2014-2015年山东省威海市乳山市九年级上学期数学期中试卷与解析(五四学制)

2014-2015学年山东省威海市乳山市九年级（上）期中数学试卷（五四学制）一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分) 1．（3分）函数y=﹣的自变量x的取值范围是（）A．x＜1 B．x≥1 C．x＞1 D．x≤12．（3分）在Rt△ACB中，∠C=90°，sinB=，则tanA=（）A．B．C．2 D．243．（3分）顶点是（﹣2，1），开口方向，形状与抛物线y=x2相同的抛物线是（）A．y=（x+2）2+1 B．y=（x﹣2）2+1 C．y=（x﹣2）2+1 D．y=﹣（x+2）2+1 4．（3分）若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴是x=1C．当x=1时，y的最大值为4D．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）5．（3分）如图所示，二次函数y=ax2与一次函数y=ax﹣a的图象大致是（）A．B． C．D．6．（3分）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6钞与第14秒时的高度相等，则炮弹达到最大高度的时间是（）A．第8秒B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒7．（3分）如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=50米，则小岛B到公路l的距离为（）米．A．25 B．25C．D．25+258．（3分）如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b 至少为（）A．6cm B．12cm C．6cm D．4cm9．（3分）△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，∠C=90°，点C的坐标为（，﹣），则点B的坐标是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（2，0）10．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c ＞0的解集是（）A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞511．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4cm，AD=8cm，按如图方式折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则tan∠BEF=（）A．2 B．3 C．4 D．512．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为（﹣1，0），则下面四个结论：①2a+b=0；②4a﹣2b+c＜0；③ac＞0；④当y＜0，x＜﹣1或x＞2中，正确的序号是（）A．①③B．②③C．①②D．③④二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果）13．（3分）在△ABC中，∠C=90°，c=2，b=，则∠A=．14．（3分）将抛物线y=﹣x2+x﹣2的图象向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式是．15．（3分）如图，在方格纸中，cos（α+β）=．16．（3分）设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，1），B（2，3），C三点，其中点C在直线x=上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于，则抛物线的解析式为．17．（3分）如图，AD∥BF，AB⊥AD，点B、E关于AC对称，点E、F关于BD对称，则tan∠ADB=．18．（3分）二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为x=﹣1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣4＜x＜1的范围内有解，则t的取值范围是．三、解答题（本大题共7个小题，共66分，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：sin60°﹣cos60°cos30°﹣tan60°+（﹣）0．20．（7分）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（3，5），且方程ax2+bx+c=0的两实根为x1=1，x2=﹣2，求该二次函数的表达式．21．（8分）如图，∠ACB=90°，∠ADC=2∠B，AC=4，CD=3，求tan∠B．22．（9分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1：，且AB=30m，李亮同学在大堤上A点处用高1.5m的测量仪测出高压电线杆CD顶端D的仰角为30°，已知地面BC宽30m，求高压电线杆CD的高度（结果保留三个有效数字，≈1.732）23．（11分）如图，抛物线y=x2﹣bx+c（c＜0）与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，AC=．（1）求抛物线的解析式；（2）过点B作BP⊥AC，垂足为点P，BP交y轴于点M，求tan∠OMB．24．（12分）某校部分团员参加社会公益活动，准备用每个6元的价格购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构，根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：（1）试判断y与x之间的函数关系式，并求出函数关系式；（2）按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；（3）为了降低进货成本，团员利用销量确定货量，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．25．（13分）如图，在平面直角坐标系中xOy中，一次函数（m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；（3）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F，是否存在这样的点E，使得A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．2014-2015学年山东省威海市乳山市九年级（上）期中数学试卷（五四学制）参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分) 1．（3分）函数y=﹣的自变量x的取值范围是（）A．x＜1 B．x≥1 C．x＞1 D．x≤1【解答】解：由题意得，1﹣x≥0且x﹣1≠0，解得x≤1且x≠1，所以x＜1．故选：A．2．（3分）在Rt△ACB中，∠C=90°，sinB=，则tanA=（）A．B．C．2 D．24【解答】解：由在Rt△ACB中，∠C=90°，sinB=，得cos∠A=sinB=，sin∠A==，tan∠A===2，故选：C．3．（3分）顶点是（﹣2，1），开口方向，形状与抛物线y=x2相同的抛物线是（）A．y=（x+2）2+1 B．y=（x﹣2）2+1 C．y=（x﹣2）2+1 D．y=﹣（x+2）2+1【解答】解：根据题意得：抛物线解析式为y=（x+2）2+1，故选：A．4．（3分）若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴是x=1C．当x=1时，y的最大值为4D．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）【解答】解：把（0，﹣3）代入y=x2﹣2x+c中得c=﹣3，抛物线为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4=（x+1）（x﹣3），所以：抛物线开口向上，对称轴是x=1，当x=1时，y的最小值为﹣4，与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）；C错误．故选：C．5．（3分）如图所示，二次函数y=ax2与一次函数y=ax﹣a的图象大致是（）A．B． C．D．【解答】解：当a＞0时，抛物线开口向上、顶点为原点，对称轴为y轴，直线经过第一、三、四象限；当a＜0时，抛物线开口向下、顶点为原点，对称轴为y轴，直线经过第一、二、四象限，故选：B．6．（3分）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6钞与第14秒时的高度相等，则炮弹达到最大高度的时间是（）A．第8秒B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒【解答】解：∵x取6和14时y的值相等，∴抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=6+=10，即炮弹达到最大高度的时间是10s．故选：B．7．（3分）如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=50米，则小岛B到公路l的距离为（）米．A．25 B．25C．D．25+25【解答】解：过点B作BE⊥AD于E．设BE=x．∵∠BCD=60°，tan∠BCE=，∴CE=x．在直角△ABE中，AE=x，AC=50米，则x﹣x=50．解得x=25．即小岛B到公路l的距离为25米．故选：B．8．（3分）如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b 至少为（）A．6cm B．12cm C．6cm D．4cm【解答】解：设正多边形的中心是O，其一边是AB，∴∠AOB=∠BOC=60°，∴OA=OB=AB=OC=BC，∴四边形ABCO是菱形，∵AB=6cm，∠AOB=60°，∴cos∠BAC=，∴AM=6×=3（cm），∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，∴AM=MC=AC，∴AC=2AM=6（cm）．故选：C．9．（3分）△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，∠C=90°，点C的坐标为（，﹣），则点B的坐标是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（2，0）【解答】解：如图，作CD⊥AB于D．∵点C的坐标为（，﹣），∴AD=，CD=．在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∴tan∠CAD===，∴∠CAD=30°，∵∠ACB=90°，∴∠CBD=90°﹣30°=60°．在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，∴DB===，∴AB=AD+DB=+=2，∴点B的坐标是（2，0）．故选：D．10．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c ＞0的解集是（）A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5【解答】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为（5，0），所以，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），所以，不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5．故选：A．11．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4cm，AD=8cm，按如图方式折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则tan∠BEF=（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC于点G；∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠C=90°，BC=AD=8，AB=DC=4；由题意得：BE=DE（设为λ），CF=C′F（设为μ），则AE=8﹣λ，BF=8﹣μ；在直角△ABE中，由勾股定理得：λ2=（8﹣λ）2+42，解得：λ=5，AE=8﹣5=3；在直角△BFC′中，同理可求：μ=3，∴BF=8﹣3=5；而BG=AE=3，∴GF=5﹣3=2；而GE=AB=4，∴tan∠EFG=；由题意得：∠BEF=∠DEF；而ED∥CF，∴∠EFG=∠DEF，∴tan∠BEF=2．故选：A．12．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为（﹣1，0），则下面四个结论：①2a+b=0；②4a﹣2b+c＜0；③ac＞0；④当y＜0，x＜﹣1或x＞2中，正确的序号是（）A．①③B．②③C．①②D．③④【解答】解：根据对称轴为x=1，即﹣=1，2a+b=0，①正确；x=﹣2时，y＜0，4a﹣2b+c＜0，②正确；开口向下，a＜0，抛物线与y轴交于负半轴，c＞0，a＜0，③不正确；由图象可知x＜﹣1或x＞3中，y＜0，④不正确故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果）13．（3分）在△ABC中，∠C=90°，c=2，b=，则∠A=30°．【解答】解：如图所示：∵∠C=90°，c=2，b=，∴cosA==，则∠A=30°．故答案为：30°．14．（3分）将抛物线y=﹣x2+x﹣2的图象向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式是y=﹣（x﹣2）2﹣．【解答】解：∵y=﹣x2+x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣，∴原抛物线的顶点为（1，﹣），∴抛物线y=﹣x2+x﹣2的图象向右平移1个单位后新抛物线的顶点为（2，﹣），∴新抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2﹣．故答案为：y=﹣（x﹣2）2﹣．15．（3分）如图，在方格纸中，cos（α+β）=．【解答】解：设每个小正方形的边长为1，在△ABC中，∵AB2=12+32=10，BC2=12+22=5，AC2=12+22=5，且5+5=10，即：BC=AC，BC2+AC2=AB2，∴△ABC为等腰直角三角形，且∠BAC=45°，∵AD∥EC，∴∠1=∠β，∴α+β=α+∠1=∠BAC=45°，cos（α+β）=cos45°=．故答案为：．16．（3分）设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，1），B（2，3），C三点，其中点C在直线x=上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于，则抛物线的解析式为y=x2+x+1或y=﹣x2+2x+1．【解答】解：由题意得到抛物线对称轴为x=﹣1或x=2，当对称轴为直线x=﹣1时，则有﹣=﹣1，即b=2a①，将A与B坐标代入抛物线解析式得：，消去c得：2a+b=1②，①代入②，解得：a=，b=，此时抛物线解析式为y=x2+x+1；当对称轴为直线x=2时，则有﹣=2，即b=﹣4a，与2a+b=1联立，解得：a=﹣，b=2，此时抛物线解析式为y=﹣x2+2x+1．故答案为：y=x2+x+1或y=﹣x2+2x+117．（3分）如图，AD∥BF，AB⊥AD，点B、E关于AC对称，点E、F关于BD对称，则tan∠ADB=﹣1．【解答】解：∵AB⊥AD，点B、E关于AC对称，∴∠ABE=∠AEB=45°，∵点E、F关于BD对称，∴∠FBD=∠EBD，∵AD∥BF，∴∠FBD=∠EDB，∴∠EBD=∠EDB，∴BE=DE，设AB=x，则AE=x，BE=AB=x，所以，AD=AE+DE=x+x，所以，tan∠ADB===﹣1．故答案为：﹣1．18．（3分）二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为x=﹣1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣4＜x＜1的范围内有解，则t的取值范围是﹣1≤t＜8．【解答】解：∵y=x2+bx的对称轴为x=﹣1，∴b=2，∴抛物线y=x2+bx的解析式为y=x2+2x，令y=x2+bx﹣t，则其图象相当于函数y=x2+bx的图象上下平移得到，当向下平移时，则其图象的左端点最小为﹣4，此时代入可得（﹣4）2+2×（﹣4）﹣t=0，解得t=8，当向上平移时，则其图象向上平移一个单位时，与x轴只有一个交点，所以﹣t=1，即t=﹣1，综上可知t的取值范围为﹣1≤t＜8，故答案为：﹣1≤t＜8．三、解答题（本大题共7个小题，共66分，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：sin60°﹣cos60°cos30°﹣tan60°+（﹣）0．【解答】解：原式=×﹣×﹣×+1=．20．（7分）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（3，5），且方程ax2+bx+c=0的两实根为x1=1，x2=﹣2，求该二次函数的表达式．【解答】解：∵方程ax2+bx+c=0的两实根为x1=1，x2=﹣2，∴抛物线过点（1，0），（﹣2，0），设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x+2），把（3，5）代入得a•（3﹣1）（3+2）=5，解得a=，∴抛物线解析式为y=（x﹣1）（x+2）=x2+x﹣1．21．（8分）如图，∠ACB=90°，∠ADC=2∠B，AC=4，CD=3，求tan∠B．【解答】解：∵∠ADC=∠B+∠BCD，∠ADC=2∠B，∴∠B=∠BCD，∴BD=CD=3．∵∠B+∠A=∠BCD+∠ACD=90°，∴∠A=∠ACD，∴AD=CD=3，∴AB=AD+BD=3+3=6．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=6，AC=4，∴BC==2，∴tan∠B===．22．（9分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1：，且AB=30m，李亮同学在大堤上A点处用高1.5m的测量仪测出高压电线杆CD顶端D的仰角为30°，已知地面BC宽30m，求高压电线杆CD的高度（结果保留三个有效数字，≈1.732）【解答】解：延长MA交直线BC于点E，∵AB=30，i=1：，∴AE=15，BE=15，∴MN=BC+BE=30+15，又∵仰角为30°，∴DN===10+15，CD=DN+NC=DN+MA+AE=10+15+15+1.5≈17.32+31.5≈48.8（m）．23．（11分）如图，抛物线y=x2﹣bx+c（c＜0）与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，AC=．（1）求抛物线的解析式；（2）过点B作BP⊥AC，垂足为点P，BP交y轴于点M，求tan∠OMB．【解答】解：（1）∵OA=1，AC=，∴OC===2，∴c=﹣2，将（﹣1，0）代入y=x2﹣bx﹣2，解得b=1，∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2；（2）∵BP⊥AC，∴∠CAO+∠ABP=90°，∵∠OMB+∠ABP=90°，∴∠OMB=∠CAO，∴tan∠OMB=tan∠CAO===2．24．（12分）某校部分团员参加社会公益活动，准备用每个6元的价格购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构，根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：（1）试判断y与x之间的函数关系式，并求出函数关系式；（2）按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；（3）为了降低进货成本，团员利用销量确定货量，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．【解答】解：（1）y是x的一次函数，设y=kx+b，图象过点（10，300），（12，240），，解得，∴y=﹣30x+600，当x=14时，y=180；当x=16时，y=120，即点（14，180），（16，120）均在函数y=﹣30x+600图象上．∴y与x之间的函数关系式为y=﹣30x+600；（2）w=（x﹣6）（﹣30x+600）=﹣30x2+780x﹣3600，即w与x之间的函数关系式为w=﹣30x2+780x﹣3600；（3）由题意得：0≤6（﹣30x+600）≤900，解得15≤x≤20．w=﹣30x2+780x﹣3600图象对称轴为：x=﹣=﹣=13．∵a=﹣30＜0，∴抛物线开口向下，当x≥15时，w随x增大而减小，=1350，∴当x=15时，w最大即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．25．（13分）如图，在平面直角坐标系中xOy中，一次函数（m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；（3）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F，是否存在这样的点E，使得A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵y=x+m经过点（﹣3，0），∴0=﹣+m，解得：m=，∴直线解析式为：y=x+，C（0，）；（2）∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（﹣3，0），∴另一交点为B（5，0），设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣5），∵抛物线经过C（0，），∴=a•3（﹣5），解得a=﹣，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+；（2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则AC∥EF且AC=EF．如答图1，（i）当点E在点E位置时，过点E作EG⊥x轴于点G，∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG，在△CAO和△EFG中，∴△CAO≌△EFG（AAS），∴EG=CO=，即y E=，∴=﹣x E2+x E+，解得x E=2（x E=0与C点重合，舍去），∴E（2，）；（ii）当点E在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x轴于点G′，﹣=﹣x2+x+，解得：x=1±，（负数舍去），则x=1+，可得E′（+1，﹣）．。