山东省陵县第一中学2017届高三12月月考理数试题 Word版含解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合}1,log |{2>==x x y y A },1,)21(|{,>==x y y B x则AB =（ ）A ．}210|{<<y yB ．}10|{<<y yC ．}121|{<<y y D ．φ 【答案】A 【解析】试题分析:因}210|{},0|{<<=>=y y B y y A ,故1{|0}2A B y y =<<,应选A.考点：指数对数不等式的解法与集合的交集运算. 2.若0>>b a ，则下列命题成立的是（ ）A ．b a sin sin >B ．b a 22log log <C ．2121b a < D ．ba ⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛2121【答案】D考点：基本初等函数的单调性及运用.3．已知),0(πα∈,若31)4tan(=-απ,则=α2sin （ ） A ．-54 B ．54C ．45-D ．45【答案】B 【解析】 试题分析:因31)4tan(=-απ,故21tan =α,则54tan 1tan 2cos sin 22sin 2=+==ααααα,应选B.考点：同角三角函数的关系正弦二倍角质及两角差的正切公式等知识的综合运用.4.已知函数⎩⎨⎧<--≥-=-1),3(log 1,12)(21x x x x f x ,若1)(=a f ,则=-)1(a f （ ）A ．2 B ．2- C.1 D ．1- 【答案】B 【解析】试题分析:当1≥a 时,1121=--a ,即2=a ,则24log )1(2-=-=-a f ；当1<a 时,1)3(log 2=--a ,即25=a ,不合题意,故=-)1(a f 2-,应选B. 考点：分类整合思想及指数对数方程的解法等知识的综合运用.5.已知函数x e x x f 2)(=，当]1,1[-=x 时，不等式m x f <)(恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．),1[+∞eB ．),(+∞e C.),[+∞e D ．),(+∞e 【答案】D考点：导数与函数的单调性之间的关系及运用.6.已知ABC ∆和点M 满足0=++,若存在实数m 使得m =+成立，则m =（ ）A ．2B ．3 C.4 D ．5 【答案】B 【解析】试题分析:因MC MB AM AC AB ++=+2且0=++MC MB MA ,故AM AC AB 3=+,故3=m ,应选B.考点：向量的几何运算性质及运用.7.若中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程式为x y 2±=，则该双曲线的离心率为（ ） A ．3或26 B ．26或3 C.3 D ．3 【答案】A考点：双曲线的几何性质及运用.8.已知变量x ，y 满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤-+0102023y x y x y x ，则目标函数y x z -=21的最小值为（ ） A ．45-B ．2 C. 2- D ．413 【答案】C 【解析】试题分析:画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤-+0102023y x y x y x 表示的区域如图,结合图形可知当动直线zx y -=21经过点)2,0(A 时,动直线在y 轴上的截距z -最大,z 最小,即220min -=-=z ,应选C.考点：线性规划的知识及运用.【易错点晴】本题考查的是线性约束条件的与数形结合的数学思想的综合运用问题,解答时先准确的画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤-+0102023y x y x y x 表示的区域,再搞清z x y -=21的几何意义,将问题转化为求动直线z x y -=21在y 轴上的截距z -的最大值的问题. 结合图象可以看出当动直线z x y -=21经过点z x y -=21时, 目标函数2z y x =-取得最大值为220min -=-=z ,使得问题获解.9.函数)sin()(φω+=x A x f （其中0>A ，2πφ<）的图像如图所示，为了得到xx g 2sin )(=的图像，则只要将()f x 的图像（ ）A ．向右平移6π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度【答案】A考点：正弦函数的图象和性质的综合运用.【易错点晴】正弦函数的图象和性质是高中数学中的重要内容和知识点之一,也高考的重要考点之一.本题以函数)sin()(φω+=x A x f 的图像为背景,考查的是函数的识读和灵活运用所学知识分析问题解决问题的能力的问题.解答时先依据题设条件提供的图形信息,求出函数解析式中的参数ϕω,,A 的值,再运用平移的知识确定选择支中的答案,使得问题获解.10.设函数)(x f 的定义域为D ，若)(x f 满足条件：存在[]b a ,D ⊆，使)(x f 在[]b a ,上的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2b a ，则成为“倍缩函数”，若函数)2(log )(2t x f x +=为“倍缩函数”，则t 的范围是（ ） A ．（0，41） B ．（0，1） C.（0，21） D ．（41，∞+） 【答案】A考点：函数方程思想及化归转化思想等有关知识的综合运用.【易错点晴】函数方程思想与转化化归的数学思想都是高中数学中常用的数学思想,本题以新定义的“倍缩函数”为背景,考查是借助函数方程思想及化归转化思想等知识和方法及所学知识去分析问题和解决问题的能力.求解时要充分借助题设条件及新定义的信息,合理运用函数方程思想及转化化归思想将问题转化为方程2r r t -=在),0(+∞有两个不等的实数根想,再运用函数方程思想求出函数2r r y -=的值域,从而使得问题巧妙获解.第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每题5分，满分25分．） 11.函数)12ln()(--=x x f 的定义域为 ． 【答案】()3,1- 【解析】试题分析: 由题意点可得2|1|<-x ，故212<-<-x ,即31<<-x ,故应填答案()3,1-. 考点：对数函数的概念及运用． 12.定积分⎰-1031dx x的值为 ．【答案】23 【解析】试题分析:因⎰-1031dx x 23023|231032=-==x .故应填答案23.考点：定积分公式及运用．13.已知抛物线x y 82=的焦点为F ，P 是抛物线准线上一点，Q 是直线PF 与抛物线的一个交点，若=，则直线PF 的方程为 ．【答案】02=-+y x 或02=--y x考点：抛物线的定义及向量的坐标形式的运算．14.已知点A (0，1),直线m kx y I -=:与圆1:22=+y x O 交于B ,C 两点，ABC ∆和OBC ∆的面积分别为1S ，2S ，若060=∠BAC ，且212S S =,则实数k 的值为 ．【答案】3± 【解析】试题分析:如图,00200160sin 21120sin 1121,60sin 60sin 221=⨯⨯⨯==⨯⨯=S AC AC S ,由题意1=AC ,即点)1,0(到直线1-=kx y 的距离为1,故11|11|2=+--k ,解之得3±=k .故应填答案3±.考点：直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等知识的综合运用．【易错点晴】直线的方程与圆的方程都是高中数学的重要内容和知识点,也高考要考察的重要考点.本题以直线与圆的位置关系为背景,考查的是直线与圆的位置关系等知识的综合运用的问题,解答时先依据题设条件求出ABC ∆和OBC ∆的面积1S ，2S .然后运用已知212S S =建立方程212S S =,求出直线的斜率212S S =,进而使得问题获解. 15.已知函数()x x x f cos =，有下列4个结论： ①函数()x f 的图像关于y 轴对称；②存在常数0>T ，对任意的实数x ，恒有()()x f T x f =+成立；③对于任意给定的正数M ，都存在实数0x ，使得()M x f ≥0；④函数()x f 的图像上存在无数个点，使得该函数在这些点处的切线与x 轴平行； 其中，所有正确结论的序号为 ． 【答案】③④ 【解析】试题分析:因为()x x x f cos =是奇函数,所以①②都不正确,而③④正确.故应填答案③④. 考点：函数的奇偶性、函数的周期性及命题真假的判定方法等知识的综合运用．【易错点晴】本题以函数()x x x f cos =的解析式形式为背景,考查的是命题的真假的判定及四个命题选择填空的综合运用问题,解答时先搞清楚函数()x x x f cos =的奇偶性等基本性质,由于)()(x f x f -=-,故函数()x x x f cos =是奇函数,再依据所学知识逐一判断所给四个命题的真假,作出正确选择进行填空,使得问题获解.三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.已知函数()⎪⎭⎫⎝⎛++=3cos cos 22πx x x f ()R x ∈. ⑴求的最小正周期和单调递增区间; ⑵求()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,3ππ上的最大值和最小值. 【答案】(1)π=T ，增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6,32ππππk k ；(2)最大值为23，最小值为34.解得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈6,32ππππk k x ()z k ∈， 所以()x f 的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6,32ππππk k ()z k ∈, ⑵ 由 ⑴ 可知，()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6,3ππ上是减函数， 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,6ππ上是增函数， 而453=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πf ， 236=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πf ，436=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf 所以()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,3ππ上的最大值为23，最小值为43.考点：余弦二倍角公式及余弦函数的图象和性质等有关知识的综合运用．17.已知命题1:x P 和2x 是方程022=--mx x 的两个实根,不等式21235x x a a -≥--对任意实数[]1,1-∈m 恒成立；命题q :不等式0122>-+x ax 有解,若命题p 是真命题,命题q 是假命题,求a 的取值范围.【答案】1-≤a .可得：3352≥--a a ，所以6≥a 或1-≤a ，所以命题p 为真命题时6≥a 或1-≤a ，命题q ：不等式0122>-+x ax 有解.0>a 时，显然有解.考点：复合命题的真假判定及有关知识的综合运用．18.“城市呼唤绿化”,发展园林绿化事业是促进国家经济法阵和城市建设事业的重要组成部分,某城市响应城市绿化的号召,计划建一如图所示的三角形ABC 形状的主题公园,其中一边利用现成的围墙BC ,长度为3100米,另外两边AB ,AC 使用某种新型材料围成,已知0120=∠BAC ,x AB =,y AC =(x ,y 单位均为米).⑴求x ,y 满足的关系式(指出x ,y 的取值范围)；⑵在保证围成的是三角形公园的情况下,如何设计能使所用的新型材料总长度最短?最短长度是多少?【答案】(1)3000022=++xy y x ；(2)当AC AB ,边长均为100米时，所用材料长度最短为200米.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用余弦定理建立方程求解；(2)依据题设运用基本不等式进行探求. 试题解析：⑴ 在ABC ∆中，由余弦定理，得222cos 2BC A AC AB AC AB =∙-+， 所以30000120cos 2022=-+xy y x ，即3000022=++xy y x ， 又因为0>x ，0>y ，所以31000<<x ，31000<<y . ⑵要使所用的新型材料总长度最短只需y x +的最小，由(1)知，3000022=++xy y x ，所以()xy y x =-+300002，因为22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤y x xy ，所以()22230000⎪⎭⎫⎝⎛+≤-+y x y x ， 则()400002≤+y x ，即200≤+y x ，当且仅当100==y x 时，上式不等式成立.故当AC AB ,边长均为100米时，所用材料长度最短为200米. 考点：余弦定理、基本不等式等有关知识的综合运用． 19.已知正项等比数列{}na 的前n 项和为n S ，且62=S ，304=S ，*∈N n ，数列{}nb 满足n n n a b b =∙+1，11=b ．(Ⅰ)求n a ，n b ；(Ⅱ)求数列{}n b 的前n 2项和n T 2.【答案】(I)2nn a =，1222n n n b -⎧⎪=⎨⎪⎩k n k n 212=-=；(II)32322-⋅=n n T.数列{}n b 满足n n n a b b =++1，11=b ，∴当2≥n 时，n n n b b 21=++，112--=n n n b b ，211=∴-+n n b b ，2≥n ，又11=b ，2112==∴b ab ， 1231,........,-∴n b b b 是首项为1，公比为2的等比数列，n b b b 242.,.........,是首项为2，公比为2的等比数列，⎪⎩⎪⎨⎧=∴-n n n b 2221k n k n 212=-=，*N k ∈, (Ⅱ)由（Ⅰ）知，数列n b 的前n 2项和为：323222122121221*********-⋅=-⋅+-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=n n n nn n T . 考点：等比数列的通项公式及前n 项和公式有关知识的综合运用．20.如图,椭圆C 1:2222=+b y a x (0>>b a )的离心率是23,过点P (1,0)的动直线l 与椭圆相交于A ,B 两点,当直线l 平行于y 轴时,直线l 被椭圆C 截得的线段长为22. ⑴求椭圆C 的方程:⑵已知D 为椭圆的左端点,问: 是否存在直线l 使得ABD ∆的面积为3210?若不存在,说明理由,若存在,求出直线l 的方程.【答案】(1)194922=+y x ；(2)存在直线l 方程12+±=y x 使得3210=ABD S . 【解析】试题分析：(1)借助题设条件建立方程组求解；(2)依据题设运用直线与椭圆的位置关系进行探求. 试题解析：（1） 椭圆C :()012222>>=+b a by a x 的离心率是23，过点()0,1P 的动直线l 与椭圆相交于B A ,两点，当直线l 平行于y 轴时，直线l 被椭圆C 截得的线段长为22,∴点()2,1在椭圆C 上,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=+2312122222ac c b a b a ，解得：23,3==b a ，………………4分 ∴椭圆的方程为194922=+y x ………………………5分，假设存在直线l ，则有23103294422=++m m ，解得22=m ，负解删除，2±=∴m ，……………………12分故存在直线l 方程12+±=y x 使得3210=ABD S …………13分. 考点：椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题考查的是椭圆的标准方程等基础知识与直线与椭圆的位置关系的综合性问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件运用椭圆的几何性质和椭圆的有关概念建立方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=+2312122222ac c b a b a ,求得椭圆的标准方程为194922=+y x ；第二问的求解过程中,先设直线的方程为1+=my x ,再借助题设中的ABD ∆的面积为3210满足的条件建立方程,求得m =,从而使得问题获解.21.已知函数()xe xf = (e 为自然对数的底数， 71828.2=e ）,()b x ax g +=2(a ,b R ∈),⑴若()()()x g x f x h =，21ab -=.求()x h 在[]1,0上的最大值()a φ的表达式； ⑵若4=a 时，方程()()x g x f =在[]2,0上恰有两个相异实根，求实根b 的取值范围； ⑶若215-=b ，*∈N a ,求使()x f 得图像恒在()x g 图像上方的最大正整数a . 【答案】(1)()⎪⎩⎪⎨⎧⋅-=Φ-ee a a a2222-≥-<a a ；(2) (]1,2ln 22-∈b ；(3)14=a .【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用分类整合思想求解；(2)依据题设运用化归转化的数学思想进行探求；(3)依据题设构造函数()()152ln ln 152ln +--=+-=x x x xx x x q ,运用导数的知识求解.③当0<a 时，()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅='a x a e x h x 22，()x h 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-a 2,上为增函数，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,2a 上为减函数， 若120<-<a ，即2-<a 时，故()x h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-a 2,0上为增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,2a 上为减函数， 此时()()a ae a b e a h a 22212--⋅-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Φ………………………………5分若12≥-a，即02<≤-a 时，()x h 在[]1,0上为增函数，则此时()()e h a ==Φ1， 综上所述：()⎪⎩⎪⎨⎧⋅-=Φ-ee a a a2222-≥-<a a ………………………………6分，（3）由题设：R x ∈∀,()()()02152>+-=-=x a e x g x f x p x，（*） ()2a e x p x -=' ，故()x p 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-2ln ,a 上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2ln a 上单调递增， ∴（*）()0152ln 212152ln 222ln min >⎪⎭⎫⎝⎛+-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇔a a a a a a a p x p ，设()()152ln ln 152ln+--=+-=x x x xx x x q ，则()2ln 12ln 1x x x q -=--='，()x q ∴在()2,0上单调递增，在()+∞,2上单调递减，…………………………12分而()021515ln 22222222>-=+-=e e e eeq ，且()0215ln ln 1525ln 21515215ln1515152<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=e q ， 故存在()15,22e x ∈，使()00=x q ，且[)0,2x x ∈时，()0>x h ，()+∞∈,0x x 时，()0<x h ， 又()021ln161>-=q ，21572<<e ， *N a ∈∴时，使()x f 的图像恒在()x g 图像的上方的最大整数14=a ………………14分.考点：导数与函数的单调性之间的关系等有关知识的综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以两个函数解析式()x e x f = (e 为自然对数的底数， 71828.2=e ）,()b x ax g +=2(a ,b R ∈)为背景,精心设置了两三个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数()()R a a x ae x h x ∈⎪⎭⎫⎝⎛-+=212的单调区间,求解时运用求导法并分类讨论a 的范围,借助导数与函数的单调性的关系,分别求出求出其单调区间；第二问则依据题设建立不等式组,通过解不等式组使得问题获解；(3)先依据题设将问题进行等价转化,从而将问题等价转化,然后构造函数()0152ln 212152ln 222ln min >⎪⎭⎫⎝⎛+-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇔a a a a a a a p x p ,运用求导法则及转化化归思想分析推证,使得问题获解.。