江苏省南菁高级中学2017_2018学年高一数学下学期期中试题

江苏省南菁高级中学2017-2018学年第二学期期中考试高一数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1、不等式()()031<-+x x 的解集为_____▲_______.2、等差数列{}n a 中，已知3812a a +=，那么10S 的值是______▲_______3、在ABC ∆中，已知3,2,600===c b A ，则=a _____▲_______.4、若()3,1A 、()1,2--B 在直线02=++m y x 的两侧，则m 的取值范围是_▲_______．5、已知直线131=+y ax l ：，()1122=++y a x l ：，若21l l ⊥，则实数a 的值是_____▲_______.6、在数列{}n a 中，11=a ，2111=-+nn a a ， 此数列的通项公式n a =_▲__. 7、设等比数列{}n a 的公比21=q ，前n 项和为n S ，则44a S =______▲_______ 8、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3002x y x y x 所表示的平面区域的面积是_____▲_______9、已知点)2,6(),3,1(N M ，点P 在x 轴上，且使PN PM +取最小值时，则点P 的坐标______▲____. 10、如果满足3=a ,k b =, 45=B 的ABC ∆恰有两个，那么k 的取值范围为_____▲____. 11、若函数861)(2++-=k kx kx x f 的定义域是R ，则实数k 的取值范围为 ▲ ．12、已知直线l 经过两直线07311=-+y x 和01912=-+y x 的交点，且)2,3(-A 到l 的距离与)6,1(-B 到l 的距离之比为1:3，则直线l 的方程是 ▲ .13、若y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x m x y xy ，且目标函数z x my =+的最大值等于2，则m = ▲ ．14、设各项均为正整数的无穷等差数列{}n a ，满足125838=a ，且存在正整数k ，使k a a a ,,381成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15、(本小题满分14分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 5A =,1tan()3B A -=.⑴求tan B 的值；⑵若13c =，求ABC △的面积.16、（本小题满分14分）已知直线081=++n y mx l ：和直线0122=-+my x l ：，试确定n m ,的值，使： (1) 1l 和2l 相交于点)1,(-m P ； (2) 21//l l ；(3) 21l l ⊥，且1l 在y 轴上的截距为-1.17、（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,，且B ac b c a sin 332222=-+。

(1) 求角B 的大小； (2) 若3=b ，且⎪⎭⎫⎝⎛∈2,6ππA ，求c a +的取值范围.18、（本小题满分16分）数列{}n a 中，3,941==a a 且满足*++∈+=N n a a a n n n ,221（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n a a a S +++=......21，求n S ；（3）设)()13(2*∈-=N n a n b n n ，*∈+++=N n b b b T n n ,......21，是否存在最大的整数m ，使得对任意*∈N n ，均有32mT n >成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。

19、（本小题满分16分）已知b x a a x x f +-+-=)5(3)(2（1）当不等式0)(>x f 的解集为()3,1-时，求实数b a ,的值； （2）若对任意实数a ，2)2()1(b f b ≤+恒成立，求实数b 的取值范围； （3）设b 为常数，解关于a 的不等式6)32()1(2+-+-<b b a b bf .20、（本小题满分16分）已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足112-+==n n n a na S a μλ，，其中2≥n ，*∈N n ，R ∈μλ,.（1）若4,0==μλ，n n n a a b 21-=+（*∈N n ），求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n a 是等比数列，求μλ,的值； （3）若32=a ，且23=+μλ，求证：数列{}n a 是等差数列.江苏省南菁高级中学2017-2018学年第二学期期中考试高一数学试卷参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．()3,1- 2．60 3．7 4．()5,5- 5．53-6．121-n 7．15 8． 16 9． ()0,4 10．⎪⎪⎭⎫⎝⎛3,26 11．[)1,0 12．01332=++=y x x 或 13．21+ 14． 82 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（1）在ABC △中，由3cos 5A =，得A为锐角，所以4sin 5A =，所以sin 4tan cos 3A A A ==，………………………………………………………………2分 所以tan()tan tan tan[()]1tan()tan B A AB B A A B A A-+=-+=--⋅. ………………………………4分1433314133+==-⨯ …………………………………………………………6分 （2）在三角形ABC 中,由tan 3B =，所以sin B B ==， ………………………………………………8分由sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=10分 由正弦定理sin sin b c B C =,得13sin sin c B b C ==，………………………12分 所以ABC △的面积114sin 151378225S bc A ==⨯⨯⨯=. …………………………14分 16．解：(1)联立2-802--10m n m m ⎧+=⎨=⎩，，解得17m n =⎧⎨=⎩，，所以当m=1，n=7时，l 1与l 2相交于点P (m ，-1). ……………4分(2)由题意得2m =8m ，即m 2-16=0，得m=±4. ……………6分 又2m ≠-1n ，即n ≠-2m ，所以m=4，n ≠-2或m=-4，n ≠2时，l 1∥l 2. ……………9分 (3)当且仅当m×2+8×m=0，即m=0时，l 1⊥l 2. ……………11分又-8n=-1，所以n=8，即m=0，n=8时，l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为-1. (14)分17、解：（1）B ac b c a sin 332222=-+ B ac B ac sin 332cos 2=∴ B B sin cos 3=∴，……………4分 显然0cos ≠∴B ，3tan =∴B ， 又B 是三角形内角，3π=∴B ……………6分（2）3=b ，2sin 2==∴BbR A A A A B A R c a cos 3sin 3)3sin(2sin 2)sin (sin 2+=++=+=+∴π)6sin(32π+=A ……………10分⎪⎭⎫⎝⎛∈2,6ππA ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+∴32,36πππA ，⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+∴1,23)6sin(πA ……………12分(]32,3∈+∴c a ……………14分18、解：（1）由*++∈+=N n a a a n n n ,221，可知{a n }成等差数列，d ＝a 4－a 14－1 ＝－2∴a n ＝11－2n .............3分（2）由a n ＝11－2n ≥0得n ≤5∴当n ≤5时，S n ＝－n 2＋10n ； 当n >5时，S n ＝n 2－10n ＋50 故S n ＝⎩⎨⎧－n 2＋10n 1≤n ≤5n 2－10n ＋50 n ＞5（n ∈N *） .............9分 （3）b n ＝2n(13－a n ) ＝1n(n ＋1) ＝ 1n －1n ＋1∴T n ＝ b 1＋b 2＋…＋b n＝ (1－12 )＋(12 －13 )＋(13 －14 )＋……＋(1n －1 －1n )+(1n －1n+1 ) ＝1－1n ＋1∴T n单调递增 .............14分 ∴要使T n >m 32 恒成立，只要使m 32 <T 1＝12，即m <16，（m ∈Z ）故整数m 的最大值为15．.............16分19、解：（1）由题可知⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-3323)5(b a a ，⎩⎨⎧==∴932b a 或 ………………………4分（2）12102)2(2-++-=b a a f1211)1(10)1(2)2()1(22--+++-=-+∴b a b a b b f b原题转化为01211)1(10)1(22≤--+++-b a b a b 对任意实数a 恒成立 即01211)1(10)1(22≥+++-+b a b a b 恒成立①01=+b 即1-=b 时，01≥恒成立； ……………………6分 ②01≠+b 时，⎩⎨⎧≤∆>+001b0)13)(1(4)1211)(1(8)1(1002≤++=++-+=∆b b b b b311-≤<-∴b ………………………8分综上311-≤≤-b ………………………9分(3) 35)1(2-++-=b a a f不等式6)32()1(2+-+-<b b a b bf 可化为062)33(2<--++-b a b ba062)33(2>+++-b a b ba 即0)3)(2(>---b ba a①0=b 时，0)2(3>--a ，2<∴a ； ……………………10分 ②0>b 时，对应方程的两根为2和bb 3+ （ⅰ）3=b 时，0)2(32>-a ，()()+∞∞-∈,22, a（ⅱ）3<b 时，b b 32+<，()⎪⎭⎫⎝⎛+∞+∞-∈,32,b b a （ⅲ）3>b 时，b b 32+>，()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-∈,23, b b a ……………………13分③0<b 时，对应方程的两根b b 32+>，⎪⎭⎫⎝⎛+∈∴2,3b b a …………………15分 综上：0<b 时， ⎪⎭⎫⎝⎛+∈2,3b b a 0=b 时， ()2,∞-∈a30<<b 时， ()⎪⎭⎫⎝⎛+∞+∞-∈,32,b b a 3≥b 时，()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-∈,23, b b a ………………16分20．（1）证明：若=0,4 =λμ，则当14n n S a -=(2n ≥),所以1114()n n n n n a S S a a ++-=-=-， 即1122(2)n n n n a a a a +--=-，所以12n n b b -=， ………………………2分 又由12a =，1214a a a +=，得2136a a ==，21220a a -=≠，即0n b ≠， 所以12nn b b -=，故数列{}n b 是首项为2公比为2的等比数列．故n n b 2= ………………………………4分 （2）若{}n a 是等比数列，设其公比为q （0q ≠ ）， 当2n =时，2212S a a =+λμ，即12212a a a a +=+λμ，得12q q +=+λμ， ① 当3n =时，3323S a a =+λμ，即123323a a a a a ++=+λμ，得 2213q q q q ++=+λμ， ② 当4n =时，4434S a a =+λμ，即1234434a a a a a a +++=+λμ，得 233214+q q q q q ++=+λμ， ③ ② ① q ，得21q =λ ， ③ ② q ，得31q =λ ， 解得1,1 q ==λ．代入①式，得0=μ．…………………………………………………………………8分 此时n n S na =(2n ≥)，所以12n a a ==，{}n a 是公比为１的等比数列，故10 ==，λμ． ……………………………………………………………………10分 （3）证明：若23a =，由12212a a a a +=+λμ，得562=+λμ， 又32+=λμ，解得112==，λμ．…………………………………………………12分 由12a =，23a =， 12λ= ，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =，所以1a ，2a ，3a 成等差数列， 由12n n n n S a a -=+，得1112n n n n S a a +++=+，两式相减得：111122n n n n n n na a a a a ++-+=-+- 即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----= 所以21(1)20n n n na n a a ++---=相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+= 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+-1321(2)(2)(1)2n a a a n n --==-+- ， ……………………………………14分因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=，即数列{}n a 是等差数列.………………………………………………………………16分。