【全国市级联考】山东省淄博市2017届高三第二次模拟考试数学(理)试题(原卷版)
山东省淄博市2017届高三数学仿真模拟(打靶卷)试题 理
山东省淄博市2017届高三数学仿真模拟（打靶卷）试题 理本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共4页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若i iai212-=-，则=a A ．5 B ．5- C ．5i D ．5i - 2．已知集合{}2|0=-<A x x x ，{}|=<B x x a ,若AB A =，则实数a 的取值范围是A ．(]1-∞，B ．()1-∞，C ．[)1+∞，D ．()1+∞， 3．已知等比数列{}n a 满足14=a ，26414a a a =-，则2a = A ．2 B ．1 C ．12 D ．184．直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于,M N 两点，若MN ≥k 的取值范围是A ．3[,0]4-B ．[33- C ．[ D ．2[,0]3- 5．下列四个结论中错误的个数是①若0.40.433,log 0.5,log 0.4===a b c ，则>>a b c②“命题p 和命题q 都是假命题”是“命题∧p q 是假命题”的充分不必要条件③若平面α内存在一条直线a 垂直于平面β内无数条直线，则平面α与平面β垂直 ④已知数据12,,,n x x x 的方差为3，若数据()121,1,1,0,R n ax ax ax a a +++>∈的方差为12,则a 的值为2A ．0B ．1C ．2D ．3 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．8(4)π+ B ．8(8)π+ C ．16(4)π+ D ．16(8)π+7．已知向量AB 与AC 的夹角为120︒，1=AB ，2=AC ，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为 A ．45 B ．45- C ．25D ．25-8．某程序框图如右图所示，运行该程序输出的k 值是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．79．若直线)2(+=x k y 上存在点(),x y 满足011-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩x y x y y ，则实数k 的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--41,1B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-51,1C ．(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-∞-，，511 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-51,41 10．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()2()=--f x x f x ．当(,0)x ∈-∞时，()2'<f x x ；若(2)()44+--≤+f m f m m ，则实数m 的取值范围是A ．(]1，-∞- B ．(]2，-∞- C ．[1,)-+∞ D ．[2,)-+∞第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．在区间[]0,1上随机选取两个数x 和y ，则满足20-<x y 的概率为 ．12．观察下列各式：31=1，3321+2=3，33321+2+3=6，333321+2+3+4=10，…，由此推得：33331+2+3+n = ．13．6个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有2人，则不同的站法种数为 ． 14．已知()lg2x f x x =-，若()()0f a f b +=，则41a b+的最小值是 ． 15．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ，过F 做x 轴的垂线交双曲线于,B C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的离心率为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，M 是边BC的中点，cos BAM ∠=tan AMC ∠= （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若角6BAC π∠=，BC 边上的中线AM，求ABC ∆的面积．17．（本小题满分12分）如图，已知三棱锥O ABC -的三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，ABC ∆为等边三角形， M 为ABC ∆内部一点，点P 在OM 的延长线上，且PA PB =．（Ⅰ）证明：OB OA =； （Ⅱ）证明：AB OP ⊥；（Ⅲ）若::AP PO OC =，求二面角B OA P --的余弦值． 18．(本小题满分12分)在标有“甲”的袋中有4个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同． （Ⅰ）若从袋中依次取出3个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率；（Ⅱ）现从甲袋中取出个2红球，1个白球，装入标有“乙”的空袋．若从甲袋中任取2球，乙袋中任取1球，记取出的红球的个数为X ，求X 的分布列和数学期望EX ． 19．(本小题满分12分)OBCPM∙已知数列{}n a 和{}n b 满足1232(N*)n bn a a a a n =∈．若{}n a 是各项为正数的等比数列，且14a =，326b b =+．（Ⅰ）求n a 与n b ； （Ⅱ）设1n nc b =-，记数列{}n c 的前n 项和为n S ． ①求n S ；②求正整数k ，使得对任意N*n ∈，均有n k S S ≥． 20．（本小题满分13分）已知抛物线2:4C y x =，点M 与抛物线C 的焦点F 关于原点对称，过点M 且斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于不同两点B ,A ，线段AB 的中点为P ，直线PF 与抛物线C 交于两点D ,E ． （Ⅰ）判断是否存在实数k 使得四边形AEBD 为平行四边形．若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （Ⅱ）求22PMPF 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知λ∈R ，函数()ln xf x e x x λ=-（ 2.71828e =是自然对数的底数）．（Ⅰ）若()10f =，证明：曲线()y f x =没有经过点2,03M ⎛⎫⎪⎝⎭的切线； （Ⅱ）若函数()f x 在其定义域上不单调，求λ的取值范围； （Ⅲ）是否存在正整数n ，当11,n n ne λ++⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，函数()f x 的图象在x 轴的上方，若存在，求n 的值；若不存在，说明理由．淄博市2016-2017学年度高三三模考试 数学试题参考答案及评分说明 2017．6第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若i iai212-=-，则=a A ．5 B ．5- C ．5i D ．5i - 2．已知集合{}2|0=-<A x x x ,{}|=<B x x a ,若AB A =,则实数a 的取值范围是A ．(]1-∞，B ．()1-∞，C ．[)1+∞，D ．()1+∞， 3．已知等比数列{}n a 满足14=a ，26414a a a =-，则2a = A ．2 B ．1 C ．12 D ．184．直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于,M N 两点，若MN ≥k 的取值范围是A ．3[,0]4-B ．[C ．[D ．2[,0]3- 5．下列四个结论中错误的个数是①若0.40.433,log 0.5,log 0.4===a b c ，则>>a b c②“命题p 和命题q 都是假命题”是“命题∧p q 是假命题”的充分不必要条件 ③若平面α内存在一条直线a 垂直于平面β内的无数条直线，则平面α与平面β垂直 ④已知数据12,,,n x x x 的方差为3，若数据()121,1,1,0,+++>∈n ax ax ax a a R 的方差为12,则a 的值为2A ．0B ．1C ．2D ．3 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．8(4)π+B ．8(8)π+C ．16(4)π+D ．16(8)π+7．（文）已知向量()()1,23,2，==-a b ，若()()//3ka b a b +-，则实数k 的值为 A ．3 B 33D ．3- 7．（理）已知向量AB 与AC 的夹角为120︒1=AB ，2=AC ，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为A ．45B ．45-C．25D ．25-8．某程序框图如右图所示，运行该程序输出的k 值是A ．4B ．5C ．6D ．79．若直线)2(+=x k y 上存在点(),x y 满足011-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩x y x y y ，则实数k 的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--41,1B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-51,1C ．(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-∞-，，511 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-51,4110．（文）已知偶函数()()0≠f x x 的导函数为()，'f x 且满足()1=0，f 当0>x 时，()()2,'<xf x f x 则使得()0>f x 成立的x 的取值范围是( )A ．()()101，，-∞-B ．()()11，，+-∞-∞ C ．()()1001，，-D ．()()101，，-+∞ 10．（理）设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x ，都有2()2()=--f x x f x ，当(,0)x ∈-∞时，()2'<f x x ，若(2)()44+--≤+f m f m m ，则实数m 的取值范围是A ．(]1，-∞- B ．(]2，-∞- C ．[1,)-+∞ D ．[2,)-+∞ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二． 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．在区间[]0,1上随机选取两个数x 和y ，则满足20-<x y 的概率为14． 12．观察下列各式：31=1，3321+2=3，33321+2+3=6，333321+2+3+4=10，…，则 33331+2+3+n =()2214n n + ． 13．（文）若命题“0x ∃∈R ，使得2+20x x a +≤” 是假命题，则实数a 的取值范围是()1+∞，． 13．（理）6个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有2人，则不同的站法种数为 144 ． 14．已知()lg2x f x x =-，若()()0f a f b +=，则41a b+的最小值是 92 ．15．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ，过F 做x 轴的垂线交双曲线于,B C 两点，若12A B A C ⊥1． 三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（文科 本小题满分12分） 已知函数()()22coscos 2x f x a x θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数，且02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中()πθ，，0∈∈R a ．（Ⅰ）求θ，a 的值； （Ⅱ）若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，2()cos()cos 202854f αππαα+++=，求cos sin αα-的值．解：（Ⅰ）因为()2()2cos cos 2x f x a x θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是奇函数，所以()()222cos cos 2cos cos 22x x a x a x θθ⎛⎫⎛⎫++=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得，cos cos 0x θ=，即cos 0θ= ……………………………………2分又()0,θπ∈，得2πθ= ……………………3分所以()2sin (2cos )2x f x x a =-⋅+ ……………………4分由02f π⎛⎫=⎪⎝⎭，得(1)0a -+=，即 1.a =- ……………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()1sin 22f x x =- ……………………………………7分2()cos()cos 202854f αππαα+++=⇒4sin()cos()cos 2454ππααα+=+ 因为cos 2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444ππππααααα=+=+=++所以28sin()cos ()sin()4544πππααα+=++ 又,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以sin()04πα+=或25cos ()48πα+= …………………9分①由3sin()044ππαα+=⇒=所以33cos sin cos sin 44ππαα-=-=……………………………10分 ②由25cos ()48πα+=，35444πππα<+<得cos()sin )4πααα+=⇒-=所以cos sin αα-= ……………………………………11分综上，cos sin αα-=或cos sin αα-= …………………12分16．（理科 本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，M 是边BC的中点，cos BAM ∠=tan 2AMC ∠=-． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若角6BAC π∠=，BC 边上的中线AMABC ∆的面积．解：（Ⅰ）由cos BAM ∠=得sin BAM ∠=，所以tan BAM ∠=……………………………………2分 又AMC BAM B ∠=∠+∠所以tan tan tan tan()1tan tan AMC BAMB AMC BAM AMC BAM∠-∠=∠-∠=+∠∠--== ……………………………………4分 又()0,B π∈ ， 所以23B π= …………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知23B π=，且6BAC π∠= 所以，6C π=，则AB BC =…7分 设BM x =，则2AB x =在AMB ∆中由余弦定理得2222cos AB BM AB BM B AM +-⋅=，………9分 即2721x =解得x =…………………10分故2124sin 23ABC S x π∆=⨯⨯=． ………………………………12分17．（文科 本小题满分12分）如图，已知三棱锥O ABC -的三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，ABC ∆为等边三角形， M 为ABC ∆内部一点，点P 在OM 的延长线上，且PB PA =．（Ⅰ）证明：OB OA =；（Ⅱ）证明：平面⊥PAB 平面POC ； 证明：（Ⅰ）因为OA ，OB ，OC 两两垂直， 所以222AC OC OA =+，222BC OC OB =+ ……………………………………3分又△ABC 为等边三角形，BC AC =所以=+22OC OA 22OC OB + …………………4分 故OB OA = ………………………………5分（Ⅱ）因为OA ，OB ，OC 两两垂直所以OC ⊥平面OAB …………………………6分AB ⊂平面OAB ，所以OC ⊥AB ……………7分取AB 的中点D ,连接OD 、PD …………………9分 因为OB OA =，PB PA =，所以,OD AB PD AB ⊥⊥OD PD D =,所以AB ⊥平面POD所以AB PO ⊥ ……………………………… 11分 又COPO O =,所以AB ⊥平面POC因为AB ⊂平面PAB ,所以平面⊥PAB 平面POC ………………………………12分17．（理科 本小题满分12分）如图，已知三棱锥O ABC -的三条侧棱OA ，OB ，OC两两垂直，ABC ∆为等边三角形， M 为ABC ∆内部一点，点P 在OM 的延长线上，且PA PB =． （Ⅰ）证明：OB OA =；（Ⅱ）证明：AB OP ⊥；POOABCPM∙P（Ⅲ）若::AP PO OC =，求二面角B OA P --的余弦值． 证明：（Ⅰ）因为OA ，OB ，OC 两两垂直，所以222AC OC OA =+，222BC OC OB =+……………1分 又△ABC 为等边三角形，BC AC =所以=+22OC OA 22OC OB + …………………2分 故OB OA = …………………………3分 （Ⅱ）取AB 的中点D ，连接OD 、PD ………4分 因为OB OA =，PB PA =，所以,OD AB PD AB ⊥⊥OD PD D =，所以AB ⊥平面POD所以AB PO ⊥ …………………6分 （Ⅲ）如图建立空间坐标系因为::AP PO OC =，可设1OC =,则AP PO ==由（Ⅰ）同理可得1OA OB OC === …………………7分 因为222PO AP OA =+，所以 OA AP ⊥ …………………8分 所以(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C 设(,,)P x y z（0,0,0x y z >>> ）所以2220101001266OA AP x x AB OP x y y z x y z OP ⎧⋅=⎧-==⎧⎪⎪⎪⎪⋅=⇒-+=⇒=⎨⎨⎨⎪⎪⎪=++=⎩=⎩⎪⎩所以(1,1,2)P …………………………10分 平面OAB 的法向量为(0,0,1)OC =设平面POA 的法向量为000(,,)n x y z = 则000020000x y z n OP x n OA ⎧++=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩取01,z = 则02y =- 所以(0,2,1)n =- …………………………11分cos 55OC n OC nθ⋅===⋅ …………………………12分 18．（文科 本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖一次．抽奖方法是：从装有标号为1,2,3,4的4个红球和标号为1,2的2个白球的箱中，随机摸出2个球，若摸出的两球号码相同，可获一等奖；若两球颜色不同且号码相邻，可获二等奖，其余情况获三等奖．已知某顾客参与抽奖一次．（Ⅰ）求该顾客获一等奖的概率； （Ⅱ）求该顾客获三获奖的概率．解：标号为1,2,3,4的4个红球记为1234,,,A A A A ，标号为1,2的2个白球记为12,B B ． 从中随机摸出2个球的所有结果有：{}12,A A ，{}13,A A ， {}14,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}24,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}34,A A ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}41,A B ，{}42,A B ，{}12,B B ，共15个．这些基本事件的出现是等可能的． ……………………5分（Ⅰ）摸出的两球号码相同的结果有：{}11,A B ，{}22,A B ，共2个． 所以“该顾客获一等奖”的概率215P =．…………………………………8分 （Ⅱ）摸出的两球颜色不同且号码相邻的结果有：{}12,A B ,{}21,A B ,{}32,A B ，共3个．则“该顾客获二等奖”的概率31155P ==． ………………………10分 所以“该顾客获三等奖”的概率21211553P =--=． ………………………12分18．（理科 本小题满分12分）在标有“甲”的袋中有4个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．（Ⅰ）若从袋中依次取出3个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率； （Ⅱ）现从甲袋中取出个2红球，1个白球，装入标有“乙”的空袋．若从甲袋中任取2球，乙袋中任取1球，记取出的红球的个数为X ，求X 的分布列和数学期望EX ．解：（Ⅰ）记“第一次取到红球”为事件A ，“后两次均取到白球”为事件B ，则()47P A =，()432476535P AB ⨯⨯==⨯⨯．所以，“第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率”()()()1|5P AB P B A P A ==………………………………4分（或()113211651|5C C P B A C C ==） ……………………………………4分 （Ⅱ）X 的所有可能取值为0,1,2,3． …………………………………………5分212121431(0)18C C P X C C ==⋅=11121221222121434361(1)+183C C C C C P X C C C C ==⋅⋅==21111212222121434391(2)=182C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=2122214321(3)=189C C P X C C ==⋅=． ………………………………………9分X 的分布列为：……………………………10分111150123183293EX =⨯+⨯+⨯+⨯= …………………………12分 19．(文科 本小题满分12分) 已知数列{}n a 和{}n b 满足1232()n bn a a a a n N *=∈．若{}n a 是各项为正数的等比数列，且12a =，323b b =+（Ⅰ）求n a 与n b ； （Ⅱ）设11n n nc a b =-，求数列{}n c 的前n 项和为n S ． 解：（Ⅰ）解：由题意1232()n bn a a a a n N *=∈，323b b =+知323322b b a -==又由12a =，得公比2q =（2q =-，舍去） ………………3分所以数列{}n a 的通项为*2()n n a n N =∈ ……………………………………4分所以(1)21232n n n a a a a +=故数列{}n b 的通项为*(1)()2n n n b n N +=∈ …………………………………6分（Ⅱ）*111112()()21n n n n c n N a b n n =-=--∈+……………………………8分所以21111111121222223111112122211111212n n n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--+-++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=--=-- ⎪++⎝⎭-………………12分19．（理科 本小题满分12分） 已知数列{}n a 和{}n b 满足1232()n bn a a a a n N *=∈．若{}n a 是各项为正数的等比数列，且14a =，326b b =+（Ⅰ）求n a 与n b ； （Ⅱ）设1n nc b =-，记数列{}n c 的前n 项和为n S ． ①求n S ；②求正整数k ，使得对任意*∈N n ，均有n k S S ≥．解：（Ⅰ）解：由题意1232()n bn a a a a n N *=∈，326b b =+知323264b b a -==又由14a =，得公比4q =（4q =-，舍去）所以数列{}n a 的通项为2*42()n n n a n N ==∈ ……………………………………3分所以(1)2(1)212322n n n n n a a a a +⨯+==故数列{}n b 的通项为*(1)()n b n n n N =+∈ …………………………………5分（Ⅱ）①由（Ⅰ）知*1111()()21n n n c n N b n n =-=--∈+…………7分所以21111111112222231111111221111212n n n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--+-++-⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=--=- ⎪++⎝⎭-………………9分②因为12340,0,0,0c c c c =>>>；当5n ≥时，1(1)[1](1)2n nn n c n n +=-+而11(1)(1)(2)(1)(2)0222n n n n n n n n n ++++++--=>得5(1)5(51)122n n n +⋅+≤<所以，当5n ≥时，0n c <；综上，对任意*n N ∈恒有4n S S ≥，故4k = ………………………12分20．（文科 本小题满分13分）已知椭圆1422=+y x C :，如图所示点)(),(),(332211y ,xP y ,x B y ,x A 为椭圆上任意三点． （Ⅰ）若0OA OB OP ++=，是否存在实数λ，使得代数式2121y y x x λ+为定值．若存在，求出实数λ和2121y y x x λ+的值；若不存在，说明理由． （Ⅱ）若0=⋅OB OA ，求三角形OAB 面积的最大值；（Ⅲ）满足（Ⅱ），且在三角形OAB 面积取得最大值的前提下，若线段PB ,PA 与椭圆长轴和短轴交于点F ,E （F ,E 不是椭圆的顶点）．判断四边形ABFE 的面积是否为定值．若是，求出定值；若不是，说明理由．解析：（Ⅰ）由于⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+141414232322222121y x y x y x ，且312312()()x x x y y y =-+⎧⎨=-+⎩； 得：2222312312222212121212()()442()1444x x x y y y x x x x y y y y ++=++=+++++=………………………2分所以2142121-=+y y x x ，即242121-=+y y x x ………………………3分 故，存在实数4λ=使得242121-=+y y x x ． （Ⅱ）当直线AB 斜率不存在时，可设为m x =；联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=1422y x mx ，得)(412m ,m B ,A -±； 由0=⋅，得04122=--)(m m ，即552±=m ，54=∆OAB S ； ………………………4分当直线AB 斜率存在时，可设为m kx y +=；联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x mkx y ，得044814222=-+++)()(m kmx x k ；14141482221221+-=+-=+k m x x ,k km x x )( ………………………6分 由0=⋅，得02121=+y y x x ，即01481414122222=++-⨯++-⨯+m k km km k m k )()()(，)(14522+=k m ……7分1414142222+-+⋅+=k m k k AB ，21km d h +==； 118169154181691541816117165421222422424≤+++=+++=++++=⨯=∆k k k k k k k k k d AB OAB S等号成立时，1614=k ，即21±=k ．所以OAB S ∆的最大值为1． …………………………………………9分 （Ⅲ）OAB S ∆取得最大值时，21±=k ，此时直线AB 与坐标轴的交点恰好分别是椭圆长轴和短轴各一个端点；不妨取)(02,A ，)(10,B ，若线段PB ,PA 与椭圆长轴和短轴交于点F ,E （F ,E 不是椭圆与坐标轴的交点）．此时点P 定在第三象限，即0<<330y ,x ； 直线PA 的方程为)(2233--=x x y y ，令0=x ，得)(22033--x y ,E …………10分 同理，得)(0133,y x F --………………………………………………11分 四边形ABEF 的面积为：333323333223333333333333333211212212(22)2(2)(1)444842(22)44882(22)2x y S AF BE y x x y x y x y x y x y x y y x y x y x y y =⨯=+⨯+--+-=--++--+=-+--+=-+=………………………………………………13分20．（理科 本小题满分13分）已知抛物线2:4C y x =，点M 与抛物线C 的焦点F 关于原点对称，过点M 且斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于不同两点B ,A ，线段AB 的中点为P ，直线PF 与抛物线C 交于两点D ,E ． （Ⅰ）判断是否存在实数k 使得四边形AEBD 为平行四边形．若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （Ⅱ）求22PMPF 的取值范围．解：（Ⅰ）设直线l 的方程为)(1+=x k y ，设)()()()(44332211y ,x D ,y ,x E ,y ,x B ,y ,x A． 联立方程组⎩⎨⎧=+=xy x k y 412)(，得0422222=+-+k x k x k )(．显然0≠k ，且0>∆，即0442422>--k k )(，得1<k 且0≠k ．得222124k k x x -=+，121=x x ………………………………………………4分122221-=+=k x x x P ，k )kk y P 21122=+-=][(． 直线PF 的方程为：)(112--=x k ky ， 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=xy x k k y 41122)(，得0141212222222222=-++-+-)())(()(k k x k k x k k ， 得21422243+=+k k x x )-(，143=x x ……………………………………6分 若四边形AEBD 为平行四边形，当且仅当222124k k x x -=+43222214x x kk +=+=)-(，即0122=-)(k k ，得10±=,k ，与1<k 且0≠k 矛盾． …………………………8分 故不存在实数k 使得四边形AEBD 为平行四边形 ………………………9分（Ⅱ）222422222222222213131122PF k k k k k k k PMk k ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭===++-++⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………11分由1<k 且0≠k ，得2112k <+<；当21k +=，22PM PF取得最小值3；当112=+k 时，22PMPF 取1；当212k +=时，22PMPF 取12；所以223,1)PF PM∈ ………………………………………13分21．（文科 本小题满分14分）已知a ∈R ，函数()ln x e af x a x x-=-（ 2.71828e =是自然对数的底数）．（Ⅰ）函数()f x 是否存在极大值，若存在，求极大值点，若不存在，说明理由；（Ⅱ）设()1ln xe g x x x=+，证明对任意0x >，()1g x >．解：（Ⅰ）由已知得，函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()2211x x xe x e a af x x e a x x x--⎡⎤'=-=--⎣⎦ ……………………1分 （1）若1a ≤，则x e a >，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，所以当1x =时，()f x 取得极小值，函数无极大值； ……………………2分（2）若1a e <<，令xe a =，得()ln 0,1x a =∈，所以()f x '和()f x 在()0,+∞上的变化情况如下表所示所以当ln x a =时，函数f x 取得极大值；………………………………4分 （3）当a e =时，()0f x '≥，所以()f x 在()0,+∞上是增函数， 此时不存在极值 …………………………………………5分 （4）当a e >时，令x e a =，得()ln 1,x a =∈+∞， 所以()f x '和()f x 在()0,+∞上的变化情况如下表所示所以当1x =时，函数f x 取得极大值； ……………………………………7分 综上所述，当1a e <<时，函数()f x 的极大值点是ln x a =； 当a e >时，函数()f x 的极大值点是1x =；当1a ≤或a e =时，函数无极大值点． ………………………8分（Ⅱ）要证()11ln x e g x x x =>+，只要证明101ln xe x x ->+成立， 即证()1ln 01ln x e x x x x-+>+成立， ………………………9分 令()1ln h x x x =+，则()1ln h x x '=+， 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0h x '<，()h x 单调递减； 当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0h x '>，()h x 单调递增； 所以()11111ln 10h x h e e e e⎛⎫≥=+=-> ⎪⎝⎭， ………………………………10分 所以只需证明()1ln 0xe x x -+>即可，变形得11ln ln 0x x e e x x x x--<⇒->，由（Ⅰ）知，当1a =时，1()ln x e f x x x -=- ……………………………12分 ()1ln x e f x x x-=-在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()110f x f e ≥=->，即()1ln 0xe x x -+>，故对任意0x >，()1g x >． ………………………………………14分 21．（理科 本小题满分14分）已知λ∈R ，函数()ln xf x e x x λ=-（ 2.71828e =是自然对数的底数）．（Ⅰ）若()10f =，证明：曲线()y f x =没有经过点2,03M ⎛⎫⎪⎝⎭的切线； （Ⅱ）若函数()f x 在其定义域上不单调，求λ的取值范围； （Ⅲ）是否存在正整数n ，当11,n n ne λ++⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，函数()f x 的图象在x 轴的上方，若存在求n 的值，若不存在，说明理由．解证：（Ⅰ）因为()10f =，所以0λ=，此时()ln f x x x =-， 证法一：设曲线()y f x =在点()00,()P x f x 处的切线经过点2,03M ⎛⎫⎪⎝⎭则曲线()y f x =在点()00,()P x f x 处的切线()000()()y f x f x x x '-=- 所以()00002ln 1ln 3x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭化简得：()0021ln 03x x -+= ………………………………2分 令()2()1ln 3h x x x =-+，则232()133x h x x x -'=-=， 所以当20,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 为减函数， 当2,3x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 为增函数， 所以222222()1ln ln 0333333h x h ⎛⎫⎛⎫≥=-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()0021ln 03x x -+=无解所以曲线()y f x =的切线都不经过点2,03M ⎛⎫⎪⎝⎭………………………………4分 证法二：设曲线()y f x =在点()00,()P x f x 处的切线经过点()(),0 0M s s > 则曲线()y f x =在点()00,()P x f x 处的切线()000()()y f x f x x x '-=- 所以()()0000ln 1ln x x x s x =---化简得：()001ln 0x s x -+= ………………………………2分 令()()1ln h x x s x =-+，则()1s x sh x x x-'=-=， 所以当()0,x s ∈时，()0h x '<，()h x 为减函数， 当(),x s ∈+∞时，()0h x '>，()h x 为增函数， 所以()()()1ln ln h x h s s s s s s ≥=-+=-，要使()h x 存在零点0x ，则须有ln 0s s -≤，所以ln 0s ≥，即1s ≥， 所以曲线()y f x =的切线都不经过点2,03M ⎛⎫⎪⎝⎭………………………………4分 （Ⅱ）函数的定义域为()0,+∞，因为()()1ln xf x e x λ'=-+， 所以()f x 在定义域上不单调，等价于()f x '有变号零点， …………………………………………5分 令()0f x '=，得1ln x x e λ+=，令()1ln xxg x e +=（0x >）． 因为()11ln xg x ex x -⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，令()11ln h x x x =--，()2110h x x x '=--<，所以()h x 是()0,+∞上的减函数，又()10h =，故1是()h x 的唯一零点，…………………………………………6分当()0,1x ∈，()0h x >，()0g x '>，()g x 递增； 当()1,x ∈+∞，()0h x <，()0g x '<，()g x 递减； 故当1x =时，()g x 取得极大值且为最大值()11g e=， 所以1e λ<，即λ的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭………………………………………8分（Ⅲ）证法一：函数()f x 的图象在x 轴的上方，即对任意0x >，()0f x >恒成立．()0f x >⇔ln 0xe x xλ->．令()ln xe F x x xλ=-（0x >），所以()()()221111xxx e F x x e x x x xλλ-'⎡⎤=-=--⎣⎦…………………………9分 （1）当1n =时，22,e λ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，即22e λ≥ ①当01x <≤时，()0F x '<，()F x 是减函数，所以()()10F x F e λ≥=>； ②当1x >时，()()()211xx x F x e x x λλ⎡⎤-'=-⎢⎥-⎣⎦，令()()1xx G x e x λ=--，则()()2101xG x e x λ'=+>-，所以()G x 是增函数， 所以当2x ≥时， ()()222220e G x G e λλλ-≥=-=≥，即()0F x '≥ 所以()F x 在[)2,+∞上是增函数，所以()()22ln 21ln 202e F x F λ≥=-≥->，当()1,2x ∈时，取()1,2m ∈，且使()21m e m λ>-，即2211e m e λλ<<-，则()()2201mmG m e e e m λ=-<-=-，因为()()20G m G <，故()G x 存在唯一零点()1,2t ∈，即()F x 有唯一的极值点且为最小值点()1,2t ∈……………………10分 所以()()min ln te F x F t t tλ==-⎡⎤⎣⎦，又()()01t t G t e t λ=-=-，即()1t te t λ=-，故()()min1ln ,1,21F x t t t =-∈⎡⎤⎣⎦-，设()1()ln ,1,21r t t t t =-∈-， 因为()211()01r t t t '=--<-，所以()r t 是()1,2上的减函数， 所以()(2)1ln 20r t r >=->，即()min0F x >⎡⎤⎣⎦所以当22,e λ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，对任意0x >，()0f x >恒成立………………12分 （2）当2n ≥时，11n n ne λ++≥，因为1312n n ne e ++<，取32eλ=，则()32ln ln xx e e F x x x x e x λ=-=-，()23212ln 2ln 202e F e e=-=-<， 所以()0f x >不恒成立，综上所述，存在正整数1n =满足要求，即当22,e λ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，函数()f x 的图象在x 轴的上方 ……………………………14分 证法二：()0f x >恒成立，等价于λ>ln ()xx xP x e=的最大值； 当(]0,1x ∈，ln ()0x x x P x e =≤，所以ln xx xeλ>恒成立………………9分 当()1,x ∈+∞时，ln ()0xx xP x e=>， ()()1ln 11ln 1()1x xxx x x P x e x e ----'==-，设1()ln 1q x x x =--，()211()01q x xx '=--<-， 所以()q x 在()1,+∞上是减函数，因为(2)1ln 20q =->，1(3)ln 302q =-<， 所以()q x 有唯一零点()2,3t ∈ ……………………………10分 当()1,x t ∈时，()0q x >，即()0P x '>，()P x 是增函数， 当(),x t ∈+∞时，()0q x <，即()0P x '<，()P x 是减函数， 所以[]()max ln ()t t t P x P t e ==，且1()ln 01q t t t =-=-，所以1ln 1t t =- 所以[]max1()(1)t ttt t P x e t e-==- ……………………………12分 设()(1)tt M t t e =-，()2,3t ∈所以()221()01t t t M t t e-+-'=<-， 所以()M t 在()2,3上是减函数，所以(3)()(2)M M t M <<， 即3232()2M t e e <<……………………………13分 因为11n n ne λ++≥使()0f x >，所以22e λ≥，只有1n =符合要求，综上所述，存在正整数1n =满足要求，即当22,e λ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，函数()f x 的图象在x 轴的上方 ……………………………14分。
山东省淄博市2017届高三3月模拟考试数学理试题 含答案
淄博市2016-2017学年度高三模拟考试试题理科数学第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}24A x x =>，{}0,1,2,3B =，则A B =（ ）.A ．∅B ．{}0C ．{}0,1D ．{}0,1,22.已知11x yi i=-+，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，则x yi +的共轭复数为（ ）. A ．2i + B ．2i - C ．12i + D ．12i -3.下列命题为真命题的是（ ）.A ．若0x y >>，则ln ln 0x y +>B ．“4πϕ=”是“函数sin(2)y x ϕ=+为偶函数”的充要条件C ．0(,0)x ∃∈-∞，使0034x x <成立D ．已知两个平面,αβ，若两条异面直线,m n 满足,m n αβ⊂⊂且//,//m n βα，则//αβ4.设随机变量ξ服从正态分布(3,4)N ，若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，则a 的值为 （ ）.A ．53B ．73C. 3D. 5 5.已知圆C ：22()(2)4(0)x a y a -+-=>，若倾斜角为45°的直线l 过抛物线的212y x =-焦点，且直线l 被圆C 截得的弦长为a 等于 （ ）.A 1B 2．1 6.下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）上使减函数的为（ ）.A ．12log y x = B ．12y x = C. 222x xy -+= D. 2lg 2x y x -=+ 7.设向量(1,2)OA =-，(,1)OB a =-，(,0)OC b =-，其中O 为坐标原点，0,0a b >>，若,,A B C 三点共线，则12a b+的最小值为（ ）. A ．4 B ．6 C.8 D ．98.已知,x y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y m y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35m ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（ ）.A ．[7,8]B ．[7,15] C.[6,8] D ．[6,15]9.已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球，现从该三棱锥顶端向锥内注水，小球（小球完全浮在水面上方），则小球的表面积等于（ ）.A ．76πB ．43π C. 23π D ．2π 10.如图所示，由直线,1(0)x a x a a ==+>，2y x =及x 轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形与大矩形的面积之间，即2221(1)a a x dx a a+<<+⎰.类比之，若对n N *∀∈，不等式111111 (122121)A n n n n n n +++<<++++++-恒成立，则实数A等于（ ）.A ．5ln 2B ．ln 2 C. 1ln 22 D ．1ln 52第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ．12.函数()(0,0,)sin()2A f x A x πωϕωϕ=>><+的部分图像如图所示，则()4f π= ．13.工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时，需要固定六个位置上的螺丝，首先随意拧紧一个螺丝，接着拧紧距离它最远的第二个螺丝，再随意拧紧第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝最远的第四个螺丝，第五个和第六个以此类推，则不同的固定方式有 种．14.已知A 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点，12,B B 分别为虚轴的两个端点，F 为右焦点，若21B F AB ⊥，则双曲线C 的离心率是 ．15.在研究函数()f x =某同学受两点间距离公式启发，将()f x 变形为()f x =()f x 以下五个描述： ①函数()f x 的图像是中心对称图形；②函数()f x 的图像是轴对称图形；③函数()f x 在[0,6]上使增函数；④函数()f x 没有最大值也没有最小值；⑤无论m 为何实数，关于x 的方程()0f x m -=都有实数根.其中描述正确的是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. 已知函数2()cos sin 1(0)f x x x x ωωωω=-+>相邻两条对称轴之间的距离为2π. （Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）已知,,a b c 分别为ABC ∆中角,,A B C 的对边，且满足()1a f A ==，求ABC ∆面积S 的最大值.17. 如图，四棱锥中,90P ABCD ABC BAD -∠=∠=︒，2BC AD =，PAB ∆与PAD ∆都是边长为2的等边三角形，E 是BC 的中点.（Ⅰ）求证：//AE 平面PCD ；（Ⅱ）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的大小.18.为弘扬传统文化，某校举行诗词大赛.经过层层选拔,最终甲乙两人进入总决赛,争夺冠军.决赛规则如下：①比赛共设有五道题；②双方轮流答题，每次回答一道，两人答题的先后顺序通过抽签决定；③若答对，自己得1分；若答错，则对方得1分；④先得3分者获胜.已知甲、乙答对每道题的概率分别为23和34，且每次答题的结果相互独立. （Ⅰ）若乙先答题，求甲3:0获胜的概率；（Ⅱ）若甲先答题，记乙所得分数为X ，求X 的分布列和数学期望EX .19. 数列{}n a 是公差为正数的等差数列，2a 和5a 是方程212270x x -+=的两实数根，{}n b 数列满足113(1)n n n n b na n a -+=--.（Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）设n T 为数列的前n 项和，求n T ，并求7n T <时n 的最大值.20. 设2()ln (21),f x x x ax a x a R =-+-∈.（Ⅰ）令()()g x f x '=，求()g x 的单调区间；（Ⅱ）当0a ≤时，直线(10)y t t =-<<与()f x 的图像有两个交点12(,),(,)A x t B x t ，且12x x <，求证：122x x +<.21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点(1,2，离心率为2，点A 为椭圆C 的右顶点，直线l 与椭圆相交于不同于点A 的两个点1122(,),(,)P x y Q x y .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当0AP AQ ∙=时，求OPQ ∆面积的最大值；（Ⅲ）若直线l 的斜率为2，求证：OPQ ∆的外接圆恒过一个异于点A 的定点.淄博市2016-2017 学年度高三模拟考试理科数学试卷答案一、选择题1-5:CBDBD 6-10:ACACB二、填空题11. 12； 12. 3； 13.48； 14. 12； 15.①③④.三、解答题16. 解：（Ⅰ）1cos 21()1sin(2)262x f x x x ωπωω-=-+=++.因为相邻两条对称轴之间的距离为2π，所以T π=，即22ππω=，所以1ω=. 所以1()sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 令3222()262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 解得22()63k x k k Z ππππ+≤≤+∈.所以()f x 的单调递减区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈.（Ⅱ）由()1f A =得1sin(2)62A π+=.因为132,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.所以5266A ππ+=,3A π=. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即2222cos3b c bc π=+-. 所以2232bc b c bc +=+>，解得3bc ≤.当且b c =仅当时等号成立.所以11sin 322ABC S bc A ∆=≤⨯=. 17. 解：（Ⅰ） 因为90ABC BAD ∠=∠=︒，2BC AD =，E 是BC 的中点.所以//AD CE ，且AD CE =，四边形ADCE 是平行四边形，所以//AE CD .AE ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD所以//AE 平面PCD .（Ⅱ）连接DE BD 、,设AE 交BD 于O ,连PO ,则四边形ABED 是正方形，所以AE BD ⊥.因为2PD PB ==,O 是BD 中点,所以PO BD ⊥.则PO ===又2,2==PA OA .所以POA ∆是直角三角形,则 AO PO ⊥；因为O AE BD = ,所以⊥PO 平面ABCD .如图建立空间坐标系， 则)0,20(),00,2(),200(，，，，B A P -，()()0,20,00,2-，，D E . 所以()()()()00,22,2,20,2,20,20,2，，，，=-=-=-=AE PD PB PA .设1111(,,)n x y z =是平面PAB 的法向量，则1111110000n PA n PB ⎧⎧∙=-=⎪⎪⇒⎨⎨∙==⎪⎪⎩⎩， 取11=x ，则111-==z y ，所以1(1,1,1)n =--.2222(,,)n x y z =是平面PCD 的法向量，2222222000000n PD n PD n DC n AE ⎧⎧⎧∙=∙==⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨∙=∙==⎪⎪⎪⎩⎩⎩. 取12=y ，则()1,1,02-=n .所以0230=∙==, 所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角是90°.18. 解：（Ⅰ）分别记“甲、乙回答正确”为事件A B 、，“甲3:0获胜”为事件C ,则2()3P A =,3()4P B =. 由事件的独立性和互斥性得: ()()()()()P C P BAB P B P A P B ==,121143424=⨯⨯=. （Ⅱ）X 的所有可能取值为. 0,1,2,3.2211(0)()349P X ==⨯=, 21222311211(1)()()3443349P X C ==⨯⨯+⨯⨯⨯=, 2211222231123(2)()()()343434P X C C ==⨯+⨯⨯⨯⨯⨯2211261()()343216+⨯⨯=, 107(3)1(0)(1)(2)216P X P X P X P X ==-=-=-==. (或212222213123113231(3)()()()()()34334344343P X C ==⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯1212222213111107()()()334434216C C +⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=.) X 的分布列为：1161107467()02=99216216216E X =⨯⨯+⨯⨯+1+3. 19. 解：（Ⅰ）由1512a a +=, 1527a a =且0d >,得153,9a a ==. 因此5123a a d -==, 11a =,因此21n a n =+. 13(21)(1)(21)41n nb n n n n n -=+---=-, 所以1413n n n b --=. （Ⅱ）由(Ⅰ)知，1413n n n b --=, 因此22137114541 (13333)n n n n n T ----=+++++, 23137114541 (333333)n n n T n n ---=+++++. 相减得212444413...33333n n nT n --=++++-, 111(1)2414533345133313n n n n T n n ---+=+∙-+=--. 因此11545223n n n T -+=-∙. 114(1)545(43)023233n n n n n n n n T T +-+++-+-=-=<∙∙, 因此1n n T T +<,即{}n T 为递增数列.(或因为14103n n n b --=<,即{}n T 为递增数列.) 又3459647,799T T =<=>, 因此7n T <时n 的最大值为3.20. 解：（Ⅰ）由()ln 22f x x ax a '=-+,可得()ln 22,(0,)g x x ax a x =-+∈+∞, 则112()2ax g x a x x-'=-=. 当0a ≤时, (0,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当0a >时，1(0,)2x a ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；1(,)2x a∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；所以，当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为(0,)+∞；当0a >时，函数()g x 单调递增区间为1(0,)2a ，单调递减区间为1(,)2a+∞. （Ⅱ）由(Ⅰ)知，(1)0f '=.当0a ≤时, ()f x '是增函数，且当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.所以()f x 在1x =处取得极小值，且min ()(1)11f x f a ==-≤-，所以1201x x <<<.221111111()(2)()(2)ln (21)f x f x f x f x x x ax a x --=--=-+-21111[(2)ln(2)(2+21)(2)]x x a x a x -------）（11111ln (2)ln(2)2(x x x x x =-----1）. 令111111()ln (2)ln(2)2(h x x x x x x =-----1），则()2111111()ln ln(2)ln (2)ln[]0h x x x x x x '=--=-=-<-1，于是1()h x 在（0,1）上单调递减，故1()(1)0h x h >=，由此得21()(2)0f x f x -->即21()(2)f x f x >-.因为1221,21x x ->>，()f x 在(1,)+∞单调递增，所以212x x >-即122x x +>.21. 解：（Ⅰ）由题意知：且222222141c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，可得：21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，设:l x m =，与2214x y +=联立得：((,P m Q m . 由于0AP AQ ∙=，得()222104m m ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，解得65m =或2m =（舍去）. 此时85PQ =，OPQ ∆的面积为2425. 当直线l 的斜率不存在时，设:l y kx m =+，与2214x y +=联立得： ()()222418410k x kmx m +++-=.由0∆>，得22410k m -+>； 且122841kmx x x k +=+，()()21224141m x x k -=*+. 由于0AP AQ ∙=，得：()()()2212121212(2)(2)(1)240x x y y k x x km x x m --+=++-+++=. 代入()*式得：22125160k m km ++=， 即65m k =-或2m k =（此时直线l 过点A ，舍去）.PQ ==点O 到直线l的距离为：d =.OPQ ∆，将65m k =-代入得： OPQ ∆的面积为24242525<. OPQ ∆面积的最大值为2425. （Ⅲ）设直线l 的方程为y kx m =+，联立方程2214x y +=得： ()221716410x mx m ++-=①.设APQ ∆的外接圆方程为：联立直线l 的方程y kx m =+的： ()225(42)0x M D E x m mE F ++++++=②. 方程①②为同解方程，所以：()22411716542m m m D E m mE F-==++++. 又由于外接圆过点()2,0A ，则24D F +=-.从而可得到关于,,D E F 的三元一次方程组：224122173201717D F D E m mE F m ⎧⎪+=-⎪⎪+=⎨⎪⎪+=-⎪⎩，解得：6241731217122017m D m E m F -⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=-⎪⎩. 代入圆的方程为：2262431212200171717m m m x y x y -+++++-=. 整理得：222412203()(24)017171717m x y x y x y +-+-++-=； 所以222412200171717240x y x y x y ⎧+-+-=⎪⎨⎪+-=⎩，解得3017817x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或20x y =⎧⎨=⎩（舍去）.APQ ∆的外接圆恒过一个异于点A 的定点308,1717⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
2017届山东省淄博市高三复习阶段性诊断考试(二模)理科数学试题及答案 精品
山东省淄博市2017届高三复习阶段性诊断考试数学（理）试题本试卷，分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分．考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第II 卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合U={a ，b ，c ，d ，e ），M={a ，d ），N={a ，c ，e ），则()U M N ð为 A ．{a,c,d,e}B ．{a ，b,d ） c ．{b,d ）D ．{d}2．己知i 是虚数单位，则32ii-+等于 A ．－1+iB ．－1－iC ．1+iD ．1－i3，“a>b 且c>d ”是“ac >bd ”成立的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某程序框图如右图所示，若输出的S= 57，则判断框内填 A ．k>4B ．k>5C ．k>6D ．k>75．设,a b是两个非零向量，则下列命题为真命题的是 A ．若a b a b +=-，则a b ⊥ B ．若a b ⊥ ，则a b a b +=-C ．若a b a b +=-，则存在实数λ，使得a b λ= D ．若存在实数λ，使得a b λ= ，则a b a b +=-6．某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图 中的四边形都是边长为2的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该 几何体的体积是 A ．203B ．6C ．4D ．437．下列函数是偶函数，且在[0，1]上单调递增的是A ．cos 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ． 212cos 2y x =-C ．2y x =-D ．sin()y x π=+8．二项式24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有A ．3项B ．4项 -C ．5项D ．6项9．3名男生3名女生站成两排照相，要求每排3人且3名男生不在同一排，则不同的站法有A ．324种B ．360种C ．648神D ．684种10．如图，己知双曲22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，124FF =，P 是双曲线右支上的 一点，F 2P 与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1 上的切点为Q ，若|PQ| =1，则双曲线的离心率是 A ．3B ．2CD第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知3(,),sin 25παπα∈=，则tan α ．12．已知等比数列{}n a ，若a 3a 4a 8=8，则a l a 2 …a 9=____． 13．若log a 4b=－1，则a+b 的最小值为 。
山东省淄博市高三第二次模拟考试——数学理数学理
山东省淄博市2017届高三第二次模拟考试数学（理）试题本试卷，分第I 卷和第Ⅱ卷两部分．共5页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数A ．B ．C ．D ．2．己知集合(){}{}()R 11,2,1,0,1,A x y g x B C A B ==+=--⋂=则A ．B ．C ．D ．3．下列四个结论中正确的个数是①若②己知变量x 和y 满足关系，若变量正相关，则x 与z 负相关③“己知直线和平面,,//,m n m n αβαβαβ⊥⊥⊥、，若则”为真命题④是直线与直线互相垂直的充要条件A ．1B ．2C ．3D ．44．己知单位向量(),2a b a a b a b ⊥+，满足，则与夹角的余弦值为A ．B ．C ．D ．5．函数()20172016f x x x =+--的最大值是A ． -1B ．1C ．4033D ． -4033 6．二项式展开式的常数项为A. B. C.80 D.167．若角终边上的点在抛物线的准线上，则A ．B ．C ．D ．8．已知函数()sin 2x xf x e π⎛⎫- ⎪⎝⎭=（e 为自然对数的底数），当[](),x y f x ππ∈-=时，的图象大致是9．已知约束条件为，若目标函数仅在交点处取得最小值，则k 的取值范围为A ．B ．C ．D ．10．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为A ．B ．7C ．D ．第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知奇函数()()()()()3,0,2,0,x a x f x f g x x ⎧-≥⎪=-⎨<⎪⎩则的值为_________． 12．过点(1，1)的直线l 与圆()()22239x y -+-=相交于A ，B 两点，当时，直线l 的方程为____________．13．若按如右图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是__________．14．甲乙两人做报数游戏，其规则是：从1开始两人轮流连续报数，每人每次最少报1个数，最多可以连续报6个（如第一个人先报“1，2”，则另一个人可以有“3”，“3，4”，…，“3，4，5，6，7，8”等六种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜.如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是___________．15．已知抛物线的一条弦AB 经过焦点F ，O 为坐标原点，D 为线段OB 的中点，延长OA 至点C ，使，过C ，D 向y 轴作垂线，垂足分别为E,G ，则的的最小值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．(本小题满分12分)已知函数()()()21cos cos 02f x x x x f x ωωωπω=-+>，与图象的对称轴相邻的的零点为.（I ）讨论函数在区间上的单调性；（II ）设的内角A,B,C的对应边分别为(),,1a b c f C =，且，若向量与向量共线，求的值.17．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A —BCD 中，90,ABC BCD CDA AC ∠=∠=∠==，E 点在平面BCD 内，EC=BD ，．(I)求证：平面BCDE ；(Ⅱ)设点G 在棱AC 上，若二面角的余弦值为，试求的值．18．(本小趑满分12分)甲乙两名同学参加定点投篮测试，已知两人投中的概率分别是，假设两人投篮结果相互没有影响，每人各次投球是否投中也没有影响.（I ）若每人投球3次（必须投完），投中2次或2次以上，记为达标，求甲达标的概率；（II ）若每人有4次投球机会，如果连续两次投中，则记为达标.达标或能断定不达标，则终止投篮.记乙本次测试投球的次数为X ，求X 的分布列和数学期望EX.19．(本小题满分12分)己知等比数列的前n 项和为，()11131=242n n n a S S a n N n *--=++∈≥，且，数列满足：()113731*24n n b b b n n N n -=--=+∈≥，且且． (I)求数列的通项公式；(II)求证：数列为等比数列；(III)设的前n 项和的最小值．20．(本小题满分1 3分)己知a ∈R ，函数()()()1,ln 1xf x ae xg x x x =--=-+（e=2.718 28…是自然对数的底数)． （I ）讨论函数极值点的个数；（II ）若，且命题“[)()()0,,x f x kg x ∀∈+∞≥”是假命题，求实数k 的取值范围．21．(本小题满分14分)己知椭圆是坐标原点，点P 是椭圆C 上任意一点，且点M 满足 (，是常数)．当点P 在椭圆C 上运动时，点M 形成的曲线为．(I)求曲线的轨迹方程；(II)过曲线上点M做椭圆C的两条切线MA和MB，切点分别为A，B．①若切点A的坐标为，求切线MA的方程；②当点M运动时，是否存在定圆恒与直线AB相切？若存在，求圆的方程；若不存在，请说明理由.。
山东省淄博市2017届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题-Word版含答案
部分学校高三阶段性诊断考试试题理科数学本试卷，分第I 卷和第Ⅱ卷两部分．共5页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数2=i i-- A ．12i - B ．12i + C ．12i -- D ．12i -+2．己知集合(){}{}()R 11,2,1,0,1,A x y g x B C A B ==+=--⋂=则A ．{}21--，B ．{}2-C ．{}101-，，D ．{}01，3．下列四个结论中正确的个数是①若22am bm a b <<，则②己知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，若变量y z 与正相关，则x 与z 负相关 ③“己知直线,m n 和平面,,//,m n m n αβαβαβ⊥⊥⊥、，若则”为真命题 ④3m =是直线()320m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直的充要条件A ．1B ．2C ．3D ．44．己知单位向量(),2a b a a b a b ⊥+ ，满足，则与夹角的余弦值为 AB．C ．12 D ．12- 5．函数()20172016f x x x =+--的最大值是A ． -1B ．1C ．4033D ． -4033 6．二项式52x ⎛- ⎝展开式的常数项为 A. 80- B. 16- C.80 D.167．若角θ终边上的点()A a 在抛物线214y x =-的准线上，则cos 2θ= A ．12 B．2 C ．12- D．2-8．已知函数()sin 2x xf x e π⎛⎫- ⎪⎝⎭=（e 为自然对数的底数），当[](),x y f x ππ∈-=时，的图象大致是9．已知约束条件为26020x y x y --≤⎧⎨-+≥⎩，若目标函数z kx y =+仅在交点()8,10处取得最小值，则k 的取值范围为A ．()2,1--B ．()(),21,-∞-⋃-+∞C ．(),2-∞-D ．()1,-+∞10．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为A ．203B ．7C ．223D ．233第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知奇函数()()()()()3,0,2,0,x a x f x f g x x ⎧-≥⎪=-⎨<⎪⎩则的值为_________． 12．过点(1，1)的直线l 与圆()()22239x y -+-=相交于A ，B 两点，当4AB =时，直线l 的方程为____________．13．若按如右图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是__________．14．甲乙两人做报数游戏，其规则是：从1开始两人轮流连续报数，每人每次最少报1个数，最多可以连续报6个（如第一个人先报“1，2”，则另一个人可以有“3”，“3，4”，…，“3，4，5，6，7，8”等六种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜.如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是___________．15．已知抛物线28y x =的一条弦AB 经过焦点F ，O 为坐标原点，D 为线段OB 的中点，延长OA 至点C ，使()OA AC =，过C ，D 向y 轴作垂线，垂足分别为E,G ，则EG 的的最小值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．(本小题满分12分)已知函数()()()21cos cos 02f x x x x f x ωωωπω=-+>，与图象的对称轴3x π=相邻的()f x 的零点为12x π=.（I ）讨论函数()f x 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性；（II ）设ABC ∆的内角A,B,C 的对应边分别为(),,1a b cf C =，且，若向量()1,s i n m A = 与向量()2,sin n B = 共线，求,a b 的值.17．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A —BCD 中，90,63A B C B C D C A AC ∠=∠=∠= ,6BC CD ==，E 点在平面BCD 内，EC=BD ，EC BD ⊥．(I)求证：AE ⊥平面BCDE ；(Ⅱ)设点G 在棱AC 上，若二面角C EG D --的余弦值为CG GA 的值．18．(本小趑满分12分) 甲乙两名同学参加定点投篮测试，已知两人投中的概率分别是1223和，假设两人投篮结果相互没有影响，每人各次投球是否投中也没有影响.（I ）若每人投球3次（必须投完），投中2次或2次以上，记为达标，求甲达标的概率； （II ）若每人有4次投球机会，如果连续两次投中，则记为达标.达标或能断定不达标，则终止投篮.记乙本次测试投球的次数为X ，求X 的分布列和数学期望EX.19．(本小题满分12分)己知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，()11131=242n n n a S S a n N n *--=++∈≥，且，数列{}n b 满足：()113731*24n n b b b n n N n -=--=+∈≥，且且． (I)求数列{}n a 的通项公式；(II)求证：数列{}n n b a -为等比数列；(III)设{}n b 的前n 项和的最小值．20．(本小题满分1 3分)己知a ∈R ，函数()()()1,ln 1x f x ae x g x x x =--=-+（e=2.718 28…是自然对数的底数)． （I ）讨论函数()f x 极值点的个数；（II ）若1a =，且命题“[)()()0,,x f x kg x ∀∈+∞≥”是假命题，求实数k 的取值范围．21．(本小题满分14分) 己知椭圆22:14x C y O +=，点是坐标原点，点P 是椭圆C 上任意一点，且点M 满足2M P M Px x y y λλ=⎧⎨=⎩(1λ>，λ是常数)．当点P 在椭圆C 上运动时，点M 形成的曲线为C λ． (I)求曲线C λ的轨迹方程；(II)过曲线C λ上点M 做椭圆C 的两条切线MA 和MB ，切点分别为A ，B ．①若切点A 的坐标为()11,x y ，求切线MA 的方程；②当点M 运动时，是否存在定圆恒与直线AB 相切？若存在，求圆的方程；若不存在，请说明理由.。
2017年山东省淄博市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
B．[7，15]
9． （5 分）已知一个平放的各棱长均为 4 的三棱锥内有一个小球，现从该三棱 锥顶端向锥内注水， 小球慢慢上浮． 当注入的水的体积是该三棱锥体积的 时， 小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切（小球完全浮在水面上方） ，则小球的表 面积等于（ A． ） B． C． D．
10． （5 分）如图所示，由直线 x＝a，x＝a+1（a＞0） ，y＝x2 及 x 轴围成的曲边 梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间， 即 a2＜
5． （5 分）已知圆 C： （x﹣a）2+（y﹣2）2＝4（a＞0） ，若倾斜角为 45°的直线 l 过抛物线 y2＝﹣12x 的焦点，且直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 （ A． ） +1 B． C．2± D． ﹣1 ） ，则 a 等于
6． （5 分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）上是减函数的为（ A．y＝log C．y＝ 7． （5 分）设向量 ＝（1，﹣2） ， |x| B．y＝x D．y＝lg ＝（a，﹣1） ，
⑤无论 m 为何实数，关于 x 的方程 f（x）﹣m＝0 都有实数根． 其中描述正确的是 ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分． 16． （12 分）已知函数 f（x）＝ 称轴之间的距离为 ． sinωx cosωx﹣sin2ωx+1（ω＞0）相邻两条对
（Ⅰ）求 ω 的值及函数 f（x）的单调递减区间； （Ⅱ）已知 a，b，c 分别为△ABC 中角 A，B，C 的对边，且满足 a＝ ＝1，求△ABC 面积 S 的最大值． 17． （12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD， △PAB 与△PAD 都是边长为 2 的等边三角形，E 是 BC 的中点． （Ⅰ）证明：平面 AE∥平面 PCD； （Ⅱ）求 PAB 与平面 PCD 所成二面角的大小． ，f（A）
山东省淄博市部分学校高三第二次模拟考试数学(理)试题
山东省淄博市部分学校高三第二次模拟考试理科数学本试卷，分第I 卷和第Ⅱ卷两部分．共6页，满分150分．考试用时120分钟． 考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回．第I 卷(60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．己知{}{}()=12,3R M x x N x x C M N -≤≤=≤⋂=，则( )A ．[]2,3B ．(]2,3C ．(][],123-∞-⋃，D ．()(]12,3-∞-⋃，2．若复数1iz i=-(i 为虚数单位)，则z =( )A ．1B ．12 C ．2D ．2 3．公差为2的等差数列{}n a ，前5项和为25，则10a =( )A ．21B ．19C ．17D ．154．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n 值为( )(已知：sin150.2588,sin7.50.1305,3 1.414≈≈≈≈)A ．12B ．20C ．24D ．485．某几何体的主(正)视图与俯视图如图所示，左(侧)视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( )A ．203 B ．43C ．6D ．4 6．己知函数()()log 1201a y x a a =-+>≠且恒过定点A ．若直线2mx ny +=过点A ，其中,m n 是正实数，则12m n+的最小值是( )A ．3B ．3+C ．92 D ．57．将函数()()2sin 08f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像向左平移8πω个单位，得到函数()y g x =的图像，若()04y g x π⎡⎤=⎢⎥⎣⎦在，上为增函数，则ω的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．己知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足258,2,3a a a 成等差数列，则363S S =( )A ．9342或 B ．13312或 C ．94 D ．133122或 9．双曲线()22221,0y x C a b a b-=>：的上焦点为F ，存在直线x t =与双曲线C 交于A ，B 两点，使得ABF∆为等腰直角三角形，则该双曲线离心率e=( )AB ．2 C1 D1 10．函数()2cos 22f x x x ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦在，上的图象大致是( )11．棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -，动点P 在其表面上运动，且与点AP 的集合是一条曲线，则这条曲线的长度是( )ABCD12．若存在两个正实数x ，y 使得等式()()22ln ln 0x a y ex y x +--=成立(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的取值范围是( )A ．(),0-∞B ．20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．()2,0,e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．从标有1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到偶数的条件下，第二次抽到奇数的概率为____________．14．向量,a b 满足()1,3,1,3,a b a b a b ==+=则与的夹角为____________．15．甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借A ，B ，C ，D 四类课外书(每类课外书均有若干本)，己知每人均只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅A 类课外书，则不同的借阅方案种类为____________．(用数字作答)16．椭圆2213620x y +=的左、右焦点分别为1212,F F AB F ABF ∆，弦过，若的内切圆周长为2π，A ，B 两点的坐标分别为()()1122,,x y x y 和，则21y y -=___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：60分． 17．(本题满分12分)，在23ABC BAC π∆∠=中，，D 为边BC 上一点，DA AB AD ⊥=，且．(I)若2AC =，求BD ； (II)求DA DADB DC+的取值范围．18．(本题满分12分)如图，在三棱柱11111112,ABC A BC CA CB CC ACC CC B -===∠=∠中，，直线AC 与直线1BB 所成的角为60°．(I)求证：11AB CC ⊥；(II)若11AB M AB 是上的点，当平面1MCC 与平面1ABC 所成二面角的余弦值为15时，求1AM MB 的值．19．(本题满分12分)有一片产量很大的芒果种植园，在临近成熟时随机摘下100个芒果，其质量频数分布表如下(单位：克)：(I)(i)由种植经验认为，种植园内的芒果质量Z 服从正态分布()2N μσ，，其中μ近似为样本平均数2x σ，近似为样本方差S 2≈65.72．请估算该种植园内芒果质量在(191.8，323.2)内的百分比；(ii)某顾客从该种植园随机购买100个芒果，记X 表示这100个芒果质量在区间(191.8，323.2)内的个数，利用上述结果，求E(X)．(II)以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商收购芒果10000个，并提出如下两种收购方案：A ：所有芒果以每千克10元的价格收购；B ：对质量低于150克的芒果以每个0.5元的价格收购，质量不低于150克但低于300克的以每个2元的价格收购，高于或等于300克的以每个5元的价格收购．请你用学过的相关知识帮助种植园主选择哪种方案才能获利更多?附：Z 服从()()2=0.6826N P Z μσμσμσ-<<+，，则，()22P Z μσμσ-<<+0.9544=．20．(本题满分12分)已知抛物线()220C y px p =>：，其内接90.ABC A ∆∠=∆中当ABC 最短边所在直线方程为12y x BC ==时， (I)求抛物线C 的方程；(II)当点A 的纵坐标为常数()00t t R ∈时，判断BC 所在直线是否过定点?过定点求出定点坐标；不过定点，说明理由．21．(本题满分12分)己知函数()310.71828xf x x e e =-+=⋅⋅⋅，其中，是自然对数的底数．(I)设曲线()y f x =与x 轴正半轴相交于点()0,0P x ，曲线在点P 处的切线为l ，求证：曲线()y f x =上的点都不在直线l 的上方；(II)若关于x 的方程()f x m =(m 为正实数)有两个不等实根()1212,x x x x <，求证：21324x x m -<-.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本题满分10分)[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的普通方程为221128x y +=．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 1σρθ=+． (I)求曲线1C ，2C 的参数方程；(II)若点M ，N 分别在曲线1C ，2C 上，求MN 的最小值．23．(本题满分10分)[选修4-5：不等式选讲] 已知,,a b c 为正数，函数()13f x x x =++-． (I)求不等式()6f x ≤的解集：(II)若()f x 的最小值为m ，且a b c m ++=，求证：222163a b c ++≥．。
【高考模拟】山东省淄博市2017年高考数学二模试卷(理科)含答案解析
2017年山东省淄博市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数=（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i2．已知集合A={x|y=lg（x+1）}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则（∁R A）∩B=（）A．{﹣2，﹣1} B．{﹣2} C．{﹣1，0，1} D．{0，1}3．下列四个结论中正确的个数是（）①若am2＜bm2，则a＜b②己知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，若变量y与z正相关，则x与z负相关③“己知直线m，n和平面α、β，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β”为真命题④m=3是直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0互相垂直的充要条件．A．1 B．2 C．3 D．44．已知单位向量，，满足，则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．5．函数f（x）=|x+2017|﹣|x﹣2016|的最大值为（）A．﹣1 B．1 C．4033 D．﹣40336．二项式展开式的常数项为（）A．﹣80 B．﹣16 C．80 D．167．若角θ终边上的点在抛物线的准线上，则cos2θ=（）A．B．C．D．8．已知函数（e为自然对数的底数），当x∈时，y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．9．已知约束条件为，若目标函数z=kx+y仅在交点（8，10）处取得最小值，则k的取值范围为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣1，+∞）10．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．7 C．D．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．已知奇函数f（x）=，则f（﹣2）的值为．12．过点（1，1）的直线l与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9相交于A，B两点，当|AB|=4时，直线l的方程为．13．若按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是．14．甲乙两人做报数游戏，其规则是：从1开始两人轮流连续报数，每人每次最少报1个数，最多可以连续报6个（如，第一个人先报“1，2”，则另一个人可以有“3”，“3，4”， (3)4，5，6，7，8”等六种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜．如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是．15．已知抛物线y2=8x的一条弦AB经过焦点F，O为坐标原点，D为线段OB的中点，延长OA至点C，使|OA|=|AC|，过C，D向y轴作垂线，垂足分别为E，G，则|EG|的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx+（ω＞0），与f（x）图象的对称轴x=相邻的f（x）的零点为x=．（Ⅰ）讨论函数f（x）在区间上的单调性；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=1，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．17．如图，在三棱锥A﹣BCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=6，BC=CD=6，E点在平面BCD内，EC=BD，EC⊥BD．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCDE；（Ⅱ）设点G在棱AC上，若二面角C﹣EG﹣D的余弦值为，试求的值．18．甲乙两名同学参加定点投篮测试，已知两人投中的概率分别是和，假设两人投篮结果相互没有影响，每人各次投球是否投中也没有影响．（Ⅰ）若每人投球3次（必须投完），投中2次或2次以上，记为达标，求甲达标的概率；（Ⅱ）若每人有4次投球机会，如果连续两次投中，则记为达标．达标或能断定不达标，则终止投篮．记乙本次测试投球的次数为X，求X的分布列和数学期望EX．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=，S n=S n﹣1+a n﹣1+（n∈N*且n≥2），数列{b n}满足：b1=﹣，且3b n﹣b n﹣1=n+1（n∈N*且n≥2）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：数列{b n﹣a n}为等比数列；（Ⅲ）求数列{b n}的前n项和的最小值．20．已知a∈R，函数f（x）=ae x﹣x﹣1，g（x）=x﹣ln（x+1）（e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数；（Ⅱ）若a=1，且命题“∀x∈时，y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】利用函数的奇偶性以及函数的特殊值判断即可．【解答】解：函数=，f（﹣x）=﹣=﹣f（x），函数是奇函数，排除选项A，C，当x=π时，f（π）=＞1，排除B，故选：D．9．已知约束条件为，若目标函数z=kx+y仅在交点（8，10）处取得最小值，则k的取值范围为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣1，+∞）【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，结合目标函数z=kx+y 仅在交点（8，10）处取得最小值即可求得k的取值范围．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（8，10），化目标函数z=kx+y为y=﹣kx+z，∵目标函数z=kx+y仅在交点（8，10）处取得最小值，∴﹣k＞2，则k＜﹣2．∴k的取值范围为（﹣∞，﹣2）．故选：C．10．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．7 C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，由已知三视图可知：该几何体为正方体去掉两个倒立的三棱锥．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，由已知三视图可知：该几何体为正方体去掉两个倒立的三棱锥．∴该多面体的体积V=23﹣﹣=7．故选：B．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．已知奇函数f（x）=，则f（﹣2）的值为﹣8 ．【考点】3T：函数的值．【分析】由f（x）为R上的奇函数可得f（0）=0，从而可得a值，设x＜0，则﹣x＞0，由f（﹣x）=﹣f（x）得3﹣x﹣1=﹣f（x），由此可得f（x），即g（x），即可求得f（﹣2）．【解答】解：因为奇函数f（x）的定义域为R，所以f（0）=0，即30﹣a=0，解得a=1，设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）=﹣f（x），即3﹣x﹣1=﹣f（x），所以f（x）=﹣3﹣x+1，即g（x）=﹣3﹣x+1，所以f（﹣2）=g（﹣2）=﹣32+1=﹣8．故答案为：﹣8．12．过点（1，1）的直线l与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9相交于A，B两点，当|AB|=4时，直线l的方程为x+2y﹣3=0 ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x=1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，圆心到直线kx﹣y﹣k+1=0的距离d==，解得k=﹣，由此能求出直线l的方程．【解答】解：直线l：经过点（1，1）与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9相交于A，B两点，|AB|=4，则圆心到直线的距离为，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x=1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x﹣1）+1，即kx﹣y﹣k+1=0圆心到直线kx﹣y﹣k+1=0的距离d==，解得k=﹣，∴直线l的方程为x+2y﹣3=0．故答案为：x+2y﹣3=0．13．若按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是 6 ．【考点】EF：程序框图．【分析】由图知每次进入循环体，S的值被施加的运算是乘以2加上1，由此运算规律进行计算，经过5次运算后输出的结果是63，故M=6．【解答】解：由图知运算规则是对S=2S+1，执行程序框图，可得A=1，S=1满足条件A＜M，第1次进入循环体S=2×1+1=3，满足条件A＜M，第2次进入循环体S=2×3+1=7，满足条件A＜M，第3次进入循环体S=2×7+1=15，满足条件A＜M，第4次进入循环体S=2×15+1=31，满足条件A＜M，第5次进入循环体S=2×31+1=63，由于A的初值为1，每进入1次循环体其值增大1，第5次进入循环体后A=5；所以判断框中的整数M的值应为6，这样可保证循环体只能运行5次．故答案为：6．14．甲乙两人做报数游戏，其规则是：从1开始两人轮流连续报数，每人每次最少报1个数，最多可以连续报6个（如，第一个人先报“1，2”，则另一个人可以有“3”，“3，4”， (3)4，5，6，7，8”等六种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜．如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是1，2 ．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】由条件每人一次最少要报一个数，最多可以连续报7个数，可知除去先开始的个数，使得后来两人之和为8的倍数即可．【解答】解：∵至少拿1个，至多拿6个，∴两人每轮总和完全可控制的只有7个，∴把零头去掉后，剩下的就是7的倍数了，这样无论对手怎么拿，都可以保证每一轮（每人拿一次后）都是拿走7个，即先取2个，以后每次如果乙报a，甲报7﹣a即可，保证每一轮两人报的和为7即可，最终只能甲抢到100．故先开始甲应取2个．故答案为：1，2．15．已知抛物线y2=8x的一条弦AB经过焦点F，O为坐标原点，D为线段OB的中点，延长OA至点C，使|OA|=|AC|，过C，D向y轴作垂线，垂足分别为E，G，则|EG|的最小值为4．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】设直线AB的方程为x=my+1，代入抛物线y2=8x，可得y2﹣8my﹣8=0，|EG|=y2﹣2y1=y2+，利用基本不等式即可得出结论．【解答】解：设直线AB的方程为x=my+1，代入抛物线y2=8x，可得y2﹣8my﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8m，y1y2=﹣8，∴|EG|=y2﹣2y1=y2+≥4，当且仅当y2=4时，取等号，即|EG|的最小值为4，故答案为：4．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx+（ω＞0），与f（x）图象的对称轴x=相邻的f（x）的零点为x=．（Ⅰ）讨论函数f（x）在区间上的单调性；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=1，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）先确定函数的解析式，再讨论函数f（x）在区间上的单调性；（Ⅱ）求出C，利用与向量共线，所以sinB=2sinA，由正弦定理得，b=2a①，由余弦定理得，c2=a2+b2，即a2+b2﹣ab②，即可求a，b的值．【解答】解：（Ⅰ）==由与f（x）图象的对称轴相邻的零点为，得，所以ω=1，即令，函数y=sinz单调增区间是，k∈Z，由，得，k∈Z，设，，易知，所以当时，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减．（Ⅱ），则，因为0＜C＜π，所以，从而，解得．因为与向量共线，所以sinB=2sinA，由正弦定理得，b=2a①由余弦定理得，c2=a2+b2，即a2+b2﹣ab②由①②解得a=1，b=217．如图，在三棱锥A﹣BCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=6，BC=CD=6，E点在平面BCD内，EC=BD，EC⊥BD．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCDE；（Ⅱ）设点G在棱AC上，若二面角C﹣EG﹣D的余弦值为，试求的值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接BE，设BD交CE于O，只需证明CD⊥AE，BC⊥AE，BC∩CD=C，即可得所以AE⊥平面BCDE（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明过程知BCDE为正方形，如图建立坐标系，则：E（0，0，0），D（0，6，0），A（0，0，6），B（6，0，0），C（6，6，0）设（t＞0），G（x，y，z）由可得，则，易知平面CEG的一个法向量为，求出平面DEG的一个法向量为．利用向量的夹角公式求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接BE，设BD交CE于O，因为△BCD是等腰直角三角形CO⊥BD，所以，又EC=BD，所以O是BD和CE的中点已知EC⊥BD，所以四边形BCDE是正方形则CD⊥ED，又CD⊥AD，AD∩CD=D所以CD⊥平面ADE，CD⊥AE同理BC⊥AE，BC∩CD=C所以AE⊥平面BCDE；（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明过程知BCDE为正方形，如图建立坐标系，则：E（0，0，0），D（0，6，0），A（0，0，6），B（6，0，0），C（6，6，0）设（t＞0），G（x，y，z）由可得则，易知平面CEG的一个法向量为设平面DEG的一个法向量为则得令x0=1得，所以，解得t=2，所以．18．甲乙两名同学参加定点投篮测试，已知两人投中的概率分别是和，假设两人投篮结果相互没有影响，每人各次投球是否投中也没有影响．（Ⅰ）若每人投球3次（必须投完），投中2次或2次以上，记为达标，求甲达标的概率；（Ⅱ）若每人有4次投球机会，如果连续两次投中，则记为达标．达标或能断定不达标，则终止投篮．记乙本次测试投球的次数为X，求X的分布列和数学期望EX．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）记“甲达标”为事件A，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式，能求出甲达标的概率．（Ⅱ）X的所有可能取值为2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）记“甲达标”为事件A，则×；（Ⅱ）X的所有可能取值为2，3，4．，××，，所以X的分布列为：．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=，S n=S n﹣1+a n﹣1+（n∈N*且n≥2），数列{b n}满足：b1=﹣，且3b n﹣b n﹣1=n+1（n∈N*且n≥2）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：数列{b n﹣a n}为等比数列；（Ⅲ）求数列{b n}的前n项和的最小值．【考点】8E：数列的求和；88：等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）由a n=S n﹣S n﹣1，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；（Ⅱ）求得b n，及b n﹣a n，b n﹣1﹣a n﹣1，再由等比数列的定义，即可得证；（Ⅲ）运用等比数列的通项公式，求得b n，判断b n﹣b n﹣1的符号，可得{b n}是递增数列，求出b1，b2，b3，即可得到所求和的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由得即（n≥2且n∈N*），则数列{a n}为以为公差的等差数列，因此=；（Ⅱ）证明：因为3b n﹣b n﹣1=n+1（n≥2）所以（n≥2），（n≥2），b n﹣1﹣a n﹣1=b n﹣1﹣=（n≥2），所以（n≥2），因为b1﹣a1=﹣10≠0，所以数列{b n﹣a n}是以﹣10为首项，为公比的等比数列．（Ⅲ）由（Ⅱ）得，所以=，=（n ≥2）所以{b n}是递增数列．因为当n=1时，，当n=2时，，当n=3时，，所以数列{b n}从第3项起的各项均大于0，故数列{b n}的前2项之和最小．记数列{b n}的前n项和为T n，则．20．已知a∈R，函数f（x）=ae x﹣x﹣1，g（x）=x﹣ln（x+1）（e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数；（Ⅱ）若a=1，且命题“∀x∈[0，+∞），f（x）≥kg（x）”是假命题，求实数k的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）对函数f（x）求导，再根据导数和函数极值的关系分类即可得到极值点的个数，（Ⅱ）命题“∀x∈[0，+∞），f（x）≥kg（x）”是假命题，转化为不等式f（x）＜kg（x）在区间[0，+∞）内有解，再构造函数F（x）=f（x）﹣kg（x）e x+kln（x+1）﹣（k+1）x ﹣1，利用导数和函数的单调性关系以及函数零点存在定理判断即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=ae x﹣x﹣1，所以f'（x）=ae x﹣1，当a≤0时，对∀x∈R，f'（x）=ae x﹣1＜0，所以f（x）在（﹣∞，+∞）是减函数，此时函数不存在极值，所以函数f（x）没有极值点；当a＞0时，f'（x）=ae x﹣1，令f'（x）=0，解得x=﹣lna，若x∈（﹣∞，﹣lna），则f'（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，﹣lna）上是减函数，若x∈（﹣lna，+∞），则f'（x）＞0，所以f（x）在（﹣lna，+∞）上是增函数，当x=﹣lna时，f（x）取得极小值为f（﹣lna）=lna，函数f（x）有且仅有一个极小值点x=﹣lna，所以当a≤0时，f（x）没有极值点，当a＞0时，f（x）有一个极小值点．（Ⅱ）命题“∀x∈[0，+∞），f（x）≥kg（x）”是假命题，则“∃x∈[0，+∞），f（x）＜kg（x）”是真命题，即不等式f（x）＜kg（x）在区间[0，+∞）内有解．若a=1，则设F（x）=f（x）﹣kg（x）=e x+kln（x+1）﹣（k+1）x﹣1，所以﹣（k+1），设﹣（k+1），则，且h'（x）是增函数，所以h'（x）≥h'（0）=1﹣k当k≤1时，h'（x）≥0，所以h（x）在[0，+∞）上是增函数，h（x）≥h（0）=0，即F'（x）≥0，所以F（x）在[0，+∞）上是增函数，所以F（x）≥F（0）=0，即f（x）≥kg（x）在x∈[0，+∞）上恒成立．当k＞1时，因为在[0，+∞）是增函数，因为h'（0）=1﹣k＜0，h'（k﹣1）=，所以h'（x）在（0，k﹣1）上存在唯一零点x0，当x∈[0，x0）时，h'（x）＜h'（x0）=0，h（x）在[0，x0）上单调递减，从而h（x）≤h（0）=0，即F'（x）≤0，所以F（x）在[0，x0）上单调递减，所以当x∈（0，x0）时，F（x）＜F（0）=0，即f（x）＜kg（x）．所以不等式f（x）＜kg（x）在区间[0，+∞）内有解综上所述，实数k的取值范围为（1，+∞）．21．已知椭圆C：，点P是椭圆C上任意一点，且点M满足（λ＞1，λ是常数）．当点P在椭圆C上运动时，点M形成的曲线为Cλ．（Ⅰ）求曲线Cλ的轨迹方程；（Ⅱ）过曲线Cλ上点M做椭圆C的两条切线MA和MB，切点分别为A，B．①若切点A的坐标为（x1，y1），求切线MA的方程；②当点M运动时，是否存在定圆恒与直线AB相切？若存在，求圆的方程；若不存在，请说明理由．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），对应的点P的坐标为．由于点P在椭圆C上，得，即得曲线Cλ的轨迹方程．（Ⅱ）①当过点A切线的斜率存在时，设该切线的方程为y﹣y1=k（x﹣x1），联立方程组，由△=0，得，得；得过点A的切线方程为过点A切线的斜率不存在时，符合方程．②存在定圆恒与直线AB相切；可得A，B两点坐标都满足方程，且点M的坐标为（m，n）满足曲线Cλ的方程：，即原定O到直线AB的距离为，即直线AB始终与圆相切．【解答】解：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），对应的点P的坐标为．由于点P在椭圆C上，得，即曲线Cλ的轨迹是椭圆，标准方程为（Ⅱ）①当过点A切线的斜率存在时，设该切线的方程为y﹣y1=k（x﹣x1），即y=kx+（y1﹣kx1）联立方程组，即．由△=0，得，即，，，得；此时过点A的切线方程为过点A切线的斜率不存在时，切点为（±2，0），方程为x=±2，符合方程形式．②存在定圆恒与直线AB相切；设切点B（x2，y2），与A，B两点对应的点M的坐标设为（m，n）；同理过点B的切线方程为同时两条切线MA和MB都过点M（m，n），所以．即A，B两点坐标都满足方程，且点M的坐标为（m，n）满足曲线Cλ的方程：，即原定O到直线AB的距离为，所以直线AB始终与圆相切．2017年5月23日。
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部分学校高三阶段性诊断考试试题
理科数学
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数（）
A. B. C. D.
2. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
3. 下列四个结论中正确的个数是（）
①若，则
②已知变量和满足关系，若变量与正相关，则与负相关
③“已知直线，和平面、，若，，，则”为真命题
④是直线与直线互相垂直的充要条件
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 已知单位向量，，满足，则与夹角的余弦值为（）
A. B. C. D.
5. 函数的最大值为（）
A. B. 1 C. 4033 D.
6. 二项式展开式的常数项为（）
A. B. C. 80 D. 16
7. 若角终边上的点在抛物线的准线上，则（）
A. B. C. D.
8. 已知函数（为自然对数的底数），当时，的图象大致是（）
A. B. C. D.
9. 已知约束条件为，若目标函数仅在交点处取得最小值，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
10. 如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（）
A. B. 7 C. D.
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11. 已知奇函数则的值为__________．
12. 过点的直线与圆相交于，两点，当时，直线的方程为
__________．
13. 若按如下图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数的值是__________．
14. 甲乙两人做报数游戏，其规则是：从1开始两人轮流连续报数，每人每次最少报1个数，最多可以连续报6个（如，第一个人先报“1,2”，则另一个人可以有“3”，“3,4”，…“3,4,5,6,7,8”等六种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜.如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是__________．15. 已知抛物线的一条弦经过焦点，为坐标原点，为线段的中点，延长至点，使
，过，向轴作垂线，垂足分别为，，则的最小值为__________．
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16. 已知函数（），与图象的对称轴相邻的的零点为.
（Ⅰ）讨论函数在区间上的单调性；
（Ⅱ）设的内角，，的对应边分别为，，，且，，若向量与向量共线，求，的值.
17. 如图，在三棱锥中，，，，点在平面内，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）设点在棱上，若二面角的余弦值为，试求的值.
18. 甲乙两名同学参加定点投篮测试，已知两人投中的概率分别是和，假设两人投篮结果相互没有影响，每人各次投球是否投中也没有影响.
（Ⅰ）若每人投球3次（必须投完），投中2次或2次以上，记为达标，求甲达标的概率；
（Ⅱ）若每人有4次投球机会，如果连续两次投中，则记为达标.达标或能断定不达标，则终止投篮.记乙本次测试投球的次数为，求的分布列和数学期望.
19. 已知数列的前项和为，，（且），数列满足：
，且（且）.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列为等比数列；
（Ⅲ）求数列的前项和的最小值.
20. 已知，函数，（是自然对数的底数）. （Ⅰ）讨论函数极值点的个数；
（Ⅱ）若，且命题“，”是假命题，求实数的取值范围.
21. 已知椭圆：，点是椭圆上任意一点，且点满足（，是常数）.
当点在椭圆上运动时，点形成的曲线为.
（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；...
（Ⅱ）过曲线上点做椭圆的两条切线和，切点分别为，.
①若切点的坐标为，求切线的方程；
②当点运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在，求圆的方程；若不存在，请说明理由.。