2016-2017学年北师大版必修二 §6.2 垂直关系的性质 课件(23张)
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北师大版必修2高中数学1.6.2《垂直关系的性质》ppt配套课件
●教学流程
演示结束
1.理解直线与平面垂直的性质定理(重点)． 2．理解平面与平面垂直的性质定理(重点)． 课标解读 3．理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的 相互转化(难点).
直线与平面垂直的性质定理
【问题导思】 在大路的两侧有许多树木，这些树木垂直于地面，那 么这些树木所在直线是怎样的位置关系呢？ 【提示】 平行．
平面与平面垂直的性质定理
【问题导思】 黑板所在平面与地面所在平面垂直，能否在黑板上画 一条直线与地面垂直？ 【提示】 画一条直线与黑板面、地面的交线垂直即 可．
线面垂直性质定理的应用
如图1－6－16，在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求 证：EF∥BD1.
●教学建议 本节知识是在学习了垂直关系的判定后继续对垂直关 系的研究，教学时可以引导学生思考判定定理与性质定理 的相互联系．让学生进一步明确，由直线和平面垂直可以 推出两个平面相互垂直，而由两个平面相互垂直也可以推 出直线和平面垂直，这一方面说明两种垂直之间有密切的 联系，另一方面也说明两者之间可以互相转化．
D．n α
【解析】 ∵l α且l与n异面，∴n α，又∵m⊥α，n⊥
m，∴n∥α.
【答案】 A
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈l，给出下面四
个结论：
①过P与l垂直的直线在α内；
②过P与β垂直的直线在α的平面必与l垂直．
其中正确的命题是( )
(12分)如图1－6－20，四棱锥S－ABCD中，SD ⊥平面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，SD＝2， BC⊥BD，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC.
(1)证明：DE⊥平面SBC； (2)证明：SE＝2EB. 【思路点拨】 由平面 EDC⊥平面SBC可考虑 作或找这两个平面交线的垂线．
高三数学北师大版垂直关系的性质PPT教学课件
个平面，那么这两条直线平行． • (2)符号表示：若a⊥α，b⊥α，则a∥b. • (3)图形表示：
• (4)简记为：线面垂直⇒线线平行．
• 拓展：直线与平面垂直的性质还有：①一条 直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该 平面内的所有直线；②两条平行线中的一条 垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平 面；③垂直于同一直线的两个平面平行．
本例若改为：α∩β＝l，E 是 α，β 外一点，EA⊥α 于 A， EB⊥β 于点 B，a β，a⊥AB.求证：a∥l.
[证明] ∵EA⊥α，∴EA⊥l， ∵EB⊥β，∴EB⊥l， 又 EA∩EB＝E，∴l⊥面 EAB. 同理可证：a⊥面 EAB. ∴a∥l.
•面面垂直性质定理的应用
如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直，AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝12BE.
求证：EA⊥平面 ABCD.
[思路分析] 解答本题的关键是证明 EA⊥AB，为此应该在 平面四边形 ABEF 中，利用 AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝12BE 等条件计算 AB，AE，BE 的长度，利用勾股定理的逆定理证明．
[规范解答] 设 AF＝EF＝a，则 BE＝2a. 过 A 作 AM⊥BE 于 M. ∵AF∥BE，∴AM⊥AF. 又∵AF⊥EF，∴AM∥EF， ∴四边形 AMEF 是正方形． ∴Aห้องสมุดไป่ตู้＝a，EM＝MB＝a，
• [分析] 利用已知三角形中的长度关系求解注 意△ACB，△BCD都是Rt△.
易错疑难辨析
• [错解] ∵SA⊥平面ABC，且平面SAB⊥平 面SBC，∴BC⊥SB，∴BC⊥平面SAB.
• 飞机的垂直安定面的作用是使飞机在偏航方 向上(即飞机左转或右转)具有静稳定性．当 飞机受到气流的扰动，机头偏向左或右时， 此时作用在垂直安定面上的气动力就会产生 一个与偏转方向相反的力矩，使飞机恢复到 原来的飞行姿态．今天我们就来学习这种互 相垂直的平面之间的知识.
• (4)简记为：线面垂直⇒线线平行．
• 拓展：直线与平面垂直的性质还有：①一条 直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该 平面内的所有直线；②两条平行线中的一条 垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平 面；③垂直于同一直线的两个平面平行．
本例若改为：α∩β＝l，E 是 α，β 外一点，EA⊥α 于 A， EB⊥β 于点 B，a β，a⊥AB.求证：a∥l.
[证明] ∵EA⊥α，∴EA⊥l， ∵EB⊥β，∴EB⊥l， 又 EA∩EB＝E，∴l⊥面 EAB. 同理可证：a⊥面 EAB. ∴a∥l.
•面面垂直性质定理的应用
如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直，AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝12BE.
求证：EA⊥平面 ABCD.
[思路分析] 解答本题的关键是证明 EA⊥AB，为此应该在 平面四边形 ABEF 中，利用 AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝12BE 等条件计算 AB，AE，BE 的长度，利用勾股定理的逆定理证明．
[规范解答] 设 AF＝EF＝a，则 BE＝2a. 过 A 作 AM⊥BE 于 M. ∵AF∥BE，∴AM⊥AF. 又∵AF⊥EF，∴AM∥EF， ∴四边形 AMEF 是正方形． ∴Aห้องสมุดไป่ตู้＝a，EM＝MB＝a，
• [分析] 利用已知三角形中的长度关系求解注 意△ACB，△BCD都是Rt△.
易错疑难辨析
• [错解] ∵SA⊥平面ABC，且平面SAB⊥平 面SBC，∴BC⊥SB，∴BC⊥平面SAB.
• 飞机的垂直安定面的作用是使飞机在偏航方 向上(即飞机左转或右转)具有静稳定性．当 飞机受到气流的扰动，机头偏向左或右时， 此时作用在垂直安定面上的气动力就会产生 一个与偏转方向相反的力矩，使飞机恢复到 原来的飞行姿态．今天我们就来学习这种互 相垂直的平面之间的知识.
推荐-高中数学北师大版必修2课件1.6.2 垂直关系的性质
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KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANSUO
(3)解:当 F 为 PC 的中点时,满足平面 DEF⊥平面 ABCD. 证明如下: 取 PC 的中点 F,连接 DE,EF,DF, 则由平面几何知识, 在△PBC 中,EF∥PB, 在菱形 ABCD 中,GB∥DE, 而 EF⫋平面 DEF,ED⫋平面 DEF, EF∩DE=E, PB⫋平面 PGB,GB⫋平面 PGB, PB∩GB=B, ∴平面 DEF∥平面 PGB.
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预习交流 3
已知 α⊥β,α∩β=l,若 a⊥l,则 a⊥β,对吗? 提示:不对,当 a⫋α 时,a 与 β 垂直.
预习交流 4
如果两个相交平面都与第三个平面垂直,那么它们的交线垂直于 第三个平面吗?
提示:交线垂直于第三个平面.
目标导航 预习引导
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1.直线与平面垂直的性质定理 (1)文字叙述:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平 行. (2)符号表示:若 a⊥α,b⊥α,则 a∥b.
(3)图形表示: (4)作用:线⊥面⇒ 线∥线.
问题导学 当堂检测
课前预习导学 课堂合作探索
KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANSUO
1.由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直,这种直线与平面的 位置关系同平面与平面的位置关系的相互转化,是解决空间图形问题 的重要思想方法,也为我们提供了作平面垂线的一种方法.
北师大版高中数学课件：《垂直关系的判定》共40页
Thank心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
北师大版高中数学课件：《垂直关系 的判定》
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
北师大版高中数学课件：《垂直关系 的判定》
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•
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北师大版高中数学必修2课件-垂直关系的性质
D．A1A
B [可证 BD⊥平面 AA1C1C，而 CE 平面 AA1C1C，故 BD⊥CE.]
2．若平面 α⊥β，直线 a∥α，则( )
A．a⊥β
B．a∥β 或 a β
C．a 与 β 相交
D．a β 或 a∥β 或 a 与 β 相交
D [a 与 β 三种位置关系都有可能．]
3．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该
第一章 立体几何初步
§6 垂直关系 6.2 垂直关系的性质
学习目标
核心素养
1.理解直线与平面、平面与平面垂 1.通过学习直线与平面、平面与平
直的性质定理．(重点) 面垂直的性质定理提升数学抽象、
2．理解并掌握空间“平行”与 直观想象素养．
“垂直”之间的相互转化．(难点、 2．通过应用线面与面面垂直的性
()
[解析] (3)×，α∥γ 或 α∩γ＝l. [答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．已知平面 α⊥平面 β，α∩β＝l，点 P∈l，给出下面四个结论：
①过 P 与 l 垂直的直线在 α 内；
②过 P 与 β 垂直的直线在 α 内；
③过 P 与 l 垂直的直线必与 α 垂直；
④过 P 与 β 垂直的平面必与 l 垂直．
立体几何中的垂直关系有三类：线线垂直、线面垂直、面面垂 直．处理垂直问题时，要注意三者之间的内在联系．转化思想是立体 几何中解决垂直问题的重要思想．垂直关系的转化如下：
课堂 小结 提素 养
1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系 的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．
[解] (1)证明：设 G 为 AD 的中点，连接 PG，BG，
∵△PAD 为正三角形，∴PG⊥AD. 在菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°， G 为 AD 的中点，∴BG⊥AD. 又 BG∩PG＝G，∴AD⊥平面 PGB. ∵PB 平面 PGB，∴AD⊥PB. (2)当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF⊥平面 ABCD.
垂直关系的性质ppt 北师大版
【解析】①错误,反例是墙角处三个平面两两垂直. ②正确, 因为如果一个平面经过另一个平面的垂线, 那么这两个平面互相垂直. ③错误, 还可能 l⊂β .
.. 导. 学 固思
4
如图,四边形 ABCD 是平行四边形,直线 SC⊥平面 ABCD,E 是 SA 的中点,求证:平面 EDB⊥平面 ABCD.
垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号表示: . a⊥α ,b⊥α ⇒a∥b
.. 导. 学 固思
问题2 叙述平面与平面垂直的性质定理,并根据图形用符号语言写
出这个定理. 性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它
们交线的直线与另一个平面垂直.
符号表示: α ⊥β ,α ∩β =l, AB⊂β ,且AB⊥l . 于B⇒AB⊥α
第11课时
垂直关系的性 质
同步书·数学(必修2-第一章)
.. 导. 学 固思
1.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理, 能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.
2.能运用直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定
理证明一些空间位置关系的简单问题.
.. 导. 学 固思
装修工人在安装门窗时,经常使用铅垂线对比门窗,测量 门窗是否安装得竖直,这是应用了什么原理?装修工人判断的
1.设 a,b 是两条异面直线,下列说法中正确的是( C ).
.. 导. 学 固思
A.有一平面与 a,b 都垂直 B.有且仅有一条直线与 a,b 都垂直 C.过直线 a 有且仅有一平面与 b 平行 D.过空间中任一点必可以作一直线与 a,b 都相交
【解析】A 中若有一平面与 a,b 都垂直,则 a∥b,矛盾;B 中将 a,b 平移到一个平面内,则与该平面垂直的直线与 a,b 都垂直;C 正确;D 中设过直线 a 且与 b 平行的平面为 α ,则在平面 α 内过 直线 a 之外的点,不可能作一直线与 a,b 都相交.
.. 导. 学 固思
4
如图,四边形 ABCD 是平行四边形,直线 SC⊥平面 ABCD,E 是 SA 的中点,求证:平面 EDB⊥平面 ABCD.
垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号表示: . a⊥α ,b⊥α ⇒a∥b
.. 导. 学 固思
问题2 叙述平面与平面垂直的性质定理,并根据图形用符号语言写
出这个定理. 性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它
们交线的直线与另一个平面垂直.
符号表示: α ⊥β ,α ∩β =l, AB⊂β ,且AB⊥l . 于B⇒AB⊥α
第11课时
垂直关系的性 质
同步书·数学(必修2-第一章)
.. 导. 学 固思
1.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理, 能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.
2.能运用直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定
理证明一些空间位置关系的简单问题.
.. 导. 学 固思
装修工人在安装门窗时,经常使用铅垂线对比门窗,测量 门窗是否安装得竖直,这是应用了什么原理?装修工人判断的
1.设 a,b 是两条异面直线,下列说法中正确的是( C ).
.. 导. 学 固思
A.有一平面与 a,b 都垂直 B.有且仅有一条直线与 a,b 都垂直 C.过直线 a 有且仅有一平面与 b 平行 D.过空间中任一点必可以作一直线与 a,b 都相交
【解析】A 中若有一平面与 a,b 都垂直,则 a∥b,矛盾;B 中将 a,b 平移到一个平面内,则与该平面垂直的直线与 a,b 都垂直;C 正确;D 中设过直线 a 且与 b 平行的平面为 α ,则在平面 α 内过 直线 a 之外的点,不可能作一直线与 a,b 都相交.
北师大版高中数学必修2教学课件：1.6.2 垂直关系的性质
-9-
6.2 垂直关系的性质
首页
Z H 自主预习 IZHUYUXI
合作学习
EZUOXUEXI
D当堂检测 ANGTANG JIANCE
2.面面垂直的其他结论 (1)如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第 二个平面的直线在第一个平面内; (2)如果两个平面互相垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直 于另一个平面; (3)如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面的垂线与另一个平 面平行或在另一个平面内; (4)如果两个平面都与第三个平面垂直,那么这两个平面要么平行, 要么它们的交线与第三个平面垂直.
D当堂检测 ANGTANG JIANCE
1234
2.若平面α⊥平面β,且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条
直线b,则( )
A.直线a必垂直于平面β
B.直线b必垂直于平面α
C.直线a不一定垂直于平面β D.过a的平面与过b的平面垂直
解析:如图(1)所示,a⫋α,a⊥b,但a与β不垂直,故A错C对;如图(2)所
-20-
6.2 垂直关系的性质
探究一
探究二
易错辨析
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D当堂检测 ANGTANG JIANCE
纠错心得对面面平行的性质定理理解不透彻,如果两个平面平行 并不意味着一个面内的直线和另一个面内的直线都平行.
-21-
6.2 垂直关系的性质 1234
面面垂直的内在联系,能运
用这些关系解决有关垂直的
综合问题.
-2-
6.2 垂直关系的性质
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高中数学北师大版必修二课件：垂直关系的性质
M 目标导航
题型一 题型二 题型三 题型四
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
2.平面与平面垂直的性质定理
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
D 典例透析
IANLI TOUXI
S 随堂演练
UITANGYANLIAN
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
D 典例透析
IANLI TOUXI
S 随堂演练
UITANGYANLIAN
名师点拨1.应用面面垂直的性质定理时必须注意到两个条件:(1) 线在平面内;(2)线垂直于两平面的交线,因此找准两平面的交线是 关键. 2.已知面面垂直的条件,其性质定理就给出了作辅助线的一种方 法,设法找出(作出)一个平面内的一条直线垂直于它们的交线,就可 得到线面垂直的结论.
M 目标导航
UBIAODAOHANG
M 目标导航
题型一 题型二 题型三 题型四
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
D 典例透析
IANLI TOUXI
S 随堂演练
UITANGYANLIAN
题型一
位置关系的判断
【例1】 已知直线m,n,平面α,β,下列说法正确的是 ( A.m⊥α,n⫋β,m⊥n,则α⊥β B.α⊥β,m⊥α,n∥β,则m⊥n C.α∥β,m⊥α,n∥β,则m⊥n D.α⊥β,α∩β=m,m⊥n,则n⊥β
垂直关系的性质
-1-
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Z 知识梳理
HISHI SHULI
D 典例透析
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6.2 垂直关系的性质
第1课时 直线与平面垂直的性质
前面我们学习了：
1.直线与平面垂直的定义；
判定直线与平面垂直的方法.
2.直线与平面垂直的判定定理，解决了直线与平面
垂直的问题；反之，在直线与平面垂直的条件下，
能得到哪些结论？
图中立柱与地面是
垂直的,你能得出什
么结论? 立柱相互平行
国旗杆与地面都是垂直的，你能发现什么现象?
3.设l是直线，α ，β 是两个不同的平面( B )
A.若l∥α ,l∥β ，则α ∥β
B.若l∥α ，l⊥β ，则α ⊥β C.若α ⊥β ,l⊥α ,则l⊥β D.若α ⊥β , l∥α ,则l⊥β 提示：若l∥α,l∥β，则α,β可能相交,故A错； 若l∥α，则平面α内必存在一直线m与l平行,又l⊥β， 则m⊥β，又m α，故α⊥β,故B对；若 α⊥β,l⊥α,则l∥β或l β,故C错;若α⊥β,l∥α, 则l与β关系不确定，故D错．
1.直线l与平面α 不垂直，l∩α =O,P∈l,PA⊥α 垂
足为A，直线a∥α 且a⊥OA，则a与l( C ) A.必相交 C.垂直 B.必为异面直线 D.无法确定
2.（2014·辽宁高考）已知m、n表示两条不同的直 线, α 表示平面,下列说法正确的是 ( B A.若m∥α ,n∥α ,则m∥n B.若m⊥α ,n⊂α ,则m⊥n C.若m⊥α ,m⊥n,则n∥α D.若m∥α ,m⊥n,则n⊥α )
这些直线都与 底面垂直 D1 A1 D A C1 B1 C
这些直线相互平行
B
思考2.一个平面的垂线有多少条？
无数多条
这些直线彼此之间具有什么位置关系？ 相互平行
a
b
α
思考3:如果直线a，b都垂直于平面α，由观察可知
a//b，从理论上如何证明这个结论？
例1.已知： a
,b .
a
b
求证： a / / b.
旗杆互相平行
1.理解直线与平面垂直的性质定理，并能用文字、
符号和图形语言描述定理. (重点)
2.能够灵活地应用线面垂直的性质定理证明有关
问题.(难点)
思考1.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1，BB1， CC1,DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们
彼此之间具有什么位置关系？
l
b α β a 垂直
３.设l为直线，α ，β 为平面，若l⊥α ，l⊥β ，则 平面α ，β 的位置关系如何？ 平行 l α
β
例2
如图，在正方体 ABCD ABC D 中， BD, BC , DC 分别为三条面对角线，
AC BD; （2） AC 平面DBC;
是不可能的，所以
a / / b.
直线与平面垂直的性质定理
定理6.3 如果两条直线同垂直于一个平面，那么
这两条直线平行.
用符号语言可表述为：
a , b a // b
思考交流 1．设a，b为直线，α 为平面，若a⊥α ，b//a，则 b与α 的位置关系如何？
a
b
垂直
α
２.设l为直线，α ，β 为平面，若l⊥α ，α //β ， 则l与β 的位置关系如何？
证明： （ 1）连接 AC ，在正方体 ABCD AB C D 中，
AA 平面 ABCD ,所以 AA BD .
又四边形 ABCD 为正方形，所以 AC BD.
又 AA AC A ，所以 BD 平面 AAC ，从而 AC BD .
（ 2）同理可证 AC DC ，而 BD DC D , 所以 AC 平面 DBC .
5. 直三棱柱ABC- A1B1C1中,AB=AA1,∠CAB=90°，
证明:CB1⊥BA1. 【证明】连接AB1，因为ABC-A1B1C1是直棱柱，
∠CAB=90°，所以AC⊥平面ABB1A1，
故AC⊥BA1.
又AB=AA1，则四边形ABB1A1是正方形.
所以BA1⊥AB1，又CA∩AB1=A,
4.设直线 a，b 分别在正方体 ABCD-A′ B′ C′ D′中 两个不同的平面内，欲使 a∥b，则 a，b 应满足什么条件？
解： a，b 满足下面条件中的任何一个，都能使 a∥ b： （ 1）a， b 同垂直于正方体的一个面； （ 2）a， b 分别在正方体两个相对的面内且共面； （ 3）a， b 平行于同一条棱.
所以，BA1⊥平面CAB1，故CB1⊥BA1.
1.直线和平面垂直的性质定理：
一种证明直线和直线平行的方法； 欲证线线平行，考虑证这两线与某一平面垂直. 2.转化思想： 垂直关系 平行关系
不论做什么事，相信自己，别让别人的一句 话将你击倒.
反证法证明命题的一般步骤：
否定结论
推出矛盾
肯定结论
假设结论不成立
a
b
o
b ' 假设 b 与 a 不平行， 设 b O ，经过点 O
作直线 b ' 与直线 a 平行
证明：
因为a / / b ', a , 所以b ' .
经过同一点 O的两直线 b ， b' 都垂直于 找出矛盾
第1课时 直线与平面垂直的性质
前面我们学习了：
1.直线与平面垂直的定义；
判定直线与平面垂直的方法.
2.直线与平面垂直的判定定理，解决了直线与平面
垂直的问题；反之，在直线与平面垂直的条件下，
能得到哪些结论？
图中立柱与地面是
垂直的,你能得出什
么结论? 立柱相互平行
国旗杆与地面都是垂直的，你能发现什么现象?
3.设l是直线，α ，β 是两个不同的平面( B )
A.若l∥α ,l∥β ，则α ∥β
B.若l∥α ，l⊥β ，则α ⊥β C.若α ⊥β ,l⊥α ,则l⊥β D.若α ⊥β , l∥α ,则l⊥β 提示：若l∥α,l∥β，则α,β可能相交,故A错； 若l∥α，则平面α内必存在一直线m与l平行,又l⊥β， 则m⊥β，又m α，故α⊥β,故B对；若 α⊥β,l⊥α,则l∥β或l β,故C错;若α⊥β,l∥α, 则l与β关系不确定，故D错．
1.直线l与平面α 不垂直，l∩α =O,P∈l,PA⊥α 垂
足为A，直线a∥α 且a⊥OA，则a与l( C ) A.必相交 C.垂直 B.必为异面直线 D.无法确定
2.（2014·辽宁高考）已知m、n表示两条不同的直 线, α 表示平面,下列说法正确的是 ( B A.若m∥α ,n∥α ,则m∥n B.若m⊥α ,n⊂α ,则m⊥n C.若m⊥α ,m⊥n,则n∥α D.若m∥α ,m⊥n,则n⊥α )
这些直线都与 底面垂直 D1 A1 D A C1 B1 C
这些直线相互平行
B
思考2.一个平面的垂线有多少条？
无数多条
这些直线彼此之间具有什么位置关系？ 相互平行
a
b
α
思考3:如果直线a，b都垂直于平面α，由观察可知
a//b，从理论上如何证明这个结论？
例1.已知： a
,b .
a
b
求证： a / / b.
旗杆互相平行
1.理解直线与平面垂直的性质定理，并能用文字、
符号和图形语言描述定理. (重点)
2.能够灵活地应用线面垂直的性质定理证明有关
问题.(难点)
思考1.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1，BB1， CC1,DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们
彼此之间具有什么位置关系？
l
b α β a 垂直
３.设l为直线，α ，β 为平面，若l⊥α ，l⊥β ，则 平面α ，β 的位置关系如何？ 平行 l α
β
例2
如图，在正方体 ABCD ABC D 中， BD, BC , DC 分别为三条面对角线，
AC BD; （2） AC 平面DBC;
是不可能的，所以
a / / b.
直线与平面垂直的性质定理
定理6.3 如果两条直线同垂直于一个平面，那么
这两条直线平行.
用符号语言可表述为：
a , b a // b
思考交流 1．设a，b为直线，α 为平面，若a⊥α ，b//a，则 b与α 的位置关系如何？
a
b
垂直
α
２.设l为直线，α ，β 为平面，若l⊥α ，α //β ， 则l与β 的位置关系如何？
证明： （ 1）连接 AC ，在正方体 ABCD AB C D 中，
AA 平面 ABCD ,所以 AA BD .
又四边形 ABCD 为正方形，所以 AC BD.
又 AA AC A ，所以 BD 平面 AAC ，从而 AC BD .
（ 2）同理可证 AC DC ，而 BD DC D , 所以 AC 平面 DBC .
5. 直三棱柱ABC- A1B1C1中,AB=AA1,∠CAB=90°，
证明:CB1⊥BA1. 【证明】连接AB1，因为ABC-A1B1C1是直棱柱，
∠CAB=90°，所以AC⊥平面ABB1A1，
故AC⊥BA1.
又AB=AA1，则四边形ABB1A1是正方形.
所以BA1⊥AB1，又CA∩AB1=A,
4.设直线 a，b 分别在正方体 ABCD-A′ B′ C′ D′中 两个不同的平面内，欲使 a∥b，则 a，b 应满足什么条件？
解： a，b 满足下面条件中的任何一个，都能使 a∥ b： （ 1）a， b 同垂直于正方体的一个面； （ 2）a， b 分别在正方体两个相对的面内且共面； （ 3）a， b 平行于同一条棱.
所以，BA1⊥平面CAB1，故CB1⊥BA1.
1.直线和平面垂直的性质定理：
一种证明直线和直线平行的方法； 欲证线线平行，考虑证这两线与某一平面垂直. 2.转化思想： 垂直关系 平行关系
不论做什么事，相信自己，别让别人的一句 话将你击倒.
反证法证明命题的一般步骤：
否定结论
推出矛盾
肯定结论
假设结论不成立
a
b
o
b ' 假设 b 与 a 不平行， 设 b O ，经过点 O
作直线 b ' 与直线 a 平行
证明：
因为a / / b ', a , 所以b ' .
经过同一点 O的两直线 b ， b' 都垂直于 找出矛盾