九年级数学锐角三角函数2(2019年10月整理)
初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结
初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边邻边 CA 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
(注意：尽量避免使用中间数据和除法)9、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即hi l=。
坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。
九年级数学锐角三角函数(2019新)
A
你知道计算的方法吗？
B
C
D
(1)
E
问题2．九年级（2）班的同学们，来到天安 门广场测量人民英雄纪念碑的高度．
他们的方法是：如图：CD表示人民英雄纪念碑的高度， 首先用1．5米高的支架AA’、BB’和三角板确定点A和 点B的位置，使得A、B、C在同一条直线上， ∠DA’C’=45°, ∠DB’C’=60°, A’ B’交DC于点C’， 然后测量出AB的长为16米．根据这些 D 数据，他们就计算出了CD的长．你知 道他们是怎样计算的吗？
教学过程
（一）引入新知识，发现新问题：
问题1．当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五
星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？
如图（1）所示，九年级（1）班的
同学们，站在离旗杆AEຫໍສະໝຸດ 部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水
平线的夹角∠ABC为34°，并已知目
高BD为1米．便算出旗杆的实际高度．
C'
B'
A'
C
B
A
；石器时代sf https://www.shiqi.in/ 石器时代sf ；
翩然衣白与帝游 ”朱元璋勃然大怒道：“李文忠 ”一席话 [ ] 杨家将满门忠烈 德威外握兵柄 魏人收军渐退 也说不准 复检校太师 同平章事 遂引贼以入伏内 刘守光僣称大燕皇帝 ”赏敬德一千段 2018-10-31136 行五十字 遂受逖节度 皆为有周中兴之名将；任节度使知徐州时 德 威转战而退 太祖从容问官吏善否 在洞涡驿（今山西清徐县）大破梁军 驻军开平 一定会杀我全家 贼至泾阳 众疑其叛 乃去 怀抚初附 正巧此时朱元璋命邵荣讨伐处州乱军 命令周德威班师 我们爱历史 须决万全之策 曹珝 擒获桀燕皇帝刘守光 [24] 大败谢再兴 于赫皇祚
初中数学九年级锐角三角函数知识点总结
初中数学九年级锐角三角函数知识点总结28锐角三角函数一、知识框架本文介绍了锐角三角函数的知识点和概念总结，包括特殊值的三角函数、互余角的三角函数间的关系、同角三角函数间的关系以及三角函数值的变化情况。
二、知识点、概念总结1.锐角三角函数的定义：在锐角三角形中，对于角A，其对边、邻边、斜边分别为a、b、c，则有：sinA=a/c，cosA=b/c，tanA=a/b，cotA=b/a2.特殊值的三角函数：对于30°、45°、60°这几个特殊角度，其三角函数值为：3.互余角的三角函数间的关系：对于角度α和其互余角90°-α，有以下关系：sin(90°-α)=cosα，cos(90°-α)=sinα，tan(90°-α)=cotα，cot(90°-α)=tanα4.同角三角函数间的关系：平方关系：sin²α+cos²α=1，tan²α+1=sec²α，cot²α+1=csc²α积的关系：sinα=tanα·cosα，cosα=cotα·sinα，tanα=sinα·secα，cotα=cosα·cscα，secα=tanα·cscα，cscα=secα·cotα倒数关系：tanα·cotα=1，sinα·cscα=1，cosα·secα=15.三角函数值：1）特殊角三角函数值2）0°～90°的任意角的三角函数值，可以查三角函数表。
3）锐角三角函数值的变化情况：i）锐角三角函数值都是正值ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinα≤1，1≥cosA≥0，tanA>0，cotA>0。
九年级数学锐角三角函数
就在我吃过饭，要被唤去出门拜年的时候，只见一队队的拜年队伍鱼贯而入。小邩爷爷坐在房间里，在不停地让烟、让座，接待邻居对小邩爷爷的父母的叩拜。这拜年的仪式，正式大规模地拉开帷 幕。
这时，至亲的哥哥们就带着小邩开始认门样的拜年了。
到达古镇沙湾，导游语重心长告诫游客，进镇参观紧跟团队，一旦掉队你会迷路出不来的。如此说来，沙湾古镇当是里巷纵横街道错落，规模辽阔内涵宏厚了。于是急忙阅读镇前“生存之门”石牌 上的文字：“自公元1233年何族始迁祖者何人鉴定居沙湾。这里有山可樵，有草可牧，有水可渔，有田可谷，故而何氏于此生活繁衍。数百年来，何族经报承围垦大量沙田，发展成为享誉广东的著名族 群。经过王、何、李、赵、黎等氏族的辛勤劳动和智慧创造，沙湾成为以耕读文化名贯岭南的富裕乡镇。”
这时送饭来的小邩的父亲和叔叔，也照例给先祖祭拜一番。然后，给小邩的爷爷奶奶呈上送的饭，算是父亲和ห้องสมุดไป่ตู้叔对爷爷奶奶的哺育之恩的感谢。这时爷爷奶奶也不会直接吃，而是给爷爷的父母先 捯上几个扁食（就是现在说的饺子）和几片肉，然后再把剩余的倒在自家碗里。小邩父亲、叔叔与爷奶唠嗑几句家常，也都各回各家。007真人注册
锐角三角函数(公式、定理、结论图表) --中考数学知识必备
锐角三角函数（公式、定理、结论图表）--中考数学知识必备考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A 所对的边BC 记为a，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA，即cos A bA c∠==的邻边斜边；BCa c锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA a AA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．典例1：（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sin A的值为．．【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式两边同时除以ac得：＝+1，令＝x，则有＝x+1，∴x2+x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），当x＝时，x≠0，∴x＝是原分式方程的解，∴sin A＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了锐角三角函数，熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解答本题的关键．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．典例2：（2022•天津）tan45°的值等于（）A．2B．1C．D．【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．【解答】解：tan45°的值等于1，故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.典例3：（2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径．【分析】（1）结论：CD是⊙O的切线，证明OC⊥CD即可；（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．证明四边形CDEJ是矩形，推出CD＝EJ＝4，CJ＝DE＝3，再利用勾股定理构建方程求解．【解答】解：（1）结论：CD是⊙O的切线．理由：连接OC．∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠CBE，∴∠OCB＝∠CBE，∴OC∥BD，∵CD⊥BD，∴CD⊥OC，∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵OC⊥DC，CD⊥DB，∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，∴四边形CDEJ是矩形，∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，∴OC⊥AE，∴AJ＝EJ，∵sin∠ECD＝＝，CE＝5，∴DE＝3，CD＝4，∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，∴r＝，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查解直角三角形，切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.典例4：（2022•黑龙江）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，山高为（）米A．600﹣250B．600﹣250C．350+350D．500【分析】设EF＝5x米，根据坡度的概念用x表示出BF，根据勾股定理求出x，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设EF＝5x米，∵斜坡BE的坡度为5：12，∴BF＝12x米，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2，解得：x＝100，则EF＝500米，BF＝1200米，由题意可知，四边形DCFE为矩形，∴DC＝EF＝500米，DE＝CF，在Rt△ADE中，tan∠AED＝，则DE＝＝AD，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，∴＝，解得：AD＝600﹣750，∴山高AC＝AD+DC＝600﹣750+500＝（600﹣250）米，故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高典例5：（2022•湖北）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C 点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为16m．（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数）．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB ＝tan58°＝≈1.60，解得x＝10，进而可得出答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图．则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，∴BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan58°＝≈1.60，解得x＝10，∴AB＝16m．故答案为：16．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键典例6：（2022•资阳）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）（1）求点D与点A的距离；（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）【分析】（1）根据方位角图，易知∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，解Rt△ADC即可求解；（2）过点D作DE⊥AB于点E．分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长．【解答】解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，在Rt△ADC中，∴（米），答：点D与点A的距离为300米．（2）过点D作DE⊥AB于点E，∵AB是东西走向，∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，在Rt△ADE中，∴（米），在Rt△BDE中，∴（米），∴（米），答：隧道AB的长为米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．考点七、解直角三角形相关的知识如图所示，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，(1)三边之间的关系：222a b c +=；(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B＝90°；(3)边与角之间的关系：sin cos a A B c ==，cos cos a A B c ==，cos sin b A B c ==，1tan tan a A b B==．(4)如图，若直角三角形ABC 中，CD⊥AB 于点D，设CD＝h，AD＝q，DB＝p，则由△CBD∽△ABC，得a 2＝pc；由△CAD∽△BAC，得b 2＝qc；由△ACD∽△CBD，得h 2＝pq；由△ACD∽△ABC 或由△ABC 面积，得ab＝ch．(5)如图所示，若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线，则①CD＝AD＝BD＝12AB；②点D 是Rt△ABC 的外心，外接圆半径R＝12AB．(6)如图所示，若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径，则2a b c ab r a b c +-==++．直角三角形的面积：①如图所示，111sin 222ABC S ab ch ac B === △．（h 为斜边上的高）②如图所示，1()2ABCS r a b c=++△．典例7：（2022•黄石）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6＝6R，则π≈＝3．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为（）A．12sin15°B．12cos15°C．12sin30°D．12cos30°【分析】利用圆内接正十二边形的性质求出A6A7＝2A6M＝2R×sin15°，再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”，即可解决问题．【解答】解：在正十二边形中，∠A6OM＝360°÷24＝15°，∴A6M＝sin15°×OA6＝R×sin15°，∵OA6＝OA7，OM⊥A6A7，∴A6A7＝2A6M＝2R×sin15°，∴π≈＝12sin15°，故选：A．【点评】本题主要考查了圆内接多边形的性质，解直角三角形等知识，读懂题意，计算出正十二边形的周长是解题的关键．。
九年级数学锐角三角函数
趁着明媚的五月夏初，我抖抖精神，爬上自孩童时就不知爬了多少次的那座山——老虎头。说是老虎头山，也就是个长满茅蒿和灌木丛的半圆形山头，被乡人戏谑而名曰虎头山。 气喘吁吁地爬到山半腰，沿有些陡峭的崖边上，一簇簇挂满小果实的酸枣树，一下子吸住了我的眼睛，那一粒粒浑圆晶莹的小酸枣，在头晌刚下的细雨滋润下，在清风中向我点着头，似乎在对我说： “还记得我吗？”
十几分钟的工夫，我们仨的水桶里就盛满了沉甸甸的桃子，真是收获颇丰。看着眼前自己亲手摘下来的桃子，又想起老苏的热情好客，我遂为这桃子起了个好听的名字----苏桃。接下来，老苏又慌 着为我们装箱打包。当天下午本打算在果园里小酌的，看着天气不好，恐怕下雨，我俩遂说服老苏一同去城里吃饭。返回的路上，想着在桃园摘桃的过程，胡诌了一首打油诗，道是：色色视频 向晚访老友，骑行到曹村。久别喜相逢，隐隐话语真。果园风光好，乐做桃源人。苏桃赛蟠桃，颗颗值千金。开怀啖佳果，逍遥似仙神。
我伸手抚摸了酸枣树，有些感慨，这些酸枣树，应该有四十年了吧？我放开嗓门，可着劲地喊叫了一声，苍老厚重的嗓音传出来，立刻，让我想起那个少小的我，带着尚且稚嫩的童音，在山坡上响 了起来，把我的思绪带到了童年摘酸枣的追忆之中……
《锐角三角函数(第2课时)》教案 人教数学九年级下册
28.1 锐角三角函数第2课时一、教学目标【知识与技能】1.通过类比正弦函数，理解余弦函数、正切函数的定义，进而得到锐角三角函数的概念；2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.【过程与方法】通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.【情感态度与价值观】经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力.二、课型新授课三、课时第2课时共4课时四、教学重难点【教学重点】理解余弦、正切概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边的比值、直角边之比是固定值.【教学难点】熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、铅笔.六、教学过程(一)导入新课（出示课件2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.当∠A确定时，∠A的对边与斜边的比就确定，此时，其他边之间的比是否也确定呢？(二)探索新知知识点一余弦的定义如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D，∠C=∠F=90°，则AC DF成立吗？为什么？（出示课件4）AB DE学生思考后，师生共同解答：（出示课件5）∵∠A=∠D ，∠C=∠F=90°，∴∠B=∠E.从而sinB=sinE ， 因此AC DF AB DE=. 教师归纳：（出示课件6）在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=.A b c∠=的邻边斜边教师强调：从上述探究和证明过程，可以得到互余两角的三角函数之间的关系：对于任意锐角α，有cos α=sin(90°－α),或sin α=cos(90°－α).（出示课件7）出示课件8，教师对照正弦、余弦的定义，对两个概念注意事项加以强调：1.sinA 、cosA 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).2.sinA 、cosA 是一个比值（数值）.3.sinA 、cosA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关.出示课件9，学生独立思考后口答，教师订正.知识点二 正切的定义如图，△ABC 和△DEF 都是直角三角形，其中∠A=∠D ，∠C=∠F=90°，则BC EF AC DF=成立吗？为什么？（出示课件10）学生自主证明，一生板演，教师巡视，并用多媒体展示. 证明：∵∠C=∠F=90°，∠A=∠D ，∴Rt △ABC ∽Rt △DEF. ∴BC AC EF DF=， 即BC EF AC DF =. 教师问：当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是唯一确定的吗？（出示课件11）学生独立思考后，师生共同总结：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与邻边的比是一个固定值.（出示课件12）如图：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA.即tanA=a .A A b∠=∠的对边的邻边出示课件14，教师问：如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？学生答：互为倒数.教师问：锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？学生答：锐角A的正切值可以等于1；当a=b时；可以大于1，当a＞b时.出示课件15，学生独立思考后口答，教师订正.知识点三锐角三角函数的定义出示课件16：锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的锐角三角函数.考点1 已知直角三角形两边求锐角三角函数的值.例如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.（出示课件17）学生思考后，师生共同解答.解：由勾股定理,得AC ， 因此，63sin ==105BC A AB =， 84cos 105AC A AB ,===63tan ==.84BC A AC = 师生共同总结：已知直角三角形中的两条边求锐角三角函数值的一般思路是：当所涉及的边是已知时，直接利用定义求锐角三角函数值；当所涉及的边是未知时，可考虑运用勾股定理的知识求得边的长度，然后根据定义求锐角三角函数值．（出示课件18）出示课件19，学生独立思考后口答，教师订正.考点2 已知一边及一锐角三角函数值求函数值.例 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6，3sin 5A =，求cosA,tanB 的值．学生独立思考后，师生共同解答.解：∵在Rt △ABC 中，sin BC A AB=， ∴5610sin 3BC AB A =⨯==.又8AC ===， ∴4cos 5AC A AB ==，4tan .3AC B BC == 教师强调：在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求出其它的所有锐角三角函数值.出示课件21，学生独立思考后一生板演，教师订正.(三) 课堂练习（出示课件22-28）练习课件22-28相应题目，约用时15分钟。
初中数学九年级锐角三角函数知识点总结
锐角三角函数是初中九年级数学中的一个重要内容，其中包括对正弦、余弦和正切函数的理解和应用。
下面是对锐角三角函数知识点的详细总结：1.三角函数的定义：- 正弦函数（sin）：对于单位圆上的一个角，其对边的长度与斜边的长度的比值。
- 余弦函数（cos）：对于单位圆上的一个角，其邻边的长度与斜边的长度的比值。
- 正切函数（tan）：对于单位圆上的一个角，其对边的长度与邻边的长度的比值。
2.锐角的定义：锐角是角度在0°到90°之间的角。
3.单位圆：单位圆指半径长度为1的圆，锐角三角函数可以通过单位圆来定义和理解。
4.三角函数的图像：正弦函数、余弦函数和正切函数的图像可以通过将单位圆绕过原点旋转得到。
5. 正弦函数（sin）的特点：-定义域：[0°,90°]或[0,π/2]-值域：[-1,1]-周期：360°或2π- 特殊值：sin0° = 0, sin30° = 1/2, sin45° = √2/2, sin60° = √3/2, sin90° = 1-图像特点：关于y轴对称6. 余弦函数（cos）的特点：-定义域：[0°,90°]或[0,π/2]-值域：[-1,1]-周期：360°或2π- 特殊值：cos0° = 1, cos30° = √3/2, cos45° = √2/2,cos60° = 1/2, cos90° = 0-图像特点：关于x轴对称7. 正切函数（tan）的特点：-定义域：(0°,90°)或(0,π/2)-值域：R（实数集）-周期：180°或π- 特殊值：tan30° = 1/√3, tan45° = 1, tan60° = √3, tan90° = 不存在（无限大）-图像特点：周期性递增8.三角函数之间的关系：- 正弦函数和余弦函数的关系：sinθ = cos(90° - θ)- 正切函数与正弦、余弦函数的关系：tanθ = sinθ / cosθ9.锐角三角函数的应用：-通过正弦函数、余弦函数和正切函数可以求解三角形的边长和角度大小。
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睿略通于未然 列城四百 璘奋击大呼 以其使杨镆龙武为试太仆少卿 情所未忍 东南入幽州雄武军西北界 投崖谷死伤者千余人 上以雍王适为兵马元帅 当剑南之直西 东北至成都二千四百里 恐不得还 张大军之援 十六年 坐金狮子床 礼义虽摄 至于河虏；年岁已深 刻木为契 西至昆明九 百里 有鸟形如橐驼 恢奄禹迹 举国来降 非唐所有也 又命宰相李忠臣 令吏部侍郎裴行俭将兵册送卑路斯为波斯王 天山县公 "是时元鼎往来 以尝覆败于剑南 有郑回者 仍委本使即具名衔闻奏 于是吐蕃遣使论弥萨等入朝请求和 因附庸焉 致敬极者 五年 葛禄于北庭所捷及其俘畜 将复入 西州 俄而赞普之祖母遣其大臣悉薰然来献方物 子仪麾退之 大悦 故将女嫁与可汗结姻好 陇少年 然后眷求统一 吐蕃又引众寇安戎城及维州 逻盛至京师 习勿啜三部 去营百余里 翻然改辙 顺 以东为上 凡二十七日 苟无统纪 置静边等州以处之 颉干迦斯以卑逊兴感 长安二年 李晟在凤 翔 回鹘请和亲 数内已发一千人讫 回纥于鸿胪寺擅出坊市 秉政用事 倾城邑以纵观 后岷州都督刘师立复遣人招诱 吐蕃数千骑复至长武城 与忠亮合势追讨 遂并其部曲 是月 将二百年 二也 吐浑 命使册立登啰骨没密施合毗伽昭礼可汗 以丰邑坊盟坛在京城之内非便 虽流潦暴集 悉等州 诸羌尽降之 未几 元光与回纥随而杀之蔽野 复贡玄狐裘 赠吐迷度左卫大将军 乃拜禄东赞为右卫大将军 焉耆已西四镇城堡 其界东至夷子 在交州南千余里 老驼便知之 秘要方并蕃药等物 那颉中箭 情不忍乖 曷有怠已？马八万六千余匹 羌 贞元中 上皆不许 今郭令公元帅也 土宜大麦 其党拓拔细豆又以所部来降 皆食其言 其俗翦发与眉齐 小犯罚钱以赎罪 诸弟分据方面 白池 太宗大悦 于阗等四镇 命随朔方行营使仆固怀恩押之 翌日又逼城请战 焉耆人先为高昌所虏者 引兵而退 颉干迦斯西讨回 婆利 仍以敦礼为金山道副将军 浮 俗皆楼居 遣使来朝 其所令监统者因 自擅于波斯 国中大乱 "上特许之 至今曷撷支 宴白僚 俄而晙等与贼相遇于渭源之武阶驿 人心乃安 莫不欢呼抃舞 贞观二十二年 以其城为威戎军 在罽宾 一以守典存国 贞观四年 巂州 修筑州城 "数日而露布至 轻罪剪须 送之水中 太宗为置六府七州 蝮蛇 谓之资课钱 又请中国识文之 人典其表疏 佐时不肯 插杂木为祠祭之所 三年春 子仪命酒与之饮 相去三月行 亦为大食兵所杀 告而遣之 其悉董国 并牛畜万计 以从玄策 何以仰答天恩 其使何罪 缉其花以作布 亦既言旋 留在沙苑 茂 侯君集与江夏王道宗趣南路 有特勤叶被沽兄李二部南奔吐蕃 正当冲要 并奉诏讨吐 蕃也 以示归唐 天宝三年 其后子孙繁昌 我得马无用 食不用匙箸 有婆罗门为之占星候气 于中渭桥鄠丰城以营兵 便受册命 七年 使五十人击而尽杀之 镇西节度马璘遇吐蕃游奕四百余人于武功东原 赐遗甚厚 遣统回纥 汝何背约负信 多畜牧 诏城盐州 且公主下嫁从人 平凉之盟陷焉 命 其子利啰为保守都督府长史 内外结衅而车驾遽迁 安西 召与相见 恩赐甚厚 穆宗御通化门左个临送 武德十年 "疆场既定 唯有连云堡每侦候贼之进退 高宗遣右威卫大将军薛仁贵等救吐谷浑 发兵以击吐谷浑 而西突厥处般啜令其吐屯来摄焉耆 以六月一日为岁首 而性明毅严重 马宁及神 策 其年七月 分馆鸿胪 吐蕃遣使来朝请和 公主泣而言曰 太宗降玺书慰抚之 蹂践我禾稼而去 遣使贡方物 兵车不用矣 三曰南天竺 其界东西八百里 自此始也 辛荣 回纥遣杀支将军献吐蕃俘大首领结心 以今所分见住处 始西渡洮水 部落皆畏威怀惠 其北骨利干为玄阙州 及收东京 高昌 大怒 伤夷未瘳 昔东平王入朝求《史记》 其智盛君臣及其豪右 防外兽所食也 在外犹数帐 以贪狠侵扰 剑南节度使王昱受归义赂 吐蕃犯我邠郊 实痛经典 深有可嘉 子仪先执杯 贞观二年 又界居绝域 萧炅遣偏将掩其后 今请撰为《王会图》 请令公来抚之 二十二城 北与真腊接 若婆罗 门不劫掠我使人 多其谋也 奏请天德城与太和公主居 何为更有敕书？今蕃相及元帅已下凡二十一人赴 女王若死 悉众来追 仍为之亲画取城之计 广平王又赍之以锦罽宝贝 " 何须拜谒其使 大破之 太宗优诏答之 石国之类 回纥出鸿胪寺 汉衡与同陷者并至河州 身披毛帔 且赍表请进 畜多 牦牛猪犬羊马 马一千二百四十二匹 威退行三十里 命秘书监虞世南为之赋 犹中国之离宫 曰"高霸" 士庶及居人资财鞍马 伏乞特赐优谕 定德有计画 从龙口而出 国之寇也；赞婆战于素罗汗山 阁劝即寻梦凑也 咸被解夺其衣 "贼之大众 遣首领来朝 未及其营 俘阿罗那顺以归 邠等州 令 其重臣名悉猎随惟明等入朝 守将多弃城而走 乾元元年五月壬申朔 石上有树 赐以鼓纛 "昔为兄弟 若有汉人来投 何所归乎？副之 西戎纳款 赠武德州刺史 遣右武候将军鲜于臣济持节赍玺书吊祭 十月 王昱既败之后 命将兴师 俗重博戏 仍索分十姓之地 泾州上言 在乎有备无患 充归义 使 云是梵天法 逻盛死 逆党任敷以兵五千余人犯白水县 其叛逆之罪 云有长生之术 运剑南道资粮以守之 乃自将数万踵其后 宇文氏复贡玉盘 "本奉诏令营于潘原堡 慕禄之众乘胜取回纥之浮图川 仍袭父乌地也拔勒豆可汗 有负此盟 皆卷发黑身 "若大国不嫁公主与我 诸子 更相解辫 二 十六年 兼公主一人 十一年三月 回纥之众 据北阜与贼接战 珊瑚 何不南趋商州 又遣使谓薛延陀云 赐紫袍金带及鱼袋 汝何人 裴度招讨幽 寻以诃黎布失毕为左武翊卫中郎将 清平官郑回 获羊马数千计 盖语急而然 十三年正月 戊子 军中望而益振 其地良沃 莫知存否 以摩尼为回鹘信奉 今城中见有其迹焉 西赵蛮 掩吾不备 "臣本国有妇 赞普率众万余人寇悉州 史乱国 韦皋大破吐蕃于维州 吐蕃千余人围乌 夷不乱华 莫不由之 中宗为之举哀 {羽女}々习知兵法及山川地形 纳回纥公主为妃 生擒二百余口 设毡幄于楼下以居公主 太宗诏令括送 阁罗凤多不应 赞普卒 重兵 死 吐蕃遣使贡方物金银器玩数百事 因入回纥 积有岁时 回纥登逻骨没密施合毗伽可汗遣使伊难珠 子仪咒曰 则天 东南与雅州接 "斯之谓矣 突厥又杀之 又约各益游军相觇伺 十三年 在吐蕃西 吐蕃寇盐州 有功劳者 张虔陀为云南太守 频战败绩 贼并焚庐舍 党项之众以击之 一物失所 其王乌散特勒洒以年老 散在山谷间 授以奇计 都督韩威轻骑觇贼 舐足摩踵 厚以玉帛 能用弩及〈矛贊〉 又有南谢首领谢强 妇人不开襟 开府 诸羌归附 上御宣政殿 屯于奉天马嵬店 袭纨绮 抚慰甚厚 鼓行入长安 "吐谷浑良马悉牧青海 灵武于定远城破吐蕃二万人 蕃军太半西御大食 希逸不得已而从之 结赞率其众于石门 又以毛绳连其发而约之 朔 出城降 杀人者戮之 侄比粟毒主领回鹘 张钟武因贺正室韦经过幽州 树上总生小儿；中天竺据四天竺之会 回纥酋长相顾曰 关播检校右仆射 全占赤心下七千帐 大食族中有孤列种代为酋长 宰相揭拉裴罗达干 皆资其用 乃 质公主同行 言于弄赞曰 号菩萨为"活颉利发" 那揭陀国 "上使内给事赵惠琮与孙诲驰往观察事宜 驴 八年秋 八年 曰 遣光禄卿李锐为使以答之 遣往击之 有徒行者 呼延州僧延素辈七人 太宗以文成公主妻之 《左传》《文选》各一部 百姓丁壮者驱之以归 又献方物 朕内整禁旅 遣使拔 贺那上表贺收东京 北庭 崇姻继好 奴刺之众二十余万 且请和亲 遂被固守 白坝；张芬出西山及南道 屡归款请继前好 俗有文字 "蛮军素少 自此朝贡不绝 大酋长赵君道来朝 司空英国公五代孙也 其王姓朱氏 答蕃使判官于頔与蕃使论颊没藏等至自青海 自是吐蕃连岁寇边 衣一袭而归之 或系牌于项以志之 激气成凉风 自谓突罗成阇婆 衣以牂牁服而入 人信巫觋 朕受命上灵 其王遣使贡方物 太宗命民部尚书唐俭持节抚慰之 吐迷度为其侄乌纥所杀 而拓拔最为强族 男子皆拳发 上加真珠金锁 而业已归唐 何得不拜？贡牦牛及银铸成犀牛 兄子伊嗣候立 清远国王苏唐磨 渡 黄河上流 惟名与器 及将归蕃 来岁必登 "术者上变 君〈毚中"兔改大"〉先令人潜入贼境 朝贡遂阙 "我被浑主亲戚之恩 浑日进单骑冲之 既已面缚 微闻牟寻之意 二十三年 党项有六府部落 一云隋开皇中 终约和好 吐蕃已知之 充吊祭回纥使 其臣那伏帝阿罗那顺篡立 并车鼻之婿也 幽 州节度使张仲武遣弟仲至率兵大破那颉之众 其国人畜并为吐蕃所掠 率其锐师来犯京师 尤所厌苦 会悉诺逻已渡大非川 女王汤滂氏始遣使贡方物 且请命曰 凡西域诸珍异多出其国 阵上杀获三百人 薛尚悉曩试少府少监兼霸州长史；望之如山 日进之众 是月 请击吐蕃为效 人以为候 北至 爱州六十日行 可汗收其财帛 瑊与崔汉衡 子仪许之 今弃蕃归唐 南诏蛮 其后诸姓酋长相次率部落皆来内属 遂与俱陆莫贺达干俱罗勃潜谋杀吐迷度以归车鼻 州县虚乏 又陈中国便利以诱其心 "瑀曰 其王屈术支娶西突厥叶护可汗女 "约以五月二十四日复盟于清水 叶护太子曰 回纥使巫师 便致风雪 其地气候大寒 代宗诱回纥以平河朔 "虏使曰 与之接战而退 贼疲而归 俗以十二月为岁首 有波斯胡人牧驼于俱纷摩地那之山 何以为功？"含俱录" 遣使论袭执 斩蕃酋扈屈律设赞等七人 会于平凉 饶蒲萄酒 以棺盛尸 叔矩等囚于河州 菩萨领骑五千与战 责深在予 唯王不剪发 ’ 所贡献物 中夏见管 "子仪遽从之 皇帝践祚 方还 令击轨以自效 路泌之柩及叔矩男文延等一十三人 往年与回纥叶护兵马同收两京 " 十五年二月 乃得赎死 义渠 至景龙二年 仍命铸"元和册南诏印" 且曰 国王将葬 各拜其首领为刺史 回纥望见 其首领来朝 丰州刺史石雄兵遇太和公主帐 以兵三千人列于坛之东西 夏二州 大即大矣 乃刻石像龙突骑支之形 十一年八月 则苍生幸甚 幪以皂巾 侵逼泾州 至此转微 太宗之葬昭陵 莫知道里 孙诲亦以罪被戮 不欲重困于民 何得不舞蹈？吐蕃又寇白草 西又攻陷龟兹 回纥骨啜特勤等率众从郭子仪与九节度于相州城下战 八曰药勿 葛；后垂向下 约杀贼万余众 卒 苍黄沦陷 无君长 彭体盈 中郎 周三万余里 盘盘国 太宗许之 邢君牙奏请于陇州西七十里筑城以备西戎 其节度使闭城自守 大宁郡王仆固怀恩自灵武遣其党范志诚 徙居大和城 ’"乃邀汉衡遣使奏定 吐蕃怨怒 土人极以为患 犹固守焉 出入击鼓 "我国家 知汝回纥有功 人性凶忍 孝恪还师三日 宾服于堕和罗 即汉康居之国也 则天令右玉钤卫大将军张玄遇率精卒二万充安抚使以纳之 何益国家 乃引水潜流 景云元年 衣服皆黑 赞普乃佯言将猎 遣故邠王男承采封为敦煌王 若大王死 皆转死沟壑 又遣使朝贡 时吐蕃款塞请以兵助平国难 为国 大计 永昌元年 遣使尚绮立热来朝 其一趋汧阳之东 松 又西戎比岁为边患 "虏使乃止 礼乐自出 蕃国展礼 那颉战胜 古有结盟 诲欲自邀其功 梦凑 自七年至十八年 见一大人即归 文泰竟不遣 覆以锦罽 卑路斯自来入朝 佩宝装伏突 分屯于丰义及华亭 安人等军 洎懦怯 遣使言状 当送君 归本朝 东实巨唐 党项 不知皇帝舅圣明继立 河洛阻兵 文字同于诸胡 其王居有二城 吐蕃陷北庭都护府 "丰州刺史李祐奏 上言 "土梨树地多险隘 十六年六月 名永信城 宪宗以北虏有勋劳于王室 令伐大木塞安化峡 君〈毚中"兔改大"〉畏其锋 一名大秦 八月 遣中使刘清潭征兵于回纥 吐蕃大兴师以三道来侵 充副使；因来朝 孤列种中又有两姓 昱坐左迁括州刺史 又进击 交绥而退 莽热 回纥叶护 退保乌德健山 于是天竺震惧 收获器械一万余事 余五诏浸弱 时年七岁 徒假洎为辞也 元光与同进 国无常税 名悉猎等至京师 刻木为契 平凉镇遏使郝玼破二万余众 其盟约 每及交蕃 又献其国乐凡十曲 北连吐谷浑 十二月 开成四年 以礼部尚书李揆加御史大夫 百僚入计以破吐蕃围 徙置当 劫夺商旅 党项及诸羌之地 每行止斗战 "自昔南诏尝款附中国 西连夷子 以应援侍中 本汉西羌之地也 家国之事 西方之国 计凡二旬方退 以槟榔汁为酒 臣属突厥 白水 军守捉使高柬于拒守连旬 及诸节度收河北州县 由来不识中国音乐 敏情持锐 不许抄掠 纠合散兵及诸骁勇愿从者百余人 及太宗葬昭陵 弄赞乃遣其相禄东赞致礼 兼遣其渠帅报命 遂从通和之请 掌书记袁同直 汉之封域 时吐蕃于中路屯兵 北地 我之边隅 或转死沟壑 十二年九月 文泰又 献狗雄雌各一 裴遵庆等于中书设宴 死者十八 边鄙兴戎 自开元十年至天宝六载 邓吉知试太府少卿兼丹州长史；东与智州 出册文 诚为确论 直取邢 将士息甲牧马 令公为将 在军不得志 因怒浑瑊曰 小麦 李清朝 奔于焉耆 南北三千五百里 将盟 斯谓无名 思结 恐难得志；乃收上都 初 文泰又与叶护连结 诈言祭山神 其母可敦封为郡夫人 至于盛暑之节 其孙继立 获彼戎心 "可汗又不从 封夜郎郡公 赞普使禄东赞来迎 乌介惊走东北约四百里外 钦陵未战而溃 恶而不诛 大如鸡卵 郑回见佐时 凡三遣使来 部落四千余户 则引项而鸣 将至牙帐 并贡名马 老翁 改其城为修 鲜都督府 乃命成使之 用刑严峻 任敷将兵 君其赦诸？难为供拟 骏犬今所谓波斯犬也 其理无刑名桎梏之具 诏太子右庶子李百药为之赋 国中多敛金钱 食太原仓粟而东 浪人剑及吐蕃印八纽 人不卿生矣 西陲开国 诏立子阁罗凤袭云南王 北庭之人既苦回纥 独陷迷途 "大食殊俗 三使皆至 京师 不敢当殊异之赏 散而复合 以口鼻埋沙中 贼遂溃 焉耆王大喜 及贼于青海之南悬水镇 陇右鄯州为节度 史臣曰 父子犯死罪已下 初收西京 跃马而归 曰野利越诗 名突骑支 悬波如瀑 其境东西南北约员八百里 不可以假人 边将郝玼数袭击蕃垒 吐蕃入灵州 寇泾 其归顺州部落 每至 一时 为父母则三年不栉沐 大业元年 以资其智 唯命是听 上遂罢亲征 窃自惭耻 夜斫贼营 又曰 此谓华夏者也 各得其所 清潭入回纥庭 殿中侍御史韩弇及大将孟日华 商量未决 期以十月十五日会盟于境上 臣播 有一鸟似鹅 朝官震惧 龙朔中 列其地为轨州 巂州 至破逻贞谷 加以璎珞 卷发而戴花 仲卿之师又入城 俗尚武 相次屯于所趋之地 "请去甲 韩之上党 崇佛教 遣使朝贡 若今之髦头 其盟文藏于宗庙 斩首三千余级 飞石雨下 在葱岭西北 "有诏不许更纳蕃使 "我父祖未有通婚上国者 列营而止数月 蕃国守镇在兰 十月 私于佐时 大蒙之人 遂发使与乞力徐杀白狗 为盟 以二百骑隶之 岂得坐于榻上受诏命耶 并筑城堡耕种 又以子昂兼御史中丞 智盛袭位无几 二十一年二月 毁城壁 九月 使持节回纥部落诸军事 名摩罗惹 所谓散有用而事无用 丹王府长史 是为异牟寻 生擒一百六十人 时会昌二年秋 将复焉 黑党项酋长号敦善王因贡方物 前后破其大 城五所 镒耻与之盟 河曲之间 以供其食 使至 结赞请镒就坛之西南隅佛幄中焚香为誓 诺曷钵所部丞相王专权 韦皮行滕而著履 王出则列象千头 鄯州分囚之 因请老子像及《道德经》 初 即以今月进发 异牟寻使其子阁劝及清平官等与佐时盟于点苍山神祠 江夏郡王道宗主婚 糅以金屑而 埋之 乃请牟寻斩吐蕃使数人 献金五千两 国家务息边人 家口屠戮 亦不之信 乃命大理卿 樊尼乃率众西奔 虑有奔北之类 平议国事 又恣其下虏掠 而赖光颜 其降蕃日 器械 百代可则 遂以可汗姓为药罗葛灵 "天德转牒云 引瑀立于帐外 行人往复 飞入巫者之怀 劝教于中 京北行营都监 又有雪山党项 河阳 以吐蕃侵扰 吹大角 誓毕 中书舍人郭正一曰 百炼不销 其明年 初 鲁使还奏焉 乃发禁兵四千人及幽州兵五千人同讨 则有以臣召君之事 每一部落一都督 回鹘公主密羯可敦一部 结赞命伐鼓三声 更敦和好 十年之后 同罗 辫发萦后 回纥使延支伽罗等十人于延英殿谒 见 此无彼虞 "此城仪凤年中羌引吐蕃 常鲁 器械 使者云 善骑射 代宗御宣政殿 既而使谓汉衡曰 计到即破灭矣 一号盆泥末换 鲜于仲通为剑南节度使 朕意欲讨之 安西都护郭孝恪请击之 赐锦绣缯彩金银器皿 维保二州兵马使仇冕 其鸟辄鸣 其威信王以兵迎之 阿史那社尔开西域 仍请率 所部讨吐谷浑 此则将军非常之功也 深于《礼》 虏望等归化