16.2.1 分式的乘除

单位／平方公里森林面积陆地面积森林覆盖率芬兰a s 中国7a 27s新课导入as727as从上表国我们可以得出：芬兰的森林覆盖率是中国的多少倍？解： 7 27a as s 怎样解分式的除法？由甲地到乙地的一条铁路全程为s km，运行时间为a h；由甲地到乙地的公路全程为这条铁路全程的m 倍，汽车全程运行b h．那么火车的速度是汽车速度的多少倍?s ms解：a b怎样解分式的除法？教学目标【知识与能力】理解并掌握分式的乘除法则，运用法则进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题．【过程与方法】经历探索分式的乘除运算法则的过程，并能结合具体情境说明其合理性．【情感态度与价值观】渗透类比转化的思想，培养观察、类比、归纳的能力和与同伴合作交流的情感，进一步体会数学知识的实际价值．培养探索精神和创新意识．教学重难点重点掌握分式的乘除运算．难点分子、分母为多项式的分式乘除法运算．1．观察下列运算,你想到了什么?23233(1);74741432323(2);8585202324248(3);743333932353515(4).85828216⨯⨯==⨯⨯⨯==⨯⨯÷=⨯==⨯⨯÷=⨯==⨯分数的乘除法法则:两个分数相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;两个分数相除,把除数的分子分母颠倒位置后,再与被除式相乘．()()12⨯=÷=b d b d ??a c a c 2．猜一猜下面的式子怎么运算?用代数化的思想,把a,b,c,d 看作数,可以运用分数的乘除法法则去进行运算．()()12⨯==÷=⨯==b d b d bda c a c acb d bc b c bca c a d a d ad你能计算吗？÷362a a 你能计算吗？⋅343a a知识要点分式的乘法法则两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母．用式子表示为⋅⋅=⋅a c a cb d b d知识要点分式的除法法则两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘．用式子表示为：⋅÷=⋅=⋅a c a d a db d bc b c分式的乘除法法则与分数类似()().2;1adbc d c a b c d a b acbd c d a b =⨯=÷=⨯两个分式相乘, 把分子相乘的积作为积的分子, 把分母相乘的积作为积的分母;两个分式相除, 把除式的分子分母颠倒位置后,再与被除式相乘．两个分数相乘, 把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;两个分数相除, 把除数的分子分母颠倒位置后,再与被除式相乘．【分数的乘除法法则】【分式的乘除法法则】（3）．（1）；【例1】计算：x yx⋅2254（2）；y x x x x -÷++25(4542(4)）y y x x⋅⋅==2222542010x y x y xyx x --+÷=+++-+=+-=22225(455(42(4)42(4)455(42(45(4)2(4）））））y x x y x x x x x xy x x x x y x x ⋅=22y y yx x x解：（1）（2）（3）把除式的分子、分母颠倒位置后再与被除式相乘分式的乘除运算的结果通常要要约分化成最简分式或整式，即分式的乘除发法运算的实质是约分．（2）．( 1 )；x x x x x +-⨯-++232563y x x y x xy y xy x y--÷+++222222392【例2】计算：+- ⨯-++-=-- -=232563(+3)(2)(2)(3)(+3)13x x x x x x x x x x x 解：（1）-- ÷+++-+=-⨯+-+-+=-+-+=-++ 22222223923()()(3)(3)(3)()()(3)(3)()(3)y x x yx xy y xy x yx y xy y x x y x y x y x y xy y x x y x y x y xyx y x y （2）化除法为乘法先定符号分式的分子和分母是多项式，先要对分子和分母进行因式分解归纳1．分式的乘除归根到底是作乘法运算；2．对于式子中的多项式能因式分解后约分的，应先进行因式分解；3．分式运算的结果通常要化成最简分式或整式；4．在分式除法的运算中，把除号变为乘号时，分子要颠倒．()--÷2(3);x y xy x xy-++-22411(4).12x x x x x ⋅2262(1);83a y y a÷226(2)3;y xy xy a 2x 22x y -2小练习x x +-21【例3】通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好．假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都d ，已知球的体积公式为v R =π343（其中R 为球的半径，）那么（1）西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少？（3）买大西瓜合算还是买小西瓜合算？=π-314()3V R d =π343V R 解：（1）西瓜瓤的体积整个西瓜的体积=-31(1)V d V R（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比是即西瓜瓤占整个西瓜的体积也越大．⎛⎫ ⎪⎝⎭31V d 由=1-可知，V R R 越大,即西瓜越大,d R 的值越小，d 1R ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值越大，3d 1R ⎛⎫- ⎪⎝⎭也越大，1V V的值也越大，因此,买大西瓜更合算．（3）【例4】计算()()()()⎛⎫⋅-÷ ⎪-⎝⎭++-÷+⋅++-2322583(1)39432339(2)391243xy xy x x y x y y x x x x x x x()⎛⎫⋅-÷ ⎪-⎝⎭=⋅-⋅-=⋅⋅=23223223224583(1)394584()()39358439316081xy xy x x y x y y xy xy y x y x y xxy xy y x y x y xy x 解：先把除法统一换成乘法运算判定运算的符号约分到最简分式()()()()()()()()()++-÷⋅++-++-=⋅⋅+++-++-=⋅⋅++-++-=-⋅⋅++-=-+222232339(2)3912433233919124333233(3)1(23)333233(3)1(23)33323x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x 先把除法统一换成乘法运算分子、分母中的多项式分解因式判定运算的符号约分到最简分式归纳（1）分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分；（2）当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分．⋅÷2222377(1)524a b b d abc cd ab d--+÷⋅+++-22933(2)69263x x x x x x x + -262(3)(1)(2).53x c x ;小练习计算.计算：解法1：解法2：解法3：分式的乘除混合运算应是从左到右按顺序依次进行或将乘除混合运算转化为乘法运算后再进行x y y ÷⋅1÷⋅=÷=11x y x x y÷⋅=⋅⋅=2111x x y x y y y y ÷⋅=⋅⋅=⋅=21111x x x y x y y y y y y阅读下列两种计算过程，并说明哪一种计算是合理的，计算结果是正确的？为什么？a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭2a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭3a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭10n a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅=⋅==⋅22a a a a a b b b b b =⋅⋅=33a a a a b b b b ⨯⋅⋅⋅⨯==⨯⋅⋅⋅⨯11001010a b a a a b b b 个个⨯⋅⋅⋅⨯==⨯⋅⋅⋅⨯n a n b nn a a a b b b 个个观察分式乘方分式乘方要把分子、分母分别乘方．用式子表示为：nn n a a a a a a a a ()b b b b b b b b ⋅⋅⋅ =⋅⋅⋅== ⋅⋅⋅ n n n a a ()b b=即：其中n 为正整数．知识要点【例５】计算:x y ()z ⎛⎫- ⎪⎝⎭432213a b a c ()c d b b ⎛⎫-⎛⎫÷⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭24233423622解：⎛⎫--==⎪⎝⎭43232412844 2(2)16 (1)3(3)81x y x y x yz z z⎛⎫-⎛⎫÷⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=÷==24233424234624842446238222362(2)9616916624a b a c c d b b a b a c c d b ba b b c c d a b a b c d 先做乘方，再做乘除．()⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2322324a y 9mn 1;3mn 6m n ()⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23422a x x a 2.y ay x y 计算．小练习a y m n 44836a x y 11931．分式乘除法的法则:两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母;用式子表示为：两个分式相除，把除式的分子分母颠倒位置后,再与被除式相乘．用式子表示为a c a c b d b d⋅⋅=⋅a c a d a d b d b c b c⋅÷=⋅=⋅课堂小结2．分式的乘除法运算分式的乘除法运算可以统一成乘法．将除法转化为乘法时，不要忘记把除式的分子分母颠倒位置．当分子或分母是多项式时，能分解因式的要进行分解因式，能约分的一定要约分，同时要注意不要把符号弄错；分式的乘除混合运算按从左到右的顺序进行．3．分式乘方分式乘方要把分子、分母分别乘方．用式子表示为：nn n a a a a a a a a ()b b b b b b b b⋅⋅⋅ =⋅⋅⋅== ⋅⋅⋅ n n n a a ()b b =即：其中n 为正整数．1．计算的结果是（）(a)(a )(a )(a )(a )-++++2125112A ．5a 2－1 B ．5a 2－5C ．5a 2＋10a ＋5D ．a 2＋2a ＋1随堂练习Ｂ2．已知x2－5x－1 997=0，则代数式的值是（）(x)(x)x---+-322112A．1 999 B．2 000C．2 001 D．2 002Ｃ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭33222222444(3)442x xy y y x x xy y x y ()()+⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭22y x x y 1x y y x ()()()⎡⎤⎡⎤-⎛⎫-⎢⎥-⋅÷⎢⎥ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦2342722222a x a a x a x 2a 23a x 3．计算：-1y x -8()9x a +-63(2)(2)x y y x解：当a ＝3 时，原式＝a －1＝3－1＝24．已知a ＝3，求代数式的值．232121++-⋅++a a a a a 2321(2)(1)112121++-++-⋅=⋅=-++++a a a a a a a a a a a。