气体分子运动论和热力学基础之平均速率和方均根速率
第7章气体动理论习题解答
第7章 气体动理论7.1基本要求1.理解平衡态、物态参量、温度等概念，掌握理想气体物态方程的物理意义及应用。
2.了解气体分子热运动的统计规律性，理解理想气体的压强公式和温度公式的统计意义及微观本质，并能熟练应用。
3.理解自由度和内能的概念，掌握能量按自由度均分定理。
掌握理想气体的内能公式并能熟练应用。
4.理解麦克斯韦气体分子速率分布律、速率分布函数及分子速率分布曲线的物理意义，掌握气体分子热运动的平均速率、方均根速率和最概然速率的求法和意义。
5.了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程的物理意义和计算公式。
7.2基本概念1 平衡态系统在不受外界的影响下，宏观性质不随时间变化的状态。
2 物态参量描述一定质量的理想气体在平衡态时的宏观性质的物理量，包括压强p 、体积V 和温度T 3 温度宏观上反映物体的冷热程度，微观上反映气体分子无规则热运动的剧烈程度。
4 自由度确定一个物体在空间的位置所需要的独立坐标数目，用字母i 表示。
5 内能理想气体的内能就是气体内所有分子的动能之和，即2iE RT ν= 6 最概然速率速率分布函数取极大值时所对应的速率，用p υ表示，p υ==≈其物理意义为在一定温度下，分布在速率p υ附近的单位速率区间内的分子在总分子数中所占的百分比最大。
7 平均速率各个分子速率的统计平均值，用υ表示，υ==≈8 方均根速率各个分子速率的平方平均值的算术平方根，用rms υ表示，rms υ==≈ 9 平均碰撞频率和平均自由程平均碰撞频率Z 是指单位时间内一个分子和其他分子平均碰撞的次数；平均自由程λ是每两次碰撞之间一个分子自由运动的平均路程，两者的关系式为:Zυλ==或λ=7.3基本规律1 理想气体的物态方程pV RT ν=或'm pV RT M=pV NkT =或p nkT =2 理想气体的压强公式23k p n ε=3 理想气体的温度公式21322k m kT ευ==4 能量按自由度均分定理在温度为T 的平衡态下，气体分子任何一个自由度的平均动能都相等，均为12kT 5 麦克斯韦气体分子速率分布律 （1）速率分布函数()dNf Nd υυ=表示在速率υ附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比或任一单个分子在速率υ附近单位速率区间内出现的概率，又称为概率密度。
热学-第三章气体分子热运动速率和能量分布
得：dN m 4 e 得
N
kT 2
v dv
记忆这个公式分三部分： 第一部分，4v2dv是“球壳”的体积，而“球壳”全方位的高 度对称性正是分子热运动想各个方向几率均等的生动表现；
第二部分 ,
e
mv2 / 2kT
正是分子热运动速率取值不等几率的表现，值得注意，这个 指数衰减律的结果没有单位，mv2/2是分子热运动的动能，kT 既有能量的量纲，所以指数衰减的指数部分是热运动的动能 与体系能量状态特征量之比，对于大的速率，指数衰减的速 度比v2增加的速度快得多，二者共同影响的结果，分布函数 值必然较小。
vf v dv
Nvfvdv
（B）
v2
v1 v2 v1
vf v dv f v dv
（C）
v2
v1
（D）
v2 v1
vf v dv N
（B）
2.麦克斯韦速度分布律
在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以 d v的分子 忽略时，分布在速度区间 v ~ v 数占总分子数的比率为
dω＝ 4πv2dv
麦克斯韦速率分布律
将dω＝dvxdvydvz代入
dN m e N 2 kT
x y
3 2 2 2 m ( v v v 2 x y z) 2 2 kT
v dv dv dv x y z
麦克斯韦 速率分布 分布律
2 2 2 2 且： v v v v z
小球在伽 尔顿板中的分 布规律 .
统计规律 当小球数 N 足够大时小球的分布具有 统计规律. . . . . . . . . . 设 N i 为第 i格中的粒子数 .
气体运动与分子速率的实验研究
气体运动与分子速率的实验研究气体是由大量分子组成的物质，在运动中表现出一系列特性。
气体分子的速率对于气体的性质和行为有着重要的影响。
为了深入了解气体分子的速率和运动，科学家们进行了一系列实验研究。
本文将探讨气体运动与分子速率的实验研究成果，并分析其在科学研究和实际应用中的意义。
1. 理论基础气体分子的速率与其运动的能量相关。
根据理论分析，气体分子的平均速率与温度成正比，即温度越高，气体分子的速率越快。
这一理论基础为实验研究提供了重要的参考。
2. 瓦兹曼分子运动论19世纪末，奥地利物理学家鲁道夫·瓦兹曼提出了著名的瓦兹曼分子运动论。
根据这一理论，气体分子的运动是完全无序的，分子之间互不干扰，且具有高速运动的特点。
瓦兹曼的理论解释了气体分子速率与温度的关系，并为后续实验研究奠定了基础。
3. 布朗运动实验布朗运动是指微小颗粒在液体或气体中的随机运动。
英国植物学家罗伯特·布朗于19世纪末进行了着名的布朗运动实验，通过观察颗粒在水中的运动轨迹，他发现了颗粒运动的无规律性和不可预测性。
这一实验验证了瓦兹曼分子运动论中对于气体分子运动的描述，并为分子速率的研究提供了实验证据。
4. 高速摄影实验为了准确测量气体分子的速率，科学家们采用了高速摄影技术。
在这一实验中，气体分子的运动状态被记录下来，并通过图像处理技术进行分析。
通过大量的观察和计算，科学家们得出了气体分子的速率分布曲线，即分子速率的概率密度函数。
这一实验结果为解释气体行为和研发相关技术提供了重要参考。
5. 分子碰撞实验气体分子之间的碰撞是气体动力学的重要构成部分。
科学家们进行了一系列的分子碰撞实验，通过测量碰撞频率和反应速率来研究分子速率的分布和影响因素。
这些实验结果对于化学反应的研究和工业应用具有重要意义。
6. 分子速率与扩散实验扩散是气体分子自发性流动的一种现象，与分子速率密切相关。
科学家们进行了大量的扩散实验，通过测量扩散速率和分子速率的关系，深入研究了气体分子的运动规律和分子速率的分布特点。
分子的速度公式范文
分子的速度公式范文分子的速度公式是描述分子在空间中运动速度的数学表达式，它可以用来研究分子的运动行为和热力学性质。
在分子动力学模拟和分子运动理论中，分子速度公式具有重要的意义。
下面是一篇关于分子速度公式的范文，供参考。
分子速度公式是描述分子在空间中运动速度的数学表达式，通过研究分子的速度分布，揭示了分子运动的规律和性质，对于理解物质的热力学性质具有重要的意义。
分子速度公式的推导基于动量定理和概率统计的原理，根据这些理论，我们可以得到单个分子的速度分布函数以及分子总体的速度分布函数。
单个分子的速度分布函数可以用玻尔兹曼分布函数来描述，即：f(v) = (m / 2πkT)^(3/2) * 4πv^2 * e^(-mv^2 / 2kT)其中，f(v)表示速度为v的分子的概率密度函数，m表示分子的质量，k表示玻尔兹曼常数，T表示系统的温度。
通过对速度的分布函数进行积分，我们可以得到分子总体的速度分布函数，即速度分布函数在速度区间[v, v+dv]中的概率为P(v)dv。
速度的分布函数与质量和温度有关，根据速度的分布函数，我们可以计算出分子的平均速度、方均根速度、最概然速度等信息，进而研究分子的运动行为和热力学性质。
分子速度公式的应用十分广泛，在化学、物理、生物等领域都存在着重要的应用。
以化学反应为例，通过分子速度公式可以计算反应物的平均速度和方均根速度，从而推测反应速率和反应机理，为化学反应的研究提供了重要的理论依据。
在材料学中，我们可以通过分子速度公式研究材料的热导性能，通过计算分子的平均速度和方均根速度，评估材料的热导率，为材料热管理的设计提供依据。
此外，分子速度公式还可以用于模拟计算，如分子动力学模拟和分子运动理论，通过计算分子的速度分布函数，预测分子的运动轨迹和热力学性质，研究分子的结构和性能。
总之，分子速度公式是描述分子在空间中运动速度的数学表达式，通过研究分子的速度分布函数，我们可以揭示分子运动的规律和性质，进而研究物质的热力学性质。
普通物理A(1) 课程指导 第10章《气体分子运动论》
(A) (1)、(2)、(3)． (B) (1)、(2)、(4)．
(C) (2)、(4)．
(D) (1)、(4)．
参考解答：答案：(D)
只有当系统的状态变化过程进行的无限缓慢，在进行过 程中没有能量损耗的准静态过程才是可逆过程，否则就是不 可逆过程。
10
如果你答错啦，看看下面思考题： 请认真思考啊！
由此解得
暖气系统总共所得热量
Q1
AT3 T3 T2
T3Q1 T3 T2
(1 T3 ) T1
Q
Q2
Q1
(T1 (T3
T2 )T3 T2 )T1
Q1
6.27107 J
12
6. 如图所示，用绝热材料包围的圆筒内盛有一定量的刚性双原子分 子的理想气体，并用可活动的、绝热的轻活塞将其封住．图中K为用 来加热气体的电热丝，MN是固定在圆筒上的环，用来限制活塞向上 运动．Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ是圆筒体积等分刻度线，每等分刻度为m3．开始 时活塞在位置Ⅰ，系统与大气同温、同压、同为标准状态．现将小
11
5. 设一动力暖气装置由一台卡诺热机和一台卡诺致冷机组合而成．热机靠燃料
燃烧时释放的热量工作并向暖气系统中的水放热，同时，热机带动致冷机．致
冷机自天然蓄水池中吸热，也向暖气系统放热．假定热机锅炉的温度为t1 =210 ℃，天然蓄水池中水的温度为 t2 =15 ℃，暖气系统的温度为t3＝60 ℃，热机从 燃料燃烧时获得热量Q1 = 2.1×107 J，计算暖气系统所得热量．
J
16
7. 燃烧汽油的四冲程内燃机中进行的循环叫奥托循环，如
教学基本内容、基本公式
热量Q 内能E
定容摩尔热容Cv
等容过程
平均平动动能方均根速率例题
平均平动动能、方均根速率例题21322t m kT ε==v 分子热运动平均平动动能与绝对温度成正比。
绝对温度越高，分子热运动越剧烈。
绝对温度是分子热运动剧烈程度的度量，这是温度的微观意义所在。
分子的方均根速率233rm s mk T R T m M ===v v求在多高温度下，理想气体分子的平均平动动能等于1 eV ？例：电子伏特是近代物理中常用的一种能量单位，用eV 表示.(是一个电子在电场中通过电势差为1V 的区间时，电场力做功而获得的能量)。
1eV ＝1.6021892×10－19J解：193 1.6010J 2t kT ε-==⨯327.7310K 3t T k ε==⨯由此可知，1 eV 的能量相当于7730K 时的分子平均平动动能. 在气体动理论中通常用因子kT 表示热运动的能量232111.3810290J 4.010J eV 40kT --=⨯⨯=⨯≈例如室温290K 时设气体的温度为T 时，其分子的平均平动动能等于1 eV .思考题：氢原子基态电子具有-13.6eV 能量，试问氢原子电离需要多高温度的数量级。
太阳中心的温度为1.5×107K ，试问在太阳中心，氢原子将以什么形态出现?例：试求氢分子的方均根速率等于离开地球表面的逃逸速率时的温度.分子的方均根速率 ，当氢分子的方均根速mol 23M RT =v 率等于离开地球表面的逃逸速率 时，s m 102.113⨯=v 解：23H 311.210m/s RTM ⨯=由可解出 ()=⨯=RM T 3102.112H 23()23311.210 2.0210K 38.31-⨯⨯⨯⨯K1001.14⨯=谢谢大家！。
第八章 气体分子运动论
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第八章
气体动理论
第八章 气体动理论
一、本章要求：
1. 2. 掌握理想气体状态方程，并能熟练的加以应用。 理解理想气体的温度公式和压强公式，了解系统的宏观性质是微观运动的 统计表现。 3. 理解自由度概念， 掌握能量按自由度均分定理， 并能熟练用于理想气体 内能的计算。 4. 理解速率分布函数和速率分布曲线的物理意义， 会计算理想气体平衡态 下的三种特征速率（最概然速率，平均速率，方均根速率）。 5. 理解气体分子平均碰撞频率和平均自由程。
1 2 2 2 根据统计假设，有 v x = vy = v z2 ， v x = v 2 ，应用这一关系，从前面的压强 p 的 3
6
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第八章
气体动理论
关系式得到理想气体的压强公式：
1 2 1 2 p = nmv 2 或 p = n( mv 2 ) = nε 3 3 2 3
状态方程:
pv = M
统计平均量：
RT
µ
统计规律
压强公式
p =
2 3
nω
p = nkT
温度公式 T = 速率分布函数：
f (v) = dN Ndv
2ω 3k
能量按自由度均分定 理：
3 2
平均平动动能 ω =
1 2
mv
2
麦克斯韦速率分布律：
f ( v ) = 4π ( m 2πkT )
2
v e
− mv 2
二、知识系统图：
微观模型： 1） 分子视为质点 2） 分子自由运动 3） 分子碰撞是完全弹性的 4） 遵从经典力学规律 宏观量是微观量 的统计平均值
气体的分子速率计算
气体的分子速率计算气体的分子速率计算是物理学中的一个重要概念。
在研究气体行为、热力学性质以及化学反应时，了解气体分子的速率非常有帮助。
本文将介绍气体的分子速率计算的原理和方法。
首先，我们需要了解气体分子速率计算的基本参数。
分子速率通常用平均速率表示，即气体分子实际速率的平均值。
它与气体分子的质量和温度有关。
根据动能定理，气体分子的平均动能与温度成正比。
因此，当温度升高时，分子的平均动能也会增加。
而分子的动能与速率有直接的关系。
因此，当温度升高时，分子的平均速率也会增加。
根据理想气体状态方程，PV=nRT，其中P表示气体的压力，V表示气体的体积，n表示气体的物质量，R为气体常数，T表示气体的绝对温度。
根据这个方程，我们可以推导出气体分子的平均速率公式。
首先，我们需要考虑分子速率分布的相关概念。
根据玻尔兹曼分布定律，分子速率服从Maxwell-Boltzmann速率分布，其概率密度函数为f(v) = (m/2πkT)^(3/2) * 4πv^2e^(-mv^2/2kT)，其中m表示气体分子的质量，k为玻尔兹曼常数，T为气体的绝对温度。
在这个速率分布中，v表示分子速率，f(v)表示该速率下分子的概率密度。
我们可以根据这个概率密度函数来计算平均速率。
首先，我们需要计算气体分子的平均速率的平方，即⟨v^2⟩。
在Maxwell-Boltzmann速率分布下，⟨v^2⟩= ∫(v^2)f(v)dv ，我们可以将此积分分解成三个积分：⟨v^2⟩= (∫v^4e^(-mv^2/2kT)dv) *(∫(m/2πkT)^(3/2)v^2e^(-mv^2/2kT)dv)。
对于第一个积分(∫v^4e^(-mv^2/2kT)dv)，我们可以使用数值方法来计算。
而第二个积分(∫(m/2πk T)^(3/2)v^2e^(-mv^2/2kT)dv) 是一个常数，与速率分布无关。
因此，我们可以将这个常数用一个符号C来表示。
于是，我们有⟨v^2⟩= C * (∫v^4e^(-mv^2/2kT)dv) 。
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分子的平均 平动动能为
1 1 3 2 3 2 k mv m vp kT 2 2 2 2
平均速率、方均根 速率与最概然速率 都能表示分子运动 的剧烈程度。
分子中的3表示三个自由度，kT/2是所 有分子一个自由度的平均平动动能。 温度越高，分子的平均平动动能 就越大，表示分子运动越剧烈。
x
x x 2 2 2 2 N0 [ exp( x2 )dx x exp( x 2 )] N0 [ x exp( x ) exp( x )dx] π 0 π 0 0 x 利用误 erf ( x) 2 exp( x2 )dx 可 N ( x) N 0 [erf ( x) 2 x exp( x 2 )] 得 π π 0 差函数
利用Γ函数可简化计算。 Γ函数的定义为
Γ(n) x n1 e x dx
0
当n为整数时，通过分部积分可直接证明Γ(n) = (n – 1)!。 利用变量替换， n1 1 n x exp( x 2 )dx= Γ( ) 当n = 4时，可 容易证明 2 2 0 得平均速率
4 v vp x3 exp( x2 )dx 4 vp 1 Γ(2) 2 vp . π 0 π 2 π
*{范例8.5} 平均速率和方均根速率
4 2 4 所有分子速率平 2 2 vp x exp( x 2 )dx v v f (v)dv 方的平均值为 π 0 0 利用 Γ(1/ 2) π v 2 4 v 2 1 Γ( 5 ) 2 v 2 3 1 π 3 v 2 p p p 2 π 2 2 π 22 可得 对于同一种气体，在相同的温 3 3kT 方均根 v2 vp 度下，平均速率、方均根速率 速率为 2 m 与最概然速率之比都是常量。
vp 2kT / m [解析]利用公式 4 1 2 设x = v/vp，麦克斯韦速 f (v) x exp( x 2 ) 率分布函数可表示为 π vp 这是无量纲的速率分布函数，归一化系数为 4/ πvp
在v~ v + dv区间内的分子数为dN，总速率为vdN = N0vf(v)dv， 速率从0到∞积分可得全部分子的速率之和。 这个和除以总分子数N0就 v vf (v)dv 4 v x3 exp( x 2 )dx p π 0 是所有分子的平均速率 0 用分部积分法可得
这是用误差函数表示的解析式，不妨称为分子数函数。 当积分上限分别取1、2 / π 和 3/2 时， 由上式即可计算分子速率小于最概然速率、平均 速率和方均根速率的分子数占分子总数的比例。
以最概然速 率vp为速率 单位，速率 分布曲线就 只有一条。
任何一段曲线 下的面积都表 示分子数占总 分子数的比例。 而分子速率大于最概然 速率的分子占总数的比 例是57.2%，分子数大 于总分子数的一半。 分子数大于总分子数的一半。 当速率大于最概然速率的3 倍时，分子数比例就很小了。
*{范例8.5} 平均速率和方均根速率
以最概然速率为速率单位，麦克斯韦速率分布函数的形式是 什么？速率分布函数曲线有什么特点？求所有分子的平均速 率和方均根速率。分子速率在区间0~v的分子数占总分子数 的比例的公式是什么？分子速率小于最概然速率、平均速率 和方均根速率的分子数占分子总数的比例为多少？
*{范例8.5} 平均速率和方均根速率
分子速率在区间 0~v的分子数为
N (v) N0 f (v)dv
0 v
利用麦克斯韦无量纲的速率 分布函数，上式可表示为 上式还可以 N ( x) N0 继续化简
x
N ( x) N0
4 x2 exp( x 2 )dx π0
x
x
2 2 2 2 x exp( x )dx N0 xd[ exp( x 2 )] π0 π0
分子速率小于等 于最概然速率的 分子数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分子总 数的比例是42.8%， 分子数小于总分 子数的一半。
分子速率在0~v 之间的分子数占 分子总数的比例 是v的单调增函 数，这是因为v 越大，0~v之间 的分子数就越多。
当 v (2 / π)vp 时，N/N0 是分子速率小于平均 速率的分子数占分子 总数的比例，这就是 53.31%，分子数越过 总分子数的一半。 当 v 3/ 2vp时，N/N0是 分子速率小于方均根速率 的分子数占分子总数的比 例，这就是60.84%。 当v = 2.5vp时，分子速率 从0到v的分子数就占了全 部分子数的绝大部分。
2 8kT v vp . πm π
*{范例8.5} 平均速率和方均根速率
以最概然速率为速率单位，麦克斯韦速率分布函数的形式是 什么？速率分布函数曲线有什么特点？求所有分子的平均速 率和方均根速率。分子速率在区间0~v的分子数占总分子数的 比例的公式是什么？分子速率小于最概然速率、平均速率和 方均根速率的分子数占分子总数的比例为多少？