河北省石家庄市2017-2018学年高三9月摸底考试文数试题 Word版含解析

2017-2018学年注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.本试卷满分150分，考试时间为120分钟；考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.若集合{}2log 12＜x x P ≤=,{}3,2,1=Q ，则＝Q P ⋂A.{}2,1B.{}1C.{}3,2D.{}3,2,1 【答案】C 【解析】试题分析：{}{}21log 2|24P x x x x =≤=≤<＜,所以{}2,3P Q = ，故选C. 考点：1.对数函数的性质；2.集合的运算. 2.复数iiz +-=12在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D考点： 1.复数的运算；2.复数相关的概念.3.设R a ∈,则“4=a 是“直线038:1=-+y ax l 与直线02:2=-+a ay x l 平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A考点：1.两条直线的位置关系；2.充分条件与必要条件. 4.下列函数中为偶函数又在),0(+∞上是增函数的是A.xy )21(= B.2y x = C.x y ln = D.x y -=2【答案】B 【解析】试题分析：由函数的奇偶性定义可知，选项C,D 为非奇非偶函数，排除C 、D ，选项A 中，1()2xy =在区间(0,)+∞上是减函数，故选B. 考点：函数的奇偶性与单调性.5.执行右图的程序框图，如果输入3=a ，那么输出的n 的值为A.4B.3C.2D.1 【答案】A考点：程序框图. 6. 将函数)62sin(π+=x y 的图像向右平移)0(＞ϕϕ个单位，所得函数图像关于y 轴对称，则ϕ的最小值为 A.32π B.3π C.65π D.6π 【答案】B 【解析】试题分析：函数)62sin(π+=x y 的图像向右平移)0(＞ϕϕ个单位得到的函数解析式sin (2)sin(22)66y x x ππϕϕ⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦，因为它的图象关于y 轴对称，所以262k ππϕπ-+=+，即()26k k Z ππϕ=--∈，所以当1k =-时，ϕ取得最小值为3π. 考点：1.图象的平移变换；2.三角函数的图象与性质.7. 已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≤+03045y x y x y x ，则下列目标函数中，在点)1,4(处取得最大值的是A.y x z -=51 B.y x z +-=3 C.15z x y =-- D.y x z -=3 【答案】D 【解析】试题分析：在直角坐标系内作出可行域如下图所示，由线性规划知识可知，目标函数15z x y =-与3z x y =-+均是在点(5,1)A --处取得最大值，目标函数15z x y =--在点(1,4)C 处取得最大值，目标函数y x z -=3在点(4,1)B 处取得最大值，故选D.考点：线性规划.8. 若函数123)(23++-=x x a x x f 在区间)3,21(上单调递减，则实数a 的取值范围为 A.)310,25( B.),310(+∞ C.),310[+∞ D.),2[+∞ 【答案】C考点：导数与函数的单调性.9. 在ABC ∆中，︒=∠==120,1,2BAC AC AB ,AH 为ABC ∆的高线，则=·A.721B.71C.73D.74【答案】C 【解析】试题分析：在三角形ABC 中，由余弦定理得2222cos1207BC AB AC AB AC =+-⋅︒=，即BC ，所以11sin12022ABC S AB AC BC AH ∆=⋅︒=⋅，所以sin1207AB AC AH BC ⋅︒==，由向量数量积的几何意义得223·7AB AH AH ===⎝⎭，故选C.B考点：1.正弦定理与余弦定理；2.向量的数量积.10. 某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为A.12)2210(++π B.12)211(++π C.12)2211(++πD.613π【答案】B考点：1.三视图；2.旋转体的表面积与体积.【名师点睛】本题考查三视图及旋转体的表面积与体积，属中档题；三视图是高考的必考内容，多以选择题为主，解题的关键是由三视图还原直观图，要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图.11. 已知D C B A ,,,是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，⊥AD 平面ABC ，22==AB AD ,则该球的表面积为A.316π B.324π C.332π D.348π【答案】A考点：1.球的切接问题；2.球的表面积与体积.【名师点睛】本题考查球的切接问题、球的表面积与体积公式，属中档题；与球有关的组合体通常是作出它的轴截面解题，或者通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题转化为平面问题进行求解.12. 已知21,F F 分别为双曲线)0,0(1:2222＞＞b a by a x C =-的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于B A ,两点，若13:12:5::22=AF BF AB ，则双曲线的离心率为A.13B.41C.15D.3 【答案】B 【解析】试题分析：因为22::5:12:13AB BF AF =，所以可设225,12,13,(0)AB t BF t AF t t ===>，由22222AB BF AF +=可知2AB BF ⊥，由双曲线定义有，122BF BF a -=，212AF AF a -=，两式相加得12214BF BF AF AF a -+-=，即224AB AF BF a +-=.所以46a t =，32a t =，所以12213310AF AF a t t t =-=-=，所以1115BF AB AF t =+=，由勾股定理得22222222124(1215)9(45)941c BF BF t t t t =+=+=⨯+=⨯，所以c =，所以双曲线的离心率232c e a t ===，故选B.考点：1.双曲线的定义、标准方程与几何性质；2.直线与双曲线的位置关系.【名师点睛】本题考查双曲线的定义、标准方程与几何性质、直线与双曲线的位置关系；属中档题；双曲线的定义在解题中有重要的作用，如本题中就利用定义列出两个等式，由这两个等式解方程组得到相应的比例关系，就可求双曲线的离心率.第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：（本大题共4各小题，每小题5分，共20分） 13. 为正方形ABCD 内一点，则AEB ∠为钝角的概率是_______. 【答案】考点：几何概型.14. 设向量),4(m a =，)2,1(-=b ，且b a ⊥，则=+b a 2________.【答案】考点：1.向量的数量积与垂直的关系；2.向量的运算.15. 正项等比数列{}n a 满足：1232a a a +=，若存在n m a a ,，使得2164·a a a n m =，则nm 91+的最小值为______. 【答案】2 【解析】试题分析：2321111222a a a a q a q a q =+⇔=+⇔=或1q =-，又0n a >，所以2q =，2222111·642648m n m n a a a a a m n +-=⇔⨯=⇔+=，所以1919191(10)(106)2888m n n m m n m n m n +⎛⎫+=+⋅=++≥⨯+= ⎪⎝⎭，当且仅当9n m m n =，即2,6m n ==时等号成立，所以nm 91+的最小值为2. 考点：1.等比数列的定义与性质；2.基本不等式.【名师点睛】本题考查等比数列的定义与性质、基本不等式，属中档题；利用基本不等式求最值时，应明确:1.和为定值，积有最大值，但要注意两数均为正数且能取到等号；2.积为定值和有最小值，直接利用不等式求解，但要注意不等式成立的条件.16. 已知函数123)635sin()(-++=x x x x f ππ，则 =++++)20162015(...)20167()20165()20163()20161(f f f f f ________. 【答案】1512 【解析】考点：1.三角函数与反比例函数的图象与性质；2.函数对称性的应用；3.倒序相加法. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质及倒序相加法，属中档题；三角函数的图象与性质与倒序相加法是高考的两个重要知识点，但将两者结合在一起，利用三角函数的对称性及倒序相加法的数学思想，立意新颖，是本题的亮点.三、解答题（本大题共6小题，满分70分。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17.（本小题满分10分）ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，1sin 2sin 22+=+C BA . （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若2=a ，1=c ，求ABC ∆的面积.【答案】（1）4π；（2）12.【解析】试题分析：（1）由三角形内角和定理得A B C π++=，从而将条件转化为22sin sin 12CC π-=+，利用三角恒等变换公式得cos sin C C =，从而求得4C π=；（2）由余弦定理列出方程可求出边b 的值，即可求三角形面积.试题解析：（1）22sin sin 12A BC +=+ ,在ABC ∆中，22sin sin 12CA B C C ππ-++=∴=+ ……………1分22cos sin 1cos sin 2CC C C =+∴=………………3分 ()0,4C C ππ∈∴=………………5分（2）方法①由余弦定理知222222cos 1,1242101c a b ab C c a C b b b b π=+-===∴=+--+=∴=………………8分11sin 22ABC S ab C ∆== ……………10分 方法② 在ABC ∆中，由正弦定理：1sin sin 4A π=，sin 1A ∴=,90A =︒, ………8分 1122ABC S bc ∆∴==……………10分 考点：1.三角形的恒等变换；2.正弦定理与余弦定理.【名师点睛】本题考查三角恒等变换与正、余弦定理，中档题；解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.18.（本小题满分12分）已知：等差数列{}n a 满足35=a ，前3项和293=S . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n n a a 的前n 项和.【答案】(1)1(1)2n a n =+；(2)(513)3(2)(3)n n n n +++. 1143329322a d d a +=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩ ………………2分1112a d =⎧⎪∴⎨=⎪⎩ ………………4分1(1)2n a n ∴=+……………6分 （2）令214112(1)(3)13n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭……………8分12 (1111)12 (2435)3n nT b b b n ∴=+++⎛⎫=-+-+- ⎪+⎝⎭…………10分 111151122()2323623n n n n ⎛⎫=+--=-- ⎪++++⎝⎭ (513)3(2)(3)n n n n +=++…………12分考点：1.等差数列的通项公式与性质；2.裂项相消法求和.【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式与裂项相消法求和，属中档题；求解数列相关问题最基本方法就是基本量法，即在等差数列中，用1,a d 表示已知条件，在等比数列中，用1,a q 表示已知条件，列出方程组，解方程组即可；数列求和常用方法有：公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和、倒序相加法等.19. （本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水尤为突出.某市为了制定合理的节水方案，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量，整理得到如图的频率分布直方图.（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）设该市有500万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由：（Ⅲ）估计本市居民的月用水量平均数（同一组中的数据用该区间的中点值代表）.a ;(2)60万；(3)2.02吨.【答案】(1)0.28（2）不低于3吨的的频率为0.06+0.04+0.02=0.12…………6分月均用水量不低于3吨的人数为500×0.12=60万；…………8分（3）月平均用水量为：0.04×0.25+0.08×0.75+0.15×1.25+0.22×1.75+0.25×2.25+0.14×2.75+0.06×3.25+0. 04×3.75+0.02×4.25…………………10分=2.02（吨）∴人月平均用水量为2.02吨.……………12分考点：1.频率分布直方图；2.用样本估计总体. 20.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60ABC ,E,F 分别为AB DC ,的中点，将DAE ∆沿AE 折起，使得︒=∠120DEC .（Ⅰ）求证：平面⊥DCF 平面DCE ； （Ⅱ）求点B 到平面DCF 的距离. 【答案】(1)见解析；（2）12.（2）解法（一）：设点B 到平面DCF 的距离为h ，点D 到平面BCF 的距离为h '，因为B DCF D BFC V V --=, ……………7分1133BCF DCF S h S h '∴= ,11BCF S =⨯= ,由（1）知CF ⊥面DCE ,CF DC ∴⊥,且CF DC ==3122DCF S ∴== ,……………9分由（1）知，DEC∠为D AE B--的二面角,又点D 到平面BCF的距离即1sin 60h '=⨯︒=11分 221322h ==……………12分方法（二）点B 到平面DCF 的距离即为点A 到平面DCF 的距离.………7分又因为AE//CF, 且CF ⊆面DCF, ∴AE//面DCF, 所以所求距离即为点E 到平面DCF 的距离……………9分过点E 作EM DC ⊥, 由（1）知平面DCF ⊥平面DCE ，EM ∴⊥平面DCF , 在等腰DEC ∆中，120DEC ∠=︒，12DM ∴=,……………11分即点B 到平面DCF 的距离为12.…………12分考点：1.线面垂直、面面垂直的判定与性质；2.点到平面的距离. 21. （本小题满分12分）已知函数)ln ()(x x a xe xf x-+=.（e 为自然对数的底数） （Ⅰ）当0＞a 时，试求 )(x f 的单调区间；（Ⅱ）若函数)(x f 在)2,21(∈x 上有三个不同的极值点，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)；（Ⅱ）a e -<<-.所以单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1) ……………5分 （Ⅱ）由条件可知()0f x '=在1(,2)2x ∈上有三个不同的根即e 0x ax +=在1(,2)2x ∈有两个不同的根，且x e ≠-…………7分令e ()x g x a x ==- 2e (1)()x x g x x -'=-1(,1)2x ∈时单调递增， (1,2)x ∈时单调递减…………9分max ()(1)g x g e ∴==-，211()(2)22g g e =-=-21()02e -->Qa e ∴-<<-……………12分考点：1.导数与函数单调性、极值；2.函数与方程. 22. （本小题满分12分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:2222＞＞b a b y a x C =+的右焦点为F ，离心率23=e ，过点F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的弦长为1. （Ⅰ）求椭圆C 的放错；（Ⅱ）记椭圆C 的上,下顶点分别为A,B ，设过点)0)(2,(≠-=m m M 的直线MB MA ,与椭圆C 分别交于点Q P ,，求证：直线PQ 必定过一定点，并求该定点的坐标.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）证明见解析，定点坐标为1(0,)2-.（Ⅱ）点M 的坐标为(,2)m - 直线MAP 方程为: 31y x m =-+，直线MBQ 方程为：，即11y x m=--． 分别与椭圆2214x y +=联立方程组，可得： 22222(4)40999m m y m y +-+-= 和2222(4)240m y m y m +++-=，………………6分 由韦达定理可解得：222222243684(,),(,)363644m m m m P Q m m m m ---++++．……………8分如果考虑消去y ，得到：223624(1)0x x m m +-=及2248(1)0x x m m ++= 进一步亦可得到22248,364P Q m mx x m m -==++直线PQ 的斜率21216m k m -=，则直线方程为：22224128()4164m m my x m m m ---=+++，化简可得直线PQ 的方程为2121162m y x m -=-，……………10分 恒过定点1(0,)2-． 所以直线PQ 必过y 轴上的一定点1(0,)2-．…………12分 考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.。