n维线性空间的线性变换的核与值域的性质及应用

命题一：若线性变换,στ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ，τ可交换，则τ的核和值域都是σ-子[3]空间。

证明：ξ∀∈1(0)σ-，则有τ（σ（ξ）） =τσ（ξ）=σ（0）=0∴σ（ξ）∈1(0)σ-∀τ（η）()V τ∈，σ（τ（η））=τ（σ（η））()V τ∈ ()V τ∴也是A-子空间。

例一：设F 为数域，V=nF ，证明：1） T(12,,,n x x x )=(1210,,,,n x x x - )是线性空间V 的一个线性变换，且nT =0 2） 求T 的核与值域TV 的维数。

证明：设α=（12n ααα+++ ）,V β∈=（12n βββ+++ ）V ∈。

T(αβ+)=(0,112211,,,n n αβαβαβ--+++ ) =(1210,,,,n ααα- )+(1210,,,,n βββ- )=T α+T β k F ∀∈,则T （k α）=（1210,,,,n k k k ααα- ）=k （1210,,,,n ααα- ）=kT α，∴T 为线性空间V 的线性变换。

又由于2T （12,,,n x x x ）=T （1210,,,,n x x x - ）=（1220,0,,,,n x x x - ）3T （12,,,n x x x ）=（1230,0,,,,n x x x - ） 0n T =2)由T （12,,,n x x x ）=（1210,,,,n x x x - ）=0则可得：121n x x x -=== =0即：1(0)T -为由一切向量（0,0,,0,n x ）所作成的子空间∴它是一维的又r(1(0)T -)+r(TV)=n∴r(TV)=n-1例二：设σ是n 维线性空间V 的线性变换，1V V σ=，2V =1(0)σ-分别是σ的值域与核，12,,,rααα 是1V 是一组基，设12,,,r βββ 是12,,,r ααα 的原像，令W=L （12,,,r βββ ），证明： 1）σ的秩+σ的零度=n2）V=W 2V ⊕ （兰州大学2006）证明：设σ是零度为t ，且12,,,t ηηη 是它的一组基，则可扩充为 V 的一组基12,,,t ηηη ，12,,,t t n ηηη+- ，且1()i ση-=0，1,2,i t = 。

从而1V =σ（V ）=L （12(),(),,()t σησηση ，12(),(),,()t t n σησηση++ ）=L （12(),(),,()t t n σησηση++ ）下证12,,,t t n ηηη++ 是σ（V ）的一组基。

令1122t t t t n n x x x ηηη+++++++ =0∴σ（1122t t t t n n x x x ηηη+++++++ ）=0即：1ni i i t x η=+∑∈1(0)σ- ∴1ni i i t x η=+∑=1t i i i y η=∑ 即1n i i i t x η=+∑-1ti i i y η=∑=0又12,,,n ηηη 线性无关，可得12n x x x === =0∴12,,,t t n ηηη++ 是σ（V ）的一 组基。

∴σ的秩+σ的零度=n-t+t=n.2)依题意得：σ()i i βα=，1,2,i r = 。

由12,,,r ααα 线性无关，则12,,,r βββ 也线性无关。

∴dimW=dim(L(12,,,r βββ ))= r =秩（1V ）=σ的秩又dim 2V =σ的零度，∴dimW+dim 2V n =2W V β∀∈⋂,则有β=1122r r y y y βββ+++ ，且σ（β）=0∴σ（1122r r y y y βββ+++ ）=01122r r y y y ααα+++ =0 120r y y y ⇒====即：0β=∴ V=W 2V ⊕例三设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的一个线性变换，2σσ=，证明： 1）1(0)σ-={()|}V ασαα-∈2）V=1(0)σ-()V σ⊕ 3）如果τ是V 的线性变换，1(0)σ-，()V σ都是τ的不变子空间，σττσ=。

证明：1） ξ∀∈1(0)σ-，则2(())()()0σξσξσξσξ-=-= ∴()ξσξ-∈1(0)σ- 设α∈1(0)σ-，则()0σα=，∴()αασα=-1(0)σ-={()|}V ασαα-∈2）V α∀∈，()αασα=-+()σα∈1(0)σ-+()V σ∴V=1(0)σ-+()V σ设1(0)()V βσσ-∈⋂，则()0σβ=，,V s t α∃∈⋅()σαβ=∴2()()()0βσασασβ====∴1(0)σ-()V σ⋂={0} 即：V=1(0)σ-()V σ⊕3 ）设1(0)σ-和()V σ都在τ下不变，V α∀∈， 由2），则β∃∈1(0)σ-，()V γσ∈，使αβγ=+ ∴()τβ∈1(0)σ-，()()V τγσ∈∴(())()0στβστβ== ,V ξ∃∈使()()σξτγ=∴2(())(())()()()στγσσξσξσξτγ==== ∴(())(())()()σταστβστγτγ=+=又β∈1(0)σ-，()V γσ∈∴()0σβ=，,V η∃∈使()σηγ=， ∴2()(())()()σγσσησησηγ==== ∴()()()()τσατσβτσγτγ=+= ()()στατσα∴=因此：σττσ=例四：设,στ是n 维欧氏空间V 的线性变换，对任意的,V αβ∈，都有((),)(,())σαβατβ=，证明：σ的核等于τ的值域的正交补。

证明：证法一：设,n n A B R ⨯∈（实矩阵），0Ax =()N A 为线性方程组0Ax =的解空间，即(){|0}n N A x Ax R ==⊆；()R A 为A 的列空间，因此 (){|}T T n n R A y A x x R R ==∀∈⊆。

因为 对1()T T y A x R A ∀=∈，()x N A ∀∈总有11()()0T T T T y x A x x x Ax ===，可知()TR A 与()N A 是正交的，注意到dim ()TTR A rankA rankA ==，dim ()N A n rankA =-这说明()()T n R A N A R ⊕=， ()T R A 是()N A 的正交补，n n A R ⨯∈ （1）2 设12{,,,}n εεε 是n 维欧氏空间V 的标准正交基，且1212(,,,)(,,,)n n A σεεεεεε= ，n n A R ⨯∈； （2） 1212(,,,)(,,,)n n B τεεεεεε= ，n n B R ⨯∈； （3）12(,,,)n x αεεε= ，12(,,,)n y βεεε= ；,n x y R ∈ （4）这样由（2），（3），（4）12()(,,,)n Ax σαεεε= ，12()(,,,)n By τβεεε= 。

（5）根据标准正交基的性质，应用（4）和（5），从已知((),)(,)T Ax y y Ax σαβ==(,())(,)()T T T x By By x y B x ατβ==== ,n x y R ∀∈，这说明()0T T y A B x -=， ,nx y R∀∈。

（6） 从（6）可知 TA B =。

（7）从（2）和(3)可得 ()Ker N A σ≅，Im ()R B τ≅ （8）这样由（1）和（8）， ()()T R B R A =是()N A 的正交补，再应用（7）可的结论：σ的核等于τ的值域的正交补。

证法二：下证：σ的核Ker σ和τ的值域Im τ的正交补(Im )τ⊥是互为包含的。

对Ker ασ∀∈，()Im τβτ∀∈，由已知((),)(0,)0(,())σαββατβ===得(Im )ατ⊥∈，即(Im )Ker στ⊥⊆。

对(Im )ατ⊥∀∈，()Im τβτ∀∈，由已知(,())0((),)ατβσαβ==，这样当取()βσα=时，有(,(()))0((),())ατσασασα==，这说明()0σα=，因此Ker ασ∈，即(Im )Ker τσ⊥⊆。

例五：在4R 中，11021α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,21100α-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，30121α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，43142α⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

求以L(1234αααα，，，)为值域的4R 上的线性变换σ。

解：12αα，是1234αααα，，，的一个极大线性无关组，则有 L （12αα，）=L(1234αααα，，，)记3400001001εε⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，T=（12αα，，εε34，），由于0T ≠，从而可将12αα，扩充为4R 的一个基12αα，，εε34，。

取1000010000000000B ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎝⎭，则可确定线性变换σ， σ（12αα，，εε34，）=（12αα，，εε34，）B 为以L(1234αααα，，，)为值域的线性变换。

结论1: dim ()dim(ker )V σσ+=σ的秩＋σ的零度＝()dim V . 证明见课本 结论2:σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则秩2σ=秩σ⇔()()10V V σσ-=+证明：()⇒设1,2,...,n εεε是V 的一组基，而()()()()()()()11,,,,n i is V L L σσεσεσεσε== 这里()()1,,i is σεσε 为()V σ的一组基.于是，()()()()2221,,i isV L σσεσε=已知 秩2σ=秩σ则()()2dim σV =dimσV 则()()221,,i is σεσε为()2V σ的基。

()()10V ασσ-∀∈⋂ 则 ()()11i s is a a ασεσε=++且()()()22110i s is a a σασεσε==++从而10s a a === 即0α= 故()()10{0}V σσ-⋂= 即()()10V σσ-+为直和.又因为()()()()()11dim 0dim dim 0V V n σσσσ--+=+=所以 ()()10V V σσ-=⊕ ；()⇐设 ()()10V V σσ-=⊕，任取()()10V ασσ-=⊕(),.V s t βασβ∃∈=，而()()1110,V βσβγγσβ-=+∈∈于是()()221V ασβσ=∈，故()()2V V σσ⊆显然，()()2V V σσ⊇ 所以，()()2V V σσ=得，秩2σ=秩σ.特别的，如果2σσ=，那么()()-1V =σV ⊕σ0结论3: 数域P 上的n 维线性空间V 的任一子空间W 必为某一线性变换的核。