材料力学,弯矩剪力图
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材料力学-第五章
合理布置载荷
F
小结
1、熟练求解各种形式静定梁的支 座反力 2、明确剪力和弯矩的概念，理解 剪力和弯矩的正负号规定 3、熟练计算任意截面上的剪力和 弯矩的数值
4、熟练建立剪力方程、弯矩方程， 正确绘制剪力图和弯矩图
5.7 总结 回顾
毛和业，怎样快速绘制剪力图和弯
矩图，黔南民族师范学院学报， 2005，3：81-83
（ -）
1kN.m
A
FAY
1.5m
C
1.5m
D
2kN
1.5m
B
FBY
4 ．从 A 截面左测开始画 弯矩图。 从A左到A右 从A右到C左 从C左到C右 从C右到D左 从D左到D右
1.11
（+）
Fs（ kN） 0.89 M（ kN.m）
（ -）
0.330
（-）
1.330
（ -）
1.665
从D右到B左
从B左到B右
2
FS
FS x
x
0 x l 0 x l
M
ql2 / 8
依方程画出剪力图和弯矩图 ql / 2 由剪力图、弯矩图可见。最 大剪力和弯矩分别为
x
FS max＝ql
M max＝ql2 / 2
5.4
y
剪力图和弯矩图（将剪力方程和弯矩方程具体化）
q
例题 简支梁受均布载荷作用
FS ql / 2
( 2)在有均布载荷作用的 段上, 剪力图为倾斜直线, 直线由左上向右下倾斜; 弯矩图为抛物线, 抛物线 开口与均布载荷的方向一 致。
M 3ql2 / 32 x
ql2 / 8
材料力学剪力弯矩图画法规则
作剪力图的规则(载荷集度、剪力和弯矩间的关系)Rule1:剪力图中集中力作用处会引起突变（即中断，不连续）。
确定图示位置处梁的剪力F Q（单位：KN）=X=2.0, FQ=X=8.5, FQRule2:受均布载荷作用的一段梁上，其剪力大小等于这段分布载荷曲线的面积。
确定图示位置处梁的剪力F（单位：KN）=X=1.5,FQX=3.0,F=QRule3:任一点剪力图的斜率（不论大小还是方向）与那一点处分布载荷的值相同。
根据剪力图的斜率确定剪力为零时的X值。
（注意载荷的分布方向，箭头朝下，为负。
箭头朝上，为正）F=0,@X=Q确认取消Rule4:两点间力矩大小的变化等于两点间剪力图的面积。
确定下图所示位置处梁的弯矩。
（单位：KNm)X=8.0, M=X=16.0,M=确认取消Rule5:任一点处弯矩图的斜率等于该处剪力的大小。
确定最大正弯矩的大小和位置。
（单位：KNm)最大正弯矩出现在玩具图斜率为零处。
利用Rule5,剪力F为零处，弯矩图的斜率为零。
用Rule3找到剪力为零处。
计算最大值，及将X=0处到剪力为零处剪力图的面积加起来）X=M=Rule6:内部弯矩会在外部集中力偶处产生突变（即间断，不连续）。
一个顺时针方向的力矩会使弯矩图向上突变。
确定下图梁所在位置处的弯矩（单位：KNm）X=3.0;M=X=4.5;M=正确答案：1. X=2.0, F Q=-11X=8.5, F Q=-31其完整的剪力图和弯矩图如下:2. X=1.5,F Q=-7.5 X=3.0,F Q=-15其完整的剪力图和弯矩图如下：3. F Q=0, @X=3.75其完整的剪力图和弯矩图如下:4. X=8.0, M=164 X=16.0, M=208其完整的剪力图和弯矩图如下:5.X=12.5 M=196.872其完整的剪力图和弯矩图如下:6. X=3.0; M=16.5X=4.5; M=-8.25其完整的剪力图和弯矩图如下:。
材料力学第5章-剪力图与弯矩图
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实际上与前面所 介绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和过程是相似的 ，所不同的，现在的指定横截面是坐标为x的横截面。
需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程中，x是变量， 而FQ(x)和M(x)则是x的函数。
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
例题2
MO=2FPl
FP
B
A
C
l
l
悬臂梁在B、C两处分别承受集中力FP和集中力偶M＝2FPl
的作用。梁的全长为2l。 试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
y
MO=2FPl
O
A
C
l
FP
B l
解：1．确定控制面和分段
本例将通过考察截开截面的右
边部分平衡建立剪力方程和弯矩方 程，因此可以不必确定左端的约束 力。
本章首先介绍如何建立剪力方程和弯矩方程；讨论载荷、 剪力、弯矩之间的微分关系；怎样根据载荷、剪力、弯矩之间 的微分关系绘制剪力图与弯矩图；然后应用平衡、变形协调以 及物性关系，建立确定弯曲的应力和变形公式；最后介绍弯曲 强度设计方法。
第5章 梁的强度问题
工程中的弯曲构件 梁的内力及其与外力的相互关系 剪力方程与弯矩方程 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 剪力图与弯矩图 刚架的内力与内力图 结论与讨论(1)
根据以上分析，不难得到结论： 杆件各截面上内力变化规律随着外力的 变化而改变。
第5章 梁的强度问题
梁的内力及其与外力的相互关系
所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩变 化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外力 作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段梁 所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方程 或者同一图线描述。
材料力学_弯曲内力PPT课件
再如我们书中所举的火车轮轴的例子，也是一样的 情况。
2、定义： 当杆件上作用有垂直于杆件轴线的外力时，原先 为直线的轴线变形后就会成为曲线，这种形式的变形就称为 弯曲。
3、梁：以弯曲为主要变形的杆件，我们通常称之为梁。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
①轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 ②有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对
q
F
纵向对称面
FA
FB
5、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面， 但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
§5-2 受弯杆件的简化
一般情况下，梁的支座和载荷有多种多样的情况，比较复 杂，为了研究起来方便，我们必须对它进行一系列的简化，找 出它的计算简图，以简化理论分析和计算的过程。
一、支座的几种形式
(一)、 求支反力RA ，RB
由：
4 M B 0 RA 3 F
MA
0
RB
5 3
F
(二)、求截面m-m上的内力（采用截面法）
F
由上图可知：要保持左
M
半部分的平衡，在截面m-m 上必须有一个方向向下的力
RB
x
Q
Ｑ.
由
y
0
Q
4 3
F
F
1 3
F
——（a）
同时还必须有一个逆时针方向转动的力偶Ｍ
由
Mo
§5-1 平面弯曲的概念
1.弯曲：
举例说明：我们在家洗衣服后，总是要拿到阳光下 去晒，在这种情况下，我们都是在有阳光的地方拉一根 铁丝（或绳子），在没有铁丝或绳子的情况下，一般都 喜欢在两个建筑物之间横上一根竹杆用来凉衣服。这些 绳子或竹杆在没有挂上衣物之前都保持在水平位置（它 的轴线自然也是一条水平直线）。当我们把衣服挂上去 之后，结果我们发现原来为直线的轴线变成了曲线，这 种形式的变形我们就称为弯曲变形。
2、定义： 当杆件上作用有垂直于杆件轴线的外力时，原先 为直线的轴线变形后就会成为曲线，这种形式的变形就称为 弯曲。
3、梁：以弯曲为主要变形的杆件，我们通常称之为梁。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
①轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 ②有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对
q
F
纵向对称面
FA
FB
5、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面， 但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
§5-2 受弯杆件的简化
一般情况下，梁的支座和载荷有多种多样的情况，比较复 杂，为了研究起来方便，我们必须对它进行一系列的简化，找 出它的计算简图，以简化理论分析和计算的过程。
一、支座的几种形式
(一)、 求支反力RA ，RB
由：
4 M B 0 RA 3 F
MA
0
RB
5 3
F
(二)、求截面m-m上的内力（采用截面法）
F
由上图可知：要保持左
M
半部分的平衡，在截面m-m 上必须有一个方向向下的力
RB
x
Q
Ｑ.
由
y
0
Q
4 3
F
F
1 3
F
——（a）
同时还必须有一个逆时针方向转动的力偶Ｍ
由
Mo
§5-1 平面弯曲的概念
1.弯曲：
举例说明：我们在家洗衣服后，总是要拿到阳光下 去晒，在这种情况下，我们都是在有阳光的地方拉一根 铁丝（或绳子），在没有铁丝或绳子的情况下，一般都 喜欢在两个建筑物之间横上一根竹杆用来凉衣服。这些 绳子或竹杆在没有挂上衣物之前都保持在水平位置（它 的轴线自然也是一条水平直线）。当我们把衣服挂上去 之后，结果我们发现原来为直线的轴线变成了曲线，这 种形式的变形我们就称为弯曲变形。
材料力学第五章
l
F l a x
l
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力；梁的横截面上作用在 纵向平面内的内力偶矩是与梁 的弯曲相对应，故称为弯矩。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横
截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如下图。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力——使截开部分梁产生顺时针方向
转动为正；产生逆时针方向转动为负。
(2) 横截面上的弯矩——作用在左侧面上使截开部分 逆时针方向转动，或者作用在右侧截面上使截开部分顺时 针方向转动者为正；反之为负。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定， 称为超静定梁。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
§5.2 梁的内力及其与外力的相互关系
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(梁的横截面上的两种内力)
图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为：
FA
Fl
l
a,
FB
Fa l
梁的左段内任一横截面m－
m上的内力，由m－m左边分离
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。
扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。
(轴)
弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
材料力学
梁的分类
F
q
第五章 梁的剪力图与弯矩图
F l a x
l
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力；梁的横截面上作用在 纵向平面内的内力偶矩是与梁 的弯曲相对应，故称为弯矩。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横
截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如下图。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力——使截开部分梁产生顺时针方向
转动为正；产生逆时针方向转动为负。
(2) 横截面上的弯矩——作用在左侧面上使截开部分 逆时针方向转动，或者作用在右侧截面上使截开部分顺时 针方向转动者为正；反之为负。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定， 称为超静定梁。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
§5.2 梁的内力及其与外力的相互关系
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(梁的横截面上的两种内力)
图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为：
FA
Fl
l
a,
FB
Fa l
梁的左段内任一横截面m－
m上的内力，由m－m左边分离
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。
扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。
(轴)
弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
材料力学
梁的分类
F
q
第五章 梁的剪力图与弯矩图
剪力图和弯矩图(史上最全面)
求支反力qa2qa2qa2241练习直接画内力图p12944dj对称载荷m反对称载荷同时可以提前讲内力图的对称关系2改错见下页ppt3由q图作m图和载荷图p135416b由m图作q图和载荷图p135417a4讲解组合梁的内力图p13046aqa4qa43qa47qa4qa323qa已知q图求外载及m图梁上无集中力偶
内力的代数和。
Q(P1P2 Pn) Q1(P1) Q2(P2) Qn(Pn)
M (P1P2 Pn) M1(P1) M2(P2) Mn(Pn)
适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满 足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。
27
二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理 ——叠加方法
Q(+)
Q(+)
Q(–)
Q(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。
M(+)
M(+)
M(–)
M(–)
13
二、例题
[例2]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。
qL 1 1a
2q 2b
解：截面法求内力。 1--1截面处截取的分离体 如图（b）示。
y x
图（a）
qL
A
同时可以提前讲内力图的对称关系 2、改错
见下页PPT 3、由Q图作M图和载荷图P135 4.16(b)
由M图作Q图和载荷图P135 4.17(a) 4、讲解组合梁的内力图P130 4.6(a)
24
[例6] 改内力图之错。 qa2
A
a
a
2a
Q qa/4
qa/4
+
–
–
3qa/4
5qa2/4 3qa2/2 49qa2/32
内力的代数和。
Q(P1P2 Pn) Q1(P1) Q2(P2) Qn(Pn)
M (P1P2 Pn) M1(P1) M2(P2) Mn(Pn)
适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满 足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。
27
二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理 ——叠加方法
Q(+)
Q(+)
Q(–)
Q(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。
M(+)
M(+)
M(–)
M(–)
13
二、例题
[例2]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。
qL 1 1a
2q 2b
解：截面法求内力。 1--1截面处截取的分离体 如图（b）示。
y x
图（a）
qL
A
同时可以提前讲内力图的对称关系 2、改错
见下页PPT 3、由Q图作M图和载荷图P135 4.16(b)
由M图作Q图和载荷图P135 4.17(a) 4、讲解组合梁的内力图P130 4.6(a)
24
[例6] 改内力图之错。 qa2
A
a
a
2a
Q qa/4
qa/4
+
–
–
3qa/4
5qa2/4 3qa2/2 49qa2/32
材料力学第五章梁的剪力图与弯矩图
29
§5-3
剪力和弯矩及其方程
为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先 建立Oxy坐标系。其中O为坐标原点，x坐 标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取 在梁的左端，x坐标轴的正方向自左向右， y坐标轴铅垂向上。
30
§5-3
剪力和弯矩及其方程
建立剪力方程和弯矩方程，需要根据梁上的外 力（包括载荷和约束力）作用状况，确定控制 面，从而确定要不要分段，以及分几段建立剪 力方程和弯矩方程。
FBy
F 0 M 0
y A
FAy FBy 2F
FSE O FAy ME
FBy
F 5F FAy 3 3
分析右段得到：
FBy
O
ME FSE
F
FBy
y
0
FSE FBy 0
M
o
0
3a M E FBy Fa 2
27
§5-3 剪力和弯矩及其方程
F FBy 3
3、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，
梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。
4、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力
并不作用在纵向对称面内的弯曲。
13
工程实际中的弯曲问题简图
P
P P P
P P P
P
14
平面弯曲
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
M M M
M
弯矩为正
弯矩为负
22
梁的控制面
集中力作用点两侧的截面
集中力偶作用点两侧的截面 集度相同的均布载荷起点和终点截面处
23
第七讲材料力学
dx
d
M
dx
x
FS
x
d
2M dx
x
2
q
x
其中分布荷载集度 q(x) 以向上为正，向下为负。
几种常见荷载下FS 图和M 图的特征
q c 0 (向上） q c 0 (向下） q 0
FS cx b (c 0)
(c 0)
FS c
M 1 cx2 bx d (c 0) (c 0) 2
q A
M(x)
FS x
FA
qx
ql 2
qx
FA
x
FS(x) M x
FA x
qx
x 2
qlx 2
qx 2 2
ql 2 ql2 8
3、作剪力图和弯矩图 q
A l
FS
M
l/2
B
FS
x
ql 2
qx
M x qlx qx2
22
FS,max
ql 2
M max
ql 2 8
例 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图 和弯矩图。
aF
b
A
B
x
C
FA
l
FB
解：1、求支反力
FA
Fb l
FB
Fa l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
aF
b
A
B
x
C
FA
l
FB
AC段 A
M(x)
FS
x
d
M
dx
x
FS
x
d
2M dx
x
2
q
x
其中分布荷载集度 q(x) 以向上为正，向下为负。
几种常见荷载下FS 图和M 图的特征
q c 0 (向上） q c 0 (向下） q 0
FS cx b (c 0)
(c 0)
FS c
M 1 cx2 bx d (c 0) (c 0) 2
q A
M(x)
FS x
FA
qx
ql 2
qx
FA
x
FS(x) M x
FA x
qx
x 2
qlx 2
qx 2 2
ql 2 ql2 8
3、作剪力图和弯矩图 q
A l
FS
M
l/2
B
FS
x
ql 2
qx
M x qlx qx2
22
FS,max
ql 2
M max
ql 2 8
例 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图 和弯矩图。
aF
b
A
B
x
C
FA
l
FB
解：1、求支反力
FA
Fb l
FB
Fa l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
aF
b
A
B
x
C
FA
l
FB
AC段 A
M(x)
FS
x
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Fs ( x) qx, (0 x l )
1 2 M ( x ) qx , (0 x l ) 2 F
s
x
x
L (- )
剪力方程
FS FS ( x)
A
B
x
ql 0.5ql 2
M
MA
FAY
[例] 列出梁内力方程并画出内力图。
A
L
F B
解：①求支反力
FAY F ; M A FL
q(x) — 分布力 1、悬臂梁： L 2、简支梁： L 3、外伸梁： q — 均布力 F — 集中力 M — 集中力偶
L （L称为梁的跨长）
L
§5-2 剪力和弯矩及其方程
M FN FAy M FN
F
F F
x
0
0
FN 0
y
FS FAy F1
FS
Mc
0 M FAy x F1 ( x a)
外力：载荷和约束反力 分布力、集中力和集中力偶 方向：左顺右逆为正， 反之为负
三、剪力方程、弯矩方程：
M M (x)
q
弯矩方程
反映梁的横截面上的剪力和弯 矩随截面位置变化的函数式 显示剪力和弯矩随截面位移的 变化规律的图形则分别称为剪力 图和弯矩图。
注意： 不能用一个函数表 达的要分段，分段点为：集中力 作用点、集中力偶作用点、分布 力的起点、终点。
a 5 F 3a 3 ME Fa 2F ME 3 2 2 2 左顺右逆为正；反之为负
计算任意截面的剪力和弯矩
法则
任意截面的剪力 一侧横向力代数值
横向力：载荷和约束反力 分布力和集中力 方向：左上右下为正， 反之为负
任意截面的弯矩 一侧外力对截面形心之矩代数值
和弯矩图。
q B
A
l
FA x FB
解：1、求支反力
2、列剪力方程和弯矩方程
ql FA FB 2
ql FS x FA qx qx 2
x qlx qx2 M x FA x qx 2 2 2
3、作剪力图和弯矩图
q l
A FS ql 2
ql B FS x 2 qx
§5-2 剪力和弯矩及其方程
M FN FN FS FBy M
FAy
FS
截面上的弯矩使得梁呈凹形为正；反之为负。
M(+)
M(+) M(–) M(–) 左顺右逆为正；反之为负
内力方向规定
FQ FN
FN
FQ
§5-2 剪力和弯矩及其方程
例题5-1
求图示简支梁E 截面的内力 解： 确定支反力 1.
FAy 2. 用截面法研究内力 FSE ME FAy
dM ( x) q( x) 2 dx
弯矩图上某点处的切 线斜率等于该点处剪力的 大小。
2
A
M(x)+d M(x)
dFs x qx dx
q、Fs和M三者的微分关系
dM ( x) Fs ( x) dx
dM 2 ( x) q( x) 2 dx
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
d 2 M ( x) dFS ( x) 载荷集度、剪力和弯矩关系： q ( x) 2 dx dx
FS剪力，平行于
横截面的内力合力 M 弯矩，垂直于 横截面的内力系的 合力偶矩
FS
3
FBy
§5-2 剪力和弯矩及其方程
M FN FN FS FBy M
FAy
FS
截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针 转向时，剪力为正；反之为负。
Fs(+) Fs(+) Fs(–)
Fs(–)
左上右下为正；反之为负
A
2kN C D
1kN/m B x3 FBY
[例] 画出梁的内力图。 解：1、支反力 Y 0, FAY FBY 2 1 2 0
x1
FAY 1m
x2 1m 2m
M
B
0, 1 2 1 2 3 FAY 4 0 FBY 2(kN )
FAY 2(kN );
二、弯曲的概念：
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
P
q
M
RA
NB
常见弯曲构件截面
目录
平面弯曲
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
目录
静定梁的分类（三种基本形式）
桥板
楼板
梁：承受横向力 为什么梁特别重要？ 地球引力场方向 + 人类需要空间
§5-1 平面弯曲的概念及工程实例
一、弯曲实例
工厂厂房的天车大梁：
火车的轮轴：
F
F
F
F
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
屋顶大梁上的孔为什么开在中间？上、下两 边各开一个半圆孔可以吗？
工程中的弯曲构件
梁为什么做成变截面的？ 梁为什么可以开孔？ 孔开在哪里最合理?
q(x)
对dx 段进行平衡分析，有：
Y 0
x dx
Fs ( x) q( x)dx Fs ( x) dFs ( x) 0
q( x)dx dFs ( x)
q(x) Fs(x)+dFs (x)
y
dFs x qx dx
剪力图上某点处的切线斜率
M(x)
Fs(x) dx
§5-2 剪力和弯矩及其方程
FSE O ME 分析右段得到：
FBy F 5F FAy 3 3
FAy
FBy
O
ME FSE
F
FBy
y
0
FSE FBy 0
FSE FBy
F 3
M
o
0
3a M E FBy Fa 2 3Fa ME 2
§5-2 剪力和弯矩及其方程
qlx qx2 M x 2 2
FS,max
ql 2
ql2 8 M
l/2
* 剪力为零的截面弯矩有极值。
M max
* 载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称
ql 2 8
例 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图 和弯矩图。
a
F C
l
b
A FA
x
B FB
解：1、求支反力
Fb FA l
F FBy 3
5F FAy 3
FAy FSE FAy 2F FSE
FBy 截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
5F F FSE 2F 3 3 左上右下为正；反之为负
§5-2 剪力和弯矩及其方程
F FBy 3
5F FAy 3
FAy
FBy
ME
FAy 2F
截面上的弯矩等于截面任 一侧外力对截面形心力矩的代 数和。
解: 1、求支反力
M
A
0
M e FA l 0
Me FB l
Me FA l
Me FA l a b B Me A FB C x l FA FB l 剪力方程无需分段： F x F M e 0 x l S A M(x) M(x) l
2、 列剪力方程和弯矩方程
AFAx源自FS(x)FS(x)
B FB
弯矩方程——两段： Me AC段： M x FA x x CB段：
0 x a l Me l x a x l M x FA x M e
l
3、作剪力图和弯矩图 a A C l Me Fs l
x
BC : Fs ( x3 ) 2 x3，(0＜x3 2)
2 x3 ( 2kN M ( x3 ) 2 x3 2 ，0 x3 2)
3、根据方程画内力图
M(x)
2kN.m
2kN.m
x
§5-4 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用 一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系
q FAy x
FBy 3a Fa 2F a F 5F FBy FAy 3 3 5F F Fy 0 2 F FSE 3 FSE 3 a 5F 3a 2F M E ME 0 2 3 2 3Fa ME 2
FBy
F 0 M 0
y A
FAy FBy 2F
Fb 0 x a FS x l Fb M x x0 x a l
CB段 B FB
3、作剪力图和弯矩图 F b a A C x l FA
FS
Fb l
Fb FS1 x l B F x Fa S2 l FB Fb M 1 x x l Fa l x M 2 ( x) l
第五章 梁的内力
§5-1 平面弯曲的概念及工程实例 §5-2 §5-3 静定梁的分类（三种基本形式） 剪力方程与弯矩方程
§5-4 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用
§5-5
按叠加原理作弯矩图
构件 Component, Structural member
杆 bar
梁 beam
拉压杆：承受轴向拉、压力 扭 杆：承受扭矩 墙
x
Fab l
Fb l
x
M
a
F
C
l
b
A
x Fb l
FS
* 在 集中力F 作用 处，剪力图有突变， 突变值为集中力的 大小；弯矩图有转 折
Fb l
x