【南方凤凰台】(江苏专用)高考数学大一轮复习 第二章 第9课 二次函数自主学习
【南方凤凰台】2017版高考数学大一轮复习 第二章 函数与基本初等函数Ⅰ 第9课 二次函数、幂函数 文
第9课 二次函数、幂函数(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(必修1P54测试7改编)函数f (x )=x 2+2x-3，x ∈[0，2]的值域为 . 【答案】[-3，5]【解析】由f (x )=(x+1)2-4，知f (x )在[0，2]上单调递增，所以f (x )的值域是[-3，5].2.(必修1P47习题9改编)若函数y=x 2+(a+2)x+3，x ∈[a ，b ]的图象关于直线x=1对称，则b= .【答案】6【解析】由二次函数y=x 2+(a+2)x+3的图象关于直线x=1对称，可得-22a +=1，所以a=-4.而f (x )是定义在[a ，b ]上的，即a ，b 关于x=1对称，所以2a b+=1，所以b=6.3.(必修1P44习题3改编)函数f (x )=222-1[0)-2-1(-0)x x x x x x ∈∞∈∞⎧++⎨+⎩，，，，， 的单调增区间是 .【答案】R【解析】画出函数f (x )的图象可知.4.(必修1P89练习3改编)若幂函数y=f (x )的图象经过点193⎛⎫⎪⎝⎭，，则f (25)= .【答案】15【解析】设f (x )=x α，则13=9α，所以α=-12，即f(x)=1 -2x，所以f(25)=15.5.(必修1P73练习3改编)已知幂函数y=(m2-5m+7)·2-6mx在(0，+∞)上单调递增，那么实数m= .【答案】3【解析】由题意得22-571-60m mm⎧+=⎨>⎩，，解得m=3.1.二次函数的三种表示方法：(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)；(2)两点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)；(3)顶点式：y=a(x-x0)2+n(a≠0).2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴、顶点坐标、开口方向是处理二次函数问题的重要依据.3.一元二次方程根的分布问题二次函数对应的一元二次方程的实数根的分布问题是一个比较复杂的问题，给定一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0(a>0).(1)若f(x)=0在(m，n)(m<n)内有且只有一个实数解，则需满足f(m)·f(n)<0或f(m)=0，另一根在(m，n)内或f(n)=0，另一根在(m，n)内.(2)若f(x)=0在(m，n)(m<n)内有两个实数解，则需满足2-40()0()0-2b acf mf nbm na⎧∆=≥⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪<<⎪⎩，，，.(3)设x 1，x 2为方程f (x )=0的两个实数根，若x 1<m<x 2，则f (m )<0；若m<x 1<n<p<x 2<q ，则需满足()0()0()0()0f m f n f p f q >⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩，，，.(4)若方程f (x )=0的两个实数根中一根小于m ，另一根大于n (m<n )，则需满足()0()0f m f n <⎧⎨<⎩，. (5)若一元二次方程f (x )=0的两个实数根都大于r ，则需满足2-40-2()0b ac br a f r ⎧∆=≥⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩，，.4.幂函数的图象与性质由幂函数y=x ，y=12x ，y=x 2，y=x -1，y=x 3的图象，可归纳出幂函数的性质如下：(1)幂函数在(0，+∞)上都有定义； (2)幂函数的图象都过点(1，1)；(3)当α>0时，幂函数的图象都过点(0，0)与(1，1)，且在(0，+∞)上单调递增； (4)当α<0时，幂函数的图象都不过点(0，0)，且在(0，+∞)上单调递减.5.五种幂函数的比较 (1)图象比较：(2)性质比较： 函数特征性质 y=xy=x 2y=x 3y=12xy=x -1定义域RRR[0，+∞){x|x ≠0}值域R [0，+∞) R [0，+∞) {y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增当x∈[0，+∞)时，单调递增；当x∈(-∞，0]时，单调递减增增当x∈(0，+∞)时，单调递减；当x∈(-∞，0)时，单调递减公共点(1，1)【要点导学】要点导学各个击破幂函数的图象与性质例1求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性.(1)y=23 x；(2)y=3-2 x；(3)y=x-2.【思维引导】求幂函数的定义域，宜先将分数指数幂写成根式，再确定定义域；判断函数奇偶性、单调性的方法，一般用定义法.【解答】(1)要使函数y=23x有意义，只需32x x∈R，所以函数y=23x的定义域是R.又f(-x)=f(x)，所以函数y=23x是偶函数，它在(-∞，0]上是减函数，在[0，+∞)上是增函数.(2)要使函数y=3-2x 有意义，只需y=31x 有意义，即x ∈(0，+∞)，所以函数y=3-2x 的定义域是(0，+∞).由于函数y=3-2x 的定义域不关于原点对称，所以函数y=3-2x 是非奇非偶函数，它在(0，+∞)上是减函数.(3)要使函数y=x -2有意义，只需y=21x 有意义，即x ≠0，所以函数y=x -2的定义域是{x|x ≠0}.又f (-x )=f (x )，所以函数y=x -2是偶函数，它在(-∞，0)上是增函数，在(0，+∞)上是减函数.【精要点评】熟练进行分数指数幂与根式的互化，是研究幂函数性质的基础.在函数解析式中含有分数指数幂时，可以把它们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域，求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.变式 如果幂函数f (x )=213-22p p x++(p ∈Z )是偶函数，且在(0，+∞)上是增函数，求p 的值，并写出相应的函数f (x )的解析式.【解答】因为f (x )在(0，+∞)上是增函数，所以-12p 2+p+32>0，即p 2-2p-3<0，所以-1<p<3.又因为f (x )是偶函数且p ∈Z ，所以p=1，故f (x )=x 2.【精要点评】幂函数y=x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降.(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凹；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凹.求二次函数的解析式例2 已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>-2x 的解集为(1，3).(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根，求函数f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围.【思维引导】由不等式f(x)>-2x的解集为(1，3)，可先把f(x)表示出来，再利用方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求出a，从而求出f(x)的解析式，最后把其最大值表示出来，求a 的取值范围.【解答】(1)因为f(x)+2x>0的解集为(1，3)，所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a<0.于是f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a. ①由方程f(x)+6a=0，得ax2-(2+4a)x+9a=0. ②因为方程②有两个相等的根，所以Δ=[-(2+4a)]2-4a·9a=0，即5a2-4a-1=0，解得a=1或a=-1 5.又a<0，所以a=-1 5.将a=-15代入①得f(x)的解析式为f(x)=-15x2-65x-35.(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=212-aa xa+⎛⎫⎪⎝⎭-241a aa++及a<0，得f(x)的最大值为-241 a aa++.由241-0a aaa⎧++>⎪⎨⎪<⎩，，解得a<-2或-2<a<0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(-∞，-2)∪(-20).【精要点评】二次函数、一元二次不等式和一元二次方程之间具有非常密切的关系：一元二次不等式的解集的端点就是其对应的一元二次方程的根，也就是二次函数与x轴的交点.因而在解题时要充分利用它们之间的关系.变式 (2015·栟茶中学)已知二次函数f (x )=ax 2+bx+c 图象的顶点为(-1，10)，且方程ax 2+bx+c=0的两根的平方和为12，求二次函数f (x )的解析式.【解答】由题意可设f (x )=a (x+1)2+10， 即f (x )=ax 2+2ax+a+10，所以b=2a ，c=a+10. 设方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2， 则21x +22x =12，即(x 1+x 2)2-2x 1x 2=12，所以(-2)2-2×10a a =12，解得a=-2，所以f (x )=-2x 2-4x+8.二次函数的图象和性质(最值)微课3 ● 问题提出二次函数的图象与性质的重要应用是求函数的最值，那么利用二次函数的性质求函数的最大(小)值的解题模板是怎样的呢?● 典型示例例3 函数f (x )=2x 2-2ax+3在区间[-1，1]上的最小值记为g (a ). (1)求g (a )的函数表达式； (2)求g (a )的最大值. 【思维导图】【规范解答】(1)①当a<-2时，函数f (x )的对称轴x=2a<-1，则g (a )=f (-1)=2a+5；②当-2≤a ≤2时，函数f (x )的对称轴x=2a∈[-1，1]，则g (a )=f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=3-22a ； ③当a>2时，函数f (x )的对称轴x=2a>1，则g (a )=f (1)=5-2a.综上所述，g (a )=225-23--2225-2 2.a a a a a a +<⎧⎪⎪≤≤⎨⎪>⎪⎩，，，，，(2)①当a<-2时，由(1)知g (a )<1；②当-2≤a ≤2时，由(1)知g (a )∈[1，3]；③当a>2时，由(1)知g (a )<1.综合①②③可得g (a )max =3.【精要点评】(1)利用二次函数的性质求函数的最大(小)值，一定要结合图形来分析在何处取得最值，当题目中含有参数时，要根据对称轴与区间的位置关系分类讨论；(2)利用图象求函数的最大(小)值；(3)利用函数单调性判断函数的最大(小)值：如果函数y=f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减，则函数y=f (x )在x=b 处有最大值f (b )；如果函数y=f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增，则函数y=f (x )在x=b 处有最小值f (b ).● 总结归纳二次函数在某区间上的最值(或值域)的求法要熟练掌握，特别是含参数的两类问题(定轴动区间、定区间动轴)的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴.● 题组强化1.函数y=3+2x-x 2(0≤x ≤3)的最小值为 . 【答案】0【解析】因为y=3+2x-x 2=-(x-1)2+4，所以函数在[0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减， 所以y=3+2x-x 2(0≤x ≤3)的最小值为y=3+2×3-32=0.2.(2014·泰州中学)已知函数f (x )=x 2+(2a-1)x-3，若函数f (x )在[-1，3]上的最大值为1，则实数a= .【答案】-13或-1【解析】函数f(x)的对称轴为直线x=-2-12a.①当-2-12a≤1，即a≥-12时，f(x)max=f(3)=1，所以6a+3=1，即a=-13，满足题意；②当-2-12a>1，即a<-12时，f(x)max=f(-1)=1，所以-2a-1=1，即a=-1，满足题意.综上，a=-13或-1.3.(2015·南京阶段测试)设函数f(x)=x2-4x-4在闭区间[t，t+1](t∈R)上的最小值为g(t).(1)求g(t)的解析式.(2)作出g(t)的大致图象，并写出g(t)的最小值.【解答】(1)f(x)=x2-4x-4=(x-2)2-8.当t>2时，f(x)在[t，t+1]上是增函数，所以g(t)=f(t)=t2-4t-4；(第3题)当t≤2≤t+1，即1≤t≤2时，g(t)=f(2)=-8；当t+1<2，即t<1时，f(x)在区间[t，t+1]上是减函数，所以g(t)=f(t+1)=t2-2t-7.综上可知，g(t)=22-2-71 -812-4-4 2. t t ttt t t⎧<⎪≤≤⎨⎪>⎩，，，，，(2)g(t)的大致图象如图所示，由图象易知g(t)的最小值为-8.4.已知13≤a≤1，若f(x)=ax2-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)=M(a)-N(a).(1)求g(a)的函数表达式；(2)判断函数g(a)的单调性，并求出g(a)的最小值.【解答】(1)f(x)=ax2-2x+1=21-a xa⎛⎫⎪⎝⎭+1-1a，由题设知1≤1a≤3.当1≤1a≤2，即12≤a≤1时，M (a)=f(3)=9a-5，N(a)=f(x)min=1-1a，g(a)=9a-5-11-a⎛⎫⎪⎝⎭=9a+1a-6；当2<1a≤3，即13≤a<12时，M(a)=f(1)=a-1，N(a)=f(x)min=1-1a，g(a)=(a-1)-11-a⎛⎫⎪⎝⎭=a+1a-2.所以g(a)=111-232119-6 1.2a aaa aa⎧+≤<⎪⎪⎨⎪+≤≤⎪⎩，，，(2)当13≤a1<a2<12时，g(a2)-g(a1)=(a2-a1)1211a a⎛⎫-⎪⎝⎭<0，所以g(a)在1132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，最小值是g12⎛⎫⎪⎝⎭=12；当12≤a1<a2≤1时，g(a2)-g(a1)=(a2-a1)1219-a a⎛⎫⎪⎝⎭>0，所以g(a)在112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数，最小值是g12⎛⎫⎪⎝⎭=12. 三个“二次”之间的转换例4已知函数f(x)=x2，g(x)=x-1.(1)若存在x∈R使得f(x)<b·g(x)，求实数b的取值范围；(2)设F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2，且|F(x)|在[0，1]上单调递增，求实数m的取值范围.【思维引导】(1)存在x ∈R ，使得f (x )<b ·g (x )⇒x 2-bx+b<0的解集不是∅⇒二次函数f (x )=x 2-bx+b 的图象与x 轴有两个交点⇒Δ>0.(2)先结合判别式的符号研究函数y=F (x )的图象，再根据翻折变换研究函数y=|F (x )|在[0，1]上的图象，利用数形结合思想讨论对称轴和零点的位置确定参数m 的取值范围.【解答】(1)存在x ∈R ，f (x )<b ·g (x )⇒存在x ∈R ，使得x 2-bx+b<0⇒(-b )2-4b>0⇒b<0或b>4.故实数b 的取值范围为(-∞，0)∪(4，+∞). (2)F (x )=x 2-mx+1-m 2，Δ=m 2-4(1-m 2)=5m 2-4.①当Δ≤0，即-≤m≤时，必须2m≤0，则-≤m ≤0. ②当Δ>0，即m<-或m>时，设方程F (x )=0的根为x 1，x 2(x 1<x 2).若2m≥1，则x 1≤0，即212(0)1-0mF m ⎧≥⎪⎨⎪=≤⎩，⇒m ≥2；若2m≤0，则x 2≤0，即202(0)1-0mF m ⎧≤⎪⎨⎪=≥⎩，⇒-1≤m<-. 综上所述，实数m 的取值范围为[-1，0]∪[2，+∞).【精要点评】二次函数与一元二次方程、一元二次不等式统称三个“二次”，它们之间有着密切的联系，而二次函数又是三个“二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体.因此，有关三个“二次”的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.变式(2014·金陵中学)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0，c>0)的图象与x轴有两个不同的公共点，且f(c)=0，当0<x<c时，恒有f(x)>0.(1)当a=13，c=2时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，且ac=12，求a的值；(3)若f(0)=1，且f(x)≤m2-2m+1对所有的x∈[0，c]恒成立，求正实数m的最小值.【解答】当a=13，c=2时，f(x)=13x2+bx+2，因为f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，且f(2)=0，所以f(x)=0的一个根为2，设另一个根为x1，则2x1=6，即x1=3.所以f(x)<0的解集为{x|2<x<3}.(2)因为函数f(x)的图象与x轴有两个交点，且f(c)=0，所以f(x)=0的一个根为c，设另一个根为x2，则cx2=ca，即x2=1a.又当0<x<c时，恒有f(x)>0，则1a>c，则三个交点分别为(c，0)，1a⎛⎫⎪⎝⎭，，(0，c)，以三上交点为顶点的三角形的面积S=11-2ca⎛⎫⎪⎝⎭c=8，且ac=12，解得a=18，c=4.(3)当0<x<c时，恒有f(x)>0，则1a>c，所以f(x)在[0，c]上单调递减，且在x=0处取得最大值1.要使f(x)≤m2-2m+1对所有的x∈[0，c]恒成立，必须f(x)max=1≤m2-2m+1成立，所以m2-2m+1≥1，即m2-2m≥0，解得m≥2或m≤0，又m>0，所以m的最小值为2.1.(2015·启东中学)已知函数f(x)=x，x∈[-1，8]，函数g(x)=ax+2，x∈[-1，8]，若存在x∈[-1，8]，使f(x)=g(x)成立，则实数a的取值范围是.【答案】3-4∞⎛⎤⎥⎝⎦，∪[3，+∞)【解析】分别作出函数f(x)=x，x∈[-1，8]与函数g(x)=ax+2，x∈[-1，8]的图象.当直线经过点(-1，-1)时，a=3；当直线经过点(8，8)时，a=34.结合图象有a≤34或a≥3.2.(2014·南通一中)若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-2，0)，B(4，0)两点，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是.【答案】y=-x2+2x+8【解析】由题意设二次函数表达式为y=a(x+2)(x-4)(a<0)，对称轴为直线x=1，当x=1时，y max=-9a=9，所以a=-1，所以y=-(x+2)(x-4)=-x2+2x+8.3.(2016·苏州期中)设函数f(x)=2-40--30x xx x⎧>⎨<⎩，，，，若f(a)>f(1)，则实数a的取值范围是.【答案】(-∞，-1)∪(1，+∞)【解析】当a>0时，f(a)>f(1)⇒2a-4>-2⇒a>1；当a<0时，f(a)>f(1)⇒-a-3>-2⇒a<-1.故实数a的取值范围为(-∞，-1)∪(1，+∞).4.(2014·镇江期末)已知a∈R，函数f(x)=x2-2ax+5.(1)若不等式f(x)>0对任意的x∈(0，+∞)恒成立，求实数a的取值范围；(2)若a>1，且函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值.【解答】(1)因为x2-2ax+5>0对任意的x∈(0，+∞)恒成立，所以2a<x+5x对x>0恒成立.因为x>0时，x+5 x≥25，当且仅当x=5x，即x=5时取等号，所以min5xx⎛⎫+⎪⎝⎭=25，所以2a<25，即a<5.(2)因为f(x)=x2-2ax+5的图象的对称轴为x=a(a>1)，所以f(x)在[1，a]上为减函数，所以f(x)的值域为[f(a)，f(1)].又因为f(x)的值域为[1，a]，所以22()-251(1)1-25f a a af a a⎧=+=⎨=+=⎩，，解得a=2.【融会贯通】融会贯通能力提升(2014·南通调研)设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，求f(x)的最小值.【思维引导】【规范解答】①当x ≤a 时，函数f (x )=x 2-x+a+1=21-2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+a+34，其对称轴方程为x=12.………………………………………………………………………2分若a ≤12，则对称轴x=12在区间(-∞，a ]的右侧，f (x )在此区间上单调递减，此时f (x )的最小值为f (a )=a 2+1；……………………………………………………………4分若a>12，则对称轴x=12在区间(-∞，a ]内，此时f (x )的最小值为f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭=34+a (7)分②当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x-a+1=212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-a+34， 其对称轴方程为x=-12.………………………………………………………………………9分若a>-12，则对称轴x=-12在区间[a ，+∞)的左侧，f (x )在[a ，+∞)上单调递增，此时f (x )的最小值为f (a )=a 2+1.……………………………………………………………11分若a ≤-12，则对称轴x=-12在区间[a ，+∞)内，此时f (x )的最小值为f 1-2⎛⎫ ⎪⎝⎭=34-a.综上，当a ≤-12时，f (x )min =34-a ；当-1 2<a≤12时，f(x)min=a2+1；当a>12时，f(x)min=34+a (14)分趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第17~18页.【检测与评估】第9课二次函数、幂函数一、填空题1.若函数f(x)=(m2-m-1)2-2-3m mx是幂函数，且在x∈(0，+∞)上是减函数，则实数m的值为.2.函数y=2x2-8x+2在区间[-1，3]上的值域为.3.已知幂函数f(x)=xα的部分对应值如下表：x 112f(x) 122则不等式f(|x|)≤2的解集是.4.若二次函数f(x)=ax2+bx+1满足f(x1)=f(x2)，则f(x1+x2)= .5.若函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2，+∞)上是单调增函数，则f(1)的取值范围为.6.若函数f(x)=-x2+(2a-1)|x|+1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a的取值范围是.7.(2014·苏中三市、连云港二调)已知对任意的x∈R，函数f(x)满足f(-x)=f(x)，且当x≥0时，f(x)=x2-ax+1.若f(x)有4个零点，则实数a的取值范围是.8.(2015·北京海淀区)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为实数，a≠0)的图象过点C(t，2)，且与x轴交于A，B两点，若AC⊥BC，则实数a= .(第8题)二、解答题9.设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0(a>0)有两个实数根x1，x2.(1)求(1+x1)(1+x2)的值；(2)求证：x1<-1且x2<-1；(3)如果1211010xx⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，试求a的最大值.10.设a为实数，函数f(x)=x|x-a|，其中x∈R.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明；(2)写出函数f(x)的单调区间.11.(2014·盐城一中)已知函数f(x)=ax2+bx+1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，若f(x)>x+k在区间[-3，-1]上恒成立，试求k的取值范围.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果) 12.已知函数f (x )=ax 2-|x |+2a -1(a 为实常数). (1)若a =1，求函数f (x )的单调区间；(2)若a >0，设函数f (x )在区间[1，2]的最小值为g (a )，求g (a )的表达式；【检测与评估答案】第9课 二次函数、幂函数1.2 【解析】由题意知m 2-m-1=1，解得m=2或m=-1.当m=2时，m 2-2m-3=-3，f (x )=x -3符合题意；当m=-1时，m 2-2m-3=0，f (x )=x 0不合题意.综上，m=2.2.[-6，12] 【解析】y=2(x-2)2-6，当x=2时，y 取得最小值为-6；当x=-1时，y 取得最大值为12.3.{x|-4≤x ≤4} 【解析】由f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭=⇒α=12，故f (|x|)≤2⇒|x 12|≤2⇒|x|≤4，故其解集为{x|-4≤x ≤4}.4.1 【解析】因为f (x 1)=f (x 2)且f (x )的图象关于直线x=-2b a 对称，所以x 1+x 2=-ba ，所以f (x 1+x 2)=f -b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=a ·22b a -b ·b a +1=1.5. [25，+∞) 【解析】由题意知8m≤-2，所以m ≤-16，所以f (1)=9-m ≥25.6. 12∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，【解析】f (x )=-x 2+(2a-1)|x|+1的图象是由函数f (x )=-x 2+(2a-1)x+1的图象变化得到的.第一步去除y 轴左侧的图象，保留y 轴右侧的图象，再作关于y 轴对称的图象.因为定义域被分成四个单调区间，所以f (x )=-x 2+(2a-1)x+1的对称轴在y 轴的右侧，使y 轴右侧有两个单调区间，对称后有四个单调区间，所以2-12a >0，即a>12.7.(2，+∞) 【解析】由题意得f (x )为偶函数.因为f (x )有4个零点，又f (0)=1>0，所以当x>0时，f (x )=x 2-ax+1有2个零点，所以202-40aa ⎧>⎪⎨⎪∆=>⎩，，解得a>2.8.-12 【解析】设y=a (x-x 1)(x-x 2)，由题设知a (t-x 1)(t-x 2)=2.又AC ⊥BC ，利用斜率关系得12-t x ·22-t x =-1，所以a=-12.9.(1)由题意知x 1+x 2=-1a ，x 1x 2=1a ，所以(1+x 1)(1+x 2)=1+(x 1+x 2)+x 1x 2=1-1a +1a =1.(2)令f (x )=ax 2+x+1(a>0)，由Δ=1-4a ≥0，得0<2a ≤12，所以一元二次方程f (x )的对称轴方程x=-12a ≤-2<-1.又f (-1)=a>0，所以f (x )的图象与x 轴的交点都在点(-1，0)的左侧，故x 1<-1且x 2<-1.(3)由(1)知x 1=211x +-1=-221x x +，所以12x x =-21110110x ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，，所以-211101111x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， 所以a=121x x =-2221x x +=2211---2x ⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦+14，故当-21x =12时，a 取得最大值14.10.(1) 当a=0时，f (x )=x|x|，因为定义域为R ，关于原点对称，且f (-x )=-x|-x|=-f (x )，所以f (x )为奇函数.当a ≠0时，因为f (a )=0，f (-a )=-a|2a|，所以f (-a )≠f (a )，f (-a )≠ -f (a )，所以f (x )是非奇非偶函数.(2) 当a=0时，f (x )=220-0x x x x ⎧≥⎨<⎩，，，，f (x )的单调增区间为(-∞，+∞)；当a>0时，f (x )=22--x ax x a x ax x a ⎧≥⎨+<⎩，，，，f (x )的单调增区间为-2a ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭，和(a ，+∞)，f (x )的单调减区间为2a a ⎛⎫⎪⎝⎭，； 当a<0时，f (x )=22--x ax x a x ax x a ⎧≥⎨+<⎩，，，，f (x )的单调增区间为(-∞，a )和2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，f (x )的单调减区间为2a a ⎛⎫⎪⎝⎭，.11.(1)由题意知f (-1)=a-b+1=0，且-2ba =-1，所以a=1，b=2.所以f (x )=x 2+2x+1，单调减区间为(-∞，-1]，单调增区间为[-1，+∞). (2)f (x )>x+k 在区间[-3，-1]上恒成立， 即x 2+x+1>k 在[-3，-1]上恒成立.设g (x )=x 2+x+1，x ∈[-3，-1]，有k<g (x )min . 因为g (x )在[-3，-1]上单调递减， 所以g (x )min =g (-1)=1.所以k<1，即k的取值范围为(-∞，1).12.(1) 当a=1时，f(x)=x2-|x|+1=22-1010x x xx x x⎧+≥⎨++<⎩，，，=2213-0241324x xx x⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++<⎪⎪⎝⎭⎩，，，，所以f(x)的单调增区间为11-022∞⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，f(x)的单调减区间为11--022∞⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，.(2) 由于a>0，当x∈[1，2]时，f(x)=ax2-x+2a-1=a21-2xa⎛⎫⎪⎝⎭+2a-14a-1.①当0<12a<1，即a>12时，f(x)在[1，2]上为增函数，g(a)=f(1)=3a-2；②当1≤12a≤2，即14≤a≤12时，g(a)=f12a⎛⎫⎪⎝⎭=2a-14a-1；③当12a>2，即0<a<14时，f(x)在[1，2]上为减函数，g(a)=f(2)=6a-3.综上，g(a)=16-3041112--144213-2.2a aa aaa a⎧<<⎪⎪⎪≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，，，，，21。
苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第二章第二节函数的单调性与最值教案文解析版
１．函数的单调性（１）单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f（x）的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量的值x１，x２当x１＜x２时，都有f（x１）＜f（x２），那么就说函数f（x）在区间D上是单调增函数当x１＜x２时，都有f（x１）＞f（x２），那么就说函数f（x）在区间D上是单调减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数y＝f（x）的单调区间．２．函数的最值前提设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足条件１对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；２存在x∈I，使得f（x）＝M１对于任意x∈I，都有f（x）≥M；２存在x∈I，使得f（x）＝M结论M为函数y＝f（x）的最大值M为函数y＝f（x）的最小值[小题体验]１．（２0１9·常州一中月考）f（x）＝|x＋２|的单调递增区间为________．答案：[—２，＋∞）２．若函数f（x）＝错误!在区间[２，a]上的最大值与最小值的和为错误!，则a＝________.解析：由f（x）＝错误!的图象知，f（x）＝错误!在（0，＋∞）上是减函数，因为[２，a]⊆（0，＋∞），所以f（x）＝错误!在[２，a]上也是减函数，所以f（x）max＝f（２）＝错误!，f（x）min＝f（a）＝错误!，所以错误!＋错误!＝错误!，所以a＝４．答案：４３．函数f（x）是在区间（—２,３）上的增函数，则y＝f（x＋５）的一个递增区间是________．解析：由—２＜x＋５＜３，得—7＜x＜—２，故y＝f（x＋５）的递增区间为（—7，—２）．答案：（—7，—２）１．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．２．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f （x）在区间（—１,0）上是减函数，在（0,１）上是减函数，但在（—１,0）∪（0,１）上却不一定是减函数，如函数f（x）＝错误!.３．两函数f（x），g（x）在x∈（a，b）上都是增（减）函数，则f（x）＋g（x）也为增（减）函数，但f（x）·g（x），错误!等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．[小题纠偏]１．（２0１9·海安期中）函数f（x）＝错误!的单调递减区间为________．答案：错误!和错误!２．已知函数f（x）＝log５（x２—３x—４），则该函数的单调递增区间为________．解析：由题意知x２—３x—４＞0，则x＞４或x＜—１，令y＝x２—３x—４，则其图象的对称轴为x＝错误!，所以y＝x２—３x—４的单调递增区间为（４，＋∞）．单调递减区间为（—∞，—１），由复合函数的单调性知f（x）的单调递增区间为（４，＋∞）．答案：（４，＋∞）错误!错误![题组练透]１．讨论函数f（x）＝错误!在x∈（—１,１）上的单调性．解：设—１＜x１＜x２＜１，则f（x１）—f（x２）＝错误!—错误!＝错误!.因为—１＜x１＜x２＜１，所以x２—x１＞0，x１x２＋１＞0，（x错误!—１）（x错误!—１）＞0，所以f（x１）—f（x２）＞0，即f（x１）＞f（x２），故函数f（x）在（—１,１）上为减函数．２．已知函数f（x）＝a＋错误!（a∈R），判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明．解：f（x）在（—∞，0），（0，＋∞）上均为减函数，证明如下：函数f（x）的定义域为（—∞，0）∪（0，＋∞），在定义域内任取x１，x２，使0＜x１＜x２，则f（x２）—f（x１）＝错误!—错误!＝错误!.因为0＜x１＜x２，所以２x１＜２x２，２x２＞１,２x１＞１，所以２x１—２x２＜0,２x１—１＞0,２x２—１＞0，从而f（x２）—f（x１）＜0，即f（x２）＜f（x１），所以f（x）在（0，＋∞）上为减函数，同理可证f（x）在（—∞，0）上为减函数．[谨记通法]１．定义法判断函数单调性的步骤取值错误!错误!错误!２．导数法判断函数单调性的步骤错误!错误!错误!错误!错误![典例引领]求下列函数的单调区间：（１）y＝—x２＋２|x|＋１；（２）y＝log错误!（x２—３x＋２）．解：（１）由于y＝错误!即y＝错误!画出函数图象如图所示，单调递增区间为（—∞，—１]和[0,１]，单调递减区间为[—１,0]和[１，＋∞）．（２）令u＝x２—３x＋２，则原函数可以看作y＝log错误!u与u＝x２—３x＋２的复合函数．令u＝x２—３x＋２＞0，则x＜１或x＞２．所以函数y＝log错误!（x２—３x＋２）的定义域为（—∞，１）∪（２，＋∞）．又u＝x２—３x＋２的对称轴x＝错误!，且开口向上．所以u＝x２—３x＋２在（—∞，１）上是单调减函数，在（２，＋∞）上是单调增函数．而y＝log错误!u在（0，＋∞）上是单调减函数，所以y＝log错误!（x２—３x＋２）的单调递减区间为（２，＋∞），单调递增区间为（—∞，１）．[由题悟法]确定函数的单调区间的３种方法[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．[即时应用]１．函数f（x）＝log２（x２—４）的单调递增区间为________．解析：令t＝x２—４＞0，解得x＜—２或x＞２，故函数f（x）的定义域为{x|x＜—２或x＞２}，且f（x）＝log２t.利用二次函数的性质可得，t ＝x ２—４在定义域{x |x ＜—２或x ＞２}内的单调递增区间为（２，＋∞），所以函数f （x ）的单调递增区间为（２，＋∞）．答案：（２，＋∞） ２．函数y ＝错误!2231x x －＋的单调递增区间为________．解析：令u ＝２x ２—３x ＋１＝２错误!２—错误!.因为u ＝２错误!２—错误!在错误!上单调递减，函数y ＝错误!u 在R 上单调递减． 所以y ＝错误!2231x x －＋在错误!上单调递增．答案：错误! 错误! 错误![锁定考向]高考对函数单调性的考查多以填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中． 常见的命题角度有： （１）求函数的值域或最值； （２）比较数值的大小； （３）利用单调性解函数不等式；（４）利用单调性求参数的取值范围或值．[题点全练]角度一：求函数的值域或最值１．（２0１9·启东中学检测）设m ∈R ，若函数f （x ）＝|x ３—３x —２m |＋m 在x ∈[0,２]上的最大值与最小值之差为３，则m ＝________.解析：令y ＝x ３—３x ，x ∈[0,２]，则y ′＝３x ２—３． 由y ′＞0，得１＜x ＜２；由y ′＜0，得0＜x ＜１，所以y ＝x ３—３x 在（0,１）上单调递减，在（１,２）上单调递增，所以当x ∈[0,２]时，y ＝x ３—３x 的值域为[—２,２]，y ＝x ３—３x —２m 的值域为[—２—２m,２—２m ]．１当m ＝0时，f （x ）max ＝２，f （x ）min ＝0，不符合题意；２当m ≥１时，f （x ）max ＝f （—２）＝２＋３m ，f （x ）min ＝f （２）＝３m —２，f （x ）max —f （x ）＝４，不符合题意；min３当0＜m＜１时，f（x）max＝f（—２）＝２＋３m，f（x）min＝m，f（x）max—f（x）min＝２＋２m＝３，解得m＝错误!，符合题意；４当—１＜m＜0时，f（x）max＝f（２）＝２—m，f（x）min＝m，f（x）max—f（x）min＝２—２m＝３，解得m＝—错误!，符合题意；５当m≤—１时，f（x）max＝２—m，f（x）min＝—２—m，f（x）max—f（x）min＝４，不符合题意．综上可得，m＝±错误!.答案：±错误!角度二：比较数值的大小２．设函数f（x）定义在实数集R上，它的图象关于直线x＝１对称，且当x≥１时，f（x）＝３x—１，则f错误!，f错误!，f错误!的大小关系为________________（用“＜”号表示）．解析：由题设知，f（x）的图象关于直线x＝１对称，当x＜１时，f（x）单调递减，当x≥１时，f（x）单调递增，所以f错误!＝f错误!＝f错误!＝f错误!，又错误!＜错误!＜错误!＜１，所以f错误!＞f错误!＞f 错误!，即f错误!＞f错误!＞f错误!.答案：f错误!＜f错误!＜f错误!角度三：利用单调性解函数不等式３．设函数f（x）＝错误!若f（a＋１）≥f（２a—１），则实数a的取值范围是________．解析：易知函数f（x）在定义域（—∞，＋∞）上是增函数，∵f（a＋１）≥f（２a—１），∴a＋１≥２a—１，解得a≤２．故实数a的取值范围是（—∞，２]．答案：（—∞，２]x）＞0４．定义在R上的奇函数y＝f（x）在（0，＋∞）上递增，且f 错误!＝0，求不等式f（log19的解集．解：∵y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且y＝f（x）在（0，＋∞）上递增．∴y＝f（x）在（—∞，0）上也是增函数，又f 错误!＝0，知f 错误!＝—f 错误!＝0．故原不等式f（log19x）＞0可化为f（log19x）＞f错误!或f错误!＜f（log19x）＜f错误!，∴log19x＞错误!或—错误!＜log19x＜0，解得0＜x＜错误!或１＜x＜３．∴原不等式的解集为错误!.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值５．（２0１9·南通调研）已知函数f（x）＝错误!（a＞0，且a≠１）满足对任意x１≠x２，都有错误!＜0成立，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知f（x）为减函数，所以错误!解得0＜a≤错误!.答案：错误![通法在握]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略（１）求函数最值（五种常用方法）（２）比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于填空题能数形结合的尽量用图象法求解．（３）解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．（４）利用单调性求参数的范围（或值）的方法１视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；２需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[提醒] １若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；２分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．[演练冲关]１．（２0１9·连云港调研）若函数f（x）＝错误!是在R上的减函数，则a的取值范围是________．解析：由题意得错误!解得—6≤a＜１．答案：[—6,１）２．函数f（x）＝—错误!＋b（a＞0）在错误!上的值域为错误!，则a＝________，b＝________.解析：因为f（x）＝—错误!＋b（a＞0）在错误!上是增函数，所以f错误!＝错误!，f（２）＝２．即错误!解得a＝１，b＝错误!.答案：１错误!３．已知函数f（x）＝ln（２＋|x|）—错误!，则使得f（x＋２）＞f（２x—１）成立的x的取值范围是________．解析：由f（—x）＝f（x）可得函数f（x）是定义域R上的偶函数，且x＞0时函数f（x）单调递增，则不等式等价于f（|x＋２|）＞f（|２x—１|），即|x＋２|＞|２x—１|，两边平方化简得３x２—8x—３＜0，解得—错误!＜x＜３．答案：错误!一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·如皋中学月考）函数f（x）＝|x２—２x＋２|的增区间是________．解析：因为函数f（x）＝|x２—２x＋２|＝|（x—１）２＋１|＝（x—１）２＋１，所以函数f（x）＝|x２—２x＋２|的增区间是[１，＋∞）．答案：[１，＋∞）２．函数y＝错误!—x（x≥0）的最大值为________．解析：令t＝错误!，则t≥0，所以y＝t—t２＝—错误!２＋错误!，结合图象知，当t＝错误!，即x＝错误!时，y max＝错误!.答案：错误!３．（２0１8·徐州质检）函数f（x）＝错误!x—log２（x＋２）在区间[—１,１]上的最大值为________．解析：因为y＝错误!x和y＝—log２（x＋２）都是[—１,１]上的减函数，所以y＝错误!x—log２（x ＋２）是在区间[—１,１]上的减函数，所以最大值为f（—１）＝３．答案：３４．已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递减，则满足f（２x—１）＜f（５）的x的取值范围是________．解析：因为偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递减，且f（２x—１）＜f（５），所以|２x—１|＞５，即x＜—２或x＞３．答案：（—∞，—２）∪（３，＋∞）５．若函数f（x）＝—x２＋２ax与g（x）＝（a＋１）１—x在区间[１,２]上都是减函数，则a的取值范围是________．解析：因为f（x）＝—x２＋２ax＝—（x—a）２＋a２在[１,２]上是减函数，所以a≤１．又g（x）＝（a＋１）１—x在[１,２]上是减函数．所以a＋１＞１，所以a＞0．综上可知0＜a≤１．答案：（0,１]6．（２0１9·海门中学高三检测）已知函数f（x）＝错误!满足对任意x１＜x２，都有f（x１）＜f（x２）成立，那么实数a的取值范围是________．解析：∵函数f（x）满足对任意x１＜x２，都有f（x１）＜f（x２）成立，∴函数f（x）在定义域上是增函数，则满足错误!即错误!解得错误!≤a＜２．答案：错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．设函数f（x）＝错误!在区间（—２，＋∞）上是增函数，则a的取值范围是________．解析：f（x）＝错误!＝a—错误!，因为函数f（x）在区间（—２，＋∞）上是增函数．所以错误!解得a≥１．答案：[１，＋∞）２．（２0１9·江阴高三检测）设a＞0且a≠１，函数f（x）＝log a|ax２—x|在[３,５]上是单调增函数，则实数a的取值范围为______________．解析：∵a＞0且a≠１，函数f（x）＝log a|ax２—x|＝log a|x·（ax—１）|在[３,５]上是单调增函数，∴当a＞１时，y＝x·（ax—１）在[３,５]上是单调增函数，且y＞0，满足f（x）是增函数；当0＜a＜１时，要使f（x）在[３,５]上是单调增函数，只需错误!解得错误!≤a＜错误!.综上可得，a＞１或错误!≤a＜错误!.答案：错误!∪（１，＋∞）３．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝错误!设函数f（x）＝—x＋３，g（x）＝log２x，则函数h（x）＝min{f（x），g（x）}的最大值是________．解析：依题意，h（x）＝错误!当0＜x≤２时，h（x）＝log２x是增函数，当x＞２时，h（x）＝—x ＋３是减函数，所以h（x）在x＝２时，取得最大值h（２）＝１．答案：１４．（２0１8·徐州一模）已知函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象关于y轴对称，当函数y＝f（x）和y＝g（x）在区间[a，b]上同时递增或者同时递减时，把区间[a，b]叫做函数y＝f（x）的“不动区间”，若区间[１,２]为函数f（x）＝|２x—t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是________．解析：因为函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于y轴对称，所以g（x）＝f（—x）＝|２—x—t|.因为区间[１,２]为函数f（x）＝|２x—t|的“不动区间”，所以函数f（x）＝|２x—t|和函数g（x）＝|２—x—t|在[１,２]上单调性相同，因为y＝２x—t和函数y＝２—x—t的单调性相反，所以（２x—t）（２—x—t）≤0在[１,２]上恒成立，即２—x≤t≤２x在[１,２]上恒成立，解得错误!≤t≤２．答案：错误!５．（２0１8·金陵中学月考）定义在[—２,２]上的函数f（x）满足（x１—x２）[f（x１）—f（x２）]＞0，x１≠x２，且f（a２—a）＞f（２a—２），则实数a的取值范围为________．解析：函数f（x）满足（x１—x２）[f（x１）—f（x２）]＞0，x１≠x２，所以函数在[—２,２]上单调递增，所以错误!所以错误!所以0≤a＜１．答案：[0,１）6．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，则f（—２），f（π），f （—３）的大小关系为____________（用“＜”表示）．解析：因为f（x）是偶函数，所以f（—３）＝f（３），f（—２）＝f（２）．又因为函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数，所以f（π）＞f（３）＞f（２），所以f（—２）＜f（—３）＜f（π）．答案：f（—２）＜f（—３）＜f（π）7．（２0１8·苏州高三暑假测试）已知函数f（x）＝x＋错误!（a＞0），当x∈[１,３]时，函数f（x）的值域为A，若A⊆[8,１6]，则a的值等于________．解析：因为A⊆[8,１6]，所以8≤f（x）≤１6对任意的x∈[１,３]恒成立，所以错误!对任意的x∈[１,３]恒成立，当x∈[１,３]时，函数y＝１6x—x２在[１,３]上单调递增，所以１6x—x２∈[１５,３9]，函数y＝8x—x２在[１,３]上也单调递增，所以8x—x２∈[7,１５]，所以错误!即a的值等于１５．答案：１５8．若函数f（x）＝a x（a＞0，a≠１）在[—１,２]上的最大值为４，最小值为m，且函数g（x）＝（１—４m）错误!在[0，＋∞）上是增函数，则a＝________.解析：函数g（x）在[0，＋∞）上为增函数，则１—４m＞0，即m＜错误!.若a＞１，则函数f（x）在[—１,２]上的最小值为错误!＝m，最大值为a２＝４，解得a＝２，错误!＝m，与m＜错误!矛盾；当0＜a＜１时，函数f（x）在[—１,２]上的最小值为a２＝m，最大值为a—１＝４，解得a＝错误!，m＝错误!.所以a＝错误!.答案：错误!9．已知函数f（x）＝a—错误!.（１）求证：函数y＝f（x）在（0，＋∞）上是增函数；（２）若f（x）＜２x在（１，＋∞）上恒成立，求实数a的取值范围．解：（１）证明：当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝a—错误!，设0＜x１＜x２，则x１x２＞0，x２—x１＞0，f（x２）—f（x１）＝错误!—错误!＝错误!—错误!＝错误!＞0，所以f（x）在（0，＋∞）上是增函数．（２）由题意a—错误!＜２x在（１，＋∞）上恒成立，设h（x）＝２x＋错误!，则a＜h（x）在（１，＋∞）上恒成立．任取x１，x２∈（１，＋∞）且x１＜x２，h（x１）—h（x２）＝（x１—x２）错误!.因为１＜x１＜x２，所以x１—x２＜0，x１x２＞１，所以２—错误!＞0，所以h（x１）＜h（x２），所以h（x）在（１，＋∞）上单调递增．故a≤h（１），即a≤３，所以实数a的取值范围是（—∞，３]．１0．（２0１9·江阴期中）设函数f（x）＝错误!是定义在（—１,１）上的奇函数，且f错误!＝错误!.（１）求函数f（x）的解析式；（２）用单调性定义证明f（x）在（—１,１）上是增函数；（３）解不等式f（|t|—１）＋f（t２）＜f（0）．解：（１）因为f（x）＝错误!是定义在（—１,１）上的奇函数，所以f（0）＝b＝0，所以f（x）＝错误!，而f错误!＝错误!＝错误!，解得a＝１，所以f（x）＝错误!，x∈（—１,１）．（２）证明：任取x１，x２∈（—１,１）且x１＜x２，则f（x１）—f（x２）＝错误!—错误!＝错误!.因为x１＜x２，所以x１—x２＜0，又因为x１，x２∈（—１,１），所以１—x１x２＞0，所以f（x１）—f（x２）＜0，即f（x１）＜f（x２），所以函数f（x）在（—１,１）上是增函数．（３）由题意，不等式f（|t|—１）＋f（t２）＜f（0）可化为f（|t|—１）＋f（t２）＜0，即f（t２）＜—f（|t|—１），因为f（x）是定义在（—１,１）上的奇函数，所以f（t２）＜f（１—|t|），所以错误!解得错误!＜t＜错误!且t≠0，所以该不等式的解集为错误!∪错误!.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（xy）＝f（x）＋f（y），f（３）＝１，当f （x）＋f（x—8）≤２时，x的取值范围是____________．解析：因为f（9）＝f（３）＋f（３）＝２，所以由f（x）＋f（x—8）≤２，可得f[x（x—8）]≤f （9），因为f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，所以有错误!解得8＜x≤9．答案：（8,9]２．已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）满足f错误!＝f（x１）—f（x２），且当x＞１时，f （x）＜0．（１）证明：f（x）为单调递减函数；（２）若f（３）＝—１，求f（x）在[２,9]上的最小值．解：（１）证明：任取x１，x２∈（0，＋∞），且x１＞x２，则错误!＞１，由于当x＞１时，f（x）＜0，所以f错误!＜0，即f（x１）—f（x２）＜0，因此f（x１）＜f（x２），所以函数f（x）在区间（0，＋∞）上是单调递减函数．（２）因为f（x）在（0，＋∞）上是单调递减函数，所以f（x）在[２,9]上的最小值为f（9）．由f错误!＝f（x１）—f（x２）得，f错误!＝f（9）—f（３），而f（３）＝—１，所以f（9）＝—２．所以f（x）在[２,9]上的最小值为—２．。
苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第二章第九节函数模型及其应用教案文解析版
１．几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0）反比例函数模型f（x）＝错误!＋b（k，b为常数且k≠0）二次函数模型f（x）＝ax２＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）指数函数模型f（x）＝ba x＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠１）对数函数模型f（x）＝b log a x＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠１）幂函数模型f（x）＝ax n＋b（a，b为常数，a≠0）（１）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；（２）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；（３）解模：求解函数模型，得出数学结论；（４）还原：将数学结论还原为实际意义的问题．以上过程用框图表示如下：[小题体验]１．（２0１9·徐州诊断）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过１0立方米的，按每立方米３元收费；用水超过１0立方米的，超过的部分按每立方米５元收费．某职工某月的水费为５５元，则该职工这个月实际用水为________立方米．解析：设该职工某月的实际用水为x立方米时，水费为y元，由题意得y＝错误!即y＝错误!易知该职工这个月的实际用水量超过１0立方米，所以５x—２0＝５５，解得x＝１５．答案：１５２．用１8 m的材料围成一块矩形场地，中间有两道隔墙．若使矩形面积最大，则能围成的最大面积是________m２.解析：设隔墙长为x m，则面积S＝x·错误!＝—２x２＋9x＝—２错误!２＋错误!.所以当x＝错误!时，能围成的面积最大，为错误!m２.答案：错误!１．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解题意，选择适当的函数模型．２．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．３．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．[小题纠偏]１．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为４000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0．３元，普通车存车费是每辆一次0．２元．若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是__________．答案：y＝—0．１x＋１２00（0≤x≤４000）２．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f（n）＝错误!n（n＋１）（２n＋１）吨，但如果年产量超过１５0吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．解析：各年产量为a n＝f（n）—f（n—１）＝错误!n（n＋１）（２n＋１）—错误!n（n—１）（２n—１）＝３n２（n∈N*），令３n２≤１５0，得１≤n≤５错误!.又n∈N*，所以１≤n≤7，故生产期限最长为7年．答案：7错误!错误![典例引领]某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段．已知跳水板AB长为２m，跳水板距水面CD的高BC为３m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m（h≥１）时达到距水面最大高度４m，规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．（１）当h＝１时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（２）若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．解：由题意，最高点为（２＋h,４），h≥１．设抛物线方程为y＝a[x—（２＋h）]２＋４．（１）当h＝１时，最高点为（３,４），方程为y＝a（x—３）２＋４．（*）将点A（２,３）代入（*）式得a＝—１．即所求抛物线的方程为y＝—x２＋6x—５．（２）将点A（２,３）代入y＝a[x—（２＋h）]２＋４，得ah２＝—１．由题意，方程a[x—（２＋h）]２＋４＝0在区间[５,6]内有一解．令f（x）＝a[x—（２＋h）]２＋４＝—错误![x—（２＋h）]２＋４，则错误!解得１≤h≤错误!.故达到比较好的训练效果时的h的取值范围是错误!.[由题悟法]二次函数模型问题的３个注意点（１）构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域；（２）二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；（３）解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．[即时应用]（２0１9·启东中学高三检测）某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创利润１万元，据评估，在生产条件不变的情况下，每裁员１人，则留岗员工每人每年可多创收0．0１万元，但每年需付给每个下岗工人0．４万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的错误!，设该企业裁员x人后纯收益为y万元．（１）写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；（２）当１４0＜a≤２80时，问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？（在保证能获得较大经济效益的情况下，应尽量少裁员）解：（１）由题意，y＝（a—x）（１＋0．0１x）—0．４x＝—错误!x２＋错误!x＋a，因为a—x≥错误!，所以x≤错误!.故x的取值范围为0≤x≤错误!且x∈N*.（２）由（１）知y＝—错误!错误!２＋错误!错误!２＋a，当１４0＜a≤２80时，0＜错误!—70≤错误!，当a为偶数时，x＝错误!—70，y取最大值；当a为奇数时，x＝错误!—70或x＝错误!—70，y取最大值，因尽可能少裁员，所以x＝错误!—70，所以当a为偶数时，应裁员错误!人；当a为奇数时，应裁员错误!人．错误!错误![典例引领]为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用２0年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系C（x）＝错误!（0≤x≤１0），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f（x）为隔热层建造费用与２0年的能源消耗费用之和．（１）求k的值及f（x）的表达式；（２）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．解：（１）由已知条件得C（0）＝8，则k＝４0，因此f（x）＝6x＋２0C（x）＝6x＋错误!（0≤x≤１0）．（２）f（x）＝6x＋１0＋错误!—１0≥２错误!—１0＝70（万元），当且仅当6x＋１0＝错误!，即x＝５时等号成立．所以当隔热层厚度为５cm时，总费用f（x）达到最小值，最小值为70万元．应用函数y＝x＋错误!模型的关键点（１）明确对勾函数是正比例函数f（x）＝ax与反比例函数f（x）＝错误!叠加而成的．（２）解决实际问题时一般可以直接建立f（x）＝ax＋错误!的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f（x）＝ax＋错误!的形式．（３）利用模型f（x）＝ax＋错误!求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．[即时应用]某隧道长２１５0 m，通过隧道的车速不能超过２0 m/s.一列有５５辆车身长都为１0 m的同一车型的车队（这种型号的车能行驶的最高速为４0 m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为x m/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤１0时，相邻两车之间保持２0 m的距离；当１0＜x≤２0时，相邻两车之间保持错误!m的距离．自第１辆车车头进入隧道至第５５辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．（１）将y表示为x的函数；（２）求车队通过隧道的时间y的最小值及此时车队的速度．（错误!≈１．7３）解：（１）当0＜x≤１0时，y＝错误!＝错误!，当１0＜x≤２0时，y＝错误!＝错误!＋9x＋１8，所以y＝错误!（２）当x∈（0,１0]时，在x＝１0时，y min＝错误!＝３78（s）．当x∈（１0,２0]时，y＝错误!＋9x＋１8≥１8＋２× 错误!＝１8＋１80错误!≈３２9．４（s），当且仅当9x＝错误!，即x≈１7．３（m/s）时取等号．因为１7．３∈（１0,２0]，所以当x＝１7．３（m/s）时，y min＝３２9．４（s），因为３78＞３２9．４，所以当车队的速度为１7．３m/s时，车队通过隧道的时间y有最小值３２9．４s.错误!错误!已知某物体的温度θ（单位：摄氏度）随时间t（单位：分钟）的变化规律是：θ＝m·２t＋２１—t（t≥0，并且m＞0）．（１）如果m＝２，求经过多少时间，物体的温度为５摄氏度；（２）若物体的温度总不低于２摄氏度，求m的取值范围．解：（１）若m＝２，则θ＝２·２t＋２１—t＝２错误!，当θ＝５时，２t＋错误!＝错误!，令２t＝x（x≥１），则x＋错误!＝错误!，即２x２—５x＋２＝0，解得x＝２或x＝错误!（舍去），此时t＝１．所以经过１分钟，物体的温度为５摄氏度．（２）物体的温度总不低于２摄氏度，即θ＝m·２t＋错误!≥２恒成立，亦即m≥２错误!恒成立．令错误!＝x，则0＜x≤１，所以m≥—２x２＋２x，因为—２x２＋２x＝—２错误!２＋错误!∈错误!，所以m≥错误!，因此，当物体的温度总不低于２摄氏度时，m的取值范围是错误!.[由题悟法]指数函数与对数函数模型的应用技巧（１）与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于１）的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．（２）在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．[即时应用]候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v（单位：m/s）与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋b log３错误!（其中a，b是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为３0个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为１m/s.（１）求出a，b的值；（２）若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于２m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解：（１）由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为３0个单位，故有a＋b log３错误!＝0，即a＋b＝0．当耗氧量为90个单位时，速度为１m/s，故a＋b log３错误!＝１，整理得a＋２b＝１．解方程组错误!得错误!（２）由（１）知，v＝a＋b log３错误!＝—１＋log３错误!.所以要使飞行速度不低于２m/s，则有v≥２，所以—１＋log３错误!≥２，即log３错误!≥３，解得错误!≥２7，即Q≥２70．所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于２m/s，则其耗氧量至少要２70个单位．一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．某种商品进价为４元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售１00件，当单价每增加１元，日均销量减少１0件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为２0元，则预计单价为________元/件时，利润最大．解析：设单价为6＋x，日均销售量为１00—１0x，则日利润y＝（6＋x—４）（１00—１0x）—２0＝—１0x２＋80x＋１80＝—１0（x—４）２＋３４0（0＜x＜１0）．所以当x＝４时，y max＝３４0．即单价为１0元/件，利润最大．答案：１0２．（２0１8·盐城中学检测）“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a错误!（a为常数），广告效应为D ＝R—A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为________．（用常数a表示）解析：D＝R—A＝a错误!—A，令t＝错误!（t＞0），则A＝t２，所以D＝at—t２＝—错误!２＋错误!a２.所以当t＝错误!a，即A＝错误!a２时，D取得最大值．答案：错误!a２３．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为３km（不超过３km按起步价付费）；超过３km但不超过8 km时，超过部分按每千米２．１５元收费；超过8 km时，超过部分按每千米２．8５元收费，另每次乘坐需付燃油附加费１元．现某人乘坐一次出租车付费２２．6元，则此次出租车行驶了________km.解析：设出租车行驶x km时，付费y元，则y＝错误!由y＝２２．6，解得x＝9．答案：9４．（２0１9·盐城调研）一批货物随１7列货车从A市以v km/h匀速直达B市，已知两地铁路线长４00 km，为了安全，两列货车间距离不得小于错误!２km，那么这批物资全部运到B市，最快需要________ h（不计货车的身长）．解析：设这批物资全部运到B市用的时间为y，因为不计货车的身长，所以设列车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为１6×错误!２时，时间最快．则y＝错误!＝错误!＋错误!≥２错误!＝8，当且仅当错误!＝错误!，即v＝１00时等号成立，y min＝8．答案：8５．（２0１9·南通模拟）用长度为２４的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．解析：设矩形场地的宽（即隔墙的长度）为x，则长为错误!，其面积S＝错误!·x＝１２x—２x２＝—２（x—３）２＋１8，当x＝３时，S有最大值１8，所以隔墙的长度为３．答案：３6．有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话m分钟的电话费由函数f（m）＝１．06×（0．５[m]＋１）（元）决定，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数．则从北京到上海通话时间为５．５分钟的电话费为________元．解析：因为m＝５．５，所以[５．５]＝6．代入函数解析式，得f（５．５）＝１．06×（0．５×6＋１）＝４．２４．答案：４．２４二保高考，全练题型做到高考达标１．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租２0元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t（分钟）与电话费s（元）的函数关系如图所示，当通话１５0分钟时，这两种方式电话费相差________元．解析：依题意可设s A（t）＝２0＋kt，s B（t）＝mt，又s A（１00）＝s B（１00），所以１00k＋２0＝１00m，得k—m＝—0．２，于是s A（１５0）—s B（１５0）＝２0＋１５0k—１５0m＝２0＋１５0×（—0．２）＝—１0，即两种方式电话费相差１0元．答案：１0２．某商店已按每件80元的成本购进某商品１000件，根据市场预测，销售价为每件１00元时可全部售完，定价每提高１元时销售量就减少５件，若要获得最大利润，销售价应定为每件________元．解析：设售价提高x元，利润为y元，则依题意得y＝（１000—５x）×（１00＋x）—80×１000＝—５x２＋５00x＋２0 000＝—５（x—５0）２＋３２５00，故当x＝５0时，y max＝３２５00，此时售价为每件１５0元．答案：１５0３．（２0１9·海安中学检测）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司全年投入研发资金１３0万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长１２%，则该公司全年投入的研发资金开始超过２00万元的年份是________．（参考数据：lg １．１２≈0．0５，lg １．３≈0．１１，lg ２≈0．３0）解析：设后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过２00万元，由１３0（１＋１２%）n＞２00，得１．１２n＞错误!，两边取常用对数，得n＞错误!≈错误!＝３．8，所以n≥４，所以从２0２１年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过２00万元．答案：２0２１年４．（２0１9·启东中学检测）某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y１与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y２与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站１0千米处建仓库，这两项费用y１，y２分别是２万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．解析：由题意设仓库在离车站x千米处，则y１＝错误!，y２＝k２x，其中x＞0，由错误!得错误!，即y１＋y２＝错误!＋错误!x≥２错误!＝8，当且仅当错误!＝错误!x，即x＝５时等号成立．答案：５５．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝a e nt.假设过５分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有错误!，则m＝________.解析：根据题意知错误!＝e５n，令错误!a＝a e nt，即错误!＝e nt，因为错误!＝e５n，故错误!＝e１５n，比较知t＝１５，m＝１５—５＝１0．答案：１06．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为１0海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶１0海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．解析：设每小时的总费用为y元，则y＝kv２＋96，又当v＝１0时，k×１0２＝6，解得k＝0．06，所以每小时的总费用y＝0．06v２＋96，匀速行驶１0海里所用的时间为错误!小时，故总费用为W＝错误!y＝错误!（0．06v２＋96）＝0．6v＋错误!≥２错误!＝４8，当且仅当0．6v＝错误!，即v＝４0时等号成立．故总费用最小时轮船的速度为４0海里/小时．答案：４07．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料（如图），为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图阴影部分）备用，则截取的矩形面积的最大值为________．解析：依题意知：错误!＝错误!，即x＝错误!（２４—y），所以阴影部分的面积S＝xy＝错误!（２４—y）·y＝错误!（—y２＋２４y）＝—错误!（y—１２）２＋１80．所以当y＝１２时，S有最大值为１80．答案：１808．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励１万元．销售额x为6４万元时，奖励４万元．若公司拟定的奖励模型为y＝a log４x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为______（万元）．解析：依题意得错误!即错误!解得a＝２，b＝—２．所以y＝２log４x—２，当y＝8时，即２log４x—２＝8．x＝１0２４（万元）．答案：１0２４9．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w（单位：百千克）与肥料费用x（单位：百元）满足如下关系：w＝４—错误!，且投入的肥料费用不超过５百元，此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）２x百元．已知这种水蜜桃的市场售价为１6元/千克（即１6百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L（x）（单位：百元）．（１）求L（x）的函数关系式，并写出定义域；（２）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？解：（１）L（x）＝１6错误!—x—２x＝6４—错误!—３x，x∈（0,５]．（２）法一：L（x）＝6４—错误!—３x＝67—错误!≤67—２错误!＝４３，当且仅当错误!＝３（x＋１），即x＝３时取等号．故L（x）max＝４３．答：当投入的肥料费用为３00元时，该水密桃树获得的利润最大，为４３00元．法二：L′（x）＝错误!—３，令L′（x）＝0，得x＝３．故当x∈（0,３）时，L′（x）＞0，L（x）在（0,３）上单调递增；当x∈（３,５]时，L′（x）＜0，L（x）在（３,５]上单调递减．故L（x）max＝L（３）＝４３．答：当投入的肥料费用为３00元时，该水蜜桃树获得的利润最大，为４３00元．１0．（２0１9·镇江调研）如图，政府有一个边长为４00 m的正方形公园ABCD，在以四个角的顶点为圆心，以１５0 m为半径的四分之一圆内都种植了花卉．现在中间修建一块长方形的活动广场P Q MN，其中P，Q，M，N四点都在相应的圆弧上，并且活动广场边界与公园边界对应平行，记∠Q BC＝α，长方形活动广场的面积为S.（１）请把S表示成关于α的函数关系式；（２）求S的最小值．解：（１）过Q作Q E⊥BC于E，连结B Q（图略）．在Rt△B Q E中，BE＝１５0cos α，Q E＝１５0sin α，0≤α≤错误!，可得矩形P Q MN的P Q＝４00—３00sin α，Q M＝４00—３00cos α，则S＝P Q·Q M＝（４00—３00sin α）（４00—３00cos α）＝１0 000（４—３sin α）（４—３cos α），α∈错误!.（２）由（１）知，S＝１0 000[１6—１２（sin α＋cos α）＋9sin αcos α]，设t＝sin α＋cos α＝错误!sin 错误!，则错误!≤α＋错误!≤错误!，可得１≤t≤错误!，sin αcos α＝错误!，∴S＝１0 000错误!＝５000错误!.∴当t＝错误!时，S取得最小值５000×7＝３５000 m２.三上台阶，自主选做志在冲刺名校某辆汽车以x千米/时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤１２0）时，每小时的耗油量（所需要的汽油量）为错误!错误!升，其中k为常数，且60≤k≤１00．（１）若汽车以１２0千米/时的速度行驶时，每小时的耗油量为１１．５升，欲使每小时的耗油量不超过9升，求x的取值范围；（２）求该汽车行驶１00千米的耗油量的最小值．解：（１）由题意知，当x＝１２0时，错误!错误!＝１１．５，∴k＝１00，由错误!错误!≤9，得x２—１４５x＋４５00≤0，∴４５≤x≤１00．又60≤x≤１２0，∴60≤x≤１00．故x的取值范围为[60,１00]．（２）设该汽车行驶１00千米的耗油量为y升，则y＝错误!·错误!错误!＝２0—错误!＋错误!（60≤x≤１２0）．令t＝错误!，则t∈错误!，∴y＝90 000t２—２0kt＋２0＝90 000错误!２＋２0—错误!，∴该函数图象的对称轴为直线t＝错误!.∵60≤k≤１00，∴错误!∈错误!.１若错误!≥错误!，即7５≤k≤１00，则当t＝错误!，即x＝错误!时，y min＝２0—错误!.２若错误!＜错误!，即60≤k＜7５，则当t＝错误!，即x＝１２0时，y min＝错误!—错误!.答：当7５≤k≤１00时，该汽车行驶１00千米的耗油量的最小值为错误!升；当60≤k＜7５时，该汽车行驶１00千米的耗油量的最小值为错误!升．命题点一基本初等函数（Ⅰ）１．（２0１7·全国卷Ⅰ改编）设x，y，z为正数，且２x＝３y＝５z，则２x,３y,５z的大小关系为________．解析：设２x＝３y＝５z＝k＞１，所以x＝log２k，y＝log３k，z＝log５k.因为２x—３y＝２log２k—３log３k＝错误!—错误!＝错误!＝错误!＝错误!＞0，所以２x＞３y；因为３y—５z＝３log３k—５log５k＝错误!—错误!＝错误!＝错误!＝错误!＜0，所以３y＜５z；因为２x—５z＝２log２k—５log５k＝错误!—错误!＝错误!＝错误!＝错误!＜0，所以５z＞２x.所以５z＞２x＞３y.答案：５z＞２x＞３y２．（２0１8·天津高考改编）已知a＝log３错误!，b＝错误!13，c＝log13错误!，则a，b，c的大小关系为________．解析：∵c＝log13错误!＝log３５，a＝log３错误!，又y＝log３x在（0，＋∞）上是增函数，∴log３５＞log３错误!＞log３３＝１，∴c＞a＞１．∵y＝错误!x在（—∞，＋∞）上是减函数，∴错误!13＜错误!0＝１，即b＜１．∴c＞a＞b.答案：c＞a＞b３．（２0１５·江苏高考）不等式２2x x－＜４的解集为________．解析：因为２x２—x＜４，所以２2x x－＜２２，所以x２—x＜２，即x２—x—２＜0，所以—１＜x＜２．答案：（—１,２）４．（２0１５·全国卷Ⅰ）若函数f（x）＝x ln（x＋错误!）为偶函数，则a＝________.解析：因为f（x）为偶函数，所以f（—x）—f（x）＝0恒成立，所以—x ln（—x＋错误!）—x ln（x＋错误!）＝0恒成立，所以x ln a＝0恒成立，所以ln a＝0，即a ＝１．答案：１５．（２0１8·上海高考）已知常数a＞0，函数f（x）＝错误!的图象经过点P错误!，Q错误!，若２p ＋q＝３6pq，则a＝________.解析：因为函数f（x）的图象经过点P错误!，Q错误!，所以f（p）＋f（q）＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!—错误!＝１，化简得２p＋q＝a２pq.因为２p＋q＝３6pq，所以a２＝３6且a＞0，所以a＝6．答案：66．（２0１6·江苏高考）已知函数f（x）＝a x＋b x（a＞0，b＞0，a≠１，b≠１）．（１）设a＝２，b＝错误!.１求方程f（x）＝２的根；２若对于任意x∈R，不等式f（２x）≥mf（x）—6恒成立，求实数m的最大值．（２）若0＜a＜１，b＞１，函数g（x）＝f（x）—２有且只有１个零点，求ab的值．解：（１）因为a＝２，b＝错误!，所以f（x）＝２x＋２—x.１方程f（x）＝２，即２x＋２—x＝２，亦即（２x）２—２×２x＋１＝0，所以（２x—１）２＝0，即２x＝１，解得x＝0．２由条件知f（２x）＝２２x＋２—２x＝（２x＋２—x）２—２＝（f（x））２—２．因为f（２x）≥mf（x）—6对于x∈R恒成立，且f（x）＞0，所以m≤错误!对于x∈R恒成立．而错误!＝f（x）＋错误!≥２错误!＝４，且错误!＝４，所以m≤４，故实数m的最大值为４．（２）因为函数g（x）＝f（x）—２＝a x＋b x—２有且只有１个零点，而g（0）＝f（0）—２＝a0＋b0—２＝0，所以0是函数g（x）的唯一零点．因为g′（x）＝a x ln a＋b x ln b，又由0＜a＜１，b＞１知ln a＜0，ln b＞0，所以g′（x）＝0有唯一解x0＝log错误!.ba令h（x）＝g′（x），则h′（x）＝（a x ln a＋b x ln b）′＝a x（ln a）２＋b x（ln b）２，从而对任意x∈R，h′（x）＞0，所以g′（x）＝h（x）是（—∞，＋∞）上的单调增函数．于是当x∈（—∞，x0）时，g′（x）＜g′（x0）＝0；当x∈（x0，＋∞）时，g′（x）＞g′（x0）＝0．因而函数g（x）在（—∞，x0）上是单调减函数，在（x0，＋∞）上是单调增函数．下证x0＝0．若x0＜0，则x0＜错误!＜0，于是g错误!＜g（0）＝0．又g（log a２）＝a log a２＋b log a２—２＞a log a２—２＝0，且函数g（x）在以错误!和log a２为端点的闭区间上的图象不间断，所以在错误!和log a２之间存在g（x）的零点，记为x１.因为0＜a＜１，所以log a２＜0．又错误!＜0，所以x１＜0，与“0是函数g（x）的唯一零点”矛盾．若x0＞0，同理可得，在错误!和log b２之间存在g（x）的非0的零点，与“0是函数g（x）的唯一零点”矛盾．因此，x0＝0．于是—错误!＝１，故ln a＋ln b＝0，所以ab＝１．7．（２0１6·上海高考）已知a∈R，函数f（x）＝log２错误!.（１）当a＝５时，解不等式f（x）＞0；（２）若关于x的方程f（x）—log２[（a—４）x＋２a—５]＝0的解集中恰有一个元素，求a的取值范围；（３）设a＞0，若对任意t∈错误!，函数f（x）在区间[t，t＋１]上的最大值与最小值的差不超过１，求a的取值范围．解：（１）由log２错误!＞0，得错误!＋５＞１，解得x∈错误!∪（0，＋∞）．（２）由原方程可得错误!＋a＝（a—４）x＋２a—５，即（a—４）x２＋（a—５）x—１＝0．１当a＝４时，x＝—１，经检验，满足题意．２当a＝３时，x１＝x２＝—１，经检验，满足题意．３当a≠３且a≠４时，x１＝错误!，x２＝—１，x１≠x２.若x１是原方程的解，则错误!＋a＞0，即a＞２；若x２是原方程的解，则错误!＋a＞0，即a＞１．由题意知x１，x２只有一个为方程的解，所以错误!或错误!于是满足题意的a∈（１,２]．综上，a的取值范围为（１,２]∪{３,４}．（３）易知f（x）在（0，＋∞）上单调递减，所以函数f（x）在区间[t，t＋１]上的最大值与最小值分别为f（t），f（t＋１）．f（t）—f（t＋１）＝log２错误!—log２错误!≤１，即at２＋（a＋１）t—１≥0对任意t∈错误!恒成立．因为a＞0，所以函数y＝at２＋（a＋１）t—１在区间错误!上单调递增，当t＝错误!时，y有最小值错误!a—错误!.由错误!a—错误!≥0，得a≥错误!.故a的取值范围为错误!.命题点二函数与方程１．（２0１7·江苏高考）设f（x）是定义在R上且周期为１的函数，在区间[0,１）上，f（x）＝错误!其中集合D＝错误!，则方程f（x）—lg x＝0的解的个数是________．解析：由于f（x）∈[0,１），因此只需考虑１≤x＜１0的情况，在此范围内，当x∈Q且x∉Z时，设x＝错误!，q，p∈N*，p≥２且p，q互质．若lg x∈Q，则由lg x∈（0,１），可设lg x＝错误!，m，n∈N*，m≥２且m，n互质，因此１0错误!＝错误!，则１0n＝错误!m，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x∉Q，故lg x不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等，只需考虑lg x与每个周期内x∉D部分的交点．画出函数草图（如图），图中交点除（１,0）外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x∉D的部分，且x＝１处（lg x）′＝错误!＝错误!＜１，则在x＝１附近仅有一个交点，因此方程f（x）—lg x＝0的解的个数为8．答案：8２．（２0１５·江苏高考）已知函数f（x）＝|ln x|，g（x）＝错误!则方程|f（x）＋g（x）|＝１实根的个数为________．解析：１当0＜x≤１时，方程为—ln x＝１，解得x＝错误!.２当１＜x＜２时，f（x）＋g（x）＝ln x＋２—x２单调递减，值域为（ln ２—２,１），方程f（x）＋g（x）＝１无解，方程f（x）＋g（x）＝—１恰有一解．３当x≥２时，f（x）＋g（x）＝ln x＋x２—6单调递增，值域为[ln ２—２，＋∞），方程f（x）＋g （x）＝１恰有一解，方程f（x）＋g（x）＝—１恰有一解．综上所述，原方程有４个实根．答案：４３．（２0１8·全国卷Ⅰ改编）已知函数f（x）＝错误!g（x）＝f（x）＋x＋a.若g（x）存在２个零点，则a的取值范围是________．解析：令h（x）＝—x—a，则g（x）＝f（x）—h（x）．在同一坐标系中画出y＝f（x），y＝h（x）的示意图，如图所示．若g（x）存在２个零点，则y＝f（x）的图象与y＝h（x）的图象有２个交点，平移y＝h（x）的图象，可知当直线y＝—x—a过点（0,１）时，有２个交点，此时１＝—0—a，a＝—１．当y＝—x—a在y＝—x＋１上方，即a＜—１时，仅有１个交点，不符合题意．当y＝—x—a在y＝—x＋１下方，即a＞—１时，有２个交点，符合题意．综上，a的取值范围是[—１，＋∞）．答案：[—１，＋∞）４．（２0１8·天津高考）已知a＞0，函数f（x）＝错误!若关于x的方程f（x）＝ax恰有２个互异的实数解，则a的取值范围是________．解析：法一：作出函数f（x）的大致图象如图所示．l１是过原点且与抛物线y＝—x２＋２ax—２a相切的直线，l２是过原点且与抛物线y＝x２＋２ax＋a相切的直线．由图可知，当直线y＝ax在l１，l２之间（不含直线l１，l２）变动时，符合题意．由错误!消去y，整理得x２—ax＋２a＝0．由Δ＝a２—8a＝0，得a＝8（a＝0舍去）．由错误!消去y，整理得x２＋ax＋a＝0．由Δ＝a２—４a＝0，得a＝４（a＝0舍去）．综上可得a的取值范围是（４,8）．法二：当x≤0时，由x２＋２ax＋a＝ax，得a＝—x２—ax；当x＞0时，由—x ２＋２ax—２a＝ax，得２a＝—x２＋ax.令g（x）＝错误!作出直线y＝a，y＝２a，函数g（x）的图象如图所示，g（x）的最大值为—错误!＋错误!＝错误!，由图象可知，若f（x）＝ax恰有２个互异的实数解，则a＜错误!＜２a，解得４＜a＜8．答案：（４,8）命题点三函数模型及其应用１．（２0１8·浙江高考）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则错误!当z＝8１时，x＝______，y＝_______.解析：由题意，得错误!即错误!解得错误!答案：8 １１２．（２0１５·江苏高考）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l１，l２，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l１，l２的距离分别为５千米和４0千米，点N到l１，l２的距离分别为２0千米和２．５千米．以l２，l１所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y＝错误!（其中a，b为常数）模型．（１）求a，b的值．（２）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.１请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域．２当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．解：（１）由题意知，点M，N的坐标分别为（５,４0），（２0，２．５）．将其分别代入y＝错误!，得错误!解得错误!（２）１由（１）知，y＝错误!（５≤x≤２0），则点P的坐标为错误!.设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B两点，y′＝—错误!，则l的方程为y—错误!＝—错误!（x—t），由此得A错误!，B错误!.故f（t）＝错误!＝错误!错误!，t∈[５,２0]．２设g（t）＝t２＋错误!，则g′（t）＝２t—错误!.令g′（t）＝0，解得t＝１0错误!.当t∈（５,１0错误!）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；当t∈（１0错误!，２0）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数．从而，当t＝１0错误!时，函数g（t）有极小值，也是最小值，所以g（t）min＝３00，此时f（t）min＝１５错误!.故当t＝１0错误!时，公路l的长度最短，最短长度为１５错误!千米．３．（２0１２·江苏高考）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为１千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx—错误!（１＋k２）x２（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（１）求炮的最大射程；（２）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为３．２千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解：（１）令y＝0，得kx—错误!（１＋k２）x２＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，故x＝错误!＝错误!≤错误!＝１0，当且仅当k＝１时取等号．所以炮的最大射程为１0千米．（２）因为a＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k＞0，使３．２＝ka—错误!（１＋k２）a２成立⇔关于k的方程a２k２—２0ak＋a２＋6４＝0有正根⇔判别式Δ＝（—２0a）２—４a２（a２＋6４）≥0⇔a≤6．所以当a不超过6（千米）时，可击中目标．。
江苏省淮阴中学高三数学一轮复习 第09课 二次函数学案1(无答案)
第09课 二次函数（1）一、基础自测1．已知函数2()2(21)3f x x m x =+-+ 是偶函数，则函数f （x ）在区间 [-1，2]内为 函数2．函数f(x)=11+x 2 (x ∈R)的值域是 3．当1≤x ≤3时, 函数f （x ））226x x c =-+的值域为4．已知二次函数f （x ）满足f （2）=-1，f （-1）=-1, 且f （x ）的最大值为8，则f （x ）的解析式为5．已知函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，且当x>0时f （x ）222x x =-+.则函数 f （x ）的解析式为6．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈（0，12〕成立，则a 的取值范围是 7． f （x ）=ax 2 +bx +c ，若关于x 的不等式f （x-1）≥ 0的解集为[0，1]，则关于x 的不等式f （x+1）≤0的解集为8．设函数2()22,f x x x =-+当[,1]x t t ∈+时最小值为()g t ，则()g t =二、例题讲解例1．已知二次函数f （x ）同时满足下列条件：①f （1+x ）= f （1-x ），②f （x ）的最大值为15,③f （x ）的两根立方和值为17，求f （x ）的解析式例2．已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(。
（1）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式；（2）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围例3．二次函数2()(0,)f x x bx c b c R =++≥∈.若f(x)的定义域为[1,0]-，值域也为[1,0]-，符合上述条件的函数f(x)是否存在？若存在，求出f(x)的表达式；若不存在，请说明情况.例4．已知11,3x ≤≤若2()21f x ax x =-+在区间[1,3]上的最大值为()M a ,最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-。
(江苏专用)届高考数学大一轮复习第二章第9课二次函数要点导学【含答案】
【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习第二章第9课二次函数要点导学要点导学各个击破求二次函数的解析式已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3),且方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根,求二次函数f(x)的解析式.[思维引导]由不等式f(x)>-2x的解集为(1,3),可先把f(x)表示出来,再利用方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根求出a,从而求出f(x)的解析式.[解答]因为f(x)+2x>0的解集为(1,3),所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a<0.于是f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.①由方程f(x)+6a=0,得ax2-(2+4a)x+9a=0.②因为方程②有两个相等的实数根,所以Δ=[-(2+4a)]2-4a·9a=0,即5a2-4a-1=0,解得a=1或a=-1 5.又a<0,所以a=-15.将a=-15代入①,得f(x)的解析式为f(x)=-15x2-65x-35.[精要点评]二次函数、一元二次不等式和一元二次方程之间具有非常密切的关系.一元二次不等式的解集的端点就是其对应的一元二次方程的根,也就是二次函数与x轴的交点.因而在解题时要充分利用它们之间的关系.【题组强化·重点突破】1. 已知某二次函数图象的顶点是(1,-3),且过点P(2,0),那么此函数的解析式是. [答案]y=3x2-6x[解析]待定系数法求解析式.2. (2014·大同模拟)已知二次函数f(x)=x2-2bx+a,满足f(x)=f(2-x),且方程f(x)-3a4=0有两个相等的实数根,求函数f(x)的解析式.[解答]由f(x)=f(2-x),得对称轴x=1,所以b=1,由方程f(x)-3a4=0,即x2-2x+a4=0有两个相等的实数根,得Δ=4-4×a4=0,解得a=4.所以f(x)=x2-2x+4.3. 已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(0)=-1,对任意的x∈R都有f(x)≥x-1,且f1-x2⎛⎫+⎪⎝⎭=f1--x2⎛⎫⎪⎝⎭,求函数f(x)的解析式.[解答]由f(x)=ax2+bx+c(a≠0)及f(0)=-1,得c=-1.又对任意的x∈R,有f1-x2⎛⎫+⎪⎝⎭=f1--x2⎛⎫⎪⎝⎭,所以f(x)图象的对称轴为直线x=-1 2,则-b2a=-12,a=b.又对任意的x∈R都有f(x)≥x-1,即ax2+(b-1)x≥0对任意的x∈R成立,所以2a0,Δ(b-1)-4a?00,>⎧⎨=≤⎩故a=b=1.所以f(x)=x2+x-1.二次函数的图象和性质(2014·镇江模拟)已知a∈R,函数f(x)=x2-2ax+5.(1) 若不等式f(x)>0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围;(2) 若a>1,且函数f(x)的定义域和值域均为[1,a],求实数a的值.[思维引导](1) 通过恒等变换将x2-2ax+5>0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,等价转换为2a<x+5x对x>0恒成立,然后求出实数a的取值范围; (2) 利用函数的单调性和函数f(x)的定义域和值域的关系求出实数a的值.[解答](1) 因为x2-2ax+5>0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,所以2a<x+5x 对x>0恒成立.因为x>0,所以x+5x ≥当且仅当x=5x ,即, 所以min 5x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以即故实数a 的取值范围是(-∞(2) 因为f(x)=x 2-2ax+5的图象的对称轴为x=a(a>1),所以f(x)在[1,a]上为减函数, 所以f(x)的值域为[f(a),f(1)],而已知值域为[1,a], 所以22f(a)a -2a 51,f(1)1-2a 5a,⎧=+=⎨=+=⎩解得a=2.(2014·屯溪一中)已知函数g(x)=ax 2-2ax+1+b(a>0)在[0,3]上有最大值4和最小值1,求a,b 的值.[解答]g(x)=a(x-1)2+1+b-a,因为a>0,对称轴为x=1,所以g(x)在区间[0,3]上是先减后增,且g(x)min =g(1),g(x)max =g(3), 故g(1)1,g(3)4,=⎧⎨=⎩即1b-a 1,3a 1b 4,+=⎧⎨++=⎩解得3a ,43b .4⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩一元二次方程实根的分布问题已知函数f(x)=x 2-(2a-1)x+a 2-2与x 轴非负半轴至少有一个交点,求实数a 的取值范围.[思维引导]本题可从韦达定理的角度进行考虑,也可从函数的角度进行探究.[解答]方法一:由题意知关于x 的方程x 2-(2a-1)x+a 2-2=0至少有一个非负实数根,设其根为x 1,x 2,则12Δ0,x x 0≥⎧⎨≤⎩或1212Δ0,x x 0,x x 0,≥⎧⎪>⎨⎪+>⎩解得a ≤94,故实数a的取值范围是94⎡⎤⎢⎥⎣⎦.方法二:由题意知f(0)≤0或f(0)0,2a-12Δ0,>⎧⎪⎪>⎨⎪≥⎪⎩,解得-≤a≤94,故实数a的取值范围是94⎡⎤⎢⎥⎣⎦.[精要点评]利用一元二次方程根的分布规律来解题时,首先应考虑实际问题中包含几种根的分布情况,利用数形结合的思想,再针对各种情况列出符合的条件,进一步求解出结果.(2014·江苏模拟)若关于x的方程x2+2kx-1=0的两根x1,x2满足-1≤x1<0<x2<2,求k的取值范围.[解答]构造函数f(x)=x2+2kx-1,因为关于x的方程x2+2kx-1=0的两根x1,x2满足-1≤x1<0<x2<2,所以f(-1)0,f(0)0,f(2)0,≥⎧⎪<⎨⎪>⎩即-2k0,-10,4k30,≥⎧⎪<⎨⎪+>⎩解得-34<k≤0.故k的取值范围是3-,04⎛⎤⎥⎝⎦.二次函数的实际应用(2014·泸州模拟)机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床,并立即投入生产使用,计划第一年维修、保养费用12万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元,该机床使用后,每年的总收入为50万元,设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.(1) 写出y与x之间的函数关系式;(2) 从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值)?[思维引导](1) 根据“利润=总收入-维修保养费用-购进数控机床的费用”求出y与x之间的函数关系式;(2) 解关于x的函数不等式.[解答](1) 依题意得y=50x-x(x-1)12x42⎡⎤+⨯⎢⎥⎣⎦-98=-2x2+40x-98(x∈N*).(2) 由-2x2+40x-98>0,得,<8,所以<18.又因为x∈N*,所以3≤x≤17,故从第3年开始盈利.经市场调查,某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t(天)的函数,且日销售量近似地满足g(t)=-13t+1123(1≤t≤100,t∈N).前40天价格为f(t)=14t+22(1≤t≤40,t∈N),后60天价格为f(t)=-12t+52(41≤t≤100,t∈N),试求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值.[规范答题]当1≤t≤40,t∈N时,S(t)=g(t)f(t)=11121-t t22334⎛⎫⎛⎫++⎪⎪⎝⎭⎝⎭=-112t2+2t+112223⨯=-112(t-12)2+25003, 所以768=S(40)≤S(t)≤S(12)=25003. (6分)当41≤t≤100,t∈N时,S(t)=g(t)f(t)=11121-t-t52332⎛⎫⎛⎫++⎪⎪⎝⎭⎝⎭=16t2-36t+112523⨯=16(t-108)2-83,所以8=S(100)≤S(t)≤S(41)=14912. (12分)所以S(t)的最大值为25003,最小值为8. (14分)1. 已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈(-∞,-1)时,它是单调减函数;当x∈(-1,+∞)时,它是单调增函数,那么实数m=.[答案]-4[解析]函数图象的对称轴方程为x=-1,即--m4=-1,所以m=-4.2. 函数f(x)=2x2-6x+1在区间[-1,1]上的最小值为,最大值为.[答案]-3 9[解析]配方,结合图象的对称轴与区间的关系直接求最值.3. (2014·江苏模拟)已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是[2,3],那么不等式x2-bx-a<0的解集是.[答案]11 -,-23⎛⎫ ⎪⎝⎭[解析]由题意知方程ax2-bx-1=0的根分别为x1=2,x2=3,所以由根与系数的关系得2+3=5=ba,2×3=6=-1a,解得a=-16,b=-56,则不等式x2-bx-a<0即为x2+56x+16<0,解得-12<x<-13.4. (2014·蚌埠模拟)对于任意实数x,函数f(x)=(5-a)x2-6x+a+5恒为正值,则a的取值范围是.[答案](-4,4)[解析]显然5-a≠0,即a≠5,由题意得5-a0,Δ36-4(5-a)(a5)0,>⎧⎨=+<⎩解得-4<a<4.[温馨提醒]趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第17-18页).。
2020版江苏高考数学一轮复习学案：第9课《二次函数》(含解析)
____第9课__二__次__函__数____1. 熟练掌握二次函数的图象和性质．2. 掌握二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会用二次函数的图象和性质讨论一元二次方程根的分布．3. 能解决与二次函数有关的一些综合性问题.1. 二次函数的三种形式：一般式、顶点式和两根式，会根据条件选择合适的形式．2. 二次函数的图象是抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性等，结合这些图象特征解决二次函数的问题，可以化难为易，形象直观．3. 二次函数性质的研究：首先根据二次函数的图象开口向上或向下，分a>0或a<0两种情况分类考虑；同时要特别关注二次函数的对称轴位置，即对称轴与所给区间的位置关系，这样可以得到二次函数的变化情况．此外要注意c 的值是抛物线与y 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等．4. 三个二次(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)以二次函数为核心，即二次函数图象与横轴的交点和在横轴的上方、下方.基础诊断1. 若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3(x ∈[a ，b])的图象关于直线x ＝1对称，则b ＝__6__．解析：由题意得－a ＋22＝1，解得a ＝－4，且a ＋b 2＝1，即－4＋b2＝1，解得b ＝6.2. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c且f(x 1)＝f(x 2)，则f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝__4ac －b 24a __．解析：由题意可知，x 1＋x 22＝－b2a，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝a·⎝⎛⎭⎫－b 2a 2＋b·⎝⎛⎭⎫－b 2a ＋c ＝4ac －b 24a . 3. 已知二次函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围为__[1，2]__．解析：由题意得函数y ＝x 2－2x ＋3图象的对称轴为直线x ＝1.当x ＝0时，y ＝3，当x ＝1时，y ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥1，m 2－2m ＋3≤3，解得1≤m ≤2，所以m 的取值范围是[1，2]．4. 如果方程x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ＝0的一根大于2，一根小于2，那么实数m 的取值范围是__(－∞，－3)__．解析：设f(x)＝x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2m －1）2－4（4－2m ）>0，f （2）＝4＋2（2m －1）＋4－2m<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m<－52或m>32，m<－3，所以m<－3，故实数m 的取值范围是(－∞，－3)．范例导航考向❶ 通过分类讨论对称轴与区间的位置关系，利用数形结合求最值 例1 求函数f(x)＝x 2－2ax ＋2(x ∈[2，4])的最小值．解析：f(x)图象的对称轴是直线x ＝a ，可分以下三种情况：①当a ＜2时，f(x)在[2，4]上为增函数，所以f(x)min ＝f(2)＝6－4a ； ②当2≤a ≤4时，f(x)min ＝f(a)＝2－a 2；③当a ＞4时，f(x)在[2，4]上为减函数，所以f(x)min ＝f(4)＝18－8a.综上所述，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ， a<2，2－a 2， 2≤a ≤4，18－8a ， a>4.已知函数f(x)＝x 2－2x ＋2(x ∈[t ，t ＋1])的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．解析：由题意得，f(x)＝(x －1)2＋1.①当t ＋1<1，即t<0时，g(t)＝f(t ＋1)＝t 2＋1; ②当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，g(t)＝f(1)＝1; ③当t>1时，g(t)＝f(t)＝t 2－2t ＋2. 综上所述，g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1， t<0，1， 0≤t ≤1，t 2－2t ＋2， t>1.考向❷ 利用三个二次之间的关系，以二次函数为核心解决问题例2 已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R)的图象过点(0，－3)，且f (x )>0的解集为(1，3)．(1) 若函数f (x )＝f (x )－mx 在区间(0，1)上单调递增，求实数m 的取值范围； (2) 求函数G (x )＝f (sin x )在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上的最值． 解析：(1) 因为f (x )>0的解集为(1，3)，所以二次函数与x 轴的交点为(1，0)和(3，0)， 所以可设f (x )＝a (x －1)(x －3)．又因为函数图象过点(0，－3)，代入f (x )得3a ＝－3，解得a ＝－1，所以f (x )＝－(x －1)(x －3)＝－x 2＋4x －3，所以f (x )＝－x 2＋4x －3－mx ＝－x 2＋(4－m )x －3.因为函数f (x )在区间(0，1)上单调递增， 所以－4－m2×（－1）≥1，解得m ≤2，故实数m 的取值范围是(－∞，2]．(2) 由题意得，G (x )＝－sin 2x ＋4sin x －3＝－(sin x －2)2＋1.因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以sin x ∈[0，1]， 所以当sin x ＝0时，G (x )min ＝－3；当sin x ＝1时，G (x )max ＝0，故函数G (x )的最大值为0，最小值为－3.若关于x 的方程sin 2x ＋cos x ＋a ＝0有实数根，试确定实数a 的取值范围．解析：由已知得a ＝－sin 2x －cos x ＝cos 2x －cos x －1＝⎝⎛⎭⎫cos x －122－54.因为－1≤cos x ≤1，所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－54，1.考向❸ 与绝对值综合的二次函数问题例3 已知a ∈R ，函数f (x )＝x |x －a |.(1) 当a ＝2时，写出函数y ＝f (x )的单调增区间；(2) 当a >2时，求函数y ＝f (x )在区间[1，2]上的最小值；(3) 设a ≠0，函数y ＝f (x )在区间(m ，n )上既有最大值又有最小值，请分别求出m ，n 的取值范围(用a 表示)．解析：(1) 当a ＝2时，f (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －2），x ≥2，x （2－x ）， x <2.由图象可知，y ＝f (x )的单调增区间为(－∞，1]，[2，＋∞)． (2) 因为a >2，x ∈[1，2]，所以f (x )＝x (a －x )＝－x 2＋ax ＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋a 24.当1<a 2≤32，即2<a ≤3时，f (x )min ＝f (2)＝2a －4；当a 2>32，即a >3时，f (x )min ＝f (1)＝a －1，所以f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －4，2<a ≤3，a －1， a >3.(3) f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －a ），x ≥a ，x （a －x ），x <a .①当a >0时，图象如图1所示. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a 24，y ＝x （x －a ），得x ＝1＋22a ，所以0≤m <a2，a <n ≤ 2＋12a .②当a <0时，图象如图2所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－a 24，y ＝x （a －x ），得x ＝1＋22a ，所以2＋12a ≤m <a ，a2<n ≤0. 图1 图2自测反馈1. 已知f(x)＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a －1，2a]上的偶函数，则a ，b 的值为__13，0__．解析：由题意得，f(－x)＝f(x)，即ax 2－bx ＋3a ＋b ＝ax 2＋bx ＋3a ＋b ，即2bx ＝0对任意x 恒成立，所以b ＝0.又因为a －1＝－2a ，解得a ＝13，所以a ，b 的值分别为13，0.2. 函数y ＝－x 2＋2||x ＋3的单调减区间是__[－1，0]和[1，＋∞)__．解析：令f(x)＝－x 2＋2|x|＋3，所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3， x<0， 即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋4，x ≥0，－（x ＋1）2＋4， x<0，所以当x ≥0时，函数f(x)的减区间为(1，＋∞)；当x<0时，函数f(x)的减区间为(－1，0)，故单调减区间为(－1，0)和(1，＋∞)．3. 若函数f(x)＝x 2－2x ＋1在区间[]a ，a ＋2上的最大值为4，则a 的值为__－1或1__． 解析：由题意得，f(x)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，对称轴为直线x ＝1.当a ≥0时，f(a ＋2)＝4，即(a ＋2)2－2(a ＋2)＋1＝4，解得a ＝1或a ＝－3(舍去)；当a<0时，f(a)＝4，即a 2－2a ＋1＝4，解得a ＝－1或a ＝3(舍去)． 综上，a 的值为1或－1.4. 若不等式x 4＋2x 2＋a 2－a －2≥0对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是__(－∞，－1]∪[2，＋∞)__.解析：由题意得x 4＋2x 2＋a 2－a －2≥0，即(x 2＋1)2≥－a 2＋a ＋3，所以－a 2＋a ＋3≤1，解得a ≥2或a ≤－1，所以实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．1. 求二次函数在给定区间上的值域时，要注意对称轴和给定区间的位置关系，必要时进行讨论．2. 抓住三个二次的核心，运用二次函数的图象和性质解决有关二次型问题．3. 你还有哪些体悟，写下来：。
2020江苏高考数学(理)(提高版)大一轮复习课件：第2章 第9课 二次函数、幂函数
求二次函数的解析式 已知二次函数 f (x)的二次项系数为 a，且不等式 f (x)>－2x 的解集为(1,3)． (1) 若方程 f (x)＋6a＝0 有两个相等的实数根，求函数 f (x)的解析式； 【思维引导】由不等式 f (x)>－2x 的解集为(1,3)，可先把 f (x)表示出来，再利用 方程 f (x)＋6a＝0 有两个相等的实数根，求出 a，从而求出 f (x)的解析式，最后把其 最大值表示出来，求 a 的取值范围．
5. 五种幂函数的比较
函数
定义域 值域 奇偶性
y＝x
R R 奇___函___数
y＝x2
R __[_0_，___＋___∞_)
__偶__函___数_
y＝x3
1
y＝x2
y＝x－1
R _[_0_，___＋___∞_) _{_x__|x_≠__0_}_
R _[_0_，___＋___∞_) _{__y_|y__≠_0_}_
【解析】设 f (x)＝xα，则13＝9α，所以 α＝－12，即 f (x)＝x－12，所以 f (25)＝15.
5. (必修 1P73 练习 3 改编)已知幂函数 y＝(m2－5m＋7)·xm2－6 在(0，＋∞)上单调递 增，那么实数 m＝____3____.
【解析】由题意得mm22－－56m>0＋，7＝1， 解得 m＝3.
(1) 幂函数在____(0__，___＋__∞__)_上都有定义； (2) 幂函数的图象都过点___(_1_,_1_)_； (3) 当 α>0 时，幂函数的图象都过点__(_0_,_0_)与_(_1_,_1_)，且在(0，＋∞)上单调_递___增_； (4) 当 α<0 时，幂函数的图象都__不___过_点(0,0)，且在(0，＋∞)上单调_递___减__．
【南方凤凰台】(江苏专用)高考数学大一轮复习 综合模拟卷二
2016高考综合模拟卷(2)数 学一、 填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分) 1. 设集合M={-1,0,1},N={x|x 2≤x},则M ∩N= .2. 某市高三数学抽样考试中,对90分以上(含90分)的成绩进行统计,其频率分布图如图所示,若130~140分数段的人数为90,则90~100分数段的人数为.(第2题)3. 一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)玩具的四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字.若连续两次抛掷这个玩具,则两次朝下的面上的数字之积为奇数的概率是 .4. 等比数列x,3x+3,6x+6,…的第4项是 .5. “x>y>0”是“xy >1”的 条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)6. 已知变量x,y 满足约束条件x 0,y 1,x y,≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩那么z=4x ·2y的最大值为 .7. 给出下列四个命题:①平行于同一平面的两个不重合的平面平行;②平行于同一直线的两个不重合的平面平行;③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行;④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行; 其中为真命题的是.(填序号)8. 设某流程图如图所示,该程序运行后输出的k的值是.(第8题)9. 在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长为.10. 已知函数πx-12⎛⎫⎪⎝⎭,x∈R.若cos θ=35,θ∈3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭,则fπ2θ3⎛⎫+⎪⎝⎭= .11. 设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当zxy取得最大值时,x+2y-z的最大值为.12. 若对任意的k∈R,|BA-k BC|≥|CA|恒成立,则△ABC的形状一定是.13. 已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的左焦点为F,椭圆C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF,若AB=10,AF=6,cos∠ABF=45,则椭圆C的离心率e= .14. 若不等式(mx-1)[3m 2-(x+1)m-1]≥0对任意的m ∈(0,+∞)恒成立,则实数x 的值为 .二、 解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分14分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,已知sin C+cos C=1-sin C2.(1) 求sin C 的值;(2) 若a 2+b 2=4(a+b)-8,求边c.16. (本小题满分14分)如图,AB 为圆O 的直径,点E,F 在圆上,四边形ABCD 为矩形,AB ∥EF,∠BAF=π3,M 为BD 的中点,平面ABCD ⊥平面ABEF.(1) 求证:BF ⊥平面DAF; (2) 求证:ME ∥平面DAF.(第16题)17. (本小题满分14分)如图,某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地,△ABC 外的地方种草,△ABC 的内接正方形PQRS 为一水池,其余的地方种花,若BC=a,∠ABC=θ,设△ABC 的面积为S 1,正方形的PQRS 面积为S 2. (1) 用a,θ表示S 1和S 2;(2) 当a 固定,θ变化时,求12S S 的最小值.(第17题)18. (本小题满分16分)如图,已知椭圆C 1:22y a +22x b =1(a>b>0)的短轴长为4,离心率为,其一个焦点在抛物线C 2:x 2=2py(p>0)的准线上,过点M(0,1)的直线交椭圆C 1于C,D 两点,交抛物线C 2于A,B 两点,分别过点A,B 作抛物线C 2的切线,两切线交于点Q. (1) 求C 1,C 2的方程; (2) 求△QCD 面积的最小值.(第18题)19. (本小题满分16分)已知数列{a n }的前三项分别为a 1=5,a 2=6,a 3=8,且数列{a n }的前n 项和S n 满足S n+m =12(S 2n +S 2m )-(n-m)2,其中m,n 为任意正整数.(1) 求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ;(2) 求满足2nS-32a n +33=k 2的所有正整数k,n.20. (本小题满分16分)设函数f n (x)=x n +bx+c(n ∈N *,b,c ∈R ).(1) 当n=2,b=1,c=-1时,求函数f n (x)在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内的零点; (2) 设n ≥2,b=1,c=-1,求证:f n (x)在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的零点; (3) 设n=2,若对任意的x 1,x 2∈[-1,1],有2122f (x )-f (x )≤4,求b 的取值范围.2016届高考综合模拟卷(2)1. {0,1} 【解析】因为N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1},所以M∩N={0,1}.2. 810 【解析】高三年级总人数为900.05=1 800;90~100分数段的人数的频率为0.45;90~100分数段的人数为1 800×0.45=810.3. 14【解析】共有16种等可能情况:(1,1),(1,2),(1,3)(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3)(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).两次朝下的面上的数字之积为奇数共有4种情况,所以所求概率为1 4.4. -24 【解析】由题意,(3x+3)2=x(6x+6),解得x=-1或x=-3.当x=-1时,3x+3=0,故舍去;所以x=-3.则等比数列前3项为-3,-6,-12,故第4项为-24.5. 充分不必要【解析】当x>y>0时,xy>1成立,反之不成立,例如x<y<0时也可得到xy>1.6. 8 【解析】如图,约束条件表示的是以(0,0),(0,1),(1,1)为顶点的三角形及其内部区域,目标函数z=4x·2y=22x+y,在顶点(1,1)处2x+y取得最大值3,目标函数取得最大值23=8.(第6题)7. ①④【解析】若α∥β,α∥γ,则β∥γ,即平行于同一平面的两个不重合的平面平行,故①正确;若a∥α,a∥β,则α与β平行或相交,故②错误;若α⊥γ,β⊥γ,则平面α与β平行或相交,故③错误;若a⊥α,a⊥β,则α与β平行,故④正确.8. 5 【解析】 阅读流程图知:运算规则是S=S ×k 2. 第一次循环:k=3,S=1×32=9; 第二次循环:k=5,S=9×52=225>100. 退出循环,其输出结果k=5.【解析】 圆x 2+y 2=4的圆心O(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离d=|-5|5=1,则10. 1725 【解析】 f π2θ3⎛⎫+ ⎪⎝⎭ππ2θ-312⎛⎫+ ⎪⎝⎭·cos π2θ4⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos 2θ-sin 2θ,因为cos θ=35,θ∈3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以sin θ=-45,所以sin 2θ=2sin θcos θ=-2425,cos 2θ=cos 2θ-sin 2θ=-725,所以f π2θ3⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos 2θ-sin 2θ=-725-24-25⎛⎫ ⎪⎝⎭=1725.11. 2 【解析】 由题意得z=x 2-3xy+4y 2,所以z xy =22x -3xy 4y xy +=x y +4y x -3≥当且仅当x y =4yx ,即x=2y 时,等号成立,所以x+2y-z=2y+2y-(4y 2-6y 2+4y 2)=-2(y-1)2+2≤2.12. 直角三角形 【解析】 对任意的k ∈R ,|BA -k BC |≥|CA |恒成立可以转化为:对任意的k ∈R ,k 2|BC |2-2k BA ·BC +2BA -2CA ≥0,所以(BA ·BC )2-BC 2(2BA -2CA )≤0,所以a 2c 2cos 2B-a 2(c 2-b 2)≤0,所以c 2cos 2B-c 2+b 2≤0,由正弦定理得sin 2C ≥1,所以C=π2.13. 57 【解析】由余弦定理得62=BF 2+102-2·10·BF ·45,解得BF=8,所以点A 到右焦点的距离也是8.由椭圆定义有2a=6+8=14,又2c=10,所以e=1014=57.14. 1 【解析】方法一:显然x>0,若x ≤0,则mx-1<0,而当m 充分大时,3m 2-(x+1)m-1>0,与题设矛盾.而当x>0时,要使(mx-1)[3m 2-(x+1)m-1]≥0,对任意的m ∈(0,+∞)恒成立.则关于m 的方程mx-1=0与3m 2-(x+1)m-1=0在(0,+∞)内有相同的根.所以321x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-(x+1)1x -1=0,解得x=1,x=-32(舍去).(第14题)方法二:设函数y 1=mx-1,y 2=3m 2-(x+1)m-1,要使不等式(mx-1)[3m 2-(x+1)m-1]≥0对任意的m ∈(0,+∞)恒成立,则必有x>0,作出两个函数图象如图所示,则有两个函数图象交于点1,0x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,即m=1x 是方程3m 2-(x+1)m-1=0的根,则有213x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-(x+1)1x -1=0,解得x=1,x=-32(舍去).15. (1) 由已知得2sin C 2cos C 2+1-2sin 2C2=1-sin C2, 即sin C C C 2cos -2sin 1222⎛⎫+ ⎪⎝⎭=0, 由sin C 2≠0得2cos C 2-2sin C2+1=0, 即sin C 2-cos C 2=12,两边平方得sin C=34.7分(2) 由sin C 2-cos C 2=12>0知sin C 2>cos C 2,则π4<C 2<π2,即π2<C<π,则由sin C=34得cos.因为a 2+b 2=4(a+b)-8,所以a2-4a+4+b2-4b+4=0,(a-2)2+(b-2)2=0, 所以a=2,b=2.由余弦定理得c2=a2+b2所以+1. 14分16. (1) 因为四边形ABCD为矩形,故DA⊥AB. 因为平面ABCD⊥平面ABEF,且DA平面ABCD, 平面ABCD∩平面ABEF=AB,故DA⊥平面ABEF.3分因为BF平面ABEF,故DA⊥BF.4分因为AB为直径,故BF⊥AF.因为DA,AF为平面DAF内的两条相交直线,所以BF⊥平面DAF.7分(2) 因为∠BAF=π3,AB∥EF,所以EF=12AB. 8分取DA的中点N,连接NF,MN,因为M为BD的中点,所以MN∥AB,且MN=12AB,所以四边形MNFE为平行四边形,所以ME∥NF.11分因为NF平面DAF,ME⊄平面DAF,所以ME∥平面DAF.14分注:第(2)问,亦可先证明平面DAF∥平面MOE.17. (1) S1=12asin θ·acos θ=14a2sin 2θ;设正方形的边长为x,则BQ=xtanθ,RC=xtan θ,所以xtanθ+xtan θ+x=a,所以x=a1tan θ1tan θ++=asin2θ2sin2θ+,S 2=2asin2θ2sin2θ⎛⎫ ⎪+⎝⎭=222a sin 2θ4sin 2θ4sin2θ++ . 7分 (2) 当a 固定,θ变化时,12S S =14（4sin2θ+sin 2θ+4）,令sin 2θ=t,则12S S =14t 44t⎛⎫++ ⎪⎝⎭(0<t ≤1),利用单调性求得当t=1时,12min S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭=94. 14分18. (1) 因为2b=4,所以b=2.因为e=,所以a 2=8,所以椭圆C 1:2y 8+2x 4=1. 2分因为椭圆C 1的焦点为(0,2),(0,-2),所以p=4, 所以抛物线C 2:x 2=8y.4分(2) 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),D(x 4,y 4),Q(x 0,y 0).由(1)知C 2:y=2x 8,y'=x4,所以过点A 抛物线C 2的切线方程为y-y 1=1x 4(x-x 1),即y=1xx 4-y 1.同理,过点B 的抛物线C 2的切线方程为y=2xx 4-y 2.又因为这两条直线均过点Q,所以y 0=01x x 4-y 1,y 0=02x x 4-y 2,所以点A,B 均在直线y 0=0x x4-y 上,所以直线AB的方程为y=x x4-y0,又因为直线AB过点M(0,1),所以y0=-1,所以直线AB的方程为y=14x0x+1. 8分方法一:联立方程组22y x1, 841y x x1,4⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得(2x+32)x2+8x0x-7×16=0,x3+x4=2-8xx32+,x3·x4=2-716x32⨯+,3-x4|=0,点Q到直线AB2.所以△QCD的面积S=02=0. 12分令,则t≥.所以S(t)==224-4ttt⎛⎫⎪⎪⎪+⎝⎭,所以当t ∈∞)时,S(t)单调递增.所以S min. 16分方法二:设k=14x 0,联立方程组221,28,y kx y x =+⎧⎨+=⎩ 消去y 得,(2+k 2)x 2+2kx-7=0, 由C(x 3,y 3),D(x 4,y 4),则x 3+x 4=-222k k +,x 3·x 4=2-72k +,·, 8分设Q 到直线的距离为d,则2, 故△QCD 的面积S=.令则m,S(m)=,S(m)==46m-1m m ⎛⎫⎪⎪⎪+⎝⎭, 函数S(m)=m-61m m +在,+∞)上单调递增,所以S min. 14分另法,令S=f(m),f'(m)=4×222222(3m -5)(m 1)-m(m -1)2m (m 1)+⋅+=4×2222(m 4)-16(m 1)++,因为m≥,所以f'(m)>0,函数f(m)在∞)上单调递增.所以S min. 16分19. (1) 在等式S m+n=12(S2n+S2m)-(n-m)2中,分别令m=1,m=2,得S n+1=12(S2n+S2)-(n-1)2, ①S n+2=12(S2n+S4)-(n-2)2, ②②-①,得a n+2=2n-3+42S-S2. 3分在等式S n+m=12(S2n+S2m)-(n-m2)中,令n=1,m=2,得S3=12(S2+S4)-1,由题设知,S2=11,S3=19,故S4=29.所以a n+2=2n+6(n∈N*),即a n=2n+2(n≥3,n∈N*). 又a2=6也适合上式,故a n=5,n1,2n2,n2,=⎧⎨+≥⎩ 5分S n=25,n1,n3n1,n2,=⎧⎨++≥⎩即Sn=n2+3n+1,n∈N*. 6分(2) 记2nS-32an+33=k2,(*)n=1时,无正整数k满足等式(*);n≥2时,等式(*)即为(n2+3n+1)2-3(n-10)=k2.8分①当n=10时,k=131.9分②当n>10时,则k<n2+3n+1,又k2-(n2+3n)2=2n2+3n+31>0,所以k>n2+3n.从而n2+3n<k<n2+3n+1.又因为n,k∈N*,所以k不存在,从而无正整数k满足等式(*).12分③当n<10时,则k>n2+3n+1,因为k∈N*,所以k≥n2+3n+2.从而(n2+3n+1)2-3(n-10)≥(n2+3n+2)2.即2n2+9n-27≤0.因为n∈N*,所以n=1或2.14分当n=1时,k2=52,无正整数解;当n=2时,k2=145,无正整数解.综上所述,满足等式(*)的n,k分别为n=10,k=131.16分20. (1) 当n=2时,b=1,c=-1时,f2(x)=x2+x-1,令f2(x)=0,得x=,所以f2(x)在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内的零点是x=. 4分(2) 因为f n12⎛⎫⎪⎝⎭<0,fn(1)>0,所以f n12⎛⎫⎪⎝⎭·fn(1)<0,所以f n(x)在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在零点.任取x1,x2∈1,12⎛⎫⎪⎝⎭,且x1<x2,则f n(x1)-f n(x2)=(n1x-n2x)+(x1-x2)<0,所以f n(x)在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增,所以fn(x)在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点. 10分(3) 当n=2时,f2(x)=x2+bx+c,对任意的x1,x2∈[-1,1].有|f2(x1)-f2(x2)|≤4等价于f2(x)在[-1,1]上的最大值与最小值之差M ≤4.据此分类讨论如下:①当b2>1,即|b|>2时,M=|f2(1)-f2(-1)|=2|b|>4,与题设矛盾.②当-1≤-b2<0,即0<b≤2时,M=f2(1)-f2b-2⎛⎫⎪⎝⎭=2b12⎛⎫+⎪⎝⎭≤4恒成立.③当0≤-b2≤1,即-2≤b≤0时,M=f2(-1)-f2b-2⎛⎫⎪⎝⎭=2b-12⎛⎫⎪⎝⎭≤4恒成立.综上可知,实数b的取值范围为[-2,2]. 注:②③也可合并证明如下:用max{a,b}表示a,b中的较大者.当-1≤-b2≤1,即-2≤b≤2时,M=max{f2(1),f2(-1)}-f2b -2⎛⎫ ⎪⎝⎭=22f(-1)f(1)2++22|f(-1)-f(1)|2-f2（-b2）=1+c+|b|-2b-c4⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2|b|12⎛⎫+⎪⎝⎭≤4恒成立. 16分。
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第9课 二次函数
(本课对应学生用书第17-19页
)
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1. 二次函数的三种表示
(1) 一般式:y=ax 2
+bx+c(a ≠0);
(2) 两点式:y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0);
(3) 顶点式: y=a(x-x 0)2+n(a ≠0).
2. 二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象形状、对称轴、顶点坐标、开口方向是处理二次函数问题的重要依据.
3. 一元二次方程的根的分布问题
二次函数对应的一元二次方程的实根的分布问题是一个比较复杂的问题,给定一元二次方程f(x)=ax 2+bx+c=0(a>0).
(1) 若f(x)=0在(m,n)(m<n)内有且只有一个实数解,则需满足f(m)·f(n)<0,或f(m)=0,另一根在(m,n)内,或f(n)=0,另一根在(m,n)内. (2) 若f(x)=0在(m,n)(m<n)内有两个实数解,则需满足Δ0,b m -n,2a f(m)0,f(n)0.≥⎧⎪⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩
(3) 设x 1,x 2为方程f(x)=0的两个实根:①若x 1<m<x 2,则f(m)<0;②若m<x 1<n<p<x 2<q,则需满足f(m)0,f(n)0,f(p)0,
f(q)0.>⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩
(4) 若方程f(x)=0的两根中一根小于m,另一根大于n(m<n),则需满足f(m)0,f(n)0.<⎧⎨<⎩
(5) 若二次方程f(x)=0的两根都大于r,则需满足
2
Δb-4ac0,
b
-r,
2a
f(r)0.
⎧=≥⎪
⎪
>
⎨
⎪
>
⎪⎩
1. (必修1P30练习2(2)改编)函数f(x)=x2,x∈[-1,2)的最小值为.
[答案]0
[解析]注意x2≥0.
2. (必修1P31练习6改编)直线x=a与函数f(x)=x2+2x的图象有个公共点.
[答案]1
[解析]依据函数的定义与二次函数的性质.
3. (必修1P33习题13改编)已知函数f(x)=x2-2ax+2a+4的值域为[1,+∞),那么实数a的值为.
[答案]-1或3
[解析]由题意知最小值为2a+4-a2,由2a+4-a2=1,解得a=-1或3.
4. (必修1P37习题3改编)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是.
[答案](-∞,-2)∪(2,+∞)
[解析]由Δ=m2-4>0,得m∈(-∞,-2)∪(2,+∞).
5. (必修1P43习题3改编)设函数f(x)=
2
-2,x0,
x bx c,x0,
>
⎧
⎨
++≤
⎩若f(-4)=f(0),f(-2)=0,则关于x的不
等式f(x)≤1的解集为. [答案]{x|-3≤x≤-1或x>0}
[解析]由f(-4)=f(0),得b=4.又f(-2)=0,可得c=4.所以f(x)≤1,即
2
x0,
x4x41
≤
⎧
⎨
++≤
⎩或x>0,解得
-3≤x≤-1或x>0.。