2018-2019学年北师大版必修二1.6.2 垂直关系的性质学业分层测评

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊆/α，l ⊆/β，则( )
A.α∥β且l ∥α
B.α⊥β且l ⊥β
C.α与β相交，且交线垂直于l
D.α与β相交，且交线平行于l
【解析】 由m ⊥ 平面α，直线l 满足l ⊥m ，且l ⊄α，所以l ∥α，又n ⊥平面β，l ⊥n ，l ⊄β，所以l ∥β.
由直线m ，n 为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m ∥n ，与m ，n 异面矛盾.故α与β相交，且交线平行于l .
【答案】 D
2.若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( ) ①
⎭⎬⎫
m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ②
⎭⎬⎫
m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③
⎭
⎬⎫
m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n; ④
⎭
⎬⎫
m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α. A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 ①②③正确，④中n 与面α可能有：n α或n ∥α或相交(包括n ⊥α). 【答案】 C
3.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( ) A.若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α B.若m ∥β，β⊥α，则m ⊥α C.若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥α D.若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α
【解析】 A ，B ，D 中，m 与平面α可能平行、相交或m 在平面α内；对
于C，若m⊥β，n⊥β，则m∥n，而n⊥α，所以m⊥α.故选C.
【答案】 C
4.如图1-6-29，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()
【导学号：39292042】
图1-6-29
A.线段B1C
B.线段BC1
C.BB1中点与CC1中点连成的线段
D.BC中点与B1C1中点连成的线段
【解析】连接AC，PC，
∵BD1⊥AC，BD1⊥AP，
∴BD1⊥平面APC，
∴BD1⊥PC，而在平面BCC1B1中，BD1⊥B1C，
∴P在线段B1C上运动，
即点P的轨迹是线段B1C.
【答案】 A
5.如图1-6-30，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列命题正确的是()
【导学号：39292043】
图1-6-30
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABC
【解析】如图，在平面图形中CD⊥BD，折起后仍然满足
CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.
又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ADC⊥平面ABC.
【答案】 D
二、填空题
6.若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为________.
【解析】过a作平面γ与平面α相交于a′.
∵a∥α，∴a∥a′.∵a⊥AB，∴a′⊥AB.
又α⊥β且α∩β＝AB，a′α，∴a′⊥β，∴a⊥β.
【答案】a⊥β
7.已知平面α⊥平面β，在α，β的交线上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和β内，它们都垂直于AB，并且AC＝3 cm，BD＝12 cm，则CD的长为______cm.
【解析】如图，连接AD，CD.
在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝12，
∴AD＝122＋42＝410 cm.
又∵α⊥β，CA⊥AB，CAα，
∴CA⊥β，
∴△CAD为直角三角形，
∴CD＝CA2＋AD2＝32＋42×10
＝169＝13(cm).
【答案】13
8.如图1-6-31，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，且AB＝AD，则AC与平面BCD所成的角是________.
图1-6-31
【解析】如图，取BD的中点E，连接AE，CE.
由AB＝AD，得AE⊥BD.
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AE平
面ABD，
∴AE⊥平面BCD，
∴EC为AC在平面BCD上的射影，
∠ACE即为AC与平面BCD所成的角.
∵在Rt△BCD中，E为BD的中点，
∴CE＝BE.
又AE＝BE，
∴在Rt△ACE中，AE＝CE，∠ACE＝45°.
∴AC与平面BCD所成的角为45°.
【答案】45°
三、解答题
9.如图1-6-32三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△P AC是直角三角形，∠P AC＝90°，∠ACP＝30°，平面P AC⊥平面ABC.求证：平面P AB⊥平面PBC.
【导学号：39292044】
图1-6-32
【证明】∵平面P AC⊥平面ABC，
平面P AC∩平面ABC＝AC，P A⊥AC，P A平面P AC，
∴P A⊥平面ABC.又BC平面ABC，
∴P A⊥BC.
又∵AB⊥BC，AB∩P A＝A，
∴BC⊥平面P AB.
又BC平面PBC，
∴平面P AB⊥平面PBC.
10.如图1-6-33，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD ＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.P A与BD是否相互垂直，请证明你的结论.
图1-6-33
【解】P A与BD垂直，证明如下：
如图，取BC的中点O，连接PO，AO，
∵PB＝PC，∴PO⊥BC，
又侧面PBC⊥底面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，
∴PO⊥BD，
在直角梯形ABCD中，易证△ABO≌△BCD，
∠BAO＝∠CBD，∠CBD＋∠ABD＝90°，
∴∠BAO＋∠ABD＝90°，∴AO⊥BD，
又PO∩AO＝O，∴BD⊥平面P AO，
∴BD⊥P A，∴P A与BD相互垂直.
[能力提升]
1.已知平面α、β、γ，直线l、m满足：l⊥m，α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，那么在①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β中，可以由上述已知推出的有()
A.①和②
B.②和③
C.①和③
D.②
【解析】 一方面，由题意得
⎩⎨⎧
α⊥γ，γ∩α＝m ，
l ⊥m ，l γ，
所以l ⊥α，故②是正确的.另一方面，如图，
在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，把AA 1记作l ，把平面AB 1记作β，把平面AC 1记作γ，把平面A 1B 1C 1记作α，把直线A 1C 1记作m ，就可以否定①与③，故选D.
【答案】 D
2.如图1-6-34，在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2，G 2G 3的中点，现在沿SE 、SF 、EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3重合，重合后的点记为G .给出下列关系：
图1-6-34
①SG ⊥平面EFG ；②SE ⊥平面EFG ；③GF ⊥SE ；④EF ⊥平面SEG . 其中成立的有( ) A.①与② B.①与③ C.②与③
D.③与④
【解析】 由SG ⊥GE ，SG ⊥GF ，得SG ⊥平面EFG ，排除C 、D ；若SE ⊥平面EFG ，则SG ∥SE ，这与SG ∩SE ＝S 矛盾，排除A ，故选B.
【答案】 B
3.如图1-6-35，四面体P -ABC 中，P A ＝PB ＝13，平面P AB ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，则PC ＝________.
图1-6-35
【解析】 取AB 的中点E ，连接PE ， ∵P A ＝PB ，∴PE ⊥AB ，
又平面P AB⊥平面ABC，
∴PE⊥平面ABC，
连接CE，∴PE⊥CE，
∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝27，PE＝P A2－AE2＝6，
CE＝BE2＋BC2＝43，
PC＝PE2＋CE2＝7.
【答案】7
4.如图1-6-36，三棱锥A-BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面
BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且AE
AC＝
AF
AD＝λ(0＜λ＜1).
图1-6-36
(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD.
【解】(1)证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC，且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
又∵AE
AC＝
AF
AD＝λ(0＜λ＜1)，
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC，EF⊂平面BEF，
∴不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC. (2)由(1)知，BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.
∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，
∴BD＝2，AB＝2tan 60°＝6，
∴AC＝AB2＋BC2＝7.
由AB2＝AE·AC，得AE＝6
7，
∴λ＝AE
AC＝
6
7.。