解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等40分钟限时练(六)带答案人教版高中数学

高中数学专题复习
《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分
一、选择题
1．以抛物线2
4y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（ ） A ．2
2
x +y +2x=0 B ．2
2
x +y +x=0 C ．
22x +y -x=0
D ．2
2
x +y -2x=0(汇编福建理）
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
2．已知圆22
670x y x +--=与抛物线2
2(0)y px p =>的准线相切，则p 的值
为 .
3．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心、2为半径的圆，与过点A (－1，3)的直线l 相
切，则直线l 的方程是______________________．
评卷人
得分
三、解答题
4．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：122
2
=-y x ．
（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆12
2
=+y x 相切，求证：
OQ OP ⊥；
（3）设椭圆2C ：142
2
=+y x ，若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且
ON OM ⊥，求证：O 到直线MN 的距离是定值. 【汇编高考真题上海理22】
（4+6+6=16分）
5．已知,A B 分别是直线33y x =
和33
y x =-上的两个动点，线段AB 的长为23是AB 的中点，点P 的轨迹为.C
（1）求轨迹C 的方程；
（2）过点(1,0)Q 任意作直线l （与x 轴不垂直），设l 与轨迹C 交于,M N 两点，与y 轴交于R 点。

若,,RM MQ RN NQ λμ==证明：λμ+为定值。

6．定义变换T ：cos sin ,
sin cos ,
x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨
'⋅-⋅=⎩可把平面直角坐标系上的点(,)P x y 变换
到这一平面上的点(,)P x y '''.特别地，若曲线M 上一点P 经变换公式T 变换后得到的点P '与点P 重合，则称点P 是曲线M 在变换T 下的不动点.
（1）若椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，且焦距为22，长轴顶点和短轴顶点间的距离为 2. 求该椭圆C 的标准方程. 并求出当3
arctan 4
θ=时，其两个焦点1F 、2F 经变换公式T 变换后得到的点1F '和2F '的坐标；
（2）当3arctan 4
θ=时，求（1）中的椭圆C 在变换T 下的所有不动点的坐标； （3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换
T ：cos sin ,sin cos ,x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨
'⋅-⋅=⎩
（2k π
θ≠，k Z ∈）下的不动点的存在情况和个数.
7．若椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，椭圆上的点到焦点的最
短距离为1，椭圆的离心率为
4
5
，以原点为圆心、短轴长为直径作圆O ，过圆O 外一点P 作圆O 的两条切线,PA PB 。

（1）求椭圆的方程；（2）若2PA PF =，求PO 的最小值；（3）在（2）的条件下，若点P 在椭圆内，求12PF PF 的范围。

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1．D 抛物线的焦点为)0,1(F ，又圆过原点，所以1=R ，方程为
021)1(2222=+-⇔=+-y x x y x 。

第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
2．
3．x ＝－1或5x ＋12y －31＝0． 评卷人
得分
三、解答题
4
．
过点A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为22,2 1.2y x y x ⎛⎫
=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭
即
1=ON ，22=
OM ,则O 到直线MN 的距离为3
3
. 设O 到直线MN 的距离为d .
【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为
2，它的渐近线为
x y ±=，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档
题 ． 5．
6．（理）解：（1）设椭圆C 的标准方程为22
221x y a b
+=（0a b >>），由椭圆定
义知焦距2222c c =⇒=
，即222a b -=…①.
又由条件得224a b +=…②，故由①、②可解得23a =，2
1b =.
即椭圆C 的标准方程为2
213
x y +=. 且椭圆C 两个焦点的坐标分别为()12,0F -和(
)
1
2,0F .
对于变换T ：cos sin ,sin cos x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨'⋅-⋅=⎩，当3arctan 4θ=时，可得43,55
34,
5
5x y x x y y ⎧'+=⎪⎪⎨⎪'-=⎪⎩
设()111,F x y '和()222,F x y '分别是由()12,0F -和(
)
1
2,0F 的坐标由变换公式T 变
换得到.于是，114342
(2)0,555
3432
(2)0555x y ⎧=⋅-+⋅=-⎪⎪⎨⎪=⋅--⋅=-⎪⎩，即1F '的坐标为4232,55⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭
； 又2
24342
20,5553432
20555x y ⎧=⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪=⋅-⋅=⎪⎩
即2F '的坐标为4232,55⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
. （2）设(,)P x y 是椭圆C 在变换T 下的不动点，则当3
arctan
4
θ=时， 有43553455x y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩⇒3x y =，由点(,)P x y C ∈，即(3,)P y y C ∈
，得：2
2(3)13
y y += ⇒123y x y ⎧
=±⎪⎨⎪=⎩
，因而椭圆C 的不动点共有两个，分别为31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭和31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.
(3) 设(,)P x y 是双曲线在变换T 下的不动点，则由
cos sin ,sin cos ,x y x x y y θθθθ⋅+⋅=⎧⎨
⋅-⋅=⎩()()sin 1cos ,
sin 1cos ,
y x x y θθθθ⋅=-⋅⎧⎪⇒⎨⋅=+⋅⎪⎩ 因为2k πθ≠
，k Z ∈，故1cos sin tan sin 1cos 2
y x θθθ
θθ-===+.
不妨设双曲线方程为
221x y m n +=（0mn <），由tan 2
y x θ=代入得 则有2
22
2tan tan 2211x n m x x m n mn
θθ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭+=⇔=, 因为0mn <，故当2
tan 02
n m θ
+=时，方程
2
2tan 21n m x mn
θ
+=无解；
当2
tan 02
n m θ
+≠时，要使不动点存在，则需220tan
2
mn
x n m θ
=
>+，
因为0mn <，故当2tan 02
n m θ
+<时，双曲线在变换T 下一定有2个不动点，否
则不存在不动点. 进一步分类可知：
（i ）当0n <，0m >时，即双曲线的焦点在x 轴上时，
2
2
tan 0tan 2
2
n
n m m
θ
θ
⇒+<⇒<-
； 此时双曲线在变换T 下一定有2个不动点；
（ii ）当0n >，0m <时，即双曲线的焦点在y 轴上时，
2
2
tan 0tan 02
2
n
n m m
θ
θ
⇒+<⇒>-
>. 此时双曲线在变换T 下一定有2个不动点. 7．。