河南省驻马店市2016年中考数学模拟试卷(含解析)

2016年河南省驻马店市中考数学模拟试卷一、选择题下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.1．下列各数中最小的是（）A．﹣5 B．﹣π C．3 D．02．如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．电子比荷是自然科学中的重要常数，其数值约为1760亿，若将1760亿用科学记数法表示为1.76×10n，则n的值是（）A．10 B．11 C．12 D．﹣114．如图，a，b为平面内两条直线，且a∥b，直线c截a，b于A，B两点，C，D分别为a，b上的点，在平面内有一点E，EA，EB分别平分∠BAC和∠ABD，则∠E等于（）A．90° B．80° C．60° D．100°5．不等式组的解集在数轴上可表示为（）A．B．C．D．6．在某公司的面试中，李明的得分情况为：个人形象89分，工作能力93分，交际能力83分．已知个人形象、工作能力和交际能力的权重为3：4：4，则李明的最终成绩是（）A．96.7分B．97.1分C．88.3分D．265分7．如图所示的图形是按下列步骤做得的：①在直线l上截取线段AB，使AB=2；②分别以A，B为圆心，以1.5为半径作弧，两弧分别交于C，D两点，连接AC，AD，BC，BD，则四边形ACBD的面积是（）A．B．2 C．D．28．在如图所示的直角坐标系xOy中有一线段AB，其中A和B均在坐标轴上且AB=4，点P（x，y）是AB的中点．现将AB进行移动，但仍保持AB=4，则x，y应满足的关系是（）A．x2+y2=1 B．x+y=1 C．x2+y2=4 D．x+y=4二、填空题9．计算：20+|﹣1|﹣3﹣2= ．10．如图，DE∥BC，AD=3，DC=1，若BC=3，则DE= ．11．一个不透明的矩形容器里装有10个小球（除颜色外完全相同），其中4个白球，6个红球，现从容器中摸出两个球，则摸到相同颜色的球的概率是．12．如图，两个45°的三角板叠放在一起，延长BC和AC，分别交DE于点M，N．若∠ABD=30°，则∠AND的大小是度．13．在如图所示的直角坐标系xOy中，AC⊥OB，OA⊥AB，OB=3，点C是OB上靠近O点的三等分点，若反比例函数y=（x＞0）的图象（图中未画出）与△OAB有两个交点，则k的取值范围是．14．如图，在Rt△ABC中，AB=1，∠ACB=30°，点D是AC的中点，⊙O是△ABC的内切圆，以点D 为圆心，以AD的长为半径作，则图中阴影部分的面积是．15．如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，AB=3，BC=5，P是折线BAC上动点（不与B，C重合），过P作BC的垂线l交BC于D，连接AD．当△ACD是等腰三角形时，BP的长是．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．先化简，再求值：×（﹣）﹣，其中a=b=2016．17．如图，AB是⊙O的直径，D是圆周上半部分不与A，B重合的动点，连接BD，AD．（1）延长BD交⊙O在A点的切线于C，若AO=CD，求∠ACB的大小；（2）填空：①若AB=2，当AD= 时△ABD的面积最大；②当∠BAD= °时BD=AD．18．临近毕业，许多学生面临选择普通高中还是职业高中的问题．为了了解同学们的看法，红星中学数学兴趣小组已对全校3 000名毕业生进行调查，其中男生1 700人，女生1 300人．（1）展开调查由于调查3 000人费时费力，小组决定采用抽签作为样本进行抽样调查的方式，则抽到男生的概率为，抽到女生的概率为；（2）结果分析将调查结果绘制成如下不完整的统计图，回答问题：①调查中认为“无所谓”的有多少人？②调查中认为“两者都有准备”的圆心角度数是多少？③补全统计图；④全校毕业生中认为“一定要进入普通高中”的人数约是多少？19．已知方程x2+3mx+2m﹣3=0．（1）求证：对于任意的实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）设a，b是平行四边形的两邻边边长，也是方程的两根，且a＞b，求a﹣b的最小值．20．某数学活动小组测量了学校旗杆的高度．如图，BC为旗杆，他们先在A点测得C的仰角为45°，再向前走3米到达D点，测得C的仰角为53°，求旗杆高．（结果保留整数）参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 37°≈0.75，≈1.41．21．为便民惠民，人民公园特推出下列优惠方案：①普通卡：每人每次20元；②贵宾卡：年费为200元，每人每次10元；③至尊卡：年费为500元，但进入不再收费．设某人参观x次时，所需总费用为y元．（1）直接写出选择普通卡和贵宾卡消费时的函数关系式；（2）在同一个坐标系中，若三种方案对应的函数图象如图所示，求出点A，B，C的坐标；（3）根据图象，直接写出选择哪种方案更合算．22．如图①，△ABC和△DBE是两个一模一样的三角板（两锐角为30°，60°），现将△DBE绕点B 顺时针旋转，计旋转角为θ（0°＜θ≤180°），连接AD，CE．（1）问题发现当θ=90°时， = ．（2）拓展探究试判断，当0°＜θ＜180°时，的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明．（3）解决问题若AC=2，请直接写出在旋转过程中AD的最大值．23．已知抛物线y=ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0），直线y=﹣x+．定义：若存在某一数x0，使得点（x0，x0）在抛物线y=ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0）上，则称x0是抛物线的一个不动点．（1）当a=1，b=﹣2时，求抛物线的不动点；（2）若对任意的b值，抛物线恒有两个不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若A，B两点的横坐标是抛物线的不动点，且AB的中点C在直线上，请直接写出b的最小值．2016年河南省驻马店市中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.1．下列各数中最小的是（）A．﹣5 B．﹣π C．3 D．0【考点】有理数大小比较．【专题】推理填空题；实数．【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得﹣5＜﹣π＜0＜3，∴各数中最小的是﹣5．故选：A．【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．2．如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据左视图就是从物体的左边进行观察，得出左视图有1列，小长方形数目为2，注意中间是虚线．【解答】解：左视图如图所示：故选D．【点评】此题主要考查了三视图的画法中左视图画法，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．3．电子比荷是自然科学中的重要常数，其数值约为1760亿，若将1760亿用科学记数法表示为1.76×10n，则n的值是（）A．10 B．11 C．12 D．﹣11【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：∵1760亿=176000000000=1.76×1011=1.76×10n，∴n=11，故选B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．如图，a，b为平面内两条直线，且a∥b，直线c截a，b于A，B两点，C，D分别为a，b上的点，在平面内有一点E，EA，EB分别平分∠BAC和∠ABD，则∠E等于（）A．90° B．80° C．60° D．100°【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线的性质得到∠CAB+∠DBA=180°，根据角平分线的定义得到∠EAB=CAB，∠ABE=∠ABD，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵a∥b，∴∠CAB+∠DBA=180°，∵EA，EB分别平分∠BAC和∠ABD，∴∠EAB=CAB，∠ABE=∠ABD，∴∠EAB+∠ABE=（∠CAB+∠DBA）=90°，∴∠E=180°﹣∠EAB﹣∠ABE=90°，故选A．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．5．不等式组的解集在数轴上可表示为（）A．B．C．D．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：，解①得x≥1，解②得x＜4．则．故选A．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．6．在某公司的面试中，李明的得分情况为：个人形象89分，工作能力93分，交际能力83分．已知个人形象、工作能力和交际能力的权重为3：4：4，则李明的最终成绩是（）A．96.7分B．97.1分C．88.3分D．265分【考点】加权平均数．【分析】将李明的各项成绩分别乘以其权，再除以权的和，求出加权平均数即可．【解答】解：根据题意得：≈88.3，故选B．【点评】本题考查了加权平均数，本题易出现的错误是求89，93，83这三个数的平均数，对平均数的理解不正确．7．如图所示的图形是按下列步骤做得的：①在直线l上截取线段AB，使AB=2；②分别以A，B为圆心，以1.5为半径作弧，两弧分别交于C，D两点，连接AC，AD，BC，BD，则四边形ACBD的面积是（）A．B．2 C．D．2【考点】勾股定理；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．【分析】连接CD交AB于点E，由作法可知CD是线段AB的垂直平分线，在Rt△ACE中，利用勾股定理求出CE的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：连接CD交AB于点E，由作法可知CD是线段AB的垂直平分线，在Rt△ACE中，∵AC=1.5，AE=AB=1，∴CE===．∴S四边形ACBD=S△ABC+S△ABD=2S△ABC=2××2×=．故选A．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．8．在如图所示的直角坐标系xOy中有一线段AB，其中A和B均在坐标轴上且AB=4，点P（x，y）是AB的中点．现将AB进行移动，但仍保持AB=4，则x，y应满足的关系是（）A．x2+y2=1 B．x+y=1 C．x2+y2=4 D．x+y=4【考点】直角三角形斜边上的中线；坐标与图形性质．【分析】根据点P（x，y）是AB的中点得出A、B两点的坐标，再根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：∵点P（x，y）是AB的中点，∴A（2x，0），B（0，2y），∵△AOB是直角三角形，∴OA2+OB2=AB2，即（2x）2+（2y）2=42，整理得，x2+y2=4．故选C．【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知勾股定理是解答此题的关键．二、填空题9．计算：20+|﹣1|﹣3﹣2= ．【考点】负整数指数幂；零指数幂．【分析】根据非零的零次幂等于1，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．【解答】解：原式=1+1﹣=，故答案为：．【点评】本题考查了负整数指数幂，利用非零的零次幂等于1，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数是解题关键．10．如图，DE∥BC，AD=3，DC=1，若BC=3，则DE= 2.25 ．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】首先由DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，得出AD：AC=DE：BC，进一步代入数值求得答案即可【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AC=DE：BC，∵AD=3，DC=1，∴AC=AD+DC=4，即3：4=DE：3，解得：DE=2.25．故答案为：2.25．【点评】此题考查相似三角形的判定与性质，掌握三角形相似的判定方法是解决问题的关键．11．一个不透明的矩形容器里装有10个小球（除颜色外完全相同），其中4个白球，6个红球，现从容器中摸出两个球，则摸到相同颜色的球的概率是．【考点】列表法与树状图法．【专题】计算题．【分析】先画树状图展示所有90种等可能的结果数，再找出相同颜色的球的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有90种等可能的结果数，其中摸到相同颜色的球的结果数为42，所以摸到相同颜色的球的概率==．故答案为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．12．如图，两个45°的三角板叠放在一起，延长BC和AC，分别交DE于点M，N．若∠ABD=30°，则∠AND的大小是30 度．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．【分析】根据三角形的外角性质先求∠AOD=45°+30°=75°，再利用外角性质得结论．【解答】解：∵∠A=45°，∠ABD=30°，∴∠AOD=45°+30°=75°，∵∠AOD=∠D+∠AND，∠D=45°，∴∠AND=75°﹣45°=30°，故答案为：30．【点评】本题考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．13．在如图所示的直角坐标系xOy中，AC⊥OB，OA⊥AB，OB=3，点C是OB上靠近O点的三等分点，若反比例函数y=（x＞0）的图象（图中未画出）与△OAB有两个交点，则k的取值范围是0＜k＜．【考点】反比例函数的性质；待定系数法求一次函数解析式；射影定理．【分析】先根据射影定理求得点A的坐标，再根据点A、B的坐标求得直线AB 的解析式，并与反比例函数解析式组成方程组，变形得到关于x的一元二次方程，根据判别式大于0求得k的取值范围，进而得出结论．【解答】解：∵AC⊥OB，OA⊥AB∴AC2=CO×CB∵OB=3，点C是OB上靠近O点的三等分点∴OC=1，BC=2，B（3，0）∴AC==∴A（1，）设直线AB解析式为y=kx+b，则，解得∴直线AB为y=﹣x+将方程组消去y可得，﹣ x+=整理得，x2﹣3x+k=0根据题意得，△=9﹣4k＞0解得k＜又∵k＞0∴k的取值范围是：0＜k＜故答案为：0＜k＜【点评】本题主要考查了反比例函数的性质以及待定系数法求一次函数解析式，解决问题的关键是根据把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，若方程组无解，则两者无交点．14．如图，在Rt△ABC中，AB=1，∠ACB=30°，点D是AC的中点，⊙O是△ABC的内切圆，以点D为圆心，以AD的长为半径作，则图中阴影部分的面积是π+．【考点】扇形面积的计算；含30度角的直角三角形；三角形的内切圆与内心．【分析】连接BD，解直角三角形得到AC=2，BC=，由点D是AC的中点，得到AD=BD=AB=CD，求得∠ADB=60°，然后根据图形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接BD，在Rt△ABC中，AB=1，∠ACB=30°，∴AC=2，BC=，∵点D是AC的中点，∴AD=BD=AB=CD，∴∠ADB=60°，∴⊙O的半径==，∴S阴影=S扇形ABD﹣S△ABD+S△ABC﹣S圆O=﹣××1×+×1×﹣（）2π=π+．故答案为：π+．【点评】本题考查了扇形的面积，解直角三角形，三角形的内切圆与内心，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．15．如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，AB=3，BC=5，P是折线BAC上动点（不与B，C重合），过P作BC的垂线l交BC于D，连接AD．当△ACD是等腰三角形时，BP的长是或．【考点】等腰三角形的性质．【分析】作AE⊥BC于E，由等腰三角形的性质得出BE=CE=BC=，分两种情况：①当DC=AC=3时，BD=BC﹣DC=2，证出PD∥AE，得出△PBD∽BE，得出对应边成比例，即可得出结果；②当DA=DC时，由等腰三角形的性质得出∠B=∠C=∠DAC，证出△DAC∽△ABC，得出比例式求出DC，得出BD，再证明△PBD∽△ABE，得出对应边成比例，即可得出结果．【解答】解：作AE⊥BC于E，如图所示：∵AB=AC，∴BE=CE=BC=，分两种情况：①当DC=AC=3时，BD=BC﹣DC=5﹣3=2，∵PD⊥BC，∴PD∥AE，∴△PBD∽△ABE，∴，即，解得：BP=；②当DA=DC时，∠C=∠DAC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠C=∠DAC，∴△DAC∽△ABC，∴，即，解得：DC=，∴BD=BC﹣DC=5﹣=，∵PD⊥BC，∴PD∥AE，∴△PCD∽△ACE，∴，即，解得：PD=，∴PB==；故答案为：或．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键，注意分类讨论．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．先化简，再求值：×（﹣）﹣，其中a=b=2016．【考点】分式的化简求值．【分析】先算括号里面的，再算除法，最后算减法，把a=b=2016代入进行计算即可．【解答】解：原式=×﹣=•﹣=﹣==，将b=2016代入得：原式=．【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意把原式化为最简形式，再代入求值．17．如图，AB是⊙O的直径，D是圆周上半部分不与A，B重合的动点，连接BD，AD．（1）延长BD交⊙O在A点的切线于C，若AO=CD，求∠ACB的大小；（2）填空：①若AB=2，当AD= 时△ABD的面积最大；②当∠BAD= 60 °时BD=AD．【考点】切线的性质．【分析】（1）由圆周角定理可得AD⊥BC，由切线的性质定理可得AC⊥AB，所以可设CD=1，AD=x，根据射影定理可得出关系式：AD2=CD•BD，进而可求出∠ACB的大小；（2）①AB为定值，所以△ABD的面积最大时，则AB边上的高线最大，即DO⊥AB，由此即可求出AD的长；②因为△ADB是直角三角形，BD=AD，所以可求出∠BAD大小．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，设CD=1，AD=x，∵AO=CD∴AB=2，∴BD=，根据射影定理可得出关系式：AD2=CD•BD，所以x2=，即x4=12﹣x2得x=，∴∠ACB=60°．（2）①∵AB为定值，所以△ABD的面积最大时，则AB边上的高线最大，即DO⊥AB，∴AO=BO，∠ADB=90°∴△ADB是等腰直角三角形，∵AB=2，∴AD=，故答案为：；②∵∠ADB=90°，BD=AD∴tan ∠BAD=， ∴∠BAD=60°，故答案为：60． 【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理的运用、射影定理的运用、等腰直角三角形的判定和性质以及特殊角的三角函数值，题目的综合性较强，熟记和圆有关的性质是解题的关键．18．临近毕业，许多学生面临选择普通高中还是职业高中的问题．为了了解同学们的看法，红星中学数学兴趣小组已对全校3 000名毕业生进行调查，其中男生1 700人，女生1 300人．（1）展开调查由于调查3 000人费时费力，小组决定采用抽签作为样本进行抽样调查的方式，则抽到男生的概率为 ，抽到女生的概率为 ；（2）结果分析将调查结果绘制成如下不完整的统计图，回答问题：①调查中认为“无所谓”的有多少人？②调查中认为“两者都有准备”的圆心角度数是多少？③补全统计图；④全校毕业生中认为“一定要进入普通高中”的人数约是多少？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；概率公式．【分析】（1）利用概率公式即可直接求解；（2）①根据愿意但不敢就读的人数是80，所占的百分比是16%，据此求得参与调查的总人数； ②利用360°乘以对应的百分比即可求解；③首选根据百分比的意义求得持“无所谓”看法的人数，扇形统计图中“两者都有准备”的所占的百分比，“一定要进入普通高中”的所占百分比，从而补全统计图；④利用总人数乘以对应的百分比即可求解．【解答】解：（1）①=；② =，故答案是：，；（2）①参与调查的总人数为80÷16%=500（人），∴调查中认为“无所谓”的有500×24%=120（人）；②调查中认为“两者都有准备”所占百分比为=20%，∴调查中认为“两者都有准备”的圆心角度数是360°×20%=72°，③在条形统计图中持“无所谓”看法的人数为120人；在扇形统计图中“两者都有准备”为20%；“一定要进入普通高中”，40%．；④全校毕业生中认为“一定要进入普通高中”的人数约为×3000=1200（人）．【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应百分比．概率=所求情况数与总情况数之比．19．已知方程x2+3mx+2m﹣3=0．（1）求证：对于任意的实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）设a，b是平行四边形的两邻边边长，也是方程的两根，且a＞b，求a﹣b的最小值．【考点】根的判别式．【分析】（1）先计算△=（3m）2﹣4（2m﹣3）=9m2﹣8m+12，配方得到△=9（m﹣）2+＞0，根据△的意义即可得到对于任何实数m，该方程总有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系可得：a+b=﹣3m，ab=2m﹣3．由a＞b得出a﹣b===，利用二次函数的性质即可求解．【解答】（1）证明：方程的判别式△=（3m）2﹣4（2m﹣3）=9m2﹣8m+12=9（m﹣）2+＞0，即对于任意的实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由根与系数的关系可得：a+b=﹣3m，ab=2m﹣3．∵a＞b，∴a﹣b====，∴当m=时，a﹣b的最小值是．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．20．某数学活动小组测量了学校旗杆的高度．如图，BC为旗杆，他们先在A点测得C的仰角为45°，再向前走3米到达D点，测得C的仰角为53°，求旗杆高．（结果保留整数）参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 37°≈0.75，≈1.41．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，由三角函数得出AB=x，BD=0.75x，由AB﹣BD=AD得出方程，解方程即可．【解答】解：设旗杆高BC为x米，在△ABC中，∠B=90°，∠A=45°，∴AB=BC=x米，在△BCD中，∠B=90°，∠BCD=90°﹣∠BDC=90°﹣53°=37°，∴BD=BC•tan37°=0.75 x米，由题意知：AD=AB﹣BD，∴x﹣0.75x=3，解得：x=12，答：旗杆高为12米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角、三角函数；能借助仰角构造直角三角形，由题意列出方程是解决问题的关键．21．为便民惠民，人民公园特推出下列优惠方案：①普通卡：每人每次20元；②贵宾卡：年费为200元，每人每次10元；③至尊卡：年费为500元，但进入不再收费．设某人参观x次时，所需总费用为y元．（1）直接写出选择普通卡和贵宾卡消费时的函数关系式；（2）在同一个坐标系中，若三种方案对应的函数图象如图所示，求出点A，B，C的坐标；（3）根据图象，直接写出选择哪种方案更合算．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据：总费用=每人次费用×参观次数与总费用=年费+每人次费用×参观次数可分别普通卡和贵宾卡消费时的函数关系式；（2）利用函数交点坐标求法分别得出即可；（3）利用（2）的点的坐标以及结合得出函数图象得出答案．【解答】解：（1）普通卡：y1=20x；贵宾卡：y2=10x+200；（2）令y1=500得：20x=500，解得：x=25，∴点B坐标为（25，500）；令y2=500得：10x+200=500，解得：x=30，∴点C的坐标为（30，500）；联立y1、y2得：，解得：，∴点A的坐标为（20，400）；∴A（20，400），B（25，500），C（30，500）．（3）①当0＜x＜20时，选择普通卡更合算；②当x=20时，选择普通卡和贵宾卡的总费用相同，均比至尊卡合算；③当20＜x＜30时，选择贵宾卡更合算；④当x=30时，选择贵宾卡和至尊卡的总费用相同，均比普通卡合算；⑤当x＞30时，选择至尊卡更合算．【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据数形结合得出自变量的取值范围得出是解题关键．22．如图①，△ABC和△DBE是两个一模一样的三角板（两锐角为30°，60°），现将△DBE绕点B 顺时针旋转，计旋转角为θ（0°＜θ≤180°），连接AD，CE．（1）问题发现当θ=90°时， = ．（2）拓展探究试判断，当0°＜θ＜180°时，的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明．（3）解决问题若AC=2，请直接写出在旋转过程中AD的最大值．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）根据△BCE和△BAD都是等腰直角三角形进行判断；（2）先判定△CBE∽△ABD，再根据相似三角形的对应边成比例进行判断；（3）当A、D、B三点共线时，AD达到最大．【解答】解：（1）如图，当θ=90°时，△BCE和△BAD都是等腰直角三角形，∴==；（2）无变化．证明：在旋转过程中，∠CBE=∠ABD又由△ABC≌△DBE可知：AB=DB，CB=EB∴∴△CBE∽△ABD∴即的大小无变化（3）如图，当旋转角θ=180°时，AD达到最大，最大值为．【点评】本题主要考查了图形的旋转，解决问题的关键是掌握旋转的性质．解题时注意：①旋转不改变图形的形状和大小（即旋转前后的两个图形全等）；②任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等（都是旋转角）；③经过旋转，对应点到旋转中心的距离相等．23．已知抛物线y=ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0），直线y=﹣x+．定义：若存在某一数x0，使得点（x0，x0）在抛物线y=ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0）上，则称x0是抛物线的一个不动点．（1）当a=1，b=﹣2时，求抛物线的不动点；（2）若对任意的b值，抛物线恒有两个不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若A，B两点的横坐标是抛物线的不动点，且AB的中点C在直线上，请直接写出b的最小值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）先求出抛物线解析式，再确定出抛物线的不动点；（2）根据一元二次方程根的判别式确定出a的范围；（3）利用中点坐标确定出a，b的函数关系式，从而求出b的最小值．【解答】解：（1）当a=1，b=﹣2时，抛物线y=x2﹣x﹣3，令x2﹣x﹣3=x，即x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，所以此时抛物线的不动点为﹣1或3，（2）若对任意的b值，抛物线恒有两个不动点，则令ax2+（b+1）x+b﹣1=x即ax2+bx+b﹣1=0恒有两个不等实数解，∴令△=b2﹣4a（b﹣1）＞0对任意的b值恒成立，即b2﹣4ab+4a＞0对任意的b值恒成立，令△'=（4a）2﹣4•4a＜0即a2﹣a＜0解得0＜a＜1，（3）设A（x1，x1），B（x2，x2）（x1≠x2）∵AB的中点C在直线上，∴∴x1+x2=∵x1，x2是方程ax2+bx+b﹣1=0的两根∴x1+x2=﹣，∴﹣∴b=﹣∴当a=时，b的最小值是﹣1．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，一元二次方程根的判别式，中点坐标，理解新定义是解本题的关键．。