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北京市东城区高考数学一模试卷(理科)
高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|2x2+x＞0}，B={x|2x+1＞0}，则A∩B=（）A. B. C. {x|x＞0} D. R2.在复平⾯面内，若复数（2-i）z对应的点在第⼆象限，则z可以为（）A. 2B. -1C. iD. 2+i3.在平面直角坐标系XOY中，角α以OX为始边，终边经过点P（-1，m）（m≠0），则下列各式的值一定为负的是（）A. sinα+cosαB. sinα-cosαC. sinαcosαD.4.正方体被一个平面截去⼀一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 平行四边形D. 梯形5.若x，y满足，则|x-y|的最大值为（）A. 0B. 1C. 2D. 46.已知直线l过抛物线y2=8x的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点C．若点F是的AC中点，则线段BC的长为（）A. B. 3 C. D. 67.南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平⾯面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S1，S2，则“V1，V2相等”是“S1，S2总相等”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知数列{a n}满足：a1=a，，则下列关于{a n}的判断正确的是（）A. ∀a＞0，∃n≥2，使得B. ∃a＞0，∃n≥2，使得a n＜a n+1C. ∀a＞0，∃m∈N*，总有a m＜a nD. ∃a＞0，∃m∈N*，总有a m+n=a n二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.在的展开式中，x2的系数是______．（用数字作答）10.在△ABC中，若b cos C+c sin B=0，则∠C=______．11.若曲线（θ为参数）关于直线（t为参数）对称，则a=；此时原点O到曲线C上点的距离的最大值为______．12.已知向量=，向量为单位向量，且•=1，则2-与2夹角为______．13.已知函数f（x）=4x-x3，若∀x1，x2∈[a，b]，x1≠x2都有2f（x1+x2）＞f（2x1）+f（2x2）成立，则满足条件的一个区间是______．14.设A，B是R中两个子集，对于x∈R，定义：①若A⊆B．则对任意x∈R，m（1-n）=______；②若对任意x∈R，m+n=1，则A，B的关系为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数，且．（Ⅰ）求a的值及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[0，m]上单调递增，求m的最大值．16.改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（%）．（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）17.如图，在棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中，点C在平面A1ABB1内的射影O为AB1与A1B的交点，E，F分别为BC，A1C1的中点．（Ⅰ）求证：四边形A1ABB1为正方形；（Ⅱ）求直线EF与平面A1ACC1所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段AB1上存在一点D，使得直线EF与平面A1CD没有公共点，求的值．18.设函数f（x）=ax2+（a-2）x-ln x的极小值点为x0．（Ⅰ）若x0=1，求a的值f（x）的单调区间；（Ⅱ）若0＜x0＜1，在曲线y=f（x）上是否存在点P，使得点P位于X轴的下方？若存在，求出一个点P坐标，若不存在，说明理由．19.已知椭圆与x轴交于两点A1，A2，与y轴的一个交点为B，△BA1A2的面积为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）在y轴右侧且平行于y轴的直线l与椭圆交于不同的两点P1，P2，直线A1P1与直线A2P2交于点P．以原点O为圆心，以A1B为半径的圆与x轴交于两点M，N （点M在点N的左侧），求|PM|-|PN|的值．20.已知L∈N+，数列A：a1，a2，…a n中的项均为不大于L的正整数．c k表示a1，a2，…a n中k的个数（k=1，2，…，L）．定义变换T，T将数列A变成数列T（A）：t（a1），t（a2），…t（a n）其中t（k）=L•．（Ⅰ）若L=4，对数列A：1，1，2，3，3，4，写出c i（1≤i≤4）的值；（Ⅱ）已知对任意的k（k=1，2，…，n），存在A中的项a m，使得a m=k．求证：t（a i）=a i（i=1，2，…，n）的充分必要条件为c i=c j（i，j=1，2，…，L）；（Ⅲ）若l=n，对于数列A：a1，a2，…a n，令T（T（A）：b1，b2，…b n，求证：b i=t（a i）（i=1，2，…，n）．答案和解析1.【答案】C【解析】解：；∴A∩B={x|x＞0}．故选：C．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】B【解析】解：当z=2时，（2-i）z=4-2i，对应的点在第四象限，不合题意；当z=-1时，（2-i）z=-2+i，对应的点在第二象限，符合题意；当z=i时，（2-i）z=1+2i，对应的点在第一象限，不合题意；当z=2+i时，（2-i）z=5，对应的点在实轴上，不合题意．故选：B．分别取z为四个选项中的数逐一分析得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】D【解析】解：由已知得r=|OP|=，则sinα=，cos＜0，tanα=-m．∴＜0．故一定为负值的是D．故选：D．由任意角的三角函数的定义结合三角函数的象限符号求解．本题考查任意角的三角函数的定义，考查三角函数的象限符号，是基础题．4.【答案】A【解析】解：由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥，且三棱锥的两条侧棱相等，截面是等腰三角形，如图所示；故选：A．根据三视图知该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥，其截面是等腰三角形．本题考查了利用三视图判断几何体形状的应用问题，是基础题．5.【答案】D【解析】解：x，y满足，不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=x-y过点A时，z取得最小值，0，当直线z=x-y过点，B时，z取得最大值，4，则|x-y|的最大值为：4．故选：D．根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x-y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可推出结果．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：如图，A在准线上的射影为E，B在准线上的射影为H，由抛物线y2=8x，得焦点F（2，0），∵点F是的AC中点，∴AE=2p=8，则AF=8，∴A点横坐标为6，代入抛物线方程，可得A（6，4），∴，则AF所在直线方程为y=．联立，得3x2-20x+12=0．∴6x B=4，得，则BF=BH=．故BC=CF-BF=AF-BF=8-=．故选：C．由题意画出图形，利用抛物线定义结合已知求得A的坐标，得到直线AF的方程，与抛物线联立求得B的坐标，再由抛物线焦半径公式求解．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．7.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合祖暅原理是解决本题的关键．考查学生的推理能力．根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可．【解答】解：由祖暅原理知，若S1，S2总相等，则V1，V2相等成立，即必要性成立，若V1，V2相等，则只需要底面积和高相等即可，则S1，S2不一定相等，即充分性不成立，即“V1，V2相等”是“S1，S2总相等”的必要不充分条件，故选：B．8.【答案】D【解析】解：A．∀a1=a＞0，，∴a n＞0．∴a n+1≥2=，因此A不正确．B．∵=，由A可得：n≥2时，a n，∴＜1，即a n+1＜a n，因此B不正确．C．令f（x）=+（x），则f′（x）=≥0，因此函数f（x）在[，+∞）上单调递增，因此不存在m∈N*，总有a m＜a n，不正确．D：由a1=a＞0，，a2=+，令+=a，解得a=，则a n=，因此结论成立．故选：D．A．∀a1=a＞0，，由a n＞0．利用基本不等式的性质即可得出a n+1≥，即可判断出正误．B．由A可得：n≥2时，a n，即a n+1＜a n，即可判断出正误．C．令f（x）=+（x），利用导数已经其单调性，即可判断出正误．D：由a1=a＞0，，a2=+，令+=a，解得a，即可判断出正误．本题考查了数列递推关系、数列的通项公式及其单调性、利用导数已经函数的单调性、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】60【解析】解：在的展开式中，通项公式为T r+1=•（-1）r••x r，令r=2，求得x2的系数是•=60，故答案为：60．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得x2的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．10.【答案】【解析】解：∵b cos C+c sin B=0∴由正弦定理知，sin B cos C+sin C sin B=0，∵0＜B＜π，∴sin B＞0，于是cos C+sin C=0，即tan C=-1，∵0＜C＜π，∴C=．故答案为：．直接利用正弦定理对函数的关系式进行变换，进一步求出C的值．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．11.【答案】【解析】解：曲线C的直角坐标方程为（x-a）2+（y-2）2=1，表示圆心为（a，2），半径为1 的圆，直线l的直角坐标方程为：2x-y-4=0，因为圆关于直线2x-y-4=0对称，所以圆心（a，2）在直线2x-y-4=0上，即2a-2-4=0，解得a=3，此时圆C的方程为（x-3）2+（y-2）2=1，原点O到圆心（3，2）的距离为=，所以原点O到圆C上的点的最大值为+1．故答案为：3，+1．把曲线C和直线l换成直角坐标方程后利用圆心在直线上可得a=3，所求最大值等于原点O到圆心的距离加上半径1．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．12.【答案】60°【解析】【分析】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．由题意求出的坐标，再求出（2-）•2的值、2-和2的坐标，再利用两个向量的数量积的定义求得2-与2夹角．【解答】解：∵向量=，向量为单位向量，且•=1，设=（cosθ，sinθ），∴•=cosθ+sinθ=2cos（θ-600）=1，∴可令θ=1200，取=（-，）．∵（2-）•2=4-2•=4-2=2，2-=（-2，0），2=（-1，），设2-与2夹角为α，α∈[0°，180°]，则cosα===，∴α=60°.故答案为60°．13.【答案】（0，1）（答案不唯一）【解析】解：由2f（x1+x2）＞f（2x1）+f（2x2）得f（）＞，即函数f（x）满足在区间[a，b]上是凸函数即可，函数的f′（x）=4-3x2，由f′（x）＞0得4-3x2＞0得-＜x＜，此时函数f（x）为增函数，由f′（x）＞0得4-3x2＜0得x＜-或x＞，此时函数f（x）为减函数，即当x=-函数取得极小值，在x=时，函数f（x）取得极大值，由f（x）=4x-x3=0得x（4-x2）=0，得x=0或x=2或x=-2，则函数f（x）对应的图象如图：则函数在[0，2]上为凸函数，∵x1，x2∈[a，b]，∴2x1，2x2∈[2a，2b]，则[2a，2b]⊆[0，2]，则当a=0，b=1时，满足条件，即满足条件的一个区间为（0，1）或[0，1]，故答案为：（0，1）将不等式2f（x1+x2）＞f（2x1）+f（2x2）转化为f（）＞，即函数f（x）满足在区间[a，b]上是凸函数即可，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，作出函数的图象，利用数形结合进行判断求解即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．14.【答案】0 A=∁R B【解析】解：①∵A⊆B．则x∉A时，m=0，m（1-n）=0．x∈A时，必有x∈B，∴m=n=1，m（1-n）=0．综上可得：m（1-n）=0．②对任意x∈R，m+n=1，则m，n的值一个为0，另一个为1，即x∈A时，必有x∉B，或x∈B时，必有x∉A，∴A，B的关系为A=∁R B．故答案为：0，A=∁R B．①由A⊆B．由x∉A时，m=0，可得m（1-n）．x∈A时，必有x∈B，可得m=n=1．②对任意x∈R，m+n=1，则m，n的值一个为0，另一个为1，可得：x∈A时，必有x∉B，或x∈B时，必有x∉A，即可得出A，B的关系．本题考查了集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】解：（Ⅰ）由已知，得，解得a=1.=4cos x（sin x-cos x）=2sin x cosx-2cos2x=sin2x-cos2x-1=2sin（2x-）-1，所以的最小正周期为π．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．当x∈[0，m]时，，若f（x）在区间[0，m]上单调递增，则有，即．所以m的最大值为．【解析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行化简结合三角函数的周期公式进行求解即可．（Ⅱ）求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系进行求解即可．本题主要考查三角函数的性质，结合两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行化简是解决本题的关键．16.【答案】解：（Ⅰ）设A表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上”．由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求，故…（4分）（Ⅱ）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，且，，，．所以X的分布列为：故X的期望…（10分）（Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大…（13分）【解析】（Ⅰ）设A表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上”．由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求，由此能求出所求的概率．（Ⅱ）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．（Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望、方差的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）连结CO．∵C在平面A1ABB1内的射影O为AB1与A1B的交点，∴CO⊥平面A1ABB1．∴CO⊥OB，OC⊥OA，由已知三棱柱ABC-A1B1C1各棱长均相等，所以AC=BC，且A1ABB1为菱形．由勾股定理得OB=，OA=，∴OA=OB，即AB1=A1B．∴四边形A1ABB1为正方形．（Ⅱ）由（Ⅰ）知CO⊥平面A1ABB1，CO⊥OA，CO⊥OA1．在正方形A1ABB1中，OA1⊥OA．如图建立空间直角坐标系O-xyz．由题意得，．所以．设平面A1ACC1的法向量为=（x，y，z），则，即令x=1，则y=1，z=1，于是=（1，1，1）．又因为，设直线EF与平面A1ACC1所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|===．所以直线EF与平面A1AC所成角的正弦值为．（Ⅲ）直线EF与平面A1CD没有公共点，即EF∥平面A1CD．设D点坐标为（0，y0，0），D与O重合时不合题意，所以y0≠0．因为，．设=（x1，y1，z1）为平面A1CD的法向量，则，即令x1=1，则，z1=1，于是=（1，，1）．若EF∥平面A1CD，．又，所以，解得．此时EF⊄平面A1CD，所以，．所以．【解析】（I）根据勾股定理即可证明OA=OB，从而可得对角线相等，得出结论；（II）建立空间坐标系，求出平面A1ACC1的法向量，则线EF与平面A1ACC1所成角的正弦值为|cos＜＞|；（III）设D点坐标为（0，y0，0），求出平面A1CD的法向量，令=0求出y0即可得出的值．本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）f（x）定义域为（0，+∞）.．由已知，得f'（1）=0，解得a=1．当a=1时，，当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0．所以f（x）的递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）．所以a=1时函数f（x）在x=1处取得极小值．即f'（x）的极小值点为1时a的值为1…（6分）（II）当0＜x0＜1时，曲线y=f（x）上不存在点P位于x轴的下方，理由如下：由（I）知，当a≤0时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）单调递减，f（x）不存在极小值点；当a＞0时，令，得．当时，f'（x）＜0，f（x）在区间上单调递减；当时，f'（x）＞0，f（x）在区间上单调递增．所以是f（x）在（0，+∞）上的最小值．由已知，若0＜x0＜1，则有，即a＞1．当a＞1时，ln a＞0，且，．所以．当0＜x0＜1时，曲线y=f（x）上所有的点均位于x轴的上方．故当0＜x0＜1时，曲线y=f（x）上不存在点P位于x轴的下方．…（13分）【解析】（Ⅰ）f（x）定义域为（0，+∞）.．由f'（1）=0，得a=1．当a=1时，，由此能求出f（x）的单调区间和f'（x）的极小值点为1时a的值．（II）当0＜x0＜1时，曲线y=f（x）上不存在点P位于x轴的下方．由，根据a≤0，a＞0分类讨论，推导出当0＜x0＜1时，曲线y=f（x）上所有的点均位于x轴的上方．当0＜x0＜1时，曲线y=f（x）上不存在点P位于x轴的下方．本题考查函数的单调区间的求法，考查满足条件的点是否的判断与求法，考查导数性质、函数极值、单调区间等基础知识，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】（共13分）解：（Ⅰ）因为m＞0，由椭圆方程知：，，所以m=1．所以椭圆C的方程为．由a=2，b=1，a2=b2+c2，得，所以椭圆C的离心率为．…（5分）（Ⅱ）设点P（x P，y P），P1（x0，y0），P2（x0，-y0）（x0＞0），不妨设A1（-2，0），A2（2，0），设，，由得即又，得，化简得．因为A1（-2，0），B（0，1），所以，即．所以点P的轨迹为双曲线的右支，M，N两点恰为其焦点，A1，A2为双曲线的顶点，且|A1A2|=4，所以|PM|-|PN|=4．…（13分）【解析】（Ⅰ）由椭圆方程知：，从而，求出m=1．由此能求出椭圆C的方程，从而能求出椭圆C的离心率．（Ⅱ）设点P（x P，y P），P1（x0，y0），P2（x0，-y0）（x0＞0），A1（-2，0），A2（2，0），设，，由得从而．由A1（-2，0），B（0，1），求出点P的轨迹为双曲线的右支，M，N两点恰为其焦点，A1，A2为双曲线的顶点，由此能求出|PM|-|PN|的值．本题主要考查了椭圆、双曲线的简单性质，还考查了韦达定理及中点坐标公式、弦长公式，考查了方程思想、函数与方程思想及计算能力，考查了直线与椭圆、双曲线的位置关系及转化思想，属于难题．20.【答案】（共14分）解：（Ⅰ）∵L=4，对数列A：1，1，2，3，3，4，∴c1=2，c2=1，c3=2，c4=1,证明：（Ⅱ）由于对任意的正整数k（1≤k≤L），存在A中的项a m，使得a m=k．所以c1，c2，…，c L均不为零．必要性：若t（a i）=a i（1≤i≤n），由于，∴；；；…；．通过解此方程组，可得c i=c j（i，j=1，2，…，L）成立．充分性：若c i=c j（i，j=1，2，…，L）成立，不妨设h=c i=c j（i，j=1，2，…，L），可以得到h•L=n．∴；；；…；．∴t（a i）=a i（1≤i≤n）成立．故t（a i）=a i（i=1，2，…，n）的充分必要条件为c i=c j（i，j=1，2，…，L）,证明：（Ⅲ）设A：a1，a2，…，a n的所有不同取值为u1，u2，…，u m，且满足：u1＜u2＜…＜u m．不妨设，其中；；…；．又∵L=n，根据变换T有：；；…；；∴T（A）：共个，共个，共个，即T（A）：共个，共个，共个，∴T（T（A））：共个，共个，共个，∵r1＜r1+r2＜…＜r1+r2+…+r m，∴t（r1）=r1，t（r1+r2）=r1+r2，…，t（r1+r2+…+r m）=L．∴，,即T（T（A））：共个，共个，共个，从而b i=t（a i）（i=1，2，…，n）．故b i=t（a i）（i=1，2，…，n）．【解析】（Ⅰ）由L=4，对数列A：1，1，2，3，3，4，能写出写出c i（1≤i≤4）的值．（Ⅱ）由于对任意的正整数k（1≤k≤L），存在A中的项a m，使得a m=k．所以c1，c2，…，c L均不为零．先证必要性，再证充分性，由此能证明t（a i）=a i（i=1，2，…，n）的充分必要条件为c i=c j（i，j=1，2，…，L）．（Ⅲ）设A：a1，a2，…，a n的所有不同取值为u1，u2，…，u m，且满足：u1＜u2＜…＜u m．设，由L=n，根据变换T得到T（T（A））：共个，共个，共个，由此能证明b i=t（a i）（i=1，2，…，n）．本题考查数列的求法，考查充要条件的证明，考查数列等式的证明，考查数性质性质、充要条件等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．。
北京东城区2022届高三一模数学试题
一、单选题1. 已知命题：，（为自然对数的底数）；命题：，使得.则下列命题是真命题的是A．B．C．D．2. 翠浪塔，位于赣州市章江西岸杨梅渡公园山顶上，与赣州古城的风水塔——玉虹塔相呼应．塔名源于北宋大文豪苏东坡吟咏赣州的诗句“山为翠浪涌，水作玉虹流”，该塔规划设计为仿宋塔建筑风格，塔体八面．一研学小组在李老师的带领下到该塔参观，这时李老师（身高约1.7米）站在一个地方（脚底与塔底在同一平面）面朝塔顶，仰角约为45；当他水平后退50米后再次观测塔顶，仰角约为30，据此李老师问：同学们，翠浪塔高度大约为（ ）米？（参考数据：）A ．68B ．70C ．72D ．743. 函数（），当时，的值域为，则的范围为（ ）A．B．C．D．4. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是A．B．C．D．5. 如图，圆柱的轴截面为矩形，点M ，N分别在上、下底面圆上，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6.设函数，若存在(为自然对数的底数)，使得，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．7. 费马数列是以数学家皮埃尔·德·费马（PierredeFermat ，1601~1665年）命名的数列，其中，例如．因为，所以的整数部分是1位数；因为，所以的整数部分是2位数；…；则的整数部分位数最接近于（）（ ）A ．240B ．600C ．900D ．12008. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积3升，下面3节的容积之积为9北京东城区2022届高三一模数学试题北京东城区2022届高三一模数学试题二、多选题三、填空题四、解答题升，则第5节的容积为( )A ．2升B ．升C ．3升D．升9. 甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入到乙箱中，分别以，，表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B 表示取出的球是红球的事件，则（ ）A ．B与相互独立B．，，两两互斥C．D．10. 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列说法正确的是（ ）A ．从中任取3球，恰有2个白球的概率是；B ．从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X ，则；C ．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；D ．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为.11.我们把形如的方程称为微分方程，符合方程的函数称为微分方程的解，下列函数为微分方程的解的是（ ）A．B．C．D．12. 设抛物线C ：的焦点为F ，准线为l ，点M 为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ）A ．准线l的方程是B ．的最大值为2C．的最小值为7D ．以线段为直径的圆与y 轴相切13. 在三棱锥中，平面，，，，是的中点，则过点的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积最小值为______.14. 某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为________．(若，则)15. 函数的定义域是____________．16. 已知函数，为的导函数.(1)证明：当时，；(2)判断函数的零点个数.17. 已知分别是椭圆的左､右焦点，Q 是椭圆E的右顶点，，且椭圆E的离心率为.(1)求椭圆E 的方程.(2)过的直线交椭圆E于A，B两点，在x轴上是否存在一定点P，使得，为正实数.如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由.18. 数列为正项数列，，且对，都有；(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，为数列的前项和，求证：19. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，所用术语形象丰富．如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在三棱柱中，，平面平面，平面平面．(1)证明：三棱柱是“堑堵”；(2)若，当“阳马”的体积最大值时，求平面与平面所成锐二面角的正切值．20. 已知函数．(1)若是的极小值点，求a的取值范围；(2)若，，求a的取值范围．21. 如图，在圆台中，，分别为上、下底面直径，，为的中点，为线段的中点，为圆台的母线，与圆台下底面所成的角为．(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．。
北京市东城区高三一模数学理试题
班级 姓名 学号相对原子质量：H ：1 O ：16 C ：12 N ：14 He ：4 S ：32 Cl ：35.5 Na ：23Mg ：24 Ca ：40 Fe ：56一、选择题（每小题只有1个正确答案，各2分，共48分）1、医生建议患甲状腺肿大的病人多食海带，这是由于海带中含有较丰富的A ．铁元素B ．碘元素C ．钾元素D ．锌元素2、据最近报道钬Ho 16667可有效地治疗肝癌，该原子原子核内中子数为A ．32B ．67C ．99D ．1663、下列物质属于纯净物的是A ．漂白粉B ．盐酸C ．碘酒D ．液氯4、下列微粒氧化性最强的是A 、ClB 、Cl 2C 、NaD 、Na +5、下列物质的水溶液能导电，但属于非电解质的是A ．CH 3COOHB ．Cl 2C ．NH 4HCO 3D ．SO 26、盛液溴的试剂瓶中要加入一定量的水，其目的是A ．制得溴水B ．防止液溴挥发C ．将液溴隔绝空气D ．比较水与液溴的密度7、Na 和Na +两种粒子中，不相同的是①核内质子数；②核外电子数③最外层电子数④核外电子层数A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④8、下列有关氯水的叙述，正确的是A 新制氯水可使无色酚酞试纸先变红，后褪色B 新制的氯水只含Cl 2和H 2O 分子C 氯水放置数天后，酸性增强D 光照氯水有气泡逸出，该气体是Cl 29、在盛有碘水的试管中，加入少量四氯化碳后振荡，静置片刻后A ．整个溶液变紫色B ．整个溶液变棕色C ．上层无色，下层紫红色D ．下层无色，上层紫红色10、下列各微粒的半径比大于1的是A ． r （Na ＋）/ r （F －）B ． r （O ）/ r （F ）C ． r （Fe 3＋）/ r （Fe 2＋）D ． r （Cl －）/ r （Br －）11、在碱性溶液中能大量共存且溶液为无色透明的离子组是A. K +、MnO 4-、Na +、Cl - B ．K +、Na +、NO 3-、CO 32-C ．Na +、H +、NO 3-、SO 42-D ．Fe 3+、Na +、Cl - 、SO 42-12、等体积等物质的量浓度的NaHCO 3溶液和Ba(OH)2溶液混合，离子方程式正确的是A．HCO3-+OH-=H2O+CO32-B．2HCO3-+Ba(OH)2=BaCO3↓+2H2O+CO32-C．HCO3-+Ba2++OH-=H2O+BaCO3↓D．2HCO3-+Ba2++2OH-=BaCO3↓+2H2O+CO32-13、下列含有10电子分子组成的物质：①34g NH3②0.800mol HF ③标准状况下体积为11.2L的CH4④4℃时18.0 mL的水。
2023年北京东城区高三一模数学试题及答案
2023北京东城高三一模数 学 2023.3本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合22{|}0A x x −=<，且a A ∈，则a 可以为（A ）2− （B ）1−（C ）32（D （2）在复平面内，复数i z对应的点的坐标是(3,1)−，则z =（A ）13i + （B ）3i + （C ）3i −+ （D ）13i −−（3）抛物线24x y =的准线方程为（A ）1x = （B ）1x =− （C ）1y = （D ）1y =−（4）已知0x >，则44x x−+的最小值为（A ）2− （B ）0（C ）1 （D ）（5）在△ABC 中，a =2c ，1cos 4A =−，则ABC S =△（A （B ）4（C （D ）（6）设,m n 是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，且m α⊂，αβ ，则“m n ⊥”是“n β⊥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （7）过坐标原点作曲线2e1x y −=+的切线，则切线方程为（A ）y x = （B ）2y x = （C ）21e y x =（D ）e y x =（8）已知正方形ABCD 的边长为 2，P 为正方形ABCD 内部（不含边界）的动点，且满足0PA PB ⋅=，则CP DP ⋅的取值范围是（A ）(0,8] （B ）[0,8)（C ）(0,4] （D ）[0,4)（9）已知1a ，2a ，3a ，4a ，5a 成等比数列，且1和4为其中的两项，则5a 的最小值为（A ）64− （B ）8− （C ）164 （D ）18（10）恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就．其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N 的70次方是一个83位数，由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得N 的值为（C ）15 （D ）16第二部分（非选择题 共110分）二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分。
2024届北京东城区高三一模数学试题及答案
2024北京东城高三一模数 学2024.4本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）如图所示，U 是全集，A B ，是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（A ）A B（B ）AB（C ）UA B （）（D ）UA B （）（2）已知,a b ∈R ，0ab ≠，且a b <，则（A ）11a b > （B ）2ab b < （C ） 33a b < （D ）lg lg a b<（3）已知双曲线221x my −=的离心率为2，则m =（A ）3（B ）13（C ）3− （D ）13−（4）设函数()11ln f x x =+，有（A ）()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ （B ）()12f x f x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭（C ）()12f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （D ）()12f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（5）已知函数()sin cos f x t x x ωω=+(0,0)t ω>>的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（A ）关于直线π4x =−对称（B ）关于点π(,0)4−对称 （C ）关于直线π8x =对称（D ）关于点π(,0)8对称（6）已知443243210()a x a x a x a x x m a ++++=+，若0234181a a a a a ++++=，则m 的取值可以为 （A ）2（B ）1（C ）1−（D ）2−（7）《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法. 某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm ，高20cm . 首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：π 3.14≈）（A ）38.0m （B ）34.1m（C ）38.1m （D ）32.2m （8）设等差数列{}n a 的公差为d ，则“10a d <<”是“{}na n 为递增数列”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）如图1，正三角形ABD 与以BD 为直径的半圆拼在一起，C 是BD 的中点，O 为ABD ∆的中心. 现将ABD ∆沿BD 翻折为1A BD ∆，记1A BD ∆的中心为1O ，如图2. 设直线1CO 与平面BCD 的夹角为θ，则sin θ的最大值为图1图2（A ）13（B ）12（C （D （10）已知()f x 是定义在R 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数()()()()a f x f a g x a x a −=∈−R ，下列说法正确的是（A ）若()f x 在R 上单调递增，则存在实数a ，使得()a g x 在()a +∞，上单调递增 （B ）对于任意实数a ，若()a g x 在()a +∞，上单调递增，则()f x 在R 上单调递增 （C ）对于任意实数a ，若存在实数10M >，使得1()f x M <，则存在实数20M >，使得2()ag x M <（D ）若函数()a g x 满足：当()x a ∈+∞，时，()0a g x ≥，当()x a ∈−∞，时，()0a g x ≤，则()f a 为()f x 的最小值第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市东城区高三一模(数学理)1
北京市东城区2008—2009学年度综合练习（一）高 三 数 学 （理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1． 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．若将复数2i i +表示为(..a bi a b R i +∈是虚数单位）的形式，则ba的值为 A ．-2 B ．12- C ．2 D ．122．命题甲"sin sin "αβ>，命题乙""αβ>，那么甲是乙成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设,A B 为x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且||||PA PB =，若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程为A ．270x y +-=B ．210x y --=C ．240x y -+=D ．50x y +-=4．若非零向量,a b 满足||||a b b +=，则下列不等关系一定成立的是 A ．|2||2|a a b >+ B ．|2||2|a a b <+C ．|2||2|b a b >+D ．|2||2|b a b <+5．已知函数2()f x x bx =的图像在点(1,(1))A f 处的切线与直线320x y -+=平行，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2009S 的值为 A ．20072008B ．20082009C ．20092010D ．201020116．数列{}n a 共有6项，其中三项是1，两项为2，一项是3，则满足上述条件的数列共有 A ．24个 B ．60个 C ．72个 D ．120个7．已知命题：“若,//x y y z ⊥，则x z ⊥”成立，那么字母,,x y z 在空间所表示的几何图形不能A ．都是直线B ．都是平面C ．,x y 只直线，z 是平面D ．.x z 是平面，y 是直线8．函数()y f x =的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式()()2f x f x x <-+的解集为A．012x x x ⎧⎫⎪⎪-<<<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭或2B ．1122x x x ⎧⎫⎪⎪-≤<-<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭C ．1022x x x ⎧⎪-≤<-<<⎨⎪⎪⎩⎭D ．,022x x x ⎧⎫⎪⎪-<<≠⎨⎬⎪⎪⎩⎭二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区高三理科数学一模试题
北京市东城区高三理科数学一模试题北京市东城区_年高三总复习练习一数学(理工农医类)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.第I卷1至2页.第II 卷3至8页.共150分.考试时间120分钟.第I卷(选择题共60分)注意事项:1．答第I卷前,考生务必将自己的姓名.准考证号.考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.3．考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式:三角函数的和差化积公式,,,,正棱台.圆台的侧面积公式其中c′.c分别表示上.下底面周长,l表示斜高或母线长台体的体积公式其中S′.S分别表示上.下底面积,h表示高第I卷(选择题共60分)一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．数轴上三点A.B.C的坐标分别为2.3.5,则点C分有向线段所成的比为A． B． C． D．2．已知函数y=f(_)的反函数为,则f(1)等于A．0 B．1 C．-1 D．43．若数列的前n项和公式为,则等于A．B．C．D．4．设,则S等于A．B．C． D．5．函数y=arccos(_-1)图象的对称中心的坐标是( )A．B． C．D．6．两圆ρ=sinθ与ρ=1的位置关系是A．相交B．内切 C．外切D．内含7．已知圆台的轴截面是上.下底边长分别为2和4,底角为60°的等腰梯形,则圆台侧面展开图的面积为A．24πB．8πC．6πD．3π8．已知图①中的图象对应的函数为y=f(_),则图②中的图象对应的函数在下列给出的四式中,只可能是A．y=f(_)B．y=f(_) C．y=f(-_) D．y=-f(_)9．已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4,侧棱长为2,则它的一条侧棱与截面所成角的正弦值为A．B．C． D．10．已知,,则α+β是A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角D．第四象限角11．如图,已知多面体ABC-DEFG中,AB.AC.AD两两互相垂直,平面ABC//平面DEFG,平面BEF//平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,则该多面体的体积为A．2 B．4C．6 D．812．椭圆(a_gt;b_gt;0)的半焦距为c,若直线y=2_与椭圆一个交点的横坐标恰为c,则椭圆的离心率为A．B．C．D．第II卷(非选择题共90分)注意事项:1．第II卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.13．设复数,则在复平面内对应的点位于第__________象限.14．将抛物线绕其焦点按逆时针方向旋转90°后,所得抛物线的方程为____________________.15．空间内五个点中的任意三点都不共线,由这五个点为顶点只构造出了四个三棱锥,则这五个点最多可以确定__________个平面.16．已知集合A.B.C,A={直线},B={平面},C=A∪B,若a∈A,b∈B,c∈C,在下列命题中①②③④正确命题的序号是__________________.(注:把你认为正确的序号都填上).三.解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.17．(本小题满分12分)已知△ABC中,三内角A.B.C的对边分别为a.b.c,若A.B.C成等比数列,且公比式,求证:.18．(本小题满分12分)已知函数,将y=f(_)的图象向左平移1个单位,再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到函数y=g(_)的图象.(I)求y=g(_)的解析式及定义域;(II)求函数F(_)=f(_)-g(_)的最大值.19．(本小题满分12分)在直三棱柱中,∠ABC=90°,BC=2,.D.F.G分别为的中点,EF与相交于H.(I)求证:;(II)求证:平面EGF//平面ABD;(III)求平面EGF与平面ABD的距离.20．(本小题满分12分)已知数列中,且对任意自然数n都有.数列对任意自然数n都有.(I)求证数列是等比数列;(II)求数列的通项公式;(III)设数列前n项的和为,求的值.21．(本小题满分12分)运输一批海鲜,可在汽车.火车.飞机三种运输工具中选择,它们的速度分别为v千米/小时,2v千米/小时,10v千米/小时.每千米的运费分别为a元.b元.c元,且b_lt;a_lt;c.又这批海鲜在运输过程中的损耗为m元/小时.若使用三种运输工具分别运输时各自的总费用(运费与损耗之和)互不相等.试确定使用哪种运输工具总费用最省.(题中字母均为正的已知量)22．(本小题满分14分)椭圆(a_gt;b_gt;0)与直线_+y-1=0相交于A.B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点).(I)求证:满足上述条件的各椭圆过定点;(II)若椭圆的长轴长的取值范围是,求椭圆离心率的取值范围.参考答案:一.1．B 2．C 3．B 4．A 5．A 6．B 7．C 8．C 9．B 10．B 11．B 12．D二.13．四14．15．716．②三.17．证明:由已知,,解得则, ………………………………………………………………………3分……………………………………………………5分…………………………………………9分 (11)分…………………………………………………………………………………………12分18．解:(I)由已知,将函数进行坐标变换得,. (__gt;-2) ………………………………………………4分(II) (__gt;-1)…………………………………………6分∵_+1_gt;0……………………………………10分当且仅当,即_=0时取等号.. …………………………………………………………………12分19．(I)证:由直三棱柱的性质,得平面ABC⊥平面,又由已知,AB⊥BC,∴AB⊥平面.又, ……………………………………………………2分由已知,在Rt△BCD与中可求得则,即.又AB∩BD=B,.……………………………………………………4分(II)证:由,在中,求得.∴EF//BD…………………………………………………………………………………5分而,,∴EF∥平面ABD. ……………………………………………………………………6分∵G.F分别为的中点,∴………………………………………………7分而,,∴GF//平面ABD………………………………………………8分∵,,∴平面EGF//平面ABD ……………………………………………………9分(III)解:∵,平面EGF//平面ABD..则HD为平行平面EGF与平面ABD之间的距离……………………………………10分………………………………………………12分20．(I)证明:,(n=1,2,3,……)∴是公比为的等比数列…………………………………………………………5分(II)..由得.解得………………………………………………………………9分(III) …………………………………………………12分21．解:设运输路程为S(千米),使用汽车.火车.飞机三种运输工具分别运输时各自的总费用分别为(元),(元),(元).则由题意得……………………………………………………………………………3分∵a_gt;b,且各字母均为正值,,即…………………………………………………………………6分那么中的最小值只可能是..令,由c_gt;b及各字母均为正值,解得∴当时,当时,答:当时,用火车运输总费用最省…………………………………………9分当时,用飞机运输总费用最省………………………………………9分22．(I)证明:由方程组,消去y,并整理得由直线与椭圆有两个交点,得解得设A.B两点的坐标分别为.则,①……………………………………2分由OA⊥OB得②…………………………………………………3分由A.B在直线_+y-1=0上,得③④…………………………………………………………………………4分将③④代入②消去,然后再将①代入,并化简得……………………………………………………………………6分,即则椭圆过定点() ……………………………………………………8分(II)解:,则,即..由(I)得.将代入消去,得整理后得…………………………………………11分由已知:,得,,……………………………………………………………………14分。
北京东城区高三一模数学试题(理)
第二学期综合练习（一） 高三数学 （理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，那么集合UA 为（A ）{3} （B ） {3,4}（C ）{1,2} （D ）{2,3}（2）已知ABCD 为平行四边形，若向量AB =a ，AC =b ，则向量BC 为（A ）-a b （B ）a +b （C ）-b a （D ）--a b（3）已知圆的方程为22(1)(2)4x y -+-=，那么该圆圆心到直线3,1x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为（A ）2 （B ）2（C ）2 （D ）2（4）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于12，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于14，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于14且小于12，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为 （A ）316 （B ）14 （C ）34 （D ）116（5）已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于（A ）130 （B ）120 （C ）55 （D ）50（6）已知1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是双曲线1C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的两个焦点，双曲线1C 和圆2C ：222x y c +=的一个交点为P ，且12212PF F PF F ∠=∠，那么双曲线1C 的离心率为（A（B（C ）2 （D1（7）已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-，且当3x ≥-时，()23xf x =-.若函数()f x 在区间(1,)k k -（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为（A ）2或7- （B ）2或8- （C ）1或7- （D ）1或8-（8）已知向量OA ，AB ，O 是坐标原点，若AB k OA =，且AB 方向是沿OA 的方向绕着A 点按逆时针方向旋转θ角得到的，则称OA 经过一次(,)k θ变换得到AB .现有向量=(1,1)OA 经过一次11(,)k θ变换后得到1AA ，1AA 经过一次22(,)k θ变换后得到12A A ，…，如此下去，21n n A A --经过一次(,)n n k θ变换后得到1n n A A -.设1(,)n n A A x y -=，112n n θ-=，1cos n n k θ=，则y x -等于 （A ）1112sin[2()]211sin1sin sin 22n n --- （B ）1112sin[2()]211cos1cos cos 22n n --- （C ）1112cos[2()]211sin1sin sin 22n n --- （D ）1112cos[2()]211cos1cos cos 22n n ---第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
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2016年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知复数i•（1+ai）为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．集合A={x|x≤a}，B={x|x2﹣5x＜0}，若A∩B=B，则a的取值范围是（）A．a≥5 B．a≥4 C．a＜5 D．a＜43．某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人．现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为（）A．9，18，3 B．10，15，5 C．10，17，3 D．9，16，54．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．B．1 C．2 D．45．在极坐标系中，直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长为（）A．B．1 C．D．6．一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的最长棱长为（）A ．2B ．C ．3D ．7．已知三点P （5，2）、F 1（﹣6，0）、F 2（6，0）那么以F 1、F 2为焦点且过点P 的椭圆的短轴长为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．128．已知1， 2为平面上的单位向量， 1与2的起点均为坐标原点O ， 1与2夹角为．平面区域D 由所有满足=λ1+μ2的点P 组成，其中，那么平面区域D 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在的展开式中，x 3的系数值为______．（用数字作答）10．已知等比数列{a n }中，a 2=2，a 3•a 4=32，那么a 8的值为______．11．如图，圆O 的半径为1，A ，B ，C 是圆周上的三点，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，若CP=AC ，则∠COA=______；AP=______．12．若，且，则sin2α的值为______．13．某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表： 货物 体积（升/件） 重量（公斤/件） 利润（元/件） 甲 20 10 8乙 10 20 10运输限制 110 100在最合理的安排下，获得的最大利润的值为______．14．已知函数f （x ）=|lnx|，关于x 的不等式f （x ）﹣f （x 0）≥c （x ﹣x 0）的解集为（0，+∞），其中x 0∈（0，+∞），c 为常数．当x 0=1时，c 的取值范围是______；当时，c 的值是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．在△ABC 中，，AC=2，且．（Ⅰ）求AB 的长度；（Ⅱ）若f （x ）=sin （2x+C ），求y=f （x ）与直线相邻交点间的最小距离．16．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1A ⊥底面ABC ，∠BAC=90°，A 1A=1，，AC=2，E 、F分别为棱C 1C 、BC 的中点．（Ⅰ）求证 AC ⊥A 1B ；（Ⅱ）求直线EF 与A 1B 所成的角；（Ⅲ）若G 为线段A 1A 的中点，A 1在平面EFG 内的射影为H ，求∠HA 1A ．17．现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）．根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能．比赛项目 男单 女单 混双平均比赛时间 25分钟 20分钟 35分钟（Ⅰ）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率；（Ⅱ）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行；（Ⅲ）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）．18．设函数f （x ）=ae x ﹣x ﹣1，a ∈R ．（Ⅰ）当a=1时，求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）当x ∈（0，+∞）时，f （x ）＞0恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）求证：当x ∈（0，+∞）时，ln ＞．19．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0），焦点F ，O 为坐标原点，直线AB （不垂直x 轴）过点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，直线OA 与OB 的斜率之积为﹣p ．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若M 为线段AB 的中点，射线OM 交抛物线C 于点D ，求证：．20．数列{a n }中，给定正整数m （m ＞1），．定义：数列{a n }满足a i+1≤a i （i=1，2，…，m ﹣1），称数列{a n }的前m 项单调不增．（Ⅰ）若数列{a n }通项公式为：，求V （5）． （Ⅱ）若数列{a n }满足：，求证V （m ）=a ﹣b 的充分必要条件是数列{a n }的前m 项单调不增．（Ⅲ）给定正整数m （m ＞1），若数列{a n }满足：a n ≥0，（n=1，2，…，m ），且数列{a n }的前m 项和m 2，求V （m ）的最大值与最小值．（写出答案即可）2016年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知复数i•（1+ai）为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部为0求得a的值．【解答】解：∵i•（1+ai）=﹣a+i为纯虚数，∴﹣a=0，即a=0．故选：B．2．集合A={x|x≤a}，B={x|x2﹣5x＜0}，若A∩B=B，则a的取值范围是（）A．a≥5 B．a≥4 C．a＜5 D．a＜4【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由x2﹣5x＜0，可得B=（0，5），再利用集合的运算性质即可得出．【解答】解：由x2﹣5x＜0，解得0＜x＜5，∴B=（0，5），∵A∩B=B，∴a≥5．则a的取值范围是a≥5．故选：A．3．某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人．现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为（）A．9，18，3 B．10，15，5 C．10，17，3 D．9，16，5【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系，即可求出各职称分别抽取的人数．【解答】解：用分层抽样方法抽取容量为30的样本，则样本中的高级职称人数为30×=9，中级职称人数为30×=18，初级职称人数为30×=3．故选：A．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=，k=1，当k=1时，满足进行循环的条件，故S=，k=2，当k=2时，满足进行循环的条件，故S=1，k=3，当k=3时，满足进行循环的条件，故S=2，k=4，当k=4时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为2，故选：C5．在极坐标系中，直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长为（）A．B．1 C．D．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】分别得出直角坐标方程，求出圆心（0，0）到直线的距离d．即可得出直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长=2．【解答】解：直线ρsinθ﹣ρcosθ=1化为直角坐标方程：x﹣y+1=0．曲线ρ=1即x2+y2=1．∴圆心（0，0）到直线的距离d=．∴直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长L=2=2=．故选：D．6．一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的最长棱长为（）A ．2B ．C ．3D ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥P ﹣ABCD ，其中底面ABCD 为直角梯形，侧棱PB ⊥底面ABCD ．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P ﹣ABCD ，其中底面ABCD 为直角梯形，侧棱PB ⊥底面ABCD ．∴最长的棱为PD ，PD==3．故选：C ．7．已知三点P （5，2）、F 1（﹣6，0）、F 2（6，0）那么以F 1、F 2为焦点且过点P 的椭圆的短轴长为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的标准方程为： +=1（a ＞b ＞0），可得：c=6，2a=|PF 1|+|PF 2|，可得b=．【解答】解：设椭圆的标准方程为： +=1（a ＞b ＞0），可得：c=6，2a=|PF 1|+|PF 2|=+=6，解得a=3．∴b===3．∴椭圆的短轴长为6．故选：B．8．已知1，2为平面上的单位向量，1与2的起点均为坐标原点O，1与2夹角为．平面区域D由所有满足=λ1+μ2的点P组成，其中，那么平面区域D的面积为（）A．B．C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】以O为原点，以方向为x轴正方向，建立坐标系xOy，写出、的坐标，根据=λ+μ写出的坐标表示，利用向量相等列出方程组，求出点P的坐标满足的约束条件，画出对应的平面区域，计算平面区域的面积即可．【解答】解：以O为原点，以方向为x轴正方向，建立坐标系xOy，则=（1，0），=（cos，sin）=（，），又=λ+μ=（λ+μ，μ），其中λ≥0，μ≥0，λ+μ≤1；设=（x，y），则（x，y）=（λ+μ，μ），∴，解得；由于λ≥0，μ≥0，λ+μ≤1，∴，它表示的平面区域如图所示：由图知A （，），B （1，0）；所以阴影部分区域D 的面积为S=×1×=． 故选：D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在的展开式中，x 3的系数值为 20 ．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出．【解答】解：T r+1=（2x ）5﹣r =25﹣3r x 5﹣2r ．令5﹣2r=3，解得r=1．∴T 4=x 3=20x 3．故答案为：20．10．已知等比数列{a n }中，a 2=2，a 3•a 4=32，那么a 8的值为 128 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2=2，a 3•a 4=32，∴a 1q=2， =32，解得a 1=1，q=2．那么a 8=27=128．故答案为：128．11．如图，圆O 的半径为1，A ，B ，C 是圆周上的三点，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，若CP=AC ，则∠COA= ；AP= ．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】证明△OAC是等边三角形，得到∠COA=，利用OA=1，可求AP．【解答】解：由题意，OA⊥AP．∵CP=AC，∴∠P=∠CAP，∵∠P+∠AOP=∠CAP+∠OAC，∴∠AOP=∠OAC，∴AC=OC，∵OA=OC，∴△OAC是等边三角形，∴∠COA=，∵OA=1∴AP=故答案为：，12．若，且，则sin2α的值为．【考点】二倍角的正弦．【分析】利用已知及两角差的正弦函数公式可得cosα﹣sinα=，两边平方，利用二倍角公式即可解得sin2α的值．【解答】解：∵=（cosα﹣sinα），∴cosα﹣sinα=＞0，∴两边平方可得：1﹣sin2α=，∴sin2α=．故答案为：．13．某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：货物体积（升/件）重量（公斤/件）利润（元/件）甲20 10 8乙10 20 10运输限制 110 100 在最合理的安排下，获得的最大利润的值为 62 ．【考点】简单线性规划．【分析】运送甲x 件，乙y 件，利润为z ，建立约束条件和目标函数，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：设运送甲x 件，乙y 件，利润为z ，则由题意得，即，且z=8x+10y ，作出不等式组对应的平面区域如图：由z=8x+10y 得y=﹣x+， 平移直线y=﹣x+，由图象知当直线y=﹣x+经过点B 时，直线的截距最大，此时z 最大，由，得，即B （4，3）， 此时z=8×4+10×3=32+30=62，故答案为：6214．已知函数f （x ）=|lnx|，关于x 的不等式f （x ）﹣f （x 0）≥c （x ﹣x 0）的解集为（0，+∞），其中x 0∈（0，+∞），c 为常数．当x 0=1时，c 的取值范围是 [﹣1，1] ；当时，c 的值是 ﹣2 ．【考点】分段函数的应用；对数函数的图象与性质．【分析】当0＜x ＜1时，f （x ）=﹣lnx ，f ′（x ）=﹣∈（﹣∞，﹣1），当x ＞1时，f （x ）=lnx ，f ′（x ）=∈（0，1），进而将x 0=1和代入，结果斜率公式分类讨论可得答案．【解答】解：∵函数f （x ）=|lnx|，当0＜x ＜1时，f （x ）=﹣lnx ，f ′（x ）=﹣∈（﹣∞，﹣1），当x ＞1时，f （x ）=lnx ，f ′（x ）=∈（0，1），①当x 0=1时，f （x ）﹣f （x 0）≥c （x ﹣x 0）可化为：f （x ）﹣f （1）≥c （x ﹣1） 当0＜x ＜1时，f （x ）﹣f （1）≥c （x ﹣1）可化为：≤c ，则c ≥﹣1， 当x ＞1时，f （x ）﹣f （1）≥c （x ﹣1）可化为：≥c ，则c ≤1，故c ∈[﹣1，1]；②当x 0=时，f （x ）﹣f （x 0）≥c （x ﹣x 0）可化为：f （x ）﹣f （）≥c （x ﹣）当0＜x ＜时，f （x ）﹣f （）≥c （x ﹣）可化为：≤c ，则c ≥f ′（）=﹣2，当＜x ＜1时，f （x ）﹣f （）≥c （x ﹣）可化为：≥c ，则c ≤f ′（）=﹣2，当x ＞1时，f （x ）﹣f （）≥c （x ﹣）可化为：≥c ，则c ≤1，故c=﹣2，故答案为：[﹣1，1]，﹣2三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．在△ABC 中，，AC=2，且．（Ⅰ）求AB 的长度；（Ⅱ）若f （x ）=sin （2x+C ），求y=f （x ）与直线相邻交点间的最小距离．【考点】两角和与差的余弦函数；正弦函数的图象． 【分析】（Ⅰ）利用诱导公式求得cosC ，可得C 的值，咋利用余弦定理求得AB 的长度． （Ⅱ）由f （x ）=sin （2x+C ），求得x 1、x 2的值，可得|x 1﹣x 2|的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）∵，∴C=45°．∵，AC=2，∴=4，∴AB=2． （Ⅱ）由，解得或，k ∈Z ，解得，或，k 1，k 2∈Z ．因为，当k 1=k 2时取等号，所以 当时，相邻两交点间最小的距离为．16．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1A ⊥底面ABC ，∠BAC=90°，A 1A=1，，AC=2，E 、F分别为棱C 1C 、BC 的中点． （Ⅰ）求证 AC ⊥A 1B ；（Ⅱ）求直线EF 与A 1B 所成的角；（Ⅲ）若G 为线段A 1A 的中点，A 1在平面EFG 内的射影为H ，求∠HA 1A ．【考点】直线与平面所成的角；棱柱的结构特征． 【分析】（I ）由AC ⊥AB ，AC ⊥AA 1即可得出AC ⊥平面ABB 1A 1，于是AC ⊥A 1B ； （II ）以A 为原点建立坐标系，求出和的坐标，计算cos ＜＞即可得出直线EF 与A 1B 所成的角； （III ）求出和平面EFG 的法向量，则sin ∠HA 1A=|cos ＜，＞|．【解答】证明：（Ⅰ）∵AA 1⊥底面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴AC ⊥AA 1．∵∠BAC=90°，∴AC ⊥AB ．又A 1A ⊂平面AA 1B 1B ，AB ⊂平面AA 1B 1B ，A 1A ∩AB=A ， ∴AC ⊥平面A 1ABB 1． ∵A 1B ⊂平面A 1ABB 1， ∴AC ⊥A 1B ．（Ⅱ）以A 为原点建立空间直角坐标系A ﹣﹣﹣xyz ，如图所示： 则A 1（0，0，1），，，．∴，．∴．直线EF 与A 1B 所成的角为45°． （Ⅲ），，． =（0，0，1）．设平面GEF 的法向量为=（x ，y ，z ）， 则，∴令，则．∴cos＜＞==．∵A1在平面EFG内的射影为H，∴∠HA1A位AA1与平面EFG所成的角，∴sin∠HA1A=|cos＜＞|=．∴∠HA1A=．17．现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）．根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能．比赛项目男单女单混双平均比赛时间25分钟20分钟35分钟（Ⅰ）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率；（Ⅱ）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行；（Ⅲ）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）．【考点】计数原理的应用．【分析】（Ⅰ）求出三场比赛的种数，其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种，根据概率公式计算即可，（Ⅱ）令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛，分别求出按不同顺序比赛时，第三场比赛等待的时间，再根据平均数的定义即可求出，（Ⅲ）按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少．【解答】解：（I）三场比赛共有种方式，其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种，所以按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率为．（Ⅱ）令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛．按ABC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t1=20+25=45（分钟）．按ACB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t2=20+35=55（分钟）．按BAC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t3=20+25=45（分钟）．按BCA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t4=35+25=60（分钟）．按CAB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t5=35+20=55（分钟）．按CBA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t6=35+25=60（分钟）．且上述六个事件是等可能事件，每个事件发生概率为，所以平均等待时间为，（Ⅲ）按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少18．设函数f（x）=ae x﹣x﹣1，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：当x∈（0，+∞）时，ln＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）a=1时得出f（x），进而得到f′（x）=e x﹣1，这样便可判断导数符号，根据符号即可得出f（x）的单调区间；（Ⅱ）可以由f（x）＞0恒成立得到恒成立，这样设，求导，根据导数符号便可判断g（x）在（0，+∞）上单调递减，这便可得到g（x）＜1，从而便可得出a 的取值范围；（Ⅲ）容易得到等价于e x﹣xe x﹣1＞0，可设h（x）=e x﹣xe x﹣1，求导数，并根据上面的f（x）＞0可判断出导数h′（x）＞0，从而得到h（x）＞h（0）=0，这样即可得出要证明的结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，则f（x）=e x﹣x﹣1，f'（x）=e x﹣1；令f'（x）=0，得x=0；∴当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；当x≥0时，f'（x）≥0，h（x）在（0，+∞）上单调递增；即a=1时，f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调赠区间为[0，+∞）；（Ⅱ）∵e x＞0；∴f（x）＞0恒成立，等价于恒成立；设，x∈（0，+∞），；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0；∴g（x）在（0，+∞）上单调递减；∴x∈（0，+∞）时，g（x）＜g（0）=1；∴a≥1；∴a的取值范围为[1，+∞）；（Ⅲ）证明：当x∈（0，+∞）时，等价于e x﹣xe x﹣1＞0；设h（x）=e x﹣xe x﹣1，x∈（0，+∞），；由（Ⅱ）知，x∈（0，+∞）时，e x﹣x﹣1＞0恒成立；∴；∴h′（x）＞0；∴h（x）在（0，+∞）上单调递增；∴x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0；因此当x∈（0，+∞）时，．19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点F，O为坐标原点，直线AB（不垂直x轴）过点F 且与抛物线C交于A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为﹣p．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB（不垂直x轴）的方程可设为．与抛物线方程联立可得：，由直线OA与OB的斜率之积为﹣p，即．可得：x1x2=4．利用根与系数的关系即可得出．（II）利用中点坐标公式、斜率计算公式可得：直线OD的方程为，代入抛物线C：y2=8x的方程，解出即可得出．【解答】（I）解：∵直线AB过点F且与抛物线C交于A，B两点，，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB（不垂直x轴）的方程可设为．∴，．∵直线OA与OB的斜率之积为﹣p，∴．∴，得 x1x2=4．由，化为，其中△=（k2p+2p）2﹣k2p2k2＞0∴x 1+x 2=，x 1x 2=．∴p=4，抛物线C ：y 2=8x ． （Ⅱ）证明：设M （x 0，y 0），P （x 3，y 3），∵M 为线段AB 的中点， ∴，．∴直线OD 的斜率为．直线OD 的方程为代入抛物线C ：y 2=8x 的方程，得．∴．∵k 2＞0， ∴．20．数列{a n }中，给定正整数m （m ＞1），．定义：数列{a n }满足a i+1≤a i （i=1，2，…，m ﹣1），称数列{a n }的前m 项单调不增． （Ⅰ）若数列{a n }通项公式为：，求V （5）．（Ⅱ）若数列{a n }满足：，求证V （m ）=a﹣b 的充分必要条件是数列{a n }的前m 项单调不增． （Ⅲ）给定正整数m （m ＞1），若数列{a n }满足：a n ≥0，（n=1，2，…，m ），且数列{a n }的前m 项和m 2，求V （m ）的最大值与最小值．（写出答案即可） 【考点】数列的应用． 【分析】（Ⅰ）由数列{a n }通项公式分别气的前5项，代入即可求得V （5）， （Ⅱ）充分性：由，数列{a n }的前m 项单调不增，即a m ≤…≤a 2≤a 1，去掉绝对值求得V （m ）=a ﹣b ，再证明必要性，采用反证法，假设数列{a n }的前m 项不是单调不增，则存在i （1≤i ≤m ﹣1）使得a i+1＞a i ，求得=|a﹣b+a i+1﹣a i |+（a i+1﹣a i ）＞a ﹣b ，与已知矛盾，即可证明V （m ）=a ﹣b 的充分必要条件是数列{a n }的前m 项单调不增．（Ⅲ）由当丨a i+1﹣a i 丨=0时，即数列{a n }为常数列，V （m ）=0，当m=2时的最大值：此时a 1+a 2=4，|a 1﹣a 2|≤|4﹣0|=4，当m ＞2时的最大值：此时a 1+a 2+a 3+…+a 4=m 2． 【解答】解（Ⅰ），a 1=﹣1，a 2=1，a 3=﹣1，a 4=1，a 5=﹣1，V （5）=丨a 2﹣a 1丨+丨a 3﹣a 2丨+丨a 4﹣a 3丨+丨a 5﹣a 4丨=2+2+2+2=8， V （5）=8．…（Ⅱ）充分性：若数列{a n }的前m 项单调不增，即a m ≤…≤a 2≤a 1， 此时有：=（a 1﹣a 2）+（a 2﹣a 3）+（a 3﹣a 4）+…+（a m ﹣1﹣a m ）=a 1﹣a m =a ﹣b ．必要性：反证法，若数列{a n }的前m 项不是单调不增，则存在i （1≤i ≤m ﹣1）使得a i+1＞a i ，那么：=丨a i+1﹣a i 丨+丨a i+1﹣a i 丨+丨a i+1﹣a i 丨≥丨a i ﹣a 1丨+（a i+1﹣a i ）+丨a m ﹣a i+1丨， =丨a m ﹣a i +a i ﹣a i+1丨+（a i+1﹣a i ）， =丨a ﹣b+a i+′﹣a i 丨+（a i+1﹣a i ）， 由于a i+1＞a i ，a ＞b ，∴|a ﹣b+a i+1﹣a i |+（a i+1﹣a i ）＞a ﹣b ． 与已知矛盾．…（III ）最小值为0．此时{a n }为常数列．… 最大值为，当m=2时的最大值：此时a 1+a 2=4，（a 1，a 2≥0），…11分 |a 1﹣a 2|≤|4﹣0|=4．当m ＞2时的最大值：此时a 1+a 2+a 3+…+a 4=m 2．由|x ﹣y|≤|x|+|y|易证，{a n }的值的只有是大小交替出现时，才能让V （m ）取最大值． 不妨设：a i+1≤a i ，i 为奇数，a i+1≥a i ，i 为偶数．当m 为奇数时有：，=a 1﹣a 2+a 3﹣a 2+a 3﹣a 4+a 5﹣a 4+…+a m ﹣a m ﹣1，=a 1﹣a m +2a i ﹣4a 2i ≤2a i =2m 2，当m 为偶数时同理可证．…2016年9月20日。