第9章 图
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建筑工程制图课件 第九章 建筑施工图(1概述总平)
通用详图中的定位轴线，应只画圆，不注写轴线 编号。
组合较复杂的平面图中定位轴线也可采用分区编号
折线形平面定位轴线的编号
圆形平面定位轴线的编号
圆形与弧形平面图中的定位轴线，其径向轴线应以角度进 行定位，其编号宜用阿拉伯数字表示，从左下角或-90°(若径向 轴线很密，角度间隔很小)开始，按逆时针顺序编写；其环向轴 线宜用大写拉丁字母表示，从外向内顺序编写
的顺序排列）通读一遍，对工程对象先有一个大概的了解。
（3）负责不同专业的技术人员，根据不同要求，重点深入地 阅读不同类别的图纸。阅读时，应按先整体后局部，先文字说 明后图样，先图形后尺寸等原则依次仔细阅读。同时应特别注 意各类图纸之间的联系，以避免发生矛盾而造成质量事故和经 济损失。
建筑施工图的有关规定GB50104—2010 1. 图线
总平面图中应标注出 新建建筑物的总长、总宽
及与周围房屋或道路的间
距。同时还应标注出新建
总图中的坐标 、标高、距离宜以 米为单位，并宜取 至小数点后两位，
房屋底层室内地面和室外 整平地面的绝对标高。
室外整平地坪 的绝对标高
不足时以“0”补齐
4、定位
新建建筑物可以根据原有的建筑物或道路来定位，也 可以根据坐标（测量坐标或施工坐标）来定位。
建房屋的平面形状、位置、朝向及其与周围环境的相互关系 。它是新建房屋的定位放线、土方施工以及施工现场布置的 依据，也是其他专业（如水、电、暖、煤气）的管线总平面 图规划布置的依据。
建筑施工图——总平面图
二、总平面图的内容 1、图名与比例 图名：总平面图 比例：1：500 ， 1：1000， 1：2000
4. 定位轴线及其编号
定位轴线是施工定位、放线的重要依据。凡是承重的墙、 柱、梁、屋架、基础等构件都要画上轴线并进行编号，以确定 其位置，这些轴线称为定位轴线。对于非承重的分隔墙、次要 承重构件等，一般采用附加轴线来定位，也可注明它们与附近 轴线的相关尺寸来确定。
组合较复杂的平面图中定位轴线也可采用分区编号
折线形平面定位轴线的编号
圆形平面定位轴线的编号
圆形与弧形平面图中的定位轴线，其径向轴线应以角度进 行定位，其编号宜用阿拉伯数字表示，从左下角或-90°(若径向 轴线很密，角度间隔很小)开始，按逆时针顺序编写；其环向轴 线宜用大写拉丁字母表示，从外向内顺序编写
的顺序排列）通读一遍，对工程对象先有一个大概的了解。
（3）负责不同专业的技术人员，根据不同要求，重点深入地 阅读不同类别的图纸。阅读时，应按先整体后局部，先文字说 明后图样，先图形后尺寸等原则依次仔细阅读。同时应特别注 意各类图纸之间的联系，以避免发生矛盾而造成质量事故和经 济损失。
建筑施工图的有关规定GB50104—2010 1. 图线
总平面图中应标注出 新建建筑物的总长、总宽
及与周围房屋或道路的间
距。同时还应标注出新建
总图中的坐标 、标高、距离宜以 米为单位，并宜取 至小数点后两位，
房屋底层室内地面和室外 整平地面的绝对标高。
室外整平地坪 的绝对标高
不足时以“0”补齐
4、定位
新建建筑物可以根据原有的建筑物或道路来定位，也 可以根据坐标（测量坐标或施工坐标）来定位。
建房屋的平面形状、位置、朝向及其与周围环境的相互关系 。它是新建房屋的定位放线、土方施工以及施工现场布置的 依据，也是其他专业（如水、电、暖、煤气）的管线总平面 图规划布置的依据。
建筑施工图——总平面图
二、总平面图的内容 1、图名与比例 图名：总平面图 比例：1：500 ， 1：1000， 1：2000
4. 定位轴线及其编号
定位轴线是施工定位、放线的重要依据。凡是承重的墙、 柱、梁、屋架、基础等构件都要画上轴线并进行编号，以确定 其位置，这些轴线称为定位轴线。对于非承重的分隔墙、次要 承重构件等，一般采用附加轴线来定位，也可注明它们与附近 轴线的相关尺寸来确定。
九章节图
a 8
c 30 5
d 6
32
13 b
97
g
2
f 17
e
13 8 30 32
9 7
5
w 6
2
17
LT’(x)=min{LT(x), LT(t1)+W({t1,x})}。 把T’代为T,把P’代为P,把LT’(x)代为LT(x)， 重复步骤(2)。
例 求图9.9中从a到z的最短通路的长
b
1
a
2
4
c
7
d
2
5
3
z
6
1
e
b
1
a
2
4
d 2
3T(x)
abcdez
T={a}
1 4 ∞∞∞
T={a,b}
带权图中的最短通路
设G=(V,E,W)是一个带权图， 其W是边集E 到R+={x∊R│x>0} 的一个函数。 通常称 W(e)为边e的长度， 图G中一个通路的长度定义为通路中所经过的边的 长度之和。 设 v0,z∊V， 要求从 v0到z的最短通路的长。
Dijkstra算法的基本思想
先把V分成两个子集，
a b c d e fg L 13 8 13 19 21 20
狄克斯瑞 （Edsger Wybe Dijkstra， 1930-2002.08.02）
计算机编程艺术与科学创建人之一. 1930年出生在荷兰鹿特丹市，于 2002年8月6日在荷兰家中与世长辞 。他在欧洲和美国曾从事首次航空 和结构计算机模拟的工作。曾是开 发Algol的委员会成员。他编写了第 一个Algol 60编译器。 1972年，荣获 美国计算机协会的图灵奖。
《物理化学第4版》第九章9-6 润湿现象 PPT课件
6
例 20℃时，水的表面张力为0.072Nm-1，水银 的表面张力为0.483Nm-1，水银-水的界面张力 为0.375Nm-1，试判断是水银在水表面铺展， 还是水在水银表面铺展？
解： S水/水银=σg/水银-σ水/水银-σg/水 =0.483-0.375-0.072 =0.036 Nm-1>0, 水在水银表面铺展。
20
§9 - 6 润湿现象
一、润湿 定义：固体表面上的气体(或液体)被液体(或 另一种液体)取代的现象。
需要润湿：机械润滑、洗涤、印染、焊 接、注水采油等.
不需要润湿：防雨布、防水涂料等。
1
按润湿程度不同分为三种类型: 附着润湿； 浸渍润湿； 铺展润湿。
2
1、附着润湿
σ g/s σ g/l
正过程（固液接触）： ΔGa=σ l/s-(σ l/g+σ g/s)
σ l/s
逆过程：
附着润湿示意图
-ΔGa=(σl/g+σg/s)-σ l/s = Wa
Wa 称为液体的附着功。
3
2、浸渍润湿
σ g/s
正过程(固液接触)： ΔGi=σ l/s-σ g/s
浸渍润湿示意图
逆过程：
-ΔGi=σ g/s-σ l/s= Wi σ l/s Wi 称为液体的浸渍功。
4
3、铺展润湿 液滴在固体(或液体)表面上完全铺开成为薄膜.
1．答： C
2.接触角是指：
2．答： A
（A）ｇ／ｌ界面经过液体至ｌ／ｓ界面间的夹角
（B）ｌ／ｇ界面经过气相至ｇ／ｓ界面间的夹角
（C）ｇ／ｓ界面经过固相至ｓ／ｌ界面间的夹角
（D）ｌ／ｇ界面经过气相和固相至ｓ／ｌ界面间的
夹角
17
3.高分散度固体表面吸附气体后，可使固体表
例 20℃时，水的表面张力为0.072Nm-1，水银 的表面张力为0.483Nm-1，水银-水的界面张力 为0.375Nm-1，试判断是水银在水表面铺展， 还是水在水银表面铺展？
解： S水/水银=σg/水银-σ水/水银-σg/水 =0.483-0.375-0.072 =0.036 Nm-1>0, 水在水银表面铺展。
20
§9 - 6 润湿现象
一、润湿 定义：固体表面上的气体(或液体)被液体(或 另一种液体)取代的现象。
需要润湿：机械润滑、洗涤、印染、焊 接、注水采油等.
不需要润湿：防雨布、防水涂料等。
1
按润湿程度不同分为三种类型: 附着润湿； 浸渍润湿； 铺展润湿。
2
1、附着润湿
σ g/s σ g/l
正过程（固液接触）： ΔGa=σ l/s-(σ l/g+σ g/s)
σ l/s
逆过程：
附着润湿示意图
-ΔGa=(σl/g+σg/s)-σ l/s = Wa
Wa 称为液体的附着功。
3
2、浸渍润湿
σ g/s
正过程(固液接触)： ΔGi=σ l/s-σ g/s
浸渍润湿示意图
逆过程：
-ΔGi=σ g/s-σ l/s= Wi σ l/s Wi 称为液体的浸渍功。
4
3、铺展润湿 液滴在固体(或液体)表面上完全铺开成为薄膜.
1．答： C
2.接触角是指：
2．答： A
（A）ｇ／ｌ界面经过液体至ｌ／ｓ界面间的夹角
（B）ｌ／ｇ界面经过气相至ｇ／ｓ界面间的夹角
（C）ｇ／ｓ界面经过固相至ｓ／ｌ界面间的夹角
（D）ｌ／ｇ界面经过气相和固相至ｓ／ｌ界面间的
夹角
17
3.高分散度固体表面吸附气体后，可使固体表
第9章 裂隙水
第九章 裂隙水
第一节 裂隙水的特点 第二节 构造裂隙水 第三节
第四节
断层带的水文地质意义
裂隙介质的研究方法
第一节
裂隙水的特点
裂隙水：赋存于坚硬、半坚硬岩石裂隙中的重力水。
特点：
（1）埋藏和分布具有不均一性和一定的方向性——有的 地方打井有水，有的地方无水 （2）基岩裂隙含水层的形态多种多样——裂隙水含水系 统的迭置与独立 （3）明显受地质构造因素控制——地质构造发育地带是 富水地段 裂隙水特点 （4）水动力条件比较复杂——KX≠KY 按含水裂隙的产状 脉状裂隙水 层状裂隙水 当岩层中张开裂隙比较密集均匀且相互连通时，
导水能力弱
一、裂隙发育规律的控制因素
岩石（层）力学性质——决定了受力后的破坏形式。 性质—
• 塑性岩石：以页岩、泥岩、凝灰岩、千枚岩等为代表，受 力后发生塑性形变
• 脆性岩石：以块状致密石灰岩、非泥质胶结的砂岩为 代表, 岩石主要呈现弹性形变，破坏时以拉断为主
结构（厚层，互层等）
层状破坏
•集水廓道作用
发育在透水围岩中的断层，不仅是贮水空间，还兼具集水 廊道的功能。 钻孔或坑道揭露断层带时，水位下降波及整个断层带，形 成延展相当长的水位低槽，断层带就像集水廊道，汇集广 大范围岩体裂隙中的水，往往涌水量大而稳定。
•导水通道作用
•隔水屏障作用---阻水作用（隔水边界）
二、断裂带的水文地质意义
第二节 构造裂隙水
构造裂隙：在地壳运动过程中岩石在构造应 力作用下产生的，是裂隙水研究的主要对象。
张性裂隙 扭性裂隙 压性裂隙
受力 节理 特点 断层 特点
张应力 张节理 开裂隙 张性断层 正断层 含水空间大
导水能力强
剪应力 扭节理 闭裂隙 扭性断层 平移断层
第一节 裂隙水的特点 第二节 构造裂隙水 第三节
第四节
断层带的水文地质意义
裂隙介质的研究方法
第一节
裂隙水的特点
裂隙水：赋存于坚硬、半坚硬岩石裂隙中的重力水。
特点：
（1）埋藏和分布具有不均一性和一定的方向性——有的 地方打井有水，有的地方无水 （2）基岩裂隙含水层的形态多种多样——裂隙水含水系 统的迭置与独立 （3）明显受地质构造因素控制——地质构造发育地带是 富水地段 裂隙水特点 （4）水动力条件比较复杂——KX≠KY 按含水裂隙的产状 脉状裂隙水 层状裂隙水 当岩层中张开裂隙比较密集均匀且相互连通时，
导水能力弱
一、裂隙发育规律的控制因素
岩石（层）力学性质——决定了受力后的破坏形式。 性质—
• 塑性岩石：以页岩、泥岩、凝灰岩、千枚岩等为代表，受 力后发生塑性形变
• 脆性岩石：以块状致密石灰岩、非泥质胶结的砂岩为 代表, 岩石主要呈现弹性形变，破坏时以拉断为主
结构（厚层，互层等）
层状破坏
•集水廓道作用
发育在透水围岩中的断层，不仅是贮水空间，还兼具集水 廊道的功能。 钻孔或坑道揭露断层带时，水位下降波及整个断层带，形 成延展相当长的水位低槽，断层带就像集水廊道，汇集广 大范围岩体裂隙中的水，往往涌水量大而稳定。
•导水通道作用
•隔水屏障作用---阻水作用（隔水边界）
二、断裂带的水文地质意义
第二节 构造裂隙水
构造裂隙：在地壳运动过程中岩石在构造应 力作用下产生的，是裂隙水研究的主要对象。
张性裂隙 扭性裂隙 压性裂隙
受力 节理 特点 断层 特点
张应力 张节理 开裂隙 张性断层 正断层 含水空间大
导水能力强
剪应力 扭节理 闭裂隙 扭性断层 平移断层
第9章 组件图
2. 组件图的作用
2）对可执行文件之间的相互关系建模
3. 组件图的工具支持
1）正向工程 根据模型产生源代码。
3. 组件图的工具支持
2）逆向工程 通过源代码或目标文件（如java的类文件），得到类图 或组件图。
组件是某些逻辑元素，如类、协作等的物理实现。
类可有属性和 什么是组件和组件图
组件标准构造型： <<executable>> <<library>> <<table>> <<file>> <<document>>
2. 组件图的作用
1）对源代码文件之间的相互关系建模
第9章 组件图
<<executable>> HelloWorld.class
HelloWorld.java
TestApplet.html
broadcast.jpg
1. 什么是组件和组件图
组件（component）：
是系统中遵从一组接口且提供其实现的物理的、可 替换的部分。 组件图（component diagram）： 显示一组构件以及它们之间的相互关系，包括编译、 链接和执行时组件之间的依赖关系。 组件图是对OO系统物理方面建模的两个图之一。
1. 什么是组件和组件图
组件类型： 配置组件，如dll文件、exe文件、COM+对象、 CORBA对象、动态Web页、数据库表、基础数据文件、 帮助文件等。 工作产品组件，可用来产生配置组件，如源代码、 数据文件等。 执行组件，系统执行后得到的组件，如组件实例。
1. 什么是组件和组件图
组件与类： 类是逻辑抽象，组件是物理抽象、可位于结点上。
第09章 绘制轴测图
9.1.2
使用“草图设置” 使用“草图设置”对话框激活轴测投影模式
要激活轴测投影模式，可选择“工具” 草图设置 菜单， 草图设置” 要激活轴测投影模式，可选择“工具”>“草图设置”菜单，打开
“草图设置”对话框。打开“捕捉和栅格”选择卡，在“捕捉类型和 草图设置”对话框。打开“捕捉和栅格”选择卡， 样式”设置区中选择“栅格捕捉” 样式”设置区中选择“栅格捕捉”与“等轴测捕捉”单选钮，如图9-1 等轴测捕捉”单选钮，如图 所示。 所示。
14
11
9.4.2
标注支架轴测图
了解了轴测图中标注尺寸的方法，下面对绘制的支架进行标注， 了解了轴测图中标注尺寸的方法，下面对绘制的支架进行标注，
如图9-4所示。 如图 所示。 所示
12
上机实践——绘制托架轴测图 绘制托架轴测图 上机实践
前面已经详细介绍了轴测图的绘制方法，下面绘制如图9-5所 前面已经详细介绍了轴测图的绘制方法 ， 下面绘制如图 所 示轴测图。 示轴测图。
标注轴测图的一般步骤
标注轴测图尺寸的一般步骤如下： 标注轴测图尺寸的一般步骤如下： （1）创建两种文字类型，其倾斜角分别为 °和-30°。 ）创建两种文字类型，其倾斜角分别为30° ° 轴测投影轴画尺寸线， （2）如果沿 或Y轴测投影轴画尺寸线，则可用“对齐标注”命 ）如果沿X或 轴测投影轴画尺寸线 则可用“对齐标注” 令画出最初的尺寸标注。如果用户沿Z投影轴画尺寸线 投影轴画尺寸线， 令画出最初的尺寸标注。如果用户沿 投影轴画尺寸线，这时既 可以用“对齐标注”又可以用“线性标注”命令进行最初的标注。 可以用“对齐标注”又可以用“线性标注”命令进行最初的标注。
6
9.2.1
绘制直线
在轴测投影模式下绘制直线的最简单的办法就是使用捕捉、 在轴测投影模式下绘制直线的最简单的办法就是使用捕捉、
电子工程制图第9章 装配图
(1) 当剖视图的剖切平面通过螺钉、螺母、垫圈等连接件 和实心件(如轴、杆、键、销、球等)的基本轴线时，这些零件 按不剖绘制。
(2) 相邻两零件接触在一起(即基本尺寸相同)，规定只画一 条轮廓线。相邻两零件不接触，无论间隙多小，均应留有间隙。
第9章 装 配 图
(3) 对于两相邻零件，当其剖切后，剖面线符号应有所区 别。若两相邻零件为金属材料，则应改变剖面线的方向和间隔 加以区别。
第9章 装 配 图 图9-9 沉孔
第9章 装 配 图 图9-10 凸台
第9章 装 配 图 2．螺纹连接结构 (1) 为保证拧紧，应适当加长螺纹尾部，在螺杆上加工出 退刀槽，在螺孔上做出凹坑或倒角，如图9-11所示。
图9-11 螺纹连接结构
第9章 装 配 图 (2) 为了便于拆装，必须留出扳手的活动空间(见图9-12)和 装拆螺栓的空间(见图9-13)。
第9章 装 配 图
第9章 装 配 图
第9章 装 配 图
第9章 装 配 图
第9章 装 配 图
9.1 装配图的作用和内容
表达整件或部件的图样称为装配图。装配图反映设计者 的意图，表达装配体的工作原理、性能要求、零件之间的装 配关系和零件的主要结构形状，以及在装配、检验、安装时 所需要的尺寸数据和技术要求。在进行设计、装配、调试、 检验、使用和维修时都需要装配图。
(4) 同一零件在装配图的不同视图中，其剖面线的方向和 间隔应完全一致。当零件厚度较薄时，其剖面线允许涂黑。
图9-2所示的示例综合体现了装配图上的规定画法。
第9章 装 配 图 图9-2 装配图的规定画法
第9章 装 配 图
9.2.2 特殊表达方法 1．沿零件结合面剖切和拆卸画法 在装配图的某个视图上，当某些零件遮住了需要表达的某
(2) 相邻两零件接触在一起(即基本尺寸相同)，规定只画一 条轮廓线。相邻两零件不接触，无论间隙多小，均应留有间隙。
第9章 装 配 图
(3) 对于两相邻零件，当其剖切后，剖面线符号应有所区 别。若两相邻零件为金属材料，则应改变剖面线的方向和间隔 加以区别。
第9章 装 配 图 图9-9 沉孔
第9章 装 配 图 图9-10 凸台
第9章 装 配 图 2．螺纹连接结构 (1) 为保证拧紧，应适当加长螺纹尾部，在螺杆上加工出 退刀槽，在螺孔上做出凹坑或倒角，如图9-11所示。
图9-11 螺纹连接结构
第9章 装 配 图 (2) 为了便于拆装，必须留出扳手的活动空间(见图9-12)和 装拆螺栓的空间(见图9-13)。
第9章 装 配 图
第9章 装 配 图
第9章 装 配 图
第9章 装 配 图
第9章 装 配 图
9.1 装配图的作用和内容
表达整件或部件的图样称为装配图。装配图反映设计者 的意图，表达装配体的工作原理、性能要求、零件之间的装 配关系和零件的主要结构形状，以及在装配、检验、安装时 所需要的尺寸数据和技术要求。在进行设计、装配、调试、 检验、使用和维修时都需要装配图。
(4) 同一零件在装配图的不同视图中，其剖面线的方向和 间隔应完全一致。当零件厚度较薄时，其剖面线允许涂黑。
图9-2所示的示例综合体现了装配图上的规定画法。
第9章 装 配 图 图9-2 装配图的规定画法
第9章 装 配 图
9.2.2 特殊表达方法 1．沿零件结合面剖切和拆卸画法 在装配图的某个视图上，当某些零件遮住了需要表达的某
静力学和材料力学课件第九章 扭转(H)
B
C
C'
d dx
第九章 扭
转
1.变形几何关系
d γ dx
2.物理关系
G
d G dx
max
O
d ? dx
第九章 扭
转
3.静力学关系
d 2 T dA G dA A A dx d G 2 dA dx A
第九章 扭
转
M1
（2）计算A、C两截面间的相对扭转角
A
75
M 2 50 M 3
C
500
B
750
A B
T1l1 2.5 103 750 103 7.55 103 rad GI P1 80 109 754 1012 32
T2l2 1.5 103 500 103 15.28 103 rad GI P 2 80 109 504 1012 32
1、实验
D
t
D / t 20
第九章 扭
转
实验现象：
(a) 纵向线倾斜了同一微小角度,方格变成了菱形。 (b) 圆周线的形状大小及圆周线之间的距离没变，只是绕
圆筒的轴线发生了相对转动。
第九章 扭
转
2、应力分析
A、切应力的存在性
由剪切变形剪应变单元 体的两侧必然有切应力。
a d
b c
B、正应力不存在性
第九章 扭 转
§9.2 外力偶矩的计算
一、外力偶矩的计算
2n P M M 60
扭矩和扭矩图
P——传递的功率（kW） n——轴的转速（r/min）
P P M 9 549 ( N m) 9.55 (kN m) n n
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2015-5-12 143-5
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
四色猜想
2015-5-12
143-6
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
高速数字计算机
2015-5-12
143-7
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
教学目标
图是一类具有广泛实际问题背景的数学模型， 有着极其丰富的内容，是数据结构等课程的先修内 容。学习时应掌握好图论的基本概念、基本方法和 基本算法，善于把实际问题抽象为图论的问题，然 后用图论的方法去解决。 图论作为一个数学分支，有一套完整的体系和 广泛的内容，本篇仅介绍图论的初步知识，其目的 在于今后对计算机有关学科的学习和研究时，可以 以图论的基本知识作为工具。
若边e与有序结点对<u, v>相对应，则称e为有向 边(Directed Point)(或弧)，记为e = <u, v>，这时 称 u 为 e 的始点 (Initial Point)( 或弧尾 ) ， v 为 e 的终 点(terminal Point)(或弧头)，统称为e的端点。
2015-5-12 143-17
2015-5-12
143-18
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
例9.2.2
设图 G = <V, E> ，这里 V = {v1, v2, v3, v4, v5}，E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6}，其中e1 = (v1, v2) ， e2 = <v1, v3> ， e3 = (v1, v4) ， e4 = (v2, v3)，e5 = <v3, v2>，e6 = (v3, v3)。试画出图 G的 图形，并指出哪些是有向边，哪些是无向边？
北京 长春
成都
武汉
上海
2015-5-12
143-12
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
例9.2.1（2）
假设有 4 台计算机，分别标记为 A 、 B 、 C 和 D ， 在计算机A和B、C和D以及B和C之间有信息流。这种 情形可用下图表示，通常称这种图为通信网络；
A
B
C
D
2015-5-12
v1 2015-5-12 v2 v3
v6
v4
143-26
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
说明
由定义 9.2.2 可看出，图 G = <V, E> 的邻接矩 阵依赖于V中元素的次序。对于V中各元素不同的排 序，可得到同一图G的不同邻接矩阵。但是，G的任 何一个邻接矩阵可以从 G 的另一邻接矩阵中通过交 换某些行和相应的列而得到，其交换过程与将一个 排序中的结点交换位置变为另一个排序是一致的。 如果我们略去由结点排序不同而引起的邻接矩阵的 不同，则图与邻接矩阵之间是一一对应的。因此， 我们略去这种由于 V 中元素的次序而引起的邻接矩 阵的任意性，只选 V 中元素的任一种次序所得出的 邻接矩阵，作为图G的邻接矩阵。
2015-5-12
143-2
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
引言
1 2 七桥问题 欧拉
游戏、博弈问题 克希荷夫定律 树 凯莱
3
4 5
四色猜想
6
2015-5-12
高速数字计算机
143-3
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
哥尼斯堡七桥问题和欧拉
2015-5-12
143-4
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
C
F
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9.2.2 图的表示
对于一个图 G ，如果将其记为 G = <V, E> ，并 写出V和E的集合表示，这称为图的集合表示。 而为了描述简便起见，在一般情况下，往往只 画出它的图形：用小圆圈表示V中的结点，用由u指 向 v 的有向线段或曲线表示有向边 <u, v> ，无向线 段或曲线表示无向边(u, v)，这称为图的图形表示。
图的矩阵表示
我们在学习中常常需要分析图并在图上执行各 种过程和算法，也许必须用计算机来执行这些算法， 因此必须把图的结点和边传输给计算机，由于集合 与图形都不适合计算机处理，所以要找到一种新的 表示图的方法，这就是图的矩阵表示。 由于矩阵的行和列有固定的次序，因此在用矩 阵表示图时，先要将图的结点进行排序，若不具体 说明排序，则默认为书写集合V时结点的顺序。
2015-5-12
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例9.2.2 分析
分析 由于 V 中有 5 个结点，因此要用 5 个小圆圈 分别表示这 5 个结点，点的具体摆放位置可随意 放。而对E中的6条边，圆括号括起的结点对表示 无向边，直接用直线或曲线连接两个端点，尖括 号括起的结点对表示有向边，前一个是始点，后 一个是终点，用从始点指向终点的又向直线或曲 线连接。
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定义9.2.2
设图 G = <V, E> ，其中 V = {v1, v2, …, vn} ，并 假定结点已经有了从v1到vn的次序，则n阶方阵AG = (aij)nxn 称为 G 的邻接矩阵 (Adjacency Matrix) ，其 中
vj ) E或 vi,vj E 1， 若(v i, ai j 0， 否则 i, j 1,2,3, , n
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例9.2.4
试写出下图所示图G的邻接矩阵。 解 若结点排序为 分析 首先将图中的 v1 6v 个结点排序， 2v3v4v5v6 ，则 然后利用定义 其邻接矩阵 v1 v2 9.2.2 v3 写出其邻接矩阵。 v4 v5 v6 初学时可先在矩阵的行与列前分别 v1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 v5 v2 1 0 1 0 0 i 行前的 按结点排序标上结点，若第 0 0 1 0 1 1 0 11 0 0 v 1 0 3 结点到第 j 列前的结点有边相连，则 0 1 1 1 0 1 v4 0 A 0 0 1 1 1 在邻接矩阵的第 i 行第 j 列元素为 1， G 0 0 1 0 1 1 v5 1 0 0 1 0 1 否则为 0 。若结点排序为 v v v 1 2 3v 4 v5 v6 ， 1 0 0 1 0 1 v6 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 则可标记如下：
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例9.2.1（3）
假设有一群人和一组工作，这群人中的某些人 能够做这组工作中的某些工作。例如，有3个人A、 B和C，3 件工作D 、E和F ，假设A 只能做工作 D, B能 做工作E 和 F, C 能做工作 D 和 E 。则这种情形可用下 图表示，其中，在人和这个人能够做的工作之间画 有线。
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两种描述方法的优缺点
用集合描述图的优点是精确，但抽象不易理解；
用图形表示图的优点是形象直观，但当图中的 结点和边的数目较大时，使用这种方法是很不 方便的，甚至是不可能的。
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第9章 图
我们所讨论的图(Graph)与人们通常所熟悉的图， 例如圆、椭圆、函数图表等是很不相同的。图论中 所谓的图是指某类具体离散事物集合和该集合中的 每对事物间以某种方式相联系的数学模型。如果我 们用点表示具体事物，用连线表示一对具体事物之 间的联系。那么，一个图就是由一个表示具体事物 的点的集合和表示事物之间联系的一些线的集合所 构成，至于点的位置和连线的长短曲直是无关紧要 的。2015-5-121 Nhomakorabea3-20
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例9.2.2 解
G的图形如下图所示。
v3 e6 v5 v4 e4 e2
e5
v2 e1
e3 v1
G中的e1、e3、e4、e6是无向边，e2、e5是有向边。
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离散数学
电子科技大学
计算机科学与工程学院
示 范 性 软 件 学 院
2015年5月12日星期二
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第四篇 图论
图论是一门很有实用价值的学科，它在自然科 学、社会科学等各领域均有很多应用。自上世纪中 叶以来，它受计算机科学蓬勃发展的刺激，发展极 其迅速，应用范围不断拓广，已渗透到诸如语言学、 逻辑学、物理学、化学、电讯工程、计算机科学以 及数学的其它分支中。特别在计算机科学中，如形 式语言、数据结构、分布式系统、操作系统等方面 均扮演着重要的角色。
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与边相关的几个概念
定义 9.2.1 中的结点对即可以是无序的，也可以 是有序的。
A D相对应，则称 e 为无向 若边 e 与无序结点对 (u,v) 边(Undirected Edge) ，记为eE = (u, v) = (v, u)， B 这时称u、v是边e的两个端点(End point)。
2
3
1. 图的同构 2. 图的构成与证 明
图论中的应用
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9.2 图的基本概念
9.2.1 图的定义
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四色猜想
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高速数字计算机
2015-5-12
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教学目标
图是一类具有广泛实际问题背景的数学模型， 有着极其丰富的内容，是数据结构等课程的先修内 容。学习时应掌握好图论的基本概念、基本方法和 基本算法，善于把实际问题抽象为图论的问题，然 后用图论的方法去解决。 图论作为一个数学分支，有一套完整的体系和 广泛的内容，本篇仅介绍图论的初步知识，其目的 在于今后对计算机有关学科的学习和研究时，可以 以图论的基本知识作为工具。
若边e与有序结点对<u, v>相对应，则称e为有向 边(Directed Point)(或弧)，记为e = <u, v>，这时 称 u 为 e 的始点 (Initial Point)( 或弧尾 ) ， v 为 e 的终 点(terminal Point)(或弧头)，统称为e的端点。
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例9.2.2
设图 G = <V, E> ，这里 V = {v1, v2, v3, v4, v5}，E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6}，其中e1 = (v1, v2) ， e2 = <v1, v3> ， e3 = (v1, v4) ， e4 = (v2, v3)，e5 = <v3, v2>，e6 = (v3, v3)。试画出图 G的 图形，并指出哪些是有向边，哪些是无向边？
北京 长春
成都
武汉
上海
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例9.2.1（2）
假设有 4 台计算机，分别标记为 A 、 B 、 C 和 D ， 在计算机A和B、C和D以及B和C之间有信息流。这种 情形可用下图表示，通常称这种图为通信网络；
A
B
C
D
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v1 2015-5-12 v2 v3
v6
v4
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说明
由定义 9.2.2 可看出，图 G = <V, E> 的邻接矩 阵依赖于V中元素的次序。对于V中各元素不同的排 序，可得到同一图G的不同邻接矩阵。但是，G的任 何一个邻接矩阵可以从 G 的另一邻接矩阵中通过交 换某些行和相应的列而得到，其交换过程与将一个 排序中的结点交换位置变为另一个排序是一致的。 如果我们略去由结点排序不同而引起的邻接矩阵的 不同，则图与邻接矩阵之间是一一对应的。因此， 我们略去这种由于 V 中元素的次序而引起的邻接矩 阵的任意性，只选 V 中元素的任一种次序所得出的 邻接矩阵，作为图G的邻接矩阵。
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引言
1 2 七桥问题 欧拉
游戏、博弈问题 克希荷夫定律 树 凯莱
3
4 5
四色猜想
6
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高速数字计算机
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哥尼斯堡七桥问题和欧拉
2015-5-12
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C
F
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9.2.2 图的表示
对于一个图 G ，如果将其记为 G = <V, E> ，并 写出V和E的集合表示，这称为图的集合表示。 而为了描述简便起见，在一般情况下，往往只 画出它的图形：用小圆圈表示V中的结点，用由u指 向 v 的有向线段或曲线表示有向边 <u, v> ，无向线 段或曲线表示无向边(u, v)，这称为图的图形表示。
图的矩阵表示
我们在学习中常常需要分析图并在图上执行各 种过程和算法，也许必须用计算机来执行这些算法， 因此必须把图的结点和边传输给计算机，由于集合 与图形都不适合计算机处理，所以要找到一种新的 表示图的方法，这就是图的矩阵表示。 由于矩阵的行和列有固定的次序，因此在用矩 阵表示图时，先要将图的结点进行排序，若不具体 说明排序，则默认为书写集合V时结点的顺序。
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例9.2.2 分析
分析 由于 V 中有 5 个结点，因此要用 5 个小圆圈 分别表示这 5 个结点，点的具体摆放位置可随意 放。而对E中的6条边，圆括号括起的结点对表示 无向边，直接用直线或曲线连接两个端点，尖括 号括起的结点对表示有向边，前一个是始点，后 一个是终点，用从始点指向终点的又向直线或曲 线连接。
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定义9.2.2
设图 G = <V, E> ，其中 V = {v1, v2, …, vn} ，并 假定结点已经有了从v1到vn的次序，则n阶方阵AG = (aij)nxn 称为 G 的邻接矩阵 (Adjacency Matrix) ，其 中
vj ) E或 vi,vj E 1， 若(v i, ai j 0， 否则 i, j 1,2,3, , n
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例9.2.4
试写出下图所示图G的邻接矩阵。 解 若结点排序为 分析 首先将图中的 v1 6v 个结点排序， 2v3v4v5v6 ，则 然后利用定义 其邻接矩阵 v1 v2 9.2.2 v3 写出其邻接矩阵。 v4 v5 v6 初学时可先在矩阵的行与列前分别 v1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 v5 v2 1 0 1 0 0 i 行前的 按结点排序标上结点，若第 0 0 1 0 1 1 0 11 0 0 v 1 0 3 结点到第 j 列前的结点有边相连，则 0 1 1 1 0 1 v4 0 A 0 0 1 1 1 在邻接矩阵的第 i 行第 j 列元素为 1， G 0 0 1 0 1 1 v5 1 0 0 1 0 1 否则为 0 。若结点排序为 v v v 1 2 3v 4 v5 v6 ， 1 0 0 1 0 1 v6 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 则可标记如下：
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假设有一群人和一组工作，这群人中的某些人 能够做这组工作中的某些工作。例如，有3个人A、 B和C，3 件工作D 、E和F ，假设A 只能做工作 D, B能 做工作E 和 F, C 能做工作 D 和 E 。则这种情形可用下 图表示，其中，在人和这个人能够做的工作之间画 有线。
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用集合描述图的优点是精确，但抽象不易理解；
用图形表示图的优点是形象直观，但当图中的 结点和边的数目较大时，使用这种方法是很不 方便的，甚至是不可能的。
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第9章 图
我们所讨论的图(Graph)与人们通常所熟悉的图， 例如圆、椭圆、函数图表等是很不相同的。图论中 所谓的图是指某类具体离散事物集合和该集合中的 每对事物间以某种方式相联系的数学模型。如果我 们用点表示具体事物，用连线表示一对具体事物之 间的联系。那么，一个图就是由一个表示具体事物 的点的集合和表示事物之间联系的一些线的集合所 构成，至于点的位置和连线的长短曲直是无关紧要 的。2015-5-121 Nhomakorabea3-20
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例9.2.2 解
G的图形如下图所示。
v3 e6 v5 v4 e4 e2
e5
v2 e1
e3 v1
G中的e1、e3、e4、e6是无向边，e2、e5是有向边。
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第四篇 图论
图论是一门很有实用价值的学科，它在自然科 学、社会科学等各领域均有很多应用。自上世纪中 叶以来，它受计算机科学蓬勃发展的刺激，发展极 其迅速，应用范围不断拓广，已渗透到诸如语言学、 逻辑学、物理学、化学、电讯工程、计算机科学以 及数学的其它分支中。特别在计算机科学中，如形 式语言、数据结构、分布式系统、操作系统等方面 均扮演着重要的角色。
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与边相关的几个概念
定义 9.2.1 中的结点对即可以是无序的，也可以 是有序的。
A D相对应，则称 e 为无向 若边 e 与无序结点对 (u,v) 边(Undirected Edge) ，记为eE = (u, v) = (v, u)， B 这时称u、v是边e的两个端点(End point)。
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1. 图的同构 2. 图的构成与证 明
图论中的应用
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9.2.1 图的定义