7-6. 线性变换的值域与核 线性映射(变换)的象(值域)和核是两...
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高等代数7.6线性变换的值域与核
1, 2 ,L , n 是V的一组基，A 在这组基下的矩阵是A，
则 1）A 的值域A (V )是由基象组生成的子空间，即
A (V ) LA (1),A ( 2 ),L ,A ( n )
2）A 的秩＝A的秩.
.
证：1） V , 设 x11 x2 2 L xn n , 于是 A ( ) x1A (1) x2A ( 2 ) L xnA ( n )
.
0 A 1(0), A 1(0) .
又对 , A 1(0), 有A ( ) 0,A ( ) 0 从而 A ( ) A ( ) A ( ) 0. A (k ) kA ( ) k0 0, k P
即 A 1(0), k A 1(0),
A 1(0) 对于V的加法与数量乘法封闭. 故A 1(0)为V的子空间.
.
定义2：线性变换A 的值域A (V )的维数称为A 的秩；
A 的核A 1(0)的维数称为 A 的零度.
例1、在线性空间 P[ x]n 中，令
D f (x) f (x)
则 D P[ x]n P[ x]n1,
D 1(0) P 所以D 的秩为n－1，D 的零度为1.
.
二、有关性质
1. (定理10) 设A 是n 维线性空间V的线性变换，
并把它扩充为V的一组基：1, 2 ,L , r ,L , n 由定理10，A (V ) 是由基象组A (1),A ( 2 ),L ,A ( n )
生成的.
.
但 A ( i ) 0, i 1,2,L , r.
A (V ) LA (r1),L ,A (n )
下证A ( r1),L ,A ( n )为A (V )的一组基，即证它们
由p271补充题2的结论知，A (1),A ( 2 ),L ,A ( n ) 的秩
则 1）A 的值域A (V )是由基象组生成的子空间，即
A (V ) LA (1),A ( 2 ),L ,A ( n )
2）A 的秩＝A的秩.
.
证：1） V , 设 x11 x2 2 L xn n , 于是 A ( ) x1A (1) x2A ( 2 ) L xnA ( n )
.
0 A 1(0), A 1(0) .
又对 , A 1(0), 有A ( ) 0,A ( ) 0 从而 A ( ) A ( ) A ( ) 0. A (k ) kA ( ) k0 0, k P
即 A 1(0), k A 1(0),
A 1(0) 对于V的加法与数量乘法封闭. 故A 1(0)为V的子空间.
.
定义2：线性变换A 的值域A (V )的维数称为A 的秩；
A 的核A 1(0)的维数称为 A 的零度.
例1、在线性空间 P[ x]n 中，令
D f (x) f (x)
则 D P[ x]n P[ x]n1,
D 1(0) P 所以D 的秩为n－1，D 的零度为1.
.
二、有关性质
1. (定理10) 设A 是n 维线性空间V的线性变换，
并把它扩充为V的一组基：1, 2 ,L , r ,L , n 由定理10，A (V ) 是由基象组A (1),A ( 2 ),L ,A ( n )
生成的.
.
但 A ( i ) 0, i 1,2,L , r.
A (V ) LA (r1),L ,A (n )
下证A ( r1),L ,A ( n )为A (V )的一组基，即证它们
由p271补充题2的结论知，A (1),A ( 2 ),L ,A ( n ) 的秩
§7.6 线性变换的值域与核.
§7.6 线性变换的值域与核教学目的 理解值域与核的概念，记忆秩与零度的术语，熟练掌握值域的结构，及其与核的关系.重 点 值域的结构，值域与核的关系. 难 点 值域与核的关系. 课 型 新授课 教学过程定义6：A ——V 上的线性变换（()A L V ∈），A 的值域：{}V A AV ∈=ξξ，其维数叫A 的秩.A 的核：(){}V A A ∈==-ξξξ,001，其维数叫A 的零度. 易证：AV 与()01-A 均是V 的子空间。
例：在[]n x P 中，()()()x f x f A '=则[]()[]()P A x P x P A n n ==--0,11二者均是[]n x P 的子空间。
定理10 11A (),dim ,,,n L V V n εεε∈=L 是一个基。
1）12AV (A ,A A )n L εεε=L2）若1212A(,,)(,,)n n A εεεεεε=L L ，则秩（A ）=秩（A ）证明：1）等AV,:A αααα''∈∃=，而1A nni i i i i i la a αεαε=='=⇒=∑∑12(A ,A A )n L αεεε'∴∈L反过来12(A ,A ,A )A A()AV n i i i i L a a αεεεαεε''∈⇒=⇒←∑∑Lα'∴是i i a αε=∑的像，AV α'∈故1AV (A ,A )n L εε=L 2）11212(A ,A )A(,,)(,)n n n A εεεεεεεε==Q L L L∴ 秩1(A)dim AV dim (A ,A )n L εε==L （P271.2第六章 补充题2 ）=秩（A ）换句话说：ψ：A A →，则 秩（A ）=秩（A ）说明：()s L ααα,,,21Λ 是包含s ααα,,,21Λ的最小子空间。
解决了dimAV , 那么-1dimA ?=,定理11 设线形映射:,dim V V V n σ→=<∞，则dimIm dimker n σσ+=证 设12dim ker ,,,s s σααα=L 为ker σ的基，则扩充11,s s n αααα+L L 为V 的基111((),()(),()(),())s s n n V L L σσασασασασασα+==L L L （），（ 如果，1111()()0()0ker n ns s n n i ii ii s i s k k k a k a σασασσ++==+==+++=⇒=⇒∈∑∑L111()0,0nsni i i i i i i i s i i k a k a k a i k =+==∴=-⇒=⇒∀=∑∑∑1(),()s n σασα+∴L 线性无关，因此1dim Im (())s n s σσασα+==-L n 秩（）dimIm dimIm dimker n s σσσ∴=+=+注意：虽有A 的秩+A 的零度=n ，但这并不等于AV +()01-A =V 成立。
高等代数7-6线性变换的值域与核
(V ) L (1), (2 ), (3 ), (4 ) L (1), ( 2 )
(1), (2 ) 就是 (V ) 的一组基.
法二： (V )=L( (1), (2 ), (3 ), (4 )) ( (1 ), (2 ), (3 ), (4 ))=(1,2,3,4 ) A
1 0 2 1
是单射 是满射. 证明： 是单射
1(0) 0
dim 1(0) 0 dim (V ) n (V ) V 是满射.
例2、设A是一个n阶方阵，A2 A, 证：设A是n维线性空间V的一个线性变换 在一
组基1,2, ,n下的矩阵，即
在 (V ) 中取一组基 ：1,2 ,r 在 1(0) 中取一组基：r1, ,n 则 1,2 ,r ,r1, ,n 就是V的一组基.
显然有，
1 1, 2 2, , r r , r1 0, r2 0, , n 0.
用矩阵表示即
1
1
(1,2 ,n ) (1,2 ,n )
1 0 2 1
A
1
2
1
3
行变换
0
2
3
4
1 2 5 5 ~ 0 0 0 0
2
2 1 2
0
0
0
0
故 (1 ), (2 ), (3 ), (4 ) 的秩为2， (1 ), (2 )是它
的一组最大无关组。
因此， (V ) L (1 ), (2 )
2）因为
1 0 2 1
1
,
2
,1
,
2
证明：ⅰ) 显然.
ⅱ) 因为 0 0, 若 为单射，则 1(0) 0. 反之 ，若 1(0) 0, 任取 、 V , 若
( ) ( ), 则 ( ) ( ) ( ) 0,
(1), (2 ) 就是 (V ) 的一组基.
法二： (V )=L( (1), (2 ), (3 ), (4 )) ( (1 ), (2 ), (3 ), (4 ))=(1,2,3,4 ) A
1 0 2 1
是单射 是满射. 证明： 是单射
1(0) 0
dim 1(0) 0 dim (V ) n (V ) V 是满射.
例2、设A是一个n阶方阵，A2 A, 证：设A是n维线性空间V的一个线性变换 在一
组基1,2, ,n下的矩阵，即
在 (V ) 中取一组基 ：1,2 ,r 在 1(0) 中取一组基：r1, ,n 则 1,2 ,r ,r1, ,n 就是V的一组基.
显然有，
1 1, 2 2, , r r , r1 0, r2 0, , n 0.
用矩阵表示即
1
1
(1,2 ,n ) (1,2 ,n )
1 0 2 1
A
1
2
1
3
行变换
0
2
3
4
1 2 5 5 ~ 0 0 0 0
2
2 1 2
0
0
0
0
故 (1 ), (2 ), (3 ), (4 ) 的秩为2， (1 ), (2 )是它
的一组最大无关组。
因此， (V ) L (1 ), (2 )
2）因为
1 0 2 1
1
,
2
,1
,
2
证明：ⅰ) 显然.
ⅱ) 因为 0 0, 若 为单射，则 1(0) 0. 反之 ，若 1(0) 0, 任取 、 V , 若
( ) ( ), 则 ( ) ( ) ( ) 0,
线性变换的值域与核
1 2) 在 (0)中选一组基，把它扩充为V的一组基，
并求 在这组基下的矩阵.
3) 在 (V ) 中选一组基，把它扩充为V的一组基，
并求 在这组基下的矩阵.
§7.6 线性变换的值域与核
1 1 (0). (0), 它在 1 , 2 , 3 , 4 解：1）先求 设
( ) ( ), 则 ( ) ( ) ( ) 0,
1 从而 (0) 0 ,
即 = . 故 是单射.
§7.6 线性变换的值域与核
4. 设 为n 维线性空间V的线性变换，则
是单射 是满射.
证明： 是单射
1 (0) 0
dim 1 (0) 0
dim (V ) n (V ) V
是满射.
§7.6 线性变换的值域与核
例2、设 1 , 2 , 3 , 4 是线性空间V的一组基，已知
1 0 1 2 线性变换 在此基下的矩阵为 A 1 2 1 2 2 ( V ) (0). 1) 求 及 1 3 5 5 1 2 2 1
k1 k2 kn 0
故 ( r 1 ),, ( n ) 线 性无关，即它为 (V ) 的一组基.
的秩＝n－r .
因此， 的秩＋ 的零度＝n.
§7.6 线性变换的值域与核
注意：
1 虽然 (V ) 与 (0) 的维数之和等于n ，但是
(V) 1(0) 未必等于V.
生成的.
§7.6 线性变换的值域与核
但 ( i ) 0,
i 1,2,, r .
(V ) L ( r 1 ), , ( n )
高等代数【北大版】7.6
σ 2)由1), 的秩等于基象组 σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) ) ),
的秩, 的秩,又
(σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) ) = (ε 1 , ε 2 ,L , ε n, ) A.
由第六章§ 由第六章§5的结论3知, σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) 的秩 结论 知 等于矩阵A的秩 等于矩阵 的秩. 的秩 ∴ 秩(σ ) =秩 ( A).
σ (V ) + σ 1 (0) 未必等于 未必等于V.
如在例1中 如在例 中,
D ( P[ x ]n ) + D 1 ( 0 ) = P[ x ]n1 ≠ P[ x ]n
§7.6 线性变换的值域与核
3. 设 σ 为n 维线性空间 的线性变换,则 维线性空间V的线性变换 的线性变换,
ⅰ) σ 是满射 σ (V ) = V
σ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n , ) = (ε 1 , ε 2 ,L , ε n , ) A
§7.6 线性变换的值域与核
A2 = A, 知 σ 2 = σ . 由
任取 α ∈ σ (V ), 设 α = σ ( β ), β ∈ V ,
σ (α ) = σ (σ ( β )) = σ 2 ( β ) = σ ( β ) = α 则
σ ( kα ) = kσ (α ) = k 0 = 0, α + β ∈ σ 1 (0), kα ∈ σ 1 (0), 即
k ∈ P
∴ σ (0) 对于 的加法与数量乘法封闭. 对于V的加法与数量乘法封闭 的加法与数量乘法封闭
1
的子空间. 故 σ (0) 为V的子空间 的子空间
1
高等代数线性变换的值域与核
. .. . . ..
线性变换的秩与零度
定义 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，A 是 V 上线性变换，称 dim ImA 为 A 的秩，dim ker A 为 A 的零度或亏. 例 在线性空间 P[x]n 中，令
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
线性变换的值域与核的概念
定义 设 A 是线性空间 V 的一个线性变换，A 的全体像组成的集合 称为 A 的值域，用 A V（或者 ImA ）表示. 所有被 A 变成零 向量的向量组成的集合称为 A 的核，用 A −1(0)（或者 ker A ） 表示.
若用集合的记号则
A V = {A ξ|ξ ∈ V}, A −1(0) = {ξ|A ξ = 0, ξ ∈ V}.
注 上面的定理说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持秩不变.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
线性变换的维数公式
定理 设 A 是 n 维线性空间 V 的线性变换. 则 A V 的一组基的原像 及 A −1(0) 的一组基合起来就是 V 的一组基. 由此还有
证 设 A V 的一组基为 η1, η2, · · · , ηr，它们的原像为 ε1, ε2, · · · , εr，A εi = ηi, i = 1, 2, · · · , r. 又取 A −1(0) 的一组基为 εr+1, εr+2, · · · , εs. 现在证 ε1, ε2, · · · , εr, εr+1, · · · , εs 为 V 的基. 如果 有
线性变换的值域与核的概念
7.6 线性变换的值域与核
（43;dimA 该性质说明：dimA V+dimA －1(0) = n. 但此时不能断 定A V+A －1(0) =V. 例如在 P[x]n 中, W P[x]n = P[x]n-1, V+A W
－1(0)
= P, W P[x]n + W
－1(0) －1(0))
A 的零度 = n, 即
A V + A (0) = V V = A V ⊕ A −1(0) →
−1 A V∩A −1 (0)={0}
→ A V中取基η1,⋯,ηr ， A −1(0) 中取基ηr+1,⋯,ηn → η1,⋯,ηr ，
ηr+1,⋯,ηn 构成 V 的基， Aη1 =η1,⋯, Aηr =ηr , Aηr+1 =⋯= Aηn = 0, 且
例 线性空间 P[x]n 中 W (f (x)) = f /(x). 则 W 的值域为P[x]n/(x). 的值域为P[x]n1, W 的核为子空间P. 的核为子空间P.
二. 值域与核的性质
1 (定理10) A ∈L(V), ε1, ··· ,εn是V的基，且 A 在 定理10) ,εn是 的基， 该基下的矩阵为A 该基下的矩阵为A，则 1) A V= A (L(ε1, ···, εn )) = L( A ε1, ···, Aεn )； (L(ε )； 2) A 的秩 = A的秩. A的秩 的秩.
⋱ 1 0 ⋱
证明：
A∈Pn×n → ∃A ∈L(V), A (ε1,⋯, εn ) = (ε1,⋯, εn )A ，且因
A2 = A 得 A 2 = A .现证 A V ∩ A −1(0) = {0} .
∀α ∈A V ∩ A −1(0) → α ∈A V, α ∈A −1(0) → α ∈A V →
§7.6 线性变换的值域与核
则
1）A 的值域A (V )是由基象组生成的子空间，即
A (V ) L A ( 1 ) , A ( 2 ) , , A ( n ) ;
2）A 的秩＝A的秩.
§7.6 线性变换的值域与核
证：1） V , 设 x 1 1 x 2 2 x n n , 于是 A ( ) x 1 A ( 1 ) x 2 A ( 2 ) x n A ( n )
A (0) 0 .
§7.6 线性变换的值域与核
又 r 1 , r 2 , , s A
1
(0) ,
A ( r 1 ) A ( r 2 ) A ( s ) 0 .
又 A ( i ) i , i 1 , 2 , , r ,
证毕.
§7.6 线性变换的值域与核
4. 设A 为n 维线性空间V 的线性变换，则
A
是单射 A 是满射.
证：A 是单射
A
1
( 0 ) 0
1
d im A
(0 ) 0
d im A (V ) n A (V ) V
A
是满射.
证毕.
§7.6 线性变换的值域与核
A (V ) , A
1
( 0 ) 皆为V 的子空间.
§7.6 线性变换的值域与核
证：A (V ) V , A (V ) ,
且
A ( ) , A ( ) A (V ) , k P ,
有A ( ) A ( ) A ( ) A (V ) ,
有 x1A ( 1 ) x 2 A ( 2 ) x n A ( n )
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•反之，由于对于任意给定的ｎ个 向量β1，β2，…，βn，有唯一 的线性变换σ,使得σ(αj)=βj， 因此,对于任意ｎ阶矩阵Ａ=(ａij) 若令 βj=ａ1jα1＋ａ2jα2＋…＋ａnjαn 1≤j≤n 则σ关于基 α1，α2，…，αn的矩阵即为Ａ
▲ Ｌ(Ｖ)与Ｍn（Ｆ）的同构关系 Ｌ(Ｖ)与Ｍn（Ｆ）的同构关系不 仅保持加法和纯量乘法，而且还 保持乘法， 即若σ→Ａ，τ→Ｂ ，则 σ＋τ→Ａ＋Ｂ，ｋσ→ｋ Ａ，στ→ＡＢ，此外， σ可逆 等价于Ａ可逆，且σ-1 → Ａ-1。
▲乘法:积στ的定义 乘法: στ的定义
(στ)(ξ)＝ (στ)(ξ)＝σ(τ(ξ)) 的合成映射称为σ 的积. 即σ与τ的合成映射称为σ与τ的积. 注意与函数有关定义的差别,数学分析中, 注意与函数有关定义的差别,数学分析中, 两个函数的积不是它们作为映射的积, 两个函数的积不是它们作为映射的积,两个 函数的复合函数才是它们作为映射时的积. 函数的复合函数才是它们作为映射时的积. 此外,σ(ξ) τ(ξ)是没有定义的 ,σ(ξ)·τ(ξ)是没有定义的. 此外,σ(ξ) τ(ξ)是没有定义的.关于线 性变换的积的算律与矩阵的积的算律是相 同的,线性变换的乘法不满足交换律, 同的,线性变换的乘法不满足交换律,消去 这是需要注意的. 律,这是需要注意的.
▲幂：σn＝σσ…σ， σ0＝ι σσ σ
线性变换与矩阵 在数域Ｆ上ｎ维向量空间Ｖ中可以利 用Ｖ的基给出Ｖ的线性变换σ的矩阵 表示Ａ.从而把讨论线性变换的问题转 化为用矩阵来处理,讨论起来既具体又 简单,并且提供了丰富的内容,同时使 我们看到矩阵工具的使用.在学习这部 分内容时要逐步体会利用矩阵解决问 题的方便以及熟练掌握Ｖ的线性变换 σ与Ｆ上ｎ阶矩阵Ａ的对应关系
• 作业：P326－14、15
线性变换的运算
•令Ｖ是数域Ｆ上一个向量空间。 Ｖ到自身的一个线性映射叫做Ｖ的 一个线性变换。用Ｌ(Ｖ)表示向量 空间Ｖ的一切线性变换所成的集合， 设σ，τ，ρ∈Ｌ(Ｖ)
▲加法：和σ＋τ的定义 (σ＋τ)(ξ)＝σ（ξ）＋τ（ξ） 且Ｌ(Ｖ)对加法作成一个加群，即满 足向量空间定义中的前四个公理。 ▲ 纯量乘法：空间定义中的第七，八个公理，对加 法则满足分配律。 ◆Ｌ(Ｖ)对加法和纯量乘法作成一个 向量空间。零向量即为零变换θ。
▲线性变换和矩阵的一一对应关系 设σ∈Ｌ(Ｖ),α1,α2,…,αn为Ｖ 的基,σ(αj)＝ａ1jα1＋ａ2jα2＋… ＋ａnjαn,1≤j≤n 即（σ(α1)，…， σ(αn)）＝（α1,…,αn）Ａ 则称ｎ 阶矩阵Ａ＝(ａij)为线性变换σ关于基 α1,α2,…,αn的矩阵,它的第j列元素 就是σ(αj)关于基α1,α2,…,αn的坐 标.这样,取定Ｖ的一个基后,对于Ｖ的 每一个线性变换,有唯一确定的ｎ阶矩 阵与它对应.特别,θ→Ｏ,ι→E E
▲相似矩阵ｎ阶矩阵Ａ相似于Ｂ定义: 存在可逆矩阵Ｔ,使得Ｔ-1ＡＴ＝Ｂ。 相似矩阵与向量的等价关系一样具有 自反性，对称性和传递性。 ▲ 线性变换关于不同基的矩阵是相似 矩阵，反之，任意两个相似矩阵都可 看成一线性变换关于不同基的矩阵。
思考题
• 在有限维线性空间中，线性变换σ的性质 与线性变换的象和核有什么关系？ • Fn[x]中，微商线性变换的象与核是什么？
7-6. 线性变换的值域与核
线性映射（变换）的象（值域） 和核是两个重要概念，在今后的代数 学习中，常用到映射的象和核的概念 。这里除要正确理解线性映射的象和 核的定义，还要会求出给定的线性映 射的象和核。
首先是子空间象和原象的概念: Ｖ的子空间Ｖ/在σ之下的象是 σ（Ｖ/ )＝｛σ(ξ)│ξ∈Ｖ/ ｝. Ｗ的子空间Ｗ/在σ之下的原象是 σ-1(Ｗ/)＝｛ξ∈Ｖ│σ(ξ)∈Ｗ/｝ σ的象记为 Im(σ)，它就是Ｖ在 σ之下的象，即 Im(σ)＝σ（Ｖ）。
线性映射的其它性质 ◆线性映射为满射和单射的充要条件： σ为满射等价于 Im(σ)＝Ｗ； σ为 单射等价于 ker(σ)＝｛０｝. ◆Ｖ的子空间的象是Ｗ的一个子空间， 特别 Im(σ) 是Ｗ的子空间。 ◆Ｗ的子空间的原象是Ｖ的子空间， 特别 ker(σ)是Ｖ的子空间。 ◆线性映射的合成映射,线性映射的逆 映射(如果存在的话)仍是线性映射
σ的核记为 ker(σ)，它就是Ｗ的
零子空间在σ之下的原象，即 ker(σ)＝｛ξ∈Ｖ σ(ξ)＝ ＝｛ξ∈ ker(σ)＝｛ξ∈Ｖ│σ(ξ)＝０｝ • 可以看出 ker(σ) 就是σ(ξ)＝０ 的解的集合。例如 sin x 的核就是 sin x＝0 的解的集合｛kπ│k＝ 0,±1,±2,…｝，注意σ(ξ)＝０的 形式，它是齐次线性方程组或由它可 变为齐次线性方程组，因此有时求核 就是求解一个齐次线性方程组