江苏省扬州市蒋王中学高三数学暑期测试卷 苏教版

高三数学暑期活动测试卷8.10一、填空题（本题共14小题，每小题5分，共70分） 1、函数)1(log 23x x y ++-=的定义域为2、设,a R ∈，且复数112a i i +++是纯虚数，则a 的值为 3、已知向量a 和b 的夹角为0120，||1,||3a b ==，则|5|a b -= 4、函数x x y ln 2-=的单调减区间为5、已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b +＝6、在ABC ∆中，,10,2.3===BC AC AB 则=⋅7、在△ABC 中,若a ＝7,b ＝8,13cos 14C =,则最大内角的余弦值为 _ 8、设直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b 的值是 9、函数x y 3sinπ=在区间],0[t 恰好取得2个最大值，则实数t 的取值范围是10、已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量1)=-m ，(cos sin )A A =，n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角B =11、若函数)24lg()(x k x f ⋅-=在]2,(-∞上有意义，则实数k 的取值范围是12、已知,0,322=⋅==OB OA 点C 在线段AB 上，且,60︒=∠AOC 则⋅的值是13、若BC AC AB 2,2==，则ABC S ∆的最大值14、已知向量(cos ,sin )(0)OA λαλαλ=≠，(sin ,cos )OB ββ=-，其中O 为坐标原点，若||2||BA OB ≥对任意实数α、β都成立，则实数λ的取值范围是★★（请务必．．将答案填写到第2页指定区域，否则视为答题无效．．）★★一、填空题（本题共14小题，每小题5分，共70分）1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 二、解答题：(本大题共6小题，共计90分．)15（14分）、已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+- （I ）求()f x 的最小正周期和值域；（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若()22A f =且2a bc =，试判断ABC ∆的形状.16（14分）、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=． （Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若m (0,1)=-，n ()2cos ,2cos 2C B =，试求|m +n |的最小值．17（15分）、在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c .⑴若,,a b c成等比数列，求()sin f B B B =的值域； ⑵若,,a b c 成等差数列，且3A C π-=，求cos B 的值18（15分）、已知ABC ∆的面积S3S ≤≤，且6A B B C ⋅=，AB 与BC 的夹角为θ． （Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）求函数1)4()sin f πθθθ-=的最大值．19（16分）、某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。

（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

20（16分）、设函数432()2()f x x ax x b x =+++∈R ，其中a b ∈R ，． （Ⅰ）当103a =-时，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）若函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围；（Ⅲ）若对于任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，求b 的取值范围．B高三数学暑期活动测试卷参考答案8.10一、填空题1、(]2,12、1-3、74、 )2,0(5、(4,8)--6、23 7、71- 8、12ln - 9、 )227,215[ 10、6π11、)1,(-∞ 12、4 13、 14、),3[]3,(+∞⋃--∞ 二、解答题15、﹙Ⅰ﹚22()cos cos sin f x x x x x =+-2cos2x x =+2sin(2)6x π=+∴,()[2,2]T f x π=∈- ﹙Ⅱ﹚由()22Af =，有()2sin()226A f A π=+=，∴sin() 1.6A π+= ∵0A π<<，∴62A ππ+=,即3A π=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-及2a bc =，∴2()0b c -=. 12分 ∴,b c = ∴3B C π==.∴ABC ∆为等边三角形.16、解：（Ⅰ）tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B+=⇒+=，…………… ……3分 即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B+=， ∴sin()2sin sin cos sin A B C B A B +=，∴1cos 2A =． …………………………5分 ∵0πA <<，∴π3A =．…………………………………………7分 （Ⅱ）m +n 2(cos ,2cos 1)(cos ,cos )2CB BC =-=， ∴|m +n |222222π1πcos cos cos cos ()1sin(2)326B C B B B =+=+-=--．10分 ∵π3A =，∴2π3B C +=，∴2π(0,)3B ∈．从而ππ7π2666B -<-<．………………………………12分∴当πsin(2)6B -＝1，即π3B =时，|m +n |2取得最小值12．………13分所以，|m +n |min =．…………………………………………14分 评讲建议：本题主要考查解三角形和向量的运算等相关知识，要求学生涉及三角形中三角恒等变换时，要从化角或化边的角度入手，合理运用正弦定理或余弦定理进行化简变形；在第二小题中，要强调多元问题的消元意识，进而转化为函数的最值问题，注意定义域的确定对结论的影响，并指明取最值时变量的取值．17、解：⑴222,2,b ac a c ac =+≥ 22221cos 222a cb ac ac B ac ac +--∴=≥=， 当且仅当a c =时取等号，03B π∴<≤， …………4分由于()sin 2sin()3f B B B B π=+=+，又2,333B πππ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，()2f B ≤≤， …………6分即()f B 的值域为⎤⎦. …………7分⑵2,sin sin 2sin ,a c b A C B +=∴+=又2,,,,33232B BA C A CB AC ππππ-=+=-∴=-=-2sin()sin()2sin ,3232B B B ππ∴-+-= …………10分22sin cos 222B B B=⨯，cos 0,sin 224B B ≠∴= …………12分235cos 12sin 1288B B ∴=-=-=. …………15分18、（Ⅰ）cos 6AB BC AB BC θ⋅=⋅⋅= ① 12S =sin AB BC θ⋅⋅ ② 由①、②得，3tan S θ=．3S ≤tan 1θ≤≤，又0θπ≤≤，所以[,]64ππθ∈．（Ⅱ）1)4())sin 4f πθπθθθ-==-， 因为[,]64ππθ∈，所以[,0]412ππθ-∈-，当且仅当4πθ=时，()f θ取最小值0．19、【解析】：本小题考查函数的概念、解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。

（1）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad )，则10cos cos AQ OA BAO θ==∠，故10cos OB θ=又1010OP tan θ=-，所以10101010cos cos y OA OB OP tan θθθ=++=++- 所求函数关系式为2010sin 10(0)cos 4y θπθθ-=+≤≤②若OP=x (km )，则OQ=10-x ，所以OA OB ===所求函数关系式为(010)y x x =+≤≤（2）选择函数模型①，2210cos cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)'cos cos y θθθθθθθ-----==令'0y =得1sin 2θ= 046ππθθ≤≤∴=当(0,)6πθ∈时'0y <，y 是θ的减函数；当(,)64ππθ∈时'0y >，y 是θ的增函数；所以当6πθ=时，min 120101010y -⨯==此时点O 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边3km 处。

20、（Ⅰ）解：322()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++．当103a =-时，2()(4104)2(21)(2)f x x x x x x x '=-+=--．令()0f x '=，解得10x =，212x =，32x =． 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，(2)+，∞内是增函数，在(0)-∞，，122⎛⎫ ⎪⎝⎭，内是减函数．（Ⅱ）解：2()(434)f x x x ax '=++，显然0x =不是方程24340x ax ++=的根． 为使()f x 仅在0x =处有极值，必须24340x ax ++≥恒成立，即有29640a ∆=-≤． 解此不等式，得8833a -≤≤．这时，(0)fb =是唯一极值． 因此满足条件的a 的取值范围是8833⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．（Ⅲ）解：由条件[]22a ∈-，可知29640a ∆=-<，从而24340x ax ++>恒成立．当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．因此函数()f x 在[]11-，上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者． 为使对任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，当且仅当(1)1(1)1f f ⎧⎨-⎩≤，≤， 即22b a b a --⎧⎨-+⎩≤，≤ 在[]22a ∈-，上恒成立．所以4b -≤，因此满足条件的b 的取值范围是(]4--∞，．。