北师大版高中数学必修二6.2 垂直关系的性质(二)

6．2 垂直关系的性质(二)
【课时目标】1．理解平面与平面垂直的性质定理．2．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系．
1．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内________于它们________的直线垂直于另一个平面．
用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l⇒________．
2．两个重要结论：
(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
图形表示为：
符号表示为：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β⇒aα．
(2)已知平面α⊥平面β，a α，a⊥β，那么a∥α(a与α的位置关系)．
一、选择题
1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则( )
A．a⊥βB．a∥β
C．a与β相交D．以上都有可能
2．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则( )
A．l∥γB．lγ
C．l与γ斜交D．l⊥γ
3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( ) A．0条B．1条C．2条D．无数条
4．若α⊥β，直线aα，直线bβ，a，b与l都不垂直，那么( ) A．a与b可能垂直，但不可能平行
B．a与b可能垂直，也可能平行
C．a与b不可能垂直，但可能平行
D．a与b不可能垂直，也不可能平行
5．设x ，y ，z 中有两条直线和一个平面，已知条件⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ⊥y y ∥z 可推得x ⊥z ，则x ，y ，z
中可能为平面的是( )
A ．x 或y
B ．x
C ．y
D ．z
6．在空间四边形ABCD 中，若AB ＝BC ，AD ＝CD ，E 为对角线AC 的中点，下列判断正确的是( )
A ．平面ABD ⊥平面BDC
B ．平面AB
C ⊥平面AB
D C ．平面ABC ⊥平面ADC D ．平面ABC ⊥平面BED
二、填空题
7．若α⊥β，α∩β＝l ，点P ∈α，P ∉l ，则下列结论中正确的为________．(只填序号)
①过P 垂直于l 的平面垂直于β； ②过P 垂直于l 的直线垂直于β； ③过P 垂直于α的直线平行于β； ④过P 垂直于β的直线在α内．
8．α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点O ，空间一点P 到α、β、γ的距离分别是2cm 、3cm 、6cm ，则点P 到O 的距离为________．
9．在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则点C 1在底面ABC 上的射影H 必在________．
三、解答题
10．如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ， 平面PAB ⊥平面PBC ．
求证：BC⊥AB．
11．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB．
能力提升
12．如图，在三棱锥P—ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°．
证明：AB⊥PC．
13．如图所示，已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．
(1)求证：直线MF∥平面ABCD；
(2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1．
1．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理． 2．判定线面垂直的方法主要有以下五种：
(1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理；
(3)面面垂直的性质定理，另外，还有两个重要结论；
(4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面， ⎭
⎪⎬⎪
⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α； (5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，
⎭⎪⎬⎪
⎫α∥βa ⊥α⇒a ⊥β．
6．2 垂直关系的性质(二)答案
知识梳理
1．垂直 交线 a ⊥β 作业设计 1．D 2．D
[在γ面内取一点O，
作OE⊥m，OF⊥n，
由于β⊥γ，γ∩β＝m，
所以OE⊥面β，所以OE⊥l，
同理OF⊥l，OE∩OF＝O，
所以l⊥γ．]
3．A[若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．]
4．C5．A6．D
7．①③④
解析由性质定理知②错误．
8．7cm
解析P到O的距离恰好为以2cm,3cm,6cm为长、宽、高的长方体的对角线的长．9．直线AB上
解析由AC⊥BC1，AC⊥AB，
得AC⊥面ABC1，又AC面ABC，
∴面ABC1⊥面ABC．
∴C1在面ABC上的射影H必在交线AB上．
10．证明在平面PAB内，作AD⊥PB于D．
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB．
∴AD⊥平面PBC．
又BC平面PBC，
∴AD⊥BC．
又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，
∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．
又AB平面PAB，
∴BC⊥AB．
11．证明
(1)连接PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴PG⊥平面ABCD，
∴PG⊥BG．
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴BG⊥AD．
又AD∩PG＝G，
∴BG⊥平面PAD．
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．
∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB．
12．证明因为△PAB是等边三角形，
所以PB＝PA．
因为∠PAC＝∠PBC＝90°，PC＝PC，
所以Rt△PBC≌Rt△PAC，
所以AC＝BC．
如图，取AB的中点D，连结PD、CD，
则PD⊥AB，CD⊥AB，
所以AB⊥平面PDC，
所以AB⊥PC．
13．证明
(1)延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN．∵F是BB1的中点，
∴F为C1N的中点，B为CN的中点．
又∵M是线段AC1的中点，
∴MF∥AN．
又∵MF 平面ABCD，AN平面ABCD，
∴MF∥平面ABCD．
-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------(2)连接BD，由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1可知，A1A⊥平面ABCD，
又∵BD平面ABCD，∴A1A⊥BD．
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．
又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A平面ACC1A1，
∴BD⊥平面ACC1A1．
在四边形DANB中，DA∥BN，且DA＝BN，
∴四边形DANB为平行四边形，
∴NA∥BD，
∴NA⊥平面ACC1A1．
又∵NA平面AFC1，
∴平面AFC1⊥平面ACC1A1．
信达。