北师大数学必修二新素养应用案巩固提升：第一章662 垂直关系的性质 含解析

6．2 垂直关系的性质1．直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 2.平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝la αa ⊥l⇒a ⊥β1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)垂直于同一个平面的两条直线互相平行．( )(2)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．( ) (3)若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则平面α⊥平面γ.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)×2．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β，且mαB ．m ∥n ，且n ⊥βC ．α⊥β，且m ∥αD ．m ⊥n ，且n ∥β解析：选B.⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n ⊥β⇒m ⊥β，故选B. 3．如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在平面ABC 上的射影H 必在直线________上．答案：AB1．线面垂直的其他性质(1)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．(2)过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线也垂直于另一个平面．(5)如果平面外的一条直线与该平面的垂线垂直，那么这条直线与此平面平行．2．对面面垂直的性质定理的两点说明(1)定理可简记为“面面垂直，则线面垂直”，该定理可以作为判断线面垂直的判定方法，即只要两个平面垂直，那么在其中一个平面内作交线的垂线便得线面垂直．(2)应用面面垂直的性质定理时，要注意以下几点：①两个平面垂直；②直线必须在一个平面内；③直线必须垂直于两个平面的交线．线面垂直的性质的应用如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.[证明]如图，连接AB1、B1C、BD、B1D1.因为DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD.所以DD1⊥AC.又因为AC⊥BD.且BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1B1.因为BD1平面BDD1B1，所以BD1⊥AC.同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，所以BD1⊥平面AB1C.因为EF⊥A1D，A1D∥B1C，所以EF⊥B1C，又EF⊥AC且AC∩B1C＝C，所以EF⊥平面AB1C，所以EF∥BD1.在本例中，若AC与BD的交点为O，DD1的中点为G，证明：GO⊥平面ACB1.证明：在△BDD1中，O是DB的中点，G是DD1的中点，所以GO∥BD1.又由例题解析可知，BD1⊥平面ACB1，所以GO⊥平面ACB1.(1)直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线线、线面平行相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．(2)当题中垂直条件很多，但又需证平行关系时，就要考虑线面垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．1.如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：平面BCE ⊥平面CDE .证明：取CE 的中点G ，连接FG 、BG 、AF (图略)． 因为F 为CD 的中点，所以GF ∥DE 且GF ＝12DE .因为AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， 所以AB ∥DE ，所以GF ∥AB . 又AB ＝12DE ，所以GF ＝AB .所以四边形GF AB 为平行四边形，则AF ∥BG . 因为△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， 所以AF ⊥CD .因为DE ⊥平面ACD ，AF平面ACD ，所以DE ⊥AF .又CD ∩DE ＝D ，故AF ⊥平面CDE . 因为BG ∥AF ，所以BG ⊥平面CDE . 因为BG平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面CDE .面面垂直的性质的应用如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，AF ∥BE ，AF ⊥EF ，AF ＝EF ＝12BE .求证：EA ⊥平面ABCD .[证明] 设AF＝EF＝a，则BE＝2a.过A作AM⊥BE于M.因为AF∥BE，所以AM⊥AF.又因为AF⊥EF，所以AM∥EF，所以四边形AMEF是正方形．所以AM＝a，EM＝MB＝a，所以AE＝AB＝2a，所以AE2＋AB2＝EB2，所以AE⊥AB.又因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AE平面ABEF，所以EA⊥平面ABCD.利用面面垂直性质定理应注意的问题若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，应注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．2.如图，△ABC是边长为2的正三角形，若AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD ＝CD，且BD⊥CD.求证：AE∥平面BCD.证明：如图，取BC的中点M，连接DM，AM，因为BD＝CD，且BD⊥CD，BC＝2，所以DM＝1，DM⊥BC.又因为平面BCD⊥平面ABC，所以DM⊥平面ABC，所以AE∥DM.又因为A E平面BCD，DM平面BCD，所以AE∥平面BCD.线线、线面、面面垂直的综合应用已知：如图，平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：P A⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．[证明](1)在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G.因为平面P AC⊥平面ABC，且交线为AC，所以DF⊥平面P AC.因为P A平面P AC，所以DF⊥P A.同理可证，DG⊥P A.因为DG∩DF＝D，所以P A⊥平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于点H.因为E是△PBC的垂心，所以PC⊥BH.又因为AE是平面PBC的垂线，所以PC⊥AE.因为BH∩AE＝E，所以PC⊥平面ABE，所以PC⊥AB.又因为P A⊥平面ABC，所以P A⊥AB.因为P A∩PC＝P，所以AB⊥平面P AC.所以AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．(1)在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，因此，判定定理与性质定理的合理应用是证明垂直问题的关键．(2)空间问题转化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．3.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，若P A ＝PD，平面P AD⊥平面ABCD.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使得到平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．解：(1)证明：取AD的中点O，连接PO，BO，BD，因为P A＝PD，所以PO⊥AD，因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，所以△ABD是等边三角形，又O是AD的中点．所以AD⊥OB，又OB∩OP＝O，所以AD⊥平面POB，因为PB平面POB，所以AD⊥PB.(2)当F是棱PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD，连接OE，OC，因为在菱形ABCD中，E为BC的中点，O是AD的中点，所以DO∥CE，DO＝CE，所以四边形DOEC是平行四边形，设DE∩OC＝M，所以M是OC的中点，连接FM，又因为F是棱PC的中点，所以FM∥PO；因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PO⊥AD，所以PO⊥平面ABCD，所以FM⊥平面ABCD，又因为FM平面DEF，所以平面DEF⊥平面ABCD.规范解答平行与垂直的综合应用(本题满分12分)如图，在△ABC中，AC＝BC＝22AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．求证：(1)GF∥平面ABC；(2)平面EBC⊥平面ACD.[证明](1)如图，取BE的中点H，连接HF，GH.因为G，F分别是EC和BD的中点，所以HG∥BC，HF∥DE.(2分)又因为四边形ADEB为正方形，所以DE∥AB，从而HF∥AB.所以HF∥平面ABC，HG∥平面ABC.又HF∩HG＝H，HF，HG平面HGF，所以平面HGF∥平面ABC.所以GF∥平面ABC. (6分)(2)因为四边形ADEB为正方形，所以EB⊥AB.又因为平面ABED⊥平面ABC，所以BE⊥平面ABC，所以BE⊥AC. (10分)又因为CA2＋CB2＝AB2，所以AC⊥BC.又BE∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE.从而平面EBC⊥平面ACD. (12分)(1)解决本题的两个关键点：处证明线线平行时，找中点，作辅助线得平行关系，是解题的关键．处证明垂直时，往往是通过对已知条件得出的结果进行判断，故立体几何的有关证明可采用作图、计算、证明的混合模式．(2)解决该类问题的一般思路a．线面垂直与平行的相互转化：空间中直线与直线垂直、直线与平面平行、直线与直线平行可以相互转化，每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行，最终达到目的的．b．转化关系：线线垂直判定定理定义线面垂直性质定理判定定理线线平行．(3)在解决平行和垂直的综合问题时，一定要把线面垂直、面面垂直的性质和判定方法掌握准确，应用时所具备的条件要罗列清楚，明确题目中的关键点，为后面的计算或解答明确目标．1．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()A．有且只有一个B．可能存在也可能不存在C．有无数多个D．一定不存在解析：选B.当a⊥b时，这样的平面存在，当a和b不垂直时，这样的平面不存在．2．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定解析：选B.过A点作AE⊥BD，交BD于E，E为垂足．因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AE⊥平面BCD.又BC平面BCD，所以BC⊥AE.又AD⊥平面ABC，BC平面ABC，所以BC⊥AD.又因为AD∩AE＝A，且AD，AE平面ABD，所以BC⊥平面ABD，又AB平面ABD，所以BC⊥AB，所以△ABC为直角三角形．3．已知直线m平面α，直线n平面α，m∩n＝M，直线a⊥m，a⊥n，直线b⊥m，b⊥n，则直线a，b的位置关系是________．解析：由线面垂直的判定定理得，a⊥平面α，b⊥平面α.又由线面垂直的性质定理得a∥b.答案：平行,[学生用书P103(单独成册)])[A基础达标]1．设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：选B.若l∥α，l∥β，则α，β可能相交，故A错；若l∥α，则平面α内必存在一直线m与l平行，又l⊥β，则m⊥β，又mα，故α⊥β，故B对；若α⊥β，l⊥α，则l∥β或lβ，故C错；若α⊥β，l∥α，则l与β关系不确定，故D错．2．直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．不确定解析：选D.因为梯形的两腰AB和CD一定相交且l⊥AB，l⊥CD，所以l垂直于梯形ABCD.又因为直线m垂直于AD和BC，且AD∥BC.所以m与平面ABCD的位置关系不确定，因此l与m的位置关系就不确定，故选D.3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β解析：选D.如图所示．AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，故选D.4.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是()A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GED．PQ⊥FH解析：选B.因为EG⊥平面α，PQ平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ 平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.5.如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面P AC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是()A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点解析：选D.因为平面P AC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面P AC∩平面PBC＝PC，AC平面P AC，所以AC⊥平面PBC.又因为BC平面PBC，所以AC⊥BC.所以∠ACB＝90°.所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．6.如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角的大小是________．解析：过A作AO⊥BD于O点，因为平面ABD⊥平面BCD，所以AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．因为∠BAD＝90°，AB＝AD，所以∠ADO＝45°.答案：45°7．如图，已知▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，若AF＝2，CD＝3，则CE＝________．解析：因为AF⊥平面ABCD，AF∥DE，所以DE⊥平面ABCD，CD平面ABCD.所以DE⊥CD.因为DE＝AF＝2，CD＝3，所以CE＝22＋32＝13.答案：138．如图，在三棱锥P-ABC内，侧面P AC⊥底面ABC，且∠P AC＝90°，P A＝1，AB＝2，则PB＝________．解析：因为侧面P AC⊥底面ABC，交线为AC，∠P AC＝90°(即P A⊥AC)，所以P A⊥平面ABC，所以P A⊥AB，所以PB＝P A2＋AB2＝1＋4＝ 5.答案： 59.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F 分别是AP，AD的中点．求证：(1)EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面P AD.证明：(1)如图，在△P AD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊆/平面PCD，PD平面PCD，所以EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面P AD⊥平面ABCD，BF平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面P AD.又因为BF平面BEF，所以平面BEF⊥平面P AD.10.在斜三棱柱A1B1C1­ABC(侧棱与底面不垂直)中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.若D是BC的中点．(1)求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C.证明：(1)因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC，因为底面ABC⊥侧面BB1C1C，所以AD⊥侧面BB1C1C，所以AD⊥CC1.(2)如图，取BC1的中点E，连接ME，DE.因为D为BC的中点，所以DE∥CC1，DE＝12CC1.因为AA1∥CC1，AA1＝CC1，且M为AA1的中点，所以AM∥CC1且AM＝12CC1.所以DE∥AM，DE＝AM，所以四边形ADEM是平行四边形，所以EM∥AD.因为AD⊥平面BB1C1C，所以EM⊥平面BB1C1C.又EM截面MBC1，所以截面MBC1⊥侧面BB1C1C.[B能力提升]11．在三棱锥P-ABC中，平面P AC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为()A.7 B．27C．37 D．2 3解析：选B.连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝PC2＋CM2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×32＝23，所以PM的最小值为27.12．已知平面α⊥平面β，在α，β的交线上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和β内，它们都垂直于AB，并且AC＝3 cm，BD＝12 cm，则CD的长为________cm.解析：如图，连接AD，CD.在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝12，所以AD＝122＋42＝410(cm)．又因为α⊥β，CA ⊥AB ，CA α，所以CA ⊥β，CA ⊥AD . 所以△CAD 为直角三角形． 所以CD ＝CA 2＋AD 2＝32＋42×10＝169＝13(cm)．答案：13 13.已知△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且AE AC ＝AFAD＝λ(0<λ<1)．(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； (2)当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD? 解：(1)证明：因为AB ⊥平面BCD ， 所以AB ⊥CD .因为CD ⊥BC 且AB ∩BC ＝B ， 所以CD ⊥平面ABC . 又因为AE AC ＝AFAD＝λ(0<λ<1)， 所以不论λ为何值，恒有EF ∥CD ， 所以EF ⊥平面ABC . 又EF平面BEF .所以不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC . (2)由(1)知，EF ⊥BE ，又平面BEF ⊥平面ACD ， 所以BE ⊥平面ACD ， 所以BE ⊥AC .因为BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝60°，AB ⊥平面BCD ， 所以BD ＝2，AB ＝2tan 60°＝6， 所以AC ＝AB 2＋BC 2＝7，由AB 2＝AE ·AC ，得AE ＝67， 所以λ＝AE AC ＝67，故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD .14．(选做题)如图所示，在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，DB ＝BC ，DB ⊥AC ，点M 是棱BB 1上一点． (1)求证：B 1D 1∥平面A 1BD ； (2)求证：MD ⊥AC ；(3)试确定点M 的位置，使得平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D .解：(1)证明：由ABCD -A 1B 1C 1D 1是直四棱柱，得BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1，所以四边形BB 1D 1D 是平行四边形．所以B 1D 1∥BD . 而BD平面A 1BD ，B 1D 1平面A 1BD ，所以B 1D 1∥平面A 1BD .(2)证明：因为BM ⊥平面ABCD ，AC平面ABCD ，所以BM ⊥AC .又因为BD ⊥AC ，且BD ∩BM ＝B ，所以AC ⊥平面BMD . 而MD平面BMD ，所以MD ⊥AC .(3)当点M 为棱BB 1的中点时，平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D .取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于点O，连接OM，BN，因为N是DC的中点，BD＝BC，所以BN⊥DC.又因为DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，而平面ABCD⊥平面DCC1D1，所以BN⊥平面DCC1D1.又O是NN1的中点，所以BM∥ON，且BM＝ON，即BMON是平行四边形，所以BN∥OM.所以OM⊥平面CC1D1D.因为OM平面DMC1，所以平面DMC1⊥平面CC1D1D.。