【金版学案】-学年高中数学 3.2.1古典概型及其概率计算(一)练习案 新人教A版必修3

3．2 古典概型
3．2.1 古典概型及其概率计算(一)
通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
基础梳理
1．基本事件(要正确区分事件和基本事件)．
一个事件如果不能再被分解为________的事件，称作________．
答案: 两个或两个以上基本事件
2．基本事件的两个特点．
(1)任何两个基本事件是________．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成________．
例如：投掷一枚硬币的事件__________________是这个实验的二个基本事件．
答案: (1)互斥的(2)基本事件的和
例：“正面向上”与“反面向上”
3．古典概型的两个特征．
(1)试验中所有可能出现的基本事件________；
(2)各基本事件的出现是________，即它们发生的概率相同．
我们把具有这两个特征的概率模型称为______，简称古典概型．
答案: (1)只有有限个(2)等可能的古典概率模型
注意：在“等可能性”概念的基础上，很多实际问题符合或近似符合这两个条件，可以
作为古典概型来看待．
4．掌握古典概型的概率计算公式：
P (A )＝A 包含的基本事件个数总的基本事件个数
. 例如：掷一骰子正面向上点数是3的倍数的概率是________．
答案: 13
自测自评
1．下列试验中是古典概型的是( )
A ．任意抛掷两枚均匀的正方体骰子，所得点数之和作为基本事件
B ．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C ．向一圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点是等可能的
D ．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 解析：A 中尽管点数之和只有有限个取值：2，3，…，12，但它们不是等可能的，则A
不是；B 中摸到白球与黑球的概率相同，均为12
，则B 是；C 中的基本事件有无限个，则C 不是；D 中命中10环，则D 不是．
答案：B
2．有100张卡片(从1号到100号)，从中任取1张，取到的卡号是7的倍数的概率为( A ) A.750 B.7100 C.748 D.15100
3．下列概率模型中，有几个是古典概型( A )
①从区间[1，10]内任意取出一个数，求取到1的概率；
②从1～10中任意取出一个整数，求取到1的概率；
③向一个正方形ABCD 内投一点P ，求P 刚好与点A 重合的概率；
④向上抛掷一枚质地不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册自左到右或自右到左恰好为第1，2，3册的概率为( B ) A.16 B.13 C.12 D.23
基础达标
1．一枚硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为( ) A.38 B.23 C.13 D.14
解析：所有的基本事件是(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共有8个，仅有2次出现正
面向上的有：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3个，则所求概率为38
. 答案：A
2．从甲、乙、丙三人中，任选两名代表，甲被选中的概率为( D ) A.12 B.13 C.14 D.23
3．(2014·江苏高考)从1，2，3，6这四个数中一次随机地取2个数，则所取两个数的乘积为6的概率为______．
解析：从1，2，3，6这4个数中任取2个数共有6种取法，其中乘积为6的有1，6
和2，3两种取法，因此所求概率为P ＝26＝13
. 答案：13
4．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则log 2xY ＝1的概率为( ) A.16 B.536 C.112 D.12
解析：要使log 2xY ＝1，必须满足2X ＝Y ，即其中一枚骰子向上的点数是另一枚骰子向上的点数的2倍，抛掷两枚均匀的骰子，共有36种等可能的结果，其中构成倍数关系的数
字是1与2、2与4、3与6，共三种不同情况，故所求概率为P ＝336＝112
. 答案：C
5．甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布)，求：
(1)平局的概率；
(2)甲赢的概率；
(3)乙赢的概率．
解析：甲有3种不同的出拳方法，每一种出法是等可能的，乙同样有等可能的3种不同出法．
一次出拳游戏共有3×3＝9种不同的结果，可以认为这9种结果是等可能的．所以一次游戏(试验)是古典概型．它的基本事件总数为9.
平局的含义是两人出法相同，例如都出了锤．甲赢的含义是甲出锤且乙出剪，甲出剪且乙出布，甲出布且乙出锤这3种情况．乙赢的含义是乙出锤且甲出剪，乙出剪且甲出布，乙出布且甲出锤这3种情况．
设平局为事件A ，甲赢为事件B ，乙赢为事件C .
容易得到：
(1)平局含3个基本事件(图中的△)；
(2)甲赢含3个基本事件(图中的⊙)；
(3)乙赢含3个基本事件(图中的※)．
由古典概率的计算公式，可得：
P (A )＝39＝13，P (B )＝39＝13，P (C )＝39＝13
.
巩固提升
6．某学校兴趣小组有2名男生和3名女生，现要从中任选3名学生代表学校参加比赛．求：
(1)3名代表中恰好有1名男生的概率；
(2)3名代表中至少有1名男生的概率；
(3)3名代表中女生比男生多的概率．
解析：记2名男生分别为a 、b ，3名女生分别为c 、d 、e .则从5名学生中任选3名的可能选法是(a 、b 、c )、(a 、b 、d )、(a 、b 、e )、(a 、c 、d )、(a 、c 、e )、(a 、d 、e )、(b 、c 、d )、(b 、c 、e )、(b 、d 、e )、(c 、d 、e )，共10种选法.
(1)设“3名代表中恰好有1名男生”为事件A ，则事件A 共有6种情况，所以P (A )＝610
＝35
. (2)设“3名代表中至少有1名男生”为事件B ，则事件B 包含了“2男1女”和“1男
2 女”的选法，共有9种情况，所以P (B )＝910
. (3)设“3名代表中女生比男生多”为事件C ，则事件C 包含了“3名女生”和“2 女1
男”的选法，共有7种情况，所以P (C )＝710
.
7．某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率．
解析：设“命中9环或10环”为事件A ，则由题意得P (A )＝[1－(0.28＋0.19＋0.29)]＋0.28＝0.52.
8．为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查.6人得分情况为：5，6，7，8，9，10.把这6名学生的得分看成一个总体．
(1)求该总体的平均数；
(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
解析：(1)总体平均数为16
×(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5. (2)设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．
从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(5，10)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)，(7，10)，(8，9)，(8，
10)，(9，10)，共15个基本结果．
事件A 包括的基本结果有：(5，9)，(5，10)，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，
9)，共有7个基本结果．
所以所求的概率为P (A )＝715
.
9．从1，2，3，4，5，6，7中任取一个数，求下列事件的概率：
(1)取出的数大于3；
(2)取出的数能被3整除；
(3)取出的数大于3或能被3整除．
解析：从1，2，3，4，5，6，7中随机取出一个数是等可能的，共有7种结果．
(1)取出数大于3有4种可能：4，5，6，7，故所求事件的概率为47
. (2)取出的数被3整除，有2种可能：3，6，故所求事件的概率为27
. (3)取出的数大于3或能被3整除，共有5种可能：3，4，5，6，7，故所求事件的概率为57
.
1．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．只有同时具备这两个特点的才是古典概型．
2．解决古典概型的概率问题，需从不同的背景材料中抽象出两个问题：
(1)所有基本事件的个数n ；
(2)随机事件A 包含的基本事件的个数m ；
最后套用公式P (A )＝m n
求值．
3．注意以下几点：
(1)求基本事件总数和事件A 所包含的基本事件数，可采用一一列举或图表的形式来直观描述．
(2)熟练地应用互斥事件和对立事件概率公式，将所求事件分解为更易于计算的彼此互斥事件的和，化整为零，化难为易，也可采取逆向思维，求其对立事件的概率．
(3)注意有无放回抽样问题的区别．。