值域与核
高等代数7.6线性变换的值域与核
则 1）A 的值域A (V )是由基象组生成的子空间，即
A (V ) LA (1),A ( 2 ),L ,A ( n )
2）A 的秩＝A的秩.
.
证：1） V , 设 x11 x2 2 L xn n , 于是 A ( ) x1A (1) x2A ( 2 ) L xnA ( n )
.
0 A 1(0), A 1(0) .
又对 , A 1(0), 有A ( ) 0,A ( ) 0 从而 A ( ) A ( ) A ( ) 0. A (k ) kA ( ) k0 0, k P
即 A 1(0), k A 1(0),
A 1(0) 对于V的加法与数量乘法封闭. 故A 1(0)为V的子空间.
.
定义2：线性变换A 的值域A (V )的维数称为A 的秩；
A 的核A 1(0)的维数称为 A 的零度.
例1、在线性空间 P[ x]n 中，令
D f (x) f (x)
则 D P[ x]n P[ x]n1,
D 1(0) P 所以D 的秩为n－1，D 的零度为1.
.
二、有关性质
1. (定理10) 设A 是n 维线性空间V的线性变换，
并把它扩充为V的一组基：1, 2 ,L , r ,L , n 由定理10，A (V ) 是由基象组A (1),A ( 2 ),L ,A ( n )
生成的.
.
但 A ( i ) 0, i 1,2,L , r.
A (V ) LA (r1),L ,A (n )
下证A ( r1),L ,A ( n )为A (V )的一组基，即证它们
由p271补充题2的结论知，A (1),A ( 2 ),L ,A ( n ) 的秩
高代求值域和核的例题
高代求值域和核的例题高代中求值域和核的概念是非常重要的，它们在线性变换的研究中扮演着关键的角色。
本文将通过一个例题来详细介绍求值域和核的概念和应用。
假设我们有一个线性变换T：R^3 -> R^2，其中R表示实数集。
该线性变换可以用一个3x2的矩阵表示为：T = [[1, 2],[3, 4],[5, 6]]现在我们来研究该线性变换的值域和核。
首先，我们来看看该线性变换的值域。
值域是指线性变换T作用在定义域的向量上所得到的所有可能的输出向量构成的集合。
对于这个例子，我们可以将线性变换T作用在R^3的所有向量上，然后观察输出向量的形式。
具体地，我们可以将线性变换T作用在三个标准基向量上，分别是e1 = [1, 0, 0]，e2= [0, 1, 0]，e3 = [0, 0, 1]。
首先，我们将线性变换T作用在e1上，有：T(e1) = [[1, 2],[3, 4],[5, 6]] * [1, 0] = [1, 3, 5]接着，我们将线性变换T作用在e2上，有：T(e2) = [[1, 2],[3, 4],[5, 6]] * [0, 1] = [2, 4, 6]最后，我们将线性变换T作用在e3上，有：T(e3) = [[1, 2],[3, 4],[5, 6]] * [0, 0] = [0, 0, 0]根据上述计算结果，我们可以得到线性变换T的值域为所有形如[1, 3, 5]和[2, 4, 6]的向量的集合。
即值域为R^3中的一个平面。
这个平面可以通过线性变换T将R^3中的向量映射到R^2中。
接下来，我们来看看该线性变换的核。
核是指线性变换T作用在哪些向量上所得到的结果为零向量。
换句话说，核是线性变换T的零空间。
对于这个例子，我们需要找到满足以下条件的向量x：T(x) = [[1, 2],[3, 4],[5, 6]] * x = [0, 0, 0]为了求解上述方程，我们可以将其转化为增广矩阵形式：[[1, 2, 0],[3, 4, 0],[5, 6, 0]]通过高斯消元法，我们可以将该方程组化简为：[[1, 2, 0],[0, 0, 0],[0, 0, 0]]从中可以看出，存在自由变量（即x2和x3），因此核的维度为1。
高等代数7-6线性变换的值域与核
(1), (2 ) 就是 (V ) 的一组基.
法二： (V )=L( (1), (2 ), (3 ), (4 )) ( (1 ), (2 ), (3 ), (4 ))=(1,2,3,4 ) A
1 0 2 1
是单射 是满射. 证明： 是单射
1(0) 0
dim 1(0) 0 dim (V ) n (V ) V 是满射.
例2、设A是一个n阶方阵，A2 A, 证：设A是n维线性空间V的一个线性变换 在一
组基1,2, ,n下的矩阵，即
在 (V ) 中取一组基 ：1,2 ,r 在 1(0) 中取一组基：r1, ,n 则 1,2 ,r ,r1, ,n 就是V的一组基.
显然有，
1 1, 2 2, , r r , r1 0, r2 0, , n 0.
用矩阵表示即
1
1
(1,2 ,n ) (1,2 ,n )
1 0 2 1
A
1
2
1
3
行变换
0
2
3
4
1 2 5 5 ~ 0 0 0 0
2
2 1 2
0
0
0
0
故 (1 ), (2 ), (3 ), (4 ) 的秩为2， (1 ), (2 )是它
的一组最大无关组。
因此， (V ) L (1 ), (2 )
2）因为
1 0 2 1
1
,
2
,1
,
2
证明：ⅰ) 显然.
ⅱ) 因为 0 0, 若 为单射，则 1(0) 0. 反之 ，若 1(0) 0, 任取 、 V , 若
( ) ( ), 则 ( ) ( ) ( ) 0,
考研高数总复习第七章线性变换第六节
同时，
A 这就是说， -1(0) 对加法与数量乘法是封闭的. A A A 因为 (0) = 0，所以 0 -1(0) ，即 -1(0) 是非 空的. 所以 A -1(0) 是 V 的子空间.
A A 秩 A V 的维数称为 的 ， -1(0) 的维数称为 A 的零度.
例 1 在线性空间 P[x]n 中，令 D ( f (x) ) = f (x) .
又 r 是A V 的维
数也即 A 的秩， s - r = n - r 是 A -1(0) 的维数，即
A 的零度. 因而
A 的秩 + A 的零度 = n .
证毕
推论 对于有限维线性空间的线性变换，它是
单射的充分必要条件为它是满射.
证明 显然，当且仅当 A V = V，即 A 的秩
为 n 时， A 是满射； 另外，当且仅当 A -1(0) = {0}
定义线性变换 A 如下：
A (1 , 2 , …, n ) = (1 , 2 , …, n ) A . 下面来证明， A 在一组适当的基下的矩阵是 (1) .
这样，由
定理 4 设线性空间 V 中线性变换 A 在两组
基
1 , 2 , … , n ，
(6)
1 , 2 , … , n
(7)
下的矩阵分别为 A 和 B，从基 (6) 到 (7) 的过渡矩
=A0=0.
A 因 r+1 , r+2 , … , s 属于 -1(0) ，故
A A A r+1 = r+2 = … = s = 0 .
A 又 i = i ，i = 1 , 2 ,… , r .
于是上式就变成
l11 + l22 + … + lrr = 0 .
线性变换的值域与核
1 2) 在 (0)中选一组基，把它扩充为V的一组基，
并求 在这组基下的矩阵.
3) 在 (V ) 中选一组基，把它扩充为V的一组基，
并求 在这组基下的矩阵.
§7.6 线性变换的值域与核
1 1 (0). (0), 它在 1 , 2 , 3 , 4 解：1）先求 设
( ) ( ), 则 ( ) ( ) ( ) 0,
1 从而 (0) 0 ,
即 = . 故 是单射.
§7.6 线性变换的值域与核
4. 设 为n 维线性空间V的线性变换，则
是单射 是满射.
证明： 是单射
1 (0) 0
dim 1 (0) 0
dim (V ) n (V ) V
是满射.
§7.6 线性变换的值域与核
例2、设 1 , 2 , 3 , 4 是线性空间V的一组基，已知
1 0 1 2 线性变换 在此基下的矩阵为 A 1 2 1 2 2 ( V ) (0). 1) 求 及 1 3 5 5 1 2 2 1
k1 k2 kn 0
故 ( r 1 ),, ( n ) 线 性无关，即它为 (V ) 的一组基.
的秩＝n－r .
因此， 的秩＋ 的零度＝n.
§7.6 线性变换的值域与核
注意：
1 虽然 (V ) 与 (0) 的维数之和等于n ，但是
(V) 1(0) 未必等于V.
生成的.
§7.6 线性变换的值域与核
但 ( i ) 0,
i 1,2,, r .
(V ) L ( r 1 ), , ( n )
954-一、值域与核的概念
2) 在 A (0)中选一组基，把它扩充为V的一组基， 的一组基， 中选一组基，把它扩充为 的一组基 在这组基下的矩阵. 并求 A 在这组基下的矩阵 3) 在 A (V ) 中选一组基，把它扩充为 的一组基， 中选一组基，把它扩充为V的一组基 的一组基， 在这组基下的矩阵. 并求 A 在这组基下的矩阵
§7.6 线性变换的值域与核
A −1 (0). 设 ξ ∈ A −1 (0), 它在 ε 1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 解：1）先求 ）
下的坐标为 ( x1 , x2 , x3 , x4 ). 由于 A (ξ ) = 0, 有 A (ξ )在 ε 1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 下的坐标为
因此， 因此，A (V ) = L ( A (ε 1 ), A (ε 2 ),L , A (ε n ) ) .
A 2）由1）， 的秩等于基象组 A (ε 1 ), A (ε 2 ),L , A (ε n ) ） ），
的秩， 的秩，又
( A (ε 1 ), A (ε 2 ),L , A (ε n ) ) = (ε 1 , ε 2 ,L , ε n, ) A.
就是V的一组基 的一组基. 则 η1 ,η2 L ,η r ,η r +1 ,L ,η n 就是 的一组基 显然有， 显然有，
A (η1 ) = η1 , A (η2 ) = η 2 , L , A (ηr ) = ηr ,
A (ηr +1 ) = 0, A (η r + 2 ) = 0, L , A (η n ) = 0.
⇔ dim A −1 (0) = 0
⇔ dim A (V ) = n ⇔ A (V ) = V
⇔ A 是满射 是满射.
§7.6 线性变换的值域与核
高等代数线性变换的值域与核
. .. . . ..
线性变换的秩与零度
定义 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，A 是 V 上线性变换，称 dim ImA 为 A 的秩，dim ker A 为 A 的零度或亏. 例 在线性空间 P[x]n 中，令
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
线性变换的值域与核的概念
定义 设 A 是线性空间 V 的一个线性变换，A 的全体像组成的集合 称为 A 的值域，用 A V（或者 ImA ）表示. 所有被 A 变成零 向量的向量组成的集合称为 A 的核，用 A −1(0)（或者 ker A ） 表示.
若用集合的记号则
A V = {A ξ|ξ ∈ V}, A −1(0) = {ξ|A ξ = 0, ξ ∈ V}.
注 上面的定理说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持秩不变.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
线性变换的维数公式
定理 设 A 是 n 维线性空间 V 的线性变换. 则 A V 的一组基的原像 及 A −1(0) 的一组基合起来就是 V 的一组基. 由此还有
证 设 A V 的一组基为 η1, η2, · · · , ηr，它们的原像为 ε1, ε2, · · · , εr，A εi = ηi, i = 1, 2, · · · , r. 又取 A −1(0) 的一组基为 εr+1, εr+2, · · · , εs. 现在证 ε1, ε2, · · · , εr, εr+1, · · · , εs 为 V 的基. 如果 有
线性变换的值域与核的概念
核空间与值域
核空间与值域核空间与值域，是线性代数中的两个重要概念。
它们分别描述了一个线性变换的两个关键性质：核空间（null space）描述了线性变换的零空间，而值域（range）则描述了线性变换在所有输入向量中所能达到的全部输出向量。
本文将对核空间与值域进行详细介绍及探讨。
一、核空间核空间是线性变换的一个重要属性，也叫做零空间。
对于线性变换T:V→W（其中 V 和 W 是向量空间），其核空间定义为使得 T(v) = 0的所有 v 向量的集合，记作 N(T) 或者 ker(T)。
核空间的性质与特点：1. 零向量必定属于核空间：对于线性变换 T，显然存在 T(0) = 0，因此零向量是核空间的元素之一。
2. 任意向量经过线性变换后成为零向量，则该向量属于核空间：若T(v) = 0，v 是 T 的核空间中的向量。
3. 核空间中的向量可以通过线性组合得到：若 v1 和 v2 属于核空间，α 和β 是标量，则αv1 + βv2 也属于核空间。
二、值域值域是描述线性变换的另一个重要参数。
对于线性变换T:V→W，其中 V 和 W 是向量空间，T 的值域定义为所有 T(v)（v 属于 V）所组成的向量的集合，记作 R(T) 或者 Im(T)。
值域的性质与特点：1. 值域是一个向量空间：对于线性变换 T，其值域 R(T) 是 W 的向量子空间。
2. 值域中的向量可以通过线性组合得到：若 v1 和 v2 属于值域 R(T)，α 和β 是标量，则αv1 + βv2 也属于 R(T)。
三、核空间与值域的关系核空间和值域是线性变换的两个重要性质，它们之间具有一定的关联。
1. 零空间的维度与线性变换的秩存在关系：对于线性变换 T，其核空间 N(T) 和值域 R(T) 满足维度定理（dimension theorem）：dim(N(T)) + dim(R(T)) = n，其中 n 是向量空间 V 的维度。
2. 核空间与值域之间的相关性：若向量 v 属于向量空间 V，且 v 不属于核空间 N(T)，则 T(v) 属于值域 R(T)。
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用集合的记号则
A = ,A =
线性变换的值域与核都是 的子空间.
A 的维数称为A的秩，A 的维数称为A的零度.
例1在线性空间 中，令
D
则D的值域就是 ，D的核就是子空间 .
高等代数教案
郑州升达经贸管理学院何俊
教学题目
线性变换的值域与核（20min）
教学目标
掌握线性变换的值域、核、秩、零度等概念
深刻理解和掌握线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系
教学重点
线性变换的值ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、核、秩、零度
教学难点
线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系
教
学
过
程
引言
新
课
内
容
一、线性变换的值域与核的概念
二、值域与核的相关性质
定理设A是 维线性空间 的线性变换， 是 的一组基，在这组基下A的矩阵是 ，则
1）A的值域A 是由基像组生成的子空间，即
A =
2）A的秩= 的秩.
定理说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持不变.
总结
A = =
A =
A的秩= 的秩.