3.1微分中值定理

3-1-17
微分中值定理
柯西 Cauchy (法)1789-1859 法
三、柯西(Cauchy)中值定理 柯西 中值定理
柯西中值定理 若函数 f ( x )及F ( x )满足 : (1) 在闭区间 [ a , b ]上连续 ; (2) 在开区间 (a , b)内可导, 且F ′( x ) ≠ 0,
arctan x 2 − arctan x1 ≤ x 2 − x1 , ( x1 < x 2 ).
证 记 f ( x) = arctan x, 在 x1, x2]上 [ , 利用微分中值定理, 利用微分中值定理 得
1 arctan x 2 − arctan x1 = ( x 2 − x1 ) 2 1+ξ 1 ξ ∈ ( x1 , x2 ), Q ≤ 1, 2 1+ξ ∴ arctan x 2 − arctan x1 ≤ x 2 − x1 ,
f (b) − f (a ) f ′(ξ ) − = 0, 定理的结论就转化为函数 b−a f (b) − f (a) g(x) = f (x) − x, b−a 在区间(a , b )内有点 ξ , 使g′(ξ ) = 0的问题 ,
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微分中值定理
f (b) − f (a ) 证 作辅助函数 g ( x ) = f ( x ) − x, b−a 易知 g( x )在闭区间[a , b]上连续, 开区间(a , b)内
第三章 微分中值定理与导数的应用
§1 微分中值定理 §2 洛必达法则 §3 函数的单调性与曲线的凹凸性 §4 函数的极值与最值 §5 函数的图形描绘
3-1-1
§3 .1 微分中值定理
罗尔中值定理 拉格郎日中值定理 柯西中值定理
3-1-2
微分中值定理
一、罗尔(Rolle)定理 罗尔 Rolle,(法)1652-1719 罗尔 定理 法
例 证明当 x > 0时,
1 Q f ( 0 ) = 0, f ′ ( x ) = , 由上式得 1+ x x ln(1 + x ) = , 1+ξ
1 1 < < 1ξ 由 0 <ξ < x 1 < 1 + , < 1 + x 1+ x 1+ξ
x x ∴ < < x , 即 x < ln(1 + x ) < x . 1+ x 1+ξ 1+ x
f ( x) = x, x∈[0,1]
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微分中值定理
例 对函数f ( x ) = x 3 + 4 x 2 − 7 x − 10, 在[−1,2]上 验证罗尔定理的正确性. 验证罗尔定理的正确性 证 (1) 由于f ( x )在[ −1, 2]上连续 , 在(-1,2)内可导 内可导. 内可导
注 结论亦可写成
f (b) − f (a) = f ′(ξ). b−a
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微分中值定理
y
几何解释 在曲线弧AB上至 在曲线弧 上至 少有一点C,在该点处的切线 少有一点 在该点处的切线 平行于弦AB. 平行于弦 分析
O
C
y = f (x)
B
D
A
a
ξ1
ξ2 b x
将f (b ) − f ( a ) = f ′(ξ )(b − a )式变为
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微分中值定理
f (ξ + ∆x ) − f (ξ ) 当∆x > 0, 有 ≤ 0. 由极限的保号性 ∆x
∆ x →0
由f ′(ξ )的存在知 : f ′(ξ ) = lim+
f (ξ + ∆x ) − f (ξ ) 当 ∆ x < 0, 有 ≥ 0. ∆x f (ξ + ∆x ) − f (ξ） 由f ′(ξ )的存在知 : f ′(ξ ) = lim− ≥ 0, ∆x →0 ∆x
f ( −1) = 0 = f ( 2) 函数满足定理的假设条件 函数满足定理的假设条件.
(2) 结论正确
方程f ′( x ) = 0, 即3 x 2 + 8 x − 7 = 0有实根
1 1 x1 = ( −4 − 37 ), x2 = ( −4 + 37 ) 3 3 其中 x2 ∈ ( −1,2), 符合要求 .
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 拉格朗日 中值定理
拉格朗日中值定理 若函数 f ( x )满足 : (1) 在闭区间 [a , b ]上连续 ; (2) 在开区间 ( a , b )内可导 ;
则在开区间(a , b)内至少存在一点 ξ , 使得
f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a)
( 3) ∆y = f ′( x + θ∆x ) ⋅ ∆x (0 <θ < 1).
增量 ∆y的精确表达式 . 式看出, 由(3)式看出 它表达了函数增量和某点的导数之间 式看出
的直接关系. 的直接关系 这 ξ,θ未 , 里 定
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微分中值定理
例 证明不等式
f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a) ξ ∈(a, b)
提示 利用辅助函数
f (b) − f (a) ϕ(x) = f (x) − F(x) F(b) − F(a)
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微分中值定理
例 设函数 f ( x )在[0,1]上连续 , 在(0,1)内可导, 证明 :
至少存在一点 ξ ∈ ( 0,1), 使 f ′(ξ ) = 2ξ [ f (1) − f (0)].
可导,且
b< . 对 < a也 成立
拉格朗日中值公式
微分中值定理
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微分中值定理
Lagrange公式可以写成下面的各种形式: 公式可以写成下面的各种形式 公式可以写成下面的各种形式
(1) f (b ) − f (a ) = f ′(ξ )(b − a ).当a > b时也成立 .
( 2) f ( x + ∆x ) − f ( x ) = f ′(ξ )∆x , ξ在x和∆x + x之间.
1 g(a ) = [bf (a ) − af (b )] = g (b ) b−a 故在开区间 ( a , b )内至少存在一点 ξ , 使得 f (b) − f (a ) g ′(ξ ) = f ′(ξ ) − = 0. b−a 由此得 f (b) − f (a) = (b − a) f ′(ξ ).
f ′( x ) = 2( x − 1), 取ξ = 1, (1 ∈ ( −1,3)) f ′(ξ) = 0.
注 定理条件不全具备时, 结论不一定成立. 定理条件不全具备时, 结论不一定成立.
y y y
O
1
x
−1
O
x
O
x
x, 0 ≤ x < 1 f (x) =| x |, x∈[−1,1] f (x) = 0, x = 1
(b) 若M ≠ m. 则最值不可能同时在端点取得 则最值不可能同时在端点取得.
不妨设 M ≠ f (a ), 则在 ( a , b ) 内至少存在一点 ξ , 使
f (ξ ) = M . 下面证明 : f ′(ξ ) = 0.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
因为, 对于∀ ξ ∈ [a, b], 均有f (ξ ) ≥ f (ξ + ∆x )
分 分析 结论可变形为 满足柯西中值定理条件, 证 析f ( x ), F ( x ) 在[0,1]上 满足柯西中值定理条件, f∴ 在( 0,(0内至少存在一点 ξ , 有 (1) − f 1)) f ′(ξ ) f ′(x) = 2 x=ξ . 设F(x) = x2 , = 1− 0 2ξ (x )′ f (1) − f (0) f ′(ξ ) = 1− 0 2ξ 即 f ′(ξ ) = 2ξ [ f (1) − f (0)].
罗尔定理 若函数 f ( x )满足 : (1) 在闭区间 [a , b ]上连续 ; (2) 在开区间 ( a , b )内可导 ; (3) f (a ) = f (b ),
则在开区间 ( a , b )内至少存在一点 ξ , 使得
f ′(ξ ) = 0.
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微分中值定理
几何事实:
是一条连续的曲线、 曲线 y=f(x)是一条连续的曲线、除端点外处处 是一条连续的曲线 有不垂直于x轴的切线 且两端点 且两端点A,B连线平行与 轴. 连线平行与x轴 有不垂直于 轴的切线 ,且两端点 连线平行与 内存在一点,此点的切线平行与两端点 结论 在(a,b)内存在一点 此点的切线平行与两端点 内存在一点 的连线. 的连线
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微分中值定理
cn c1 例 设常数 c0 , c1 , L , cn满足条件 c0 + + L + = 0. 2 n+1 c0 + c1 x + L + cn x n = 0 在( 0,1)内存在一个 试证方程 cn n+1 c1 2 实根 . L x )′ c1 2 (c0 x + cnx +n+1+ 证 令 f (x) = c0 x + x +L 2 x , n + 1 +
2 n+1 f ( x )在[0,1]上连续 , 在(0,1)内可导, 且
f ( 0) = 0 = f (1)
罗尔定理
在( 0,1)内至少存在一个实根 ξ , 使得f ′(ξ ) = 0,
即 c0 + c1ξ + L + cnξ n = 0
即x = ξ为所求实根 .
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微分中值定理
拉格朗日 Lagrange (法) 1736-1813 法