吉林省吉林市2014届高三下学期第二次模拟考试数学【理】(2014吉林二模)及答案

吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班下学期期中教学质量检测数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。

注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内；2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚；3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑；5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{A =，{}1,B m =，A B A = ，则=m A ．0或3B ．0或3C ．1或3D ．1或32．已知i 为虚数单位，若复数1ii(,)1ia b a b R +=+∈-,则a b += A ．i -B ．iC ．1-D ．13．下列函数中，在定义域内既是奇函数又为增函数的是B.sin y x =4．已知,αβ为两个平面，且αβ⊥，l 为直线．则l β⊥是l ∥α的 A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件521x -=的渐近线方程为y =，则双曲线离心率为AB ．3 CD 6的展开式中，2x 项的系数为A ．8B ．4C ．6D ．127．已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-= A ．13B ．13-C ．23D ．23-8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是 A ．－3B ．－12C ． 13D ． 29．已知随机变量ξ服从正态分布2N(0,)σ，(2)0.023P ξ>=，则(22)P ξ-≤≤=A ．0.954B ．0.977C ．0.488D ．0.47710．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为60︒的扇形,第10题图则该几何体的侧面积为A ．10123π+B ．1063π+C ．122π+D ．64π+11．若函数()2sin ([0,])f x xx π=∈在点P处的切线平行于函数()(1)3xg x =+ 在点Q 处的切线，则直线PQ 的斜率 A ．1B ．12C ．83D ．212．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，c b =，且满足sin 1cos sin cos B BA A-= ．若点O 是ABC ∆外一点，θ=∠A O B (0)θπ<<,22OA OB ==，平面四边形 O A C B 面积的最大值是 ABC ．3 D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分。

13．已知实数,x y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为 .14．已知函数4log ,0()3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1[()]4f f = .15．已知点F 为抛物线28y x =-的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，A4的最小值是 .16．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC ＝λDE ＋μAP，则λ＋μ的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足首项为12a =，12n n a a +=，*()n ∈N ．设23l o g 2n n b a =- *()n ∈N ，数列{}n c 满足n n n b a c =．（Ⅰ）求证：数列{}n b 成等差数列； （Ⅱ）求数列{}n c 的前n 项和n S ．18．（本小题满分12分）“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1-4号4扇大门，依次按响 门上的门铃，门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎)， 选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答 每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更 多奖金．（奖金金额累加）但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在 一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20~30；30~40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示．每扇门对应的梦想基金：（单位：元）（Ⅰ）写出22 列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？说明你的理由．（下面的临界值表供参考）正确 错误321,,433，正确回 答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是2，且各个问题回答正确与否互不影响．设该选手所获梦想基金总数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 其中n a b c d =+++）19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111A B C A B C -中，1,1B C A B AC A A ===，D 是棱1CC 上 的一点，P 是AD 的延长线与11AC 的延长线的交点，且1PB ∥平面1BDA ． （Ⅰ）求证：D C CD 1=；（Ⅱ）求二面角11A B D P --的平面角的正弦值．120．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，离心率2e =，,A B 是椭圆上的动点．（Ⅰ）求椭圆标准方程；（Ⅱ）若直线OA 与OB 的斜率乘积12OA OBk k ⋅=-，动点P 满足OP OA OB λ=+ ,（其中实数λ为常数）。

问是否存在两个定点1F ,2F ，使得12PF PF +为定值？若 存在，求1F ,2F 的坐标，若不存在，说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数()(2)(1)2l n f x a x x =---，()1xg x e x =-+.（a 为常数，e 为自 然对数的底， 2.71828e ≈）（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值；（Ⅲ）若对任意给定的(]00,1x ∈，在(]0,e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得0()()i f x g x =成立，求a 的取值范围．22．（本小题满分10分）选修1—4：几何证明选讲 如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，C G E C F D A D E ,,都是⊙O 的割线， 已知AB AC =.（Ⅰ）证明：2AC AE AD =⋅； （Ⅱ）证明：AC FG //.23. （本小题满分10分）选修4— 在极坐标系中，已知圆C的圆心（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程； ，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 2cos 2t y t x （t 为参数），直线l 交圆C 于A B 、两点，求弦长24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|2|,*f x m x m R =--∈，且(2)0f x +≥的解集为[]1,1-．（Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若,,a b c R +∈，且11123m a b c++=，求证：239a b c ++≥．吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班下学期期中教学质量检测数学（理科）答案及评分标准2．填空题13. 【答案】5 14. 15. 16. 【答案】123．解答题17.解：（Ⅰ）由已知可得，112n n n a a q -==， ……………2分23log 22n n b =- ……………3分23-=∴n b n ,31=-+n n b b ……………4分}{n b ∴为等差数列，其中11,3b d ==. ……………5分（Ⅱ）(32)2n n n n c a b n ==-⋅ ……………6分23124272......(32)2n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅ ① ……………7分 23412124272......(35)2(32)2n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ② …………8分① - ② 得234123[222......2](32)2n n n S n +-=+++++--⋅ …………9分114(12)23(32)212n n n -+-=+⋅--⋅- ……………10分110(53)2n n +=-+-⋅ ……………11分∴110(53)2n n S n +=--⋅ ……………12分根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k 2=2120(10701030)201004080⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=3∵3 2.706> ……………3分∴有10.10-=90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关． ……………4分（Ⅱ）ξ的所有能取值分别为：0，1000，3000，6000，11000 则412(1000)525P ξ==⨯= ……………5分 41313(3000)524220P ξ==⨯⨯⨯= ……………6分4131211(6000)52423220P ξ==⨯⨯⨯⨯⨯= ……………7分41312111(11000)524232360P ξ==⨯⨯⨯⨯⨯⨯= ……………8分231123(0)1520206060P ξ==----= ……………9分ξ的分布列为ξ0 1000 3000 6000 11000P236025320 120 160……………10分ξ数学期望232311()0100030006000110001333.33605202060E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……………12分19. 解：（Ⅰ）连接1B A 交1BA 于O∵1PB ∥平面1BDA ，1B P ⊂面1AB P ，面1AB P 面1BA D OD = ……………2分∴1B P ∥OD 又O 为1B A 的中点，∴D 为AP 中点∴1C 为1A P 中点 ……………3分 ∴1ACD PC D ∆≅∆∴D C CD 1=；……………4分（Ⅱ）∵在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC AB AC === ∴AB AC ⊥ ……………5分以1A 为坐标原点，以11A B , 11AC 1A A 所在直线建立空间直角坐标系如图所示。

由（Ⅰ）知1C 为1A P 中点 ∴点11,,,A B D P 坐标分别为1(0,0,0)A ，1(1,0,0)B ，1(0,1,)2D ，(0,2,0)P ……………6分设平面11A B D 的法向量(,,)m x y z =∵11m A B ⊥ 且1m A D ⊥∴0102x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩取2z = ∴(0,1,2)m =-……………8分同理：平面1PB D 的法向量(2,1,2)n =……………10分设二面角11A B D P --平面角为θ则cos 5||||m n m n θ⋅==- ， ……………11分∴sin5θ==……………12分20.解：（I）有题设可知：1cca=⎧⎪⎨=⎪⎩∴a=……………2分又222b a c=-，∴21b=，……………3分∴椭圆标准方程为2212xy+=（4分）（II）设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由OP OA OBλ=+得(x，y)＝(x1，y1)＋λ(x2，y2)＝(x1＋λx2，y1＋λy2)，……………5分即x＝x1＋λx2，y＝y1＋λy2. （6分）因为点A、B在椭圆x2＋2y2＝2上，所以x21＋2y21＝2，x22＋2y22＝2，（7分）故x2＋2y2＝(x21＋2λx22＋2λx1x2)＋2(y21＋2λy22＋2λy1y2)＝(x21＋2y21)＋2λ(x22＋2y22)＋2λ(x1x2＋2y1y2)＝2＋22λ+2λ(x1x2＋2y1y2)．（8分）设k OA，k OB分别为直线OA，OB的斜率，由题设条件知k OA·k OB＝y1y2x1x2＝－12，因此x1x2＋2y1y2＝0，(9分)所以x2＋2y2＝2＋22λ. 即22221221x yλλ+=++(10分)所以P点是椭圆22221221x yλλ+=++上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|＋|PF2|为定值．(11分)又因c因此两焦点的坐标为F1(，0)，F2，0)．所以存在两个定点F 1(，0)，F 2，0)．使得|PF 1|＋|PF 2|= （12分）21. 解：（Ⅰ）当1a =时，()12ln (0)f x x x x =-->则'2()1f x x=-. 令'()0f x >得2x >；令'()0f x <得02x <<故()f x 的单调递减区间为(]0,2，单调递增区间为[)2,+∞ ……………2分（Ⅱ）∵函数()0f x <在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上不可能恒成立，故要使函数()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，只要对1(0,)2x ∀∈，()0f x >恒成立。