高三数学一轮总复习 84空间中的垂直关系同步练习 北师大版
高考数学一轮复习专题训练—直线、平面垂直的判定与性质
直线、平面垂直的判定与性质考纲要求1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．知识梳理1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l 与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥al ⊥b a ∩b ＝O a ⊂αb ⊂α⇒l ⊥α 性质定理两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角． (2)范围：⎣⎡⎦⎤0，π2. 3．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．(3)二面角的范围：[0，π]． 4．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l ⊥αl ⊂β⇒α⊥β 性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝al ⊥a l ⊂β⇒l ⊥α1．三个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．2．使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”． 3．三种垂直关系的转化线线垂直判定定理性质线面垂直判定定理性质定理面面垂直诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( )(2)垂直于同一个平面的两平面平行．()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或l⊂α或l∥α，故(1)错误．(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误．(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误．(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，故(4)错误．2．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n答案 C解析由题意知，α∩β＝l，所以l⊂β，因为n⊥β，所以n⊥l.3．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．(2)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的________心．答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，P A＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．图1(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.因为PC⊥P A，PB⊥PC，P A∩PB＝P，所以PC⊥平面P AB，又AB⊂平面P AB，所以PC⊥AB，因为PO⊥AB，PO∩PC ＝P，所以AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，所以AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．图24．(2021·日照检测)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析m⊂α，m⊥β⇒α⊥β，反过来，若m⊂α，α⊥βD m⊥β(m∥β或m与β斜交)，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．5．(2021·西安联考)已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有()A．平面ABC⊥平面BCD B．平面BCD⊥平面ACDC．平面ABD⊥平面ACD D．平面BCD⊥平面ABD答案 B解析因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直于圆柱的底面，所以AD⊥BC，因为AC∩AD＝A，所以BC⊥平面ACD.由于BC⊂平面BCD.所以平面BCD⊥平面ACD.6．(2018·全国Ⅰ卷)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为()A．8 B．6 2 C．8 2 D．8 3答案 C解析连接BC1，因为AB⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B＝30°，AB⊥BC1，所以△ABC1为直角三角形．又AB＝2，所以BC1＝2 3.又B1C1＝2，所以BB1＝232－22＝22，故该长方体的体积V＝2×2×22＝8 2.考点一线面垂直的判定与性质【例1】(2019·全国Ⅱ卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE ⊥平面EB 1C 1；(2)若AE ＝A 1E ，AB ＝3，求四棱锥E －BB 1C 1C 的体积．(1)证明 由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1，故B 1C 1⊥BE .又BE ⊥EC 1，B 1C 1∩EC 1＝C 1，B 1C 1，EC 1⊂平面EB 1C 1，所以BE ⊥平面EB 1C 1. (2)解 由(1)知∠BEB 1＝90°.由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ， 所以∠AEB ＝∠A 1EB 1＝45°， 故AE ＝AB ＝3，AA 1＝2AE ＝6.如图，作EF ⊥BB 1，垂足为F ，则EF ⊥平面BB 1C 1C ，且EF ＝AB ＝3. 所以四棱锥E －BB 1C 1C 的体积V ＝13×3×6×3＝18.感悟升华 1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；(3)面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a ，l ⊥a ，l ⊂β⇒l ⊥α)．2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思路．【训练1】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P－ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，又∵AC⊥CD，且P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.又AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD，且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，又PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.考点二面面垂直的判定与性质【例2】(2020·全国Ⅰ卷)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.(1)证明：平面P AB⊥平面P AC；(2)设DO ＝2，圆锥的侧面积为3π，求三棱锥P －ABC 的体积． (1)证明 由题设可知，P A ＝PB ＝PC . 由△ABC 是正三角形，可得△P AC ≌△P AB ，△P AC ≌△PBC . 又∠APC ＝90°，故∠APB ＝90°，∠BPC ＝90°.从而PB ⊥P A ，PB ⊥PC ，又P A ，PC ⊂平面P AC ，P A ∩PC ＝P ， 故PB ⊥平面P AC ，又PB ⊂平面P AB ， 所以平面P AB ⊥平面P AC .(2)解 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， 由题设可得rl ＝3，l 2－r 2＝2，解得r ＝1，l ＝ 3. 从而AB ＝ 3.由(1)可得P A 2＋PB 2＝AB 2，故P A ＝PB ＝PC ＝62. 所以三棱锥P －ABC 的体积为 13·12·P A ·PB ·PC ＝13×12×⎝⎛⎭⎫623＝68. 感悟升华 1.判定面面垂直的方法主要是：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)．2．已知平面垂直时，解题一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，将问题转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．【训练2】 (2021·安徽A10联盟检测)如图，在四棱锥A －BCDE 中，△ADE 是边长为2的等边三角形，平面ADE ⊥平面BCDE ，底面BCDE 是等腰梯形，DE ∥BC ，DE ＝12BC ，BE＝DC ＝2，BD ＝23，点M 是DE 边的中点，点N 在BC 上，且BN ＝3.(1)证明：BD ⊥平面AMN ；(2)设BD ∩MN ＝G ，求三棱锥A －BGN 的体积． (1)证明 ∵△ADE 是等边三角形，M 是DE 的中点， ∴AM ⊥DE .又平面ADE ⊥平面BCDE ，平面ADE ∩平面BCDE ＝DE ， ∴AM ⊥平面BCDE ，∵BD ⊂平面BCDE ，∴AM ⊥BD ，∵MD ＝ME ＝1，BN ＝3，DE ∥BC ，DE ＝12BC ，∴MD 綉CN ，∴四边形MNCD 是平行四边形， ∴MN ∥CD .又BD ＝23，BC ＝4，CD ＝2，∴BD 2＋CD 2＝BC 2， ∴BD ⊥CD ，∴BD ⊥MN .又AM ∩MN ＝M ，∴BD ⊥平面AMN . (2)解 由(1)知AM ⊥平面BCDE ， ∴AM 为三棱锥A －BGN 的高． ∵△ADE 是边长为2的等边三角形， ∴AM ＝ 3.易知GN ＝34CD ＝32，又由(1)知BD ⊥MN ，∴BG ＝BN 2－NG 2＝332.∴S △BGN ＝12BG ·NG ＝12×332×32＝938.∴V A －BGN ＝13S △BGN ·AM ＝13×938×3＝98.考点三 平行与垂直的综合问题角度1 平行与垂直关系的证明【例3】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．求证：(1)PE ⊥BC ；(2)平面P AB ⊥平面PCD ； (3)EF ∥平面PCD .证明 (1)因为P A ＝PD ，E 为AD 的中点， 所以PE ⊥AD .因为底面ABCD 为矩形，所以BC ∥AD . 所以PE ⊥BC .(2)因为底面ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD .又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面P AD .又PD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥PD . 又因为P A ⊥PD ，且P A ∩AB ＝A ， 所以PD ⊥平面P AB .又PD ⊂平面PCD ， 所以平面P AB ⊥平面PCD .(3)如图，取PC 中点G ，连接FG ，DG . 因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点， 所以FG ∥BC ，FG ＝12BC .因为ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以DE ∥BC ，DE ＝12BC .所以DE ∥FG ，DE ＝FG .所以四边形DEFG 为平行四边形． 所以EF ∥DG .又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD .感悟升华 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化． 2．垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．如果有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．角度2 平行垂直关系与几何体的度量【例4】 (2019·天津卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面P AC ⊥平面PCD ，P A ⊥CD ，CD ＝2，AD ＝3.(1)设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面P AD ； (2)求证：P A ⊥平面PCD ；(3)求直线AD 与平面P AC 所成角的正弦值． (1)证明 连接BD ，易知AC ∩BD ＝H ，BH ＝DH .又由BG ＝PG ，故GH 为△PBD 的中位线，所以GH ∥PD . 又因为GH ⊄平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，所以GH ∥平面P AD . (2)证明 取棱PC 的中点N ，连接DN .依题意，得DN ⊥PC .又因为平面P AC ⊥平面PCD ，平面P AC ∩平面PCD ＝PC ，DN ⊂平面PCD ，所以DN ⊥平面P AC .又P A ⊂平面P AC ，所以DN ⊥P A . 又已知P A ⊥CD ，CD ∩DN ＝D ， 所以P A ⊥平面PCD .(3)解 连接AN ，由(2)中DN ⊥平面P AC ，可知∠DAN 为直线AD 与平面P AC 所成的角． 因为△PCD 为等边三角形，CD ＝2且N 为PC 的中点， 所以DN ＝ 3.又DN ⊥AN ，在Rt △AND 中，sin ∠DAN ＝DN AD ＝33.所以直线AD 与平面P AC 所成角的正弦值为33. 感悟升华 1.平行垂直关系应用广泛，不仅可以证明判断空间线面、面面位置关系，而且常用以求空间角和空间距离、体积．2．综合法求直线与平面所成的角，主要是找出斜线在平面内的射影，其关键是作垂线，找垂足，把线面角转化到一个三角形中求解．【训练3】 如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的一动点．(1)证明：△PBC是直角三角形；(2)若P A＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为2时，求直线AB与平面PBC 所成角的正弦值．(1)证明∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点．∴BC⊥AC，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，又P A∩AC＝A，P A，AC⊂平面P AC，∴BC⊥平面P AC，∴BC⊥PC，∴△BPC是直角三角形．(2)解如图，过A作AH⊥PC于H，∵BC⊥平面P AC，∴BC⊥AH，又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，∴AH⊥平面PBC，∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角，∵P A⊥平面ABC，∴∠PCA是直线PC与平面ABC所成的角，∵tan∠PCA＝P AAC＝2，又P A＝2，∴AC＝2，∴在Rt △P AC 中，AH ＝P A ·AC P A 2＋AC 2＝233，∴在Rt △ABH 中，sin ∠ABH ＝AH AB ＝2332＝33，故直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为33.与垂直平行相关的探索性问题立体几何中的探索性问题是近年高考的热点，题目主要涉及线面平行、垂直位置关系的探究，条件或结论不完备的开放性问题的探究，重点考查逻辑推理，直观想象与数学运算核心素养． 【典例】 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，△PDC 和△BDC 均为等边三角形，且平面PDC ⊥平面BDC .(1)在棱PB 上是否存在点E ，使得AE ∥平面PDC ？若存在，试确定点E 的位置；若不存在，试说明理由． (2)若△PBC 的面积为152，求四棱锥P －ABCD 的体积． 解 (1)存在点E ，当点E 为棱PB 的中点时，使得AE ∥面PDC ，理由如下：如图所示，取PB 的中点E ，连接AE ，取PC 的中点F ，连接EF ，DF ，取BC 的中点G ，连接DG .因为△BCD 是等边三角形，所以∠DGB ＝90°. 因为∠ABC ＝∠BAD ＝90°，所以四边形ABGD 为矩形，所以AD ＝BG ＝12BC ，AD ∥BC .因为EF 为△BCP 的中位线，所以EF ＝12BC ，且EF ∥BC ，故AD ＝EF ，且AD ∥EF ，所以四边形ADFE 是平行四边形，从而AE ∥DF ， 又AE ⊄平面PDC ，DF ⊂平面PDC ， 所以AE ∥平面PDC .(2)取CD 的中点M ，连接PM ，过点P 作PN ⊥BC 交BC 于点N ，连接MN ，如图所示． 因为△PDC 为等边三角形，所以PM ⊥DC .因为PM ⊥DC ，平面PDC ⊥平面BDC ，平面PDC ∩平面BDC ＝DC . 所以PM ⊥平面BCD ，故PM 为四棱锥P －ABCD 的高． 又BC ⊂平面BCD ，所以PM ⊥BC .因为PN ⊥BC ，PN ∩PM ＝P ，PN ⊂平面PMN ，PM ⊂平面PMN ，所以BC ⊥平面PMN . 因为MN ⊂平面PMN ，所以BC ⊥MN . 由M 为DC 的中点，易知NC ＝14BC .设BC ＝x ，则△PBC 的面积为x 2·x 2－⎝⎛⎭⎫x 42＝152，解得x ＝2，即BC ＝2， 所以AD ＝1，AB ＝DG ＝PM ＝ 3.故四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S 梯形ABCD ×PM ＝13×1＋2×32×3＝32.素养升华 1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．2．涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点的存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．平行或垂直关系入手，把所探究的结论转化为平面图形中线线关系，从而确定探究的结果． 【训练】 如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P －ABC 的体积；(2)在线段PC 上是否存在点M ，使得AC ⊥BM ，若存在点M ，求出PMMC 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题知AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32，由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P －ABC 的高． 又P A ＝1，所以三棱锥P －ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝36.(2)在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM .由P A ⊥平面ABC 知P A ⊥AC ，所以MN ⊥AC . 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM .在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32.由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝13.A 级 基础巩固一、选择题1．(2021·淮北质检)已知平面α，直线m ，n ，若n ⊂α，则“m ⊥n ”是“m ⊥α”的( )A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由n ⊂α，m ⊥n ，不一定得到m ⊥α；反之，由n ⊂α，m ⊥α，可得m ⊥n . ∴若n ⊂α，则“m ⊥n ”是“m ⊥α”的必要不充分条件．2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，则( ) A ．A 1E ⊥DC 1 B ．A 1E ⊥BD C ．A 1E ⊥BC 1 D ．A 1E ⊥AC 答案 C解析 如图，由题设知，A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，且BC 1⊂平面BCC 1B 1，从而A 1B 1⊥BC 1. 又B 1C ⊥BC 1，且A 1B 1∩B 1C ＝B 1，所以BC 1⊥平面A 1B 1CD ，又A 1E ⊂平面A 1B 1CD ，所以A 1E ⊥BC 1.3．(2021·郑州调研)已知m ，l 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是( ) A ．m ⊥l ，m ⊂β，l ⊥α B ．m ⊥l ，α∩β＝l ，m ⊂α C ．m ∥l ，m ⊥α，l ⊥β D ．l ⊥α，m ∥l ，m ∥β答案 D解析 在A 中，m ⊥l ，m ⊂β，l ⊥α，则α与β相交或平行，故A 错误； 在B 中，m ⊥l ，α∩β＝l ，m ⊂α，则α与β有可能相交但不垂直，故B 错误； 在C 中，m ∥l ，m ⊥α，l ⊥β，则α∥β，故C 错误；在D 中，l ⊥α，m ∥l ，则m ⊥α，又m ∥β，则α⊥β，故D 正确．4．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.5π12 B ．π3C.π4 D ．π6答案 B解析 如图，取正三角形ABC 的中心为O ，连接OP ，则∠P AO 是P A 与平面ABC 所成的角．因为底面边长为3， 所以AD ＝3×32＝32，AO ＝23AD ＝23×32＝1.三棱柱的体积为34×(3)2AA 1＝94， 解得AA 1＝3，即OP ＝AA 1＝3， 所以tan ∠P AO ＝OPOA＝3，因为直线与平面所成角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2， 所以∠P AO ＝π3.5. (2020·昆明诊断)如图，AC ＝2R 为圆O 的直径，∠PCA ＝45°，P A 垂直于圆O 所在的平面，B 为圆周上不与点A 、C 重合的点，AS ⊥PC 于S ，AN ⊥PB 于N ，则下列不正确的是( )A．平面ANS⊥平面PBCB．平面ANS⊥平面P ABC．平面P AB⊥平面PBCD．平面ABC⊥平面P AC答案 B解析∵P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC，又AC为圆O直径，所以AB⊥BC，又P A∩AB＝A，∴BC⊥平面P AB，又AN⊂平面ABP，∴BC⊥AN，又AN⊥PB，BC∩PB＝B，∴AN⊥平面PBC，又AN⊂平面ANS，∴平面ANS⊥平面PBC，∴A正确，C，D显然正确．6．(2020·衡水调研)如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的结论的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 C解析对于①，由题意知AD1∥BC1，从而BC1∥平面AD1C，故BC1上任意一点到平面AD1C 的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥A－D1PC的体积不变，故①正确；对于②，连接A1B，A1C1，A1C1綉AC，由于①知：AD1∥BC1，所以面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得，故②正确；对于③，由于DC⊥平面BCC1B1，所以DC⊥BC1，若DP⊥BC1，则BC1⊥平面DCP，所以BC1⊥PC，则P为中点，与P为动点矛盾，故③错误；对于④，连接DB1，由DB1⊥AC且DB1⊥AD1，可得DB1⊥面ACD1，从而由面面垂直的判定知，故④正确．二、填空题7．(2019·北京卷)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________. 答案若m∥α，l⊥α，则l⊥m(或若l⊥m，l⊥α，则m∥α，答案不唯一)解析已知l，m是平面α外的两条不同直线，由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因为l可以与α平行，也可以相交不垂直；由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α；由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m.故正确的命题是②③⇒①或①③⇒②.8.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E ，要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．答案 12解析 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ， 所以AB 1⊥DF ， 由已知可得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又12×2×2＝12×h 22＋22，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝⎛⎭⎫222－⎝⎛⎭⎫332＝66. 由面积相等得12×66×x 2＋⎝⎛⎭⎫222＝12×22x ， 得x ＝12.9.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为是正确的条件即可)．答案 DM ⊥PC (或BM ⊥PC ) 解析 连接AC ，BD ，则AC ⊥BD ，因为P A ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD .又P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC ，PC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥PC . 所以当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时， 有PC ⊥平面MBD .PC ⊂平面PCD ，所以平面MBD ⊥平面PCD . 三、解答题10.如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离． (1)证明 因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.连接OB ，因为AB ＝BC ，AB 2＋BC 2＝AC 2，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 且OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC . (2)解 作CH ⊥OM ，垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM . 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离． 由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°.所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.11. (2021·昆明诊断)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，△P AD 是正三角形，E 为线段AD 的中点．(1)求证：平面PBC ⊥平面PBE ；(2)是否存在满足PF →＝λFC →(λ>0)的点F ，使得V B －P AE ＝34V D －PFB ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．(1)证明 因为△P AD 是正三角形，E 为线段AD 的中点， 所以PE ⊥AD .因为底面ABCD 是菱形，所以AD ＝AB ，又∠BAD ＝60°， 所以△ABD 是正三角形， 所以BE ⊥AD . 又BE ∩PE ＝E ， 所以AD ⊥平面PBE . 又AD ∥BC ， 所以BC ⊥平面PBE . 又BC ⊂平面PBC ， 所以平面PBC ⊥平面PBE .(2)解 由PF →＝λFC →，知(λ＋1)FC ＝PC ， 所以V B －P AE ＝12V P －ADB ＝12V P －BCD ＝λ＋12V F －BCD ，V D －PFB ＝V P －BDC －V F －BDC ＝λV F －BCD . 因此，λ＋12＝3λ4，得λ＝2.故存在满足PF →＝λFC →(λ>0)的点F ， 使得V B －P AE ＝34V D －PFB ，此时λ＝2.B 级 能力提升12．如图，正三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于点G ，已知△A ′DE 是△ADE 绕直线DE 翻折过程中的一个图形，现给出下列命题： ①恒有直线BC ∥平面A ′DE ； ②恒有直线DE ⊥平面A ′FG ；③恒有平面A ′FG ⊥平面A ′DE ，其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 D解析对于①，∵DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，又知DE⊂平面A′DE，BC⊄平面A′DE，∴BC∥平面A′DE，故①正确；对于②，∵△ABC为等边三角形，AF为BC边上的中线，∴BC⊥AF，又知DE∥BC，∴DE⊥AF，∴DE⊥FG，根据翻折的性质可知，DE⊥A′G，又A′G∩FG＝G，∴DE⊥平面A′FG，故②正确；对于③，由②知DE⊥平面A′FG，又知DE⊂平面A′DE，∴平面A′FG⊥平面A′DE，故③正确．综上，正确的命题为①②③. 13．(2019·全国Ⅰ卷)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为________．答案 2解析如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离．再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.所以PE＝PF＝3，所以OE＝OF，所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°.在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝3，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝PE2－OE2＝32－12＝ 2.14.如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23DA ，求三棱锥Q －ABP 的体积．(1)证明 由已知可得，∠BAC ＝90°，即BA ⊥AC .又BA ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，AC ，AD ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD . 又AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)解 由已知可得， DC ＝CM ＝AB ＝3， DA ＝AM ＝3 2. 又BP ＝DQ ＝23DA ，所以BP ＝2 2.作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE 綉13DC .由已知及(1)可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1. 因此，三棱锥Q －ABP 的体积为V Q －ABP ＝13×QE ×S △ABP ＝13×1×12×3×22sin 45°＝1.。
【金版新学案】高考数学总复习 课时作业44 空间中的垂直关系 理 北师大版
课时作业(四十四) 空间中的垂直关系A 级1．(2012·沈阳模拟)已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，mβ，则“α∥β”是“l⊥m”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是( )A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直3．已知直线m，l和平面α，β，则α⊥β的充分条件是( )A．m⊥l，m∥α，l∥βB．m⊥l，α∩β＝m，lαC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，mα4.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么( )A．PA＝PB＞PCB．PA＝PB＜PCC．PA＝PB＝PCD．PA≠PB≠PC5．(2012·浙江卷)设l是直线，α，β是两个不同的平面( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β6.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．7．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③mα；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)9．在正三棱锥P－ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC ⊥PB ；②AC ∥平面PDE ；③AB ⊥平面PDE .其中正确论断的序号为________．10．(2012·新课标全国卷)如图，在三棱柱ABC －A1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(1)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．11．Rt △ABC 所在平面外一点S ，且SA ＝SB ＝SC ，D 为斜边AC 的中点．(1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC .B 级1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是CD，A1D1的中点．(1)求证：AB1⊥BF；(2)求证：AE⊥BF；(3)棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由．2.如图，四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD，设AB＝2.(1)证明：AB⊥平面VAD；(2)求二面角A－VD－B的正切值；(3)E是VA上的动点，当面DCE⊥面VAB时，求三棱锥V－ECD的体积．详解答案课时作业(四十四)A 级1．B 当α∥β，l⊥α时，有l⊥β，又mβ，故l⊥m.反之，当l⊥m，mβ时，不一定有l⊥β，故α∥β不一定成立．因此“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件．2．C 在图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如图2，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD，CD，这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD＝D，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.3．D 由⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥l m ∥αl ∥β⇒/ α⊥β，如图.由⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥l α∩β＝m l α⇒/ α⊥β，如图. 由 ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥l m ⊥αl ⊥β⇒/ α⊥β，如图.所以选项A ，B ，C 都不对．又选项D 能推出α⊥β，所以D 正确，故选D.4．C ∵M 为AB 的中点，△ACB 为直角三角形，∴BM ＝AM ＝CM ，又PM ⊥平面ABC ，∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ，故PA ＝PB ＝PC .5．B 利用线与面、面与面的关系定理判定，用特例法．设α∩β＝a ，若直线l ∥a ，且l α，l β，则l ∥α，l ∥β，因此α不一定平行于β，故A 错误；由于l ∥α，故在α内存在直线l ′∥l ，又因为l ⊥β，所以l ′⊥β，故α⊥β，所以B 正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l ，则l ⊥α，此时l 在平面β内，因此C 错误；已知α⊥β，若α∩β＝a ，l ∥a ，且l 不在平面α，β内，则l ∥α且l ∥β，因此D 错误．6．解析： ∵PC ⊥平面ABC ，∴PC 垂直于直线AB ，BC ，AC ；∵AB ⊥AC ，AB ⊥PC ，AC ∩PC ＝C ，∴AB ⊥平面PAC ，∴AB ⊥PC .与AP 垂直的直线是AB .答案： AB ，BC ，AC AB7．解析： 若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β.答案： ②④8．解析： 由定理可知，BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD ，而PC 平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .答案： DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)9.解析： 如图，∵P －ABC 为正三棱锥，∴PB ⊥AC ；又∵DE ∥AC ，∴AC ∥平面PDE .故①，②正确．答案： ①②10．解析： (1)证明：由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1. 又DC 1平面ACC 1A 1，所以DC 1⊥BC .由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，所以∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC .又DC ∩BC ＝C ，所以DC 1⊥平面BDC .又DC 1平面BDC 1，故平面BDC 1⊥平面BDC .(2)设棱锥B －DACC 1的体积为V 1，设AC ＝1.由题意得V 1＝13×1＋22×1×1＝12. 又三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝1，所以(V －V 1)∶V 1＝1∶1.故平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.11．证明： (1)取AB 的中点E ，连结SE ，DE ，在Rt △ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，故DE ∥BC ，且DE ⊥AB .∵SA ＝SB ，∴△SAB 为等腰三角形．SE ⊥AB .又∵DE ⊥AB ，SE ∩DE ＝E ，∴AB ⊥平面SDE .而SD 平面SDE ，∴AB ⊥SD .在△SAC 中，SA ＝SC ，D 为AC 的中点，∴SD ⊥AC .又∵SD ⊥AB ，AC ∩AB ＝A ，∴SD ⊥平面ABC .(2)若AB ＝BC ，则BD ⊥AC ，由(1)可知，SD ⊥平面ABC ，而BD 平面ABC ，∴SD ⊥BD .又∵BD ⊥AC ，SD ∩AC ＝D ，∴BD ⊥平面SAC .B 级1．解析： (1)证明：连接A 1B ，则AB 1⊥A 1B ，又∵AB 1⊥A 1F ，且A 1B ∩A 1F ＝A 1，∴AB 1⊥平面A 1BF .∵BF 平面A 1BF ，∴AB 1⊥BF .(2)证明：取AD 中点G ，连接FG ，BG ，则FG ⊥AE ，又∵△BAG ≌△ADE ，∴∠ABG ＝∠DAE .∴AE ⊥BG .又∵BG ∩FG ＝G ，∴AE ⊥平面BFG .∵BF 平面BFG ，∴AE ⊥BF .(3)存在．取CC 1中点P ，即为所求．连接EP ，AP ，C 1D ，∵EP ∥C 1D ，C 1D ∥AB 1，∴EP ∥AB 1.由(1)知AB 1⊥BF ，∴BF ⊥EP .又由(2)知AE ⊥BF ，且AE ∩EP ＝E ，∴BF ⊥平面AEP . 2.解析： (1)证明：∵平面VAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形．∴AB ⊥AD . 又平面VAD ∩底面ABCD ＝AD .故AB ⊥平面VAD .(2)如图，取VD 的中点F ，连接AF ，BF .∵△VAD 是正三角形，∴AF ⊥VD ，AF ＝32AD . 根据(1)AB ⊥平面VAD .∴AB ⊥VD .∴VD ⊥平面ABF .∴BF ⊥VD .∴∠AFB 为面VAD 与平面VDB 所成的二面角的平面角．∴tan ∠AFB ＝AB AF ＝233. (3)由(1)可知AB ⊥平面VAD ，∴CD ⊥平面VAD .∴平面VAD ⊥平面ECD .又∵△VAD 是正三角形，∴当E 是VA 中点时，ED ⊥VA .∴VA ⊥面EDC ，∵VA 面VAB ，∴面VAB ⊥面EDC .此时三棱锥V －EDC 的体积等于三棱锥C －VED 的体积， V C －EDV ＝13·S △VED ·DC ＝13×12×3×1×2＝33.。
北师大版高中数学必修第二册强化练习题-专题强化练9-空间中的垂直关系(含答案)
北师大版高中数学必修第二册专题强化练9 空间中的垂直关系1.(2022河南南阳第一中学月考)设m,n,l是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列四个命题,其中正确的是( )A.若α⊥β,l⊂α,m⊂β,则l⊥mB.若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥mA.37B.3+311C.6D.725.(多选题)如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,点C是圆上异于A,B的任一点,则下列结论正确的是( )A.PC⊥BC B.AC⊥平面PCBC.D.面在四棱锥P-ABCD中,底面面答案与分层梯度式解析专题强化练9 空间中的垂直关系1.C 对于A,若α⊥β,l⊂α,m⊂β,则l与m可能平行、相交或异面,A不正确;对于B,若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l与m可能平行或异面,B不正确;对于C,如图,过l作平面γ,γ∩β=l',∵l∥β,l⊂γ,γ∩β=l',∴l∥l',∵l⊥α,∴l'⊥α,又l'⊂β,∴α⊥β,C正确;对于D,当l⊂α,l⊥m,l⊥n,m∥β,n∥β时,α与β还可能平行或斜交,D不正确.故选C.2.D ∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC⊂平面PAC,平面PAC∩平面PBC=PC,∴AC⊥平面PBC.∵BC⊂平面PBC,∴AC⊥BC,∴∠ACB=90°,∴动点C的运动轨迹是以AB为直径的圆(除去A,B两点).3.AC 对于A,由题意得PE⊥平面ABCD,连接AC,交BD于点H,若E与H不重合,则AH=CH,EH⊥AC,所以AE=EC,当E与H重合时,显然AE=EC,又PA=PE2+AE2,PC=PE2+CE2,所以PA=PC,A正确;对于B,PD=PE2+ED2,PB=PE2+EB2,由于ED与EB不一定相等,所以PB,PD不一定相等,B错误;对于C,因为PE⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以PE⊥AC,又因为AC⊥BD,PE∩BD=E,PE,BD⊂平面PBD,所以AC⊥平面PBD,C正确;对于D,连接PH,若E,H不重合,则PH与EH不垂直,故BD与PH不垂直,则BD与平面PAC 不垂直,D错误.故选AC.4.A 连接A1B,根据题意,得△CC1B为直角三角形,因为∠ACB=90°,所以∠A1C1B1=90°,即A1C1⊥B1C1,因为AA1⊥底面A1B1C1,CC1∥AA1,所以CC1⊥底面A1B1C1,所以CC1⊥A1C1,又即则当且仅当C,P,A1三点共线B=30°,又在22即∵又∴BC⊥平面PAC,又PC⊂平面PAC,∴PC⊥BC,故A正确;∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PAC,故D正确;若AC⊥平面PCB,则AC⊥PC,∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AC,与AC⊥PC矛盾,故B错误;过点C 作CD ⊥PB 于D,若平面PAB ⊥平面PBC,且平面PAB∩平面PBC=PB,CD ⊂平面PBC,则CD ⊥平面PAB,又PA ⊂平面PAB,∴CD ⊥PA,又PA ⊥BC,CD∩BC=C,CD,BC ⊂平面PBC,∴PA ⊥平面PBC,∵PC ⊂平面PBC,∴PA ⊥PC,与PA ⊥AC 矛盾,故C 错误.故选AD.6.答案 63解析 在Rt △ABC 中,BC=33,∠BAC=π6,AC ⊥BC,则AB=233,因为平面ABC ⊥平面α,平面ABC∩平面α=AC,AC ⊥BC,BC ⊂平面ABC,所以BC ⊥平面α,因为CP ⊂平面α,所以BC ⊥CP,则CP=BP 2-BC 2=BP 2-13(在Rt △BCP 中,CP 最短,即BP 最短),设∠ABP=θ(0<θ<π),则S △ABP =12AB·BPsin θ,即33=12×233BP·sin θ,得BP=1sinθ,当sin θ=1,即θ=π2,即AB ⊥BP 时,BP 的长度取得最小值1,此时CP 的长度取得最小值,为12-13=63.7.解析 (1)当a=2时,BD ⊥平面PAC.证明如下:当a=2时,矩形ABCD 为正方形,则BD ⊥AC.∵PA ⊥平面ABCD,BD ⊂平面ABCD,∴BD ⊥PA.又AC∩PA=A,AC,PA ⊂平面PAC,∴BD ⊥平面PAC.故当a=2时,BD ⊥平面PAC.(2)连接AM.∵PA ⊥平面ABCD,DM ⊂平面ABCD,∴DM ⊥PA,又PM ⊥DM,PA∩PM=P,PA,PM ⊂平面PAM,∴DM ⊥平面PAM,∵AM ⊂平面PAM,∴DM ⊥AM,∴点M 是以AD 为直径的圆和棱BC 的交点,∴圆的半径r=AD 2≥AB,即a≥4,∴a 的取值范围是[4,+∞).。
高考数学一轮复习 第八章 立体几何 课时42 空间中的垂直关系学案 文 北师大版-北师大版高三全册数
课时42 空间中的垂直关系(课前预习案)班级： 姓名：一、高考考纲要求 1.理解掌握两条直线垂直 2.理解掌握直线和平面垂直 3.理解掌握平面和平面垂直 二、高考考点回顾 1.两条直线垂直（1）定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为 ，则称这两条直线互相垂直. （2）判定：<1>平面几何中的重要结论：①等腰三角形ABC 中，D 为BC 的中点，则 ；②若四边形ABCD 为菱形，则 ；③已知AB 为圆O 的直径，C 为圆周上一点，则有 ； ④已知MN 为圆O 的一条弦，P 为MN 的中点，则有 . <2>若//a b ，b c ⊥，则 .<3>线面垂直的性质：若a α⊥，b α⊂，则 .2.直线和平面垂直（1）定义：如果一条直线和一个平面相交于点O ，并且和 ，我们就说这条直线和这个平面垂直，记作 ，直线叫做平面的 ，平面叫做直线的 ，交点叫做垂足. （2）判定：<1>线面垂直的判定定理： 如图（1）；<2>线面垂直判定定理的推论:如图（2）； <3>面面平行的性质：如图（3）； <4>面面垂直的性质：如图（4）.Cb βα3.面面垂直（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线 ，就称这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直，记作 . （2）两个平面垂直的判定： 三、课前检测1. 下列说法中正确的是（ ）A.如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥；B.如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l α⊥；C. 如果直线l 与平面α不垂直，则平面α内没有与l 垂直的直线；D. 如果直线l 与平面α不垂直，则平面α内也有无数条直线与直线l 垂直.2. 一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不确定3. 对于直线m 、n 和平面α、β，能得出αβ⊥的一个条件是（ ） A.m n ⊥,//m α,//n β B. m n ⊥,m αβ=,n α⊂C.//m n ,n β⊥,m α⊂D. //m n ,m α⊥,n β⊥4. 设b ，c 表示两条直线，,αβ表示两个平面，则下列命题正确的是（ ） A.若,//,//b c c b αα⊂则 B.若,//,//b b c c αα⊂则 C.若,,c c ααββ⊂⊥⊥则D.若,,c c αβαβ⊂⊥⊥则A nm bαcbαβbαn m βα图⑴图⑵图⑶图⑷5.如图所示，已知A 是BCD ∆所在平面外一点，,,AB AD AB BC AD DC =⊥⊥，E 是BD 的中点.求证：平面AEC ⊥平面ABD ,平面AEC ⊥平面BCD .课内探究案班级： 姓名：考点一：线线垂直问题【典例1】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，14AA =，5AB =. 点D 是AB 的中点，（I ）求证：1AC BC ⊥； （II ）求证：1//AC 面1CDB .【变式1】如图，四边形ABCD 为矩形，DA ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，BF ⊥平面ACE 于点F ，且点F 在CE 上.ECBA（1）求证：AE EC ⊥； （2）DE BE ⊥；（3）设点M 在线段AB 上，且MA MB =，试在线段CE 上确定一点N ，使得//MN 面DAE .考点二 线面垂直问题【典例2】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，其中2AB =,60BAD ∠=.（I ）求证:BD ⊥平面PAC ；（II ）若PA AB =，求四棱锥P ABCD -的体积..MAEDCFDCBAP【变式2】已知ABC ∆中90ACB ∠=，SA ⊥面ABC ，AD SC ⊥. 求证：AD ⊥面SBC ．考点三 面面垂直问题【典例3】如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，且1PA AD ==，2AB =，120PAB ∠=，90PBC ∠=.（1）求证：平面PAD ⊥平面PAB ； （2）求三棱锥P ABC -的体积.【变式3】如图，在底面是矩形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，E 是PD 的中点.（I ）求证：平面PDC ⊥平面PDA ；（II ）求几何体P ABCD -被平面ACE 分得的两部分的体积比A CDE V -：.P ABCE V -【当堂检测】班级： 姓名：1.已知直线m 、n 和平面α、β，若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，要使n ⊥β，则应增加的条件是A. m ∥nB. n ⊥mC. n ∥αD. n ⊥α 2.已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若c a b a ⊥⊥,则b ∥c ；②若c a b a ⊥⊥,则b ⊥c ；③若a ∥,b b ⊥c 则c a ⊥. 其中正确的个数为 A ．0个B ．1个C ． 2个D ． 3个3. 如图，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，ABC ∆内接于圆O ，且AB 为圆O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有以下命题： ①BC PC ⊥；ECA②//OM APC 平面；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长． 其中真命题的序号为 。
2019大一轮高考总复习文数(北师大版)课时作业提升：42 空间中的垂直关系
课时作业提升(四十二)空间中的垂直关系A组夯实基础1．(2018·西安联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β且mαB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且α∥β解析：选C由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．2．如图，O为正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是()A．A1D B．AA1C．A1D1D．A1C1解析：选D由题易知A1C1⊥平面BB1D1D.又B1O平面BB1D1D，所以A1C1⊥B1O.3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是() A．若α⊥β，mα，nβ，则m⊥nB．若α∥β，mα，nβ，则m∥nC．若m⊥n，mα，nβ，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β解析：选D A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中，m与n可平行、可异面；C中，若α∥β，仍然满足m⊥n，mα，nβ，故C错误；故选D．4．如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AE D．平面PDE⊥平面ABC解析：选D因为BC∥DF，DF平面PDF，BC⊆/平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，所以BC⊥平面P AE，则DF⊥平面P AE ，从而平面PDF ⊥平面P AE .因此选项B ，C 均正确．5．如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上D ．△ABC 内部解析：选A 由AC ⊥AB ，AC ⊥BC 1，得AC ⊥平面ABC 1. 因为AC 平面ABC ，所以平面ABC 1⊥平面ABC .所以C 1在平面ABC 上的射影H 必在两平面的交线AB 上．6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为________．解析：连接A 1C 1，则∠AC 1A 1为AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成的角． 因为AB ＝BC ＝2，所以A 1C 1＝AC ＝22， 又AA 1＝1，所以AC 1＝3， 所以sin ∠AC 1A 1＝AA 1AC 1＝13.答案： 137．△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8，∠ABC ＝60°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 是AB 上的一个动点，则PM 的最小值为________．解析：作CH ⊥AB 于H ，连接PH .因为PC ⊥平面ABC ，AB 平面ABC ，∴PC ⊥AB .又CH ⊥AB ，且PC ∩CH ＝C ，∴AB ⊥平面PCH ，PH 平面PCH .所以PH ⊥AB ，PH 为PM 的最小值，等于27.答案：278．已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，bβ，a⊥b，则b⊥α；④若aα，bα，l⊥a，l⊥b，l⊆/α，则l⊥α.其中正确命题的序号是________．解析：若平面α，β，γ两两相交于三条直线，则有交线平行，故①不正确．因为a，b 相交，假设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．由面面垂直的性质定理知③正确．当a∥b时，l垂直于平面α内两条不相交直线，不能得出l⊥α，④错误．答案：②③9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.B组能力提升1．(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.(1)证明：AC ⊥BD ；(2)已知△ACD 是直角三角形，AB ＝BD ，若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．(1)证明：如图，取AC 的中点O ，连接DO ， BO .因为AD ＝CD ，所以AC ⊥DO . 又由于△ABC 是正三角形， 所以AC ⊥BO ，BO ∩DO ＝O ， 从而AC ⊥平面DOB ，BD 平面DOB . 故AC ⊥BD . (2)解：连接EO .由(1)及题设知∠ADC ＝90°，所以DO ＝AO . 在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2.又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2，故∠DOB ＝90°. 由题设知△AEC 为直角三角形，所以EO ＝12AC .又△ABC 是正三角形，且AB ＝BD ，所以EO ＝12BD .故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，四面体ABCE的体积为四面体ABCD 的体积的12，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1.2．⊙O 的直径AB ＝4，点C ，D 为⊙O 上两点，且∠CAB ＝45°，F 为BC ︵的中点．沿直径AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图②)．①②(1)求证：OF ∥平面ACD ；(2)在AD 上是否存在点E ，使得平面OCE ⊥平面ACD ？若存在，试指出点E 的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明：由∠CAB ＝45°，知∠COB ＝90°， 又因为F 为BC ︵的中点，所以∠FOB ＝45°，因此OF ∥AC ， 又AC 平面ACD ，OF ⊆/ 平面ACD ， 所以OF ∥平面ACD . (2)解：存在，E 为AD 中点， 因为OA ＝OD ，所以OE ⊥AD .又OC ⊥AB 且两半圆所在平面互相垂直． 所以OC ⊥平面OAD .又AD 平面OAD ，所以AD ⊥OC ，由于OE ，OC 是平面OCE 内的两条相交直线， 所以AD ⊥平面OCE . 又AD 平面ACD ， 所以平面OCE ⊥平面ACD .3．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，E ，F 分别在线段BC ，AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起，记折起后的矩形为MNEF ，且平面MNEF ⊥平面ECDF .(1)求证：NC ∥平面MFD ； (2)若EC ＝3，求证：ND ⊥FC ； (3)求四面体N －EFD 体积的最大值．(1)证明：∵平行四边形MNEF 和EFDC 都是矩形， ∴MN ∥EF ，EF ∥CD ，MN ＝EF ＝CD ，∴MN ∥CD . ∴四边形MNCD 是平行四边形．∴NC ∥MD . ∵NC ⊆/ 平面MFD ，MD 平面MFD ， ∴NC ∥平面MFD .(2)证明：连接ED ，交FC 于点O ，如图所示．∵平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，平面MNEF∩平面ECDF＝EF，NE平面MNEF，∴NE⊥平面ECDF.∵FC平面ECDF，∴FC⊥NE.∵EC＝CD，∴四边形ECDF为正方形，∴FC⊥ED.又∵ED∩NE＝E，ED，NE平面NED，∴FC⊥平面NED.∵ND平面NED，∴ND⊥FC.(3)解：设NE＝x，则FD＝EC＝4－x，其中0<x<4，由(2)得NE⊥平面FEC，∴四面体N－EFD的体积为V N－FED＝13S△EFD·NE＝12x(4－x)．∴V N－FED≤12⎣⎡⎦⎤x＋(4－x)22＝2，当且仅当x＝4－x，即x＝2时，四面体N－EFD的体积最大，最大值为2.。
2019—2020年最新北师大版高中数学必修二8-4空间中的垂直关系同步练习(精品试题)
8-4空间中的垂直关系基础巩固一、选择题1．对于直线m、l和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是( )A．m⊥l，m∥α，l∥βB．m⊥l，α∩β＝m，lαC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，mα[答案] D[解析]本题考查空间线面位置关系的判定．A：与两相互垂直直线平行的平面的位置关系不能确定；B：平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系也不能确定；C：这两个平面也有可能重合可能平行；D是成立的，故选D.2．平面α垂直于平面β(α、β为不重合的平面)成立的一个充分条件是( )A．存在一条直线l，l⊥α，l⊥βB．存在一个平面γ，γ∥α，γ∥βC．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥βD．存在一条直线l，l⊥α，l∥β[分析] 本题主要考查立体几何及简易逻辑的有关知识．由充分条件的含义可知本题就是要从四个选项中寻求使平面α⊥平面β成立的一个条件．[答案] D[解析]对于选项A，l⊥α，l⊥β⇒α∥β；对于选项B，γ∥α，γ∥β⇒α∥β；对于选项C，当γ⊥α，γ⊥β成立时，平面α，β的关系是不确定的；对于选项D，当l⊥α，l∥β成立时，说明在β内必存在一条直线m，满足m⊥α，从而有α⊥β成立．3．(文)(教材改编题)“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直的”()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件[答案] B[解析]由直线与平面垂直的定义知，为必要不充分条件．(理)设平面α⊥β，α∩β＝l，直线aα，直线bβ，且a不与l垂直，b不与l 垂直，则a与b( )A．可能垂直，不可能平行B．可能平行，不可能垂直C．可能垂直，也可能平行D．不可能垂直，也不可能平行[答案] B[解析]当a∥l，b∥l时，a∥b.假设a⊥b，如图，过a上一点作c⊥l，则c⊥β.∴b⊥c.又b⊥a，∴b⊥α，∴b⊥l，与已知矛盾．4．(2012·浙江文，5)设l是直线，α，β是两个不同的平面( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β[答案] B[解析]本题考查了空间中线面的垂直与平行，A中，α和β也可以相交，C中l应平行于β或在β内，D中l也可与β平行．5．下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β[答案] D[解析]本题主要考查空间中的线面、面面关系等基础知识．对于A、α内存在直线平行于α与β的交线，故α内必存在直线平行于β，正确；对于B，由于α不垂直于β，α内一定不存在直线垂直于β，否则α⊥β，正确；对于C，由平面与平面垂直的性质知正确，故D不正确，选D.6．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成．．立．的是( )A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC[答案] C[解析]∵D、F分别为AB、CA中点，∴DF∥BC.∴BC∥面PDF，故A正确．又∵P－ABC为正四面体，∴P在底面ABC内的射影O在AE上．∴PO⊥面ABC.∴PO⊥DF.又∵E为BC中点，∴AE⊥BC，∴AE⊥DF.又∵PO∩AE＝O，∴DF⊥面PAE，故B正确．又∵PO面PAE，PO⊥面ABC，∴面PAE⊥面ABC，故D正确．∴四个结论中不成立的是C.二、填空题7．(2012·太原调研)已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n.其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．[答案] ①④[解析]②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β或α，β相交，所以②错误．③若m ⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β或α，β相交，所以③错误．故填①④.8．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB 上一个动点，则PM的最小值为________．[答案] 27[解析] 如图，∵PC ⊥平面ABC ，MC 面ABC ，∴PC ⊥MC .故PM ＝PC 2＋MC 2＝MC 2＋16. 又∵MC 的最小值为4×438＝23，∴PM 的最小值为27. 三、解答题9．(2012·北京文，16)如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．[解析](1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰直角三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A 1B 上存在点Q ，使得A 1C ⊥平面DEQ .能 力 提 升一、选择题1．(2012·安徽理，6)设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 本题考查了立体几何中垂直关系及充要条件的问题．①α⊥β，b ⊥m ⇒b ⊥α⇒b ⊥a .②如果a ∥m ，则a ⊥b 与b ⊥m 条件相同．故选A. 2．(文)a 、b 为不重合的直线，α，β为不重合的平面，给出下列4个命题： ①a ∥α且a ∥b ⇒b ∥α； ②a ⊥α且a ⊥b ⇒b ∥α； ③a ⊥α且a ⊥b ⇒b ⊥α； ④a ⊥β且α⊥β⇒a ∥α.其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] A [解析]⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ∥b⇒b ∥α或bα，故①错；⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥b⇒b ∥α或bα，故②错；⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥βα⊥β⇒a ∥α或a α，故③错；⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥βα⊥β⇒a ∥α或a α，故④错． (理)棱长都为2的直平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，∠BAD ＝60°，则对角线A 1C 与侧面DCC 1D 1所成角的正弦值为( )A.12B.22C.34D.38 [答案] C[解析] 过点A 1作直线A 1M ⊥D 1C 1，交C 1D 1延长线于点M ，可得A 1M ⊥平面DD 1C 1C ，∠A 1CM 就是直线A 1C 与面DD 1C 1C 所成的角．由于所有棱长均为2，及∠A 1D 1C 1＝120°，得A 1M ＝A 1D 1sin60°＝3，又A 1C ＝A 1C 21＋CC 21＝32＋22＝4，∴sin ∠A 1CM ＝A 1M A 1C ＝34，故应选C. 二、填空题3．已知P 是△ABC 所在平面α外一点，O 是点P 在平面α内的射影 (1)若P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，则O 是△ABC 的________．(2)若平面PAB 、PBC 、PCA 与平面α所成的角相等，且O 在△ABC 的内部，则O 是△ABC 的________．(3)若PA 、PB 、PC 两两垂直，则O 是△ABC 的________． [答案] (1)外心 (2)内心 (3)垂心4．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)[答案] DM ⊥PC (或BM ⊥PC ) [解析] 由定理知，BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD ， 而PC 平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD . 三、解答题5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E 、F 、G 分别是BC 、SC 和DC 的中点，点P 在线段FG 上．(1)求证：平面EFG ∥平面SDB ； (2)求证：PE ⊥AC .[解析](1)∵E、F、G分别为BC、SC、CD的中点，∴EF∥SB，EG∥BD.∵EF平面SBD，EG平面SBD，∴EF∥平面SBD，EG∥平面SBD.∵EG∩EF＝E，∴平面EFG∥平面SDB.(2)∵B1B⊥底面ABCD，∴AC⊥B1B.又∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∴AC⊥平面B1BDD1，即AC⊥平面SBD.又平面EFG∥平面SBD，∴AC⊥平面EFG.∵PE平面EFG，∴PE⊥AC.6．(文)(2012·湖北文，19)某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1－ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD－A2B2C2D2.(1)证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2；(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB＝10，A1B1＝20，AA2＝30，AA1＝13(单位：cm)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？[解析](1)∵四棱柱ABCD－A2B2C2D2的侧面是全等的矩形，∴AA2⊥AB，AA2⊥AD，又∵AB∩AD＝A，∴AA2⊥平面ABCD.连接BD，因为BD平面ABCD，所以AA2⊥BD.∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD.根据棱台的定义可知，BD与B1D1共面．又已知平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD，平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1＝B1D1∴B1D1∥BD，∵AA2⊥BD，AC⊥BD，∴AA2⊥B1D1，AC⊥B1D1，又∵AA2∩AC＝A，∴B1D1⊥平面ACC2A2.(2)因为四棱柱ABCD－A2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以S1＝(A2B2)2＋4AB·AA2＝102＋4×10×30＝1300(cm2)．又因为四棱台A 1B 1C 1D 1－ABCD 的上、下底面均是正方形，侧面是全等的梯形， 所以S 2＝(A 1B 1)2＋4×12(AB ＋A 1B 1)h 斜高＝202＋4×12(10＋20)132－[12－2＝1 120(cm 2)．于是该实心零部件的表面积为S ＝S 1＋S 2＝1 300＋1 120＝2 420(cm 2)， 故所需加工处理费为0.2S ＝0.2×2 420＝484(元)．(理)(2012·浙江文，20)如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ＝2，BC ＝4，AA 1＝2，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点．(1)证明：①EF ∥A 1D 1； ②BA 1⊥平面B 1C 1EF ；(2)求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值． [解析] (1)①∵C 1B 1∥A 1D 1，C 1B 1平面ADD 1A 1， ∴C 1B 1∥平面A 1D 1DA .又∵平面B 1C 1EF ∩平面A 1D 1DA ＝EF ， ∴C 1B 1∥EF ，∴A 1D 1∥EF .②∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，∴BB 1⊥B 1C 1 又∵B 1C 1⊥B 1A 1，∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1. ∴B 1C 1⊥BA 1.在矩形ABB 1A 1中，F 是AA 1的中点， tan ∠A 1B 1F ＝tan ∠AA 1B ＝22，即∠A 1B 1F ＝∠AA 1B ， 故BA 1⊥B 1F .又∵BA 1⊥B 1C 1， 所以BA 1⊥平面B 1C 1EF .(2)设BA 1与B 1F 交点为H ，连接C 1H .由(1)知BA 1⊥平面B 1C 1EF ，所以∠BC 1H 是BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角．在矩形AA 1B 1B 中，AB ＝2，AA 1＝2，得BH ＝46.在Rt △BHC 1中，BC 1＝25，BH ＝46，得 sin ∠BC 1H ＝BH BC 1＝3015. 所以BC 1与平面B 1C 1EF 所成角的正弦值是3015. 7．(文)如图，在四棱锥S －ABCD 中，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ，底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于O 点．(1)求证：AC ⊥平面SBD ；(2)若E 为BC 的中点，点P 在侧面△SCD 内及其边界上运动，并保持PE ⊥AC ，试写出动点P 的轨迹，并证明你的结论．[分析] 本题考查了线线垂直和线面垂直关系的判定方法，旨在对推理论证能力、空间想象力和探究能力的考查．第(1)问要证线面垂直，根据线面垂直的判定定理，只要证明直线和平面内两条相交直线垂直即可；第(2)问要探究保持线线垂直的动点的轨迹，只要找出与AC 垂直且过E 点的平面即可得到动点P 的轨迹．[解析] (1)∵底面ABCD 是菱形，O 为中心．∴AC⊥BD，又SA＝SC，∴AC⊥SO，而SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD.(2)取棱SC的中点M，CD的中点N，连接MN，则动点P的轨迹即是线段MN.证明如下：连接EM、EN，∵E是BC的中点，M是SC的中点，∴EM∥SB，同理EN∥BD，∵AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，∴AC⊥EM.同理AC⊥EN，又EM∩EN＝E，∴AC⊥平面EMN，因此，当P点在线段MN上运动时，总有AC⊥PE，P点不在线段MN上时，不可能有AC ⊥PE.[点评] 由于《考试说明》中对立体几何部分整体要求的下降，故高考对立体几何考查的难度不会太高．但在空间位置关系的证明上，还是会一如既往地重点考查，并且在方式上会寻求突破和创新，变传统证明为判断型、探究型问题，增加了难度，体现了能力立意，复习中需引起足够重视．(理)如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．将△ABE沿AE折起后如图2，使平面ABE⊥平面ADCE，设F是CD的中点，P是棱BC的中点．(1)求证：AE⊥BD；(2)求证：平面PEF⊥平面AECD；(3)判断DE能否垂直于平面ABC，并说明理由．[解析](1)设AE中点为M，∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，∴△ABE与△ADE都是等边三角形．∴BM⊥AE，DM⊥AE.∵BM∩DM＝M，BM、DM平面BDM，∴AE⊥平面BDM.∵BD平面BDM，∴AE⊥BD.(2)连接CM交EF于点N，∵ME綊FC，∴四边形MECF是平行四边形．∴N是线段CM的中点．∵P是BC的中点，∴PN∥BM.∵BM⊥平面AECD，∴PN⊥平面AECD.又∵PN平面PEF，∴平面PEF⊥平面AECD.(3)DE与平面ABC不垂直．证明：假设DE⊥平面ABC，则DE⊥AB，∵BM⊥平面AECD.∴BM⊥DE.∵AB∩BM＝B，AB、BM平面ABE，∴DE⊥平面ABE.∴DE⊥AE，这与∠AED＝60°矛盾．∴DE与平面ABC不垂直．。
【走向高考】高三数学一轮总复习 8-4空间中的垂直关系课件 北师大版
2． PA 垂直于正方形 ABCD 所在平面， 连接 PB， PC， PD， AC，BD，则下列垂直关系正确的是( ①面 PAB⊥面 PBC PCD ④面 PAB⊥面 PAC B．①③ D．②④ )
②面 PAB⊥面 PAD ③面 PAB⊥面
A．①② C．②③
[答案] A
[解析]
易证 BC⊥平面 PAB，
[答案] B
)
[ 解析]
本小题主要考查空间线面的垂直关系和应用充
要条件解题的能力． 由已知 m α， 若 α⊥β 则有 m⊥β， 或 m∥β 或 m 与 β 相交； 反之，若 m⊥β，∵m α，∴由面面垂直的判定定理知 α⊥β. ∴α⊥β 是 m⊥β 的必要不充分条件．故选 B.
(理)(2013· 西安模拟)给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行， 那么这 两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的一条垂线， 那么这两个平 面相互垂直； ③垂直于同一条直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直， 那么一个平面内与它们的交线不垂直 的直线与另一个平面也不垂直．
[答案] ①④
[解析]
本题考查四面体的性质，取 BC 的中点 E，
则 BC⊥AE，BC⊥DE， ∴BC⊥平面 ADE，∴BC⊥AD，故①正确． 设 O 为 A 在面 BCD 上的射影，依题意 OB⊥CD，OC⊥ BD， ∴O 为垂心，∴OD⊥BC，∴BC⊥AD，故④正确， ②③易排除，故答案为①④.
其中，为真命题的是( A．①和② C．③和④
[答案] D
) B．②和③ D．②和④
[解析]
考查空间线面的位置关系的判定与性质．
①错，②正确，③错，④正确．故选 D.
4．(2012· 南昌一模)设 α，β 是两个不同的平面，l 是一条 直线，以下命题正确的是( )
高考数学统考一轮复习 第七章 立体几何 第五节 垂直关系课时规范练(文,含解析)北师大版
学习资料第七章立体几何第五节垂直关系课时规范练A组-—基础对点练1．设a，b,c是三条不同的直线,α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分不必要条件是(）A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β，aα，bβC．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α解析：对于C，在平面α内存在c∥b,因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B中，直线a，b 可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线;D中一定推出a∥b.答案:C2.（2020·江西南昌模拟)如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的射影H必在（）A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：由AB⊥AC，BD⊥AC,又AB∩BD＝B，则AC⊥平面ABD，而AC平面ABC,则平面ABC⊥平面ABD，因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上，故选A.答案：A3. (2020·保定模拟）如图,在正四面体P。
ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是（）A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AED．平面PDE⊥平面ABC解析:因BC∥DF，DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC⊥平面P AE，BC∥DF,所以结论B,C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立．答案：D4。
已知直线P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系中不正确的是（）A．P A⊥BCB．BC⊥平面P ACC．AC⊥PBD．PC⊥BC解析：AB为直径，C为圆上异于A，B的一点，所以AC⊥BC。
因为P A⊥平面ABC,所以P A⊥BC。
因为P A∩AC＝A，所以BC⊥平面P AC，从而PC⊥BC。
故选C。
答案：C5。
如图，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是(）A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC,同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE。
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8-4空间中的垂直关系基础巩固一、选择题1．对于直线m、l和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是( )A．m⊥l，m∥α，l∥βB．m⊥l，α∩β＝m，lαC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，mα[答案] D[解析]本题考查空间线面位置关系的判定．A：与两相互垂直直线平行的平面的位置关系不能确定；B：平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系也不能确定；C：这两个平面也有可能重合可能平行；D是成立的，故选D.2．平面α垂直于平面β(α、β为不重合的平面)成立的一个充分条件是( )A．存在一条直线l，l⊥α，l⊥βB．存在一个平面γ，γ∥α，γ∥βC．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥βD．存在一条直线l，l⊥α，l∥β[分析] 本题主要考查立体几何及简易逻辑的有关知识．由充分条件的含义可知本题就是要从四个选项中寻求使平面α⊥平面β成立的一个条件．[答案] D[解析]对于选项A，l⊥α，l⊥β⇒α∥β；对于选项B，γ∥α，γ∥β⇒α∥β；对于选项C，当γ⊥α，γ⊥β成立时，平面α，β的关系是不确定的；对于选项D，当l⊥α，l∥β成立时，说明在β内必存在一条直线m，满足m⊥α，从而有α⊥β成立．3．(文)(教材改编题)“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直的”()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件[答案] B[解析]由直线与平面垂直的定义知，为必要不充分条件．(理)设平面α⊥β，α∩β＝l，直线aα，直线bβ，且a不与l垂直，b不与l 垂直，则a与b( )A．可能垂直，不可能平行B．可能平行，不可能垂直C．可能垂直，也可能平行D．不可能垂直，也不可能平行[答案] B[解析]当a∥l，b∥l时，a∥b.假设a⊥b，如图，过a上一点作c⊥l，则c⊥β.∴b⊥c.又b⊥a，∴b⊥α，∴b⊥l，与已知矛盾．4．(2012·浙江文，5)设l是直线，α，β是两个不同的平面( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β[答案] B[解析]本题考查了空间中线面的垂直与平行，A中，α和β也可以相交，C中l应平行于β或在β内，D中l也可与β平行．5．下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β[答案] D[解析]本题主要考查空间中的线面、面面关系等基础知识．对于A、α内存在直线平行于α与β的交线，故α内必存在直线平行于β，正确；对于B，由于α不垂直于β，α内一定不存在直线垂直于β，否则α⊥β，正确；对于C，由平面与平面垂直的性质知正确，故D不正确，选D.6．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成．．立．的是( )A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC[答案] C[解析]∵D、F分别为AB、CA中点，∴DF∥BC.∴BC∥面PDF，故A正确．又∵P－ABC为正四面体，∴P在底面ABC内的射影O在AE上．∴PO⊥面ABC.∴PO⊥DF.又∵E为BC中点，∴AE⊥BC，∴AE⊥DF.又∵PO∩AE＝O，∴DF⊥面PAE，故B正确．又∵PO面PAE，PO⊥面ABC，∴面PAE⊥面ABC，故D正确．∴四个结论中不成立的是C.二、填空题7．(2012·太原调研)已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n.其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．[答案] ①④[解析]②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β或α，β相交，所以②错误．③若m ⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β或α，β相交，所以③错误．故填①④.8．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB 上一个动点，则PM的最小值为________．[答案] 27[解析] 如图，∵PC ⊥平面ABC ，MC 面ABC ，∴PC ⊥MC .故PM ＝PC 2＋MC 2＝MC 2＋16. 又∵MC 的最小值为4×438＝23，∴PM 的最小值为27. 三、解答题9．(2012·北京文，16)如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．[解析](1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰直角三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A 1B 上存在点Q ，使得A 1C ⊥平面DEQ .能 力 提 升一、选择题1．(2012·安徽理，6)设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 本题考查了立体几何中垂直关系及充要条件的问题．①α⊥β，b ⊥m ⇒b ⊥α⇒b ⊥a .②如果a ∥m ，则a ⊥b 与b ⊥m 条件相同．故选A. 2．(文)a 、b 为不重合的直线，α，β为不重合的平面，给出下列4个命题： ①a ∥α且a ∥b ⇒b ∥α； ②a ⊥α且a ⊥b ⇒b ∥α； ③a ⊥α且a ⊥b ⇒b ⊥α； ④a ⊥β且α⊥β⇒a ∥α.其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] A [解析]⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ∥b⇒b ∥α或bα，故①错；⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥b⇒b ∥α或bα，故②错；⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥βα⊥β⇒a ∥α或a α，故③错；⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥βα⊥β⇒a ∥α或a α，故④错． (理)棱长都为2的直平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，∠BAD ＝60°，则对角线A 1C 与侧面DCC 1D 1所成角的正弦值为( )A.12B.22C.34D.38 [答案] C[解析] 过点A 1作直线A 1M ⊥D 1C 1，交C 1D 1延长线于点M ，可得A 1M ⊥平面DD 1C 1C ，∠A 1CM 就是直线A 1C 与面DD 1C 1C 所成的角．由于所有棱长均为2，及∠A 1D 1C 1＝120°，得A 1M ＝A 1D 1sin60°＝3，又A 1C ＝A 1C 21＋CC 21＝32＋22＝4，∴sin ∠A 1CM ＝A 1M A 1C ＝34，故应选C. 二、填空题3．已知P 是△ABC 所在平面α外一点，O 是点P 在平面α内的射影 (1)若P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，则O 是△ABC 的________．(2)若平面PAB 、PBC 、PCA 与平面α所成的角相等，且O 在△ABC 的内部，则O 是△ABC 的________．(3)若PA 、PB 、PC 两两垂直，则O 是△ABC 的________． [答案] (1)外心 (2)内心 (3)垂心4．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)[答案] DM ⊥PC (或BM ⊥PC ) [解析] 由定理知，BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD ， 而PC 平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD . 三、解答题5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E 、F 、G 分别是BC 、SC 和DC 的中点，点P 在线段FG 上．(1)求证：平面EFG ∥平面SDB ； (2)求证：PE ⊥AC .[解析](1)∵E、F、G分别为BC、SC、CD的中点，∴EF∥SB，EG∥BD.∵EF平面SBD，EG平面SBD，∴EF∥平面SBD，EG∥平面SBD.∵EG∩EF＝E，∴平面EFG∥平面SDB.(2)∵B1B⊥底面ABCD，∴AC⊥B1B.又∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∴AC⊥平面B1BDD1，即AC⊥平面SBD.又平面EFG∥平面SBD，∴AC⊥平面EFG.∵PE平面EFG，∴PE⊥AC.6．(文)(2012·湖北文，19)某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1－ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD－A2B2C2D2.(1)证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2；(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB＝10，A1B1＝20，AA2＝30，AA1＝13(单位：cm)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？[解析](1)∵四棱柱ABCD－A2B2C2D2的侧面是全等的矩形，∴AA2⊥AB，AA2⊥AD，又∵AB∩AD＝A，∴AA2⊥平面ABCD.连接BD，因为BD平面ABCD，所以AA2⊥BD.∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD.根据棱台的定义可知，BD与B1D1共面．又已知平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD，平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1＝B1D1∴B1D1∥BD，∵AA2⊥BD，AC⊥BD，∴AA2⊥B1D1，AC⊥B1D1，又∵AA2∩AC＝A，∴B1D1⊥平面ACC2A2.(2)因为四棱柱ABCD－A2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以S1＝(A2B2)2＋4AB·AA2＝102＋4×10×30＝1300(cm2)．又因为四棱台A 1B 1C 1D 1－ABCD 的上、下底面均是正方形，侧面是全等的梯形， 所以S 2＝(A 1B 1)2＋4×12(AB ＋A 1B 1)h 斜高＝202＋4×12(10＋20)132－[12－2＝1 120(cm 2)．于是该实心零部件的表面积为S ＝S 1＋S 2＝1 300＋1 120＝2 420(cm 2)， 故所需加工处理费为0.2S ＝0.2×2 420＝484(元)．(理)(2012·浙江文，20)如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ＝2，BC ＝4，AA 1＝2，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点．(1)证明：①EF ∥A 1D 1； ②BA 1⊥平面B 1C 1EF ；(2)求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值． [解析] (1)①∵C 1B 1∥A 1D 1，C 1B 1平面ADD 1A 1， ∴C 1B 1∥平面A 1D 1DA .又∵平面B 1C 1EF ∩平面A 1D 1DA ＝EF ， ∴C 1B 1∥EF ，∴A 1D 1∥EF .②∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，∴BB 1⊥B 1C 1 又∵B 1C 1⊥B 1A 1，∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1. ∴B 1C 1⊥BA 1.在矩形ABB 1A 1中，F 是AA 1的中点， tan ∠A 1B 1F ＝tan ∠AA 1B ＝22，即∠A 1B 1F ＝∠AA 1B ， 故BA 1⊥B 1F .又∵BA 1⊥B 1C 1， 所以BA 1⊥平面B 1C 1EF .(2)设BA 1与B 1F 交点为H ，连接C 1H .由(1)知BA 1⊥平面B 1C 1EF ，所以∠BC 1H 是BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角．在矩形AA 1B 1B 中，AB ＝2，AA 1＝2，得BH ＝46.在Rt △BHC 1中，BC 1＝25，BH ＝46，得 sin ∠BC 1H ＝BH BC 1＝3015. 所以BC 1与平面B 1C 1EF 所成角的正弦值是3015. 7．(文)如图，在四棱锥S －ABCD 中，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ，底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于O 点．(1)求证：AC ⊥平面SBD ；(2)若E 为BC 的中点，点P 在侧面△SCD 内及其边界上运动，并保持PE ⊥AC ，试写出动点P 的轨迹，并证明你的结论．[分析] 本题考查了线线垂直和线面垂直关系的判定方法，旨在对推理论证能力、空间想象力和探究能力的考查．第(1)问要证线面垂直，根据线面垂直的判定定理，只要证明直线和平面内两条相交直线垂直即可；第(2)问要探究保持线线垂直的动点的轨迹，只要找出与AC 垂直且过E 点的平面即可得到动点P 的轨迹．[解析] (1)∵底面ABCD 是菱形，O 为中心．∴AC⊥BD，又SA＝SC，∴AC⊥SO，而SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD.(2)取棱SC的中点M，CD的中点N，连接MN，则动点P的轨迹即是线段MN.证明如下：连接EM、EN，∵E是BC的中点，M是SC的中点，∴EM∥SB，同理EN∥BD，∵AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，∴AC⊥EM.同理AC⊥EN，又EM∩EN＝E，∴AC⊥平面EMN，因此，当P点在线段MN上运动时，总有AC⊥PE，P点不在线段MN上时，不可能有AC ⊥PE.[点评] 由于《考试说明》中对立体几何部分整体要求的下降，故高考对立体几何考查的难度不会太高．但在空间位置关系的证明上，还是会一如既往地重点考查，并且在方式上会寻求突破和创新，变传统证明为判断型、探究型问题，增加了难度，体现了能力立意，复习中需引起足够重视．(理)如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．将△ABE沿AE折起后如图2，使平面ABE⊥平面ADCE，设F是CD的中点，P是棱BC的中点．(1)求证：AE⊥BD；(2)求证：平面PEF⊥平面AECD；(3)判断DE能否垂直于平面ABC，并说明理由．[解析](1)设AE中点为M，∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，∴△ABE与△ADE都是等边三角形．∴BM⊥AE，DM⊥AE.∵BM∩DM＝M，BM、DM平面BDM，∴AE⊥平面BDM.∵BD平面BDM，∴AE⊥BD.(2)连接CM交EF于点N，∵ME綊FC，∴四边形MECF是平行四边形．∴N是线段CM的中点．∵P是BC的中点，∴PN∥BM.∵BM⊥平面AECD，∴PN⊥平面AECD.又∵PN平面PEF，∴平面PEF⊥平面AECD.(3)DE与平面ABC不垂直．证明：假设DE⊥平面ABC，则DE⊥AB，∵BM⊥平面AECD.∴BM⊥DE.∵AB∩BM＝B，AB、BM平面ABE，∴DE⊥平面ABE.∴DE⊥AE，这与∠AED＝60°矛盾．∴DE与平面ABC不垂直．。