精品 2014年八年级数学下册同步讲义--勾股定理

第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理例1.在△ABC 中，∠C=900，AC=2.1cm ，BC=2.8cm（1）求这个三角形的斜边AB 的长和斜边上的高CD 的长．（2）求斜边被分成的两部分AD 和BD 的长．例2.在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树17米处的池塘的A 处。

另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树高？例3.如图，已知在△ABC 中，∠C=900,D 为AC 上一点，AB=13,BD=3,AD=1,求CD 的长。

例4.在四边形ABCD 中，∠BAD=900，AB=32cm ，连结AC ，△ABC 恰为等边三角形，△ACD 恰为直角三角形，求四边形ABCD 的面积。

勾股定理：222c b a =+=2a =2b直角三角形面积公式： ch ab ch ab S =⇒==2121 完全平分公式变形公式：⎨⎧⇒⎩⎨⎧+=+S abb ac b a 222勾股组数：a,b 为直角边，c 为斜边⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=::::::::::::::::::c b a特殊三角形公式： 等边三角形面积公式：)(432为边长a a S =300,600,900三角形三边课堂练习：1.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ）A.12B.77+ C ．12或77+ D.以上都不对 2.如图,AB ⊥CD 于B,△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形,如果CD=17,BE=5,那么AC 的长为（ ） A.12 B.7C.5D.133.如图,在△ABC 中,∠C=900，BC=6,D 、E 分别在AB,AC 上,将△ABC 沿DE 折叠,使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点,则折痕DE 的长为（ ） A.21 B.2 C.3 D.44.一架25分米长的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距离墙底端7分米,如果梯子的顶端沿墙下滑4分米,那么梯足将滑动( )A.9分米B.15分米C.5分米D.8分米5.在△ABC 中,∠C=900，（1）已知 a=2.4，b=3.2，则c= ；（2）已知c=17,b=15,则△ABC 面积等于 ；（3）已知∠A=450，c=18，则a= .6.在Rt △ABC 中，∠C=900，且2a=3b ，132=c ，则a=_____，b=_____．7.如图，△ABC 中,AC=6,AB=BC=5,则BC 边上的高AD=______．8.如图,校园内有两棵树,相距12米,一棵树高13米,另一棵树高8米,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，速度为6米/秒，则小鸟至少要飞________秒才能到达顶端.9.将一根24cm 的筷子,置于底面直径为15cm,高8cm 的圆柱形水杯中,如图所示,设筷子露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是10.将一副三角尺如图所示叠放在一起,若AB=14cm ，则阴影部分的面积是________cm 2.11.已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的边长为________12.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为11cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为________cm 2。

13.如图，△ABC 是等边三角形,点D 是BC 边上任意一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．若BC=2，则DE+DF= 14.已知：正方形的边长为1，(1)如图(a),可以计算出正方形的对角线长为2；如图(b),两个并排成的矩形的对角线的长 为 ;n 个并排成的矩形的对角线的长为 ;(2)若把(c)(d)两图拼成如图“L ”形,过C 做直线交DE 于A,交DF 于B,若DB=35,则DA 的长度为 15.已知：如图，BD 是Rt △DAB 和Rt △DCB 的公共边，∠A 、∠C 是直角，∠ADC=600，BC=2cm ，35 AD cm ，求DB 、DC 的长。

16.如图所示,等腰三角形ABC的底边长为8，腰长为5,一动点P在底边上从B向C以0.25个单位每秒的速度移动,当P运动几秒时,P,A,C三点构成的三角形为直角三角形？17.如图，等腰直角三角形ABC,∠ACB=900，AC=BC=4，以BC为边作等腰Rt△BCD，求线段AD的长度。

3,△BCD是以BC为边的等边三角形,求DE 18.已知,如图,在△ABC中,∠ACB=900，∠ABC=300，BC=3的长度。

19.在坐标系中，A(-4，0),B(0，3)，在x轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，求点C坐标。

20.如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去．(1)记正方形ABCD的边长为a1=1,按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，……，a n，请求出a2，a3，a4的值；(2)根据以上规律写出a n的表达式．课堂检测日期：月日满分：100分姓名：得分：1.如图是我校的长方形水泥操场,如果一学生要从A角走到C角,至少走（）A.140米B.120米C.100米D.90米2.如图,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的短直角边为a,较长的直角边为b,那么(a+b)2的值为( )A.169B.25C.19D.133.如图,直线L过正方形ABCD顶点B,点A,C到直线L的距离是1和2,则正方形ABCD的边长是（）A.3B.5C.3D.74.放学以后,萍萍和晓晓从学校分手,分别沿东南方向和西南方向回家,若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分,萍萍用15分钟到家,晓晓用20分钟到家,萍萍家和晓晓家的距离为（）A.600米B.800米C.1000米D.不能确定5.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m,当它把绳子的下端拉开5m后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为（）A.8cmB.10cmC.12cmD.14cm6.在△ABC中,∠ACB=900，AC=40，CB=9，M、N在AB上且AM=AC,BN=BC,则MN的长为（）A．6 B．7 C．8 D．97.直角三角形有一条直角边的长为11,另外两边的长也是正整数,那么此三角形的周长是（）A. 120B. 121C. 132D. 1238.在Rt△ABC中,∠C=900，①若a=5，b=12，则c=_____；②若a=15，c=25，则b=_____；③若c=61，b=60，则a=________；④若a∶b=3:4，c=10则S Rt△ABC=_______9.一个三角形的三边之比为5:12:13,它的周长为60,则它的面积是＿＿＿.10.在直角△ABC中，斜边AB=7，则222++=______.AB AC BC11.一个直角三角形的三边长的平方和为300,则斜边长为12.在Rt△ABC中,∠C=900，BC=12cm，S△ABC=30cm2，则AB= .13.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12cm和10cm，则这个三角形的面积为．14.如图,在△ABC中,∠C=900，BC=3,AC=4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是_______15.已知△ABC中，∠C=900，BC=a，AC=b，AB=c。

（1）已知a=1,b=2,求c；（2）已知a=15，c=17，求b；（3）已知a+b=14，ab=48，求c；（4）已知c=34，a:b=8:15,求a，b。

16.如图,已知一等腰三角形ABC的周长是32,底边BC上的高AD=8.求这个三角形各边的长.17.将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上,旗杆从旗顶到地面的高度为320cm,在无风的天气里,彩旗自然下垂,如右图.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm）.17.2 勾股定理逆定理例1.已知,如图,四边形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,BC=26cm,CD=25cm,且∠A=900，求四边形ABCD的面积.例2.已知:如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=16,点D在BC上，DA CA于A,求BD的长。

2求AB的长．例3.如图,在Rt△ABC中,∠C=900，D、E分别为BC和AC的中点,AD=5,BE=10例4.如图,△ABC中,∠A=900，AC=20,AB=10,延长AB到D,使CD+DB=AC+AB，求BD的长．例5.王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条边长为a 米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米. (1)请用a 表示第三条边长；(2)问第一条边长可以为7米吗?为什么?请说明理由，并求出a 的取值范围；(3)能否使围成的小圈是直角三角形形状,且各边长均为整数?若能,说明你的围法;若不能,请说明理由.例6.如图,△ABC 中，∠C=900，D 为AB 的中点,E 、F 分别在AC 、BC 上,且DE ⊥D.求证：AE 2+BF 2=EF 2．例7.如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图（一）中四边形ABCD 就是一个“格点四边形”．（1）求图（一）中四边形ABCD 的面积；（2）在图（二）方格纸中画一个格点三角形EFG ，使△EFG 的面积等于四边形ABCD 的面积且为轴对称图形．DCBA课堂练习：1.三角形的三边长为a 、b 、c ，且满足等式(a+b)2-c 2=2ab,则此三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形2.有五组数：①25,7,24；②16,20,12；③9,40,41；④4,6,8；⑤32,42,52，以各组数为边长,能组成直角三角形的个数为( ).A.1B.2C.3D.43.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，AB=8，BC=15，CA=17，则下列结论不正确的是（ ）A.△ABC 是直角三角形,且AC 为斜边B.△ABC 是直角三角形,且∠ABC=90°C.△ABC 的面积是60D.△ABC 是直角三角形,且∠A=60°4.三边BC=3,AC=4,AB=5的三角形沿最长边AB 翻折后得到△ABC /，则CC /的长等于（ ） A.125 B.135 C.56 D.2455.直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( ) A.ab=h 2 B.a 2+b 2=2h 2Ca 1+b 1=h1D21a +21b =21h 6.已知三角形的三边长为n 、n ＋1、m(其中m 2=2n+1)，则此三角形( ) A.一定是等边三角形B.一定是等腰三角形C.一定是直角三角形D.形状无法确定7.直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）A.d S d 22++B.d S d --2C.d S d 222++D.d S d ++22 8.一个正方形的一边长为3 cm ，那么它的一条对角线长是_________9.已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2-4｜＋652+-y y =0，则第三边长为＿＿＿＿＿10.在△ABC 中,∠C=900,BC=60cm,CA=80cm,一只蜗牛从C 点出发,以每分20cm 的速度沿CA-AB-BC 的路径再回到C 点,需要______分的时间.11.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm,A 和B 是这个台阶两个相对的端点,A 点有一只蚂蚁,想到B 点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是________12.若一个三角形的三边长分别为1,a,8(其中a 为正整数),则以a-2,a,a+2为边的三角形的面积为_____ 13.已知:如图,∠ABD=∠C=900，AD=12,AC=BC,∠DAB=300，求BC 的长．14.有一块四边形地ABCD,如图,∠B=900,AB=4 m,BC=3m,CD=12m,DA=13m,求该四边形地ABCD 的面积.15.如图,将一根25 cm 长的细木棒放入长,宽,高分别为8 cm,6 cm 和103cm 的长方体无盖盒子中,则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米?16.已知:如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,且CD2=AD·BD.求证:△ABC是直角三角形.17.如图,等腰△ABC中,底边BC=20,D为AB上一点,CD=16,BD=12,求△ABC的周长.16.喜欢爬山的同学都知道,很多名山上都有便于游人观光的索道,如图所示,山的高度AC为800 m,从山上A与山下B处各建一索道口,且BC=1500 m,一游客从山下索道口坐缆车到山顶,知缆车每分钟走50 m,那么大约多长时间后该游客才能到达山顶?说明理由.课堂检测日期：月日满分：100分姓名：得分：1.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）A.12,15,17B.9,16,25C.5a,12a,13a（a>0）D.2,3,42.已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2-b2)(a2+b2-c2)=0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3.下列说法正确的是（）A.若a、b、c是△ABC的三边，则a2+b2=c2；B.若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2+b2=c2；C.若a、b、c是Rt△ABC的三边，90∠A，则a2+b2=c2；=D.若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C，则a2+b2=c2．90=4.若一个三角形三边长均为奇数，则此三角形( )A.一定是直角三角形B.一定是等腰三角形C.一定不是直角三角形D.一定不是等腰三角形5.下列命题:①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a>b=c），那么a2:b2:c2=2:1:1。