最新线性变换的值域与核.优选
7.5.17.5线性变换的值域和核
若 为单射，则
1
反之 ，若 (0) 0 , 任取 、 V , 若
( ) ( ), 则 ( ) ( ) ( ) 0,
从而
1 (0) 0 , 即 = . 故 是单射。
故 ( r 1 ),
kn 0
, ( n ) 线性无关，即它为 (V ) 的一组基。
的秩＝n－r
因此， 的秩＋ 的零度＝n.
值域与核的有关性质
虽然 (V ) 与
1
(0) 的维数之和等于n，但是
(V ) 1 (0) 未必等于V。
如在例1中,
有
x1 ( 1 ) x2 ( 2 )
xn ( n )
xn ( n )
( x1 1 x2 2 ... xn n ) (V )
值域与核的有关性质
L ( 1 ), ( 2 ),
因此，
, ( n ) (V ).
kn n 1 (0)
, r 线性表出。
值域与核的有关性质
设
k1 1 k2 2
于是有 k1 1 k2 2
由于
kr r
kr r , kr 1 r 1
kn n 0
1 , 2 , , n 为 V的基。
k1 k2
一、值域与核的概念
值域与核的概念
定
义
1
设 是线性空间V的一个线性变换，
集合
(V ) ( ) | V
称为线性变换 的值域，也记作 , 或 ().
1 (0) | V , ( ) 0
高等代数7.6线性变换的值域与核
则 1）A 的值域A (V )是由基象组生成的子空间，即
A (V ) LA (1),A ( 2 ),L ,A ( n )
2）A 的秩＝A的秩.
.
证：1） V , 设 x11 x2 2 L xn n , 于是 A ( ) x1A (1) x2A ( 2 ) L xnA ( n )
.
0 A 1(0), A 1(0) .
又对 , A 1(0), 有A ( ) 0,A ( ) 0 从而 A ( ) A ( ) A ( ) 0. A (k ) kA ( ) k0 0, k P
即 A 1(0), k A 1(0),
A 1(0) 对于V的加法与数量乘法封闭. 故A 1(0)为V的子空间.
.
定义2：线性变换A 的值域A (V )的维数称为A 的秩；
A 的核A 1(0)的维数称为 A 的零度.
例1、在线性空间 P[ x]n 中，令
D f (x) f (x)
则 D P[ x]n P[ x]n1,
D 1(0) P 所以D 的秩为n－1，D 的零度为1.
.
二、有关性质
1. (定理10) 设A 是n 维线性空间V的线性变换，
并把它扩充为V的一组基：1, 2 ,L , r ,L , n 由定理10，A (V ) 是由基象组A (1),A ( 2 ),L ,A ( n )
生成的.
.
但 A ( i ) 0, i 1,2,L , r.
A (V ) LA (r1),L ,A (n )
下证A ( r1),L ,A ( n )为A (V )的一组基，即证它们
由p271补充题2的结论知，A (1),A ( 2 ),L ,A ( n ) 的秩
线性代数上22线性变换的核
这是两个未知数两个方程的齐次线性方程组, 按定义, 特征 向量是非零向量, 于是要求有非零解. 由书上第43页推论可 知该齐次线性方程组的系数矩阵的行列式等于0, 即
Im σ = Fn −1[ X ], dim Im σ + dim kerσ = n, dim(Im σ + kerσ ) = n − 1.
7
幂等变换： σ2= σ 例4 设 n 维线性空间 V 的线性变换 σ 是幂等变换， 则 σ 在 V 的某组基下的矩阵为 ⎡ Ir ⎤ ⎢ ⎥. 0⎦ ⎣ 下面我们研究的不变子空间是在下学期我们研究如何选择 适当的基, 使得线性变换的矩阵尽可能简单的办法时要用 到的重要的概念. 定义3 设 σ 是 V 上的线性变换, W 是 V 的子空间, 如果对 W 中任一向量 α, 有 σα 属于 W, 则称 W 为 σ 的不变子空间. 显然 {0}, V, Imσ 和 kerσ 均为 σ 不变子空间.
8
定义4 设 W 是 σ 的不变子空间, 则 σ 1 : W → W , α a σα 是 W 上的线性变换, 称为 σ 在 W 上的限制, 记为 σ 1 = σ W . 定理6 设 σ 是 V 上的线性变换, W 是 V 的子空间, ε1 ,L , ε k 为 W 的一组基, 扩充为 V 的一组基 ε1 ,L , ε k , ε k +1 ,L , ε n , 则 (1) W 是 σ 的不变子空间的充分必要条件为 σ 在 V 的基 A A2 ⎤ ε1 ,L , ε k , ε k +1 ,L , ε n 下的矩阵为 A = ⎡ 1 ⎢ 0 A ⎥. 3⎦ ⎣ (2) 当(1)成立时, 有σ W 在 ε1 ,L , ε k 下的矩阵为 A1, 且 A2 = 0 ⇔ L(ε k +1 ,L , ε n ) 也是 σ 不变子空间. 推论 设 σ 是 V 上的线性变换, 则 V 可以分解为若干 σ 不变 子空间的直和 ⇔ 为 σ 在 V 的某组基下的矩阵为准对角阵.
线性代数上22线性变换的核
例5 设 W 是 σ 的一维不变子空间, 则 ∀0 ≠ α ∈ W ,Qσα ∈ W ,∴∃λ ∈ F , 使得 σα = λα , 所以 α 是 σ 属于 λ 的特征向量. 反之设 α 是 σ 属于 λ 的特征向量, 设 β∈L(α), 则存在 k∈F, 使得 β = kα, 故 σ(β) = kσ(α) = kλα∈L(α), 所以 L(α) 为 σ 不变子空间.
故 −e1 +2e2 ,e3 为 Imσ = R(A) 的一组基. 定义2 设 σ 是 V 的线性变换, 所有被 σ 映成零向量的 向量的集合称为 σ 的核, 记为 kerσ. Nhomakorabea3
定理3 kerσ 是 V 的子空间. 证明 Qσ 0 = 0,∴ kerσ ≠ ∅, ∀α , β ∈ kerσ , ∀k , l ∈ F , 有 σ (kα + l β ) = kσα + lσβ = 0 + 0 = 0, ∴ kα + l β ∈ kerσ .
6
注1 σ 是单射 ⇔ kerσ = {0} ⇔ dimkerσ = 0
【清华 线性代数】线性变换的核、值域、特征值与特征向量
7
定义4 设 W 是 的不变子空间, 则1 : W W , 是 W 上的线性变换, 称为 在 W 上的限制, 记为1 W . 定理6 设 是 V 上的线性变换, W 是 V 的子空间, 1, ,k
为 W 的一组基, 扩充为 V 的一组基 1, ,k ,k1, ,n , 则 (1) W 是 的不变子空间的充分必要条件为 在 V 的基
证明 在 V 的某组基下的矩阵为 Ir
0
.
证明 V, (-) = - = 0, 所以 {-|V} ker,
反之, ker, 有 = 0, 所以 {-|V } ker .
所以 {-|V } = ker . V Im ker ,
由本讲定理5可知 V ker 组基, r1, ,n 为ker 的一组基, 则
1, ,r ,r1, ,n 线性无关, 所以 k1 k2 kn 0,dim Im n r.
dimV dimker dimIm.
5
注1 任意给定 V 中元素 , 若存在 使 = , 则
1( ) ker { 0, V}
所以 是单射 ker = {0} dimker = 0
1, ,r ,r1, ,n 为 V 的一组基, i i , i 1, , r;
i
0,
r 1 i
n.
在 V 的这组基下的矩阵为
Ir
0 .
定义3 设 是 V 上的线性变换, W 是 V 的子空间, 如果对 W
中任一向量 , 有 属于 W, 则称 W 为 的不变子空间.
显然 {0}, V, Im 和 ker 均为 不变子空间.
2 0 , 0 1
1 1 0 1 1 0
解
2
2
0 0 0 1，
0 0 1 0 0 0
7-6. 线性变换的值域与核 线性映射(变换)的象(值域)和核是两...
•反之，由于对于任意给定的ｎ个 向量β1，β2，…，βn，有唯一 的线性变换σ,使得σ(αj)=βj， 因此,对于任意ｎ阶矩阵Ａ=(ａij) 若令 βj=ａ1jα1＋ａ2jα2＋…＋ａnjαn 1≤j≤n 则σ关于基 α1，α2，…，αn的矩阵即为Ａ
▲ Ｌ(Ｖ)与Ｍn（Ｆ）的同构关系 Ｌ(Ｖ)与Ｍn（Ｆ）的同构关系不 仅保持加法和纯量乘法，而且还 保持乘法， 即若σ→Ａ，τ→Ｂ ，则 σ＋τ→Ａ＋Ｂ，ｋσ→ｋ Ａ，στ→ＡＢ，此外， σ可逆 等价于Ａ可逆，且σ-1 → Ａ-1。
▲乘法:积στ的定义 乘法: στ的定义
(στ)(ξ)＝ (στ)(ξ)＝σ(τ(ξ)) 的合成映射称为σ 的积. 即σ与τ的合成映射称为σ与τ的积. 注意与函数有关定义的差别,数学分析中, 注意与函数有关定义的差别,数学分析中, 两个函数的积不是它们作为映射的积, 两个函数的积不是它们作为映射的积,两个 函数的复合函数才是它们作为映射时的积. 函数的复合函数才是它们作为映射时的积. 此外,σ(ξ) τ(ξ)是没有定义的 ,σ(ξ)·τ(ξ)是没有定义的. 此外,σ(ξ) τ(ξ)是没有定义的.关于线 性变换的积的算律与矩阵的积的算律是相 同的,线性变换的乘法不满足交换律, 同的,线性变换的乘法不满足交换律,消去 这是需要注意的. 律,这是需要注意的.
▲幂：σn＝σσ…σ， σ0＝ι σσ σ
线性变换与矩阵 在数域Ｆ上ｎ维向量空间Ｖ中可以利 用Ｖ的基给出Ｖ的线性变换σ的矩阵 表示Ａ.从而把讨论线性变换的问题转 化为用矩阵来处理,讨论起来既具体又 简单,并且提供了丰富的内容,同时使 我们看到矩阵工具的使用.在学习这部 分内容时要逐步体会利用矩阵解决问 题的方便以及熟练掌握Ｖ的线性变换 σ与Ｆ上ｎ阶矩阵Ａ的对应关系
• 作业：P326－14、15
线性变换的值域与核
1 2) 在 (0)中选一组基，把它扩充为V的一组基，
并求 在这组基下的矩阵.
3) 在 (V ) 中选一组基，把它扩充为V的一组基，
并求 在这组基下的矩阵.
§7.6 线性变换的值域与核
1 1 (0). (0), 它在 1 , 2 , 3 , 4 解：1）先求 设
( ) ( ), 则 ( ) ( ) ( ) 0,
1 从而 (0) 0 ,
即 = . 故 是单射.
§7.6 线性变换的值域与核
4. 设 为n 维线性空间V的线性变换，则
是单射 是满射.
证明： 是单射
1 (0) 0
dim 1 (0) 0
dim (V ) n (V ) V
是满射.
§7.6 线性变换的值域与核
例2、设 1 , 2 , 3 , 4 是线性空间V的一组基，已知
1 0 1 2 线性变换 在此基下的矩阵为 A 1 2 1 2 2 ( V ) (0). 1) 求 及 1 3 5 5 1 2 2 1
k1 k2 kn 0
故 ( r 1 ),, ( n ) 线 性无关，即它为 (V ) 的一组基.
的秩＝n－r .
因此， 的秩＋ 的零度＝n.
§7.6 线性变换的值域与核
注意：
1 虽然 (V ) 与 (0) 的维数之和等于n ，但是
(V) 1(0) 未必等于V.
生成的.
§7.6 线性变换的值域与核
但 ( i ) 0,
i 1,2,, r .
(V ) L ( r 1 ), , ( n )
高等代数线性变换的值域与核
. .. . . ..
线性变换的秩与零度
定义 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，A 是 V 上线性变换，称 dim ImA 为 A 的秩，dim ker A 为 A 的零度或亏. 例 在线性空间 P[x]n 中，令
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
线性变换的值域与核的概念
定义 设 A 是线性空间 V 的一个线性变换，A 的全体像组成的集合 称为 A 的值域，用 A V（或者 ImA ）表示. 所有被 A 变成零 向量的向量组成的集合称为 A 的核，用 A −1(0)（或者 ker A ） 表示.
若用集合的记号则
A V = {A ξ|ξ ∈ V}, A −1(0) = {ξ|A ξ = 0, ξ ∈ V}.
注 上面的定理说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持秩不变.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
线性变换的维数公式
定理 设 A 是 n 维线性空间 V 的线性变换. 则 A V 的一组基的原像 及 A −1(0) 的一组基合起来就是 V 的一组基. 由此还有
证 设 A V 的一组基为 η1, η2, · · · , ηr，它们的原像为 ε1, ε2, · · · , εr，A εi = ηi, i = 1, 2, · · · , r. 又取 A −1(0) 的一组基为 εr+1, εr+2, · · · , εs. 现在证 ε1, ε2, · · · , εr, εr+1, · · · , εs 为 V 的基. 如果 有
线性变换的值域与核的概念
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§6 线性变换的值域与核
一、定义
设 A 是线性空间V 的一个线性变换，A 的全体像组成的集合称为A 的值域， 用A V 表示.
所有被A 变成零向量的向量组成的集合称为A 的核，用A )0(1-表示.
若用集合的记号则A V ={}|V σξξ∈, A )0(1-={}|0,V ξσξξ=∈ 这里用 σ 表示 A ，公式里打不出来. 1．线性变换的值域与核都是V 的子空间.
2．A V 的维数称为 A 的秩，A )0(1-的维数称为A 的零度.
二、如何求值域、核
1．如何求线性变换的值域 ？
定理10 设A 是n 维线性空间V 的线性变换，n εεε,,,21 是V 的一组基， 在这组基下A 的矩阵是A ，则
1）A 的值域A V 是由基像组生成的子空间，即
A V =12(,,
,)n L σεσεσε
2）A 的秩=A 的秩.
定理10说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持不变. A V =12(,,
,)n L σεσεσε，实质上是求它的一个线性极大无关组，
即求矩阵 A 的列向量组的一个极大线性无关组 例1 在线性空间[]n P x 中，令
D )())((x f x f '=
则D 的值域就是1[]n P x - .
例2． 令 11122122ij x x V X x x x ⎧⎫⎛⎫⎪
⎪
==⎨⎬
⎪⎪⎪⎝⎭⎩
⎭
是实数， 定义变换 :V V σ→，对于 X V ∈， 1112()1111X X σ⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
，
（1）证明 σ 是线性变换 （2）求 σ 的秩
证明：（1）对于任取,,,a b R X Y V ∈∈， 我们有
1112()()()()1111aX bY aX bY a X b Y σσσ⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，从而 σ 是一个线性变换
（2）显然 123410010000,,,00001001E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
是 V 的一组基。
1312()()12E E σσ⎛⎫==
⎪⎝⎭， 2411()()11E E σσ-⎛⎫
== ⎪-⎝⎭
， 从而 V 的像空间 V σ由
1211,1211-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭生成，再证它们线性无关，得到 σ 的秩是 2， 2．如何求线性变换的核
对于 1(0)ξσ-∈，n εεε,,,21 是V 的一组基，在这组基下 A 的矩阵是A ，则
()0σξ=， 1212(,,
,)n n x x x ξεεε⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
， 我们得到 ] 11221212()(,,
,)(,,
,)0n n n n x x x
x
A x x σξσεεεεεε⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭。
从而 120n x x A x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
， 即 ξ 的坐标满足这个齐次线性方程组；反之亦然 12112(0),(,,
,)n n x x x ξσξεεε-⎛⎫ ⎪ ⎪∈= ⎪ ⎪⎝⎭ 当且仅当 ξ 的坐标满足 120n x x
A x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
在 例1中，D 的核就是子空间P .
在 例2 中, 求σ 的核
对于1(0)X σ-∈, 我们有 ()0X σ=. 因为
11
12212211121112()11111111x x X X x x σ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ 11211222112112221121122211211222112112221121122212112222x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪++-⎝⎭⎝⎭
+--+++⎛⎫= ⎪+--+++⎝⎭
从而有
1121122211211222
112112221121122200
220
220x x x x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪+--=⎪⎨
+++=⎪⎪+++=⎩ 得到 11211222112112220220x x x x x x x x +--=⎧⎨+++=⎩ 即:
1121122200x x x x +=⎧⎨+=⎩, 我们找到 1
(0)σ- 的一组基 : 1010⎛⎫ ⎪-⎝⎭, 0101⎛⎫ ⎪
-⎝⎭
三、 定理
设A 是n 维线性空间V 的线性变换，则A V 的一组基的原像及A )0(1-的一组基 合起来就是V 的一组基. 由此还有
A 的秩+ A 的零度=n
1．推论 对于有限维线性空间的线性变换，它是单射的充要条件是它是满射. 例：注意在上述推论中，要求是有限维线性空间， 对于无限维线性空间，推论不一定成立， 在线性空间[]P x 中，令
D )())((x f x f '=
则D 是满射，但不是单射.
2．虽然子空间A V 与A )0(1-的维数之和为n ，但是A V + A )0(1-并不一定是整个空间. 见例 1
例3 设A 是一个n n ⨯矩阵，A A =2，证明A 相似于一个对角矩阵
⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛00111
证法1：设 V 是 n 维线性空间, n εεε,,,21 是V 的一组基，在这组基下矩阵A 对应着线性变换σ，即: 12(,,
,)n σεεε=12(,,
,)n A εεε, 我们有 2σσ=
(1) 任取 V α∈, 我们有 ()[()]ασαασα=+-, 即: 1(0)V V σσ-=+ (2) 1(0)0V
σσ-=, 从而 1(0)V V σσ-=⊕
(3) 在 V σ 中选取一组基 1,
,t ηη, 在 1(0)σ-中选取一组基 1,
,t n ηη+,
则线性变换σ 在该基下的矩阵就是
⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛00111 , 从而 A 相似于它. 证法2: 对于没有学过高等代数知识, 只学过线性代数可以这样做
(1) A A =2, 我们得到 A 的特征值是0和 1 (2) 下面证明 A 有 n 个线性无关的特征向量,
(i) 矩阵 A 属于特征值 0的特征向量是 (0)0E A X -= 的非零解, 即 0AX = 的非零解. 它的基础解系含 ()n R A - 个解向量, 也就是A 属于特征值 0的线性无关的 特征向量有 ()n R A - 个.
(ii) 矩阵 A 属于特征值1的特征向量是 ()0E A X -= 的非零解, 它的基础解系含
()n R E A -- 个解向量, 也就是A 属于特征值 1的线性无关的特征向量有 ()n R E A -- 个
两者合起来, 矩阵A 有线性无关的特征向量 2()()n R A R E A --- 个, 所以我们只须 证明 ()()R A R E A n +-=
(4) 证明 ()()R A R E A n +-= 见第四章 17, 18
(i) 2A A =, 我们得到 ()0A E A -=, 从而 ()()R A R E A n +-≤ (ii) ()()()()R A R E A R A E A R E n +-≥+-==
例4：设A 是一个n n ⨯矩阵，2A E =， 证明A 相似于一个对角矩阵
1111
1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭
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