2016年高考理科数学真题+模拟新题分类汇编：K单元 概率
2016年历年高考数学真题分类汇编K单元 概率
数 学K 单元 概率K1 随事件的概率 18.K1，K6，K8[2016·全国卷Ⅱ] 某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.18.解：(1)设A 表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P (A )＝0.20＋0.20＋0.10＋0.05＝0.55.(2)设B 表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P (B )＝0.10＋0.05＝0.15. 又P (AB )＝P (B )，故P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝P （B ）P （A ）＝0.150.55＝311，因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为EX ＝0.85a ×0.05＝1.23a . 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.K2 古典概型 7.K2、K4[2016·江苏卷] 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________.7.56[解析] 本题为古典概型，基本事件共有36个，点数之和大于等于10的有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，6)，(6，5)，(6，4)，共计6个基本事件，故点数之和小于10的有30个基本事件，所求概率为56.14.F1，K2[2016·上海卷] 如图1-2所示，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形A 1A 2…A 8的中心，A 1(1，0).任取不同的两点A i ，A j ，点P 满足OP →＋OA i →＋OA j →＝0，则点P 落在第一象限的概率是________.图1-214.528 [解析] 共有C 28＝28(个)基本事件，其中使点P 落在第一象限的基本事件共有C 23＋2＝5(个)，故所求概率为528.K3 几何概型 4.K3[2016·全国卷Ⅰ] 某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.344.B [解析] 由题意可知满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30，共20分钟，故所求概率为2040＝12.14.K3[2016·山东卷] 在[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________.14.34 [解析] 若直线与圆相交，则|5k |1＋k 2<3，解得－34<k <34.由几何概型公式得P ＝34－（－34）1－（－1）＝34.K4 互斥事件有一个发生的概率 7.K2、K4[2016·江苏卷] 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________.7.56[解析] 本题为古典概型，基本事件共有36个，点数之和大于等于10的有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，6)，(6，5)，(6，4)，共计6个基本事件，故点数之和小于10的有30个基本事件，所求概率为56.K5 相互对立事件同时发生的概率 16.I1，K5[2016·北京卷] A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：(1)试估计C 班的学生人数.(2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；(3)再从A ，B ，C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25(单位：小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明)16.解：(1)由题意知，抽出的20名学生中，来自C 班的学生有8名.根据分层抽样方法，C 班的学生人数估计为100×820＝40. (2)设事件A i 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”，i ＝1，2，…，5， 事件C j 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，j ＝1，2，…，8. 由题意可知，P (A i )＝15，i ＝1，2，…，5；P (C j )＝18，j ＝1，2， (8)P (A i C j )＝P (A i )P (C j )＝15×18＝140，i ＝1，2，...，5，j ＝1，2， (8)设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知，E ＝A 1C 1∪A 1C 2∪A 2C 1∪A 2C 2∪A 2C 3∪A 3C 1∪A 3C 2∪A 3C 3∪A 4C 1∪A 4C 2∪A 4C 3∪A 5C 1∪A 5C 2∪A 5C 3∪A 5C 4.因此P (E )＝P (A 1C 1)＋P (A 1C 2)＋P (A 2C 1)＋P (A 2C 2)＋P (A 2C 3)＋P (A 3C 1)＋P (A 3C 2)＋P (A 3C 3)＋P (A 4C 1)＋P (A 4C 2)＋P (A 4C 3)＋P (A 5C 1)＋P (A 5C 2)＋P (A 5C 3)＋P (A 5C 4)＝15×140＝38.(3)μ1<μ0.K6 离散型随机变量及其分布列 12.K6[2016·四川卷] 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是________.12.32 [解析] 由题可知，在一次试验中，试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率P ＝1－12×12＝34.∵2次独立重复试验成功次数X 满足二项分布X ～B ⎝⎛⎭⎫2，34，∴E (X )＝2×34＝32. 10.K3[2016·全国卷Ⅱ] 从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n mB.2n mC.4m nD.2m n10.C [解析] 由题意可知(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )在如图所示的正方形中，两数平方和小于1的点在如图所示的阴影中.由几何概型概率计算公式知π41＝m n ，∴π＝4mn .18.K1，K6，K8[2016·全国卷Ⅱ] 某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：(1)(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.18.解：(1)设A 表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P (A )＝0.20＋0.20＋0.10＋0.05＝0.55.(2)设B 表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P (B )＝0.10＋0.05＝0.15. 又P (AB )＝P (B )，故P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝P （B ）P （A ）＝0.150.55＝311，因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为EX ＝0.85a ×0.30＋a ×0.15＋1.25a ×0.20＋1.5a ×0.20＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.23a . 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23. 19.K6，K7[2016·山东卷] 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX .19.解：(1)记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”， 记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”， 记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”.由题意，E ＝ABCD ＋BCD ＋ACD ＋ABD ＋ABC.由事件的独立性与互斥性，得P (E )＝P (ABCD )＋P (BCD )＋P (ACD )＋P (ABD )＋P (ABC)＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P ()P (B )P (C )P (D )＋P (A )P ()P (C )P (D )＋P (A )P (B )P ()P (D )＋P (A )P (B )P (C )P ()＝34×23×34×23＋2×14×23×34×23＋34×13×34×23＝23， 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.(2)由题意，随机变量X 可能的取值为0，1，2，3，4，6. 由事件的独立性与互斥性，得 P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×（34×13×14×13＋14×23×14×13）＝10144＝572，P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112，P (X ＝4)＝2×（34×23×34×13＋34×23×14×23）＝60144＝512，P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.故随机变量X 的分布列为所以数学期望EX ＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236. 16.K6[2016·天津卷] 某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.16.解：(1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13， 所以事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715， P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1.K7 条件概率与事件的独立性19.K6，K7[2016·山东卷] 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX .19.解：(1)记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”， 记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”， 记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”.由题意，E ＝ABCD ＋BCD ＋ACD ＋ABD ＋ABC.由事件的独立性与互斥性，得P (E )＝P (ABCD )＋P (BCD )＋P (ACD )＋P (ABD )＋P (ABC)＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P ()P (B )P (C )P (D )＋P (A )P ()P (C )P (D )＋P (A )P (B )P ()P (D )＋P (A )P (B )P (C )P ()＝34×23×34×23＋2×14×23×34×23＋34×13×34×23＝23， 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.(2)由题意，随机变量X 可能的取值为0，1，2，3，4，6.由事件的独立性与互斥性，得 P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×（34×13×14×13＋14×23×14×13）＝10144＝572，P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112，P (X ＝4)＝2×（34×23×34×13＋34×23×14×23）＝60144＝512，P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.故随机变量X 的分布列为所以数学期望EX ＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236.K8 离散型随机变量的数字特征与正态分布18.K1，K6，K8[2016·全国卷Ⅱ] 某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.18.解：(1)设A 表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P (A )＝0.20＋0.20＋0.10＋0.05＝0.55.(2)设B 表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P (B )＝0.10＋0.05＝0.15. 又P (AB )＝P (B )，故P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝P （B ）P （A ）＝0.150.55＝311，因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为EX＝0.85a×0.30＋a×0.15＋1.25a×0.20＋1.5a×0.20＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.K9 单元综合19.K9[2016·全国卷Ⅰ] 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：图1-5以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？19.解：(1)由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列为(2)由(1)(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).当n＝19时，E (Y )＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040.当n ＝20时，E (Y )＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080. 可知当n ＝19时所需费用的期望值小于n ＝20时所需费用的期望值，故应选n ＝19.[2016·浙江卷]04 “计数原理与概率”模块(1)已知(1＋2x )4(1－x 2)3＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，求a 2的值.(2)设袋中共有8个球，其中3个白球、5个红球，从袋中随机取出3个球，求至少有1个白球的概率.解：(1)因为(1＋2x )4二项展开式的通项为C r 4(2x )r，r ＝0，1，2，3，4.(1－x 2)3二项展开式的通项为C r 3(－x 2)r，r ＝0，1，2，3.所以a 2＝C 24·22·C 03＋C 04·C 13·(－1)＝21. (2)从袋中取出3个球，总的取法有C 38＝56(种)； 其中都是红球的取法有C 35＝10(种).因此，从袋中取出3个球至少有1个白球的概率是 1－C 35C 38＝2328.4.[2016·揭阳模拟] 利用计算机在区间(0，1)上产生随机数a ，则不等式ln(3a －1)<0成立的概率是( )A.13B.23C.12D.144.A [解析] 由ln (3a －1)<0得13<a<23，则用计算机在区间(0，1)上产生的随机数a 使不等式ln (3a －1)<0成立的概率是13.3.[2016·天水月考] 根据历年气象资料统计，某地四月份刮东风的概率是830，既刮东风又下雨的概率是730，则该地四月份在刮东风的条件下下雨的概率是 ( )A. 830B. 730C.78D.8153.C [解析] 记“某地四月份刮东风”为事件A ，“某地四月份下雨”为事件B ，则P(A)＝830，P(AB)＝730，所以P( |B A)＝P （AB ）P （A ）＝78. 1.[2016·贵州普通高等学校模拟] 在某次考试中，全部考生参加了“科目一”和“科目二”两个科目的考试，每科成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级.某考场考生的两个科目考试成绩的统计图如图K501所示，其中“科目一”成绩为D 的考生恰有4人.(1)分别求该考场的考生中“科目一”和“科目二”成绩为A 的考生人数；(2)已知在该考场的考生中，恰有2人的两科成绩均为A ，从至少一科成绩为A 的考生中随机抽取2人进行访谈，设这2人中两科成绩均为A 的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.图K5011.解：(1)该考场中“科目一”的成绩为D 的考生人数所占频率为1－0.2－0.375－0.25－0.075＝0.1，所以该考场人数为4÷0.1＝40.于是“科目一”的成绩为A 的考生人数为40×0.075＝3，“科目二”的成绩为A 的考生人数为40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝40×0.075＝3.(2)因为“科目一”和“科目二”成绩为A 的考生人数均为3，又恰有2人的两科成绩等级均为A ，所以还有2人只有一个科目得分为A ，即至少有一科成绩为A 的考生共有4人.随机变量X 的可能取值为0，1，2.P ()X ＝0＝C 22C 24＝16，P ()X ＝1＝C 12·C 12C 24＝46＝23， P ()X ＝2＝C 22C 24＝16，所以X 的分布列为X 的数学期望E ()X ＝0×16＋1×23＋2×16＝1.4.[2016·安庆二模] 近年来，全国很多地区出现了非常严重的雾霾天气，而燃放烟花爆竹会加重雾霾，是否应该全面禁放烟花爆竹已成为人们议论的一个话题.一般来说，老年人(年满60周岁，包括60周岁)从情感上不太支持禁放烟花爆竹，而中青年人(18周岁至60周岁)则相对理性一些.某市环保部门就是否赞成禁放烟花爆竹对400位老年人和中青年人进行了随机问卷调查，调查结果如下表：(1). (2)从上述不赞成禁放烟花爆竹的市民中按年龄结构用分层抽样法取出13人，再从这13人中随机地挑选2人了解他们春节期间在烟花爆竹上的消费情况.假设老年人花费500元左右，中青年人花费1000元左右.用Χ表示它们在烟花爆竹上消费的总费用，求Χ的分布列和数学期望.附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），4.解：(1)因为k ＝400×（60×120－140×80）140×260×200×200≈4.396>3.841，所以有95%以上的把握认为“是否赞成禁放烟花爆竹”与“年龄结构”有关. (2)因为140∶120＝7∶6，所以13人中有老年人7人，中青年人6人. X 可能的取值为2000，1500，1000，P(X ＝2000)＝C 26C 213＝526，P(X ＝1500)＝C 17C 16C 213＝713，P(X ＝1000)＝C 27C 213＝726，所以X 的分布列为526＋1500×713＋1000×726＝19 00013≈1462.所以E(X)＝2000×。
2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学模拟试题(理科)及详解答案
曲线的离心率的平方是________． 15．已知两个正数 a，b，可按规律 c＝ab＋a＋b 推广为一个新数 c，在 a，b，c 三个数中
取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称 为一次操作．若 p＞q＞0，经过五次操作后扩充得到的数为(q＋1)m(p＋1)n－1 (m，n 为正整数)，
在答题卡和试卷规定的位置上。 2. 第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如果改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案写在试卷上无效。 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位
置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂
在答题卡和试卷规定的位置上。
2. 第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如果改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案写在试卷上无效。 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位
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2016 年山东卷数学理科模拟试题
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2016 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
数学模拟试题（理科）参考答案
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 4 页。满分 150 分，考试用时 120 分钟。考试结束
后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1. 答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写
2016年高考试数学分类汇编-概率
概率2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（1）（4）某公司的班车在30:7，00:8，30:8发车，小明在50:7至30:8之间到达发车站乘坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）31 （B ）21 （C ）32 （D ）43 （16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元．（19）（本小题满分12分） 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若要求5.0)(≥≤n X P ，确定n 的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19=n 与20=n 之中选其一，应选用哪个？2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（2）（10）从区间随机抽取2n 个数,，…，，，，…，，构成n 个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（A ）（B ）（C ）（D ）【解析】C由题意得：在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在 如图所示的阴影中由几何概型概率计算公式知，∴，故选C ．（18）（本小题满分12分）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．[]0,11x 2x n x 1y 2y n y ()11,x y ()22,x y (),n n x y π4n m 2n m4m n 2m n ()()12i i x y i n =⋅⋅⋅，，，，π41m n=4πmn=60%【解析】⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件，．⑵设续保人保费比基本保费高出为事件， ． ⑶解：设本年度所交保费为随机变量．平均保费，∴平均保费与基本保费比值为．2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（3）（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
2016年普通高等学校招生模拟考试数学(理)试题
机密★启用前2016年5月16日2016年普通高等学校招生模拟考试卷理科数学测试试卷注意事项：1、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上·2、作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·3、考试结束后，将本试卷和答题卡哦一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．1．复数2+i12i-的共轭复数是()A．－3i5B．3i5C．－i D．i2．已知M、N为集合I的非空真子集，且M、N不相等，若N∩C I M＝∅，则M∪N＝() A．M B．N C．I D．∅3．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k＋2－S k＝24，则k＝() A．8 B．7 C．6 D．54．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|是偶函数”是“y＝f(x)是奇函数”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则() A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2＝r16．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝()A ．B ．C ．4D ．7．如果执行下边的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1，a 2，…，a N ，输出A ，B ，则( )A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和 B ．2A B为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数 C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最小的数和最大的数 D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最大的数和最小的数8．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )．A ．14B ．13C ．4D ．39．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．30+B ．28+C ．56+D ．60+10．在平行四边形ABCD 中，π3A ∠=，边AB ，AD 的长分别为2，1. 若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD =，则AM AN ⋅ 的取值范围是( )． A ．[1，3] B ．[2，5] C ．[3，5] D ．[4，6]11．已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x ＜0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )．A ．⎛-∞ ⎝ B ．(-∞ C ．⎛ ⎝D ．⎛ ⎝12．设a <b ，f(t)=⎰-baxdx t e|| (t ∈[e a ，e b ])，则( )A ．当t =2b a +时f(t)取得最大值 B ．当t =2ba +时f(t)取得最小值 C ．当t =2b a e +时f(t)取得最大值 D ．当t =2b a e+时f(t)取得最小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则z ＝x ＋2y 的最小值为__________．14．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB的中点为M，则M的轨迹的标准方程为.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，对任意正整数m，n，都有S m+n=S m S n，则{a n}的通项公式为a n = .16．高为的四棱锥S－ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.(1)求B；(2)若sin A sin C，求C.18．如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△P AB和△P AD都是等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求二面角A－PD－C的平面角的余弦值．19．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2 000元的概率．20．设椭圆1222=+y x上两个不同的点A 、B 关于直线y=kx +21对称(1)求k 的取值范围(2)求三角形OAB 的面积的最大值21．设函数f(x)=(x +a )ln(x +1)－ax .(1)若a ≤1，求f(x)的单调区间；(2)若总存在x 0>0，使得f (x 0)<0，求a 的取值范围； (3) 设a 1＝1，a n ＋1＝ln(a n ＋1)，证明：2322n a n n <≤++22．选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．23．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．24．选修4—5：不等式选讲设函数()1||(0)f x x x a a a++>＝－． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围．2016全国新课标卷 (理科答案)1 C2 A3 D 4B 5 C 6 B 7 D 8 A 9 A 10 B 11 B 12 D 13、 －6 14、 (x －1)2＋(y －3)2＝2 15、⎩⎨⎧≥=-2,2121n n n ， 16、117、解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac .由余弦定理得cos B ＝222122a cb ac +-=-， 因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C ＝1+22=故A －C ＝30°或A －C ＝－30°， 因此C ＝15°或C ＝45°.18、(1)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O . 连结OA ，OB ，OD ，OE .由△P AB 和△P AD 都是等边三角形知P A ＝PB ＝PD ， 所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点， 故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE .因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点， 所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .(2)解法一：由(1)知CD ⊥PB ，CD ⊥PO ，PB ∩PO ＝P ，故CD ⊥平面PBD .又PD ⊂平面PBD ，所以CD ⊥PD . 取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连结FG ， 则FG ∥CD ，FG ⊥PD .连结AF ，由△APD 为等边三角形可得AF ⊥PD . 所以∠AFG 为二面角A －PD －C 的平面角． 连结AG ，EG ，则EG ∥PB . 又PB ⊥AE ，所以EG ⊥AE .设AB ＝2，则AE ＝EG ＝12PB ＝1，故AG 3.在△AFG 中，FG ＝12CD =，AF =，AG ＝3，所以cos ∠AFG ＝22223FG AF AG FG AF +-=-⨯⨯.因此二面角A －PD －C 的大小为π-解法二：由(1)知，OE ，OB ，OP 两两垂直．以O 为坐标原点，OE的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设|AB|＝2，则A (0,0)，D (0，0)，C (0)，P (0,0．PC ＝(，PD＝(0，．AP ＝ 0，AD ＝0)．设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1·PC＝(x ，y ，z )·(，＝0，n 1·PD＝(x ，y ，z )·(0，＝0，可得2x －y －z ＝0，y ＋z ＝0.取y ＝－1，得x ＝0，z ＝1，故n 1＝(0，－1,1)．设平面P AD 的法向量为n 2＝(m ，p ，q )，则n 2·AP＝(m ，p ，q0＝0，n 2·AD＝(m ，p ，q0)＝0，可得m ＋q ＝0，m －p ＝0.取m ＝1，得p ＝1，q ＝－1，故n 2＝(1,1，－1)． 于是cos 〈n 1，n 2〉＝1212||||=·n n n n ，即为所求 19(1)设A 表示事件“作物产量为300 kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”，由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4， ∵利润＝产量×市场价格－成本， ∴X 所有可能的取值为500×10－1 000＝4 000,500×6－1 000＝2 000， 300×10－1 000＝2 000,300×6－1 000＝800. P (X ＝4 000)＝()()P A P B ＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝2 000)＝()()()+()P A P B P A P B ＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2， 所以X 的分布列为(2)设C i 表示事件“第i 由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知，P (C i )＝P (X ＝4 000)＋P (X ＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1,2,3)， 3季的利润均不少于2 000元的概率为 P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512； 3季中有2季利润不少于2 000元的概率为123123123()+()+()P C C C P C C C P C C C ＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896. 20(1)设l ：y=kx +21依题意，直线AB 与直线l 垂直，且线段AB 的中点在l 上 设AB ：x =－ky +m ，代入椭圆方程：(k 2+2)y 2－2kmx +m 2－2=0判别式Δ＝8(k 2－m 2+2)AB 中点y 0=221y y +=22+k km ，x 0=－ky 0+m =222+k m代入直线l 方程中化简得22+k km =－21所以m =)0(222≠+-k k k由Δ>0，解得k <－36或k36>(2) |AB |=2)2(81||12222112+-++=-+k m k k y y k ， d O-AB =21||k m + S =21|AB |d =2)2(2||222+-+k m k m =42422228443||2)4)2(2(2k k k k k k k -+=+-+=21)211(2122+--k 当k 2=2时，S max =2221、(1)f’(x)=ln(x+1) +1)1(+-x xa (x >－1)，因为a ≤1， 故当－1<x <0时，ln(x+1)<0，1)1(+-x xa ≤0，所以f’(x)<0，f(x)为减函数 当x >0时，ln(x+1)>0，1)1(+-x xa >0，所以f’(x)>0， f(x)为增函数 (2) 由(1)知，当a ≤1时, f(x)为(0，+∞)上的增函数 对任意x >0都有f(x)>f (0)=0，不符题意；故a >1 f(x)=(x +a )ln(x +1)－ax =(x +a )[ln(x +1)－ax ax+] 令g(x)=ln(x +1)－ax ax+(x >0，a >1)，则原命题等价于：存在x 0>0，使得g (x 0)<0，而g’(x)= 22))(1()]2([a x x a a x x ++-- 当1<a ≤2时，g’(x)>0，g(x)在(0，+∞)上为增函数对任意x >0都有g(x)>g (0)=0，不符题意；当a >2时，若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，a 2－2a )是减函数； g(a 2－2a )<g(0)=0，满足题设．所以，所求范围为a >2(3)由(3)可知，当a =2时，对任意x >0都有g(x)>g (0)=0，即2ln(1)2x x x +>+ 当a =3时，f (x )在(0，3)是减函数，故当0<x <3时，g(x)<g(0)=0，即3ln(1)3x x x +<+ 于是：当0＜x ＜3时，总有23ln(1)23x x x x x <+<++ 下面用数学归纳法证明2322n a n n <≤++. ①当n ＝1时，由已知1213a <=，故结论成立； ②设当n ＝k 时结论成立，即2322k a k k <≤++. 当n ＝k ＋1时，122222ln(1)ln 122322k k k a a k k k +⨯⎛⎫+=+>+>= ⎪++⎝⎭++， 133332ln(1)ln 132332k k k a a k k k ⨯⎛⎫+≤+<= ⎪++⎝⎭+++=+， 即当n ＝k ＋1时有12333k a k k +<≤++，结论成立． 根据①，②知对任何n ∈N *结论都成立．22、(1)证明：连结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC .(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG 设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°.从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，所以CF ⊥BF ，故Rt △BCF23、(1)曲线C 的参数方程为2cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)． 直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为3sin 6d θθ=+-，则|5sin()6|sin30d PA θα==+-︒，其中α为锐角，且4tan 3α=.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为5.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为5.24、(1)由a ＞0，有()111||+2f x x x a x x a a a a a ++≥+-(-)=≥＝－. 所以f (x )≥2.(2) ()133|3|f a a+＝+－.当a ＞3时，()13f a a +＝，由f (3)＜5得32a <<.当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)＜53a <≤.综上，a 的取值范围是1522⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭。
2016全国1高考数学(理)真题及答案解析精编版.doc
2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学及答案注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷 ( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分 . 第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3至5页.2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效 .4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回 .第Ⅰ卷一 . 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合A { x | x 24x 3 0} ， B { x | 2x 3 0} ，则 A I B( 3, 3)( 3,3)(1,3)( 3,3)（A ）2（B ）2（C ）2（D ）2（2）设(1 i) x1yi，其中 x ，y 是实数，则x yi =（A ）1（B ）2（C ） 3（D ）2（3）已知等差数列{ an}前9项的和为27，a10=8，则a100=（A）100（B）99（C）98（D）97（4）某公司的班车在 7:00 ，8:00 ，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（A）（ B）（ C）（ D）（5）已知方程– =1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（A）( –1,3)（B）(–1,3)（C）(0,3)（D）(0,3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 . 若该几何体的体积是，则它的表面积是（A）17π（ B）18π（ C）20π（ D）28π（7）函数y=2x2–e|x|在[ –2,2] 的图像大致为（A）（B）（C）（D）（8）若a b 10， c 1，则（A）a c b c（） ab c ba c（）（）B C a log b c b log a c D log a c log b c（9）执行右面的程序图，如果输入的x 0， y 1， n 1，则输出x，y的值满足（A）y2x （B） y 3x （C） y 4x （D） y 5x(10)以抛物线 C的顶点为圆心的圆交 C于 A、B两点，交 C的标准线于 D、E两点. 已知 | AB|= 4 2，| DE|=2 5，则C的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)8(11) 平面a过正方体ABCD-A B CD的顶点A，a// 平面CBD，平面 ABCD=m，1111 1 1a a平面 ABA1B1=n，则 m、n 所成角的正弦值为(A) 3(B)2(C)3(D) 1 223 312. 已知函数 f xsin(x+)(0，), x 为 f (x) 的零点， x为 y f ( x) 图( )442像的对称轴，且 f ( x) 在5单调，则的最大值为18 ，36（A ）11（B ）9（C ）7 （D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分 . 第(13) 题~第 (21) 题为必考题， 每个试题考生都必须作答 . 第(22) 题~第(24) 题为选考题，考生根据要求作答 .二、填空题：本大题共3 小题，每小题 5 分(13) 设向量 a =( m ，1) ，b =(1 ，2) ，且 | a +b | 2=| a | 2+| b | 2，则 m =.(14) (2 x x )5 的展开式中， x 3 的系数是 . （用数字填写答案）（ 15）设等比数列满足 a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则 a 1a 2 a n 的最大值为。
山东省13市2016届高考数学3月模拟试题分类汇编 概率与统计 理
山东省13市2016届高三3月模拟数学理试题分类汇编概率与统计一、选择、填空题 1、（德州市2016高三3月模拟）为了增强环保意识，某校从男生中随机制取了60人，从女生中随机制取了50人参加环保知识测试，统计数据如下表所示：则有（ ）的把握认为环保知识是否优秀与性别有关。
A 、90% B 、95% C 、99% B 、99.9% 2、（济宁市2016高三3月模拟）某产品在某零售摊位的零售价x （单位：元）与每天的销售量y （单位：个）的统计资料如下表所示.由表可得回归直线方程y bx a =+$$$中的4b =-$，据此模型预测零售价为20元时，每天的销售量为A.26个B.27个C.28个D.29个3、（济宁市2016高三3月模拟）如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为 ▲ .4、（临沂市2016高三3月模拟）某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本.某中学生共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学生共有女生 A. 1030人 B. 97人 C. 950人 D.970人5、（青岛市2016高三3月模拟）已知数据12350,,,,,500x x x x ⋅⋅⋅（单位：公斤），其中12350,,,,,x x x x ⋅⋅⋅是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x ，中位数为y ，则12350,,,,,500x x x x ⋅⋅⋅这51个数据的平均数、中位数分别与x y 、比较，下列说法正确的A.平均数增大，中位数一定变大B.平均数增大，中位数可能不变C.平均数可能不变，中位数可能不变D.平均数可能不变，中位数可能变小6、（泰安市2016高三3月模拟）随机抽取100名年龄在[)[)10,20,20,30…，[)50,60年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，则在[)50,60年龄段抽取的人数为 ▲ . 7、（潍坊市2016高三3月模拟）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分的概率为__________.8、（烟台市2016高三3月模拟）已知100名学生某月零用钱消费支出情况的频率分布直方图如右图所示，则这100名学生中，该月零用钱消费支出超过150元的人数是 9、（济南市2016高三3月模拟）某校高一、高二、高三年级学生人数分别是400,320,280.采用分层抽样的方法抽取50人，参加学校举行的社会主义核心价值观知识竞赛，则样本中高三年级的人数是（ ） A.20 B.16 C.15 D.14参考答案：1、C2、D3、404、D5、B6、27、138、30 9、【答案】D【解析】考查分层抽样。
2016年概率与统计高考真题汇编7道(完美归纳)
2016年高考数学理试题分类汇编统计与概率1、（2016年北京高考） A 、B 、C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）； A 班 6 6.5 7 7.5 8B 班 6 7 8 9 10 11 12C 班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（2）从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （3）再从A 、B 、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1μ ，表格中数据的平均数记为0μ ，试判断0μ和1μ的大小，（结论不要求证明）2、（2016年山东高考）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是43，乙每轮猜对的概率是32；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(Ⅰ) “星队”至少猜对3个成语的概率；(Ⅱ) “星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX ．3、（2016年四川高考）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）、一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（I）求直方图中a的值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.4、（2016年天津高考）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.5、（2016年全国I 高考）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I ）求X 的分布列；（II ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？6、（2016年全国II 高考）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5概率0.300.150.200.200.100. 05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．7、（2016年全国III 高考）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（I ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （II ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。
[精品]2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 K单元 概率(理科2016)和答案
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数学K单元概率K1 随事件的概率18．K1，K6，K8某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．18．解：(1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.20＋0.20＋0.10＋0.05＝0.55.(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.10＋0.05＝0.15.又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝P（AB）P（A）＝P（B）P（A）＝0.150.55＝311，因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为EX＝0.85a×0.30＋a×0.15＋1.25a×0.20＋1.5a×0.20＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.K2 古典概型7．K2、K4将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．7.56 本题为古典概型，基本事件共有36个，点数之和大于等于10的有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，6)，(6，5)，(6，4)，共计6个基本事件，故点数之和小于10的有30个基本事件，所求概率为56. 14．F1，K2 如图12所示，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形A 1A 2…A 8的中心，A 1(1，0)．任取不同的两点A i ，A j ，点P 满足OP →＋OAi →＋OA j →＝0，则点P 落在第一象限的概率是________．图1214.528 共有C 28＝28(个)基本事件，其中使点P 落在第一象限的基本事件共有C 23＋2＝5(个)，故所求概率为528.K3 几何概型4．K3 某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.344．B 由题意可知满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30，共20分钟，故所求概率为2040＝12.14．K3 在上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．14.34 若直线与圆相交，则|5k |1＋k 2<3，解得－34<k <34.由几何概型公式得P ＝34－（－34）1－（－1）＝34.K4 互斥事件有一个发生的概率7．K2、K4 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．7.56 本题为古典概型，基本事件共有36个，点数之和大于等于10的有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，6)，(6，5)，(6，4)，共计6个基本事件，故点数之和小于10的有30个基本事件，所求概率为56.K5 相互对立事件同时发生的概率16．I1，K5 A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：(1)试估计C班的学生人数．(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；(3)再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25(单位：小时)．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．(结论不要求证明)16．解：(1)由题意知，抽出的20名学生中，来自C班的学生有8名．根据分层抽样方法，C班的学生人数估计为100×820＝40.(2)设事件A i为“甲是现有样本中A班的第i个人”，i＝1，2， (5)事件C j为“乙是现有样本中C班的第j个人”，j＝1，2， (8)由题意可知，P(A i)＝15，i＝1，2，…，5；P(C j)＝18，j＝1，2， (8)P(A i C j)＝P(A i)P(C j)＝15×18＝140，i＝1，2，…，5，j＝1，2， (8)设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”．由题意知，E＝A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.因此P(E)＝P(A1C1)＋P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(A2C2)＋P(A2C3)＋P(A3C1)＋P(A3C2)＋P(A3C3)＋P(A4C1)＋P(A4C2)＋P(A4C3)＋P(A5C1)＋P(A5C2)＋P(A5C3)＋P(A5C4)＝15×140＝38.(3)μ1<μ0.K6 离散型随机变量及其分布列12．K6同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________．12.32由题可知，在一次试验中，试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率P＝1－12×12＝34.∵2次独立重复试验成功次数X 满足二项分布X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫2，34，∴E (X )＝2×34＝32. 10．K3 从区间随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n mB.2n mC.4m nD.2m n10．C 由题意可知(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )在如图所示的正方形中，两数平方和小于1的点在如图所示的阴影中．由几何概型概率计算公式知π41＝m n ，∴π＝4mn .18．K1，K6，K8 某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．18．解：(1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.20＋0.20＋0.10＋0.05＝0.55.(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.10＋0.05＝0.15.又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝P（AB）P（A）＝P（B）P（A）＝0.150.55＝311，因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为EX＝0.85a×0.30＋a×0.15＋1.25a×0.20＋1.5a×0.20＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.19．K6，K7甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.19．解：(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E ＝ABCD ＋BCD ＋A CD ＋AB D ＋ABC .由事件的独立性与互斥性，得P (E )＝P (ABCD )＋P (BCD )＋P (A CD )＋P (AB D )＋P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P ()P (B )P (C )P (D )＋P (A )P ()P (C )P (D )＋P (A )P (B )P ()P (D )＋P (A )P (B )P (C )P ()＝34×23×34×23＋2×14×23×34×23＋34×13×34×23＝23， 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.(2)由题意，随机变量X 可能的取值为0，1，2，3，4，6. 由事件的独立性与互斥性，得 P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×（34×13×14×13＋14×23×14×13）＝10144＝572，P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144， P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112，P (X ＝4)＝2×（34×23×34×13＋34×23×14×23）＝60144＝512，P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.故随机变量X 的分布列为所以数学期望EX ＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236. 16．K6 某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．16．解：(1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13，所以事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415，P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715，P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)＝0×415＋1×715＋2×415＝1.K7 条件概率与事件的独立性19．K6，K7甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.19．解：(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E＝ABCD＋BCD＋A CD＋AB D＋ABC.由事件的独立性与互斥性，得P (E )＝P (ABCD )＋P (BCD )＋P (A CD )＋P (AB D )＋P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P ()P (B )P (C )P (D )＋P (A )P ()P (C )P (D )＋P (A )P (B )P ()P (D )＋P (A )P (B )P (C )P ()＝34×23×34×23＋2×14×23×34×23＋34×13×34×23＝23， 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.(2)由题意，随机变量X 可能的取值为0，1，2，3，4，6. 由事件的独立性与互斥性，得 P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×（34×13×14×13＋14×23×14×13）＝10144＝572，P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144， P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112，P (X ＝4)＝2×（34×23×34×13＋34×23×14×23）＝60144＝512，P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.故随机变量X 的分布列为所以数学期望EX ＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236.K8 离散型随机变量的数字特征与正态分布18．K1，K6，K8某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．18．解：(1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.20＋0.20＋0.10＋0.05＝0.55.(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.10＋0.05＝0.15.又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝P（AB）P（A）＝P（B）P（A）＝0.150.55＝311，因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为EX＝0.85a×0.30＋a×0.15＋1.25a×0.20＋1.5a×0.20＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.K9 单元综合19．K9某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：图15以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？19．解：(1)由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列为(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040.当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080.可知当n ＝19时所需费用的期望值小于n ＝20时所需费用的期望值，故应选n ＝19.04 “计数原理与概率”模块(1)已知(1＋2x )4(1－x 2)3＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，求a 2的值．(2)设袋中共有8个球，其中3个白球、5个红球，从袋中随机取出3个球，求至少有1个白球的概率．解：(1)因为(1＋2x )4二项展开式的通项为C r 4(2x )r，r ＝0，1，2，3，4.(1－x 2)3二项展开式的通项为C r 3(－x 2)r ，r ＝0，1，2，3. 所以a 2＝C 24·22·C 03＋C 04·C 13·(－1)＝21.(2)从袋中取出3个球，总的取法有C 38＝56(种)； 其中都是红球的取法有C 35＝10(种)．因此，从袋中取出3个球至少有1个白球的概率是 1－C 35C 38＝2328.4． 利用计算机在区间(0，1)上产生随机数a ，则不等式ln(3a －1)<0成立的概率是( )A.13B.23C.12D.144．A 由ln (3a －1)<0得13<a<23，则用计算机在区间(0，1)上产生的随机数a 使不等式ln (3a －1)<0成立的概率是13.3． 根据历年气象资料统计，某地四月份刮东风的概率是830，既刮东风又下雨的概率是730，则该地四月份在刮东风的条件下下雨的概率是 ( )A. 830B. 730C.78D.8153．C 记“某地四月份刮东风”为事件A ，“某地四月份下雨”为事件B ，则P(A)＝830，P(AB)＝730，所以P( |B A)＝P （AB ）P （A ）＝78. 1． 在某次考试中，全部考生参加了“科目一”和“科目二”两个科目的考试，每科成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级．某考场考生的两个科目考试成绩的统计图如图K501所示，其中“科目一”成绩为D 的考生恰有4人．(1)分别求该考场的考生中“科目一”和“科目二”成绩为A 的考生人数；(2)已知在该考场的考生中，恰有2人的两科成绩均为A ，从至少一科成绩为A 的考生中随机抽取2人进行访谈，设这2人中两科成绩均为A 的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．图K50 11．解：(1)该考场中“科目一”的成绩为D 的考生人数所占频率为1－0.2－0.375－0.25－0.075＝0.1，所以该考场人数为4÷0.1＝40.于是“科目一”的成绩为A 的考生人数为40×0.075＝3， “科目二”的成绩为A 的考生人数为40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝40×0.075＝3.(2)因为“科目一”和“科目二”成绩为A 的考生人数均为3，又恰有2人的两科成绩等级均为A ，所以还有2人只有一个科目得分为A ，即至少有一科成绩为A 的考生共有4人．随机变量X 的可能取值为0，1，2.P ()X ＝0＝C 22C 24＝16，P ()X ＝1＝C 12·C 12C 24＝46＝23，P ()X ＝2＝C 22C 24＝16，所以X 的分布列为X 的数学期望E ()X ＝0×6＋1×3＋2×6＝1. 4． 近年来，全国很多地区出现了非常严重的雾霾天气，而燃放烟花爆竹会加重雾霾，是否应该全面禁放烟花爆竹已成为人们议论的一个话题．一般来说，老年人(年满60周岁，包括60周岁)从情感上不太支持禁放烟花爆竹，而中青年人(18周岁至60周岁)则相对理性一些．某市环保部门就是否赞成禁放烟花爆竹对400位老年人和中青年人进行了随机问卷调查，调查结果如下表：(1)构”有关？请说明理由．(2)从上述不赞成禁放烟花爆竹的市民中按年龄结构用分层抽样法取出13人，再从这13人中随机地挑选2人了解他们春节期间在烟花爆竹上的消费情况．假设老年人花费500元左右，中青年人花费1000元左右．用Χ表示它们在烟花爆竹上消费的总费用，求Χ的分布列和数学期望．附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），4．解：(1)因为k ＝140×80）2140×260×200×200≈4.396>3.841，所以有95%以上的把握认为“是否赞成禁放烟花爆竹”与“年龄结构”有关．(2)因为140∶120＝7∶6，所以13人中有老年人7人，中青年人6人．X 可能的取值为2000，1500，1000，P(X ＝2000)＝C 26C 213＝526，P(X ＝1500)＝C 17C 16C 213＝713，P(X ＝1000)＝C 27C 213＝726， 所以X 的分布列为所以 E(X)＝2000×26＋1500×13＋1000×26＝13≈1462.。
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K 单元 概率K1 随事件的概率18．K1，K6，K8[2016·全国卷Ⅱ] 某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．18．解：(1)设A 表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P (A )＝0.20＋0.20＋0.10＋0.05＝0.55.(2)设B 表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P (B )＝0.10＋0.05＝0.15. 又P (AB )＝P (B )，故P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝P （B ）P （A ）＝0.150.55＝311，因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为EX ＝0.85a ×0.05＝1.23a . 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.K2 古典概型7．K2、K4[2016·江苏卷] 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．7.56[详细分析] 本题为古典概型，基本事件共有36个，点数之和大于等于10的有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，6)，(6，5)，(6，4)，共计6个基本事件，故点数之和小于10的有30个基本事件，所求概率为56.14．F1，K2[2016·上海卷] 如图1-2所示，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形A 1A 2…A 8的中心，A 1(1，0)．任取不同的两点A i ，A j ，点P 满足OP →＋OA i →＋OA j →＝0，则点P 落在第一象限的概率是________．图1-214.528 [详细分析] 共有C 28＝28(个)基本事件，其中使点P 落在第一象限的基本事件共有C 23＋2＝5(个)，故所求概率为528.K3 几何概型4．K3[2016·全国卷Ⅰ] 某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.344．B [详细分析] 由题意可知满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30，共20分钟，故所求概率为2040＝12.14．K3[2016·山东卷] 在[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．14.34 [详细分析] 若直线与圆相交，则|5k |1＋k 2<3，解得－34<k <34.由几何概型公式得P ＝34－（－34）1－（－1）＝34.K4 互斥事件有一个发生的概率 7．K2、K4[2016·江苏卷] 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．7.56[详细分析] 本题为古典概型，基本事件共有36个，点数之和大于等于10的有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，6)，(6，5)，(6，4)，共计6个基本事件，故点数之和小于10的有30个基本事件，所求概率为56.K5 相互对立事件同时发生的概率 16．I1，K5[2016·北京卷] A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：(1)试估计C 班的学生人数．(2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；(3)再从A ，B ，C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25(单位：小时)．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．(结论不要求证明)16．解：(1)由题意知，抽出的20名学生中，来自C 班的学生有8名．根据分层抽样方法，C 班的学生人数估计为100×820＝40.(2)设事件A i 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”，i ＝1，2，…，5， 事件C j 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，j ＝1，2，…，8. 由题意可知，P (A i )＝15，i ＝1，2，…，5；P (C j )＝18，j ＝1，2， (8)P (A i C j )＝P (A i )P (C j )＝15×18＝140，i ＝1，2，...，5，j ＝1，2， (8)设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”．由题意知，E ＝A 1C 1∪A 1C 2∪A 2C 1∪A 2C 2∪A 2C 3∪A 3C 1∪A 3C 2∪A 3C 3∪A 4C 1∪A 4C 2∪A 4C 3∪A 5C 1∪A 5C 2∪A 5C 3∪A 5C 4.因此P (E )＝P (A 1C 1)＋P (A 1C 2)＋P (A 2C 1)＋P (A 2C 2)＋P (A 2C 3)＋P (A 3C 1)＋P (A 3C 2)＋P (A 3C 3)＋P (A 4C 1)＋P (A 4C 2)＋P (A 4C 3)＋P (A 5C 1)＋P (A 5C 2)＋P (A 5C 3)＋P (A 5C 4)＝15×140＝38.(3)μ1<μ0.K6 离散型随机变量及其分布列 12．K6[2016·四川卷] 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是________．12.32 [详细分析] 由题可知，在一次试验中，试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率P ＝1－12×12＝34.∵2次独立重复试验成功次数X 满足二项分布X ～B ⎝⎛⎭⎫2，34，∴E (X )＝2×34＝32. 10．K3[2016·全国卷Ⅱ] 从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n mB.2n mC.4m nD.2m n10．C [详细分析] 由题意可知(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )在如图所示的正方形中，两数平方和小于1的点在如图所示的阴影中．由几何概型概率计算公式知π41＝m n ，∴π＝4mn .18．K1，K6，K8[2016·全国卷Ⅱ] 某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：(1)(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．18．解：(1)设A 表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P (A )＝0.20＋0.20＋0.10＋0.05＝0.55.(2)设B 表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P (B )＝0.10＋0.05＝0.15. 又P (AB )＝P (B )，故P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝P （B ）P （A ）＝0.150.55＝311，因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为EX ＝0.85a ×0.30＋a ×0.15＋1.25a ×0.20＋1.5a ×0.20＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.23a . 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23. 19．K6，K7[2016·山东卷] 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX .19．解：(1)记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”， 记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”， 记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E ＝ABCD ＋BCD ＋A CD ＋ABD ＋ABC .由事件的独立性与互斥性，得 P (E )＝P (ABCD )＋P (BCD )＋P (A CD )＋P (ABD )＋P (ABC)＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P ()P (B )P (C )P (D )＋P (A )P ()P (C )P (D )＋P (A )P (B )P ()P (D )＋P (A )P (B )P (C )P ()＝34×23×34×23＋2×14×23×34×23＋34×13×34×23＝23， 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.(2)由题意，随机变量X 可能的取值为0，1，2，3，4，6. 由事件的独立性与互斥性，得 P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×（34×13×14×13＋14×23×14×13）＝10144＝572，P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112，P (X ＝4)＝2×（34×23×34×13＋34×23×14×23）＝60144＝512，P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.故随机变量X 的分布列为所以数学期望EX ＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236. 16．K6[2016·天津卷] 某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．16．解：(1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13， 所以事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715， P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1.K7 条件概率与事件的独立性19．K6，K7[2016·山东卷] 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX .19．解：(1)记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”， 记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”， 记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E ＝ABCD ＋BCD ＋A CD ＋ABD ＋ABC .由事件的独立性与互斥性，得 P (E )＝P (ABCD )＋P (BCD )＋P (A CD )＋P (ABD )＋P (ABC)＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P ()P (B )P (C )P (D )＋P (A )P ()P (C )P (D )＋P (A )P (B )P ()P (D )＋P (A )P (B )P (C )P ()＝34×23×34×23＋2×14×23×34×23＋34×13×34×23＝23， 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.(2)由题意，随机变量X 可能的取值为0，1，2，3，4，6.由事件的独立性与互斥性，得 P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×（34×13×14×13＋14×23×14×13）＝10144＝572，P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112，P (X ＝4)＝2×（34×23×34×13＋34×23×14×23）＝60144＝512，P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.故随机变量X 的分布列为所以数学期望EX ＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236.K8 离散型随机变量的数字特征与正态分布18．K1，K6，K8[2016·全国卷Ⅱ] 某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．18．解：(1)设A 表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P (A )＝0.20＋0.20＋0.10＋0.05＝0.55.(2)设B 表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P (B )＝0.10＋0.05＝0.15. 又P (AB )＝P (B )，故P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝P （B ）P （A ）＝0.150.55＝311，因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为EX＝0.85a×0.30＋a×0.15＋1.25a×0.20＋1.5a×0.20＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.K9 单元综合19．K9[2016·全国卷Ⅰ] 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：图1-5以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？19．解：(1)由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列为(2)由(1)(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，E (Y )＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040.当n ＝20时，E (Y )＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080. 可知当n ＝19时所需费用的期望值小于n ＝20时所需费用的期望值，故应选n ＝19.[2016·浙江卷]04 “计数原理与概率”模块(1)已知(1＋2x )4(1－x 2)3＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，求a 2的值．(2)设袋中共有8个球，其中3个白球、5个红球，从袋中随机取出3个球，求至少有1个白球的概率．解：(1)因为(1＋2x )4二项展开式的通项为C r 4(2x )r，r ＝0，1，2，3，4.(1－x 2)3二项展开式的通项为C r 3(－x 2)r，r ＝0，1，2，3.所以a 2＝C 24·22·C 03＋C 04·C 13·(－1)＝21. (2)从袋中取出3个球，总的取法有C 38＝56(种)； 其中都是红球的取法有C 35＝10(种)．因此，从袋中取出3个球至少有1个白球的概率是 1－C 35C 38＝2328.4．[2016·揭阳模拟] 利用计算机在区间(0，1)上产生随机数a ，则不等式ln(3a －1)<0成立的概率是( )A.13B.23C.12D.144．A [详细分析] 由ln (3a －1)<0得13<a<23，则用计算机在区间(0，1)上产生的随机数a使不等式ln (3a －1)<0成立的概率是13.3．[2016·天水月考] 根据历年气象资料统计，某地四月份刮东风的概率是830，既刮东风又下雨的概率是730，则该地四月份在刮东风的条件下下雨的概率是 ( )A. 830B. 730C.78D.8153．C [详细分析] 记“某地四月份刮东风”为事件A ，“某地四月份下雨”为事件B ，则P(A)＝830，P(AB)＝730，所以P( |B A)＝P （AB ）P （A ）＝78.1．[2016·贵州普通高等学校模拟] 在某次考试中，全部考生参加了“科目一”和“科目二”两个科目的考试，每科成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级．某考场考生的两个科目考试成绩的统计图如图K501所示，其中“科目一”成绩为D 的考生恰有4人．(1)分别求该考场的考生中“科目一”和“科目二”成绩为A 的考生人数；(2)已知在该考场的考生中，恰有2人的两科成绩均为A ，从至少一科成绩为A 的考生中随机抽取2人进行访谈，设这2人中两科成绩均为A 的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．图K5011．解：(1)该考场中“科目一”的成绩为D 的考生人数所占频率为1－0.2－0.375－0.25－0.075＝0.1，所以该考场人数为4÷0.1＝40.于是“科目一”的成绩为A 的考生人数为40×0.075＝3，“科目二”的成绩为A 的考生人数为40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝40×0.075＝3.(2)因为“科目一”和“科目二”成绩为A 的考生人数均为3，又恰有2人的两科成绩等级均为A ，所以还有2人只有一个科目得分为A ，即至少有一科成绩为A 的考生共有4人．随机变量X 的可能取值为0，1，2.P ()X ＝0＝C 22C 24＝16，P ()X ＝1＝C 12·C 12C 24＝46＝23， P ()X ＝2＝C 22C 24＝16，所以X 的分布列为X 的数学期望E ()X ＝0×16＋1×23＋2×16＝1.4．[2016·安庆二模] 近年来，全国很多地区出现了非常严重的雾霾天气，而燃放烟花爆竹会加重雾霾，是否应该全面禁放烟花爆竹已成为人们议论的一个话题．一般来说，老年人(年满60周岁，包括60周岁)从情感上不太支持禁放烟花爆竹，而中青年人(18周岁至60周岁)则相对理性一些．某市环保部门就是否赞成禁放烟花爆竹对400位老年人和中青年人进行了随机问卷调查，调查结果如下表：(1) (2)从上述不赞成禁放烟花爆竹的市民中按年龄结构用分层抽样法取出13人，再从这13人中随机地挑选2人了解他们春节期间在烟花爆竹上的消费情况．假设老年人花费500元左右，中青年人花费1000元左右．用Χ表示它们在烟花爆竹上消费的总费用，求Χ的分布列和数学期望．附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），4．解：(1)因为k ＝400×（60×120－140×80）140×260×200×200≈4.396>3.841，所以有95%以上的把握认为“是否赞成禁放烟花爆竹”与“年龄结构”有关． (2)因为140∶120＝7∶6，所以13人中有老年人7人，中青年人6人． X 可能的取值为2000，1500，1000，P(X ＝2000)＝C 26C 213＝526，P(X ＝1500)＝C 17C 16C 213＝713，P(X ＝1000)＝C 27C 213＝726，所以X 的分布列为所以E(X)＝2000×526＋1500×713＋1000×726＝19 00013≈1462.11。