 B ．22 C ．23 D ． 24
2、“22a b >”是“22log log a b >”的（ ）
A ． 充分不必要条件
B ． 既不充分也不必要条件
C ． 充要条件
D ． 必要不充分条件
3．下面说法正确的是（ ）
A ． 命题“∃x ∈R ，使得210x x ++≥”的否定是“∀x ∈R ，使得2
10x x ++≥”
B ． 实数x ＞y 是22x y >成立的充要条件
C ． 设p ，q 为简单命题，若“p ∨q ”为假命题，则“(￢p)∧（￢q ）”也为假命题
D ． 命题“若cos 1,α≠，则0α≠”的逆否命题为真命题 4、△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知∆ABC 的面积222
4
a b c s +-= ，则∠C 的大小是（ ）
A ．45° B.30° C .90° D ． 135°
5、在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c 、，已知,222b c a =-且sin cos 3cos sin A C A C = 则b = ( )
A.3
B.2
C.4
D. 6
6．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是（ ）
A ．①和②
B ． ②和③
C ． ③和④
D ． ②和④
7．已知实数x 、y 满足 则z=的取值范围是（ ）
A ．
B ． D ． [﹣1，+∞）
8．数列{n a }满足21=a ，1111+-=
++n n n a a a ，其前n 项积为n T ，则2014T =（ ） A ． 61
B ． 6
1- C ． 6 D ． ﹣6 9．公差不为0的等差数列{n a }中，2201020122014330a a a -+=，数列{n b }是等比数列，且20122012a b =，则20132011b b ＝( )
A ．4
B ．8
C ．16
D ．36
10．已知等比数列{n a }满足n a >0，n ＝1,2，…，且n n a a 25252=-(n≥3)，则当n≥1时，1223212l o g l o g l o g -+++n a a a 等于( )，
A ．n(2n －1)
B ．2
)1(+n C ．2n D ．2)1(-n 11．若变量x ，y 满足，则点P （2x ﹣y ，x+y ）表示区域的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 1 12.数列{n a }的前n 项和21;(1)(*)n n n n s n n b a n N =++=-∈,则数列{n b }的前50项和为（ ）
A. 49 B ． 50 C ． 99 D ． 100
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.已知0,q ≠ 则211n q q q -++++=
14.设,a b 均为正数，且4a b +=，则36ab ab
+
的最小值为 15. 关于x 的方程0532=+-a x x 的两个根为21,x x ，且满足31,0221<<<<-x x ，则实数a 的取值范围是 .
16.在∆ABC 中，B=︒60，3=AC ，则BC AB 2+的最大值为
三、解答题（共70分）
17.（10分）已知{n a }为等差数列，且366,0.a a =-=
（1）求{n a }的通项公式;
（2）若等比数列{n b }满足1b =8，2123b a a a =++，求{n b }的前n 项和公式n s
．
18.（12分）若,a R Î解不等式：2(21)20ax a x -++?
19，（12分）（1）已知0,0x y >>，且2,x y xy +=求29x y +的最小值;
(2)已知22224,9x y m n +=+=， 求mx ny +的最大值。
20．(12分)如图所示，在四边形ABCD 中，AC ＝CD ＝12AB ＝1，AB →·AC →＝1，
sin ∠BCD ＝35.
(1)求BC 边的长；
(2)求四边形ABCD 的面积．
21、（12分）ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且有.
0)cos(32sin =++B A C
（1）,13,4==c a 求ABC ∆的面积。
（2）若,cos cos ,3C B A >=π，求AB CA CA BC BC AB ⋅-⋅-⋅32的值。
22．（12分）数列{n a }满足12a =，1*12()()22
n n n n
n a a n N n a ++=∈++ （1）设2n
n n
b a =，求数列{n b }的通项公式； （2）设1
1(1)n n c n n a +=
+，数列{n c }的前n 项和为n s ，不等式21144n m m s ->对一切n∈N*成立，求m 得范围．。