人教B版高中数学必修4-3.2《半角的正弦、余弦和正切》拔高练习
人教B版高中数学必修四高一作业设计：3.2.2半角的正弦、余弦和正切.docx
3．2．2 半角的正弦、余弦和正切课时目标 1．了解半角公式及推导过程．2．能正确运用半角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和三角恒等式的证明．1．二倍角的余弦及其变形cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝__________＝____________；cos α＝_________________________________________________________________ ＝____________________＝_______________________________________________； sin 2α2＝__________，cos 2α2＝__________． 2．半角公式(1)sin α2＝____________；(S α2)(2)cos α2＝______________；(C α2)(3)tan α2＝__________；(T α2)(4)tan α2＝__________________＝__________________________________________．一、选择题1．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( )A ．－1－cos α2B ． 1－cos α2C ．－1＋cos α2D ． 1＋cos α22．当tan α2≠0时，tan α2的值与sin α( )A ．同号B ．异号C ．有时同号有时异号D ．sin α可能为零3．已知α是第三象限角，sin α＝－2425，则tan α2等于( )A ．－34B ．34C ．43D ．－434．已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么sin 2θ等于( )A ．223B ．－223C ．23D ．－235．已知π<θ<3π2，则 12＋12 12＋12cos θ等于( )A ．sin θ4B ．cos θ4C ．－sin θ4D ．－cos θ46．若α是第三象限角，且sin(α＋β)·cos β－sin βcos(α＋β)＝－513，则tan α2的值为( )A ．－5B ．5C ．－513D ．513二、填空题 7．tan 67．5°－tan 22．5°的值是________．8．已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，tan θ2＝______．9．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是________．10．已知等腰三角形顶角的余弦值为45，则底角的正切值为________．三、解答题11．已知cos α＝13，α为第四象限角，求sin α2、cos α2、tan α2．12．求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α．能力提升13．已知π<α<3π2，化简下面的式子．1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α．14．证明：(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α＝tan α2．1．半角公式前面的正负号的选择(1)如果没有给出决定符号的条件，则要保留根号前的正负号；(2)若给出角α的具体范围时，则根号前的符号由角α2所在象限确定；(3)若给出的角α是某一象限的角时，则根据下表确定符号：α α2 sin α2 cos α2 tan α2第一象限 第一、三象限 ＋、－ ＋、－ ＋ 第二象限 第一、三象限 ＋、－ ＋、－ ＋ 第三象限 第二、四象限 ＋、－ －、＋ － 第四象限 第二、四象限 ＋、－ －、＋ －2．半角公式的三个变式：cos 2α2＝1＋cos α2，sin 2α2＝1－cos α2，tan 2α2＝1－cos α1＋cos α．在实际进行三角函数的化简、求值、证明时经常用到．3．2．2 半角的正弦、余弦和正切答案知识梳理1．2cos 2α－1 1－2sin 2α cos 2α2－sin 2α2 2cos 2α2－11－2sin 2α2 1－cos α2 1＋cos α2 2．(1)± 1－cos α2(2)± 1＋cos α2 (3)± 1－cos α1＋cos α (4)sin α1＋cos α1－cos αsin α作业设计 1．C2．A [∵sin α＝2sin α2cos α2，tan α2＝sinα2cosα2，∴sin α与tan α2同号．]3．D4．A [∵sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝59．∴sin 22θ＝89∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0，sin 2θ>0．∴sin 2θ＝223．]5．A [∵π<θ<3π2，∴π2<θ2<3π4，π4<θ4<3π8，∴cos θ2<0，sin θ4>0，原式＝12＋12cos 2 θ2＝ 12－12cos θ2＝ sin 2θ4＝⎪⎪⎪⎪sin θ4＝sin θ4．] 6．A [易知sin α＝－513，α是第三象限角，∴cos α＝－1213．∴tan α2＝sin α1＋cos α＝－5131＋⎝⎛⎭⎫－1213＝－5．]7．2解析 tan 67．5－tan 22．5°＝1－cos 135°sin 135°－1－cos 45°sin 45°＝1＋2222－1－2222＝2．8．－2解 ∵180°<θ<270°，∴90°<θ2<135°，∴tan θ2<0，∴tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝⎛⎭⎫－351＋⎝⎛⎭⎫－35＝－2．9．459解析 设α为该等腰三角形的一底角，则cos α＝23，顶角为180°－2α．∴sin(180°－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝21－⎝⎛⎭⎫232·23＝459． 10．3解析 设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝45，底角大小为12(180°－α)．∴tan ⎣⎡⎦⎤12(180°－α)＝tan ⎝⎛⎭⎫90°－α2＝cot α2＝1＋cos αsin α＝1＋4535＝3．11．解 sin α2＝± 1－cos α2＝± 1－132＝±33，cos α2＝± 1＋cos α2＝± 1＋132＝±63．tan α2＝± 1－cos α1＋cos α＝±1－131＋13＝±22．∵α为第四象限角，∴α2为第二、四象限角．当α2为第二象限角时， sin α2＝33，cos α2＝－63，tan α2＝－22； 当α2为第四象限角时，sin α2＝－33，cos α2＝63， tan α2＝－22． 12．证明 左边＝cos 2α1＋cos αsin α－1－cos αsin α＝cos 2α2cos αsin α＝12sin αcos α＝14sin 2α．＝右边． ∴原式成立．13．解 原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪sin α2，∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴cos α2<0，sin α2>0．∴原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cosα22＝－2cos α2．14．证明 利用半角正切公式．左边＝⎝⎛⎭⎫1－1－cos αsin α⎝⎛⎭⎫1＋1－cos αsin α2·cos αsin α＝⎝⎛⎭⎫1－tan α2⎝⎛⎭⎫1＋tan α22tan α＝⎝⎛⎭⎫1－tan 2α2tan α2＝⎝⎛⎭⎫1－tan 2α22·2tan α21－tan 2α2＝tan α2＝右边．。
2019版高中人版B版数学必修4练习：3.2.2半角的正弦、余弦和正切
1.已知 sin θ=
课后篇 巩固探究
一、 A 组 基础巩固
< θ< 3π,那么 tan + cos 的值为
()
A. -3
B.3 -
C.-
D.
答案 :B
2.设 a= cos 6°- sin 6° ,b=
°
-
°
° ,c=
,则有 ( )
A. a>b>c
B. a<b<c
C.a<c<b
°
C.
详细分析 :
-
答案 :D
D.
°
°
° °
tan45° = .
5.已知 2sin θ=1+ cos θ,则 cot 的值为 ( )
A .2
B.
C. 或 0
D .2 或 0
详细分析 :当 cosθ=- 1 时 ,θ= 2kπ+ π,k∈ Z,cot =0;
当 cosθ≠-1 时 ,tan 答案 :D
,若 a=f (lg 5), b=f
A .a+b= 0
B .a-b= 0
C.a+b= 1
D .a-b= 1
-
详细分析 :f (x)=
,
∴ a=
,b=
-
答案 :C
D.8
,则 ( )
,∴ a+b=
sin(2lg5) +
sin(2lg5) = 1.
5.化简 - A .sin C.2cos
B .2sin D .cos
D. b<c<a
详细分析 :因为 a= sin24° ,b= tan26° ,c= sin25° ,所以 a<c<b.
2018-2019学年高一数学人教B版必修4课时作业：3.2.2 半角的正弦、余弦和正切 Word版含解析
∴tanα＝－2， 2sinαcosα
2tanα
2 × －2
4
∴原式＝sin2α－sinαcosα－cos2α＝tan2α－tanα－1＝－22－－2－1＝－5. 4
答案：－5 α
10．已知 tan2＝2，求：
( )π
6sinα＋cosα
α＋
(1)tan 4 的值；( 答案：C
5
2 ＝－ 5 .故选 C. α
2．若 sinα＝13，α 是第二象限角，则 tan2＝________.
( )12
1－ － 13
12 α 1－cosα
5
解析：因为 α 是第二象限角，所以 cosα＝－ 1－sin2α＝－13，tan2＝ sinα ＝ 13 ＝5.
答案：5
2＝1＋32＝－5.
答案：B
43
α
5．已知 cosα＝5，且 2π＜α＜2π，则 tan 2等于( ) 11
A．－3 B.3 11
C．－3或3 D．－3
3π
3π α
解析：∵ 2 ＜α＜2π，∴ 4 ＜2＜π. 4
1－ 5
α
1－cosx
4 1＋
1
∴tan2＝－ 1＋cosx＝－ 5＝－3，故选 A.
4．已知 α 是第二象限角，tan(π＋2α)＝－3，则 tanα＝________.
4
2tanα
1
解析：∵tan(π＋2α)＝tan2α，∴tan2α＝－3，又∵tan2α＝1－tan2α且 tanα＜0，解得 tanα＝－2. 1
答案：－2
( ( )) 5．化简：
1 11 1
－ 22
＋ cos2α 22
α sin
2
α α7 cos
高中数学人教B版必修4作业：3.2.2 半角的正弦、余弦和正切 Word版含解析
一、选择题1．下列各式与tan α相等的是()A. 1－cos 2α1＋cos 2α B.sin α1＋cos αC.sin α1－cos 2αD.1－cos 2αsin 2α【解析】1－cos 2αsin 2α＝2sin2α2sin αcos α＝sin αcos α＝tan α.【答案】D2．若函数f(x)＝sin 2x－12(x∈R)，则f(x)是()A．最小正周期为π2的奇函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数【解析】y＝sin 2x－1 2＝1－cos 2x2－12＝－12cos 2x，∴函数是最小正周期为π的偶函数．【答案】D3．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，那么sinθ2的值等于()A．－105 B.105C．－155 D.155【解析】|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，θ为第二象限的角，则cos θ＝－15，又5π4<θ2<3π2，θ2为第三象限的角，则sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋152＝－155.【答案】 C4．已知sin θ＝－35，3π＜θ＜72π，则tan θ2的值为( ) A ．3 B ．－3 C.13D ．－13【解析】 ∵3π＜θ＜72π，sin θ＝－35，∴cos θ＝－1－(－35)2＝－45，∴tan θ＝34.∵3π＜θ＜72π，∴32π＜θ2＜74π， 又tan θ＝2tan θ21－tan 2θ2＝34， ∴tan θ2＝－3或13(舍去)．【答案】 B5．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a【解析】 a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°， b ＝2sin 13° ·cos 13°＝sin 26°， c ＝sin 25°，y ＝sin x 在[0，π2]上是递增的． ∴a <c <b . 【答案】 C 二、填空题6.2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是________．【解析】原式＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|.∵54π＜4，∴cos 4＜0，sin 4＜cos 4.∴原式＝－2cos 4＋2cos 4－2sin 4＝－2sin 4.【答案】－2sin 47．5π<θ<6π，cos θ2＝a，则sinθ4＝________.【解析】∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sinθ4<0.sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2.【答案】－1－a 28．(2019·常熟高一检测)函数y＝cos2(x－π12)＋sin2(x＋π12)－1的最小正周期为________．【解析】y＝cos2(x－π12)＋sin2(x＋π12)－1＝1＋cos(2x－π6)2＋1－cos(2x＋π6)2－1＝32cos 2x＋12sin 2x－32cos 2x＋12sin 2x2＝12sin 2x，∴T＝2π2＝π.【答案】π三、解答题9．设π＜θ＜2π，cos θ2＝a，求(1)sin θ的值；(2)cos θ的值；(3)sin2θ4的值．【解】(1)∵π＜θ＜2π，∴π2＜θ2＜π，又cos θ2＝a，∴sinθ2＝1－cos2θ2＝1－a2，∴sin θ＝2sin θ2cosθ2＝2a1－a2.(2)cos θ＝2cos2θ2－1＝2a2－1.(3)sin2θ4＝1－cosθ22＝1－a2.10．已知向量a＝(cos 3x2，sin3x2)，b＝(cosx2，－sinx2)，且x∈[0，π2]，求：a·b及|a＋b|.【解】a·b＝cos 3x2cosx2－sin3x2sinx2＝cos 2x；|a＋b|＝(cos 3x2＋cosx2)2＋(sin3x2－sinx2)2＝2＋2cos 2x＝4×1＋cos 2x2＝21＋cos 2x2＝2|cos x|.∵x∈[0，π2]，∴cos x≥0，∴|a＋b|＝2cos x.11．若π＜α＜3π2，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.【解】∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4，∴cos α2＜0，sinα2＞0.∴原式＝(sinα2＋cosα2)22|cosα2|－2|sinα2|＋(sinα2－cosα2)22|cosα2|＋2|sinα2|＝(sinα2＋cosα2)2－2(sinα2＋cosα2)＋(sinα2－cosα2)22(sinα2－cosα2)＝－sinα2＋cosα22＋sinα2－cosα22＝－2cosα2.。
数学人教B版4课后训练：3.2.2半角的正弦、余弦和正切含解析
半角的正弦、余弦和正切练习1．tan 15°＋cot 15°等于( )A ．2B ．C ．4 D2．设α∈(π,2π）( ）A ．sin 2αB ．cos 2αC ．sin 2α-D ．cos 2α-3．若sin 11cos 2αα=+,则sin α＋cos α的值是（ )A ．75B ．85C ．1D ．29154．若sin 2α＝14,且α∈ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭，则cos α－sin α的值是( )A B ．34C ．D ．5．1sin8cos81sin8cos8θθθθ+-=++( )A ．tan 2θB ．cot 4θC ．tan 4θD ．cot 2θ6．已知α为三角形的内角，sin α＝3，则cot α=________.7．若3π2＜α＜2π，且cos α＝14，________．8．已知0°＜α＜β＜90°，sin αx 2－x ＋cos 240°－12＝0的两根，则cos(2α－β）＝________.9．已知ππ1sin 2sin 2444αα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,α∈ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，求2sin 2α＋tan α－1tan α－1的值．10．(2011·北京模拟)已知函数f （xx －2sin2x .（1)求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值;（2)若x ∈ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求f (x )的最大值和最小值．参考答案1．解析：原式＝1cos30sin30sin301cos30-︒︒+︒-︒＝224。
答案：C2．解析：∵α∈（π，2π)，∴2α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，∴sin 02α>.sin sin22αα==。
答案：A3．解析：由sin 11cos 2αα=+,①得sin (1cos )1(1cos )(1cos )2αααα-=+-，整理得1cos 1sin 2αα-=。
②由①得1cos 2sin αα+=。
人教版数学高一人教B版必修4学案半角的正弦、余弦和正切
3.2.2 半角的正弦、余弦和正切[学习目标] 1.了解由二倍角的余弦公式推导半角的正弦、余弦、正切公式的过程.2.能正确运用半角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．[知识链接]1．代数式变换与三角变换有什么不同？答 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．2．倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α.(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. [预习导引]1．半角公式(1)S α2：sin α2＝± 1－cos α2； (2)C α2：cos α2＝± 1＋cos α2； (3)T α2：tan α2＝± 1－cos α1＋cos α(无理形式) ＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α(有理形式)． 2．半角公式变形(1)sin 2α2＝1－cos α2；(2)cos 2α2＝1＋cos α2； (3)tan 2α2＝1－cos α1＋cos α.要点一 三角函数的求值例1 已知sin α＝－817且π<α<32π，求sin α2，cos α2，tan α2的值． 解 ∵sin α＝－817，π<α<32π，∴cos α＝－1517. 又π2<α2<34π， ∴sin α2＝ 1－cos α2＝ 1＋15172＝41717， cos α2＝－ 1＋cos α2＝－ 1－15172＝－1717， tan α2＝sin α2cos α2＝－4. 规律方法 对于给值求值问题，其关键是找出已知式与所求式之间的角、运算及函数的差异，一般需适当变换已知式或变换所求式，建立已知式与所求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用．跟踪演练1 已知sin α＝1213，sin(α＋β)＝45，α、β均为锐角，求cos β2的值． 解 ∵0<α<π2，sin α＝1213， ∴cos α＝1－sin 2 α＝513. 又∵0<α<π2，0<β<π2， ∴0<α＋β<π.若0<α＋β<π2， ∵1213>45，即sin α>sin(α＋β)， ∴α＋β<α不可能．∴π2<α＋β<π. 又∵sin(α＋β)＝45，∴cos(α＋β)＝－35. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－35×513＋45×1213＝3365.而0<β<π2，0<β2<π4， ∴cos β2＝ 1＋cos β2＝76565. 要点二 三角函数的化简例2 化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)． 解 原式＝ ⎝⎛⎭⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ24cos 2θ2＝cos θ2⎝⎛⎭⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2cos θ⎪⎪⎪⎪cos θ2. ∵0<θ<π，∴0<θ2<π2，∴cos θ2>0， ∴原式＝－cos θ.规律方法 (1)式子中含有1＋cos θ，1－cos θ等形式时，常需要用半角公式升幂．(2)在开方时要注意讨论角的范围．跟踪演练2 化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α. 解 由tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α， 则原式＝cos 2α2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos 2αcos 2α＝1.1．设5π＜θ＜6π，cos θ2＝a ，那么sin θ4等于( ) A ．－1＋a 2 B ．－ 1－a 2 C ．－1＋a 2 D ．－1－a 2答案 B解析 由cos θ2＝1－2sin 2θ4得sin 2θ4＝1－cos θ22， 又5π＜θ＜6π，∴5π4＜θ4＜3π2.∴sin θ4＜0.∴sin θ4＝－ 1－a 2. 2．已知cos θ＝79，且270°＜θ＜360°，则cos θ2的值为( ) A.23 B ．－223 C ．±233 D ．－23答案 B解析 ∵cos θ＝2cos 2θ2－1，∴cos 2θ2＝1＋cos θ2， ∵270°＜θ＜360°∴135°＜θ2＜180°，∴cos θ2＜0， ∴cos θ2＝－ 1＋cos θ2＝－ 1＋792＝－223. 3．已知sin α＝－2425，且α为第三象限的角，则tan α2等于( ) A ．－43 B ．－34 C.43 D.34答案 A解析 由sin α＝－2425，且α为第三象限的角， 得cos α＝－725.所以tan α2＝sin α1＋cos α＝－24251－725＝－43. 4．若cos 22°＝a ，则sin 11°＝________，cos 11°＝________. 答案 1－a 2 1＋a 2解析 cos 22°＝2cos 2 11°－1＝1－2sin 211°，∴cos 11°＝ 1＋cos 22°2＝ 1＋a 2，sin 11°＝ 1－cos 22°2＝ 1－a 2.1.半角公式前面的正负号的选择(1)如果没有给出决定符号的条件，则要保留根号前的正负号；(2)若给出角α的具体范围时，则根号前的符号由角α2所在象限确定； (3)若给出的角α是某一象限的角时，则根据角所在象限确定符号．2．半角公式的三个变式 (1)sin 2α2＝1－cos α2； (2)cos 2α2＝1＋cos α2； (3)tan 2α2＝1－cos α1＋cos α，在实际进行三角函数的化简、求值、证明时经常用到．。
高中数学 3.2 倍角公式和半角公式 3.2.2 半角的正弦余弦和正切课后导练 新人教B版必修4
3.2.2 半角的正弦余弦和正切课后导练基础达标1.若sin2α=2524,则2cos （4π-α）的值为（ ） A.51 B.57 C.±51 D.±57 解析：2cos(4π-α)=2(cos 4πcos α+sin 4π·sin α)=cos α+sin α,由于sin2α=2524,可利用(cos α+sin α)2=1+sin2α=2549. 又∵sin2α=2524>23,故2k π+3π<2α<2k π+32π.从而k π+6π<α<k π+3π(k∈Z ),即α终边在第一象限或第三象限.∴cos α+sin α=±57. 答案：D2.若θθtan 2tan 1+-=1,则θθ2sin 1cos +2的值为（ ） A.3 B.-3 C.-2 D.-21 解析：由已知解得tan θ=-21, ∴cos θθθθθθθθcos sin 2cos sin sin cos 2sin 12cos 2222++-=+ 1411411tan 2tan 1tan 122-+-=++-=θθθ=3. 答案：A3.已知θ是第三象限角，若sin 4θ+cos 4θ=97,那么sin2θ等于（ ） A.332 B.332- C.32 D.32- 解析：将原式配方得(sin 2θ+cos 2θ)2-2sin 2θcos 2θ=97,于是1-21sin 22θ=97, ∴sin 22θ=94.由已知,θ在第三象限,故θ∈(2k π+π,2k π+23π),从而2θ∈(4k π+2π,4k π+3π),故2θ在第一、二象限，所以sin2θ=32.答案：C4.若21cos 1sin =+αα,则sin α+cos α的值是（ ） A.57 B.58 C.1 D.1529 解析：由21cos 1sin =+αα,① 得21)cos 1)(cos 1()cos 1(sin =-+-αααα，整理得ααsin cos 1-=21.② 由①得ααsin cos 1+=2.③ ②+③得25sin 2=α,得sin α=54. 又由①得cos α=2sin α-1=2×54-1=53， 故sin α+cos α=54+53=57. 答案：A5.若sin2α=41,且α∈(4π,2π),则cos α-sin α的值是（ ） A.23 B.43 C.23- D.43- 解析：∵(cos α-sin α)2=1-sin ２α=1-41=43, ∴|cos α-sin α|=23.由α∈(4π,2π),知cos α<sin α，∴cos α-sin α=23-. 答案：C6.如果|cos θ|=51,25π<θ<3π,则sin 2θ的值是（ ） A.510- B.510 C.515- D.515 解析：∵25π<θ<3π,45π<2θ<23π，∴cos θ=51-.于是sin 2θ=5152cos 1-=--θ. 答案：C7.(2005上海高考,13) 若cos α=53且α∈(0,2π),则tan 2α=__________. 解析:∵α∈(0,2π),∴2α∈(0,4π).∴tan 2α=21531531cos 1cos 1=+-=+-αα. 答案:21 8.函数f(x)=cosx-sin 2x-cos2x+47的最大值是_________. 解析：f(x)=cosx-(1-cos 2x)-(2cos 2x-1)+47=-cos 2x+cosx+47=-(cosx-21)2+2. 当且仅当cosx=21时,f(x)取最大值2. 答案：2综合运用 9.sin12π-sin 125π+2sin 8πcos 8π=_______________. 解析：原式=sin 12π-sin 125π+2sin 8πcos 8π=sin 12π-sin 125π+sin 4π =sin 12π-cos 12π+sin 4π=2sin(12π-4π)+sin 4π =-2sin6π+sin 4π=2222+-=0. 答案：010.已知0<α<β<2π,sin α与sin β是方程x 2-(2cos40°)x+cos 240°-21=0的两根,则cos(2α-β)=_______.解析：∵Δ=2cos 240°-4cos 240°+2=2sin 240°, ∴x=22cos40°±22sin40°. ∴x 1=sin45°cos40°+cos45°sin40°=sin85°,x 2=sin45°cos40°-cos45°sin40°=sin5°.又由0°<α<β<90°,知β=85°,α=5°,∴cos(2α-β)=cos(-75°)=cos75°=cos(45°+30°)=426-. 答案：426- 11.已知cos(α+4π)=53,2π≤α<23π,求cos(２α+4π)的值.解：cos(2α+4π)=cos2αcos 4π-sin2αsin 4π=22(cos2α-sin2α). ∵43π≤α+4π<47π,cos(α+4π)>0,由此知23π<α+4π<47π. ∴sin(α+4π)=54)53(1)4(cos 122-=--=+--πα,从而有 cos2α=sin(2α+2π)=2sin(α+4π)cos(α+4π) =2×(54-)×53=2524-. sin ２α=-cos(2α+2π)=1-2cos 2(α+4π)=1-2×（53）2=257. ∴cos(2α+4π)=22×(2572524--)=50231-. 拓展探究12.在△ABC 中,求证：tan 2A tan 2B +tan 2B tan 2C +tan 2C tan 2A =1. 证明：∵A、B 、C 是△ABC 的三个内角，∴A+B+C =π. 从而有2C A +=2π-2B . 左边=tan 2B (tan 2A +tan 2C )+tan 2A ·tan 2C =tan 2B ·tan（2A +2C )(1-tan 2A ·tan 2C )+tan 2A tan 2C =tan 2B tan(2π-2B )(1-tan 2A tan 2C )+tan 2A tan 2C =1-tan 2A tan 2C +tan 2A tan 2C =1=右边. ∴等式成立.。
高中数学人教B版必修4课时作业：3.2.2 半角的正弦、余弦和正切 Word版含解析
3.2.2 半角的正弦、余弦和正切【选题明细表】1.若sin αα是第二象限角,则( A )(A)5 (B)-5 (C)解析:由题意,得cos α,,所以tan故选A.2.已知sin θ<θ<3π,那么+cos( B )(C)-解析:由已知得,cos θ=-所以=-=-所以+cos故选B.3.函数y=sin2的最小正周期是( C )(A)4π(B)2π(C)π解析=-π.故选C.4.已知cos α<α<2π,则( A )(A)-(C)-解析:α<2π,π.所以tan =-故选A.5.已知tan α则tan 的值为.解析:当α为第二象限角时,sin αα则tan当α为第四象限角时,sin α=-α则tan答案:2或6.若cos α则的值等于.解析:因为cos α所以原式.答案7.θ为第二象限的角,sin(3π-θ则( C )(B) (C) (D)解析:因为sin(3π-θ)=sin θ,且θ是第二象限的角,所以cos θ=-,所以故选C.8.已知关于x的方程x2+xcos Acos B-2sin的两根之和等于两根之积的一半,则△ABC一定是( C )(A)直角三角形(B)钝角三角形(C)等腰三角形(D)等边三角形解析:依题意有(-2sin即cos Acos B=sin2所以所以2cos Acos B=1-cos C,所以2cos Acos B=1+cos(A+B)所以cos Acos B+sin Asin B=1,所以cos(A-B)=1,又-π<A-B<π,所以A-B=0,即A=B,故选C.9.函数y=2cos2x+sin 2x的最小值是.解析最小值为答案10.(2017·潍坊普通高中月考)已知函数f(x)=sin xcosx-cos2(1)求函数f(x)的对称中心;(2)求f(x)在[0,π]上的单调增区间.解令π,得x=故所求对称中心为∈Z.(2)令2kπ2kπ解得kπx≤kπ∈Z.又由于x∈[0,π],所以x∈∪π],故所求单调增区间为π].11.(2017·临沂罗庄区期末统考)已知O为坐标原点,(sin αα,0),α,2),点P(1)记函数f(α求函数f(α)的最小正周期;(2)若O,P,C三点共线,求的值.解:(1)α-sin α,-1),设则α,y),由x=2cos α-sin α,y=-1,故α-sin α,-1).α-cos α,1),α,-1),所以f(α)=(sin α-cos α,1)·(2sin α,-1)=2sin2α-2sin αcos α-1=-(sin 2α+cos 2αsin(2α所以f(α)的最小正周期T=π.(2)由O,P,C三点共线可得(-1)×(-sin α)=2×(2cos α-sin α),得tan αsin 2α。