【数学】江苏省扬州中学2017-2018学年高一上学期12月阶段测试数学试题+答案
2017届江苏省扬州中学高三上学期月考数学试题及答案
江苏省扬州中学2017学年第一学期月考高三数学试卷一、填空题：1. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==R x y y A x ,21|，{}R x x y y B ∈-==),1(log |2，则=⋂B A ▲ ．2．已知ss :p “若b a =，则||||b a =”，则ss p 及其逆ss 、否ss 、逆否ss 中，正确ss 的个数是 ▲ ．3.设x 是纯虚数，y 是实数，且y x i y y i x +--=+-则,)3(12等于 ▲ ．4. 已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则4()3f 的值为 ▲ ．5. 在等差数列{}n a 中，若7893a a a ++=，则该数列的前15项的和为 ▲ ．6. 已知直线 ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个ss ：①α∥β⇒ ⊥m ；②α⊥β⇒ ∥m ；③ ∥m ⇒α⊥β；④ ⊥m ⇒α∥β 其中正确ss 序号是 ▲ ．7. 已知||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为120︒，0a c b ++=，则a 与c 的夹角为▲ ．8. 设y x ,均为正实数，且33122x y+=++，则xy 的最小值为 ▲ ．9.已知方程2x +θtan x －θsin 1=0有两个不等实根a 和b ，那么过点),(),,(22b b B a a A 的直线与圆122=+y x 的位置关系是 ▲ ．10．若动直线)(R a a x ∈=与函数())()cos()66f x xg x x ππ=+=+与的图象分别交于N M ,两点，则||MN 的最大值为 ▲ ．11. 设12()1f x x ，11()[()]n n f x f f x ，且(0)1(0)2n nn f a f ，则2014a = ▲ ．12. 函数32()f x x bx cx d =+++在区间[]1,2-上是减函数,则c b +的最大值为 ▲ ．13．已知椭圆与x 轴相切，左、右两个焦点分别为)25(1,1(21，），F F ，则原点O 到其左准线的距离为 ▲ ． 14. 设13521A ,,,,2482n nn -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭(),2n N n *∈≥，A n 的所有非空子集中的最小元素的和为S ，则S = ▲ ． 二、解答题：15．(本小题满分14分)设向量),cos ,(sin x x a =),sin 3,(sin x x b =x ∈R ，函数)2()(b a a x f +⋅=. （1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）求使不等式()2f x '≥成立的x 的取值集合． 16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ︒∠=，PA 垂直于底面ABCD ，N M BC AB AD PA ,,22====分别为PB PC ,的中点．（1）求证：DM PB ⊥；（2）求点B 到平面PAC 的距离．17．(本小题满分14分)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到．x 元．公司拟投入21(600)6x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入．．．与总投入．．．之和？并求出此时商品的每件定价．18．(本小题满分16分)已知函数()21f x x =-，设曲线()y f x =在点(),n n x y 处的切线与x 轴的交点为()1,0n x +，其中1x 为正实数. （1）用n x 表示1n x +； （2）12x =,若1lg1n n n x a x +=-，试证明数列{}n a 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （3）若数列{}n b 的前n 项和()12n n n S +=，记数列}{n n b a ⋅的前n 项和n T ，求n T ．.19. (本小题满分16分)如图所示，已知圆PMM A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 是线段AM 的垂直平分线与直线CM 的交点．（1）求点P 的轨迹曲线E 的方程；（2）设点00(,)P x y 是曲线E 上任意一点，写出曲线E 在点00(,)P x y 处的切线l 的方程；（不要求证明）（3）直线m 过切点00(,)P x y 与直线l 垂直，点C 关于直线m 的对称点为D ，证明：直线PD 恒过一定点，并求定点的坐标．20. (本小题满分16分)设0a >，两个函数()axf x e =，g()ln x b x =的图像关于直线y x =对称. （1）求实数b a ,满足的关系式；（2）当a 取何值时，函数()()()h x f x g x =-有且只有一个零点； （3）当1=a 时，在),21(+∞上解不等式2)()1(x x g x f <+-．高三___________ 姓名_____________ 学号………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………数学(附加题)21．B ．(本小题满分10分)已知二阶矩阵M 有特征值8λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，并且矩阵M 对应的变换将点(1,2)-变换成(2,4)-, 求矩阵M ．.C ．(本小题满分10分)在直角坐标系中，参数方程为为参数）t t y t x (21232⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=的直线l ，被以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，极坐标方程为θρcos 2=的曲线C 所截，求截得的弦长．22． (本小题满分10分)设函数()(,n)1nf x x =+,()n N *∈． （1）求(,6)f x 的展开式中系数最大的项；（2）若(,n)32f i i =（i 为虚数单位）,求13579n n n n nC C C C C -+-+．23． (本小题满分10分)电子蛙跳游戏是: 青蛙第一步从如图所示的正方体1111D C B A ABCD -顶点A 起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点．（1）求跳三步跳到1C 的概率P ；（2）青蛙跳五步，用X 表示跳到过1C 的次数，求随机变量X 的概率分布及数学期望)(X E ．1A12一、填空题1. ()+∞,0 2．2 3. i 251-- 4. 325.156. ①③7. 90︒8.169. 相切 10．2 11. 201512⎛⎫- ⎪⎝⎭ 12.152- 13．5341714.⎪⎩⎪⎨⎧∈≥-=*2,3,212,47N n n n n二、解答题15．解：(1) )2()(b a a x f +⋅=222sin cos 2(sin 3sin cos )x x x x x =+++ 3111cos 23sin 222(sin 2cos 2)22x x x x =+-+=+⋅-⋅ 22(sin 2coscos 2sin )22sin(2)666x x x πππ=+-=+-. …………5′由222262k x k πππππ-≤-≤+，得63k x k ππππ-≤≤+()k ∈Z ，∴()f x 的单调递增区间为[,]63k k ππππ-+()k ∈Z . …………8′(2) 由()22sin(2)6f x x π=+-，得()4cos(2)6f x x π'=-.由()2f x '≥，得1cos(2)62x π-≥，则222363k x k πππππ-≤-≤+，即124k x k ππππ-≤≤+()k ∈Z . ∴使不等式()2f x '≥成立的x 的取值集合为,124x k x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z .……14′16．解：（1）因为N 是PB 的中点，PA=AB ，所以AN ⊥PB,因为AD ⊥面PAB ，所以AD ⊥PB,又因为AD ∩AN=A 从而PB ⊥平面ADMN,因为平面ADMN ， 所以PB ⊥DM. …………7′(2) 连接AC ，过B 作BH ⊥AC ，因为PA ⊥底面ABCD ， 所以平面PAB ⊥底面ABCD ，所以BH 是点B 到平面PAC 的距离.在直角三角形ABC 中，BH ＝AB BC 25AC 5⋅＝ ……………14′17．解：（1）设每件定价为x 元，依题意，有25(80.2)2581x x --⨯≥⨯， 整理得26510000x x -+≤，解得2540x ≤≤．∴ 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．………7′高三数学月考试卷参考答案（2）依题意，25>x 时，不等式21125850(600)65ax x x ≥⨯++-+有解, 等价于25>x 时，1501165a x x ≥++有解, ()150110306x x x +≥==当且仅当时，等号成立 , 10.2a ∴≥.∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．……14′ 18．解：（1）由题可得()2f x x '=，所以在曲线上点()(),n n x f x 处的切线方程为()()()n n n y f x f x x x '-=-，即()()212n n n y x x x x --=-令0y =，得()()2112n n n n x x x x +--=-，即2112nn n x x x ++= 由题意得0n x ≠，所以2112n n nx x x ++=………………5′（2）因为2112n n n x x x ++=，所以2211221111221lg lg lg 112112n n n n n n n n n n nx x x x x a x x x x x ++++++++===+--+- ()()2211lg 2lg211nn n n n x x a x x ++===--即12n n a a +=， 所以数列{}n a 为等比数列故11111112lg22lg 31n n n n x a a x ---+==⋅=- ………10′ （3）当1n =时，111b S ==，当2n ≥时，()()11122n n n n n n n b S S n -+-=-=-= 所以数列{}n b 的通项公式为n b n =，故数列{}n n a b 的通项公式为12lg 3n n n a b n -=⋅()21122322lg 3n n T n -∴=+⨯+⨯++⋅ ①①2⨯的()2212322lg 3n n T n =⨯+⨯++⋅ ②①-②得()2112222lg 3n nn T n --=++++-⋅故()221lg 3n n n T n =⋅-+ ………………16′19.解：（1）点P 是线段AM 的垂直平分线,∴PA PM ＝PA PC PM PC AC 2＋＝＋＝＝，∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆. 椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a∴曲线E 的方程为.1222=+y x ………5′（2）曲线E 在点00(,)P x y 处的切线l 的方程是0012x xy y +=.………8′（3）直线m 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --= .设点C 关于直线m 的对称点的坐标为()D ,m n ,则0000001212022x nm y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨-⎪⋅--=⎪⎩，解得320002043200002002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩ ∴直线PD 的斜率为4320000032000042882(34)n y x x x x k m x y x x -++--==---+ 从而直线PD 的方程为： 432000000320004288()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+ 即3200043200002(34)14288y x x x y x x x x --+=+++--, 从而直线PD 恒过定点(1,0)A .………16′ 20.解：（1）设P()ax x e ，是函数()ax f x e =图像上任一点，则它关于直线y x =对称的点P ()axe x ，，在函数g()ln x b x =的图像上，ln ax x b e abx ∴==，1ab ∴=.（2）当0a >时，函数()()()h x f x g x =-有且只有一个零点，两个函数的图像有且只有一个交点，两个函数关于直线y x =对称，∴两个函数图像的交点就是函数()axf x e =，的图像与直线y x =的切点.设切点为00A()ax x e，，00=ax x e ()ax f x ae =，，0=1ax ae ∴，0=1ax ∴，00==ax x e e ∴, ∴当011a x e==时，函数()()()h x f x g x =-有且只有一个零点x e =； （3）当a =1时，设 ()2()(1)+g r x f x x x =--1x e -=2ln x x +-，则()r x ，112x e x x -=-－＋，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，112211,1x x e x --<-=<-－，()0r x ，＜，当[)1,+x ∈∞时，112121,0x x e x--≤-=<－－，()0r x ，＜． ()r x ∴在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数.又(1)r ＝0，∴不等式()2(1)+g f x x x -<解集是()1,+∞．21．B ．解：设M=ab cd ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=811⎡⎤⎢⎥⎣⎦=88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故8,8.a b c d +=⎧⎨+=⎩a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=24-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故22,2 4.a b c d -+=-⎧⎨-+=⎩联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=6244⎡⎤⎢⎥⎣⎦．………10′ C ．解：由题意知，直线l 的倾斜角为 30，并过点A （2，0）；曲线C 是以（1，0）为圆心、半径为1的圆，且圆C 也过点A （2，0）；设直线l 与圆C 的另一个交点为B ，在OAB Rt ∆中，330cos 2== AB ．…………10′22．解：（1）展开式中系数最大的项是第4项＝()333620C x x =；………5′（2）由已知，n(1)32i i =＋，两边取模，得n 32=，所以10n =.所以13579n n n n n C C C C C -+-+=135791010101010C C C C C -+-+ 而1001229910101010101010(1)i C C i C i C i C i =+++++＋()()024*********1010101010101010101010C C C C C C C C C C C i =++++－－－－＋－32i =所以.32910710510310110=+-+-C C C C C …………10′23．解：将A 标示为0，A 1、B 、D 标示为1，B 1、C 、D 1标示为2，C 1标示为3，从A 跳到B 记为01，从B 跳到B 1再跳到A 1记为121，其余类推.从0到1与从3到2的概率为1，从1到0与从2到3的概率为13，从1到2与从2到1的概率为23. （1）P ＝P （0123）＝1⨯23⨯13＝29； ………4′（2）X ＝0,1，2. P （X ＝1）＝P （010123）＋P （012123）＋P （012321）＝1⨯13⨯1⨯23⨯13＋1⨯23⨯23⨯23⨯13＋1⨯23⨯13⨯1⨯23 ＝2681，P （X ＝2）＝P （012323）＝1⨯23⨯13⨯1⨯13＝681， P （X ＝0）＝1－P （X ＝1）－P （X ＝2）＝4981或P （X ＝0）＝P （010101）＋P （010121）＋P （012101）＋P （012121）＝1⨯13⨯1⨯13⨯1＋1⨯13⨯1⨯23⨯23＋1⨯23⨯23⨯13⨯1＋1⨯23⨯23⨯23⨯23＝4981， ∴ E （X ）＝1⨯2681＋2⨯681＝3881.…………10′。
扬州市2017-2018学年度第一学期期末检测试题高三数学
扬州市2017-2018学年度第一学期期末检测试题高三数学2017-2018学年度第一学期期末检测试题高三数学2018.2第一部分一、 填空题1. 若集合A ={x |1<x <3}，B ={0,1,2,3}，则A ∩B =___________。
2. 若复数(a −2ⅈ)(1+3ⅈ)是纯虚数，则实数a 的值为__________。
3. 若数据31，37，33，a ，35的平均数是34，则这组数据的标准差为_________。
4. 为了了解某学校男生的身体发育情况，随机调查了该校100名男生的体重情况，整理所得数据并画出样本的频率分布直方图，根据此图估计该校2000名男生中体重在70-80kg 的人数为________。
5. 运行右边的流程图，输出的结果是_________。
6. 从两名男生2名女生中任选两人，则恰有一男一女的概率为__________。
7. 若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的体积为______。
8. 若实数x ，y 满足{x ≤4y ≤33x +4y ≥12，则x 2+y 2的取值范围是________。
9. 已知各项都是正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若4a 4,a 3,6a 5成等差数列，且a 3=3a 22，则S 3=_________。
10. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与圆x 2+y 2−6y +5=0没有焦点，则双曲线离心率的取值范围是__________。
11. 已知函数f (x )=sⅈn x −x +1−4x 2x，则关于x 的不等式f (1−x 2)+f (5x −7)<0的解集为_________。
12. 已知正ΔABC 的边长为2，点P 为线段AB 中垂线上任意一点，Q 为射线AP 上一点，且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则|CQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为_________。
江苏省扬州中学2017-2018学年高一上学期12月阶段测试数学试题
江苏省扬州中学2017-2018学年度第一学期阶段性测试高一数学2017.12 第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：（本大题共14个小题,每小题5分,共70分．将答案填在答题纸上．）1．若{}224,x x x ∈++，则x = ．2．计算：2331log 98-⎛⎫+= ⎪⎝⎭．3．sin1320︒的值为 ． 4．若一个幂函数()f x 的图象过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则()f x 的解析式为 ． 5．方程lg 2x x +=的根()0,1x k k ∈+，其中k Z ∈，则k = ． 6．函数()tan 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的定义域为 ． 7．函数()2log 23a y x =-+（0a >，且1a ≠）恒过定点的坐标为 ． 8．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为 ．9．已知点P 在直线AB 上，且4AB AP =uu u r uu u r ，设AP PB λ=u u u r u u r，则实数λ= ．10．设函数()sin 0y x ωω=>在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ω的取值范围为 ．11．若关于x 的方程21220xx a +-+=在[]0,1内有解，则实数a 的取值范围是 ．12．点E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，若2AE DB ⋅=-uu u r uu u r ，则AE BE ⋅=uu u r uu r．13．已知函数()4f x x a a x=+-+在区间[]1,4上的最大值为32，则实数a = ． 14．已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1528y f x f x =+--有 个零点．第Ⅱ卷（共90分）二、解答题 （本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．设全集U R =，集合{}121x A x -=≥，{}2450B x x x =--<.（1）求A B I ，()()U U C A C B U ；（2）设集合{}121C x m x m =+<<-，若B C C =I ，求实数m 的取值范围.16．设()2,1OA =-uu r ，()3,0OB =uu u r ，(),3OC m =uuu r.（1）当8m =时，将OC uuu r 用OA uu r 和OB uu u r表示；（2）若A B C 、、三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件. 17． 已知函数()()sin 0,03f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求A 和ω的值；（2）求函数()y f x =在[]0,π的单调增区间；（3）若函数()()1g x f x =+在区间(),a b 上恰有10个零点，求b a -得最大值.18． 某批发公司批发某商品，每件商品进价80元，批发价120元，该批发商为鼓励经销商批发，决定当一次批发量超过100个时，每多批发一个，批发的全部商品的单价就降低0.04元，但最低批发价不能低于102元.（1）当一次订购量为多少个时，每件商品的实际批发价位102元？（2）当一次订购量为x 个，每件商品的实际批发价为P 元，写出函数()P f x =的表达式； （3）根据市场调查发现，经销商一次最大订购量为500个，则当经销商一次批发多少个零件时，该批发公司可获得最大利润.19． 已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是单调递增，且()20f -=. （1）若()12sin 21f f x ⎛⎫<⎪+⎝⎭，求x 的取值范围；（2）若()5cos 216g x x a π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，7,242x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，a R ∈.是否存在实数a ，使得()0f g x >⎡⎤⎣⎦恒成立？若存在，求a 的范围；若不存在，说明理由.20． 已知函数()()()log 101a f x x a =+<<，()()2log 33a g x x x =-+.（1）解关于x 的不等式()()g x f x >； （2）若函数()g x 在区间[]3,2m n m ⎛⎫> ⎪⎝⎭上的值域为()()log 3,log 3a a t n t m ++⎡⎤⎣⎦，求实数t 的取值范围； （3）设函数()()()f xg x F x a -=，求满足()F x Z ∈的x 的集合.高一数学参考答案及评分标准一、填空题1．1 2．6 3．4．()2f x x -= 5．1 6．3,28k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭7．()3,3 8．6 9．13，15- 10．(]0,2 11．[]0,1 12． 3 13．18 14． 4 二、解答题15．解：（1）∵{}1A x x =≥，{}15B x x =-<<∴{}15A B x x =≤<I ，()(){}15U U C A C B x x x =<≥或U （2）当C =∅时，211m m -<+ 即2m <当C B ⊆时，12111215m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩解之得33m <≤综上所述：m 的取值范围是(],3-∞.16．解：（1）当8m =时，()8,3OC =uuu r，设OC xOA yOB =+u u u r u u r u u u r，则()()()()8,32,13,023,x y x y x =-+=+-∴2383x y x +=⎧⎨-=⎩∴3143x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）∵A B C 、、三点能构成三角形∴,AB AC u u u r u u u r不共线又()1,1AB =uu u r ，()2,4AC m =-uuu r∴()14120m ⨯-⨯-≠，∴6m ≠. 17．解：（1）2A =，243124T πππω=-=，2ω= 所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）令222232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈得51212k x k ππππ-+≤≤+ 又因为[]0,x π∈，所以函数()y f x =在[]0,π的单调增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 注：区间端点可开可闭，都不扣分. （3）()2sin 213f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 得512x k ππ=+或()34x k k Z ππ=+∈ 函数()f x 在每个周期上有两个零点，所以共有5个周期， 所以b a -最大值为217533T ππ+=. 18．解：（1）设一次订购量为()100n n N +∈， 则批发价为1200.04n -，令1200.04102n -=， ∴1201020.04n -=，∴450n =，所以当一次订购量为550个时，每件商品的实际批发价为102元.（2）由题意知()()1200100,1200.0410*******,x x N f x x x x N⎧≤≤∈⎪=⎨--<≤∈⎪⎩（3）当经销商一次批发个零件x 时，该批发公司可获得利润为y ，根据题意知： ()()400100400.0410*******xx f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨--⋅<≤⎡⎤⎪⎣⎦⎩设()140f x x =，在100x =时，取得最大值为4000；设()220.0444f x x x =-+=()220.045500.04550x --+⨯，所以当500x =时，()2f x 取最大值.答：当经销商一次批发500个零件时，该批发公司可获得最大利润. 19．解：（1）∵()f x 为偶函数， ∴()()220f f -==∵偶函数()f x 在(],0-∞上单调递增 ∴()f x 在[)0,+∞上单调递减 ∴12sin 21x >+∴12sin 21x >+或12sin 21x <-+ ∴31sin 2,11,22x ⎛⎫⎛⎫∈---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，又[]sin 21,1x ∈-，∴1sin 21,2x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭故x 的取值范围为73311,,124412k k k k ππππππππ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭U ，()k Z ∈ （2）由题意知，当22t -<<时，()0f t >又()sin 213g x x a π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，7,242x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∵7,242x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22,343x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴sin 2123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭要使()0f g x >⎡⎤⎣⎦恒成立，则()22g x -<<恒成立①当0a >时，则()11g x a ≤≤-+12a -+<，01a <<②当0a =时，()1g x =显然成立③当0a <()11a g x -+≤≤12a -+>-，∴30a -<<综上所述，使()0f g x >⎡⎤⎣⎦恒成立时，a的范围为31a -<<. 20．解：（1）原不等式等价于20331x x x <-+<+，解得22x <+故解集为(22.（2）∵23324y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在32x >上是单调递增的，又01a <<，（或设1232x x >>，则120x x ->，123x x +>， ∴()()2211223333x x x x -+--+=()()121230x x x x -+->⎡⎤⎣⎦ ∴()()2211223333x x x x -+>-+，∵01a <<，∴()()221122log 33log 33a a x x x x -+<-+）所以函数()g x 在区间[]3,2m n m ⎛⎫>⎪⎝⎭上为减函数，因此 ()()()2log 33log 3a a g m m m t m =-+=+，()()()2log 33log 3a a g n n n t n =-+=+.即2333m m t m -+=+，2333n n t n -+=+,32m n ⎛⎫<<⎪⎝⎭. 所以m n 、是方程2333x x t x -+=+，3,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭的两个相异的解. 设()263h x x x t =-+-，则()36430393630242332t h t ⎧⎪∆=-->⎪⎪⎛⎫=-⨯+->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩所以1564t -<<-为所求. （3）()()()()()()2log 1log 332133a a x x x f x g x x F x aax x +--+-+===-+，()1x >-∵()71551x x ++-≥+，当且仅当1x 时等号成立，（可用对勾函数单调性说明，不证不扣分）∴()21150,7333151x x x x x ⎛⎤+=∈ ⎥ -+⎝⎦++-+，∵34<<，∴()F x 有可能取得整数有且只有1,2,3， 当21133x x x +=-+时，解得2x =2x =当21233x x x +=-+时，解得5,12x x ==； 当21333x x x +=-+时，解得2x =，43x =.故集合451,2,,,232M ⎧=+⎨⎩.。
江苏省扬州市2018-2019学年高一上学期期末考试 数学 Word版含答案
扬州市2017—2018学年度第一学期期末调研测试试题高 一 数 学2018.01（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1． 设集合{0,1},{1,3}A B ==，则A B =U ▲ ． 2． 7tan3π= ▲ ． 3． 设幂函数)(x f 的图象过点()2,2，则)4(f = ▲ ．4． 函数3()sin f x x x =的奇偶性为 ▲ 函数．（在“奇”、“偶”、“非奇非偶”、“既奇又偶”中选择）5． 已知扇形的面积为4cm 2，该扇形圆心角的弧度数是12，则扇形的周长为 ▲ cm ． 6． 2log 9log 493421⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ▲ ．7． 已知单位向量1e r ，2e r的夹角为60°，则12|2|=e e +r r ▲ ．8． 已知1s()33co πα+=，则sin()6πα-= ▲ . 9． 如图,在ABC △中，,2==EABE DC AD 若,μλ+= 则μλ-=___▲____．10． 不等式)1(log 22+≤-x x 的解集是 ▲ ．11． 已知ABC ∆的面积为16，8=BC ，则AC AB ⋅的取值范围是 ▲ ． 12． 已知函数()2sin()(0)6f x x πωω=->与()cos(2)(0)g x x θθπ=+<<的零点完全相同，则()6g π= ▲ .13． 设函数)10()1()(≠>--=-a a ak a x f xx 且是定义域为R 的奇函数．若()312f =，且()x mf a ax g x x2)(22-+=-在[)1,+∞上的最小值为2-，则m 的值为 ▲ ．14． 设a 为实数，函数()f x 在R 上不是单调函数，则实数a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分14分）已知函数()f x 的定义域为A ，集合}{B=2216xx ≤≤，非空集合}{C=+121x m x m ≤≤-，全集为实数集R ．（1）求集合A B I 和R C B ;（2）若A ∪C=A ，求实数m 取值的集合．16．（本小题满分14分）已知向量()()2,1sin(),2cos a b παα==-r r，(1)若3=4πα，求证：a b ⊥r r ;(2)若向量,a b r r共线，求b r .函数()2sin()f x x ωϕ=+（其中0ω>,||<2πϕ），若函数()f x 的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π且过点(0,1)， ⑴求()f x 的解析式； ⑵求()f x 的单调增区间； ⑶求()f x 在(,0)2π-的值域．18.（本小题满分15分） 近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元，根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调个城市的总收益为)(x f （单位：万元）. (1)当投资甲城市128万元时，求此时公司总收益；⑵试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？已知关于x 的函数2()2(1)g x mx m x n =--+为R 上的偶函数，且错误!未找到引用源。
2017-2018学年江苏省扬州市高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共60.0分）1.设集合A={0，1}，B={1，3}，则A∪B=______．2.tan=______．3.设幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（4）=______．4.函数f（x）=x3sin x的奇偶性为______函数．（在“奇”、“偶”、“非奇非偶”、“既奇又偶”中选择）5.已知扇形的面积为4cm2，该扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为______cm．6.（）+log49•log32=______．7.已知单位向量，的夹角为60°，则||______．8.已知cos（）=，则sin（）=______．9.如图，在△ABC中，==2，若，则λ-μ=______．10.不等式2-x≤log2（x+1）的解集是______．11.已知△ABC的面积为16，BC=8，则的取值范围是______．12.已知函数f（x）=2sin（ωx-）（ω＞0）与g（x）=cos（2x+θ）（0＜θ＜π）的零点完全相同，则g（）=______．13.设函数f（x）=a x-（k-1）a-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．若f（1）=，且g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，则m的值为______．14.设a为实数，函数f（x）=（3-x）|x-a|-a，x∈R，若f（x）在R上不是单调函数，则实数a的取值范围为______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知函数f（x）=的定义域为A，集合B={x|2≤2x≤16}，非空集合C={x|m+1≤x≤2m-1}，全集为实数集R．（1）求集合A∩B和∁R B；（2）若A∪C=A，求实数m取值的集合．16.已知向量=（2，1），=（sin（π-α），2cosα）（1）若α=，求证： ⊥；（2）若向量，共线．求||17.函数f（x）=2sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜），若函数f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为且过点（0，1）．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调增区间：（3）求f（x）在（-，0）的值域．18.近年来，共享单车的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元，根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益p与投入a（单位：万元）满足p=4-6，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足：Q=，，＜，设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）当投资甲城市128万元时，求此时公司总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？19.已知关于x的函数g（x）=mx2-2（m-1）x+n为R上的偶函数，且在区间[-1，3]上的最大值为10．设f（x）=．（1）求函数的解析式；（2）若不等式f（2x）-k•2x≤2在x∈[-1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）是否存在实数t，使得关于x的方程f（|2x-1|）+-3t-2=0有四个不相等的实数根？如果存在，求出实数t的范围，如果不存在，说明理由．20.已知函数f（x）=lg．（1）求不等式f（f（x））+f（1g2）＞0的解集；（2）函数g（x）=2-a x（a＞0，a≠1），若存在x1，x2∈[0，1），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围；（3）若函数h（x）=或，讨论函数y=h（h（x））-2的零点个数（直接写出答案，不要求写出解题过程）．答案和解析1.【答案】{0，1，3}【解析】解：设集合A={0，1}，B={1，3}，则A∪B={0，1，3}，故答案为：{0，1，3}找出两集合的并集即可．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.【答案】【解析】解：tan=tan（2π+）=tan=．故答案为：．直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求值即可．本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数求值，考查计算能力．3.【答案】2【解析】解：设f（x）=x a，因为幂函数图象过（2，），则有=2a，∴a=，即f（x）=，∴f（4）==2故答案为：2．设出幂函数的解析式，由图象过（2，），确定出解析式，然后令x=4即可得到f（4）的值．考查学生会利用待定系数法求幂函数的解析式．会根据自变量的值求幂函数的函数值．4.【答案】偶【解析】解：函数f（x）=x3sinx的定义域关于原点对称，函数y=x3，是奇函数，函数y=sinx也是奇函数，由奇×奇=偶，∴函数f（x）=x3sinx是偶函数．故答案为：偶．定义域关于原点对称，奇×奇=偶，可得答案．解决函数的奇偶性时，一定要注意定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，属于基础题．5.【答案】10【解析】解：设扇形的弧长为l，半径为r，∵扇形圆心角的弧度数是，∴l=r，∵S=lr=4，扇∴•r•r=4，∴r2=16，r=4．∴其周长c=l+2r=2+8=10．故答案为：10．设扇形的弧长为l，半径为r，利用弧长公式，扇形的面积公式可求r，即可得解周长的值．本题考查扇形面积公式，关键在于掌握弧长公式，扇形面积公式及其应用，属于基础题．6.【答案】【解析】解：（）+log49•log32=．故答案为：．直接由分数指数幂和对数的运算性质计算得答案．本题考查了对数的运算性质，是基础题．7.【答案】=解：单位向量，的夹角为60°，则=+2•+=1+2×1×1×cos60°+1=3，∴|+2|=．故答案为：．根据平面向量的数量积求模长即可．本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，是基础题．8.【答案】【解析】解：已知cos（）=，则sin（）=-cos（）=-cos（）=-．故答案为：-．利用已知条件，对三角函数的关系式进行变换，利用sin进一步求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，角的变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于与基础题型．9.【答案】-【解析】解：根据题意得：AD=2DC，BE=2EA，∴=；=，∴=-=（+）-=-+∴λ=-，μ=；故答案为-．=-，运用共线向量的知识可得λ和μ的值．本题考查平面向量基本定理的应用．10.【答案】[1，+∞）解：令g（x）=log2（x+1）-（2-x），则不等式2-x≤log2（x+1）⇔g（x）≥0，∵g′（x）=，故g（x）=log2（x+1）-（2-x）在（-1，+∞）上为增函数，又g（1）=log22-（2-1）=0，∴g（x）≥0⇒g（x）≥g（1）⇒x≥1．∴不等式2-x≤log2（x+1）的解集是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．构造函数g（x）=log2（x+1）-（2-x），利用导数证明g（x）=log2（x+1）-（2-x）在（-1，+∞）上为增函数，且g（x）≥0，可得g（x）≥g（1），则x≥1，由此可得原不等式的解集．本题考查对数不等式的解法，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．11.【答案】[0，+∞）【解析】解：建立平面直角坐标系如图所示，设△ABC边BC上的高为h，则面积为×8h=16，解得h=4，又A（0，4），设C（x，0），则B（x-8，0），x∈R；∴=（x-8，-4），=（x，-4）；则=x（x-8）+16=x2-8x+16=（x-4）2≥0，∴•的取值范围是[0，+∞）．建立平面直角坐标系，利用坐标表示△ABC顶点的坐标，求出的取值范围．本题考查了平面向量的数量积应用问题，是基础题．12.【答案】【解析】解：∵函数f（x）=2sin（ωx-）（ω＞0）与g（x）=cos（2x+θ）（0＜θ＜π）的零点完全相同，∴两函数周期相同，则ω=2，∴f（x）=2sin（2x-），由，可得x=，k∈Z；∴g（）=cos（）=±cos（）=0，则=，k∈Z．∴θ=，k∈Z．取k=0，可得．则g（x）=cos（2x+θ）=cos（2x），∴g（）=cos（）=cos=．故答案为：．由已知可知两函数周期相等，求得ω，由两函数零点相同求得θ值，则g（）可求．本题考查三角函数的化简求值，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．13.【答案】【解析】解：函数f（x）=a x-（k-1）a-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数，可得f（0）=0，即1-（k-1）=0，可得k=2，由f（1）=，可得a-a-1=，解得a=2，则g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）=22x+2-2x-2m（2x-2-x），可令t=2x-2-x，由x≥1，可得t≥，可得函数y=t2+t（2-2m），当m-1≥时，g（x）的最小值为-（m-1）2，由-（m-1）2=-2，解得m=1±＜，不成立；当m-1＜时，g（x）的最小值为+（2-2m），由+（2-2m）=-2，解得m=＜成立．故答案为：．由奇函数的性质可得f（0）=0，可得k=2，由条件解方程可得a=2，求得g（x）=22x+2-2x-2m（2x-2-x），可令t=2x-2-x，由x≥1，可得t≥，可得函数y=t2+t（2-2m），讨论对称轴与区间的关系，结合单调性可得最小值，解方程可得m 的值．本题考查函数的奇偶性的定义和指数函数的单调性，考查换元法和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．14.【答案】{a|a≠3}【解析】解：根据题意，f（x）=（3-x）|x-a|-a=，二次函数y=x2-（a+3）x+2a的对称轴为x=＜a，二次函数y=-x2+（a+3）x-4a的对称轴也为x=，若＜a，即a＞3时，二次函数y=x2-（a+3）x+2a在（0，a）上不单调，符合题意；若＞a，即a＜3时，二次函数y=-x2+（a+3）x-4a在（a，+∞）上不单调，符合若=a，即a=3时，二次函数y=x2-（a+3）x+2a在（0，a）上单调减，二次函数y=-x2+（a+3）x-4a在（a，+∞）上单调减，此时函数f（x）在R上单调递减，不符合题意；则a的取值范围为{a|a≠3}；故答案为：{a|a≠3}．根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式即f（x）=，结合二次函数的性质分析其对称轴，综合即可得答案．本题考查分段函数的应用，涉及函数的单调性的性质，注意结合二次函数的性质进行分析．15.【答案】解：（1）由-x2+5x-6≥0得：2≤x≤3，故A=[2，3]，集合B={x|2≤2x≤16}=[1，4]，则A∩B=[2，3]，∁R B=（-∞，1）∪（4，+∞）；（2）若A∪C=A，则C⊆A＋，解得：1≤m≤2，∴m=2，当m≥2时，C≠∅，则综上可得实数m取值的集合．【解析】本题考查的知识点是集合的交并补混合运算，难度不大，属于基础题．（1）解不等式分别求出AB，进而可得集合A∩B和∁R B；（2）若A∪C=A，则C⊆A，求出满足条件的m，可得答案．16.【答案】证明：（1）∵向量=（2，1），=（sin（π-α），2cosα），α=，∴=（sin，2cos）=（，-），∴=2×+1×（-）=0．∴ ⊥．解：（2）∵向量=（2，1），=（sin（π-α），2cosα）向量，共线．∴sinα=4cosα，∵sin2α+cos2α=17cos2α=1，∴sin2α=，cos2α=，∴||====．【解析】（1）向量=（2，1），α=时，=（sin，2cos）=（，-），由=0．能证明⊥．（2）由向量，共线．得sinα=4cosα，从而sin2α+cos2α=17cos2α=1，进崦sin2α=，cos2α=，由此能求出||．本题考查向量垂直的证明，考查向量模的求法，考查向量垂直、向量共线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．17.【答案】解：（1）∵函数f（x）=2sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜），若函数f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，∴=2×，∴ω=2．再根据图象过点（0，1），可得1=2sinφ，即sinφ=，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x+）．（2）令2kπ-≤2x+≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，故f（x）的单调增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z．（3）在（-，0）上，2x+∈（-，），故当2x+=-时，函数取得最小值为-2，当2x+趋于时，函数趋于最大值1，股函数f（x）的值域为[-2，1）．【解析】（1）利用正弦函数的周期性求的ω，根据图象经过定点，求得φ的值，可得函数的解析式．（2）利用正弦函数的单调性求的f（x）的单调增区间．（3）利用正弦函数的定义域以及值域，求的f（x）在（-，0）的值域．本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、定义域以及值域，属于基础题．18.【答案】解：（1）当投资甲城市128万元时，投资乙城市112万元，此时公司总收益：f（x）=4-6+=4×16-6+28+2=88（万元）．（2）甲城市的投入为x，则乙城市投资240-x万元，当80≤x≤120时，f（x）=4-6+（240-x）+2=4-x+56，∴f′（x）=2•-==＞0恒成立，∴f（x）在[80，120]上单调递增，∴f（x）max=f（120）=16+26，当120＜x≤160时，f（x）=4-6+32=4+26，∴f（x）在（120，160]上单调递增，∴f（x）max=f（160）=4+26=16+26，∵16+26＞16+26，∴该公司在甲城市投资160万元，在乙城市投资80万元，总收益最大．【解析】（1）根据收益公式计算；（2）得出f（x）的解析式，判断f（x）在定义域上的单调性，从而可得f（x）取得最大值时对应的x的值，从而得出最佳投资方案．本题考查了函数模型的应用，函数最值的计算，属于中档题．19.【答案】解：（1）∵函数g（x）=mx2-2（m-1）x+n为R上的偶函数，可得m-1=0，即m=1．则g（x）=x2+n，由g（x）在区间[-1，3]上的最大值为10．即g（3）=10，可得n=1．∴函数的解析式为g（x）=x2+1；（2）由f（x）==不等式f（2x）-k•2x≤2在x∈[-1，1]上恒成立，即在x∈[-1，1]上恒成立，∴k≥设，∵x∈[-1，1]∴s∈[，2]．则s2-2s+1=（s-1）2∈[0，1]；∴k≥1，即所求实数k的取值范围为[1，+∞）．（3）由方程f（|2x-1|）+-3t-2=0，可得|2x-1|+-3t-2=0，可化为：|2x-1|2-（3t+2）|2x-1|+（2t+1）=0（|2x-1|≠0），令r=|2x-1|，则r2-（3t+2）r+（2t+1）=0，r∈（0，+∞），方程f（|2x-1|）+-3t-2=0有四个不相等的实数根；则关于r的方程r2-（3t+2）r+（2t+1）=0必须有两个不相等的实数根r1和r2，并且0＜r1＜1，0＜r2＜1，记h（r）=r2-（3t+2）r+（2t+1）=0，r∈（0，+∞），其对称轴＜＜，可得：＜＜∴＞△＞＞即＞＞＞解得：＜＜故得存在实数t的范围为（，）．【解析】（1）根据偶函数的图象关于y轴对称，可得m的值．在区间[-1，3]上的最大值为10，即可求解n，可得解析式；（2）利用换元法，分离参数即可求解实数k的取值范围；（3）利用换元法，转化为函数图象交点的问题．根据函数与方程之间的关系，进行转化，利用参数分离法进行求解即可．本题主要考查函数解析式的求解，函数恒成立以及函数与方程的应用，利用参数转化法是解决本题的关键．考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．20.【答案】解：（1）函数f（x）=lg，由＞0，可得-1＜x＜1，f（-x）=lg=-f（x），即f（x）为奇函数，且0＜x＜1时，f（x）=lg（-1+）递减，可得f（x）在（-1，1）递减，且f（x）的值域为R，不等式f（f（x））+f（1g2）＞0，即为f（f（x））＞-f（lg2）=f（-lg2），则-1＜f（x）＜-lg2，即-1＜lg＜lg，即为0.1＜＜，解得＜x＜，则原不等式的解集为（，）；（2）函数g（x）=2-a x（a＞0，a≠1），若存在x1，x2∈[0，1），使得f（x1）=g（x2）成立，当0≤x＜1，f（x）=lg的值域为（-∞，0]，当a＞1时，g（x）在[0，1）递减，可得g（x）的值域为（2-a，1]，由题意可得f（x）和g（x）的值域存在交集，即有2-a＜0，即a＞2；若0＜a＜1，则g（x）在[0，1）递增，可得g（x）的值域为[1，2-a），由题意可得f（x）和g（x）的值域不存在交集，综上可得a的范围是（2，+∞）；（3）由y=h[h（x）]-2，得h[h（x）]=2，令t=h（x），则h（t）=2，作出图象，当k≤0时，只有一个-1＜t＜0，对应3个零点，当0＜k≤1时，1＜k+1≤2，此时t1＜-1，-1＜t2＜0，t3=≥1，由k+1-==（k+）（k-），得在＜k≤1，k+1＞，三个t分别对应一个零点，共3个，在0＜k≤时，k+1≤，三个t分别对应1个，1个，3个零点，共5个，综上所述：当k＞1或k=0或k＜-时，y=h[h（x）]-2只有1个零点，当-≤k＜0或＜k≤1时，y=h[h（x）]-2有3个零点，当0＜k≤时，y=h[h（x）]-2有5个零点．【解析】（1）求得f（x）的定义域和值域、单调性，由题意可得0.1＜＜，解不等式即可得到所求范围；（2）求得当0≤x＜1时，f（x）的值域；以及讨论a＞1，0＜a＜1时，g（x）的值域，由题意可得f（x）和g（x）的值域存在交集，即可得到所求范围；（3）由y=h[h（x）]-2，得h[h（x）]=2，令t=h（x），则h（t）=2，作出图象，分类讨论，即可求出零点的个数．本题主要考查函数的定义域和奇偶性、单调性，以及不等式的解法，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于难题．。
【数学试卷】江苏省扬州中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题
扬州市2017—2018学年度第一学期期末调研测试试题高 一 数 学2018.01（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1． 设集合{0,1},{1,3}A B ==，则A B = ▲ ．2． 7tan3π= ▲ ． 3． 设幂函数)(x f 的图象过点，则)4(f = ▲ ．4． 函数3()sin f x x x =的奇偶性为 ▲ 函数．（在“奇”、“偶”、“非奇非偶”、“既奇又偶”中选择）5． 已知扇形的面积为4cm 2，该扇形圆心角的弧度数是12，则扇形的周长为 ▲ cm ． 6． = ▲ ．7． 已知单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则12|2|=e e + ▲ ． 8． 已知1s()33co πα+=，则sin()6πα-= ▲ .9． 如图,在ABC △中，,2==EABE DC AD 若,CB AC DE μλ+= 则μλ-=___▲____． 10． 不等式)1(log 22+≤-x x 的解集是 ▲ ．11． 已知ABC ∆的面积为16，8=BC ，则AC AB ⋅的取值范围是 ▲ ．12． 已知函数()2sin()(0)6f x x πωω=->与()cos(2)(0)g x x θθπ=+<<的零点完全相同，则()6g π= ▲ .13． 设函数)10()1()(≠>--=-a a ak a x f xx且是定义域为R 的奇函数．若()312f =，且()x mf a a x g x x 2)(22-+=-在[)1,+∞上的最小值为2-，则m 的值为 ▲ ．14． 设a 为实数，()f x 在R 上不是单调函数，则实数a的取值范围为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分14分）已知函数()6f x 的定义域为A ，集合}{B =2216xx ≤≤，非空集合}{C =+121x m x m ≤≤-，全集为实数集R ． （1）求集合AB 和RC B ;（2）若A ∪C=A ，求实数m 取值的集合．16．（本小题满分14分）已知向量()()2,1sin(),2cos a b παα==-， (1)若3=4πα，求证：a b ⊥; (2)若向量,a b 共线，求b .17.（本小题满分15分）函数()2sin()f x x ωϕ=+（其中0ω>,||<2πϕ），若函数()f x 的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π且过点(0,1)， ⑴求()f x 的解析式； ⑵求()f x 的单调增区间； ⑶求()f x 在(,0)2π-的值域．18.（本小题满分15分）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、益为)(x f （单位：万元）.(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司总收益；⑵试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？19．（本小题满分16分）已知关于x 的函数2()2(1)g x mx m x n =--+为R 上的偶函数，且在区间[]1,3-上的最大值为10. 设xx g x f )()(=． ⑴ 求函数错误!未找到引用源。
江苏省扬州市2017-2018学年度第一学期期末调研测试高三数学试题 及答案解析
2017—2018学年度第一学期期末检测试题高三数学第一部分一、填空题（本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请将答案填写在答题卷相应的位置上）1.若集合{|13}A x x=<<，{0,1,2,3}B=，则A B=．2.若复数(2)(13)a i i-+（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为．3.若数据31，37，33，a，35的平均数是34，则这组数据的标准差是．4.为了了解某学校男生的身体发育情况，随机抽查了该校100名男生的体重情况，整理所得数据并画出样本的频率分布直方图.根据此图估计该校2000名男生中体重在7078()kg的人数为．5.运行下边的流程图，输出的结果是．6.从2名男生2名女生中任选两人，则恰有一男一女的概率为．7.若圆锥的侧面展开图的面积为3π且圆心角为23π的扇形，则此圆锥的体积为 ．8.若实数x ，y 满足433412x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则22x y +的取值范围是 ．9.已知各项都是正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若44a ，3a ，56a 成等差数列，且2323a a =，则3S = ．10.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22650x y y +-+=没有交点，则双曲线离心率的取值范围是 ．11.已知函数14()sin 2xx f x x x -=-+，则关于x 的不等式2(1)(57)0f x f x -+-<的解集为 ．12.已知正ABC ∆的边长为2，点P 为线段AB 中垂线上任意一点，Q 为射线AP 上一点，且满足1AP AQ ⋅=，则CQ 的最大值为 ．13.已知函数12log (1)1,[1,]()21,(,]x x k f x x x k a -+-∈-⎧⎪=⎨⎪--∈⎩，若存在实数k 使得该函数的值域为[2,0]-，则实数a 的取值范围是 ．14.已知正实数x ，y 满足22541x xy y +-=，则22128x xy y +-的最小值为 ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点.（1）证明：11//B C 平面1A DE ；（2）若平面1A DE ⊥平面11ABB A ，证明：AB DE ⊥. 16.已知在ABC ∆中，6AB =，5BC =，且ABC ∆的面积为9. （1）求AC ；（2）当ABC ∆为锐角三角形时，求cos(2)6A π+的值.17.如图，射线OA 和OB 均为笔直的公路，扇形OPQ 区域（含边界）是一蔬菜种植园，其中P 、Q 分别在射线OA 和OB 上.经测量得，扇形OPQ 的圆心角（即POQ ∠）为23π、半径为1千米.为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ 区域外修建一条公路MN ，分别与射线OA 、OB 交于M 、N 两点，并要求MN 与扇形弧PQ相切于点S .设POS α∠=（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计.（1）试将公路MN 的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围； （2）试确定α的值，使得公路MN 的长度最小，并求出其最小值.18.已知椭圆1E ：22221(0)x y a b a b+=>>，若椭圆2E ：22221(0,1)x y a b m ma mb+=>>>，则称椭圆2E 与椭圆1E “相似”.（1）求经过点，且与椭圆1E ：2212x y += “相似”的椭圆2E 的方程；（2）若4m =，椭圆1E的离心率为2，P 在椭圆2E 上，过P 的直线l 交椭圆1E 于A ，B 两点，且AP AB λ=.①若B 的坐标为(0,2)，且2λ=，求直线l 的方程；②若直线OP ，OA 的斜率之积为12-，求实数λ的值.19.已知函数()x f x e =，()g x ax b =+，,a b R ∈.（1）若(1)0g -=，且函数()g x 的图象是函数()f x 图象的一条切线，求实数a 的值；（2）若不等式2()f x x m >+对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若对任意实数a ，函数()()()F x f x g x =-在(0,)+∞上总有零点，求实数b 的取值范围.20.已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n n S a a =+，数列{}n b 满足112b =，12n n n nbb b a +=+. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设数列{}nc 满足2n n nb c S +=，求和12n c c c ++⋅⋅⋅+； （3）是否存在正整数p ，q ，()r p q r <<，使得p b ，q b ，r b 成等差数列？若存在，求出所有满足要求的p ，q ，r ，若不存在，说明理由.第二部分（加试部分）21. B .选修4-2：矩阵与变换已知x ，y R ∈，若点(1,1)M 在矩阵23x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下得到点(3,5)N ，求矩阵A 的逆矩阵1A -.21. C .选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是：2x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数，m 是常数）.以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于P 、Q 两点，且2PQ =，求实数m 的值. 22.扬州大学数学系有6名大学生要去甲、乙两所中学实习，每名大学生都被随机分配到两所中学的其中一所.（1）求6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习的概率；（2）设X ，Y 分别表示分配到甲、乙两所中学的大学生人数，记X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列和数学期望.23.二进制规定：每个二进制数由若干个0、1组成，且最高位数字必须为1.若在二进制中，n S 是所有n 位二进制数构成的集合，对于n a ，n n b S ∈，(,)n n M a b 表示n a 和n b 对应位置上数字不同的位置个数.例如当3100a =，3101b =时33(,)1M a b =，当3100a =，3111b =时33(,)2M a b =.（1）令510000a =，求所有满足55b S ∈，且55(,)2M a b =的5b 的个数； （2）给定(2)n a n ≥，对于集合n S 中的所有n b ，求(,)n n M a b 的和.扬州市2017—2018学年度第一学期期末调研测试试题高三数学参考答案第一部分一、填空题 1.{}2 2．6-3. 24. 2405.946.23 7. 38.144[,25]25 9.1327 10.3(1,)211.(2,3) 12.12 13. 1(,2]214. 73二、解答题15证明：⑴在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11B BCC 是平行四边形，所以11//B C BC ，在ABC ∆中，,D E 分别为,AB AC 的中点，故//BC DE ，所以11//B C DE ， 又11B C ⊄平面1A DE ，DE ⊂平面1A DE ， 所以11//B C 平面1A DE .⑵在平面11ABB A 内，过A 作1AF A D ⊥于F ，因为平面1A DE ⊥平面11A ABB ，平面1A DE 平面111A ABB A D=，AF ⊂平面11A ABB ，所以AF ⊥平面1A DE ，又DE ⊂平面1A DE ，所以AF DE ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，所以1A A DE ⊥， 因为1AF A A A= ，AF ⊂平面11A ABB ，1A A ⊂平面11A ABB ，所以DE ⊥平面11A ABB ，因为AB ⊂平面11A ABB ，所以DE AB ⊥.注：作1AF A D ⊥时要交代在平面内作或要交代垂足点，否则扣1分16 解：⑴因为S △ABC =1sin 92AB BC B =创，又AB=6，BC=5，所以3sin 5B =，又B (0,)π∈，所以4cos 5B ==±，当cosB=45时，AC == 当cosB=45-时，AC ===所以AC =注：少一解的扣3分⑵ 由ABC ∆为锐角三角形得B 为锐角，所以AB=6，，BC=5， 所以cosA ==又(0,)A π∈，所以sinA ==， 所以12sin 2213A ==，225cos 213A =-=-，所以cos(2)cos 2cos sin 2sin 666A A A p p p +=-.17. 解：⑴因为MN 与扇形弧PQ 相切于点S ，所以OS ⊥MN. 在RT OSM 中，因为OS=1，∠MOS=α，所以SM=tan α， 在RT OSN 中，∠NOS=23πα-，所以SN=2tan()3πα-，所以2tan tan()3MN παα=+-=，其中62ππα<<.⑵ 因为62ππα<<，所以10α->，令10t α=->，则tan 1)t α=+，所以42)MN t t=++，由基本不等式得2)MN ≥=， 当且仅当4t t=即2t =时取“=”.此时tan α=62ππα<<，故3πα=.答：⑴2tan tan()3MN παα=+-=，其中62ππα<<.⑵当3πα=时，MN 长度的最小值为.注：第⑵问中最小值对但定义域不对的扣2分.18解：⑴设椭圆2E 的方程为2212x y m m +=，代入点得2m =， 所以椭圆2E 的方程为22142x y +=.⑵因为椭圆1E 的离心率为2，故222a b =，所以椭圆2221:22E x y b +=， 又椭圆2E 与椭圆1E “相似”，且4m =，所以椭圆2221:28E x y b +=， 设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，①方法一：由题意得2b =，所以椭圆221:28E x y +=，将直线:2l y kx =+， 代入椭圆221:28E x y +=得22(12)80k x kx ++=，解得1228,012kx x k -==+，故212224,212k y y k -==+， 所以222824(,)1212k k A k k--++， 又2AP AB = ，即B 为AP 中点，所以2228212(,)1212k k P k k+++， 代入椭圆222:232E x y +=得222228212()2()321212k k k k ++=++，即4220430k k +-=，即22(103)(21)0k k -+=，所以10k =±，所以直线l 的方程为2y x =+. 方法二：由题意得2b =，所以椭圆221:28E x y +=，222:232E x y +=， 设(,),(0,2)A x y B ，则(,4)P x y --，代入椭圆得2222282(4)32x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得12y =，故x =所以k =所以直线l 的方程为2y x =+.②方法一： 由题意得22222222200112228,22,22x y b x y b x y b +=+=+=，010112y y x x ⋅=-，即010120x x y y +=， AP AB λ= ，则01012121(,)(,)x x y y x x y y λ--=--，解得012012(1)(1)x x x y y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩， 所以2220101(1)(1)()2()2x x y y b λλλλ+-+-+=，则22222222001100112(1)(1)24(1)2(1)2x x x x y y y y b λλλλλ+-+-++-+-=， 222222200010111(2)2(1)(2)(1)(2)2x y x x y y x y b λλλ++-++-+=，所以222228(1)22b b b λλ+-⋅=，即224(1)λλ+-=，所以52λ=. 方法二：不妨设点P 在第一象限，设直线:(0)O P y k x k =>，代入椭圆2222:28E x y b +=，解得0x =0y =，直线,O P O A的斜率之积为12-，则直线1:2O Ay x k=-，代入椭圆2221:22E x y b+=，解得1x =1y =，AP AB λ= ，则01012121(,)(,)x x y y x x y y λ--=--，解得012012(1)(1)x x x y y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，所以2220101(1)(1)()2()2x x y y b λλλλ+-+-+=，则22222222001100112(1)(1)24(1)2(1)2x x x x y y y y b λλλλλ+-+-++-+-=， 222222200010111(2)2(1)(2)(1)(2)2x y x x y y x y b λλλ++-++-+=，所以2222282(((1)22b b b λλλ+-++-⋅=，即222228(1)22b b b λλ+-⋅=，即224(1)λλ+-=，所以52λ=.19解：（1）由(1)0g -=知，()g x 的图象直线过点(1,0)-，设切点坐标为00(,)T x y ，由'()x f x e =得切线方程是000()x x y e e x x -=-， 此直线过点(1,0)-，故000(1)x x e e x -=--，解得00x =，所以'(0)1a f ==.（2）由题意得2,(0,)x m e x x <-∈+∞恒成立， 令2(),(0,)x m x e x x =-∈+∞，则'()2x m x e x =-，再令()'()xn x m x e x ==-，则'()2xn x e =-，故当(0,ln 2)x ∈时，'()0n x <，()n x 单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，'()0n x >，()n x 单调递增，从而()n x 在(0,)+∞上有最小值(ln 2)22ln 20n =->， 所以()m x 在(0,)+∞上单调递增， 所以(0)m m ≤，即1m ≤. 注：漏掉等号的扣2分.（3）若0a <，()()()x F x f x g x e ax b =-=--在(0,)+∞上单调递增， 故()()()F x f x g x =-在(0,)+∞上总有零点的必要条件是(0)0F <，即1b >， 以下证明当1b >时，()()()F x f x g x =-在(0,)+∞上总有零点. ①若0a <，由于(0)10F b =-<，()()0b baa b b F e a b e a a---=---=>，且()F x 在(0,)+∞上连续，故()F x 在(0,)ba-上必有零点； ②若0a ≥，(0)10F b =-<，由（2）知221x e x x >+>在(0,)x ∈+∞上恒成立， 取0x a b=+，则0()()a b F x F a b e a a b b +=+=-+-22()(1)0a b a ab b ab b b >+---=+->，由于(0)10F b =-<，()0F a b +>，且()F x 在(0,)+∞上连续， 故()F x 在(0,)a b +上必有零点， 综上得：实数b 的取值范围是(1,)+∞.20. 解：（1）22n n n S a a =+①，21112n n n S a a +++=+②，②-①得：221112n n n n n a a a a a +++=-+-，即11()(1)0n n n n a a a a +++--=， 因为{}n a 是正数数列，所以110n n a a +--=，即11n n a a +-=， 所以{}n a 是等差数列，其中公差为1， 在22n n n S a a =+中，令1n =，得11a =， 所以n a n =， 由12nn n nb b b a +=+得1112n n b b n n +=⋅+， 所以数列{}n b n 是等比数列，其中首项为12，公比为12，所以1(),22n n n n b nb n ==即. 注：也可累乘求{}n b 的通项. （2）2212()2n n n n b n c S n n +++==+，裂项得1112(1)2n n n c n n +=-⋅+， 所以121112(1)2n n c c c n ++++=-+ ， （3）假设存在正整数,,()p q r p q r <<，使得,,p q r b b b 成等差数列，则2p r q b b b +=，即2222p r q p r q+=， 因为11111222n n n n n n n nb b ++++--=-=，所以数列{}n b 从第二项起单调递减， 当1p =时，12222r q r q+=，若2q =，则122r r =，此时无解； 若3q =，则124r r =，因为{}n b 从第二项起递减，故4r =，所以1,3,4p q r ===符合要求， 若4q ≥，则1142q b b b b ≥≥，即12q b b ≥，不符合要求，此时无解； 当2p ≥时，一定有1q p -=，否则若2q p -≥，则2442221p p qP b b p b b p p+≥==≥++，即2p q b b ≥，矛盾， 所以1q p -=，此时122r pr =，令1r p m -=+，则12m r +=，所以121m p m +=--，12m q m +=-，综上得：存在1,3,4p q r ===或121m p m +=--，12m q m +=-，12m r +=满足要求.第二部分（加试部分）答案21．A ．解：因为1315⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A ，即213315x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2335x y +=⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩， 所以2132⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 法1：设1a b c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，则121103201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦AA ，即2132020321a c a c b d b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩， 解得2132a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎩，所以12132--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A . 法2：因为1db a b ad bc ad bc c d c a ad bcad bc --⎡⎤⎢⎥⎡⎤--=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，且21det()2213132==⨯-⨯=A ， 所以1121213232---⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A . 注：法2中没有交待逆矩阵公式而直接写结果的扣2分.B ．解：（1）因为直线l 的参数方程是: 2x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 是参数)， 所以直线l 的普通方程为0x y m --=．因为曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=，故26cos ρρθ= ，所以226x y x += 所以曲线C 的直角坐标方程是22(3)9x y -+=.(2)设圆心到直线l 的距离为d，则d ==又d ==所以34m -=，即 1m =-或7m =.22．解：⑴记 “6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习” 为事件A ，则6163()=1264P A =-. 答：6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习的概率为6364. ⑵ξ所有可能取值是0,2,4,6，记“6名学生中恰有i 名被分到甲学校实习”为事件i A (01,6i = ，，)，则3363365(0)()216C C P P A ξ====，2442646224246615(2)()()()2232C C C C P P A A P A P A ξ==+=+=+=，155165611515663(4)()()()2216C C C C P P A A P A P A ξ==+=+=+=，066066660606661(6)()()()2232C C C C P P A A P A P A ξ==+=+=+=，所以随机变量ξ的概率分布为：所以随机变量ξ的数学期望()024+6163216328E ξ=⨯+⨯+⨯⨯=.答：随机变量ξ的数学期望15()8E ξ=. 23．解（1）因为55(,)2M a b =，所以5b 为5位数且与5a 有2项不同，又因为首项为1，故5a 与5b 在后四项中有两项不同，所以5b 的个数为246C =.（2）当(,)n n M a b =0时，n b 的个数为01n C -； 当(,)n n M a b =1时，n b 的个数为11n C -， 当(,)n n M a b =2时，n b 的个数为21n C -，………当(,)n 1n n M a b =-时，n b 的个数为11n n C --，设(,)n n M a b 的和为S ， 则01211111012(1)n n n n n S C C C n C -----=++++- ， 倒序得12101111(1)210n n n n n S n C C C C -----=-++++ ，倒序相加得01111112(1)[](1)2n n n n n S n C C C n -----=-++=-⋅ ，即2(1)2n S n -=-⋅， 所以(,)n n M a b 的和为2(1)2n n --⋅.扬州市2017—2018学年度第一学期期末调研测试试题高三数学参考答案2018.2第一部分1.2．3.4.5.6.7.8.9. 10.11.12.13.14.15证明：⑴在直三棱柱中，四边形是平行四边形，所以，.………2分在中，分别为的中点，故，所以， (4)分又平面，平面，所以平面.………7分⑵在平面内，过作于，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，.………11分又平面，所以，在直三棱柱中，平面，平面，所以，因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以。
江苏省扬州中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试卷
江苏省扬州中学2017-2018学年第二学期期中考试 高一数学试卷 2018.4(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．） 1. 8sin 8cos 22ππ-的值是 ▲ ．220y -+=的倾斜角为 ▲ ．3．已知1x >，则函数11y x x =+-的最小值为 ▲ ． 4．已知直线l 经过点())2,0(,0,1B A ,则直线l 的方程为 ▲ ．5．已知{}n a 是等差数列, 471015a a a ++=,则其前13项和13S = ▲ ．6．在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状是 ▲ ．7．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：n n S n 22+=，那么=10a ▲ ．8．若关于x 的不等式x x x m ->-2)1(的解集为{}21|<<x x ,则实数m 的值为 ▲ ．9. 数列{}n a 满足0)1(,211=+-=+n n a n na a ,则数列{}n a 通项公式=n a ▲ ．10．在ABC ∆中,点D 是BC 边上的一点,且1=BD ,3=AC ,,772cos =B 32π=∠ADB ,则DC 长等于 ▲ ． 11．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若693,,S S S 成等差数列，且38=a ，则5a 的值为 ▲ ．12．在ABC ∆中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为 ▲ ．13．设等比数列{}n a 满足:,sin 3cos ,21n n n a a θθ+==其中*,2,0N n n ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∈πθ,则数列{}n θ的前2018项之和是 ▲ ．14. 在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知,0sin sin sin sin =++B A B A λ且c b a 2=+,则实数λ的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分） 已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα,2，且31sin =α. （1）求α2sin 的值；（2）若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=+2,0,53)sin(πββα，求βsin 的值.16．（本小题满分14分）已知0,0>>y x ,且1=+y x ,(1)求xy 的最大值;(2)求yx 41+的最小值.17．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin sin sin sin c A B b a A C +=-+. (1)求角B 的大小；(2)若sin 2sin C A =，且ABC S ∆=b 的值；。
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江苏省扬州中学2017-2018学年度第一学期阶段性测试高一数学2017.12 第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：（本大题共14个小题,每小题5分,共70分．将答案填在答题纸上．） 1．若{}224,x x x ∈++，则x = ．2．计算：2331log 98-⎛⎫+= ⎪⎝⎭．3．sin1320︒的值为 ． 4．若一个幂函数()f x 的图象过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则()f x 的解析式为 ． 5．方程lg 2x x +=的根()0,1x k k ∈+，其中k Z ∈，则k = ． 6．函数()tan 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的定义域为 ．7．函数()2log 23a y x =-+（0a >，且1a ≠）恒过定点的坐标为 ． 8．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为 ．9．已知点P 在直线AB 上，且4AB AP =uu u r uu u r ，设AP PB λ=uu u r uu r，则实数λ= ．10．设函数()sin 0y x ωω=>在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ω的取值范围为 ．11．若关于x 的方程21220xx a +-+=在[]0,1内有解，则实数a 的取值范围是 ．12．点E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，若2AE DB ⋅=-uu u r uu u r ，则AE BE ⋅=uu u r uur．13．已知函数()4f x x a a x=+-+在区间[]1,4上的最大值为32，则实数a = ． 14．已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1528y f x f x =+--有 个零点．第Ⅱ卷（共90分）二、解答题 （本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．设全集U R =，集合{}121x A x -=≥，{}2450B x x x =--<. （1）求A B I ，()()U U C A C B U ；（2）设集合{}121C x m x m =+<<-，若B C C =I ，求实数m 的取值范围.16．设()2,1OA =-uu r ，()3,0OB =uu u r ，(),3OC m =uu u r.（1）当8m =时，将OC uuu r 用OA uu r 和OB uu u r表示；（2）若A B C 、、三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件. 17． 已知函数()()sin 0,03f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求A 和ω的值；（2）求函数()y f x =在[]0,π的单调增区间；（3）若函数()()1g x f x =+在区间(),a b 上恰有10个零点，求b a -得最大值.18． 某批发公司批发某商品，每件商品进价80元，批发价120元，该批发商为鼓励经销商批发，决定当一次批发量超过100个时，每多批发一个，批发的全部商品的单价就降低0.04元，但最低批发价不能低于102元.（1）当一次订购量为多少个时，每件商品的实际批发价位102元？（2）当一次订购量为x 个，每件商品的实际批发价为P 元，写出函数()P f x =的表达式； （3）根据市场调查发现，经销商一次最大订购量为500个，则当经销商一次批发多少个零件时，该批发公司可获得最大利润.19． 已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是单调递增，且()20f -=. （1）若()12sin 21f f x ⎛⎫<⎪+⎝⎭，求x 的取值范围；（2）若()5cos 216g x x a π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，7,242x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，a R ∈.是否存在实数a ，使得()0f g x >⎡⎤⎣⎦恒成立？若存在，求a 的范围；若不存在，说明理由.20． 已知函数()()()log 101a f x x a =+<<，()()2log 33a g x x x =-+. （1）解关于x 的不等式()()g x f x >； （2）若函数()g x 在区间[]3,2m n m ⎛⎫> ⎪⎝⎭上的值域为()()log 3,log 3a a t n t m ++⎡⎤⎣⎦，求实数t 的取值范围； （3）设函数()()()f xg x F x a -=，求满足()F x Z ∈的x 的集合.高一数学参考答案及评分标准一、填空题1．1 2．6 3．2-4．()2f x x -= 5．1 6．3,28k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭7．()3,3 8．6 9．13，15- 10．(]0,2 11．[]0,1 12． 3 13．18 14． 4 二、解答题15．解：（1）∵{}1A x x =≥，{}15B x x =-<<∴{}15A B x x =≤<I ，()(){}15U U C A C B x x x =<≥或U （2）当C =∅时，211m m -<+ 即2m <当C B ⊆时，12111215m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩解之得33m <≤综上所述：m 的取值范围是(],3-∞.16．解：（1）当8m =时，()8,3OC =uu u r，设OC xOA yOB =+uu u r uu r uu u r，则()()()()8,32,13,023,x y x y x =-+=+-∴2383x y x +=⎧⎨-=⎩∴3143x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）∵A B C 、、三点能构成三角形∴,AB AC uu u r uuu r不共线又()1,1AB =uu u r ，()2,4AC m =-uu u r∴()14120m ⨯-⨯-≠，∴6m ≠. 17．解：（1）2A =，243124T πππω=-=，2ω= 所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）令222232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈得51212k x k ππππ-+≤≤+ 又因为[]0,x π∈，所以函数()y f x =在[]0,π的单调增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 注：区间端点可开可闭，都不扣分. （3）()2sin 213f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 得512x k ππ=+或()34x k k Z ππ=+∈ 函数()f x 在每个周期上有两个零点，所以共有5个周期， 所以b a -最大值为217533T ππ+=. 18．解：（1）设一次订购量为()100n n N +∈， 则批发价为1200.04n -，令1200.04102n -=， ∴1201020.04n -=，∴450n =，所以当一次订购量为550个时，每件商品的实际批发价为102元.（2）由题意知()()1200100,1200.0410*******,x x N f x x x x N⎧≤≤∈⎪=⎨--<≤∈⎪⎩（3）当经销商一次批发个零件x 时，该批发公司可获得利润为y ，根据题意知：()()400100400.0410*******xx f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨--⋅<≤⎡⎤⎪⎣⎦⎩ 设()140f x x =，在100x =时，取得最大值为4000；设()220.0444f x x x =-+=()220.045500.04550x --+⨯，所以当500x =时，()2f x 取最大值.答：当经销商一次批发500个零件时，该批发公司可获得最大利润. 19．解：（1）∵()f x 为偶函数， ∴()()220f f -==∵偶函数()f x 在(],0-∞上单调递增 ∴()f x 在[)0,+∞上单调递减 ∴12sin 21x >+∴12sin 21x >+或12sin 21x <-+ ∴31sin 2,11,22x ⎛⎫⎛⎫∈---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，又[]sin 21,1x ∈-，∴1sin 21,2x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭故x 的取值范围为73311,,124412k k k k ππππππππ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，()k Z ∈（2）由题意知，当22t -<<时，()0f t > 又()sin 213g x x a π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，7,242x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∵7,242x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22,343x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴sin 2123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭ 要使()0f g x >⎡⎤⎣⎦恒成立，则()22g x -<<恒成立 ①当0a >时，则()11g x a ≤≤-+12a -+<，01a <<②当0a =时，()1g x =显然成立 ③当0a <时，则()11a g x -+≤≤12a -+>-，∴30a -<<综上所述，使()0f g x >⎡⎤⎣⎦恒成立时，a的范围为31a -<<.20．解：（1）原不等式等价于20331x x x <-+<+，解得22x <故解集为(22.（2）∵23324y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在32x >上是单调递增的，又01a <<，（或设1232x x >>，则120x x ->，123x x +>， ∴()()2211223333x x x x -+--+=()()121230x x x x -+->⎡⎤⎣⎦ ∴()()2211223333x x x x -+>-+，∵01a <<，∴()()221122log 33log 33a a x x x x -+<-+）所以函数()g x 在区间[]3,2m n m ⎛⎫>⎪⎝⎭上为减函数，因此 ()()()2log 33log 3a a g m m m t m =-+=+，()()()2log 33log 3a a g n n n t n =-+=+.即2333m m t m -+=+，2333n n t n -+=+,32m n ⎛⎫<<⎪⎝⎭. 所以m n 、是方程2333x x t x -+=+，3,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭的两个相异的解. 设()263h x x x t =-+-，则()36430393630242332t h t ⎧⎪∆=-->⎪⎪⎛⎫=-⨯+->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩所以1564t -<<-为所求. （3）()()()()()()2log 1log 332133a a x x x f x g x x F x a ax x +--+-+===-+，()1x >-∵()71551x x ++-≥+，当且仅当1x =时等号成立，（可用对勾函数单调性说明，不证不扣分）∴()211733151x x x x x ⎛+=∈ -+⎝⎦++-+，∵5343<<，∴()F x 有可能取得整数有且只有1,2,3， 当21133x x x +=-+时，解得2x =，2x =当21233x x x +=-+时，解得5,12x x ==； 当21333x x x +=-+时，解得2x =，43x =.故集合451,2,,,2232M ⎧=-⎨⎩.。